Teori Peakira Oleh : Dewi Rachmati
Pedahulua Ada metode iferei : metode klaik da metode Baye dalam meakir arameter oulai Dalam metode klaik iferei didaarka ada iformai yag dieroleh melalui amel acak Dalam metode Baye, iferei megguaka egetahua ubjektif terdahulu megeai ditribui eluag arameter yag tak diketahui berama dega iformai yag diberika oleh data amel
Metode Peakira Klaik Iferei terbagi mejadi eakira da egujia hiotei Peakir (takira) uatu arameter daat berua takira titik atau takira elag Statitik yag diguaka utuk medaatka takira titik diebut eakir atau fugi keutua. Jadi fugi keutua S adalah eakir da takira adalah tidaka yag diambil
Himua emua tidaka yag mugki yag daat dilakaaka dalam maalah eakira diebut ruag keutua Tidak daat diharaka uatu eakir aka meakir arameter oulai taa kealaha. Tidak beralaa megharaka X aka meakir µ dega teat, tai tetuya diharaka tidak terlalu jauh meyimag
Sifat-ifat Peakir yag Baik Peakir Takbia S (Ubiaed Etimator) Statitik dikataka eakir takbia arameter θ bila E[ θˆ ]= θ θˆ Cotoh : X eakir takbia utuk µ karea E[ X] = µ, da = ( X X ) i i= eakir takbia utuk
Peakir alig efiie eakir yag memberika variai terkecil dari emua eakir θ yag mugki dibuat Peakir koite ε > ( ˆ ) θ θ ε 0 berlaku : lim P = Peakir yag takbia da variaiya miimum adalah eakir yag terbaik
Selag Keercayaa (Takira Selag) Selag keercayaa utuk θ adalah elag yag berbetuk θˆ θ θˆ dimaa da ilaiya θˆ θˆ tergatug ada ilai θˆ Dariada megataka bahwa teat ama dega µ aka lebih meyakika bila megataka k μ k
Jika ukura amel membear maka = X megecil ehigga kemugkia bear takira bertambah dekat dega µ, yag berarti elag lebih edek. Jadi takira elag meujukka, berdaarka ajagya, keteata titik Maki bear ilai k yag diilih, maki ajag elagya da maki yaki bahwa amel yag diambil aka memberika elag arameter yag tak diketahui
Meakir rataa (mea) diketahui, utuk yag cuku bear : Dalil Limit Puat akibatya : Karea P - z P (- z Z z ) X μ Z = : X μ z X ~ ~ N μ, ( ) N 0, = =
P X z. μ X z. = Sehigga elag keercayaa ( )00% utuk μ : z. μ z. Cotoh : Rataa da imaga baku ilai ujia matematika amel acak 36 mahaiwa,6 da 0,3. Hitug elag keercayaa 95% da 99% utuk rataa ilai matematika emua mahaiwa.
Jawab : diketahui =,6 Karea ukura amel cuku bear maka imaga baku oulai daat dihamiri oleh =0,3. Nilai z yag lua di ebelah kaaya 0,05 adalah z 0,05 =,96. Jadi elag keercayaaya 95% :,6 (,96) atau,50 µ,70. Utuk 99% :,6 (,575) 0,3 36 0,3 36 μ μ atau,47 µ,73.,6 (,96),6 (,575) 0,3 36 0,3 36
Utuk meakir µ dega derajat ketetaa yag lebih tiggi dierluka elag yag lebih bear. Selag keercayaa (- )00% memberika takira keteata takira titik kita. Bila µ eugguhya meruaka titik uat elag, maka meakir µ taa galat. Tetai umumya amel tidak meghailka teat ama dega µ ehigga takira titik umumya aka meleet (megadug galat).
tak diketahui, oulai ormal da 30 = da dk = - Jika relatif bear dibadig N yaki (N)>5%, guaka :.. z μ.. z N N N N. t μ. t
Cotoh : Tujuh botol yag miri maigmaig berii aam ulfat 9,8 ; 0,; 0,4; 9,8; 0,0; 0,; da 9,6 liter. Carilah elag keercayaa 95% utuk rataa ii botol emacam itu bila ditribuiya diagga hamir ormal.
Teorema Bila diakai utuk meakir µ, maka daat diercaya (-)00% bahwa galatya aka lebih dari uatu bilaga g yag ditetaka ebelumya aal ukura amel : z. = g Cotoh : Beraa bear amel yag dierluka ada cotoh ebelumya bila igi ercaya 95% bahwa takira utuk µ meleet kurag dari 0,05? =38,3
Meakir Seliih Dua Rataa Bila ada dua oulai maig-maig dega rataa µ da µ da variai da, maka eakir titik utuk eliih rataa utuk eliih µ da µ : ukura amel : da. X X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z X X μ μ z X X z μ μ X X z P z Z z P = = = P
Cotoh : Suatu ujia kimia yag telah dibakuka diberika ada 50 iwa waita da 76 iwa ria. Nilai rata-rata waita 76 da imaga baku 6, edagka rata-rata ria 8 da imaga baku 8. Carilah elag keercayaa 96% utuk eliih, bila meyataka rataa ilai emua iwa ria da rataa ilai emua iwa waita yag mugki aka megikuti ujia. ),( ) ( z z
Seliih Dua Rataa Selag keercayaa amel kecil utuk µ -µ ; = tai tidak diketahui, elag keercayaa (-)00% utuk µ -µ diberika : ukura amel maig-maig da beraal dari ditribui ormal, dk= - ;.. ),(.. ) ( t t ( ) ( ) =
Cotoh : Dalam ekelomok roe kimia, egaruh dua kataliator igi dibadigka dega hailya ada roe reaki. Kataliator diguaka ada uatu amel dega agkata da kataliator diguaka ada amel dega 0 agkata. Ke agkata yag megguaka kataliator memberika rata-rata amel 85 dega imaga baku amel 4, yag kedua rata-rata amel 8 da imaga baku amel 5. Carilah elag keercayaa 90% utuk eliih kedua rataa oulai bila diagga kedua oulai berditribui hamir ormal dega variai yag ama.
