Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II

Transkripsi

1 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs Hendra Gunawan Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA WIDE August 2010

2 Outline 1 Tiga Operator Integral Penting 2 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola

3 Materi ini disadur dari buku E.M. Stein (1970), Singular integrals and Differentiability Properties of Functions. Menurut Teorema Dasar Lebesgue (yang merupakan perumuman dari Teorema Dasar Kalkulus), kita mempunyai 1 lim f(y) dy = f(x) r 0 m(b(x, r)) B(x,r) hampir di mana-mana, asalkan f terintegralkan lokal pada R d. (Di sini, f adalah fungsi dari R d ke R.) Hasil ini mengatakan bahwa turunan dari integral f sama dengan f itu sendiri, hampir di mana-mana.

4 Teorema Dasar Lebesgue merupakan akibat dari keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood M HL, yang memetakan f ke 1 M HL f(x) := sup f(y) dy. r>0 m(b(x, r)) B(x,r) Dengan substitusi peubah, kita dapat menuliskan 1 M HL f(x) = sup f(x ry) dy. r>0 m(b(0, 1)) B(0,1) Perhatikan bahwa jika f merupakan fungsi yang terbatas (oleh bilangan K), maka M HL f juga terbatas (oleh bilangan K yang sama) Soal Latihan 1.

5 Berkenaan dengan operator maksimal M HL, kita mempunyai: Teorema. Untuk 1 < p, kita mempunyai M HL f p C p f p, yakni, M HL merupakan operator terbatas di L p (R d ). Catatan. Di sini L p (R d ) merupakan ruang norm dengan norm f p = ( R d f(x) p dx) 1/p. Operator T : L p (R d ) L p (R d ) dikatakan terbatas apabila terdapat konstanta C p sehingga T f p C p f p untuk tiap f L p (R d ).

6 Pada pembahasan transformasi Fourier di R, kita telah membahas identitas hampiran, yaitu keluarga fungsi φ r (x) = 1 r φ( ) x r, dengan φ 0 dan R φ(x) dx = 1. Konsep ini dapat diperluas ke Rd, dengan mengganti definisi φ r menjadi φ r (x) = 1 r d φ( x) r (dan menghapus asumsi φ 0). Selanjutnya, jika ψ(x) := sup φ(y) terintegralkan, maka y x untuk f L p (R d ), 1 p. sup (φ r f)(x) C M HL f(x) r>0

7 Lebih jauh, kita mempunyai φ r f f p 0, r 0, untuk f L p (R d ), 1 p <, dan lim (φ r f)(x) = f(x) r 0 hampir di mana-mana, untuk f L p (R d ), 1 p. Perhatikan bahwa Teorema Dasar Lebesgue merupakan kasus 1 khusus, dengan mengambil φ = m(b(0,1)) χ B(0,1). (M HL f = sup φ r f.) r>0

8 Ingat bahwa solusi Persamaan Panas u t = u xx pada R, dengan syarat awal u(x, 0) = f(x), mempunyai solusi u(x, t) = H t f(x) dengan H(x) = 1 4π e x2 /4 dan H t (x) = 1 t H ( ) t x (Kernel Panas). Pada R d, Persamaan Panas berbentuk u t = x u dengan x := 2 x x 2 d (operator Laplace). Solusinya adalah u(x, t) = H t f(x) dengan H(x) = 1 (4π) d/2 e x 2 /4 dan H t (x) = 1 t d/2 H ( x t ). Karena H t (x) merupakan identitas hampiran, maka hasil-hasil tadi berlaku untuk solusi persamaan panas di atas.

9 Demikian pula halnya solusi Persamaan Laplace x u + u yy = 0 (x R d, y > 0) dengan syarat awal u(x, 0) = f(x), dapat dinyatakan sebagai u(x, y) = P y f(x) dengan P (x) = Poisson). c d ( x 2 +1) (d+1)/2 dan P y (x) = 1 y d P ( x y ) (Kernel Di sini c d = Γ((d+1)/2) π (d+1)/2, sehingga R d P (x) dx = 1. Perihal Persamaan Gelombang, akan kita bahas secara khusus nanti pada bagian terakhir.

10 Selain operator maksimal, terdapat banyak operator penting lainnya yang dipelajari. Salah satu operator yang akan kita bahas sekarang adalah operator integral fraksional I α yang diberikan oleh rumus I α f(x) = α d f(x) = R d f(y) dy, x y d α dengan 0 < α < d. Perhatikan bahwa I α f terdefinisi setidaknya untuk fungsi f yang terbatas dan mempunyai tumpuan kompak (compact support) Soal Latihan 2.

