Pengantar Statistika Matematika II

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Pengantar Statistika Matematika II"

Transkripsi

1 Bab 6: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Inferensi Statistik Pendahuluan Inferensi Statistik Inferensi statistik adalah metode untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi. Inferensi statistik dibagi menjadi: 1 Penaksiran Menaksir parameter dengan menggunakan sampel populasi 2 Pengujian Hipotesis Menguji suatu keadaan berdasarkan observasi (data) yang ada di tangan kita

3 Pengujian Hipotesis Pendahuluan Inferensi Statistik Seorang ahli biologi memberikan hipotesis bahwa rata-rata umur tanaman X lebih dari 3 tahun. Untuk itu, ahli biologi tersebut mengambil sampel berukuran n dari populasi tanaman X tersebut dan mengujinya pada tingkat signifikansi α. Akan diuji apakah sampel tersebut mendukung hipotesis ahli biologi.

4 Inferensi Statistik Langkah-langkah pengujian hipotesis adalah sebagai berikut: 1 Menentukan H 0 dan H 1 2 Tingkat signifikansi: α 3 Menentukan statistik uji 4 Menentukan daerah kritis 5 Menghitung nilai statistik uji 6 Mengambil kesimpulan Dapat juga menggunakan p value dalam mengambil keputusan

5 Pendahuluan Metode Evaluasi Definisi Hipotesis adalah pernyataan tentang parameter populasi. Definisi Dua hipotesis yang saling asing dalam persoalan uji hipotesis disebut hipotesis nol dan hipotesis alternatif, masing-masing dinyatakan dengan H 0 dan H 1.

6 Metode Evaluasi Bila θ menyatakan parameter populasi, format umum dari hipotesis nol dan alternatif adalah H 0 : θ Θ 0 dan H 1 : θ Θ 1 dengan Θ 0 suatu himpunan bagian dari ruang parameter dan Θ 1 adalah komplemennya. Biasanya uji hipotesis dinyatakan dalam bentuk uji statistik T (X ) = T (X 1, X 2,..., X n ), yaitu fungsi dari sampel. Sebagai contoh, suatu uji menentukan bahwa H 0 akan ditolak bila X (mean sampel) lebih dari 3. Dalam hal ini, T (X ) = X adalah uji statistik dan daerah penolakannya adalah {(X 1, X 2,..., X n ) : X > 3}.

7 Metode Evaluasi Metode Evaluasi Dalam memutuskan untuk menerima atau menolak hipotesis nol (H 0 ) seseorang bisa membuat kesalahan. Biasanya uji hipotesis dievaluasi dan dibandingkan melalui peluangnya membuat kesalahan.

8 Peluang Kesalahan dan Fungsi Kuasa Metode Evaluasi Jenis kesalahan dalam mengambil keputusan pada uji hipotesis: H 0 benar H 0 salah H 0 diterima Keputusan benar Kesalahan tipe II (β) H 0 ditolak Kesalahan tipe I (α) Keputusan benar

9 Metode Evaluasi Misalkan R menyatakan daerah penolakan untuk suatu uji hipotesis, maka untuk θ Θ 0, uji akan membuat kesalahan tipe I jika x R. Untuk θ Θ 1, uji akan membuat kesalahan tipe II jika x Rc. Sehingga Kesalahan Tipe I: menolak H 0 padahal H 0 benar α = P(H 0 ditolak H 0 benar) ( ) = P T (X ) R θ Θ 0 Kesalahan Tipe II: menerima H 0 padahal H 0 salah β = P(H 0 diterima H 0 salah) ( ) = P T (X ) R c θ Θ 1 ( ) = 1 P T (X ) R θ Θ 1

10 Metode Evaluasi Bila diringkas, kita memiliki P(T (X ) R) = { α, jika θ Θ 0 1 β, jika θ Θ 1

11 Metode Evaluasi Definisi Fungsi kuasa (power function) π(θ) dari suatu uji H 0 adalah peluang menolak H 0 bila parameter yang benar adalah θ. π(θ) = P(T (X ) R)

12 Metode Evaluasi Sebagai contoh untuk hipotesis H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ = θ 1 maka fungsi kuasanya adalah π(θ 0 ) = P(menolak H 0 θ = θ 0 ) = α π(θ 1 ) = P(menolak H 0 θ = θ 1 ) = 1 P(menerima H 0 θ = θ 1 ) = 1 β

13 Contoh 1 Pendahuluan Metode Evaluasi Misalkan X Binomial(5, θ), pandang uji H 0 : θ 1 2 lawan H 1 : θ > 1 2. Pertama, pandang uji hipotesis yang menolak H 0 jhj semua sukses terobservasi. Fungsi kuasa untuk uji ini adalah π 1 (θ) = P(T (X ) R) = P(X = 5) = θ 5

14 Metode Evaluasi Sekarang, kita akan mengecek nilai fungsi kuasa untuk masing-masing θ pada masing-masing hipotesis Untuk θ 1 2, maka Untuk θ > 1 2, maka π 1 (θ) ( ) α π 1 (θ) > ( ) β > β <

15 Metode Evaluasi Perhatikan bahwa untuk daerah penolakan tersebut, peluang melakukan kesalahan tipe I cukup kecil, namun peluang melakukan kesalahan tipe II terlalu tinggi. Untuk mendapatkan peluang kesalahan tipe II yang lebih kecil, kita mungkin mempertimbangkan dengan menggunakan uji yang menolak H 0 bila X = 3, 4, atau 5 (memperbesar daerah penolakan). π 2 (θ) = P(X = 3, 4, atau 5) ( ) ( ) 5 = θ 3 (1 θ) θ 4 (1 θ) 1 + = 10 θ 3 (1 θ) θ 4 (1 θ) + θ 5 ( ) 5 θ 5 (1 θ) 0 5

16 Metode Evaluasi Selanjutnya, kita akan kembali mengecek nilai fungsi kuasa untuk masing-masing θ pada masing-masing hipotesis Untuk θ 1 2, maka π 2 (θ) 10 α 0.5 ( 1 2 Untuk θ > 1 2, maka π 2 (θ) > 10 1 β > 0.5 β < 0.5 ( 1 2 ) 3 ( ) ) 3 ( ) ( 1 2 ( 1 2 ) 4 ( ) ) 4 ( ) ( ) ( ) 1 5 2

17 Metode Evaluasi Bila harus memilih antara kedua tes tersebut, pertimbangannya adalah struktur kesalahan mana yang digambarkan, π 1 (θ) atau π 2 (θ) yang lebih diterima.

