Pecahan Parsial (Partial Fractions)

oki neswan (fmipa-itb) Pecahan Parsial (Partial Fractions) Diberikan fungsi rasional f (x) p(x) q(x) f (x) r(x) : Jika deg p deg q; maka r (x) ^p (x) q(x) ; dengan deg r < deg q: p (x) q (x) r (x) ^p (x) q (x) : Integral pertama mudah ditangani. selanjutna pada masalah integral fungsi rasional p (x) f (x) q (x) ; diasumsikan deg p < deg q: Kita akan membicarakan integral dalam hal setiap faktor q (x) adalah polinom dengan derajat paling tinggi, aitu linear atau kuadratik. (Ingat faktor x adalah faktor linear berulang a kali). Dekomposisi Pecahan Parsial. Fungsi rasional x (x)(x) ditulis sebagai x (x ) (x ) x x (x ) Ruas kanan disebut dekomposisi pecahan parsial dari ruas kiri. Misalkan p(x) q(x) sebuah fungsi rasional dan q (x) (x a) m x bx c n : Diasumsikan x bx c tak tereksi (tak bisa difaktorkan).. Dekomposisi pecahan parsial dari p (x) adalah ruas kanan dari identitas. p (x) (x a) m (x bx c) n A x A x A m x m B x C x bx c B x C (x bx c) B nx C n (x bx c) n : () Dengan dekomposisi pecahan parsial, maka masalah integral R p q diubah menjadi jumlah beberapa integral ang lebih mudah ditangani. Karena x bx c tak mempunai akar (b 4c < 0) maka bentuk kuadrat sempurnana adalah u d ; x bx c x b r c b 4! x b u d ; dengan u x b p 4c b dan d : Contoh Tentukan dekomposisi pecahan parsial dari x x x x : p 4c b Penebut x x x dapat difaktorkan sebagai berikut. x x x x (x ) (x ). Jadi, ada tiga faktor linear ang tak berulang (m ). Setelah menamakan penebut, diperoleh x x x x A x B x C x : x x x x A x B x C A (x ) (x ) Bx (x ) Cx (x ) x x (x ) (x ) (A B C) x (C B A) x A : x (x ) (x )!

Kesamaan pembilang memberikan x (A B C) x (C B A) x A () Ada a cara menentukan koe sien-koe sien A; B; dan C: Cara Hubungan () berlaku untuk tiap x: untuk x 0; 0 A () ( ) B (0) C (0) A ang memberikan A : Dengan cara serupa, untuk x dan x ; A (0) B ( ) ( ) C (0) B; jadi B : Cara Cara lain menentukan A; B; dan C : A (0) B (0) C () ( ) 6C; jadi C 6 x A (x ) (x ) Bx (x ) Cx (x ) (A B C) x ( A B C) x A Kesamaan koe sien pada kea ruas memberikan A B C 0 A B C A Kemudian selesaikan sistem persamaan linear ini untuk memperoleh A; B; dan C: Peroleh Dengan demikian, A ; B ; C 6 : x x x x x Contoh Tentukan dekomposisi pecahan parsial dari x : (x ) 6 x : Karena ( ) 0; maka adalah akar dari x atau (x ) adalah salah satu faktor dari x : Dengan metoda bagi panjang dapat diperoleh bahwa x (x ) x x : Faktor x x tak tereksi karena diskriminanna, D ( ) 4 () () < 0:, terdapat A dan B sehingga x A x Bx C x x A x x (Bx C) (x ) (x ) (x x ) Karena itu pembilang harus sama, aitu Kesamaan ini memberikan (A B) x (B A C) x (A C) (x ) (x x ) (A B) x (B A C) x (A C) : A B 0 A B C 0 A C Penelesaianna adalah A ; B ; C : Jadi, x x x x x :

Contoh Tentukan dekomposisi pecahan parsial dari x x(x 4x) : Dekomposisi pecahan parsial dari x x(x 4x) adalah jumlahan berbentuk A x BxC x 4x BxC (x 4x) : x x (x 4x ) A x B x C x 4x B x C (x 4x ) : Untuk menentukan semua konstanta, x x (x 4x ) A x 4x (B x C ) (x) x 4x (B x C ) x x (x 4x ) (A B ) x 4 (C 4B 8A) x (6A B B 4C ) x (C 40A C ) x A x (x 4x ) Dengan menamakan koe sien pada kea ruas, diperoleh, A B 0 8A 4B C 0 6A B B 4C 0 40A C C A diperoleh Jadi, A ; B A ; C 8A 4B 8 ; 8 C 40A C 40 8 B 6A B 4C 6 4 x x (x 4x ) x x 8 x 4x x (x 4x ) x x 8 x 4x x (x 4x ) Integral Pecahan Parsial Dari dekomposisi pecahan parsial fungsi rasional (), kita ketahui bahwa bentuk-bentuk integral ang mungkin muncul adalah x a ; (x a) n ; Bila disederhanakan lebih lanjut, x a ; x (x a) n ; x px q ; (ax b) x px q ; x px q ; (ax b) (x px q) n x (x px q) n ; (x px q) n : Untuk intengral dengan penebut memuat bentuk kuadratik, lakukan lengkapan kuadratik: x px q x p p q x p p! 4q p u c ; c > 0; n > :

