KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR Ole: LIA NURLIANA PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 5
Karya ilmia ii u persembaa utu : Mama, Aa, Kaa-aa u tersayag da semua orag yag usayagi
RINGKASAN LIA NURLIANA Keosistea Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodi dega Tre Liear Dibimbig ole I WAYAN MANGKU da RETNO BUDIARTI Baya feomea yata dalam eidupa seari-ari yag dapat dijelasa dega suatu proses stoasti Seigga proses stoasti mempuyai peraa uup petig dalam memodela feomea di berbagai bidag eidupa ita seari-ari Sala satu betu usus dari proses stoasti adala proses Poisso periodi dega suatu tre Sebagai oto, bayaya edaraa yag melewati suatu ruas jala raya dapat dimodela dega suatu proses Poisso periodi dega periode satu ari Namu, alau misala bayaya edaraa yag melewati ruas jala tersebut mempuyai eederuga meigat seara liear teradap watu, maa model yag lebi oo adala proses Poisso periodi dega tre liear Dega demiia model fugsi itesitas utu asus ii terdiri atas ompoe periodi da ompoe tre liear Pada tulisa ii dibaas pedugaa fugsi itesitas dari proses Poisso periodi dega tre, Diasumsia bawa periode dari ompoe periodi liear yag diamati pada iterval [ dietaui, tetapi emiriga dari tre liear da ompoe periodi dari fugsi itesitasya tida dietaui Pada ajia ii dipelajari perumusa peduga dari emiriga tre liear da peduga dari ompoe periodi fugsi itesitas yag bersaguta Disampig itu juga diaji: eosistea lema da uat serta sebara ormal asimtoti dari peduga emiriga tre liear, da eovergea dalam peluag da eovergea dalam rataa e- dari peduga ompoa periodi dari fugsi itesitas proses Poisso yag diaji
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR Sripsi Sebagai sala satu syarat utu memperole gelar Sarjaa Sais pada Faultas Matematia da Ilmu Pegetaua Alam Ole: LIA NURLIANA PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 5
Judul : Keosistea Peduga Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodi dega Tre Liear Nama : Lia Nurliaa NRP : G545 Meyetujui, Pembimbig I Pembimbig II Dr Ir I Waya Magu, Ms Ir Reto Budiarti, MS NIP 3 633 NIP 3 84 49 Megetaui, Dea FMIPA Dr Ir Yoy Koesmaryoo, MS NIP 3 473 999 Taggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP Peulis dilaira di Ciajur 7 September 983 sebagai aa etuju dari tuju bersaudara, aa dari pasaga Mama Abdurama da Nia Maria Tau peulis lulus dari SMUN I Ciajur da pada tau yag sama diterima sebagai maasiswa Departeme Matematia, Faultas Matematia da Ilmu Pegetaua Alam, Istitut Pertaia Bogor melalui jalur USMI Tau 3-4 mejabat sebagai Ketua Keputria Gugus Maasiswa Matematia Departeme Matematia Istitut Pertaia Bogor Peulis juga pera mejadi Asiste Dose utu mataulia Kalulus, Kalulus, da Persamaa Diferesial Biasa
PRAKATA Puji da syuur peulis pajata epada Alla SWT area aya dega izi da ramat Nya la peulis dapat meyelesaia arya ilmia yag berjudul Keosistea Peduga Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodi dega Tre Liear Pada esempata ii peulis meguapa terima asi yag sebesar-besarya epada : Bapa Dr Ir I Waya Magu, Ms sebagai pembimbig I atas esabara, oresi, da bimbigaya selama ii Ibu Ir Reto Budiarti, MS sebagai pembimbig II atas esabara, oresi, da bimbigaya 3 Bapa Drs Siswadi, MS sebagai moderator semiar da dose peguji 4 Mama da Aa utu doa da duugaya, serta esabara da asi sayagya selama ii 5 Kaa-aa u tersayag (Te Ai, Te Elis, Te Ois, Kag Yaya, Te Nuug, da Te Yuyu, terima asi atas duuga, doa da asi sayagya selama ii Alamdulilla adi alia yag bugsu ii bisa lulus juga 6 Kepoaa-epoaa da uu u yag luu-luu, terima asi atas doaya selama ii pada Bi Iya 7 Ka Imro Amirulla utu asi sayag, esabara, da doaya selama ii Alamdulills Ade bisa meyelesaia sripsi ii dega laar da epat, terima asi juga tela meemai saat sidag 8 Kaa-aa ipar, Bibi, Ua, Amag, da saudara-saudara u terima asi atas doa da duugaya 9 Adri, Ade, da Erra yag tela bersedia mejadi pembaas dalam semiar Tema sebimbiga Nur da Lutfi utu persaabata, doa, da batuaya Lutfi, tetap semagat Kamu pasti bisa Azari, Erra, Lutfi, Moza, Nur (terima asi suda meemai saat sidag da membatu jadi sesi osumsi, Neli da Elis utu persaabata, doa, serta batuaya Saabat-saabat u: Mirati, Iie atas doa, asi sayag, duuga, da dorogaya selama ii 3 Warga Balsem: Nyimas, Mba Tati, Mba Ari, Dewi Titi, Aiy, Ela, Wia, Zaia, Yolada, Sarry, Ai, Te Lili, Te Ati, Hari, Tati, Reti, Ai, Ey, Desy, Mba Umi, Mba Iib, Mba Tutut atas doa da duugaya selama ii 4 Warga Griya Amai di Baraagsiag 5 Riswa da tema-tema di osa K Mat terima asi atas pijama omputerya Yaa, tetap semagat dalam megerjaa sripsi 6 Tema tema mat 39, Kalia tela membuat suatu eaga yag ida bagi Iya 7 Seluru pegawai Departeme Matematia ( Bu Ade, Mas Boo, Mas Yoo, Bu Susi, Mas Dei da FMIPA 8 Semua pia yag tela membatu yag tida dapat peulis sebuta satu per satu Semoga arya ilmia ii bermafaat bagi semua pia yag mempuyai etertaria yag sama pada materi ii Peulis meyadari bawa arya ilmia ii masi jau dari esempuraa ole area itu riti da sara sagat peulis arapa Bogor, Otober 5 LIA NURLIANA
