Pengantar Statistika Matematika II

Transkripsi

1 Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com

2 t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik dari sampel Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

3 Parameter t F Misalkan sebuah kotak terdiri atas n bola yang identik dan diberi nomor berurutan. Percobaan dilakukan untuk memilih bola secara acak dan dicatat nomornya. Misalkan X menyatakan nomor bola yang terpilih, maka P (X = x) = 1 n, untuk x = 1, 2,..., n Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

4 t F Pandang masalah di mana banyaknya bola n tidak diketahui. Maka dalam hal ini, parameter θ = n. Untuk mendapatkan informasi tentang θ, kita mengambil sampel m bola yang kita nyatakan dengan X = (X 1, X 2,..., X m ), X i menyatakan nomor bola ke-i. Pengambilan sampel dapat dilakukan dengan 2 cara: 1 dengan pengembalian 2 tanpa pengembalian Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

5 t F Definisi Misalkan {X 1, X 2,..., X n } adalah sebuah himpunan peubah acak yang teramati dari suatu populasi tertentu. T = t(x 1, X 2,..., X n ) adalah sebuah fungsi dari peubah acak yang teramati yang tidak bergantung pada sembarang parameter yang tidak diketahui, fungsi tersebut disebut statistik. dari suatu statistik disebut distribusi sampling. Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

6 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Misalkan X 1, X 2,..., X n adalah sampel acak dari suatu populasi dengan mean µ dan variansi σ 2 > 0. Mean sampel adalah sebuah contoh statistik dengan fungsi t(x 1, x 2,..., x n ) = (x 1+x x n) n, dinotasikan dengan X = n X i n

7 t F Mean sampel tersebut memiliki karakteristik sebagai berikut 1 E( X) = µ 2 V ar( X) = σ2 n Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

8 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F 1. Ekspektasi dari mean sampel n X E( X) i ( = E n ) n = 1 n E X i = 1 n n E(X i ) = 1 n n µ = µ

9 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F 2. Variansi dari mean sampel n V ar( X) = V ar n X i ( n ) = 1 n 2 V ar X i = 1 n 2 n V ar(x i ) = 1 n 2 n σ2 = σ2 n

10 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Misalkan X 1, X 2,..., X n adalah sampel acak berukuran n dari distribusi Bernoulli, X i Bin(1, p) dengan mean µ = p dan variansi σ 2 = pq. Mean sampel pada kasus ini adalah X = Y n, di mana Y adalah peubah acak berdistribusi Binomial (Y = n X i ), dan biasa disebut proporsi sampel dinotasikan dengan ˆp = Y n.

11 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Karakteristik dari proporsi sampel tersebut adalah 1 E(ˆp) = p 2 V ar(ˆp) = pq n

12 t F Bukti: Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

13 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Misalkan X 1, X 2,..., X n adalah sampel acak berukuran n dengan mean E(X) = µ dan variansi V ar(x) = σ 2. Fungsi t(x 1, x 2,..., x n ) = (x 1 x) (x n x) 2 n 1 ketika diaplikasikan pada data berkaitan dengan variansi sampel. Secara spesifik, variansi sampel diberikan S 2 = n (X i X) 2 n 1

14 t F Karakteristik dari variansi sampel adalah 1 E(S 2 ) = σ 2 2 V ar(s 2 ) = µ 4 n 3 n 1 σ4 n, n > 1 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

15 t F Ekspektasi dari variansi sampel n (X E(S 2 i X) 2 ( ) = E n ) n 1 = 1 n 1 E (X i X) 2 ( n ) = 1 n 1 E Xi 2 n X 2 ( n ) E(Xi 2 ) ne( X 2 ) = 1 n 1 = 1 n 1 ( n(µ 2 + σ 2 ) n = 1 n 1 [(n 1)σ2 ] = σ 2 )) (µ 2 + σ2 n Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

16 t F Sebuah statistik juga merupakan peubah acak, sehingga kita bisa menentukan distribusi dari statistik tersebut (disebut sebagai distribusi sampling). Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

