MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 23 April 2014
Kuliah ang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang 13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar 13.5 Penggunaan Integral Lipat Dua 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari Ini 15.11 Persamaan Diferensial Linear Orde 2, Homogen 15.2 Persamaan Diferensial Linear Orde 2, Tak Homogen 15.3 Penggunaan Persamaan Diferensiali Orde 2 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 3
MA1201 MATEMATIKA 2A 15.1 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE 2, HOMOGEN Menentukan solusi umum dan solusi ikhusus persamaan diferensial linear orde 2 homogen 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Persamaan Diferensial Orde 2 Banak masalah dalam fisika ang dapat dirumuskan sebagai persamaan diferensial orde 2, misalna gerak harmonik sederhana ang terjadi pada pegas bergetar/berosilasi. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Bentuk Umum Persamaan Diferensial Biasa Orde n Misal = (x) () adalah dlhsuatu fungsi ang tidak diketahui rumusna, namun memenuhi suatu persamaan F( x,, (1),..., ( n) dengan (k) menatakan turunan ke k dari, dengan k = 1,, n. Persamaan ini disebut persamaan diferensial biasa (PDB) orde n. ) 0, 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 6
Contoh & Solusi (Umum) PDB 1. 2 cos x = 0 merupakan PDB orde 1. 2. + 3x 2 = 0 merupakan PDB orde 2. 3. + ( ) 2 + e x = 0 merupakan PDB orde 3. Fungsi = f(x) disebut solusi suatu PDB apabila PDB tsb menjadi kesamaan ketika dan turunanturunanna disubstitusikan ke dalam PDB tsb. Sebagai contoh, = 2 sin x + 5 merupakan suatu solusi (khusus) PDB orde 1 di atas. Solusi umum PDB orde 1 di atas adlh = 2 sin x + C, dengan C konstanta sembarang. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 7
PDB Linear Orde n PDB ang berbentuk ( n) a 1 ( x) ( n1)... a n1 ( x) (1) a n ( x) k( x) disebut PDB linear orde n. Perhatikan bahwa dan turunan turunannaturunanna memiliki pangkat 1 semuana. Karena itu, PDB orde 3 pada slide sebelumna bl bukan PDB linear, karena mengandung ( ) 2. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 8
PDB Linear Orde 2, dengan Koefisien Konstanta PDB linear orde2 berbentuk ' ' a ( x) ' a ( x) k( x). 1 2 Pada kesempatan ini, kita hana akan membahas PDB linear orde 2 dengan koefisien konstanta, ang berbentuk: ' ' a ' a k ( x ). 1 2 Jika k(x) = 0, maka PDB tsb disebut PDB homogen. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 9
Solusi Umum PDB Linear Orde 2, dengan Koefisien Konstanta Jika u 1 (x) dan u 2 (x) merupakan dua solusi PDB linear orde 2 homogen ' ' a ' a 1 2 ang saling bebas, maka solusi umum PDB tsb adalah 0 C u ( x) C u ( x), 1 1 2 2 dgn C 1 dan C 2 menatakan konstanta sembarang. [Verifikasinadipapan pp tulis!] 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 10
Persamaan Karakteristik Untuk mencari solusi PDB linear orde 2 homogen ' ' a ' a 1 2 [*] kita misalkan = e rx (mengapa?). Mk Maka, kita peroleh rx e 0, ( r 2 a r a2) e 1 Karena e rx 0, maka mestilah r 2 a r 1 a Persamaaninidisebut esa aa dsebutpersamaankarakteristik aa aa st untuk PDB di atas. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 11 2 0. 0.