DAFTAR ISI Halama DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN Latar Belaag Tujua LANDASAN TEORI Kejadia da Peluag Peuba Aa da Fugsi Sebara Keovergea Mome da Nilai Harapa 3 Peduga Ta-bias da Peduga Kosiste4 Beberapa Defiisi da Lema Teis 4 Proses Stoasti da Proses Poisso6 HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusa Peduga 7 Keovergea dari Peduga Kemiriga Tre Liear8 Keosistea dari Peduga Kompoe Periodi SIMPULAN 5 DAFTAR PUSTAKA 6 LAMPIRAN7
DAFTAR LAMPIRAN Halama Buti Lema 7 Buti Lema 3 7 Buti Lema 4 Ketasamaa Marov 8 Buti Lema 5 Ketasamaa Cebysev 8 Buti Lema 6 Ketasamaa Cauy-Swarz 9 Buti Lema
Latar Belaag Tulisa ii megaji eosistea peduga erel dari fugsi itesitas pada proses Poisso periodi dega tre liear Ii merupaa reostrusi dari paper: Helmers da Magu (5 Baya feomea yata dalam eidupa seari-ari yag dapat dijelasa dega suatu proses stoasti Proses stoasti mempuyai peraa uup petig dalam berbagai bidag pada eidupa ita seari-ari Sebagai oto dalam bidag trasportasi: bayaya edaraa yag melewati suatu ruas jala raya pada suatu selag watu tertetu aya bisa diamati seali Beberapa edala tersebut memasa ita utu megaji pemodela stoasti tetag fugsi itesitas dari sebua proses Poisso dega aya megguaa sebua realisasi dari proses tersebut Fugsi itesitas λ diasumsia teritegrala loal, yaitu ilai itegral dari fugsi tersebut pada sebarag iterval dega pajag terigga adala berilai terigga Ii beraibat bawa ilai arapa dari bayaya data pegamata pada sebarag iterval dega pajag terigga adala berilai terigga Utu meyusu suatu peduga yag osiste, diperlua data yag bayaya meuju ta igga Agar data pegamata di berbagai bagia selag watu yag berbeda bisa diguaa utu meduga fugsi itesitas pada suatu titi s, maa diperlua asumsi bawa fugsi itesitas tersebut adala periodi (sili Pada ajia PENDAHULUAN ii, ita aggap periode dari fugsi itesitas λ dietaui, yaitu τ Sala satu betu usus dari proses stoasti adala proses Poisso periodi dega suatu tre liear Sebagai oto, bayaya edaraa yag melewati suatu ruas jala raya dapat dimodela dega suatu proses Poisso periodi dega periode satu ari Namu, alau misalya bayaya edaraa yag melewati suatu ruas jala tersebut mempuyai eederuga meigat seara liear teradap watu, maa model yag lebi oo adala proses Poisso periodi dega tre liear Dega demiia model fugsi itesitas utu asus ii dapat diformulasia sebagai beriut λ s λ s + dega ( s ( ( as λ adala suatu fugsi periodi, da as adala ompoe tre liear dega a meyataa emiriga dari tre tersebut Seigga permasalaa di atas dapat dimodela dega suatu proses Poisso periodi dega tre liear Tujua Tujua dari peulisa arya ilmia ii adala utu: (i Mempelajari peyusua peduga erel pada proses Poisso periodi dega tre liear (ii Mempelajari pembutia eosistea da beberapa jeis eovergea dari peduga a da peduga erel bagi λ s ( LANDASAN TEORI Kejadia da Peluag Defiisi (Ruag Coto da Kejadia Suatu perobaa yag dapat diulag dalam odisi yag sama, yag asilya tida bisa dipredisi seara tepat tapi ita bisa megetaui semua emugia asil yag muul disebut perobaa aa Himpua semua asil yag mugi dari perobaa aa disebut ruag oto da diotasia dega Ω Suatu ejadia A adala impua bagia dari ruag oto [Ross, 996] Defiisi ( σ field Suatu impua F yag aggotaya terdiri atas impua bagia dari Ω disebut dega σ field jia memeui odisi (i φ F U A i i (ii Jia A, A, F maa F; (iii Jia A F maa A F [Grimmett da Stirzaer,99] σ - field tereil yag megadug semua, r, r R, disebut selag berbetu ( ] meda Borel, da diotasia B (F ; da aggota dari meda Borel disebut impua Borel
Defiisi 3 (Uura Peluag Uura peluag Ρ pada (Ω, F adala fugsi Ρ : F [,] yag memeui: Ρ φ, Ρ Ω (i ( ( (ii Jia A, A, adala impua disjoit yag merupaa aggota dari F, yaitu A i A j φ, utu setiap i, j dega i j, Tripel (Ω,F, peluag maa Ρ ( U Ai Ρ Ai i i [Grimmett da Stirzaer,99] Ρ disebut dega ruag Defiisi 4 (Kejadia Salig Bebas Kejadia A da B diataa salig bebas jia Ρ ( A B Ρ( A Ρ( B Seara umum, impua ejadia { ; i I} diataa salig bebas jia A i Ρ ( I Ai Ρ Ai i J i J utu setiap impua bagia J dari I [Grimmett da Stirzaer,99] Peuba Aa da Fugsi Sebara Defiisi 5 (Peuba Aa Peuba aa X adala fugsi X : Ω R dega { ω Ω : X ( ω x} F utu setiap x R [Grimmett da Stirzaer,99] Peuba aa diotasia dega uruf apital seperti X, Y da Z Sedaga ilai peuba aa diotasia dega uruf eil seperti x, y da z Setiap peuba aa memilii fugsi sebara, sebagaimaa didefiisia beriut ii Defiisi 6 (Fugsi