LIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari

Transkripsi

1 LIMIT DAN KONTINUITAS Arum Handini Primandari

2 Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dapat ditulis: lim f( x) x a L Jika untuk setiap bilangan ε>0 terdapat δ>0 sedemikian sehingga f(x)-l <ε bila x-a <δ

3 Limit kanan: Mengatakan bahwa: lim f x = L berarti bahwa bilamana x x c + dekat dekat dari kanan c, maka f(x) dekat dengan L. Limit kiri: Mengatakan bahwa: lim f x = L berarti bahwa bilamana x x c dekat dekat dari kiri c, maka f(x) dekat dengan L. Teorema A: lim x c f(x) = L lim x c f(x) = L dan lim +f(x) = L Suatu fungsi dikatakan memiliki limit jika dan hanya jika nilai dari limit kanan sama dengan nilai dari limit kiri. x c

4 Tentukan nilai dari lim x3 8 x 2 x 2 Penyelesaian: x f(x) tak terdefinisi Limit dari kiri Limit dari kanan x lim 3 8 x 2 x 2 = 12 dan lim x 2 + x3 8 x 2 = 12 Oleh karena limit kanan dan kirinya sama, maka fungsi tersebut memiliki limit.

5 Diberikan f x = x x Fungsi f(x) memiliki dua nilai yaitu: 1, x < 0 f x = ቊ 1, x > 0 Tentukan lim x 0 f(x) Penyelesaian: lim x 0 f x = 1, tetapi lim f x = 1 + x 0 Sehingga dikatakan f(x) tidak memiliki limit ketika x mendekati 0

6

7 Untuk sebarang konstanta k, maka: 1. lim x c k = k Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri 2. lim x c x = c Limit dari f x = x ketika x mendekati c adalah c

8 Jika p(x) dan q(x) adalah polinomial, maka: lim x c p(x) = p(c) p x lim x c q x p c = q c, untuk q(c) 0 Contoh: 1. lim x 1 2. lim x2 1 x 2 3x+2 Penyelesaian: x 2 1 lim x 1 x 2 3x + 2 = lim x 1 x 1 x 1 x 1 Penyelesaian: x 1 lim x 1 x 1 = lim x 1 (x 1)(x + 1) (x 1)(x 2) = lim x + 1 x 1 x 2 = 2 ( x 1)( x + 1) (x 1)( x + 1) = lim x 1 x 1 (x 1)( x + 1) = lim x 1 1 x + 1 = 1 2

9 x 1. lim x2 1 x 0 x 2 2. lim x 2 x 2 x 6 x 2 +3x+2 3. lim x 4 x 2 x 4

10 Jika nilai dari fungsi f(x) mendekati suatu bilangan L ketika x naik tanpa suatu batasan, maka dapat dituliskan: 1. lim f(x) = L, sama halnya dengan x + 2. lim f(x) = M x Reciprocal Power Rules (Aturan Pangkat Berbanding Terbalik) Jika A dan k adalah konstanta dengan k > 0 dan x k berlaku untuk semua x, maka: lim x + lim x A = 0 x k A = 0 x k

11 Menyelesaikan limit mendekati tak hingga dimana f x = q x 1. Bagilah baik pembilang maupun penyebut dengan pangkat tertinggi dari x k yang muncul pada penyebut polinomial q(x) 2. Hitung lim x f(x) menggunakan sifat aljabar limit dan reciprocal power rules p x

12 2x Tentukan nilai lim 2 +3x+1 x + 3x 2 5x+2 Penyelesaian: Pangkat tertinggi dari penyebut adalah x 2, maka bagi pembilang dan penyebut dengan x 2 untuk mendapatkan: lim x + 2x 2 + 3x + 1 3x 2 5x + 2 = lim x x + 1 x x + 2 x 2 = = 2 3

13 Suatu limit lim x c f(x) disebut limit tak hingga jika f(x) naik atau turun tanpa adanya batas x c, dapat ditulis: lim x c f(x) = + Jika f(x) naik tanpa batasan seperti x c lim x c f(x) = Jika f(x) turun tanpa batasan seperti x c

