BAB III KONDUKSI ALIRAN STEDI - DIMENSI BANYAK

Transkripsi

1 BAB III KONDUKSI ALIRAN SEDI - DIMENSI BANYAK Untuk aliran stedi tanpa pembangkitan panas, persamaan Laplacenya adalah: + y 0 (6-) Aliran kalor pada arah dan y bisa dihitung dengan persamaan Fourier: q ka (6-) q y ka y y (6-3) Aliran kalor total pada suatu titik di suatu material adalah resultan q dan q y pada titik tersebut. Vektor aliran kalor total adalah tegak lurus pada garis isothermal seperti ditunjukkan gambar. Sehingga jika distribusi temperatur suatu material diketahui, kita dengan mudah bisa menentukan aliran panas.

2 Analisis Matematik Konduksi Kalor Dua Dimensi Misalkan sebuah pelat persegi seperti yang ditunjukkan gambar, tiga sisi pelat dijaga pada temperatur, dan sisi atas mempunyai distribusi temperatur tertentu. Distribusi temperatur tersebut bisa merupakan distribusi temperatur konstan atau bisa jadilebih kompleks, misalnya distribusi sinus. Solusi persamaan diferensial dari (6-) diasumsikan berbentuk: XY dimana X X() (6-4) Y Y(y) Distribusi temperatur berbentuk sinus, dan kondisi batas: pada y 0 pada 0 (6-5) pada π m sin + pada y H dimana m adalah amplitudo fungsi sinus. Substitusi persamaan (6-4) ke (6-) menghasilkan: 6

3 X d X d Y d Y dy (6-6) Masing-masing sisi persamaan diatas adalah tak bergantung karena dan y adalah variabel tak bergantung. Karenanya setiap sisi persamaan sama dengan suatu konstanta. Maka didapat dua persamaan: d X d d Y dy + λ X 0 (6-7) + λ Y 0 (6-8) dimana λ disebut konstanta separasi. Persamaan diatas diuji terhadap kondisi batas. Untuk λ 0: X C + C Y C 3 + C 4 y (6-9) (C + C )(C 3 + C 4 y) Fungsi ini tidak memenuhi kondisi batas fungsi sinus, jadi solusi untuk λ 0 tidak dipakai. Untuk λ < 0: X C 5 e -λ + C 6 e λ Y C 7 cos λy + C 8 sin λy (6-0) ( C 5 e -λ + C 6 e λ )( C 7 cos λy + C 8 sin λy) erlihat, bahwa kondisi batas fungsi sinus tak terpenuhi, jadi jawaban ini tidak digunakan. Untuk λ > 0: X C 9 cos λ + C 0 sin λ Y C e -λy + C e λy (6-) (C 9 cos λ + C 0 sin λ)( C e -λy + C e λy ) erlihat bahwa adalah mungkin memenuhi kondisi batas fungsi sinus, untuk memudahkan dalam penyelesaian matematik, misalkan: θ 63

4 Maka kondisi batas: θ 0 pada y 0 θ 0 pada 0 (6-) θ 0 pada θ m sin π pada y H Dengan menggunakan kondisi ini: 0 (C 9 cos λ + C 0 sin λ)( C + C ) (a) 0 C 9 ( C e -λy + C e λy ) (b) 0 (C 9 cos λ + C 0 sin λ)( C e -λy + C e λy ) (c) m sin π (C 9 cos λ + C 0 sin λ)( C e -λh + C e λh ) (d) Sehingga: C -C C 9 0 Dan dari (c) : 0 C 0 C sin λ ( e λy e -λ y ) Ini menghendaki: sin λ 0 (6-3) Perlu diingat bahwa λ adalah konstanta separasi yang belum ditentukan. Beberapa harga bisa memenuhi persamaan (6-3), dan bisa ditulis dengan: λ (6-4) dimana n adalah bilangan bulat. Jawaban akhir adalah deret tak terbatas: θ y Cn sin sinh n (6-5) Kondisi batas akhir: m π sin n H Cn sin sinh 64