Sebara Fugsi sebara dari suatu peuba aa X adala F X : R [,], yag didefiisia ole F X ( x Ρ ( X x [Grimmett da Stirzaer,99] Defiisi 7 (Peuba Aa Disret Peuba aa X diataa disret jia semua impua ilai { x, x, } merupaa impua teraa [Grimmett da Stirzaer,99] Utu peuba aa disret X fugsi erapata peluag didefiisia pada defiisi beriut Defiisi 8 (Fugsi Kerapata Peluag Fugsi erapata peluag dari peuba aa disret X adala fugsi p X : R [,], dega p X ( x Ρ ( X x [Grimmett da Stirzaer,99] Keovergea Defiisi 9 (Keovergea Barisa Bilaga Nyata Barisa { a } disebut mempuyai limit L da ita tulisa lim L atau a L jia a apabila utu setiap ε > terdapat sebua bilaga M sedemiia rupa seigga jia > M maa a L < ε Jia a lim L ada, ita ataa barisa tersebut overge Jia tida, ita ataa barisa tersebut diverge [Stewart, 999] Lema (Deret p Deret (disebut juga deret p p overge jia p >, da diverge jia p Buti: Liat Stewart (999 Defiisi (Koverge dalam Peluag Misala X, X, X adala peuba aa dalam ruag peluag (Ω,F, Kita ataa X overge dalam peluag e X jia atau Ρ ( X < ε lim Ρ X ( X ε lim Ρ X
utu setiap ε >, da ditulis X P X utu [Serflig, 98] Defiisi (Koverge dalam rataa e r Misala X, X, X adala peuba aa dalam ruag peluag (Ω,F, Ρ Kita ataa overge dalam rataa e-r e peuba X aa X, dega r, ditulis X X, utu, jia Ε X r < utu semua da ( r Ε X X utu [Grimmett da Stirzaer,99] Defiisi (Koverge Hampir Pasti Misala X, X, X adala peuba aa dalam ruag peluag (Ω,F, Ρ Suatu barisa peuba aa X, X, diataa overge ampir pasti e peuba aa X, a s ditulis X X, utu utu setiap ε >,, jia Ρ lim X < X ε Dega ata lai, overge ampir pasti adala overge dega peluag satu [Grimmett da Stirzaer,99] Defiisi 3 (Koverge Legap Misala X, X, X adala peuba aa dalam ruag peluag (Ω,F, P Suatu barisa peuba aa X, X, diataa overge legap e peuba aa X, jia utu setiap ε > berlau Ρ ( X > < X ε [Grimmett da Stirzaer,99] Defiisi 4 (Koverge dalam Sebara Misala X, X, X adala peuba aa dalam ruag peluag (Ω,F, P Suatu barisa peuba aa X, X, diataa overge dalam sebara e peuba aa X, ditulis X d X, jia Ρ ( x Ρ( X x X r utu, utu semua titi x dimaa F X x adala otiu [Grimmett da Stirzaer,99] fugsi sebara ( Mome da Nilai Harapa Defiisi 5 (Mome Jia X adala peuba aa disret, maa mome e-m dari X didefiisia sebagai m [ ] m Ε X xi p X ( xi, dimaa x i i diperole dari fugsi erapata ( ( peluag p xi p X xi, utu i,, jia jumlaya overge Jia jumlaya diverge, maa mome e-m dari peuba aa X diataa tida ada [Taylor da Karli, 984] Mome pertama dari peuba aa X, yaitu jia m disebut sebagai ilai arapa dari X da diotasia dega Ε X atau µ [ ] Defiisi 6 (Mome Pusat Mome pusat e-m dari peuba aa X didefiisia sebagai mome e-m dari peuba aa ( X Ε[ X ] [Taylor da Karli, 984] Mome pusat pertama adala ol Ragam dari peuba aa X adala mome pusat edua dari peuba aa tersebut da diotasia sebagai ( X σ Var atau X Jadi Var( X Ε[ ( X Ε[ X ] ] Lema Jia X adala peuba aa disret dega ragam yag berigga, maa utu sebarag ostata da d, berlau Var ( X d Var(X Buti: Liat Lampira + [Casela da Berger, 99] Defiisi 7 (Covaria Misala X da Y adala peuba aa disret, da misala pula µ X da µ Y masig- masig meyataa ilai arapa dari X da Y Covaria dari X da Y didefiisia sebagai Cov ( X Y Ε( ( X µ ( Y µ, X Y 3
[Casela da Berger, 99] Lema 3 Misala X da Y adala peuba aa disret, da misala pula da d adala dua bua ostata sebarag, maa Var( X + dy Var( X + d Var( Y + dcov ( X, Y Jia X da Y adala peuba aa salig bebas, maa Var ( X + dy Var ( X + d Var ( Y [Casela da Berger, 99] Buti: Liat Lampira Peduga Ta- bias da Peduga Kosiste Defiisi 8 (Statisti Statisti merupaa suatu fugsi dari satu atau lebi peuba aa yag tida tergatug pada parameter (yag tida dietaui [Hogg da Craig, 995] Defiisi 9 (Peduga Misala X, X, X adala oto aa Suatu statisti U U ( X, X,, X U ( X yag diguaa utu meduga fugsi parameter g ( θ, diataa sebagai peduga bagi g ( θ Nilai amata U ( X, X,, X dari U dega ilai amata X x, X x,, X x, disebut sebagai dugaa bagi ( θ g [Hogg da Craig, 995] Defiisi (Peduga Ta-bias X U ( disebut peduga ta bias bagi g ( θ, bila Ε [ U ( X ] g( θ Bila Ε [ U ( X ] g( θ b( θ, maa b ( θ disebut bias dari peduga Ε U X g θ Bila lim [ ( ] ( maa ( X U disebut sebagai peduga ta bias asimtoti [Hogg da Craig, 995] P g ( θ, utu, disebut peduga osiste bagi g ( θ s (ii Jia U ( X, X X a g( θ,, utu, maa U ( X, X,, X disebut peduga osiste uat bagi g θ ( r (iii Jia U ( X, X,, X g( θ utu, maa U ( X, X,, X disebut peduga osiste dalam rataa e-r bagi g θ ( Defiisi (Mea Squared Error Mea squared error ( MSE dari peduga W utu parameter θ adala fugsi dari θ yag didefiisia ole Ε ( θ W θ Dega ata lai MSE adala ilai arapa uadrat dari selisi atara peduga W da parameter θ Dari sii diperole Ε θ ( W θ Var( W + ( Ε ( W θ Var θ ( W + ( Bias( θ ˆ [Cassela da Berger, 99] Beberapa Defiisi da Lema Teis Defiisi 3 ( O( da o( (i Suatu barisa bilaga yata { a } disebut terbatas da ditulis a O(, utu, jia ada bilaga terigga A da B seigga B < a < A, utu semua bilaga asli (ii Suatu barisa { b } yag overge e, utu, adagala ditulis b o(, utu [Purell da Varberg, 998] Defiisi 4 (Mome Kedua Terbatas Peuba aa X disebut mempuyai mome edua terbatas jia Ε ( X terbatas [Helms, 996] Defiisi (Peduga Kosiste (i Suatu statisti U ( X, X,, X yag overge dalam peluag e parameter g ( θ, yaitu U ( X, X,, X Defiisi 5 (Fugsi Idiator Fugsi idiator dari impua A, serig Ι x, didefiisia sebagai fugsi ditulis ( A 4
