LAMPIRAN I Alfabet Yunani Alha Α Nu Ν Beta Β Xi Ξ Gamma Γ Omicron Ο Delta Δ Pi Π Esilon Ε Rho Ρ Zeta Ζ Sigma Σ Eta Η Tau Τ Theta Θ Usilon Υ Iota Ι hi Φ, Kaa Κ Chi Χ Lambda Λ Psi Ψ Mu Μ Omega Ω
LAMPIRAN II Metode Pemisahan Variabel untuk Persamaan Kalor Satu Dimensi Homogen dan Mensubsitusikan Solusinya ada Persamaan Kalor Non Homogen untuk Memeeroleh Q(x,t) Temeratur batang konduktor ada osisi x dan waktu t melalui ersamaan T (x,t) = X(x) (t), maka dieroleh : Maka 1 = 1 = 0 Catatan : X dan T harus dimisalkan dengan suatu konstanta angkat dua dengan tanda ( - ). Jadi dieroleh : 1. Untuk mencari nilai X 1 l = 1 + l = 0 + l = 0 Untuk mendaatkan hasil ersamaan karakteristik maka selalu emisahan dinyatakan dengan bentuk eksonensial. Misal : = ; = ; = Jadi, ersamaan karakteistik daat diubah menjadi : + l = 0 Maka :
m 2 e mx + e mx = 0 e mx di antara kedua suku dihilangkan, maka dieroleh : m 2 + l = 0 ersamaan karakteristik m 2 = - m 1,2 m 1,2 m 1,2 = = 1 = i m 1,2 = i Maka didaat nilai X yaitu : () = + Diketahui bahwa: = cos + = cos Maka enyelesaian dari X(x) daat ditulis: () = (cos + ) + (cos ) () = ( + )cos + ( ) () = ( )cos + ( ) Dengan: = + dan = ( ) Dengan menggunakan syarat batas a. Untuk T ( 0, t ) = 0 0 = D 3 cos 0 + D 4 sin0 0 = D 3 + 0 D 3 = 0 b. Untuk T ( L, t ) = 0 0 = D 3 cos L + D 4 sin L Agar solusi tidak trivial D 4 0, maka ersamaan di atas harus memenuhi Sin L = 0, di mana berarti L = n, dengan n = 1, 2, 3,...
= Hal ini juga berarti : = Maka solusi X yang tidak trivial adalah : () = 2. Untuk mencari nilai T 1 1 = 0 + a = 0 = ; = Maka me mt + a e mt = 0 m + a = 0 ersamaan karakteristik m = - a Maka didaat nilai T yaitu () = a dengan m = α Maka didaat nilai T yaitu () = Fungsi Kalor untuk satu dimensi : T(x,t) = X(x) T(t) T(, ) =
Misalkan D 4. B 1 = E, maka T(, ) = Misalkan : () = a Sehingga (, ) daat ditulis menjadi : T(, ) = () Persamaan di atas disubsitusikan ada ersamaan kalor non homogen T(, ) T(, ) = (, ) T = () T = T = () () Subsitusikan (*) dan (**) ke ersamaan kalor satu dimensi non homogen (, ) = () + () (, ) = () + () ( ) ( )
LAMPIRAN III Menentukan P n (t) dengan Menggunakan Metode Integrasi serta Melibatkan Deret Fourier Sinus dan Syarat Awal (, ) = Dari ersamaan (i) misalkan : () + () () = () + () Sehingga ersamaan (5) menjadi : (, ) = () () () ( ) Karena ada ersamaan (iii) meruakan deret Fourier sinus ada interval 0 x L, maka () = 2 (, ), ( ) = 2 (, ) Pada (ii) membentuk ersamaan diferensial linear orde satu, yang bentuk umumnya adalah + ()= () Dengan faktor integrasinya (), maka ersamaan di atas menjadi : () + () ()= () () Maka dengan faktor integrasi : () =