18 Contoh 2 Pendahuluan Metode Evaluasi Suatu teori menyatakan bahwa hasil suatu reaksi kimia tertentu berdistribusi normal, X N(µ, 16). Percobaan terdahulu menunjukkan bahwa µ = 10 jika tidak terdapat mineral tertentu, dan µ = 11, jika mineral itu ada. Percobaan kita akan mengambil sampel acak berukuran n. Berdasarkan sampel tersebut, kita akan memutuskan hal mana yang benar, yakni kita ingin menguji hipotesis nol H 0 : µ = µ 0 = 10 terhadap hipotesis alternatif H 1 : µ = µ 1 = 11.

19 Metode Evaluasi Dalam contoh tersebut, X adalah statistik cukup untuk µ sehingga kita dapat menyatakan dengan baik daerah kritis itu secara langsung dalam bentuk variabel univariat X, dan kita akan menamakan X itu sebagai statistik uji. Karena µ 1 > µ 0, bentuk daerah kritis yang wajar untuk masalah ini adalah C = {(x 1, x 2,..., x n ) x c}, dengan c suatu konstan tertentu yang sesuai. Yakni, kita akan menolak H 0 jika x c dan tidak menolak H 0 jika x < c. Sehingga fungsi kuasanya adalah π(θ) = P(T (X ) R) = P( X c)

20 Metode Evaluasi Misalkan diketahui n = 25, maka Untuk µ = µ 0 = 10 π(θ) = P( X c µ = µ 0 = 10) ( X µ 0 α = P σ/ n c µ ) 0 σ/ n ( = P Z c 10 ) 4/ 25 Untuk α = 0.05, dari tabel-z diketahui bahwa P(Z 1.645) = 0.05 Hal tersebut memberikan nilai c = µ 0 + Z 1 α σ n = =

21 Metode Evaluasi Jadi, uji berukuran 0.05 untuk H 0 : µ = 10 terhadap alternatif H 1 : µ = 11 adalah menolak H 0 jika nilai pengamatan x Untuk kasus ini, kita akan mendapatkan kesalahan tipe 2 yaitu Untuk µ = µ 1 = 11 π(θ) = P( X c µ = µ 1 = 11) ( X µ 1 1 β = P σ/ n c µ ) 1 σ/ n ( ) β = P Z 4/ 25 1 β = P(Z 0.395) 1 β = 1 P(Z < 0.395) β = 0.654

22 Metode Evaluasi Berdasarkan contoh tersebut, kita memiliki nilai α yang cukup kecil, namun nilai β masih terbilang besar. Untuk mengatasi permasalahan ini, kita bisa mencoba kembali pengujian jika ukuran sampel diperbesar. Misalkan diambil sampel sebanyak n = 100, maka untuk menjaga α = 0.05, sekarang kita menggunakan c 2 = µ 0 + Z 1 α σ 4 = n 10 =

23 Metode Evaluasi Sehingga Untuk µ = µ 1 = 11 π(θ) = P( X c µ = µ 1 = 11) ( X µ 1 1 β = P σ/ n c µ ) 1 σ/ n ( ) β = P Z 4/ β = P(Z 0.855) 1 β = 1 P(Z < 0.855) β = 0.196

24 Metode Evaluasi Secara lebih umum, mungkin kita ingin menguji H 0 : µ = µ 0 terhadap H 1 : µ = µ 1 (dengan µ 1 > µ 0 ) pada tingkat signifikansi α. Uji berdasarkan statistik uji Z = X µ 0 σ/ n

25 Metode Evaluasi Berdasarkan kedua contoh tersebut, dapat disimpulkan bahwa untuk mendapatkan nilai α dan β sekecil mungkin kita dapat melakukan beberapa cara, di antaranya Memperbesar daerah penolakan Memperbesar ukuran sampel

26 Metode Evaluasi Definisi: p-value p-value adalah ukuran α terkecil yang dapat menolak H 0 berdasarkan nilai pengamatan statistik uji itu.

27 Contoh 3 Pendahuluan Metode Evaluasi Berdasarkan suatu sampel berukuran n = 25 dari suatu distribusi normal, X i N(µ, 16), kita ingin menguji H 0 : µ = 10 versus H 1 : µ > 10. Misalkan kita amati x = 11.40, maka p-value adalah P( X µ = 10) = P ( X 10 σ/ n = P(Z 1.75) = 1 P(Z 1.75) = = 0.04 ) σ/ n

28 Metode Evaluasi Oleh karena 0.01 < 0.04 < 0.05 uji itu akan menolak H 0 pada tingkat α = 0.05 tetapi tidak menolak H 0 pada tingkat α = Jika nilai p-value dilaporkan, maka kita dapat menggunakan kriteria kita masing-masing untuk mengambil keputusan.

29 Uji untuk Mean (σ 2 diketahui) Metode Evaluasi Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak pengamatan dari N(µ, σ 2 ) dengan σ 2 diketahui, dan misalkan pula Z 0 = X µ 0 σ/ n

30 Metode Evaluasi 1. Uji berukuran α untuk H 0 : µ µ 0 versus H 1 : µ > µ 0 adalah menolak H 0 jika Z 0 Z 1 α. Fungsi kekuatan uji ini adalah ( X µ π(µ) = P( X c µ) = P σ/ n c µ ) σ/ n ( = P Z c µ ) ( σ/ = 1 P Z c µ ) n σ/ n dengan c = µ 0 + Z 1 α σ n, sehingga ( π(µ) = 1 P Z µ σ ) 0 + Z 1 α n µ σ/ n ( = 1 Φ Z 1 α + µ ) 0 µ σ/ n

31 Metode Evaluasi 2. Uji berukuran α untuk H 0 : µ µ 0 versus H 1 : µ < µ 0 adalah menolak H 0 jika Z 0 Z 1 α. Fungsi kekuatan uji ini adalah ( π(µ) = Φ Z 1 α + µ ) 0 µ σ/ n (Buktikan!) 3. Uji berukuran α untuk H 0 : µ = µ 0 versus H 1 : µ µ 0 adalah menolak H 0 jika Z 0 Z 1 α atau Z 0 Z 2 1 α. 2

32 Uji untuk Mean (σ 2 tidak diketahui) Metode Evaluasi Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak pengamatan dari N(µ, σ 2 ) dengan σ 2 tidak diketahui, dan misalkan pula t 0 = X µ 0 s/ n

33 Metode Evaluasi 1. Uji berukuran α untuk H 0 : µ µ 0 versus H 1 : µ > µ 0 adalah menolak H 0 jika t 0 t 1 α (n 1). Fungsi kekuatan uji ini adalah ( ) X µ 0 π(µ) = P S/ n t 1 α(ν) µ ( ) X µ + (µ µ 0 ) = P S/ t 1 α (ν) µ n = P ( Z δ V /ν t 1 α (ν) ) dengan ν = n 1, δ = n(µ µ0 ) σ, dan Z dan V adalah independen, Z N(0, 1), V = (n 1) S2 χ 2 (ν). σ 2

34 Metode Evaluasi 2. Uji berukuran α untuk H 0 : µ µ 0 versus H 1 : µ < µ 0 adalah menolak H 0 jika t 0 t 1 α (n 1). 3. Uji berukuran α untuk H 0 : µ = µ 0 versus H 1 : µ µ 0 adalah menolak H 0 jika t 0 t 1 α (n 1) atau t 0 t 2 1 α (n 1). 2

35 Uji untuk Variansi Pendahuluan Metode Evaluasi Misalkan X 1, X 2,..., X n suatu sampel acak pengamatan dari N(µ, σ 2 ) dan misalkan pula ν 0 = (n 1) S2 σ 2.