17 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 Kombinasi Linier dari Peubah Normal t F Jika X i N(µ i, σi 2 ); i = 1, 2,..., n merupakan peubah acak Normal yang saling bebas, maka ( n n ) n Y = α i X i N α i µ i, αi 2 σi 2

18 t F Bukti: M Y (t) = E(e ty ) = E(e t(α 1X 1 +α 2 X α nx n) ) = E(e tα 1X 1 ) E(e tα 2X 2 )... E(e tαnxn ) = M X1 (α 1 t) M X2 (α 2 t)... M Xn (α n t) n = M Xi (α i t) = n = exp t e α iµ i t+α 2 i t2 σ 2 i /2 [ ( n n Y N α i µ i, ] n n α i µ i + t 2 αi 2 σi 2 /2 ) αi 2σ2 i Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

19 t F Jika X 1, X 2,..., X n merupakan peubah acak-peubah acak yang berdistribusi N(µ, σ 2 ), maka X ( ) N µ, σ2 n. Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

20 Contoh 1 t F Misalkan X merupakan peubah acak yang menyatakan umur baterai, akan diuji klaim bahwa X N(60, 36). 25 baterai diuji masa hidupnya dan rata-rata kelangsungan hidupnya (survival times) dihitung. Jika klaim tersebut benar, rata-rata umur 25 baterai harus melebihi nilai berapa agar peluangnya 0.95? Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

21 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Diketahui E( X) = 60 dan V ar( X) = 36/25. P ( X > c) = 1 P ( X c) ( ) c 60 = 1 Φ 6/5 = 0.95 Jadi, c 60 6/5 = z 0.05 = 1.645, maka c = bulan.

22 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Misalkan X 1, X 2,..., X n1 dan Y 1, Y 2,..., Y n2 adalah dua sampel acak yang saling bebas masing-masing berukuran n 1 dan n 2. Jika X i N(µ 1, σ1 2) dan Y j N(µ 2, σ2 2), i = 1, 2,..., n 2 dan j = 1, 2,..., n 2, maka X (µ Ȳ N 1 µ 2, σ2 1 n 1 + σ2 2 n 2 ).

23 t F Bukti: Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

24 Chi-Square t F Pandang sebuah distribusi Gamma khusus dengan α = n/2 dan β = 2. Peubah acak Y dikatakan berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas n jika Y Gamma(n/2, 2). Notasi khususnya adalah Y χ 2 (n) Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

25 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Jika Y χ 2 (n), maka M Y (t) = (1 2t) n 2 (1) E(Y ) = n (2) V ar(y ) = 2n (3) ) E(Y r ) = 2 r Γ ( r + n 2 Γ ( ) n (4) 2

26 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Ingat kembali: Jika X Gamma(α, β), maka 1 f X (x) = Γ(α)β α xα 1 e E(X) = αβ V ar(x) = αβ 2 x β M X (t) = (1 βt) α, t < 1 β

27 t F Bukti: Jika Y Gamma(n/2, 2), maka M Y (t) = (1 2t) n 2 E(Y ) = n 2 2 = n V ar(y ) = n 2 22 = 2n Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

28 t F E(Y r ) = = 0 y r 1 Γ ( ) n y n 2 1 e y 2 n dy Γ ( ) n n y r+ n 2 1 e y 2 dy misalkan u = y 2 maka du = 1 2 dy = 1 Γ ( ) n n Γ ( ) n 2 = 2r 0 (2u) r+ n 2 1 e u 2 du u r+ n 2 1 e u du = 2 r Γ ( r + n 2 Γ ( ) n 2 0 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 )

29 t F Jika X Gamma(α, β), maka Y = 2X β χ2 (2α). Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

30 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Bukti: ( M Y (t) = E(e ty ) = E ( ) 2t = M X β ( = 1 β 2t β e t 2X β ) α ) = (1 2t) 2α 2 Jadi, Y = 2X β χ2 (2α)