5 Untuk n > maka C n 0, maka: sinh( π y / ) π m sin + sinh( π H / ) (6-6) Medan temperatur untuk persamaan ni ditunjukkan oleh gambar diatas. Catat bahwa garis aliran kalor adalah tegak lurus terhadap isothermal. Sekarang anggaplah kondisi batas sebagai berikut: pada y 0 pada 0 pada pada y H Dengan tiga kondisi batas pertama, diperoleh jawaban dalam bentuk persamaan (6-5): y Cn sin sinh n (6-7) Dengan menerapkan kondisi batas keempat menghasilkan: Cn sin sinh n H (6-8) Persamaan diatas adalah deret sinus Fourier, dan harga C n bisa dicari dengan mengembangkan perbedaan temperatur konstan pada deret Fourier dengan interval 0 < <. Deretnya adalah: n + ( ) + ( ) sin π n n (6-9) Dari persamaan (6-8) dan (6-9) diperoleh: C n ( π n + ( ) ) sinh( H / ) n + dan persamaan akhir adalah: 65

6 π n ( ) n n + + sin sinh( y / ) sinh( H / ) (6-0) Analisis Grafik Anggaplah sebuah sistem dua dimensi seperti yang ditunjukkan oleh gambar 3. Permukaan dalam diatur pada temperatur tertentu yaitu, dan bagian luar dijaga pada temperatur. Garis isotermal dan aliran panas telah digambar untuk memudahkan analisis. 66

7 Garis isotermal dan aliran kalor membentuk group gambar kurvalinier seperti gambar 3b. Aliran kalor melalui bidang kurva linier ini adalah: q k ( ) (6-) y Jika y maka: keseluruhan N dimana N adalah jumlah kenaikan temperatur antara permukaan bagian dalam dan permukaan luar. Jika M jumlah bidang aliran panas maka aliran panas total: q M N k keseluruhan M N k( ) (6-) Faktor Bentuk Konduksi Pada sistem dua dimensi dimana hanya ada dua batas temperatur, kita bisa mendefinisikan faktor bentuk konduksi S yaitu: q ks keseluruhan (6-3). Harga S telah dicari untuk berbagai bentuk benda dan ditabelkan pada tabel 67

8 68

9 69

10 Perlu dicatat bahwa invers cosinus hiperbolik dirumuskan: cosh ln( ± ) Untuk dinding tiga dimensi seperti pada dapur pemanas, faktor bentuk yang terpisah digunakan untuk menghitung aliran kalor pada bidang sisi dan sudut. Jika semua dimensi dalam lebih besar dari seperlima tebal dinding, S dinding A S sisi 0,54D S sudut 0,5L L Dimana: A luas dinding L tebal dinding D panjang sisi 70

11 Contoh soal 6-: Sebuah pipa horisontal dengan diameter 5 cm dan panjang 4 m dikubur didalam tanah dengan kedalaman 0 cm. emperatur dinding pipa adalah 75 o C, dan temperatur permukaan 5 o C. ermal konduktivitas tanah adalah 0,8 /m. o C. Hitunglah kerugian panas oleh pipa. Jawab: Faktor bentuk dari soal ini diberikan oleh tabel. Karena D < 3r, π L π (4) S 5,35 m cosh ( D / r) cosh (0/ 7,5) aliran kalor: q ks (0,8)(5,35)(75 5) 859,6 Contoh soal 6-: Sebuah dapur pemanas kubus dengan ukuran cm pada sisi dalam dibuat dari bata tahan api (k,04 /m. o C) dengan tebal dinding 0 cm. Bagian dalam dapur dijaga suhunya pada 500 o C, dan suhu pada bagian luar adalah 50 o C. Hitunglah kerugian kalor melalui dinding. Jawab: Kita hitung faktor bentuk total dengan menjumlahkan faktor bentuk dari dinding, sisi dan sudut. A (0,5)(0,5) Dinding: S, 5 m L 0, Sisi: Sudut: S 0,54D 0,54 (0,5) 0,7 m S 0,5L 0,5 (0,) 0,05 m Ada 6 buah penampang dinding, sisi dan 8 sudut, sehingga faktor bentuk total: S (6)(,5) + ()(0,7) + (8)(0,05) 8,36 m Dan aliran kalor: q ks (,04)(8,36)(500 50) 8,59 k 7