36 Metode Evaluasi 1. Uji berukuran α untuk H 0 : σ 2 σ0 2 versus H 1 : σ 2 > σ0 2 adalah menolak H 0 jika ν 0 χ 2 1 α (n 1). Fungsi kekuatan untuk uji ini adalah π(σ 2 ) = P(ν 0 χ 2 1 α(n 1) σ 2 ) = P ((n 1) S 2 ( ) σ 2 σ 2 0 σ 2 χ 21 α(n ) 1) σ 2 [( ) ] σ 2 = 1 H 0 σ 2 χ 2 1 α(n 1); n 1 dengan H(c; ν) adalah fungsi distribusi dari χ 2 (ν).

37 Metode Evaluasi 2. Uji berukuran α untuk H 0 : σ 2 σ0 2 versus H 1 : σ 2 < σ0 2 adalah menolak H 0 jika ν 0 χ 2 α(n 1). Fungsi kekuatan untuk uji ini adalah [( ) ] σ π(σ 2 2 ) = H 0 σ 2 χ 2 α(n 1); n 1 3. Uji berukuran α untuk H 0 : σ 2 = σ0 2 versus H 1 : σ 2 σ0 2 adalah menolak H 0 jika ν 0 χ 2 α(n 1) atau ν 0 > χ 2 1 α (n 1). 2

38 Metode rasio likelihood dalam uji hipotesis berhubungan dengan estimator likelihood maksimum. Perhatikan jika X 1, X 2,..., X n adalah sampel acak dari populasi dengan densitas f (x θ) (θ bisa berupa vektor), maka fungsi likelihood didefinisikan sebagai L(θ x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x n θ) = n f (x i θ) i=1

39 Misalkan Θ menyatakan ruang parameter. Uji rasio likelihood didefinisikan sebagai berikut Definisi Uji statistik rasio likelihood untuk uji H 0 : θ Θ 0 lawan H 1 : θ Θ c 0 adalah λ(x ) = L(θ 0 X ) max θ L(θ X ) dengan L(θ 0 X ) adalah peluang dari data di bawah H 0 max θ L(θ X ) adalah peluang terbesar yang mungkin dari data di bawah H 1

40 Kita menolak H 0 jika nilai λ(x ) cukup kecil, yaitu λ(x ) < k dengan k adalah suatu konstanta di mana: α = P(menolak H 0 θ Θ 0 ) = P(λ(X ) < k θ Θ 0 ) Jadi, nilai batas k bisa dihitung dengan menggunakan formula tersebut.

41 Contoh 4 Pendahuluan Misalkan X 1, X 2,..., X 25 sampel acak normal dengan variansi 100. Akan ditentukan daerah penolakan untuk uji H 0 : µ = 0 versus H 1 : µ = 1.5 pada tingkat signifikansi α = 0.1. Daerah penolakan akan ditentukan dengan menggunakan uji rasio likelihood.

42 λ(x ) = L(µ 0) L(µ 1 ) ( n σ exp 1 2π 2σ 2 = i=1 ( n σ exp n 1 2π 2σ 2 i=1 = exp ( 1 2σ 2 ) n (X i µ 0 ) 2 (X i µ 1 ) 2 ) [ n (X i µ 1 ) 2 i=1 ]) n (X i µ 0 ) 2 i=1

43 Kita akan menolak H 0 jika λ(x ) < k untuk suatu konstanta k, ( [ n ]) 1 n λ(x ) = exp 2σ 2 (X i µ 1 ) 2 (X i µ 0 ) 2 < k 1 2σ 2 i=1 i=1 [ n (X i µ 1 ) 2 i=1 n (X i µ 1 ) 2 i=1 Sehingga daerah penolakannya adalah ] n (X i µ 0 ) 2 < logk i=1 n (X i µ 0 ) 2 < 2σ 2 logk i=1 2n X (µ 0 µ 1 ) + n(µ 2 1 µ 2 0) < 2σ 2 logk X < 2σ2 logk n(µ 2 1 µ2 0 ) 2n(µ 0 µ 1 ) X < 200logk 25(1.52 ) 2(25)( 1.5)

44 Selanjutnya, kriteria nilai k dapat ditentukan dengan menggunakan fakta bahwa P(λ(X ) < k µ = µ 0 ) = α. ( ( [ n ]) ) 1 n α = P exp 2σ 2 (X i µ 1 ) 2 (X i µ 0 ) 2 < k µ = µ 0 i=1 i=1. ( α = P X < 2σ2 logk n(µ 2 1 µ2 0 ) ) µ = µ 0 2n(µ 0 µ 1 ) ( [ X µ0 2σ 2 = P σ/ n < logk n(µ 2 1 µ2 0 ) ] ) n µ 0 2n(µ 0 µ 1 ) σ ( = P Z < 200logk ) 25(1.52 ) ( 1.5) 10 ( ) logk 0.1 = P Z < 150 Dengan menggunakan Atina Ahdika, tabel S.Si, kurva M.Si z, diperoleh Pengantar k Statistika = Matematika II

45 Contoh 5 Pendahuluan Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak Poisson. Akan ditentukan rasio likelihood untuk uji H 0 : λ = λ 0 versus H 1 : λ = λ 1, λ 1 < λ 0 pada tingkat signifikansi α = 0.1. Fungsi likelihood: L = λ n i=1 x i e λn n (x i!) i=1

46 Misalkan λ 0 = 2 dan λ 1 = 1/2, maka rasio likelihoodnya adalah λ(x ) = L(λ 0) = = L(λ 1 ) = n x i 2i=1 e 2n n (x i!) i=1 n L(2) L(1/2) x i (1/2) i=1 e (1/2)n n (x i!) i=1 n 2 (1/2) i=1 x i e 2n n i=1 x i e (1/2)n

47 Tolak H 0 jika λ(x ) < k untuk suatu konstanta k, maka λ(x ) = 2 (1/2) n i=1 x i e 2n n i=1 x i e (1/2)n n < k x i 4i=1 e (3/2)n < k ( n ) x i ln n < ln k i=1 Jadi, H 0 ditolak jika n i=1 x i < k, dengan k = ln k+ 3 2 n ln 4.

