PENGANTAR STATISTIK TEORI DAN APLIKASI

Transkripsi

1 BAHAN AJAR PENGANTAR STATISTIK TEORI DAN APLIKASI DISUSUN OLEH : TIM PENGAMPU STATISTIK PRODI PENDIDIKAN AKUNTANSI FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... 1 KATA PENGANTAR... 9 BAB BERKENALAN DENGAN STATISTIK Arti Dan Kegunaan Data Kebutuhan Terhadap Statistik Penjabaran Hubungan Antarvariabel Alat Bantu Dalam Mengambil Keputusan Menangani Perubahan Metodologi Pemecahan Masalah Secara Statistik Syarat Data Yang Baik Dan Pembagian Data Defenisi Statistik Peranan Statistik Arti Dan Manfaat Data Bagi Manajemen Kegunaan Data Bagi Pemerintah Daerah Berbagai Macam Data Untuk Pembangunan Daerah Peran Komputer Dalam Statistik Pembagian Statistika, Istilah-Istilah Statistika Jenis-Jenis Statistik Fungsi Statistika Lambang Statistika Jenis-Jenis Skala Pengukuran Jenis Skala Pengukuran Soal Latihan BAB PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA Pengumpulan Data Metode Pengumpulan Data Sensus Sampling

3 Alat Pengumpulan Data Pengolahan Data Pendekatan Pengolahan Data Tahap Persiapan Dalam Pengolahan Data Tahap Audit Kinerja Pada Pengolahan Data Metode Pengolahan Data Pengolahan Data Secara Manual Pengolahan Data Secara Elektronik Soal Latihan BAB PENYAJIAN DATA Cross Section Data Penyajian Dengan Tabel Penyajian Dengan Grafik Data Berkala Penyajian Dengan Tabel Penyajian Dengan Grafik Bentuk Tabel Bentuk Grafik Grafik Garis Tunggal Grafik Garis Berganda Grafik Garis Komponen Berganda Grafik Garis Persentase Komponen Berganda Grafik Garis Berimbang Neto Grafik Batangan Tunggal Grafik Batangan Berganda (Multiple Bar Chart) Grafik Batangan Komponen Berganda (Multi-Component Bar Cha Grafik Batangan Persentase Komponen Berganda (Multiple Percentage Component Bar Chart) Grafik Batangan Berimbang Neto (Net Balanced Bar Chart Grafik Lingkaran Tunggal (Single Pie Chart) Grafik Lingkaran Berganda (Multiple Pie Chart)

4 Grafik Peta (Cartogram Chart ) Grafik Gambar (Pictogram Chart ) Soal Latihan BAB DISTRIBUSI FREKUENSI Pengertian Frekuensi Pengertian Distribusi Frekuensi Tabel Distribusi Frekuensi Dan Macamnya Tabel Distibusi Frekuensi Data Tunggal Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Tabel Persentase Kumulatif Rentang Panjang Kelas Banyak Kelas Interval Kelas Frekuensi Titik Tengah BAB UKURAN PEMUSATAN Definisi Ukuran Pemusatan Rata-Rata Hitung Rata-Rata Hitung (Data Berkelompok) Rata-Rata Hitung Tertimbang Beberapa Sifat/Ciri Rata-Rata Hitung Median Median (Data Tidak Berkelompok) Untuk N Ganjil Untuk N Genap Median (Data Berkelompok)

5 Modus Modus Data Tidak Berkelompok Modus Data Berkelompok Perbandingan Antara Rata-Rata,Median,Dan Modus Rata-Rata Di Luar Ukuran Pemusatan Rata-Rata Harmonis Distribusi Yang Dibagi Oleh 4, 10, 100 Bagian Yang Sama Kuartil, Desil, Dan Persentil (Data Tak Berkelompok) Kuartil, Desil, Dan Persentil (Data Berkelompok) Soal Latihan BAB UKURAN VARIASI ATAU DISPERSI Pengukuran Dispersi Data Tidak Dikelompokkan Nilai Jarak Atau Jangkauan Rata- Rata Simpangan Simpangan Baku Pengukuran Dispersi Data Dikelompokkan A. Nilai Jarak B. Simpangan Baku Nilai Atau Data Yang Dibakukan (Standardized Value) Koefisien Variasi Ukuran Kemencengan Kurva (Skewness) Ukuran Kerunangan Kurva Latihan Soal BAB ANALISIS KORELASI DAN REGRESI SEDERHANA Pengertian Korelasi Arah Korelasi Menghitung Koefisien Korelasi Teknik Ramalan Dan Regresi Linear Sederhana Diagram Pencar Persamaan Regresi Linear