Kemudian kedua ruas dikalikan dengan faktor integrasi sehingga dieroleh : () + () = () a Pada ersamaan di atas meruakan turunan yang berbentuk : () + () = () Sehingga ersamaannya menjadi : ()= () ()= () ()= () () (0) = ( ) () (0) = ( ) () = (0) + ( ) () = (0) + ( ) Pada ersamaan di atas terdaat P n (0) yang belum diketahui, untuk itu digunakan syarat awal Maka T(, 0) = () = (0) = 2 () (, 0 ) = () (0) ( )
(0) = 2 ( ) Subsitusikan (**) ke (*), sehingga dieroleh () = 2 ( ) sin + ( ) ( ) ( )
LAMPIRAN IV Contoh Penyelesaian Persamaan Kalor Satu Dimensi Non Homogen Dengan Menggunakan Metode Fungsi Green T(, ) T(, ) = 3 0 < <, > 0 T(, 0) = () 0 Dari ersamaan di atas diketahui bahwa (, ) = 3 Misalkan solusi dari ersamaan kalor satu dimensi yang homogen adalah (, ) Maka fungsi v harus menjadi solusi dari masalah berikut (, ) (, ) = 0 0 < <, > 0 () (0, ) = (, ) = 0 0 (, 0) = () 0 Dengan menggunakan seerasi variabel dieroleh = dan () = sin, 1 Maka solusi v yang dinyatakan dalam deret fourier adalah (, ) = () Persamaan tersebut disubsitusikan ke ersamaan (a) (, ) (, ) = () + () sin = 3 Berarti: () + () 0 3, 1 = = 3 ()
Dari ersamaan (b) misalkan : () = () + ()() Sehingga dieroleh ersamaan (, ) = () a. Karena ada ersamaan di atas meruakan deret Fourier sinus ada interval 0 x L, maka () = 2 (, ) n = 3, maka, ( ) = 2 (, ) ( ) = 2 ( 3 ) ( ) = 2 ( 3 ) ( ) = 2 1 2 ( 1 6 ) ( ) = 1 6 6 ( ) = 1 6 6 0 ( ) = () b. Persamaan (c) daat didefinisikan dengan menggunakan faktor integrasi dan deret fourier, sehingga dieroleh: () = (0) + ( )
Jika n = 3, maka () = (0) + () = (0) + () = (0) + 1 ( 1) () = (0) + 1 8 () = (0) + 1 8 ( 1) () = (0) + 1 8 ( ) Saat t=0, maka Maka dieroleh Maka dieroleh () = (, 0) = (0) T(, 0) = (0) + = ( ) T(, ) = + 1 8 ( ) + (0)
LAMPIRAN V Contoh Penyelesaian Persamaan Kalor Satu Dimensi Non Homogen Dengan Menggunakan Seerasi Variabel T(, ) T(, ) = 3 0 < <, > 0 T(, 0) = () 0 Maka solusi dari (, )adalah T(, ) = (, ) + (, ) Karena karena kondisi di atas meruakan kondisi batas Dirichlet diambil untuk w fungsi (, ) = Maka fungsi v harus menjadi solusi dari masalah berikut (, ) (, ) = 3 0 < <, > 0 () (0, ) = (, ) = 0 0 (, 0) = () 0 Dengan menggunakan seerasi variabel dieroleh = dan () = sin, 1 Maka solusi v yang dinyatakan dalam deret fourier adalah (, ) = () Persamaan tersebut disubsitusikan ke ersamaan (a) (, ) (, ) = () + () sin = 3 Berarti: () + () 0 3, 1 = = 3
Saat t=0, maka Maka Jika n 3, maka () = (, 0) = (0) (0) = 2 () () = (0) Jika n = 3, maka solusi dari () adalah () = () Kemudian () + 9 () = () 9() + 9() = () = Maka () = Karenanya () = (0) + = (0) + 1 8 ( 1) () = (0) + 1 8 ( 1) Bila (0) = (0),maka Maka (, ) = () T(, ) = + 1 8 ( 1) + (0) = + 1 8 ( ) + (0)