Ι ( x A, x A, x A [Cassela da Berger, 996] Lema 4 (Ketasamaa Marov Jia X adala peuba aa dega Ε ( X terbatas da t >, maa Ρ ( X t Buti: Liat Lampira 3 Ε t [ X ] [Helms, 996] Lema 5 (Ketasamaa Cebysev Jia X adala peuba aa dega ilai arapa µ da ragam terbatas σ, maa σ ( µ δ Ρ X utu setiap δ Buti: Liat Lampira 4 δ [Helms, 996] Lema 6 (Ketasamaa Cauy-Swarz Jia X da Y adala peuba aa dega mome edua terbatas, maa ( Ε [ XY ] Ε[ X ] Ε[ Y ] da aa berilai sama dega jia da aya jia Ρ( X atau Ρ( Y ax utu suatu ostata a [Helms, 996] Buti: Liat Lampira 5 Lema 7 (Lema Borel-Catelli (i Misala adala sebarag ejadia Jia { } A { } < maa P ( A terjadi sebaya ta igga ali (ii Misala { A } adala sebarag ejadia yag salig bebas Jia Ρ { A } Ρ A maa P ( A terjadi sebaya ta igga ali Buti: Liat Durret (996 Lema 8 (Teorema Limit Pusat Misala X, X, adala suatu barisa peuba aa yag bebas da sebaraya ideti dega ilai arapa fiite ragam ta ol σ < Jia ( X + X + + X Ζ µ maa Z σ overge e sebara ormal bau, da ditulis Ζ atau lim Ρ d Normal (, utu ( Ζ x π x Buti: Liat Garamai ( e y / µ da, dy Lema 9 (Teorema Deret Taylor Suatu fugsi disebut deret Taylor dari fugsi f di a (atau di seitar a atau yag berpusat di a, jia memeui persamaa f ( x ( ( a ( x a f! '' ( a ( f ( a ( x a + x + ' f f ( a + a!! [Stewart, 999] Lema (Teorema Fubii Jia f atau f dµ < maa XY f YX ( x, y µ ( dy µ ( dx f ( x, y µ ( dx µ ( dy Buti: Liat Durret (996 XxY fdµ Defiisi 6 (Teritegrala Loal Fugsi itesitas λ disebut teritegrala loal, jia utu sebarag impua Borel terbatas B ita perole ( µ (B λ s ds < B [Dudley, 989] Defiisi 7 (Titi Lebesgue Suatu titi s disebut titi Lebesgue dari suatu fugsi λ jia lim s+ s λ ( u λ( s du [Weede da Zygmud, 977] Proses Stoasti da Proses Poisso 5
Defiisi 8 (Proses Stoasti Proses stoasti { N( t, t T} adala suatu impua dari peuba aa yag memetaa suatu ruag oto Ω e ruag state S [Ross,996] t Jadi, utu setiap pada impua ides T, N( t adala suatu peuba aa Ides t serig diiterpretasia sebagai watu (mesipu dalam berbagai peerapaya t tida selalu meyataa watu, da N ( t ita sebut sebagai state dari proses pada watu t Ruag state S mugi berupa: (i S Z (impua bilaga bulat, atau impua bagiaya (ii S R (impua bilaga yata, atau impua bagiaya Suatu proses stoasti N disebut proses stoasti dega watu disret jia impua ides T adala impua teraa, sedaga N ita sebut proses stoasti dega watu otiu jia T adala suatu iterval Defiisi 9 (Proses Peaaa Suatu proses stoasti { N ( t, t } disebut proses peaaa jia N( t meyataa bayaya ejadia yag tela terjadi sampai watu t [Ross, 996] Kadagala proses peaaa { N ( t, t } ditulis N ([, t], yag meyataa bayaya [,t] ejadia yag terjadi pada selag watu Proses peaaa N( t arus memeui syarat- syarat sebagai beriut: (i N ( t utu semua t [, (ii Nilai N ( t adala bilaga bulat (iii Jia s < t maa ( s N( t N, [ s < maa ( t N( s s,t, (iv Utu t N, sama dega bayaya ejadia yag terjadi pada selag s,t ( ] Suatu proses peaaa disebut memilii ireme bebas jia bayaya ejadia yag terjadi pada sebarag dua selag watu yag tida tumpag tidi (tida overlap adala bebas Sedaga suatu proses peaaa disebut memilii ireme statsioer jia sebara (distribusi dari bayaya ejadia yag terjadi pada sebarag selag watu, aya tergatug dari pajag selag tersebut Sala satu proses peaaa yag petig adala proses Poisso, yag juga merupaa proses stoasti dega watu otiu Defiisi 3 (Proses Poisso Suatu proses peaaa { N( t, t } disebut proses Poisso dega laju λ, λ >, jia dipeui tiga syarat beriut: (i N ( (ii Proses tersebut memilii ireme bebas (iii Bayaya ejadia pada sebarag iterval watu dega pajag t, memilii sebara (distribusi Poisso dega ilai arapa λ t Jadi, utu semua t, s > Ρ ( N( s + t N( s e λt ( λt,,,! Dari syarat (iii bisa dietaui bawa proses Poisso memilii ireme yag statsioer Dari syarat ii juga diperole bawa Ε ( N( t λt Proses Poisso dega laju λ yag merupaa ostata utu semua watu t disebut proses Poisso omoge Jia laju λ bua ostata, tetapi merupaa fugsi dari watu, λ ( t, maa disebut proses Poisso ta-omoge Utu asus ii, λ ( t disebut fugsi itesitas dari proses Poisso tersebut Fugsi itesitas λ ( t arus memeui syarat λ ( t utu t Lema Misala X da Y adala peuba aa salig bebas da memilii sebara Poisso dega parameter berturut-turut u da v Maa X + Y memilii sebara Poisso dega parameter u + v [Taylor da Karli, 984] Buti: Liat Lampira 6 Defiisi 3 (Fugsi Periodi Suatu fugsi λ disebut periodi jia λ ( s + τ λ(s utu semua s R da Z Kostata tereil τ yag memeui persamaa di atas disebut periode dari fugsi λ tersebut [Browder, 996] Defiisi 3 (Proses Poisso Periodi 6