6 Soal Latihan BAB REGRESI LINEAR BERGANDA DAN REGRESI (TREND) NONLINEAR Persamaan Regresi Linier Berganda Lebih Dari Dua Variabel Cara Memecahkan Persamaan Lebih Dari Dua Variabel Korelasi Berganda Koefisien Korelasi Linier Berganda Koefisien Penentu (Kp ) Koefisien Korelasi Parsial (Kkp) Persamaan Trend Non-Linear Trend Parabola Trend Eksponensial (Logaritma) Trend Eksponensial Yang Diubah Trend Logistik Trend Gompertz Soal Latihan BAB ANALISIS DATA BERKALA Arti Dan Pentingnya Analisis Data Berkala Ciri-Ciri Dan Penggolongan Gerakan Atau Data Berkala Cara Menentukan Persamaan Trend Metode Tangan Bebas Metode Rata-Rata Semi Metode Rata-Rata Bergerak Metode Kuadrat Terkecil Soal Latihan BAB INDEKS MUSIMAN DAN GERAKAN SIKLIS Gerakan Musiman, Penyelesaian Data Bulanan, Dan Indeks Musiman Metode Rata-Rata Sederhana

7 Metode Relatif Bersambung Metode Rasio Terhadap Trend Metode Rasio Terhadap Rata-Rata Bergerak Menghilangkan Pengaruh Musiman Dan Trend Gerakan Siklis Dan Cara Mengukurnya Contoh Tambahan Mengenai Indeks Musiman Menemukan Ukuran Musiman Dengan Penggunaan Regresi Berganda ( Multiple Regressian ) Penerapan Data Berkala Dan Indeks Musim Untuk Peramalan Soal Latihan BAB ANGKA INDEKS Pengertian Angka Indeks Indeks Harga Relatif Sederhana Dan Agregatif Indeks Agregatif Tidak Berimbang Indeks Agregatif Tertimbang Indeks Rata-Rata Harga Relatif Variasi Dari Indeks Harga Tertimbang Angka Indeks Berantai Penentuan Dan Pergeseran Waktu Dasar Pengujian Angka Indeks Dan Pendeflasian Data Berkala Pendeflasian Data Berkala Soal Latihan BAB PROBABILITAS Pengertian Probabilitas Pendekatan Perhitungan Probabilitas Konsep Pendekatan Klasik Konsep Frekuensi Relatif Probabilitas Subjektif Notasi / Peristiwa Dan Notasi Himpunan Notasi Himpunan

8 Beberapa Aturan Dasar Probabilitas Aturan Penjumlahan Kejadian Saling Meniadakan Kejadian Tidak Saling Meniadakan Aturan Perkalian Kejadian Tak Bebas ( Bersyarat) Probabilitas Kejadian Interseksi Kejadian Bebas (Independent Event) Probabilitas Marjinal Permutasi Dan Kombinasi Permutasi Kombinasi Soal Latihan DAFTAR PUSTAKA

9 KATA PENGANTAR Puji syukur kami ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan hidayah sehingga dapat menyusun buku atau bahan ajar Statistik Ekonomi. Buku ini dapat menjadi referensi dalam pembelajaran Statistik Ekonomi untuk tingkat perguruan tinggi terutama pada sarjana ekonomi atau pendidikan ekonomi. Buku ini disusun berdasarkan kurikulum KKNI sehingga telah disesuaikan dengan kompetensi kelulusan pada mata kuliah statistic ekonomi. Tanpa pertolongan Allah S.W.T (Tuhan Yang Maha Esa) penyusun tidak mungkin dapat menyelesaikan bahan ajar ini dengan baik. Bahan ajar ini dibuat dengan tujuan agar pembaca mengetahui tentang statistik dengan mendalam.dalam penyusunan bahan ajar ini penyusun berharap mudah-mudahan makalah ini bisa bermanfaat bagi semua pembaca.dan bahan ajar ini dibuat untuk memenuhi tugas akhir semester mata kuliah STATISTIK. Dalam bahan ajar ini mungkin memiliki banyak ketidak sempurnaan, tapi kami telah melakukan yang semaksimal mungkin untuk para pembaca. Semoga bahan ajar ini dapat memberikan wawasan yang lebih kepada pembaca.mohon kritik dan sarannya. Medan,24 Mei 2014 Penyusun 9

10 BAB 1 PENDAHULUAN Kompetensi Inti Agar mahasiswa dapat memahami kegunaan ilmu statistik Kompetensi Dasar Menjelaskan arti dari statistik Menjelaskan kegunaan ilmu statistik Mengetahui kebutuhan terhadap statistik Menjelaskan metodologi pemecahan masalah secara statistik Menjelaskan syarat data yang baik dan pembagian data Menjelaskan peranan statistik bagi lembaga bisnis dan pemerintahan Menjelaskan peran computer dalam statistik 10