48 Contoh 6 Pendahuluan Perhatikan uji hipotesis berikut: H 0 : p = 0.5 versus H 1 : p = 0.6 Misalkan sampel acak Bernoulli berukuran n = 10 diambil untuk menguji hipotesis tsb, nilai Y = n X i yang mungkin adalah 0, 1,..., 10. Tentukan nilai α dan β jika daerah penolakannya a. 8 Y 10 b. Y {7, 8, 9, 10} i=1

49 Misalkan X Bernoulli(θ), maka f X (x θ) = θ x (1 θ) 1 x sehingga fungsi likelihoodnya adalah L(θ x) = θ x (1 θ) n x = θ Y (1 θ) n Y

50 Maka rasio likelihoodnya adalah L(0.5 x) λ(x ) = L(0.6 x) = 0.5Y (1 0.5) n Y 0.6 Y (1 0.6) n Y ( ) 5 Y ( ) 5 n ( 4 = ) Y

51 Batas rasio likelihoodnya adalah λ(x ) = ( 5 6 ) Y ( ) 5 n ( ) 4 Y < k 4 5 ( ) 4 Y ( ) 5 n < k 6 4 Jadi H 0 ditolak jika Y > ln ( k ( 4 n ( 5) 4 )) 6

52 Misal daerah penolakannya a. 8 Y 10, maka α = P(Y > 7) = 1 P(Y 7) = b. Y {7, 8, 9, 10}, maka α =

53 Pendahuluan Lemma Neyman-Pearson Definisi Sebuah tes H 0 : θ = θ 0 versus H 1 : θ = θ 1 berdasarkan daerah kritis C merupakan tes paling kuasa berukuran α jika 1 π C (θ 0 ) = α 2 π C (θ 1 ) π C (θ 1 ) untuk setiap daerah kritis C berukuran α (yaitu, π C (θ 0 ) = α) Daerah kritis C disebut sebagai daerah kritis paling kuasa.

54 Lemma Neyman-Pearson Lemma Neyman-Pearson Misalkan uji rasio likelihood menolak H 0 jika L(θ 0) L(θ 1 ) < k pada tingkat signifikansi α. Maka, tes lain dengan tingkat signifikansi α α memiliki kuasa yang lebih kecil atau sama dengan kuasa dari uji rasio likelihood. Catatan: Lemma N-P menyatakan bahwa di antara semua tes pada tingkat signifikansi α, uji rasio likelihood akan meminimumkan β Lemma N-P menyatakan bahwa dari seluruh tes dengan tingkat sgnifikansi α, tes yang menolak H 0 untuk nilai rasio likelihood yang kecil adalah tes yang paling kuasa (Most Powerful Test atau MP Test)

55 Lemma Neyman-Pearson Misalkan X 1,..., X n mempunyai fungsi peluang bersama f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ). Misalkan λ(x 1,..., x n ; θ 0, θ 1 ) = f X 1,...,X n (x 1,..., x n ; θ 0 ) f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ 1 ) Misalkan C merupakan himpunan C = {(x 1,..., x n ) λ(x 1,..., x n ; θ 0, θ 1 ) k} di maka k adalah suatu konstanta sedemikian sehingga P [(X 1,..., X n ) C θ 0 ] = α Maka C adalah daerah kritis paling kuasa pada tingkat signifikansi α untuk uji H 0 : θ = θ 0 versus H 1 : θ = θ 1.

56 Contoh 7 Pendahuluan Lemma Neyman-Pearson Misalkan sampel acak berukuran n dari distribusi Eksponensial X i Eksp(θ). Kita akan melakukan uji hipotesis H 0 : θ = θ 0 versus H 1 : θ = θ 1 di mana θ 1 > θ 0. Lemma N-P menyatakan tolak H 0 jika λ(x, θ 0, θ 1 ) = θ n 0 exp( x i /θ 0 ) θ1 n exp( x i /θ 1 ) k di mana k adalah konstanta sehingga P [λ(x ; θ 0, θ 1 ) k θ = θ 0 ] = α

57 Lemma Neyman-Pearson Sekarang P [λ(x ; θ 0, θ 1 ) k θ = θ 0 ] [ ] = P Xi (1/θ 1 1/θ 0 ) ln((θ 0 /θ 1 ) n k) θ = θ 0 sehingga [ ] P [X C θ = θ 0 ] = P Xi k 1 θ = θ 0 di mana k 1 = ln((θ 0 /θ 1 ) n k)/(1/θ 1 1/θ 0 ). Perhatikan bahwa tanda pertaksamaan berubah karena 1/θ 1 1/θ 0 < 0 dalam hal ini. Maka daerah kritis paling kuasa mempunyai bentuk C = {(x 1,..., x n ) x i k 1 }.

58 Lemma Neyman-Pearson Perhatikan bahwa di bawah H 0 : θ = θ 0, kita mempunyai 2 X i /θ 0 χ 2 (2n), maka k 1 = θ 0 χ 2 (2n)/2 akan memberikan daerah kritis pada tingkat signifikansi α dan sebuah tes yang ekivalen akan menolak H 0 jika 2 X i /θ 0 χ 2 1 α (2n).

59 Contoh 8 Pendahuluan Lemma Neyman-Pearson Misalkan sampel acak berukuran n dari distribusi Normal dengan mean 0 X i N(0, σ 2 ). Kita akan menguji H 0 : σ 2 = σ 2 0 versus H 1 : σ 2 = σ 2 1 di mana σ2 1 > σ2 0. Maka

60 Contoh 9 Pendahuluan Lemma Neyman-Pearson Kita akan menentukan bentuk uji paling kuasa untuk menguji H 0 : p = p 0 versus H 1 : p = p 1 > p 0 berdasarkan statistik S Binomial(n, p). Maka

Uji Hipotesis dan Aturan Keputusan

Uji Hipotesis dan Aturan Keputusan Uji Hipotesis dan Aturan Keputusan oleh: Khreshna Syuhada, PhD. 1. Pendahuluan Pada perkuliahan tingkat 2, telah dikenalkan masalah uji hipotesis sebagai berikut: Seorang peneliti memberikan klaim bahwa

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II - Estimator Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia April 17, 2017 atinaahdika.com Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar Statistika Matematika II Distribusi Sampling Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com Bila sampling berasal dari populasi yang

Lebih terperinci

Teorema Newman Pearson

Teorema Newman Pearson pengujian terbaik Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika October 6, 2014 Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk mean 3 Teorema Neyman-Pearson Back Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 2: Sifat-Sifat Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Statistik Cukup Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi data yang akan kita teliti Informasi dalam sampel

Lebih terperinci

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 5 Uji Hipotesis

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 5 Uji Hipotesis BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 5 Uji Hipotesis Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep uji hipotesis, kesalahan tipe 1 dan 2, uji hipotesis untuk mean (1 dan 2 sampel),