Proses Poisso periodi adala proses Poisso dimaa fugsi itesitas λ adala sili (periodi HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusa Peduga Misala N adala proses Poisso o omoge pada iterval [, dega fugsi itesitas λ yag tida dietaui Fugsi ii diasumsia teritegrala loal da terdiri atas ompoe, yaitu sebua ompoe periodi atau ompoe sili dega periode (dietaui τ > da sebua tre liear yag tida dietaui pula Dega ata lai, utu sebarag titi s [,, ita dapat meulisa fugsi itesitas λ sebagai beriut: λ ( s λ ( s + as ( dega λ ( s adala fugsi periodi dega periode τ da a adala emiriga dari tre liear Dalam baasa ii ita tida megasumsia suatu betu parametri dari λ euali bawa λ adala periodi yaitu persamaa λ ( s τ λ (s [, + ( berlau utu s da Z dega Z adala impua bilaga bulat Karea λ periodi dega periode τ, maa utu [ meduga λ utu s, uup diduga ilai λ pada s [,τ Misala utu suatu ω Ω, terdapat N ω dari proses Poisso N sebua realisasi ( yag terdefiisi dalam ruag peluag (Ω, F, P dega betu fugsi itesitas di persamaa ( Tujua ita dalam pembaasa ii adala mempelajari peyusua peduga osiste bagi λ pada s [, τ ], dega megguaa sebua realisasi N ( ω dari proses Poisso yag diamati pada iterval [, ] Kita megasumsia bawa s adala titi Lebesgue dari λ, yag seara otomatis berarti bawa s adala titi Lebesgue dari λ Pada ajia ii ita asumsia bawa periode τ dietaui, tetapi slope a da fugsi λ pada [, τ eduaya tida dietaui Dalam odisi ii, ita bole medefiisia peduga a da peduga bagi λ di titi s yag diberia Peduga bagi a diberia ole: N( [, ] aˆ (3 Sedaga utu peduga bagi λ ( s pada titi [,τ ˆ λ, s diberia ole: ( s l N [, ] ([ s + τ, s + τ + ] aˆ + s (4 l dimaa adala barisa bilaga real positif yag overge meuju, (5 utu Searag aa diuraia ide tetag pembetua peduga bagi a Utu mejelasa al ii aa ita guaa Lema beriut Lema Jia fugsi itesitas λ adala periodi (dega periode τ da teritegrala loal, λ s ds maa ( θ dega θ τ τ λ (ds s Buti: Liat Damiri (3 Pertama, peratia bawa ΕN ([, ] λ ( sds + ( λ ( s asds λ + ( s ds utu asds, [Damiri, 3] 7
Peratia suu pertama dari ruas aa persamaa di atas Berdasara Lema, maa λ ( s ds θ Suu edua dari ruas aa persamaa tadi a asds Dega meggati Ε N ([, ] dega padaa stoastiya N ([, ] maa a diperole N ([, ] θ + Kedua ruas dibagi dega, seigga N( [, ] θ a N( [, ] + θ a Jia, maa θ Airya diperole bawa: N( [, ] aˆ Searag, aa diuraia ide tetag pembetua dari peduga erel, ˆλ ( s dari λ ( s Perlu diigat bawa aya ada sebua realisasi dari proses Poisso N yag tersedia, ita arus meggabuga iformasi tetag ilai dari λ s yag belum dietaui ( dari tempat yag berbeda pada iterval [, ] Dari ( da ( yag ita puya, utu sebarag titi s da Z, maa λ s λ s τ (6 Misala ( ( B ( x [ x, x + ] + [ ] da L Ι( s + τ, yag memegag peraa petig dalam meutu ita e ragaia pedeata Berdasara (6, ita dapat meulisa λ L ( s ( λ ( s + τ Ι( s + τ [, ] L L ( s + [, ] Ι τ ( λ ( s + τ a( s + τ ( λ ( s + τ Ι( s + τ [, ] aτ as Ι( s + [, ] L τ (7 Perlu diigat bawa Ι( s + τ [, ] ( τ da L ~ l utu L setara asimtoti dega l Maa persamaa (7 dapat ditulisa sebagai beriut: l as a l l ΕN s+ τ + λ s+ τ ( x Ι x + s + τ [, ] ( B ( s + τ [, ] ( dx a s + (8 l Perilau ΕN( B ( s + τ [, ] N B s + τ, yag merupaa ( ( [ ] padaa stoastiya, seigga persamaa (8 dapat ditulis: l N ( B ( s + τ [, ] a s +, (9 l yag dapat diliat sebagai peduga dari λ ( s, dega periode τ da emiriga a dari tre liear diasumsia dietaui Jia a tida dietaui, ita gati a dega â di persamaa (9 seigga diperole peduga dari λ ( s yag diberia di persamaa (4 Keovergea dari â Lema 3 Misala fugsi itesitas λ diberia di ( da teritegrala loal Maa: θ Ε( aˆ a + + O ( da a Var( aˆ + O ( 3 utu τ (, dimaa θ τ λ s ds Aibatya, â adala peduga osiste dari a, da Mea-squared error (MSEya adala: 8