11 Arti dan Kegunaan Data Data adalah keterangan mengenai sesuatu yang dibuat dalam bentuk angkaangka (bilangan) atau dalam bukan angka-angka. Data berbentuk bilangan dinamakan data kuantitatif, sedangkan data berbentuk bukan bilangan dinamakan data kualitatif. Menurut Webster s New World Dictionary, data berarti sesuatu yang diketahui atau dianggap. Dengan demikian, data dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan. Data tentang sesuatu biasanya dikaitkan dengan tempat dan waktu. Kegunaan data pada dasarnya adalah untuk membuat keputusan oleh para pembuat keputusan (decision makers). Pihak yang membuat keputusan disebut decision makers. Namun dalam prakteknya, decision makers biasanya adalah pimpinan. Data dapat berguna, bila dikaitkan dengan masalah manajemen, sebagai : a) Dasar suatu perencanaan, agar perencanaan sesuai dengan kemampuan yang ada, sehingga dapat mencegah perencanaan yang ambisius dan susah dilaksanakan. b) Alat pengendalian, terhadap pelaksanaan atau implementasi perencanaan tersebut agar bisa diketahui dengan segera kesalahan atau penyimpangan yang terjadi sehingga dapat segera dilakukan perbaikan atau koreksi. c) Dasar evaluasi hasil kerja akhir, diharapkan hasil kerja dapat mencapai apa yang menjadi target, jika target tidak tercapai, faktor apa yang mennyebabkannya. Untuk mendapatkan data yang baik dan akurat, maka para ahli statistik biasanya mengambil sampel dari sebuah populasi. Sampel adalah suatu bagian dari populasi yang menjadi perhatian, sedangkan Populasi adalah sekumpulan objek yang akan dijadikan sebagai bahan penelitian dengan ciri mempunyai karakteristik yang sama. Populasi selalu memiliki sifat-sifat yang serupa. Populasi sering diartikan 11

12 kesatuan persoalan secara menyeluruh yang sudah ditentukan batasnya secara. sampel adalah sebagian yang diambil dari populasi yang dianggap mewakili populasi atau karakteristiknya populasinya. Beberapa macam populasi didasarkan pada jumlah anggotanya adalah sebagai berikut: a. Populasi berhingga Populasi berhingga adalah sekumpulan objek yang akan dijadikan sebagai kajian yang jumlahnya tertentu. Contoh: Populasi mahasiswa fakultas ekonomi, jumlah kendaraan bermotor dari merk tertentu yang beredar di jalan, jumlah siswa kelas III dari suatu Sekolah Dasar, dan lain sebagainya. b. Populasi tak berhingga Populasi tak berhingga adalah sekumpulan objek yang akan diteliti berjumlah tidak terhingga banyak. Contoh: Populasi amoeba dalam suatu parit, jumlah pelanggan supermarket, jumlah partikel di udara, dan lain-lain. Sedangkan ukuran yang dipakai dalam populasi dan sampel adalah : Ukuran Populasi : Banyaknya anggota yang ada dalam sebuah populasi, dan dilambangkan dengan N. Ukuran Sampel : Banyaknya anggota yang ada dalam sebuah sampel, dan dilambangkan dengan n. Macam-macam pengumpulan data ada tiga, yaitu : Sampel Acak (Random Sample) Sampel yang dipilih berdasarkan peluang tertentu. Sampling 12

13 Proses dari penyeleksian suatu jumlah elemen populasi menjadi anggota sampel. Sensus Cara pengumpulan data kalau seluruh elemen diteliti satu per satu. Ada beberapa alasan mengapa sensus tidak dapat dilakukan, diantaranya : banyaknya populasi yang terhingga tapi tersebar dan sulit dijangkau, banyaknya petugas sensus yang harus dikerahkan, serta efisienkah atau sebandingkah waktu dan biaya yang telah dikeluarkan dengan hasil yang diperoleh, serta beberapa alasan lainnya. Kebutuhan Terhadap Statistik Dalam kehidupan sehari-hari, merupakan suatu fakta bahwa kita membutuhkan statistik untuk membantu dalam (1) menjabarkan dan memahami suatu hubungan, (2) mengambil keputusan yang lebih baik, dan (3) menangani perubahan. Penjabaran Hubungan Antarvariabel Jumlah data kuantitatif yang dikumpulkan, diolah, dan disajikan kepada umum serta para pengambil keputusan dalam organisasi untuk tujuan tertentu telah mengikat dengan sangat cepat. Oleh karena itu, diperlukan suatu kemampuan untuk menyaring jumlah yang begitu besar agar kita dapat mengidentifikasi dan menjabarkan hubungan antar variabel. Alat Bantu Dalam Mengambil Keputusan Seorang administrator dapat menggunakan statistik sebagai alat bantu untuk menghasilkan keputusan yang lebih baik dalam kondisi ketidakpastian. Sebagai contoh, misalkan manajer Perusahaan Kosmetika Selalu Cakep, Suryono, mengiklankan bahwa 90 persen konsumen puas dengan produksi perusahaannya. Jika Ibu Aminah, seorang aktivis politik, merasa bahwa pernyataan ini berlebihan dan perlu ditindak secara hukum, ia dapat 13