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 3: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Bila sampling berasal dari populasi yang digambarkan melalui fungsi peluang f X (x θ), pengetahuan tentang θ menghasilkan karakteristik mengenai keseluruhan

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: We love Statistics Pengantar Parameter adalah... ...suatu karakteristik dari populasi. Statistik adalah... ...suatu karakteristik dari sampel. Statistik adalah fungsi

Lebih terperinci

MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean

MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean Orang Cerdas Belajar Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Peubah acak kontinu, distribusi dan Tabel normal, penaksiran titik dan selang, uji hipotesis untuk

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan

TINJAUAN PUSTAKA. ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Percobaan dan Ruang Sampel Menurut Walpole (1995), istilah percobaan digunakan untuk sembarang proses yang dapat membangkitkan data. Himpunan semua hasil suatu percobaan disebut

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar Statistika Matematika II Estimasi Titik dengan Metode Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia May 9, 2017 atinaahdika.com Dalam pendekatan klasik, parameter

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat

BAB I PENDAHULUAN. sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Jika kita mempunyai data yang terdiri dari dua atau lebih variabel maka sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat berhubungan, hubungan

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 1: a FMIPA Universitas Islam Indonesia Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik dari sampel Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling Parameter Misalkan

Lebih terperinci

STATISTIKA. Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI

STATISTIKA. Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI STATISTIKA Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI 1 Daftar Isi Bab 1 Peluang Bab Peubah Acak Bab 3 Distribusi Peluang Diskret Bab 4 Distribusi Peluang Kontinu Bab 5 Fungsi Peubah Acak Bab 6 Teori Penaksiran

Lebih terperinci

Statistika (MMS-1403)

Statistika (MMS-1403) Statistika (MMS-1403) Dr. Danardono, MPH danardono@ugm.ac.id Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UGM MMS-1403 p.1/93 Distribusi Sampling Statistik Populasi: himpunan keseluruhan obyek yang

Lebih terperinci

Analisis Regresi Nonlinear (I)

Analisis Regresi Nonlinear (I) 9 Oktober 2013 Topik Inferensi dalam Regresi Nonlinear Contoh Kasus Regresi linear berganda secara umum sesuai untuk kebanyakan kasus. Namun, banyak kasus peubah respons dan bebas berhubungan melalui fungsi

Lebih terperinci

INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF

INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF Adi Setiawan Program Studi Matematika Industri dan Statistika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di

BAB II LANDASAN TEORI. landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di 5 BAB II LANDASAN TEORI Bab ini membahas pengertian-pengertian dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di bahas adalah sebagai berikut: A.

Lebih terperinci

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 3: Estimasi Titik dengan Metode Bayes Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Dalam pendekatan klasik, parameter θ adalah besaran tetap yang tidak diketahui Sampel random X 1, X 2,..., X n diambil

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 4: Metode Evaluasi Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Penggunaan metode estimasi yang berbeda dapat menghasilkan estimator yang sama maupun berbeda Dari hasil estimator yang berbeda,

Lebih terperinci

BIOSTATISTIK HIPOTESIS UNTUK PROPORSI MARIA ALMEIDA ( ) NURTASMIA ( ) SOBRI ( )

BIOSTATISTIK HIPOTESIS UNTUK PROPORSI MARIA ALMEIDA ( ) NURTASMIA ( ) SOBRI ( ) BIOSTATISTIK UJI HIPOTESIS UNTUK PROPORSI MARIA ALMEIDA (20611003) NURTASMIA (20611022) SOBRI (20611027) : Tahapan-tahapan dalam uji hipotesis 1.Membuat hipotesis nol (H o ) dan hipotesis alternatif (H

Lebih terperinci

Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi

Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi ESTIMASI TITIK Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi sampel. Statistik merupakan bentuk dari

Lebih terperinci

ALGORITMA PENENTUAN UKURAN SAMPEL EKSAK UNTUK DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI POISSON DAN DUA DISTRIBUSI BINOMIAL DALAM MODEL KELUARGA EKSPONENSIAL

ALGORITMA PENENTUAN UKURAN SAMPEL EKSAK UNTUK DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI POISSON DAN DUA DISTRIBUSI BINOMIAL DALAM MODEL KELUARGA EKSPONENSIAL ALGORITMA PENENTUAN UKURAN SAMPEL EKSAK UNTUK DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI POISSON DAN DUA DISTRIBUSI BINOMIAL DALAM MODEL KELUARGA EKSPONENSIAL 1) Program Studi Matematika Universitas Ahmad Dahlan dian@math.uad.ac.id

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi

Lebih terperinci

Dengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi

Dengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi Bab 5 Peubah Acak Kontinu 5.1 Pendahuluan Definisi 5.1. Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh S ke R (himpunan bilangan nyata) Peubah acak X bersifat diskret jika F (x) adalah fungsi tangga.

Lebih terperinci

Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting. Oleh Azimmatul Ihwah

Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting. Oleh Azimmatul Ihwah Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting Oleh Azimmatul Ihwah Distribusi Diskrit Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi

Lebih terperinci

Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X

Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X) Diskrit Seragam Binomial Hipergeometrik

Lebih terperinci

STK 203 TEORI STATISTIKA I

STK 203 TEORI STATISTIKA I STK 203 TEORI STATISTIKA I V. SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 1 Sebaran Fungsi Peubah Acak Dalam banyak kasus untuk melakukan inferensi terhadap suatu parameter kita lebih banyak

Lebih terperinci

Statistika Farmasi

Statistika Farmasi Bab 3: Distribusi Data Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Distribusi Data Teori dalam statistika berkaitan dengan peluang Konsep dasar peluang tersebut berkaitan dengan peluang distribusi, yaitu

Lebih terperinci

Konsep Dasar Statistik dan Probabilitas

Konsep Dasar Statistik dan Probabilitas Konsep Dasar Statistik dan Probabilitas Pengendalian Kualitas Statistika Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII September 30, 2015 Ayundyah (UII) Konsep Dasar Statistik dan Probabilitas September

Lebih terperinci

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

PENGUJIAN HIPOTESIS (1) Debrina Puspita Andriani /

PENGUJIAN HIPOTESIS (1) Debrina Puspita Andriani    / PENGUJIAN HIPOTESIS (1) 1 Debrina Puspita Andriani E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id 2 Outline Pengertian Pengujian Hipotesis (1) 3 BAHASA YUNANI HUPO Lemah, kurang, di bawah THESIS Teori,

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

REVIEW: DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS & UJI HIPOTESIS. Utriweni Mukhaiyar MA2281 Statistika Nonparametrik Kamis, 21 Januari 2016