Seliih Dua Rataa Selag keercayaa amel kecil utuk µ -µ ; tai tidak diketahui, elag keercayaa (-)00% utuk µ -µ diberika : ukura amel maig-maig da beraal dari ditribui ormal, dk= ( ) ( ), t t ( ) [ ] [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = ν
Cotoh : Catata elama 5 tahu terakhir meujukka bahwa rata-rata curah huja di uatu kabuate elama bula Mei 4,93 cm dega imaga baku,4 cm. Di kabuate lai rata-rata curah huja elama bula Mei,64 cm dega imaga baku 0,66 cm elama 0 tahu terakhir. Carilah elag keercayaa 95% utuk eliih rata-rata eugguhya curah huja di kedua kabuate; agga bahwa egamata beraal dari oulai ormal dega variai yag berbeda.
T D µ D = ~ t S d Selag keercayaa utuk µ -µ =µ D utuk egamata aaga. Selag keercayaa (-)00% utuk µ D diberika oleh : d d d t µ D d t dega d da d meyataka rataa da imaga baku eliih aaga egukura da t meyataka ilai ditribui t dega dk : ν =- ehigga lua di ebelah kaaya.
Meakir Proori Peakir titik utuk roori dalam uatu ercobaa biomial diberika oleh P ˆ = X Jadi ˆ = aka diguaka ebagai takira titik utuk arameter Proori yag tak diketahui diharaka tidak aka terlalu dekat dega 0 atau, maka elag keercayaa utuk daat dicari dega ditribui amel Pˆ, yag ama aja dega ditribui.a. X Ditribui Pˆ hamir ormal dega X rataa µ = E Pˆ ˆ = E = [ ] P =
dega variai : P(-z Z z ) = - dega X P ) ( ) ( ˆ = = = P Z )].( [ ˆ = = ) ( ˆ ) ( ˆ z P z P P
Selag keercayaa utuk, 30 : ˆ ( ) ˆ z ˆ z ( ) : roori uke dalam amel acak berukura, da z meyataka ilai kurva ormal baku ehigga lua di ebelah kaaya. Cotoh : Pada uatu amel acak =500 keluarga yag memiliki eawat televii di kota Hamilto Kaada, ditemuka bahwa = 340 memiliki TV berwara. Carilah elag keercayaa 95% utuk roori eugguhya dari keluarga yag memiliki TV berwara di kota tb?
ˆ Jika diakai ebagai takira, maka galatya aka lebih kecil dari : ( ) z dega keercayaa (-)00%. Akibatya galat aka lebih kecil dari g jika z ˆ( ˆ ) = g
Meakir Seliih Dua Proori Selag keercayaa utuk - ; da 30. Selag keercayaa (-)00% utuk eliih dua arameter biomial - diberika ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ q q z q q z
Cotoh : Suatu erubaha dalam cara embuata uku cadag edag direcaaka. Samel diambil dari cara lama mauu yag baru utuk melihat aakah cara baru tb memberi erbaika. Bila 75 dari 500 uku cadag yag beraal dari cara lama teryata cacat da 80 dari 000 yag beraal dari cara baru teryata cacat, carilah elag keercayaa 90% utuk eliih eugguhya roori yag cacat dalam kedua cara.
Meakir Variai Takira elag utuk daat dituruka dega tatitik Selag keercayaa (-)00% utuk uatu oulai ormal ( ) = ~ S X χ ( ) χ χ = X P ) ( ) ( χ χ
Cotoh : Data berikut meyataka berat dalam gram dari 0 bugku bibit ejei taama yag diaarka oleh uatu eruahaa : 46,4;46,;45,8;47,0;46,;45,9; 45,8;46,9;45, da 46,0. Tetuka elag keercayaa 95% utuk varia emua bugkua bibit yag diaarka eruahaa terebut.
Meakir Nibah Dua Variai Bila da variai dua oulai ormal, maka takira elag utuk daat dieroleh dega memakai tatitik : S F = S Peubah acak F memuyai ditribui F dega dk : ν = - da ν = -. Jadi P [ f ν, ν ) F ( ν, ν )] = ( f
Selag keercayaa (-)00% utuk dega ν = - ν = -. Cotoh : Suatu ujia mauk yag telah dibakuka dalam matematika diberika keada 5 iwa ria da 6 waita. Siwa ria medaat ilai rata-rata 8 dega imaga baku 8, ), ( ), ( ν ν ν ν f f
emetara waita medaat ilai rata-rata 78 dega imaga baku 7. Hitug elag keercayaa 98% utuk da bila da maig-maig meyataka varia oulai ilai ria da waita yag telahaka megikuti ujia. Pegujia Hiotei