11 Dengan menghitung transformasi Fouriernya, kita mempunyai Untuk k N, jelas bahwa Î α f(ξ) = c α ξ α f(ξ). ( ) k f(ξ) = (2π ξ ) 2k f(ξ). Karena itu I α ( ) α/2. Khususnya, untuk α = 2 < d, fungsi u = I 2 f merupakan solusi (lemah) dari Persamaan Poisson u = f, dikalikan dengan suatu konstanta.

12 Teorema berikut menyatakan bahwa I α merupakan operator yang terbatas dari L p (R d ) ke L q (R d ) untuk suatu q > p. Persisnya, kita mempunyai: Teorema. Untuk 1 < p < d α, kita mempunyai dengan 1 q = 1 p α d. I α f q C p,q f p, Ketaksamaan di atas dibuktikan dengan mendekomposisi integral I α f(x) menjadi dua bagian: yang pertama adalah integral di sekitar x, yang kedua jauh dari x. Yang pertama dikontrol oleh fungsi maksimal Hardy-Littlewood, yang kedua oleh norm f.

13 Salah satu aplikasi dari teorema di atas adalah dalam menaksir solusi Persamaan Poisson: dengan q = pd/(d 2p). u q C p f p, Pembahasan lebih lanjut tentang operator integral fraksional I α akan disampaikan oleh Dr. Idha Sihwaningrum pada seminar besok. (Dr. Eridani akan membahas operator integral lainnya.)

14 Operator berikutnya yang akan kita bahas di sini adalah operator integral singular I u yang juga merupakan operator konvolusi, yang diberikan oleh rumus I u f(x) = K u f(x) dengan K u (x) = C(u) x iu d. Di sini C(u) adalah konstanta yang bergantung hanya pada u sedemikian sehingga K u (ξ) = ξ iu. Perhatikan bahwa Î u f(ξ) = K u (ξ) f(ξ) = ξ iu f(ξ).

15 Karena x iu = e iu ln x = 1 untuk tiap x 0, kita mempunyai I u f 2 = Îuf 2 = f 2 = f 2, yakni, I u merupakan isometri pada L 2 (R d ). Dengan menaksir K u (x) secara teliti, dapat ditunjukkan bahwa I u f p C p (1 + u ) d/2 f p, untuk 1 < p <.

16 Dari kedua ketaksamaan tadi, kita dapat memperoleh ketaksamaan berikut via interpolasi ala Marcinkiewicz: I u f p C p (1 + u ) d/p d/2 f p. Ketaksamaan ini kelak dapat dipakai untuk membuktikan keterbatasan operator maksimal permukaan bola, yang akan kita bahas pada bagian berikutnya.

17 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Persamaan Gelombang pada R: u tt = u xx, mempunyai solusi u = u(x, t) dengan û(ξ, t) = A(ξ) cos(2π ξ t) + B(ξ) sin(2π ξ t), dengan A(ξ) dan B(ξ) konstanta (bergantung pada ξ saja). Jika u memenuhi syarat awal u(x, 0) = f(x), u t (x, 0) = g(x), maka û(ξ, 0) = f(ξ), û t (ξ, 0) = ĝ(ξ).

18 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Dari sini kita peroleh Dengan demikian, A(ξ) = f(ξ), 2π ξ B(ξ) = ĝ(ξ). û(ξ, t) = f(ξ) cos(2π ξ t) + ĝ(ξ) sin(2π ξ t). 2π ξ Ambil inversnya, kita dapatkan [ sin(2π ξ t) ] u(x, t) = f(ξ) cos(2π ξ t) + ĝ(ξ) e 2πixξ dξ. 2π ξ R Dengan Kesamaan Plancherel dapat ditunjukkan bahwa energi total E(t) = R ( u t(x, t) 2 + u x (x, t) 2 ) dx konstan (tidak bergantung pada t) Soal Latihan 3.

19 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Catatan: Semua perhitungan di atas juga berlaku untuk Persamaan Gelombang pada R d u tt = x u, mengingat x u(ξ, t) = (2π ξ ) 2 û(ξ, t).

20 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Untuk d = 1, solusi Persamaan Gelombang u tt = u xx pada [0, L] dengan syarat awal u(x, 0) = f(x) dan u t (x, 0) = g(x) mempunyai rumus eksplisit u(x, t) = 1 2 ( f(x + t) + f(x t) + x+t x t ) g(y) dy, dengan f dan g telah diperluas ke seluruh R menjadi fungsi ganjil dan periodik dengan periode 2L. Rumus ini juga berlaku untuk Persamaan Gelombang pada R dengan data awal f dan g di S(R). (Anda tinggal menghitung transformasi Fouriernya dan membandingkan hasilnya dengan rumus sebelumnya.)