REVIEW: DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS & UJI HIPOTESIS. Utriweni Mukhaiyar MA2281 Statistika Nonparametrik Kamis, 21 Januari 2016 REVIEW: DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS & UJI HIPOTESIS Utriweni Mukhaiyar MA81 Statistika Nonparametrik Kamis, 1 Januari 016 PEUBAH ACAK Peubah acak, yaitu pemetaan X: S R Ruang Sampel, S X x Himpunan Bil.Riil,

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang

Lebih terperinci

Pengantar Uji Hipotesis. Oleh Azimmatul Ihwah

Pengantar Uji Hipotesis. Oleh Azimmatul Ihwah Pengantar Uji Hipotesis Oleh Azimmatul Ihwah Hipotesis Merupakan pernyataan/dugaan mengenai parameter dari 1 atau lebih populasi. Misalnya seorang guru Kimia ingin mengetahui apakah metode pembelajaran

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA

BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA 2.1 Estimasi Bayes Definisi 1 Estimasi Bayes yang paling mungkin dari suatu nilai kebenaran θ 0 yang tidak diketahui pada parameter θ adalah nila ˆθ yang meminimumkan

Lebih terperinci

PENGUJIAN HIPOTESIS. Langkah-langkah pengujian hipótesis statistik adalah sebagai berikut :

PENGUJIAN HIPOTESIS. Langkah-langkah pengujian hipótesis statistik adalah sebagai berikut : PENGUJIAN HIPOTESIS A. Pengertian Pengujian Hipotesis Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu hupo dan thesis. Hupo berarti lemah, kurang, atau di bawah dan thesis berarti teori, proposisi, atau pernyataan

Lebih terperinci

Ayundyah Kesumawati. April 20, 2015

Ayundyah Kesumawati. April 20, 2015 Pengujian Kesumawati Nol dan Prodi Statistika FMIPA-UII April 20, 2015 Pengujian Statistik : pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau

Lebih terperinci

Hipotesis. Penerimaan hipotesis menunjukkan bahwa tidak cukup petunjuk untuk mempercayai sebaliknya

Hipotesis. Penerimaan hipotesis menunjukkan bahwa tidak cukup petunjuk untuk mempercayai sebaliknya Hipotesis Suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai suatu populasi atau lebih Digunakan istilah diterima atau ditolak untuk suatu hipotesis Penolakan suatu hipotesis berarti menyimpulkan bahwa

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA

BAB II KAJIAN PUSTAKA 4 BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada sub bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teori yang mendukung rancangan Sequential Probability Ratio Test (SPRT) yaitu percobaan dan ruang sampel, peubah acak dan fungsi

Lebih terperinci

BAB III ANALISIS FAKTOR. berfungsi untuk mereduksi dimensi data dengan cara menyatakan variabel asal

BAB III ANALISIS FAKTOR. berfungsi untuk mereduksi dimensi data dengan cara menyatakan variabel asal BAB III ANALISIS FAKTOR 3.1 Definisi Analisis faktor Analisis faktor adalah suatu teknik analisis statistika multivariat yang berfungsi untuk mereduksi dimensi data dengan cara menyatakan variabel asal

Lebih terperinci

PERBANDINGAN UJI KENORMALAN PADA KATEGORI FUNGSI DISTRIBUSI EMPIRIS MENGGUNAKAN METODE SIMULASI MONTE CARLO

PERBANDINGAN UJI KENORMALAN PADA KATEGORI FUNGSI DISTRIBUSI EMPIRIS MENGGUNAKAN METODE SIMULASI MONTE CARLO PERBANDINGAN UJI KENORMALAN PADA KATEGORI FUNGSI DISTRIBUSI EMPIRIS MENGGUNAKAN METODE SIMULASI MONTE CARLO oleh ANNA ZAMMADUITA M0109010 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

Lebih terperinci

Contoh Solusi PR 5 Statistika & Probabilitas

Contoh Solusi PR 5 Statistika & Probabilitas Contoh Solusi PR 5 Statistika & Probabilitas 1. X = proporsi pelanggan yang menggunakan layanan penerbangan untuk keperluan bisnis. n = ukuran sampel, p = proporsi sampel yang menggunakan layanan penerbangan

Lebih terperinci

PENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL

PENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL PENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL Vania Mutiarani 1, Adi Setiawan, Hanna Arini Parhusip 3 1 Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW, 3 Dosen

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak

Lebih terperinci

RENCANA MUTU PEMBELAJARAN

RENCANA MUTU PEMBELAJARAN RENCANA MUTU PEMBELAJARAN Nama Dosen : N. Setyaningsih, MSi. Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : 504203 Nama Mata Kuliah : Statistika Matematika Jumlah sks : 3 sks Semester : V Alokasi

Lebih terperinci

UJI STATISTIK NON PARAMETRIK. Widha Kusumaningdyah, ST., MT

UJI STATISTIK NON PARAMETRIK. Widha Kusumaningdyah, ST., MT UJI STATISTIK NON PARAMETRIK Widha Kusumaningdyah, ST., MT SIGN TEST Sign Test Digunakan untuk menguji hipotesa tentang MEDIAN dan DISTRIBUSI KONTINYU. Pengamatan dilakukan pada median dari sebuah distribusi

Lebih terperinci

Learning Outcomes Sebaran Kontinu Nilai Harapan dan Ragam Beberapa Sebaran Kontinu. Peubah Acak Kontinu. Julio Adisantoso.

Learning Outcomes Sebaran Kontinu Nilai Harapan dan Ragam Beberapa Sebaran Kontinu. Peubah Acak Kontinu. Julio Adisantoso. Beberapa 27 April 2014 Beberapa Learning Outcome Outline Mahasiswa dapat mengerti dan menentukan peubah acak diskret Mahasiswa dapat memahami dan menghitung nilai harapan Mahasiswa dapat memahami dan menghitung

Lebih terperinci

Estimasi Titik. (Point Estimation) Minggu ke 1-3. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada

Estimasi Titik. (Point Estimation) Minggu ke 1-3. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada Estimasi Titik (Point Estimation) Minggu ke 1-3 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada 2014 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi 2014 1 / 33 DAFTAR ISI 1 Minggu 1 Pertemuan 1

Lebih terperinci

BAB III REGRESI TERSENSOR (TOBIT) Model regresi yang didasarkan pada variabel terikat tersensor disebut

BAB III REGRESI TERSENSOR (TOBIT) Model regresi yang didasarkan pada variabel terikat tersensor disebut BAB III REGRESI TERSENSOR (TOBIT) 3.1 Model Regresi Tersensor (Tobit) Model regresi yang didasarkan pada variabel terikat tersensor disebut model regresi tersensor (tobit). Untuk variabel terikat yang

Lebih terperinci

Model Poisson. Inferensi likelihood. Andi Kresna Jaya November 19, Jurusan Matematika