14 menggunakan teknik penyimpulan statistik apakah akan mengajukan tuntutan terhadap Pak Suryono atau tidak. Menangani Perubahan Merencanakan adalah memutuskan serangkaian tindakan yang akan dilakukan pada masa mendatang oleh karena itu, perencanaan dan keputusan didasari oleh perkiraan tentang kejadian atau hubungan yang akan terjadi di masa mendatang. Namun prosedur statistik jelas tidak akan dapat meramalkan masa depan dengan tepat tanpa ada kesalahan. Metodologi Pemecahan Masalah secara Statistik Langkah-langkah dasar dalam pemecahan masalah secara statistik adalah : 1. Mengidentifikasi masalah atau peluang. Manajer atau staf pertama-tama harus memahami dan mengidentifikasi masalah atau peluang yang dihadapi secara tepat. Informasi kuantitatif yang bermanfaat dalam hal ini mencakup data yang menggariskan sifat dan luas permasalahan. 2. Mengumpulkan fakta yang tersedia. Data yang dikumpulkan harus benar, tepat waktu, selengkap mungkin dan relevan terhadap masalah yang ditelaah. Sumber data dapat diklasifikasikan kedalam kategori eksternal dan internal. 3. Mengumpulkan data orisinil yang baru. Dalam banyak hal data yang diperlukan oleh analisis tidak tersedia dari sumber-sumber lain, sehingga tidak ada alternatif bagi analis kecuali mngumpulkan sendiri. 4. Mengklasifikasikan dan mengikhtisar data. Setelah data dikumpulkan, langkah selanjutnya adalah mengorganisasikan data untuk tujuan penelaahan. Identifikasi jenis data dengan karakteristik serupa dan mengaturnya kedalam kelompok atau kelas, disebut klasifikasi. 5. Menyajikan data. Ikhtisar informasi yang penting dalam bentuk tabel, grafik dan ukuran kuantitatif menyediakan sarana pemahaman masalah, membantu mengidentifikasikan hubungan-hubungan, dan membantu para analis 14

15 menyajikan serta mengkomunikasikan butir-butir penting kepada pihak-pihak yang berkepentingan. 6. Menganalisis data. Pihak yang memecahkan masalah harus menginterpretasikan hasil dari langkah-langkah sebelumnya, menggunakan ukuran deskriptif yang telah dihitung sebagai dasar untuk menarik kesimpulan secara statistik yang mungkin bernilai, dan menggunakan alat bantu statistik yang mungkin dapat membantu mencari kemungkinan rangkaian tindakan paling menarik. Syarat Data yang baik dan Pembagian Data Data yang salah, apabila digunakan sebagai dasar bagi pembuatan keputusan, akan menghasilkan keputusan yang salah. Persyaratan data yang baik, antara lain : Objektif. Data yang objektif berarti bahwa data harus sesuai dengan keadaan yang sebenarnya (as it is). Representatif (mewakili). Data harus mewakili objek yang diamati. Kesalahan sampling (sampling eror) kecil. Suatu perkiraan (estimate) dikatakan baik (memiliki tingkat ketelitian yang tinggi) apabila kesalahan samplingnya kecil. Tepat waktu. Apabila data akan dipergunakan untuk melakukan pengendalian atau evaluasi, maka syarat ini penting sekali agar sempat dilakukan penyesuaian atau koreksi. Relevan. Data yang dikumpulkan harus ada hubungannya dengan masalah yang akan dipecahkan. Data dapat dikelompokkan, antara lain, menurut sifatnya, sumber, cara memperoleh dan waktu pengumpulan. Data menurut sifatnya. Data menurut sifatnya dibedakan antara data kuantitatif dan data kualitatif. Contoh: data jumlah penduduk, jumlah pendapatan nasional, dan lain sebagainya. Data kuantitatif adalah data yang dinyatakan dalam bentuk angka, sedangkan data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka.. 15

16 Contoh: data jenis kelamin penduduk, tingkat pendidikan dan sebagainya. Data jenis ini harus diubah terlebih dahulu menjadi data kuantitatif sebelum diolah. Data menurut sumbernya. Data menurut sumbernya mengacu kepada sumber perolehan data, yakni eksternal dan internal. Data internal adalah data yang bersumber dari keadaan atau kegiatan suatu organisasi atau kelompok. Data eksternal adalah data yang bersumber dari luar suatu organisasi. Data menurut cara memperolehnya. Dapat dibedakan antara data primer dan data sekunder. Data primer adalah data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh suatu organisasi atau perorangan langsung dari objeknya. Data sekunder adalah data yang diperoleh dalam bentuk jadi dan telah diolah sendiri oleh pihak lain, yang biasanya dalam bentuk publikasi. Data menurut waktu pengumpulannya. Data dapat dibedakan menjadi data cross section dan data berkala (times series). Data cross section adalah data yang dikumpulkan dalam suatu periode tertentu, sedangkan data berkala adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu. Tujuannya adalah untuk menggambarkan perkembangan suatu kegiatan dari waktu ke waktu. Defenisi Statistik Hampir dalam tiap bidang baik pemerintahan, pendidikan, perekonomian, perindustrian, atau lainnya akan menghadapi persoalan yang diantaranya dinyatakan dengan angka-angka. Kumpulan angka-angka ini biasanya disusun dalam tabel atau daftar disertai diagram atau grafik. Kumpulan angka-angka mengenai suatu masalah yang dapat memberi gambaran mengenai masalah tersebut dinamakan statistik, seperti statistik penduduk, statistik kelahiran, statistik pendidikan dan lain-lain. Statistik juga diartikan sebagai ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan wakil dari data itu. Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan bahan-bahan atau keterangan, pengolahan serta penganalisisan, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang beralasan berdasarkan penganalisisan yang dilakukan. 16