, setelah substitusi, bentuk integral ang terlibat adalah x a ; u (x a) n ; u c ; u c ; u (u c ) n ; (u c ) n : ln jx aj C; (substitusi v x a). x a (x a) n n C; (substitusi v x a). (n ) (x a) u u c ln u c C; (substitusi v u c ) u (u c ) n (n ) (u c ) n C; (substitusi v u c ) u c c tan u c C Sedangkan untuk ang terakhir, gunakan substitusi u c tan t; c sec tdt; c sec t dt (u a ) n (c sec t) n dt c n sec n t c n cos n t dt; (n > ) Integral terakhir adalah integral trigonometri. Diselesaikan dengan substitusi sut ganda: cos t cos t: Contoh Hitunglah R x x x x : Karena x x x x x x x x x x x Contoh Hitunglah R x ln jxj jx j 6 jx j (x) 6 x (x ) 6 x (x ) ln jxj 6 x (x) (x ) 6 C ln (x ) C ; maka ln jx j x : Sebelumna diketahui x x ( )x x x : ( x engkapan kuadrat dari x x adalah x x x x x ) x x ln jx j p u u c ln u c ln x ln x x x x ln jx j 6 C x x : Misalkan u x dan c p : u u c u c c tan u C c x p tan x C p x p tan x p C dan x x u c c tan u c p tan x p C : 4

x ln jx j ln x ln jx j 6 ln x x x p tan x p p x tan p C p tan x p C x x Contoh Hitunglah : Sebelumna telah diketahui bahwa x(x 4x) x : (x 4x) (x ) x (x 4x ) x (x 8) x 4x x(x 4x) x x 8 x 4x (x ) (x 4x ) engkapan kuadrat dari x 4x adalah (x ) () : Misalkan u x dan c : (x 8) ( (u ) 8) (u 4) u x 4x u u u 4 u ln u 6 tan u ln x 4x 4 tan (x ) C : dan (x ) ( (u ) ) (x 4x ) (u ) d u (u ) (u ) (u ) (u ) u u (u ) d tan t tan t (u ) Integral kea, dengan u tan t; adalah d tan t sec tan t tdt cos t sec 4 cos tdt dt t 4 sin t t sin t cos t t u p p u u tan (x ) u u tan (x ) x x 4x tan (x ) (x ) (x 4x ) x 4x x x 4x tan (x ) x 4 x 4x tan (x ) C Dengan demikian, (x ) x (x 4x ) ln jxj ln x 4x 4 tan (x ) C x 4 x 4x tan (x ) C dengan C C C : Contoh R (x ln jxj ln x ) ) : Integrand (x x (x ) 4x 0 tan (x ) 0 x (x ) didekomposisi menjadi jumlah pecahan parsial x x (x ) A x A x B x B (x ) B (x ) : x 4 x 4x C

x A x (x ) A (x ) B x (x ) B x (x ) B x (A B ) x 4 (A 6A 4B B ) x (A 6A 4B B B ) x (A 8A ) x 8A ang memberikan sistem persamaan linear 0 A B A 6A 4B B 0 A 6A 4B B B 0 A 8A 8A Persamaan terakhir memberikan A 8 : Gunakan persamaan ke-4 untuk memperoleh A A Persamaan pertama memberikan B A 6 : Selanjutna persamaan ke- memberikan persamaan ke- memberikan B A 6A 4B 4 8 64 6 : Jadi, B A 6A 4B B 6 4 6 8 6 7 4 4 x x (x ) 6x 8x 6 (x ) 4 (x ) 7 4 (x ) x x (x ) 6 x 8 x 6 x 4 (x ) 7 4 6 ln jxj 8 x 6 ln jx j 7 4 x 4 6 ln x x x 7x 4 8x (x ) C (x ) (x )! C Persamaan Diferensial ogistik Jika (t) menatakan populasi pada saat, Salah satu model ang menggambarkan populasi (t) dimana lingkungan mempunai daa kung (carring capacit) adalah 0 k ( ) ; k > 0: Konsep daa kung mengharuskan populasi turun jika > dan akan naik jika < : Kea sarat ini dipenuhi oleh persamaan diferensial di atas. Persamaan diferensial di atas memberikan d ( ) kdt d ( ) kdt kt C: Integral pada ruas kiri merupakan integral fungsi rasional ( ) : d ( ) d ln j j ln ln ( d ) : Dekomposisi pecahan parsialna adalah d ( ln j j ln jj) 6

ln kt C ekt e C Ae kt ; Untuk memperoleh ungkapan eksplisit dari ; dan perhatikan bahwa Aekt dengan A e C ( ) Ae kt Ae kt Ae kt Ae kt Ae kt : (t) Ae kt lim (t) t! Contoh Misalkan diketahui 0 0 4 (000 ) : k 0 4 dan 000: Jika (0) 800; maka 800 000 A : Selesaikan untuk memperoleh A. Jadi, (t) 000 e 0:6t Fungsi (t) adalah solusi persamaan diferensial logistik untuk nilai awal (0) 800: Jika (0) 00; maka 00 000 A : Selesaikan untuk memperoleh A. Jadi, (t) 000 e 0:6t 7