Model Poisson. Inferensi likelihood. Andi Kresna Jaya November 19, Jurusan Matematika Review Poisson dengan overdispersi Inferensi likelihood Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika November 19, 2014 Review Poisson dengan overdispersi Outline 1 Review 2 3 Poisson dengan

Lebih terperinci

PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM INFERENSI PARAMETER POPULASI SERAGAM

PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM INFERENSI PARAMETER POPULASI SERAGAM PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM INFERENSI PARAMETER POPULASI SERAGAM Adi Setiawan Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-6

Lebih terperinci

STATISTIKA INDUSTRI 2 TIN 4004

STATISTIKA INDUSTRI 2 TIN 4004 STATISTIKA INDUSTRI 2 TIN 4004 Kontrak Perkuliahan Pertemuan & Materi RPKPS Penilaian Tugas, short quiz (30%) Quiz 1 & 2 (40%) UAS (30%) Referensi Montgomery, D.C, George C. Runger. Applied Statistic and

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematik(a)

Pengantar Statistika Matematik(a) Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Lebih terperinci

Bab 2. Teori Dasar. 2.1 Pendahuluan

Bab 2. Teori Dasar. 2.1 Pendahuluan Bab 2 Teori Dasar 2.1 Pendahuluan Gagasan bagan kendali statistik pertama kali diperkenalkan oleh Walter A. Shewhart dari Bell Telephone laboratories pada tahun 1924 (Montgomery, 2001, hal 9). Tujuan dari

Lebih terperinci

Distribusi Probabilitas Kontinyu Teoritis

Distribusi Probabilitas Kontinyu Teoritis Distribusi Probabilitas Kontinyu Teoritis Suprayogi Dist. Prob. Teoritis Kontinyu () Distribusi seragam kontinyu (continuous uniform distribution) Distribusi segitiga (triangular distribution) Distribusi

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. ii Bagaimana rata-rata atau nilai tengah dibuat oleh Stimulan eksternal.

BAB 1 PENDAHULUAN. ii Bagaimana rata-rata atau nilai tengah dibuat oleh Stimulan eksternal. BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perkembangan ilmu pengetahuan matematika dan penerapannya dalam berbagai bidang keilmuan selalu mencari metode baru untuk memudahkan dalam memprediksi dan menaksir

Lebih terperinci

Peubah Acak dan Distribusi

Peubah Acak dan Distribusi BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari

Lebih terperinci

PEMODELAN JUMLAH KASUS TETANUS NEONATORUM DENGAN MENGGUNAKAN REGRESI POISSON UNTUK WILAYAH REGIONAL 2 INDONESIA (SUMATERA)

PEMODELAN JUMLAH KASUS TETANUS NEONATORUM DENGAN MENGGUNAKAN REGRESI POISSON UNTUK WILAYAH REGIONAL 2 INDONESIA (SUMATERA) Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 116 124 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PEMODELAN JUMLAH KASUS TETANUS NEONATORUM DENGAN MENGGUNAKAN REGRESI POISSON UNTUK WILAYAH REGIONAL 2

Lebih terperinci

Pengantar Uji Hipotesis. Oleh Azimmatul Ihwah

Pengantar Uji Hipotesis. Oleh Azimmatul Ihwah Pengantar Uji Hipotesis Oleh Azimmatul Ihwah Hipotesis Merupakan pernyataan/dugaan mengenai parameter dari 1 atau lebih populasi. Misalnya seorang manufacturer ingin mengetahui apakah zat baru yang ditambahkan

Lebih terperinci

Statistika (MMS-1403)

Statistika (MMS-1403) Statistika (MMS-1403) Dr. Danardono, MPH danardono@ugm.ac.id Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UGM Materi dan Jadual Minggu ke- Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan 1. Pendahuluan 1 Perkuliahan

Lebih terperinci

BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU. Normal, Gamma, Eksponensial, Khi-Kuadrat, Student dan F

BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU. Normal, Gamma, Eksponensial, Khi-Kuadrat, Student dan F BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU Normal, Gamma, Eksponensial, Khi-Kuadrat, Student dan F Distribusi Normal Distribusi yang terpenting dalam bidang statistika, penemu : DeMoivre (733) dan Gauss Bergantung

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. (b) Variabel independen yang biasanya dinyatakan dengan simbol

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. (b) Variabel independen yang biasanya dinyatakan dengan simbol BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Regresi Regresi adalah suatu studi statistik untuk menjelaskan hubungan dua variabel atau lebih yang dinyatakan dalam bentuk persamaan. Salah satu variabel merupakan variabel

Lebih terperinci

PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA

PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA Saintia Matematika Vol. 1, No. 3 (2013), pp. 299 312. PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA Raini Manurung, Suwarno Ariswoyo, Pasukat Sembiring Abstrak.

Lebih terperinci

Pengujian Hipotesis. Oleh : Dewi Rachmatin

Pengujian Hipotesis. Oleh : Dewi Rachmatin Pengujian Hipotesis Oleh : Dewi Rachmatin Hipotesis Suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai suatu populasi atau lebih Akan digunakan istilah diterima atau ditolak pada bagian ini Penolakan

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. sєs (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah

II. LANDASAN TEORI. sєs (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah II. LANDASAN TEORI Peubah acak X(s) merupakan sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota sєs (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah peubah acak diskrit, yaitu banyaknya

Lebih terperinci

MENAKSIR PARAMETER µ DARI N( µ, ) DENGAN METODE BAYES

MENAKSIR PARAMETER µ DARI N( µ, ) DENGAN METODE BAYES MENAKSIR PARAMETER µ DARI N( µ, ) DENGAN METODE BAYES Hartayuni Saini 1 1 Jurusan Matematika, FMIPA-UNTAD. e-mail: yunh3_chendist@yahoo.co.id Abstrak Untuk menaksir nilai µ dari N(µ, ) umumnya digunakan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.. Konsep Dasar Analisis Runtun Waktu Pada bagian ini akan dikemukakan beberapa definisi yang menyangkut pengertian dan konsep dasar analisis runtun waktu. Definisi Runtun waktu

Lebih terperinci

BAB II DISTRIBUSI PROBABILITAS

BAB II DISTRIBUSI PROBABILITAS BAB II DISTRIBUSI PROBABILITAS.1. VARIABEL RANDOM Definisi 1: Variabel random adalah suatu fungsi yang memetakan ruang sampel (S) ke himpunan bilangan Real (R), dan ditulis X : S R Contoh (Variabel random)

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Distribusi Normal Salah satu distribusi frekuensi yang paling penting dalam statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 4: Distribusi Eksponensial Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Distribusi Eksponensial Pendahuluan Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai

Lebih terperinci

Statistika (MMS-1001)

Statistika (MMS-1001) Statistika (MMS-1001) Dr. Danardono, MPH danardono@ugm.ac.id Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UGM Materi dan Jadual Tatap Muka Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan 1. Statistika Deskriptif