17 Beberapa pakar statistik telah memberikan pengertian tentang statistik, antara lain Sudjana (1992) menyatakan statistik adalah kumpulan fakta yang umumnya berbentuk angka yang disusun dalam tabel, dan atau diagram, yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan. Abadio, dkk (2005) statistik dalam praktek menyangkut beberapa rumus untuk perhitungan secara numerik dan beberapa rumus itu ada yang sederhana tetapi adapula yang sangat kompleks. Kata statistik juga mengandung pengertian lain, yakni dipakai untuk menyatakan ukuran sebagai wakil dari kumpulan data mngenai suatu hal. Ukuran ini didapat berdasarkan perhitungan (menggunakan rumus tertentu) dari sekumpulan data tentang persoalan tersebut. Ukuran tersebut dapat dinyatakan dalam persen, rata-rata, median, modus dan lain sebagainya. Sebetulnya banyak sekali definisi tentang statistic, tetapi tak ada definisi yang memuaskan. Hal ini disebabkan karena luasnya ruang lingkup statistik. Untuk keperluan praktis, statistik bisa diartikan secara sempit dan luas. Dalam arti sempit, statistik berarti data ringkasan berbentuk angka (kuantitatif). Statistik penduduk, misalnya, adalah data atau keterangan berbentuk angka ringkasan mengenai penduduk, statisti personalia, dan sebagainya. Dalam arti luas, statistik berarti suatu ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan, penyajian dan analisis data serta cara pengambilan kesimpulan dengan memperhitungkan unsur ketidak pastian berdasarkan konsep probabilitas. Pengertian ini merujuk pada istilah statistics yang biasanya diterjemahkan dengan istilah statistika. Definisi ini menekankan kepada urutan kegiatan dalam memperoleh data sampai data itu berguna untuk dasar pembuatan keputusan. Jadi, apabila seseorang memerlukan datauntuk dasar pengambilan keputusan, maka data tersebut harus dikumpulkan, diolah, disajikan dan dianalisis, kemudian diambil kesimpulannya. Yang perlu ditekankan disini adalah bahwa metode pengumpulan data secara statistik haruslah efisien, maksudnya agar dapat menghemat tenaga, biaya, dan 17

18 waktu,dan bisa diperoleh dengan tingkat ketelitian yang tinggi. Statistik dapat digunakan manakala telah tersedia data sebagai bahan dasar perhitungan dan analisisnya. Data dalam konteks statistik adalah data kuantitatif. Peranan Statistik Peranan statistik dalam kehidupan sehari hari, pemerintah, penelitian atau riset sangat besar manfaatnya. Dalam kehidupan sehari-hari misalnya sering kita baca di surat kabar pernyataan tentang persentase pengangguran di indonesia, jumlah kecelakaan lalu lintas, grafik nilai tukar dollar dgn rupiah, dll. Statistik menyediakan tehnik/tatacara tentang: Pencatatan data secara eksak Membantu agar bekerja dengan tata-pikir definitif dan sistematis Menyajikan data agar ringkas dan mudah difahami Memudahkan analisis data kuantitatif yang kompleks dan rumit Penarikan kesimpulan atas data dari hasil penelitian Meramalkan kecenderungan peristiwa yang akan terjadi Arti dan Manfaat Data bagi Manajemen Peranan data untuk keperluan manajemen, yaitu sebagai dasar perumusan perencanaan, alat kontrol, dan dasar evaluasi hasil kerja. Didalam setiap perencanaan diperlukan data masa lampau, sekarang dan masa yang akan datang sebagai ramalan. Data diperlukan dalam perumusan perencanaan agar sesuai dengan kemampuan yang ada. Suatu perencanaan yang tidak sesuai dengan kemampuan merupakan perencanaan yang ambisius dan sukar untuk dilaksanakan. Data hasil ramalan akan memberikan gambaran mengenai sesuatu di masa yang akan datang termasuk gambaran mengenai kemampuan. Secara ringkas data itu berguna untuk 18