14 x Tentukan lim 3 +2x+1 x + x 3 Penyelesaian: Pangkat tertinggi dari penyebut adalah x, sehingga baik pembilang maupun penyebut dibagi oleh x, x + 2x x + 1 x x 3 + 2x + 1 lim x + x 3 x3 = lim x + x x 3 x x = lim x x x =

15 1. lim x 1 3x3 2x 3 6x+2 2. lim x x2 +x 5 1 2x x 3 3. lim x x 2 7x 5 x 4 3x 7

16 4. Diketahui fungsi f x = ቐ 1 x2, x < 1 1, x > 1 x 1 Tentukan: a. lim x 1 f(x) b. lim x 1.5 f(x)

17 5. PENDAPATAN PER KAPITA: Suatu studi mengindikasikan bahwa t tahun dari sekarang, populasi dari negara tertentu akan menjadi p = 0.2t ribu orang. Sedemikian sehingga pendapatan kotor negara dalam E juta dollar, akan menjadi: E t = 9t t a) Ekspresikan pendapatan per kapita dari negara tersebut P = E/p sebagai suatu fungsi terhadap waktu t. b) Apa yang terjadi pada pendapatan per kapita dalam jangka waktu sangat panjang? (t )

18 6. KONSENTRASI OBAT: Konsentrasi obat di aliran darah seorang pasien setelah t jam dari suntikan adalah C(t) milligram per millimeter: C t = 0.4 t a) Berapakah konsentrasi obat tepat setelah suntikan? (t = 0) b) Berapa banyak konsentrasi berubah selama jam ke-5? Apakah naik atau turun selama periode waktu tersebut? c) Berapa banyak residual obat, dimana konsentrasi obat tersisa dalam jangka waktu sangat lama? (t )

19 7.

20 KONTINUITAS

21 Suatu fungsi f kontinu di c jika tiga dari kondisi berikut terpenuhi: 1. f(c) terdefinisi 2. lim x c f x ada 3. lim x c f x = f(c) Jika f(x) tidak kontinu di c, maka dikatakan f(x) memiliki diskontinuitas di c.

22 Tunjukkan bahwa f x = x+1 x 2 kontinu di x = 3

23 Periksa kontinuitas dari: a) f x = 1 x b) f x = x2 1 x+1 x + 1, x < 1 c) f x = ቊ 2 x, x 1

24 Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di titik yang diberikan: 1. f x = 2x 4, di x = 2 3x 2 2. f x = x 2, di x = 4 x 4 3. f x = ቊ x2 + 1, x 3 di x = 3 2x + 4, x > 3

25 4. CUACA Misalkan tempereatur udara pada hari tertentu adalah 30. Kemudian, temperature yang diakibatkan oleh angin (dalam ) dengan kecepatan v mph, diberikan dengan rumus berikut: 30 unk 0 v 4 W v = ቐ1.25v v unk 4 < v < 45 7 unk v 45 a. Berapakah temperature yang diakibatkan angin dengan v = 20 mph? Ketika v = 50 mph? b. Berapakah kecepatan yang dihasilkan oleh angin dengan temperature 0? c. Apakah fungsi W(v) kontinu di v = 4? Bagaimana dengan v = 45?

26 5.

27 6. Tentukan nilai limit a) lim x 3 + x+1 2 x 3 b) lim f(x) dan lim f(x) x 1 x 1 +, x < 1 Dimana f x = ቐ x 1 x 2 + 2x, x 1 1

28 LIMIT TRIGONOMETRI

29 1. lim x c sin x = sin c dan lim x c cos x = cos c sin x 2. lim x 0 x sin ax 3. lim x 0 ax 1 cos x = 1 dan lim x 0 x 1 cos ax = 1 dan lim x 0 ax = 0 = 0 untuk a 0

30 sin 2 x + cos 2 x = 1 sin x cos x = tan x tan 2 x + 1 = sec 2 x Aturan kuadran sin 1 π θ = cos θ 2 sin θ = sin θ cos θ = cos θ

31 1. lim x 0 4x cot 3x 2. lim x2 2x x 0 sin 3x 3. lim x 0 4. lim x π 2 1 sec2 2x cos x x 1 2 π sinx 5. lim x π x 4 x 2