a + 4θ MSE ( aˆ + O 3 ( Buti: Berdasara (3, Ε( â dapat diitug sebagai beriut: Ε ( aˆ ΕN( [, ] λ ( s ( λ ( s + as θ a + + Ο utu Ragam dari â diperole dega ara yag serupa: 4 Var( aˆ Var( N( [, ] 4 4 N( [, ] 4 4 a + O( 4 ds ( λ s ds + asds a θ + + O( a + O, 3 utu MSE ( aˆ Var( aˆ + Bias( aˆ ( ( Bias( aˆ ( Ε( aˆ a θ a + + O a θ + O 4θ + O, (3 3 utu Seigga berdasara ( da (3, maa a + 4θ MSE( aˆ + Ο, 3 utu Teorema (Keosistea Peduga â adala peduga osiste bagi a yaitu ds aˆ a (4 utu Berdasara Defiisi, utu membutia teorema ii adala setara dega meujua bawa, utu setiap ε >, berlau Ρ aˆ a > ε (5 P ( Buti: Berdasara etasamaa segitiga, ita perole aˆ a aˆ Εaˆ + Εaˆ a (6 Berdasara Lema 3, ita perole lim Ε ˆ a a (7 seigga utu ε >, ada N agar ε Εaˆ a < (8 utu N Berdasara persamaa (7, ita perole ε Ρ( a ˆ a > ε Ρ aˆ Εaˆ > Jadi utu membutia (4 uup ditujua ε lim Ρ a ˆ Εaˆ > Dega etasamaa Cebysev, ita perole ε 4Var( aˆ ˆ ˆ Ρ a Εa > ε Jadi ita tiggal membutia bawa 4Var( aˆ lim (9 ε Berdasara Lema 3, Var( aˆ aa overge e ol jia, seigga persamaa (9 terbuti Jadi Teorema terbuti Teorema (Keovergea Legap Peduga â adala overge legap e a, yaitu utu aˆ a, Buti: Berdasara Defiisi 3, utu membutia teorema ii uup dibutia Ρ ( aˆ a > ε < Berdasara etasama segitiga, ita perole aˆ a aˆ Εaˆ + Εaˆ a 9
Dega ara yag sama dega pembutia Teorema, airya ita perole ε 4Var ( aˆ ˆ ˆ Ρ a Εa > ε 4Var( aˆ 4 a Kemudia 3 + O ε ε Seigga diperole ( aˆ 4Var 4 a < + O 3 ε ε Jadi Teorema terbuti Aibat (Keosistea Kuat Peduga â adala peduga osiste uat bagi a, yaitu utu a s aˆ a, Buti: Berdasara Defiisi, utu membutia aibat ii aa dibutia utu ε >, maa atau Ρ lim aˆ < a ε Ρ lim aˆ a ε Dari Teorema dietaui Ρ( aˆ a > ε < Dega bagia (i Lema Borel - Catelli (Lema 7, diperole jia Ρ ( aˆ a > ε < maa ejadia { ˆ a > ε} aya aa a terjadi sebaya terigga, yag berimpliasi bawa Ρ lim aˆ a ε Maa Aibat terbuti Sebara Normal Asimtoti dari â Teorema 3 (Keovergea dalam Sebara ( aˆ a adala overge dalam sebara e Normal ( θ,a utu ( Ruas iri persamaa ( adala sebagai beriut: ( aˆ a ( aˆ Εaˆ + ( Εaˆ a Utu membutia Teorema 3, uup dibutia d ( aˆ Εaˆ Ν(, a (a da Εaˆ a (b ( θ Utu membutia bagia (a, peratia bawa ruas iri bagia (a adala sebagai beriut: N ( ([, ] ΕN( [, ] aˆ Εaˆ ( N( [, ] ΕN( [, ] ([ ] ([, ] ([, ], N ΕN VarN ([, ] VarN Berdasara Teorema Limit Pusat, maa diperole ([, ] ([, ] N ΕN d Ν(, ( ([, ] VarN jia Maa utu membutia (a, tiggal dibutia VarN( [, ] a ( Karea N ([,] adala peuba aa Poisso, maa ruas iri persamaa ( dapat ditulisa sebagai beriut: VarN( [, ] ΕN( [, ] a θ + + O ( 4 a θ + + O ( a + O Peratia bawa O overge e ol utu, seigga O o ( ( f ( x Misala x a + o, x Berdasara Teorema Deret Taylor, maa f ' ( ( ( a ( f "( a f x f a + x a +!! ( x a + Buti:
a + ( o( o a 3 4 ( ( o( ( ( a + O + o ( a ( ( + a + o Seigga bagia (a terbuti Utu membutia bagia (b guaa Lema 3, seigga ruas iri dari (b dapat ditulisa sebagai beriut: θ ( Εaˆ a + O θ + O Dega ata lai ( Εaˆ a θ jia Jadi Teorema 3 terbuti Keosistea dari, ˆλ ( s Lema 4 (Ketabiasa Asimtoti Misala fugsi itesitas λ seperti ( da teritegrala loal Jia asumsi (5 dipeui, maa ˆ λ s λ s (3 Ε, ( ( utu, asala s adala titi Lebesgue dari λ Dega ata lai,, ˆλ ( s adala peduga ta bias seara asimtoti bagi λ s ( Buti: Utu membutia persamaa (3, aa ditujua bawa lim Ελ ˆ s λ (4, ( (s Berdasara Teorema Fubii, ilai arapa di ruas iri (3 dapat diyataa sebagai beriut: l ΕN ( B ( s + τ [, ] s + Ε( aˆ (5 l Suu pertama dari (5 l [ ] λ Ι( x + s + τ, dx ( x + s + τ l ( λ ( + + ( + + x s a x s τ [ ] Ι( x + s + τ, dx ( ( + λ x s l [ ] Ι( x + s + τ, dx a + l ( x + s + τ [ ] Ι( x + s + τ, dx (6 Suu pertama dari (6 dapat diuraia sebagai beriut: l Ι ( x + s + τ [, ] + Ο (7 l utu, da λ ( x + s dx (( λ ( x + s λ ( s + λ ( s dx ( λ ( x + s λ ( s dx dx + ( λ s dx Karea s adala titi Lebesgue dari λ, maa ( ( x + s λ ( s dx o λ ( λ ( s dx λ ( s λ λ dx ( s [] x ( s ( ( s λ (8 Dari (7 da (8, ita perole suu pertama dari (6 : + O ( ( s + o( l λ λ ( s + ο( (9
utu Suu edua dari (6, dapat diuraia sebagai beriut: a l ( x + s + τ [ ] Ι( x + s + τ, dx a l ( x Ι( x + s + τ dx as + + + dx O l aτ l Ι( x + s + τ [, ] dx (3 Suu pertama ruas aa persamaa (3 aa diperole sama dega ol Suu edua ruas aa persamaa (3 yaitu as + O Peratia suu etiga ruas l aa persamaa (3 Karea ilai dari [ ] Ι( x + s + τ, dapat ditulis mejadi Ι τ τ ( x + s + τ [, ] + Ι( x + s + τ [, ] + O, τ maa diperole aτ a + O( + O Gabuga l τ l l dari etiga ruas persamaa (3, maa suu edua persamaa (6 mejadi a l ( x + s + Ι x + s + τ [, ] τ ( dx a as + O + + O l l l a s + + O l l utu Seigga suu pertama dari (5: λ ( s + ο( + a s + + O l l (3 utu Dega mesubstitusia persamaa ( e suu edua dari persamaa (5, maa ita perole θ s + a + + Ο l θ θ a s + + s + + O (3 l l l Dega mesubstitusi (3 da (3 e persamaa (5 aa diperole ilai arapa ˆλ s sebagai beriut: dari, ( Ελ ( s λ ( s + ο( ˆ, (33 utu Seigga persamaa (3 terbuti Lema 5 (Keovergea Ragam Misala fugsi itesitas λ seperti ( da teritegrala loal Jia asumsi (5 da l (34 utu dipeui maa ( ( s ˆ, Var λ (35 utu, asala s adala titi Lebesgue dari λ Buti : Kita igat bawa ˆ λ, ( s Misala l l ˆ a N N s + l aˆ s + Q l Var ˆ λ s Seigga ( ( B ( s + τ [, ] ( B ( s + τ [, ] (36 Q, (, Var( Q + Var( Q Cov ( Q Q + (37 Utu yag besar, maa selag ( s τ B s + jτ (38, B + da ( utu j tida salig tumpag tidi (tida overlap Seigga N( B ( s + τ da N( B ( s + jτ (39 adala bebas utu j Kita itug dulu suu pertama dari persamaa (37 ( ( [ ] + N B s τ, Var l 4 ( l