Teorema A (Akar Real Berbeda) Jika persamaan karakteristik mempunai dua akar real berbeda, r 1 dan r 2, maka solusi umum PDB [*] ]adalah C e 1 C e 2, 1 2 dengan C 1 dan C 2 konstanta sembarang. r x r x 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 12
Contoh 1 Tentukan solusi umum PDB orde 2 ' ' 5' 6 Jawab: Persamaan karakteristik PDB ini adalah r 2 5 r 6 Persamaan ini mempunai akar r 1 = 2 dan r 2 = 3. Jadi solusi umum PDB di atas adalah C e 1 2x C e 2 0. 0. 3x. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 13
Contoh 1 (lanjutan) Jika diketahui informasi tambahan, misal sarat awal (0) = 0 dan (0) = 1, maka kita peroleh C 1 + C 2 = 0 2C 1 + 3C 2 = 1. (Persamaan kedua diperoleh dari = 2C 1 e 2x + 3C 2 e 3x.) Dari kedua persamaan tsb, kita dapatkan C 1 = 1 dan C 2 = 1. Jadi kita peroleh solusi khusus ang memenuhi sarat awal di atas, aitu = e 2x + e 3x. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 14
Teorema B (Akar Real Kembar) Jika persamaan karakteristik mempunai dua akar real kembar, r 1 = r 2, maka solusi umum PDB [*] []adalah C e 1 dengan C 1 dan C 2 konstanta sembarang. r 1 x C 2 xe r 1 x, 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Contoh 2 Tentukan solusi khusus PDB orde 2 ' ' 4' 4 g memenuhi sarat batas (0) = 0 dan (1) = e 2. Jawab: Persamaan karakteristik PDB ini adalah r 2 4r Persamaan ini mempunai akar kembar r 1,2 = 2. Jadi solusi umum PDB di atas adalah C e 1 2x 4 C 2 0, 0. xe 2x. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 16
Contoh 2 (lanjutan) Substitusikan kedua sarat batas, kita peroleh C 1 = 0 C 1 e 2 + C 2 e 2 = e 2. Jadi C 1 = 0 dan C 2 = 1, sehingga solusi khusus ang kita cari adalah = xe 2x. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 17
Teorema C (Akar Kompleks) Jika persamaan karakteristik mempunai dua akar kompleks sekawan, r 1,2 = a ± bi, maka solusi umum PDB [*] ]adalah e ax ( 2 C1 cosbx C sin bx), dengan C 1 dan C 2 konstanta sembarang. Catatan: Di sini i = 1 menatakan bilangan imajiner ang memenuhi i 2 = 1. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Contoh 3 Tentukan solusi umum PDB orde 2 ' ' 4' 5 Jawab: Persamaan karakteristik PDB ini adalah r 2 4 r 5 0. 0. Persamaan ini mempunai akar kompleks r 1,2 = 2 ± i. Jadi solusi umum PDB di atas adalah e 2x ( C cosx C 1 2 sinx). 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 19
Soal Dengan cara serupa, kita dapat menelesaikan PDB linear orde n ang homogen. 1. Tentukan solusi umum PDB orde 3 ' '' '' 20 ' 0. 2. Tentukan solusi umum PDB orde 4 (4) 0. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 20
MA1201 MATEMATIKA 2A 15.2 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE 2, TAK HOMOGEN Menentukansolusi khusus dan solusi umum persamaan diferensial linear orde 2 tak homogen 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 21
PDB Linear Orde 2, Tak Homogen PDB linear orde 2 tak homogen, dengan koefisien konstanta, secaraumum berbentuk ' ' a ' a 2 a a k x 1 k ( x ), dengan k(x) 0. Jika p adalah solusi khusus persamaan tak homogen di atas dan h adalah dlh solusi umum pers. homogen ' a ' a 0, ' 1 2 maka solusi umum persamaan tak homogen di atas adalah: = h + p. p Bagaimana mendapatkan p? 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 22
Metode Koefisien Tak Tentu Kita dapat memperoleh solusi khusus p dengan cara coba coba, dengan prinsip: 1. Jika k(x) polinom, maka p juga polinom. 2. Jika k(x) = a.e cx, maka p = Ae cx. 3. Jika k(x) = a.cos acosrx + b.sin bsinrx, maka p = A.cos rx + B.sin rx. Catatan. Bilangan A dan B merupakan koefisien ang harus dicari. Karena itu metode ini dikenal sebagai Metode Koefisien Tak Tentu. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 23
Contoh/Latihan 1 Tentukan solusi umum dari ' ' 5 ' 6 x. Jawab: Solusi persamaan homogenna adalah h = C 1 e 2x + C 2 e 3x. Untuk mencari solusi khusus, misalkan p = Ax + B (mengapa?). Maka p = A dan p = 0. Substitusikan ke PDB di atas: 5A + 6(Ax + B) = x. Jadi 6A = 1 dan 5A + 6B = 0, sehingga A = 1/6 dan B = 5/36. Jadi solusi umum PDB di atas adl = C 1 e 2x + C 2 e 3x + x/6 + 5/36. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 24
Contoh/Latihan 2 Tentukan solusi umum dari '' 4 ' 4 4 e Jawab: Solusi persamaan homogenna adalah h = C 1 e 2x + C 2 xe 2x. Untuk mencari solusi khusus, misalkan p = x. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 25
Contoh/Latihan 3 Tentukan solusi umum dari '' 5 ' 6 5 e Jawab: Solusi persamaan homogenna adalah h = C 1 e 2x + C 2 e 3x. Untuk mencari solusi khusus, misalkan p = 2x. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 26
Soal Tentukan solusi umum/khusus dari 1. 2. 3. ' ' 4' x; ( 0) 0, '(0) 1. ' ' 4 ' 5 sin x. 2x '' 4' 4 e. 2x '' 4' 4 e 1 4.. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 27