19 mengetahui permasalahan dan untuk membuat keputusan dalam memecahkan masalah. Kegunaan Data bagi Pemerintah Daerah Didalam dunia pemerintahan, statistik digunakan untuk menilai hasil pembangunan masa lalu dan juga untuk membuat rencana masa depan. Pemerintah mngambil manfaat dari kegunaan statistik untuk melakukan tindakan yang perlu dalam menjalankan tugasnya, misalnya, dalam hal pendapatan penduduk, lebih dari dua pertiga penduduk indonesia yang tinggal di daerah pedesaaan berpendapatan rendah apabila dibandingkan dengan mereka yang tinggal di daerah perkotaan. Untuk mengatasi hal tersebut, pemerintah daerah harus memanajemen penduduk yang berpendapatan rendah tersebut dengan memusatkan diri pada mereka, maka ikhtisar utamanya adalah memenuhi kebutuhan pokok penduduk dan mengusahakan agar jumlah penduduk dapat dikurangi dan dalam waktu tertentusudah dapat ditiadakan. Maka pemerintah harus mengumpulkan data dari waktu ke waktu yang dapat menggambarkan perkembangan tersedianya sumber yang diperlukan sekaligus digunakan untuk mengetahui arah perkembangan dari masing-masing sumber. Hal ini akan memudahkan dalam penyusunan strategi pembangunan serta penentuan prioritas. Berbagai Macam Data untuk Pembangunan Daerah Data untuk keperluan pembangunan daerah antara lain sebagai berikut : 1. Data sumber daya 2. Data pertanian 3. Data peternakan 4. Data kehutanan 5. Data perikanan 6. Data industri dan kegiatan non-pertanian lainnya 7. Data tenaga kerja 8. Data pendidikan 19

20 9. Data kesehatan 10. Data keluarga berencana 11. Data perumahan 12. Data pendapatan wilayah 13. Tabel input-output daerah Peran Komputer dalam Statistik Pada kenyataannya, komputer dapat secara efisien digunakan pada setiap operasi pengolahan yang memiliki satu atau lebih karakteristik berikut: 1. Jumlah masukan (input) yang besar. Semakin besar jumlah data yang akan diolah, maka akan semakin ekonomis pengolahannya dibandingkan metode lain. 2. Proyek yang repetitif. 3. Diinginkan dan diperlukan kecepatan tinggi dalam pengolahan. 4. Diinginkan dan diperlukan ketepatan tinggi dalam pengolahan. 5. Mengolah hal-hal kompleks yang memerlukan bantuan elektronik. Ada banyak sekali teknik statistik yang memerlukan peran komputer didalamnya, terutama data yang berukuran besar, yang memerlukan ketepatan dan kecepatan. Beberapa paket program statistik seperti minitab, SAS, SPSS dan SYSTAF yang tersedia secara luas. Paket-paket program tersebut dapat digunakan untuk mengolah data yang kecil maupun data yang berukuran besar. Pembagian Statistika, Istilah-istilah Statistika Statistika dapat dibagi menjadi dua yaitu statistika matematis atau statistika teoritis dan statistika terapan atau statistika aplikasi. 1. Statistika Teoritis (matematis) 20

21 Statistika teoritis adalah statistika yang dipelajari secara mendalam, mendasar, dan secara teoritis. Dalam mempelajari statistika teoritis, diperlukan adanya kemampuan matematika yang sangat dalam dan kuat. Hal ini dikarenakan bahasan statistika teoritis adalah penurunan sifat-sifat, dalildalil, rumus-rumus, menciptakan model-model yang secara teoritis dan matematis, misalnya rumus rata-rata, model regresi linear sederhana dan sebagainya. 2. Statistika Terapan (Aplikasi) Dalam mempelajari statistika terapan, tidak diperlukan kemampuan matematika yang kuat, karena bahasan statistika terapan hanya mempelajari teknik penggunaan statistika untuk penelitian atau kepentingan yang lainnya.. Apa yang telah diciptakan oleh statistika teoritik, berupa aturan-aturan, rumus-rumus, sifat-sifat dan sebagainya dipelajari dan digunakan sesuai dengan kebutuhan diberbagai bidang pengetahuan. Oleh karena itu bahasan disini tidak mempersoalkan bagaimana diperoleh rumus-rumus atau aturanaturan, melainkan hanya bagaimana cara menggunakan rumus-rumus atau aturan-aturan statistika dalam menyelesaikan suatu permasalahan. Dengan demikian maka statistika terapan digunakan diberbagai bidang ilmu, baik ilmu alam maupun ilmu sosial. Di bidang ilmu alam dikenal fisika statistik, di bidang ilmu teknik dikenal dengan nama stokastik, dan bidang ilmu pertanian banyak menggunakan statistika. Dibidang ilmu sosial, statistika digunakan diberbagai bidang ilmu seperti; a. Psikologi b. Pendidikan c. Ekonomi d. Sosiologi e. Manajemen f. Linguistik g. Kesehatan masyarakat 21