31 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F CDF dari distribusi Gamma dapat dinyatakan dalam notasi chi-square. Jika X Gamma(α, β) dan jika H(y; ν) menyatakan CDF dari distribusi chi-square dengan derajat bebas ν, maka ( ) 2x F X (x) = H β ; 2α

32 Contoh 2 t F Waktu sampai rusak (dalam tahun) dari suatu jenis komponen berdistribusi Gamma dengan α = 2 dan β = 3. Akan ditentukan masa garansi di mana 90% komponen akan bertahan, yaitu P (X x) = Note: Gamma menunjukkan waktu sampai komponen ke-α rusak, di mana laju "kerusakannya" adalah sebesar β. Analog dengan distribusi Binomial Negatif pada distribusi diskrit. Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

33 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan waktu bertahan (waktu sampai suatu komponen rusak). ( ) 2x P (X x) = H β ; 2α = 0.10 Kemudian diperoleh Untuk α = 2 dan β = 3, 2x β = χ2 0.10(2α) x = β χ (2α) 2 x = 3 χ (4) 2 = (3)(1.06) 2 = 1.59 tahun

34 t F Secara umum, persentil ke-p dari distribusi Gamma dapat dinyatakan dengan x p = βχ2 p(2α) 2 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

35 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Jika Y i χ 2 (n i ); i = 1, 2,..., m adalah peubah acak-peubah acak chi-square yang saling bebas, maka ( m m ) V = Y i χ 2 n i

36 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Bukti: M V (t) = E(e tv ) = E = m ( e t( m ) Y i ) M Yi (t) = (1 2t) n (1 2t) nm 2 = (1 2t) m n i 2 ( m Jadi, V χ 2 n i ).

37 t F Jika Z N(0, 1), maka Z 2 χ 2 (1). Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

38 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Bukti: M Z 2(t) = E(e tz2 ) = = 1 2π e tz2 z2 2 dz 1 1 2t = (1 2t) t e z2 (1 2t) 2 dz 2π Jadi, Z 2 χ 2 (1).

39 t t F Kita tahu bahwa S 2 dapat digunakan untuk melakukan inferensi tentang parameter σ 2 dalam suatu distribusi Normal. Demikian juga X bermanfaat bagi inferensi parameter µ; tetapi distribusi X juga bergantung pada parameter σ 2 ini menyebabkan tidak dimungkinkannya kita menggunakan X untuk melakukan inferensi bagi µ, jika σ 2 tidak diketahui. Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42

40 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Oleh karena itu perlu prosedur lain, yaitu dengan mengganti n( X µ) σ menjadi n( X µ) S. Kuantitas terakhir ini tidak berdistribusi Normal Standar tetapi tidak lagi bergantung σ.

41 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 t F Teorema Jika Z berdistribusi Normal Standar, Z N(0, 1), dan W χ 2 (ν), serta Z dan W saling bebas, maka distribusi peubah acak T = Z W ν dikenal dengan distribusi t dengan derajat bebas ν, T t(ν). Fungsi peluangnya adalah f T (t) = Γ ( ) ν+1 2 ( πν Γ ν ) 2 ( ) ν t2 2 ν

42 Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Pengantar a Matematika II March 20, /42 F t F Jika W 1 χ 2 (ν 1 ) saling bebas dengan W 2 χ 2 (ν 2 ), maka peubah acak X = W 1/ν 1 W 2 /ν 2 berdistribusi F dengan derajat bebas pembilang ν 1 dan derajat penyebut ν 2, ditulis X F (ν1 ;ν 2 ), dan fungsi kepadatan peluangnya adalah g(x) = Γ ( ) ν 1 +ν 2 2 Γ ( ) ( ν 1 2 Γ ν2 2 ) ( ν1 ν 2 ) ν 1 ( 2 x ( ν 1 2 ) ν ) ν 1 +ν x ν 2