( N( B ( s [ ] Var + τ, (4 Karea N adala proses Poissso, maa Var( N ΕN, da utu sebarag, ita bisa tulisa Ε N( B s + τ, ( [ ] ( x + s + τ Ι( x + s + τ [, ] λ dx, seigga persamaa (4 dapat ditulis sebagai beriut: 4 ( l Var( N ( λ 4 l Ι( x + s + τ, dx [ ] ( l [ ] ([ 4 Ι( x + s + τ, dx + aτ ( l 4 s + τ, s + τ + ] [, ] ( ( x + s + τ λ ( x + s + a( x + s ( x + s + τ [, ] dx Ι (4 Suu pertama persamaa (4 dapat diuraia mejadi l l 4 a l λ ( x + s dx ( x + s + τ [, ] + Ι ( x + s Ι l Peratia bawa dx τ (4 ( x + s + [, ] Ι( x + s + deret-p dega l τ [, ] O( merupaa p Seigga τ l ( x + s + [, ] O Ι Dega ara yag serupa dega buti Lema 4, substitusia persamaa (9 e suu pertama persamaa (4, seigga dapat ita tulis sebagai beriut: ( λ ( s + o( O l l ( l O (43 Suu edua persamaa (4 dapat ita tulis sebagai beriut: a ( + O 4 l l ( l O (44 Dega meggabuga (43 da (44, ita perole suu pertama dari persamaa (4 adala ( O (45 l utu Suu edua dari persamaa (4 dapat ita tulis sebagai beriut 4 aτ l a 4 τl l Ι + O dx l aτ + O l l ( x + s + τ [, ] dx aτ ( + O (46 l l utu Dega meggabuga (45 da (46, ita perole suu pertama dari persamaa (37 adala aτ ( + O (47 l l utu Selajutya ita itug suu edua dari persamaa (37 Var aˆ s + s + Var( aˆ l l Dari persamaa (, ita perole a s + + O 3 l a + O l ( l ( (48 utu Dari persamaa (47, (48, da etasamaa Cauy- Swarz, ita perole bawa suu 3
etiga dari persamaa (37 tida pera lebi dari aτ l O O / O ( l ( l l l o a 3 / / O ( l / ( O l o l (49 utu Dega meggabuga persamaa (47, (48, da (49, ita perole ( ( Var ˆ a τ λ s + o, (5 l l utu Karea l utu, ita perole persamaa (35 Terbuti Teorema 4 (Keovergea dalam Peluag Misala fugsi itesitas λ seperti ( da teritegrala loal Jia asumsi (5 da (34 dipeui, maa ˆ λ s P λ s (5, ( ( utu, asala s adala titi Lebesgue dari λ Dega ata lai, ˆλ ( s adala peduga osiste dari λ Buti: Utu membutia persamaa (5, berdasara defiisi aa diperliata bawa utu ε >, lim Ρ ˆ λ, s λ s > ε (5 ( ( ( Berdasara etasamaa segitiga, ita perole ˆ λ s λ s ˆ λ s Ε ˆ λ s ( ( ( (+,,, l ( s λ ( s Ε λ, (53 Berdasara Lema 4, ita perole lim Ε ˆ λ, s λ s (54 ( ( seigga utu ε >, ada N agar ˆ ε Ελ, ( s λ ( s < (55, utu N Berdasara (54, ita perole ˆ ( ( ˆ ˆ ε Ρ λ, s λ s > ε Ρ λ, s Ελ, s > Jadi utu membutia (5 uup ditujua ˆ ( ˆ ε lim Ρ λ, s Ελ, ( s > Dega etasamaa Cebysev, ita perole ( ˆ ˆ 4 ( ( ˆ ε Var λ, s Ρ λ, s Ελ, ( s > Jadi ε ita tiggal membutia bawa 4Var( ˆ λ, ( s lim (56 ε Berdasara Lema 5, maa persamaa (56 terbuti ( ( ( Teorema 5 (Keovergea dalam rataa e- Misala fugsi itesitas λ seperti ( da teritegrala loal Jia asumsi (5 da (34 dipeui, maa ˆ r ( s λ ( s (57 λ, utu, asala s adala titi Lebesgue dari λ Dega ata lai,, ˆλ ( s adala peduga osiste dalam rataa uadrat bagi λ Buti: Berdasara Defiisi utu r, utu membutia Teorema 5, aa ditujua Ε ˆ λ s < (58 ( (, da Ε ( ˆ λ, ( ( s λ s (59 utu Buti dari persamaa (58: Utu membutia persamaa (58, ita igat bawa Var ˆ λ s Ε ˆ λ s Ε ˆ λ s ( ( (, seigga Ε ˆ λ s ( [ ( (], ( ( Var ˆ λ ( s, ( [ ( ˆ + Ε λ (],,, s Maa berdasara Lema 4 da Lema 5, ita perole Ε ˆ λ s ο + λ s + ο ( ( ( ( ( (, ( λ ( s + ο( < Buti dari persamaa (59: Kita tau bawa 4
Ε Ε ( ˆ λ, ( s λ ( s [( ˆ λ ( ˆ ( ( ˆ ( (], s Ελ, s + Ελ, s λ s ( ˆ λ ( Ε ˆ (, s λ, s (a ( Ε ˆ λ ( (, s λ s (b Ε[ ( ˆ λ ( s Ε ˆ λ ( s ( Ε ˆ λ ( s λ ( s ] Ε + Ε ( +,,, (i Bagia (a merupaa ragam dari s Ragam dari ˆλ s ˆλ ( (,, aa overge meuju ol, al (ii ii dapat ditujua berdasara eovergea ragam pada Lema 5 Bagia (b merupaa bias dari ˆλ s Bias dari s aa, ( ˆλ, ( overge meuju ol, al ii dapat ditujua berdasara etabiasa asimtoti pada Lema 4 (iii Berdasara etasamaa Cauy-Swarz, peratia bawa ˆ λ s Ε ˆ λ s Ε ˆ λ s λ s Ε ˆ λ s Ε ˆ λ s Ε Ε ˆ λ s λ s [( ( ( ( ( ( ] ( ( ( ( ( ( Ε,,,,,, Kita itug dulu Ε ˆ λ s Ε ˆ λ ( ( ( ( ˆ ( ˆ,, s Ε λ, s Ε λ, s Kemudia berdasara bagia (b, Ε ( s λ ( s Seigga Teorema 5 terbuti ( ˆ, λ utu SIMPULAN Tulisa ii megaji masala pedugaa fugsi itesitas dari suatu proses Poisso o omoge N dega fugsi itesitas berbetu λ ( s λ ( s + as dega λ ( s adala fugsi periodi (sili dega periode τ da a adala emiriga dari tre liear Pada ajia ii tela diguaa N( [, ] aˆ sebagai peduga bagi a dega N ([,] adala proses Poisso o omoge yag diamati pada selag [, ], da ˆ λ, ( s l N [, ] ([ s + τ, s + τ + ] aˆ + s l sebagai peduga dari ompoe periodi λ ( s dari fugsi itesitas proses Poisso yag diaji Selai itu diaji eosistea dari beberapa jeis eovergea dari da â λˆ, ( s Dari asil pegajia yag dilaua dapat disimpula bawa: (i adala peduga ta bias â Var( aˆ asimtoti bagi a da overge e ol, yag juga berimpliasi bawa â adala peduga osiste bagi a (ii â adala overge legap e a utu, yag juga berimpliasi â merupaa peduga osiste uat bagi a (iii ( aˆ a adala overge dalam sebara e Normal θ, a ( (iv ˆ ( s λ merupaa, peduga ta bias asimtoti bagi λ s ( (v Ragam dari ˆ λ ( s, overge meuju ol, utu ˆ λ, s merupaa peduga osiste bagi λ ( s (vi ( 5