Lebih terperinci

Statistika (MMS-1001)

Statistika (MMS-1001) Statistika (MMS-1001) Dr. Danardono, MPH danardono@ugm.ac.id Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UGM Materi dan Jadual Tatap Muka Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan 1. Statistika Deskriptif

Lebih terperinci

KULIAH ANALISIS STATISTIK DATA SIMULASI Tipe-tipe simulasi berdasarkan analisis output:

KULIAH ANALISIS STATISTIK DATA SIMULASI Tipe-tipe simulasi berdasarkan analisis output: KULIAH ANALISIS STATISTIK DATA SIMULASI Tipe-tipe simulasi berdasarkan analisis output: 1. Terminating simulation 2. Nonterminating simulation: a. Steady-state parameters b. Steady-state cycle parameters

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

PERBANDINGAN KUASA WILCOXON RANK SUM TEST DAN PERMUTATION TEST DALAM BERBAGAI DISTRIBUSI TIDAK NORMAL

PERBANDINGAN KUASA WILCOXON RANK SUM TEST DAN PERMUTATION TEST DALAM BERBAGAI DISTRIBUSI TIDAK NORMAL Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 139 146 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PERBANDINGAN KUASA WILCOXON RANK SUM TEST DAN PERMUTATION TEST DALAM BERBAGAI DISTRIBUSI TIDAK NORMAL

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar, definisi-definisi serta teorema

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar, definisi-definisi serta teorema II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar, definisi-definisi serta teorema yang berkaitan dalam hal pendugaan parameter pada model linier campuran ini, yaitu sebagai berikut

Lebih terperinci

Non Linear Estimation and Maximum Likelihood Estimation

Non Linear Estimation and Maximum Likelihood Estimation Non Linear Estimation and Maximum Likelihood Estimation Non Linear Estimation and Maximum Likelihood Estimation Non Linear Estimation We have studied linear models in the sense that the parameters are

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Dalam pembicaraan statistik, jawaban yang diinginkan adalah jawaban untuk ruang lingkup yang lebih luas, yakni populasi. Tetapi objek dari studi ini menggunakan sampel

Lebih terperinci

KONSEP DASAR PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS LELY RIAWATI, ST, MT.

KONSEP DASAR PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS LELY RIAWATI, ST, MT. KONSEP DASAR PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS LELY RIAWATI, ST, MT. EKSPERIMEN suatu percobaan yang dapat diulang-ulang dengan kondisi yang sama CONTOH : Eksperimen : melempar dadu 1 kali Hasilnya

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

UJI HIPOTESIS SATU-SAMPEL

UJI HIPOTESIS SATU-SAMPEL UJI HIPOTESIS SATU-SAMPEL Pengantar 1. Tulisan ini terkait dengan artikel berjudul KETIKA ILMU HUKUM SEIRING STATISTIKA pada laman www.edscyclopedia.com. Pada website tersebut, mengenai uji hipotesis secara

Lebih terperinci

MODUL TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR

MODUL TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR MODUL 9 TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR. Pendahuluan Untuk menginginkan mengumpulkan populasi kita lakukan dengan statistik berdasarkan data yang diambil secara sampling yang

Lebih terperinci

MODUL II DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU

MODUL II DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU A. TUJUAN PRAKTIKUM Melalui praktikum Modul II ini diharapkan praktikan dapat: 1. Mengenal jenis dan karakteristik dari beberapa distribusi peluang. 2. Menguji dan

Lebih terperinci

Contoh Solusi PR 4 Statistika & Probabilitas. 1. Nilai probabilitas pada masing-masing soal mengacu pada tabel Standard Normal Distribution.

Contoh Solusi PR 4 Statistika & Probabilitas. 1. Nilai probabilitas pada masing-masing soal mengacu pada tabel Standard Normal Distribution. Contoh Solusi PR 4 Statistika & Probabilitas 1. Nilai probabilitas pada masing-masing soal mengacu pada tabel Standard Normal Distribution. a X := curah hujan satu tahun. X : N 42,16. Dit: PX > 50. 50

Lebih terperinci

Pr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari.

Pr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari. 6.. Proses Kelahiran Murni Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh penting dari waktu kontinu, state diskrit, proses Markov. Khususnya, dengan kumpulan dari variabel acak {;0 } di mana nilai yang mungkin

Lebih terperinci

Metode Statistika STK211/ 3(2-3)

Metode Statistika STK211/ 3(2-3) Metode Statistika STK211/ 3(2-3) Pertemuan V Peubah Acak dan Sebaran Peubah Acak Septian Rahardiantoro - STK IPB 1 Pertemuan minggu lalu kita sudah belajar mengenai cara untuk membuat daftar kemungkinan-kemungkinan

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang 1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak(berhasil/gagal)

Lebih terperinci

Hipotesis : asumsi atau anggapan bisa benar atau bisa salah seringkali dipakai sebagai dasar dalam memutuskan

Hipotesis : asumsi atau anggapan bisa benar atau bisa salah seringkali dipakai sebagai dasar dalam memutuskan PENGUJIAN HIPOTESIS Hipotesis : Merupakan suatu asumsi atau anggapan yang bisa benar atau bisa salah mengenai sesuatu hal, dan dibuat untuk menjelaskan sesuatu hal tersebut sehingga memerlukan pengecekan

Lebih terperinci

MA5283 STATISTIKA Bab 7 Analisis Regresi

MA5283 STATISTIKA Bab 7 Analisis Regresi MA5283 STATISTIKA Bab 7 Analisis Regresi Orang Cerdas Belajar Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Perkuliahan Silabus Tujuan Peubah bebas dan terikat, konsep relation, model regresi linier, penaksir

Lebih terperinci

PENGUJIAN HIPOTESIS. Konsep: Dua macam kekeliruan. Pengujian hipotesis.

PENGUJIAN HIPOTESIS. Konsep: Dua macam kekeliruan. Pengujian hipotesis. Konsep: PENGUJIAN HIPOTESIS Agus Susworo Dwi Marhaendro Hipotesis: asumsi atau dugaan sementara mengenai sesuatu hal. Dituntut untuk dilakukan pengecekan kebenarannya. Jika asumsi atau dugaan dikhususkan

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 4: Distribusi Eksponensial Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Distribusi Eksponensial Pendahuluan Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai

Lebih terperinci

BAB III MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF UNTUK MENGATASI OVERDISPERSI PADA MODEL REGRESI POISSON

BAB III MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF UNTUK MENGATASI OVERDISPERSI PADA MODEL REGRESI POISSON BAB III MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF UNTUK MENGATASI OVERDISPERSI PADA MODEL REGRESI POISSON 3.1 Regresi Poisson Regresi Poisson merupakan salah satu model regresi dengan variabel responnya tidak berasal

Lebih terperinci