21 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Perhatikan bahwa rumus di atas terdiri dari dua nilai rata-rata. Yang pertama adalah nilai rata-rata f di kedua titik ujung interval [x t, x + t]. Yang kedua adalah t kali nilai rata-rata integral g 1 pada interval [x t, x + t], yakni 2t dapat ditulis ulang sebagai x+t x t u(x, t) = t (tm tf(x)) + tm t g(x), dengan M t f(x) = M HL t f(x) = 1 2t χ [ t,t] f. g(y) dy. Rumus di atas Untuk d = 3, kita ternyata mempunyai rumus yang serupa, tapi dengan rumus nilai rata-rata M t f yang berbeda.

22 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Misalkan S 2 menyatakan permukaan bola satuan di R 3. Kita definisikan nilai rata-rata f pada permukaan bola yang berpusat di x dan berjari-jari t sebagai M t f(x) = M S t f(x) = 1 4π S 2 f(x tγ)dσ(γ), dengan dσ(γ) menyatakan elemen luas permukaan pada S 2. Karena luas permukaan bola satuan adalah 4π, maka M S t f merupakan nilai rata-rata integral f pada permukaan bola yang berpusat di x dan berjari-jari t. Dapat diperiksa bahwa untuk f S(R 3 ), maka M S t f S(R 3 ) juga. Lebih jauh, M S t f dapat diturunkan tak hingga kali terhadap t, dan para turunannya juga merupakan fungsi di S(R 3 ).

23 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Mt S f merupakan konvolusi f dengan µ = 1 4π σ yang merupakan ukuran ternormalisasi pada permukaan bola S 2, yakni Mt S f(x) = µ t f(x). Lebih jauh kita mempunyai M S t sin(2π ξ t) f(ξ) = f(ξ). 2π ξ t Cata bahwa, untuk t = 1, sin(2π ξ ) 2π ξ merupakan transformasi Fourier dari µ, dalam arti 1 e 2πiξ γ dσ(γ) = sin(2π ξ ) 4π S 2 2π ξ (lihat [Stein & Shakarchi, 2003]).

24 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Akibatnya, untuk d = 3, kita mempunyai teorema berikut: Teorema. Solusi Persamaan Gelombang u tt = x u dengan syarat awal u(x, 0) = f(x) dan u t (x, 0) = g(x) adalah u(x, t) = t (tm tf(x)) + tm t g(x), dengan M t f = M S t f.

25 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Bukti. Solusi persamaan gelombang u tt = x u dengan syarat awal u(x, 0) = 0 dan u t (x, 0) = g(x) adalah u 1 (x, t) = R 3 [ ĝ(ξ) sin(2π ξ t) 2π ξ ] e 2πix ξ dξ = tm S t g(x). Sementara itu, solusi persamaan gelombang u tt = x u dengan syarat awal u(x, 0) = f(x) dan u t (x, 0) = 0 adalah [ ] u 2 (x, t) = f(ξ) cos(2π ξ t) e 2πix ξ dξ = t (tm t S f(x)). R 3 Jadi, u = u 1 + u 2 adalah solusi masalah nilai awal kita.

26 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Kasus d = 2 tidak sesederhana seperti kasus d = 1 atau d = 3. Namun, solusi Persamaan Gelombang dengan syarat awal u(x, 0) = f(x) dan u t (x, 0) = g(x) mempunyai rumus yang serupa, yakni u(x, t) = t (tm tf(x)) + tm t g(x), dengan M t f(x) := 1 2π y 1 f(x ty)(1 y 2 ) 1/2 dy. Perhatikan bahwa secara umum Prinsip Huygen berlaku: untuk setiap x dan t, nilai u(x, t) ditentukan oleh nilai data awal pada B(x, t).

27 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Serupa (tapi tak sama) dengan fungsi maksimal Hardy-Littlewood, kita mempunyai fungsi maksimal permukaan bola M S f(x) := sup Mt S f(x). t>0 Pada tahun 1976, E.M. Stein membuktikan keterbatasan operator M S pada L p (R d ) sebagai berikut: Teorema. Untuk d 3, berlaku asalkan p > d d 1. M S f p C p f p Catatan: J. Bourgain (1986) membuktikan bahwa ketaksamaan juga berlaku untuk d = 2.

28 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Teorema di atas dapat dibuktikan dengan menuliskan µ(x) = P (x) + A(u)K u (x) du, dengan A(u) = O(1 + u ) d/2. Dari sini kita peroleh µ t (x) = P t (x) + A(u)K u (x)t iu du, (µ t f)(x) = (P t f)(x) + Akibatnya, M S f(x) C M HL f(x) + R R R R A(u)I u f(x)t iu du. A(u) I u f(x) du. Dari sini peroleh M S f p C p f p untuk p > d/(d 1).

29 Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola Kita ingat bahwa u(x, t) = tmt S f(x) merupakan solusi dari Persamaan Gelombang u tt = x u pada R 3 dengan syarat awal u(x, 0) = 0 dan u t (x, 0) = f(x). Berdasarkan teorema di atas, kita mempunyai sup u(, t) t C p f p p untuk p > 3 2. t>0