(vii ( λ s merupaa uadrat bagi λ ( s ˆ, peduga osiste dalam rataa DAFTAR PUSTAKA Browder, A 996 Matematial Aalysis: A Itrodutio Spriger, New Yor Casella, G da RL Berger 99 Statistial Iferee Ed Ke- Wadswort & Broos/Cole, Pasifi Grove, Califoria Damiri, SD 3 Metode Utu Meduga Fugsi Itesitas Global pada Proses Poisso Periodi [Sripsi] Bogor: Istitut Pertaia Bogor Dudley, R M 989 Real Aalysis ad Probability Wadswort & Broos Califoria Durret, R 996 Probability: Teory ad Examples Ed e- Duxbury Press New Yor Garamai, S Fudametals of Probability Ed e- Pretie Hall New Jersey Grimmett, G R da D R Stirzaer 99 Probability ad Radom Proesses Ed e- Claredo Press Oxford Helmers, R da I W Magu 5 Estimatig te Itesity of a Cyli Poisso Proess i te Presee of Tred Liear CWI Amstersdam Helms, L L 996 Itrodutio to Probability Teory: Wit Cotemporary Appliatio W H Freema & Compay New Yor Hogg, R V da A T Craig 995 Itrodutio to Matematial Statistis Ed e-5 Pretie Hall, Eglewood Cliffs New Jersey Purell, E J da D Varberg 998 Kalulus da Geometri Aalisis Jilid Ed e-5 Peerbit Erlagga Jaarta Ross, S M 996 Stoasti Proesses Ed e- Jo Wiley & Sos New Yor Serflig, R J 98 Approximatio Teorems of Matematial Statistis Jo Wiley & Sos New Yor Stewart, J 999 Kalulus Jilid Ed e-4 Peerbit Erlagga Jaarta Taylor, H M da S Karli 984 A Itrodutio to Stoastis Modellig Aedemi Press I Orlado, Florida Weede, R L da A Zygmud 977 Measure ad Itegral: A Itrodutio to real Aalysis Marel Deer New Yor 6
L A M P I R AN 7
Lampira (Pembutia Lema Lema Jia X peuba aa disret dega ragam yag berigga, maa utu sebarag ostata da d, Var ( X d Var( X + Buti: Dari defiisi yag ita puya bawa Jadi Lema terbuti ( X + d Ε( ( X + d Ε( X d Ε( X ΕX ( Ε ( X + d ( ΕX + d Ε( X ΕX Var ( X Var + Lampira (Pembutia Lema 3 Lema 3 Misala X da Y adala peuba aa disret, da misala pula da d adala dua bua ostata sebarag, maa Var( X + dy Var( X + d Var( Y + dcov ( X, Y Jia X da Y adala peuba aa salig bebas, maa Var X + dy Var X + d Var Y Buti: ( ( ( Nilai arapa dari X dy Ε( X + dy ΕX + dεy µ X + dµ Y Seigga Jadi Lema 3 terbuti + Var ( X+ dy Ε( X + dy ( µ X + dµ Y Ε( ( X µ X + d( Y µ Y Ε ( X µ X + d ( Y µ Y + d( X µ X ( Var ( X + d Var ( Y + dcov ( X, Y ( Y µ Y 8
Lampira 3 (Pembutia Lema 4 Lema 4 (Ketasamaa Marov Jia X adala peuba aa dega ( X Buti: Misala A {[ X ] t}, maa [ X ] t Ι A Ε terbatas da t >, maa [ X ] Ε Ρ ( X t t, jia X t Ι A, jia X < t Jia ditetua ilai arapaya, maa diperole Ε X Ε tι Jadi Lema 4 terbuti, dega Ι A adala fugsi idiator dari A, yaitu: [ ] ( A t ΕΙ t Ρ Ρ A ( X t Ε X ( X t t Lampira 4 (Pembutia Lema 5 Lema 5 (Ketasamaa Cebysev Jia X adala peuba aa dega ilai arapa µ da ragam terbatas σ Maa utu setiap δ Buti: Berdasara etasamaa marov, Jadi Lema 5 terbuti Ρ σ ( µ δ Ρ X δ ( X δ Ρ ( X µ ( δ [( X µ ] µ Ε σ δ δ 9
Lampira 5 (Pembutia Lema 6 Lema 6 (Ketasamaa Cauy-Swarz Jia X da Y adala peuba aa dega mome edua terbatas, maa ( Ε [ XY ] Ε[ X ] Ε[ Y ] ( da aa berilai sama dega jia da aya jia Ρ( X atau Ρ Y ax utu suatu ostata a Buti: Pilila sala satu dari Ρ( X atau Ρ( X < Pada asus pertama, persamaa aa terpeui area edua ruas mempuyai ilai ol, seigga Ρ X <, yag berarti bawa X mempuyai suatu ilai ita bisa megasumsia ( x dega peluag positif, seigga Defiisia fugsi uadrat g ( λ Ε ( Y λx [ ] x f ( x Ε X > j j X [ ] Ε[ Y ] λε[ XY ] + Ε[ X ] λ Fugsi uadrat di atas aa berilai miimum pada saat Ε XY λ Ε[ X ] seigga utu seigga λ yag real gati λ dega Di satu sisi, al ii berimpliasi bawa Ε da di sisi lai jia sama aa Jia Y λ X [ ] Ε[ ( Y λ ] ( Y λ X Ε XY Ε X [ ] Ε[ X ] [( Y λ X ] Ε[ Y ] λε[ XY ] + λ Ε[ X ] [ ] ( Ε[ XY ] ( Ε[ XY ] Ε Y + X ] X ] [ ] ( Ε[ XY ] Ε Y [ ], Ε X [( ] [ ] ( Ε[ XY ] Y λ X Ε Y X ] j [( Y λ ] Ε Ε X ( Ε [ XY ] Ε[ X ] Ε[ Y ] [( ] X Ε Y λ meempati ilai yag tida ol dega peluag yag positif, aa didapata [ ] Ε ( Y λ X > Hal ii megaibata otradisi, maa arusla Ρ( Y λ Jadi Lema 6 terbuti
Lampira 6 (Pembutia Lema Lema Misala X da Y adala peuba aa salig bebas da memilii sebara Poisso dega parameter berturut-turut u da Maa v Y X + memilii sebara Poisso dega parameter v u + Buti: Berdasara Huum Pejumlaa Peluag, { } { Ρ + Ρ Y X Y X, } } (peuba aa { } { Ρ Ρ Y X X da salig bebas Y ( ( ( + v u v u v u e e v e u!!!!!! Perluasa biomial dari adala ( u + v ( ( + v u v u,!!! seigga diperole { } ( (,,,! + + Ρ + v u e Y X v u merupaa betu dari sebara Poisso Jadi Lema terbuti