STANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah

Transkripsi

1

2 STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah KOMPETENSI DASAR Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah

3 INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar serta jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan suku banyak.

4 Teorema Faktor Jika f(x) adalah suku banyak, Maka (x k) merupakan faktor dari P(x); jika dan hanya jika P(k) = 0

5 Artinya: 1. Jika (x k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0, 2. jika P(k) = 0 maka (x k) merupakan faktor

6 Contoh 1: Tunjukan (x + 1) faktor dari x 3 + 4x 2 + 2x 1 Jawab: (x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0 P(-1) = (-1) 3 + 4(-1) 2 + 2(-1) 1 = = 0 Jadi, (x + 1) adalah faktornya.

7 Cara lain untuk menunjukan (x + 1) adalah faktor dari x 3 + 4x 2 + 2x 1 adalah dengan pembagian horner: koefisien artinya dikali (-1) 1 + Suku banyak 0 P(-1) = 0 berarti (x + 1) faktornya

8 Contoh 2: Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x 3 x 2 7x + 6 Jawab: Misalkan faktornya (x k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu

9 pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh: P(1) = = = 0

10 Oleh karena P(1) = 0, maka (x 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x 3 x 2-7x + 6 Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x 1) dengan pembagian horner:

11 Koefisien sukubanyak P(x) = 2x 3 x 2 7x + 6 adalah k = Koefisien hasil bagi -6 0 Hasil baginya: H(x) = 2x 2 + x - 6 +

12 Karena hasil baginya adalah H(x) = 2x 2 + x 6 = (2x 3)(x + 2) dengan demikian 2x 3 x 7x + 6 = (x 1)(2x 2 + x 6) 2x 3 x 7x + 6 = (x 1)(2x 3)(x + 2) Jadi faktor-faktornya adalah (x 1), (2x 3 ) dan (x + 2)

13 Contoh 3: Diketahui (x 2) adalah faktor P(x) = 2x 3 + x 2 + ax - 6. Salah satu faktor yang lainnya adalah. a. x + 3 b. x 3 c. x 1 d. 2x 3 e. 2x + 3

14 Jawab: Kita tentukan terlebih dahulu koefisien x 2 yaitu a =? Jika (x 2) faktornya P(x) maka P(2) = a - 6 = a - 6 = 0 2a + 14 = 0 2a = -14 a = -7

15 P(x) = 2x 3 + x 2-7x - 6 berarti koefisien P(x) adalah k = Koefisien hasil bagi Hasil baginya: H(x) = 2x 2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1) Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3 +

16 Contoh 4: Sukubanyak f(x) = x 3 - ax 2 + bx 2 mempunyai faktor (x 1). Jika dibagi oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai a + b adalah. a. 5 b. 6 c. 7 d.8 e.9

17 Jawab: Sukubanyak f(x) = x 3 - ax 2 + bx 2 (x 1) faktor f(x) f(1) = 0 1 a + b 2 = 0 -a + b = 1.(1) dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36 (-2) 3 a(-2) 2 + b(-2) 2 = -36

18 (-2) 3 a(-2) 2 + b(-2) 2 = a 2b 2 = -36-4a 2b = a 2b = -26 2a + b = 13.(2)

19 Persamaan (1): -a + b = 1 Persamaan (2): 2a + b = 13-3a = -12 a = 4 b = = 5 Jadi nilai a + b = = 9

20 Akar-akar persamaan Suku banyak Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan sukubanyak, karena ada hubungan antara faktor dengan akar-akar persamaan sukubanyak

21 Jika P(x) adalah sukubanyak; (x k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0 k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak: P(x) = 0

22 Teorema Akar-akar Rasional Jika P(x) =a n x n + a n-1 x n a 1 x + a o dan (x k) merupakan faktor dari P(x) maka k faktor faktor bulat dari bulat dari a a 0 n

23 Contoh 1: Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x 3 7x + 6. Kemudian tentukan akar-akar yang lain. Jawab: Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan bahwa P(-3) = 0

24 P(x) = x 3 7x + 6. P(-3) = (-3) 3 7(-3) + 6 = = 0 Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar dari Persamaan P(x) = x3 7x + 6 = 0 Untuk menentukan akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi P(x) = x 3 7x + 6 dengan x + 3 dengan pembagian Horner sebagai berikut

25 P(x) = x 3 7x + 6 berarti koefisien P(x) adalah k = Koefisien hasil bagi Hasil baginya: H(x) = x 2 3x + 2 =(x 1)(x 2) +

26 Hasil baginya: H(x) = x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) sehingga persamaan suku banyak tsb dapat ditulis menjadi: (x + 3)(x 1)(x 2) = 0. Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2

27 Contoh 2: Banyaknya akar-akar rasional dari persamaan x 4 3x = 0 adalah. a. 4 b. 3 c. 2 d.1 e.o

28 Jawab: Karena persamaan suku banyak berderajat 4, maka akar-akar rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2 Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akarakar rasional persamaan sukubanyak tsb, kita coba nilai 1 Koefisien x 4 3x = 0 adalah 1, 0, -3, 0, dan 6

29 k = Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya, Selanjutnya kita coba -1. Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2

30 k = Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya, Sehingga: (x 1)(x + 1)(x 2 2) = 0

31 (x 1)(x + 1)(x 2 2) = 0 (x 2 2) difaktorkan lagi menjadi (x - 2)(x + 2) = 0 Berarti akar yang lain: 2 dan - 2, tapi bukan bilangan rasional. Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.

32 Jumlah & Hasil Kali Akar-akar Persamaan Suku banyak Jika akar-akar Persamaan Suku banyak: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 adalah x 1, x 2, dan x 3 maka x 1 + x 2 + x 3 = x 1.x 2 + x 1.x 3 + x 2.x 3 = x 1.x 2.x 3 = d a b a c a

33 Contoh 1: Jumlah akar-akar persamaan x 3 3x = 0 adalah. Jawab: a = 1, b = -3, c = 0, d = 2 x 1 + x 2 + x 3 = a - 3 = = 3 b 1

34 Contoh 2: Hasilkali akar-akar persamaan 2x 3 x 2 + 5x 8 = 0 adalah. Jawab: a = 2, b = -1, c = 5, d = -8 x 1.x 2.x 3 = = d a

35 Contoh 3: Salah satu akar persamaan x 3 + px 2 3x 10 = 0 adalah -2. Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah. Jawab: -2 adalah akar persamaan x 3 + px 2 3x - 10 = 0-2 memenuhi persamaan. Sehingga: (-2) 3 + p(-2) 2 3(-2) 10 = p = 0

36 -8 + 4p = 0 4p 12 = 0 4p = 12 p = 3 Persamaan tersebut: x 3 + 3x 2 3x 10 = 0 Jumlah akar-akarnya: x 1 + x 2 + x 3 = b a 3 1 3

37 Contoh 4: Akar-akar persamaan x 3 4x 2 + x 4 = 0 adalah x 1, x 2, dan x 3. Nilai x x x 2 3 =. Jawab: x x x 2 3 = (x 1 + x 2 + x 3 ) 2 2(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) x 3 4x 2 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = -(-4)/1 = 4 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 1/1 = 1

38 x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 1 Jadi: x x x 2 3 = (x 1 + x 2 + x 3 ) 2 2(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = = 16 2 = 14

39 Referensi 1001 Soal Matematika, Erlangga PSB-SMA Matematika, Matematika Dasar, Wilson Simangunsong