22 Jenis-jenis Statistik Jenis-jenis statistik ditinjau dari segi pengolahan data, yaitu : a. Statistik Deskriptif Statistika deskriptif dapat disebut juga sebagai statistika deduktif atau statistika sederhana. Staistika deskriptif adalah statistika yang tingkat pengerjaanya mencakup cara-cara menghitung, menyusun atau mengatur, mengolah, menyajikan data agar dapat memberikan gambaran yang ringkas mengenai suatu keadaan, seperti teknik umum mencari rata-rata, median, modus, kuartil dan lain sebagainya.statistik deskriptif membatasi generalisasinya pada kelompok individu yang di observasi. Tidak ada kesimpulan yang diperluas/digeneralisasi, sehingga tidak berlaku bagi kelompok lain. Ukuran Lokasi: mode, mean, median, dll Ukuran Variabilitas: varians, deviasi standar, range, dll Ukuran Bentuk: skewness, kurtosis, plot boks b. Statistik Inferensial (Induktif) Statistik inferensial selalu melibatkan proses sampling dan memilih sekelompok kecil yang diasumsikan berhubungan dengan kelompok besar tempat ditariknya kelompok sampel itu. Sedangkan kelompok besar yang menjadi asal dinamakan populasi. Penarikan kesimpulan mengenai populasi didasarkan atas hasil observasi terhadap sampel. Statistik adalah ukuran yang didasarkan atas observasi terhadap karakteristik suatu sampel yang boleh jadi digunakan untuk mengetimasi parameter, mengenalkan nilai pada populasi dari mana sampelnya dipilih. 22

23 Statistika inferensial adalah statistika yang berhubungan dengan analisis data untuk penarikan kesimpulan dari data. Misalnya, teknik uji hipotesa, analisis varians, teknik korelasi, regresi dan lain-lain. Sebelum dibuatnya suatu asumsi, individu-individu dipilih sedemikian rupa sehingga kelompok sampel tersebut mewakili populasinya, dengan demikian dapat dikatakan bahwa estimasi mengenai karakteritik populasinya melalui analisis atau karakteristik sampel. Pengelompokan Statistika lainnya ditinjau dari segi bentuk parameternya, antara lain: a. Statistika Parametrik Statistik parametrik adalah statistika yang dipergunakan untuk data yang berskala interval dan rasio, sebaran data harus sama dan berdistribusi normal. Menggunakan asumsi mengenai populasi Membutuhkan pengukuran kuantitatif dengan level data interval atau rasio b. Statistika Nonparametrik (distribution-free statistics for use with nominal / ordinal data) Skala Nonparametrik adalah statistika yang dipergunakan apabila kita mengabaikan sebaran normal, statistika untuk data kualitatif dan statistika yang bebas sebaran. Menggunakan lebih sedikit asumsi mengenai populasi (atau bahkan tidak ada sama sekali) Membutuhkan data dengan level serendahrendahnya ordinal (ada beberapa metode untuk nominal) Berdasarkan variabel terikat yang dianalisis, maka statistika dibedakan menjadi statistika univariat dan multivariat. 23

24 Statistika univariat adalah teknik statistika yang dalam analisisnya hanya melibatkan satu variabel terikat terlepas dari berapapun banyak variabel bebasnya. Misalnya penelitian tentang hubungan motivasi belajar dengan prestasi belajar matematika di Madrasah Ibtidaiyah Suka Maju. Sedangkan statistika multivariat adalah teknik statistika yang dalam analisis paling sedikit melibatkan dua buah variabel terikat sekaligus. Misalnya perbandingan metode demontrasi dengan metode tanya jawab ditinjau dari waktu belajar pagi dan sore pada mata pelajaran sains topik bahasan gaya geseran. Pengelompokan statistik yang ditinjau dari segi penerapannya dibedakan penerapannya seperti : statistik sosial, statistik pendidikan, statistik ekonomi, statistik perusahaan, statistik pertanian, statistik kesehatan, dan sebagainya. Fungsi Statistika Fungsi statistika seperti telah disinggung secara tidak langsung pada uraian sebelumnya, maka fungsi statistika perlu diulas kembali secara lebih terinci dalam berbagai bidang yaitu: 1. Penelitian ilmiah Peranan statistika dalam penelitian ilmiah adalah penyajian data yang diperoleh dari hasil pengukuran terhadap variabel terikat dan mengemukakan atau menemukan, dan menerangkan kembali keterangan-keterangan yang tersembunyi dalam angka-angka statistik. Selain itu statistika juga memiliki peranan sebagai sarana untuk melakukan analisis dan interpretasi dari data kuantitatif, sehingga diperoleh kesimpulan dari hasil penelitian ilmiah yang berupa ilmu. 2. Proses Pembelajaran 24

25 Peranan statistika dalam kegiatan pembelajaran disekolah yaitu membantu para guru dalam melakukan analisis butir soal-soal yang digunakan untuk mengukur hasil belajar siswa dan membantu guru untuk menghitung rata-rata kelas dan simpangan baku dalam rangak menentukan nilaidalam rapot. 3. Kehidupan sehari-hari Dalam kehidupan sehari-hari statistika memiliki peranan untuk menyediakan data, bahan-bahan atau keterangan-keterangan dari berbagai hal untuk disajikan, dianalisis dan ditafsirkan. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan kehidupan yang modern ini, banyak kajian-kajian yang telah dilakukan oleh para ahli terhadap statistika, hasilnya adalah bermunculan beberapa cabang ilmu baru yang merupakan gabungan dari beberapa ilmu yang telah ada dengan statistika. Salah satunya adalah pengabungan statistika dengan ilmu tertentu menghasilkan cabang ilmu baru antara lain: 1. Psikometri merupakan penggabungan statistika dan ilmu psikologi, 2. Sosiometri merupakan gabungan dari statistika dengan ilmu sosiologi, 3. Ekonometrika merupakan gabungan dari statistika dengan ilmu ekonomi. Lambang Statistika Dalam statistika banyak lambang huruf atau abjad yang digunakan untuk memudahkan penulisan. Pada umunya huruf yang digunakan sebagai lambang biasanya huruf latin bentuk kapital dan nonkapital, dan huruf Yunanibentuk kapital dan nonkapital. Dalam penggunaanya, dapat saja terjadi huruf kapital dan huruf nonkapital yang sama mewakili besaran berbeda. Missal huruf X dan x dapat mewakili besaran yang berbeda. 25

26 Beberapa huruf Yunani yang digunakan dalam statistika yaitu; Nama Kapital kecil Nama Kapital kecil alpha Α α nu Ν ν beta Β β xi Ξ ξ gamma Γ γ omicron Ο ο delta Δ δ pi Π π epsilon Ε ε rho Ρ ρ zeta Ζ ζ sigma Σ σ, ς eta Η η tau Τ τ theta Θ θ upsilon Υ υ iota Ι ι phi Φ φ kappa Κ κ khi Χ χ lambda Λ λ psi Ψ ψ mu Μ μ omega Ω ω Jenis-jenis Skala Pengukuran Skala pengukuran yang dapat digunakan dalam pengolahan data statistik adalah sebagai berikut: 1. Data Nominal Data nominal adalah data statistik yang cara menyusunnya atas golongan atau klasifikasi tertentu. Contoh: Jumlah mahasiswa dari segi tingkat kelas dan kelamin. Skala nominal pada dasarnya bukan untuk mengukur, melainkan untuk membedakan secara klasifikasi. 26

27 Bilangan atau angka digunakan untuk mewakili klasifikasi, kategori, dan sebagainya. Bilangan hanya berfungsi sebagai lambang untuk membedakan. Simbol matematik yang digunakan adalah: = dan 2. Data Ordinal Data ordinal adalah data statistik yang cara menyusunnya didasarkan pada urutan, kedudukan dan rangking/tingkatan data. Contoh: Pandai, kurang pandai dan tidak pandai. Skala Ordinal digunakan untuk mengukur perbedaan kualitas atau kuantitas yang tidak dapat diketahui berapa unit selisihnya, tetapi diketahui perbedaannya bahwa yang satu lebih tinggi atau lebih rendah dari yang lainnya kualitas atau kuantitasnya Bilangan berfungsi sebagai: (1) lambang untuk membedakan; dan (2) untuk memberikan peringkat (rank). Simbol matematik yang digunakan: > dan <. 3. Data Interval Data interval adalah data statistik dimana terdapat jarak yang sama. Dari satu data ke data yang lain intervalnya sama. Contoh: Mahasiswa yang mendapat nilai 1 sampai 10, petani yang mempunya hasil panen antara 2 sampai 15 kwintal, dan sebagainya. Dalam skala Interval bilangan berfungsi sebagai: (1) lambang; (2) memberikan peringkat (urutan); dan (3) memperlihatkan jarak atau interval yang bermakna. Ciri utama skala interval adalah titik nol bukan titik nol absolut, tetapi yang dicantumkan berdasarkan perjanjian. Simbol matematik yang digunakan: + dan -. 27

28 4. Data Rasio Data rasio adalah data yang tergolong dalam data kontinum tapi mempunyai ciri (syarat) tertentu. Contoh: Berat badan Paman 60 Kg, Berat badan Sagung 15 Kg. Dengan demikian, berat badan Ibu adalah 4 kali berat badan Ani. Ciri utama skala rasio adalah titik nol-nya merupakan nol absolut. Semua hukum aritmatik berlaku pada skala ini. Simbol matematik yang digunakan: X dan / Contoh: berat timbangan, jumlah orang, jumlah pohon, dsb. Jenis Skala Pengukuran Karakteristik Nominal Ordinal Interval Rasio Mempuyai nol mutlak dan rasio antara dua bilangan mempunyai arti Perbedaan bilangan mempunyai arti Pengukuran dapat digunakan untuk membuat peringkat atau mengurutkan objek Bilangan menunjukkan perbedaan 28

29 SOAL LATIHAN A. Soal pilihan berganda 1. Keterangan mengenai sesuatu yang dibuat dalam bentuk angka-angka (bilangan) atau dalam bukan angka-angka adalah maksud dari. a. Statistik b. Data c. Matematika d. Statistika 2. Untuk mendapatkan data yang baik dan akurat, maka para ahli statistik biasanya mengambil. a. Sampel dan Populasi b. Jumlah dan Rata-rata c. Data yang sebenarnya d. Survey 3. Sebutkan macam-macam dari pengumpulan data di statistik a. Survey, sampel, dan populsi b. Sensus, populasi dan survey c. Sampling dan populasi d. Sampel acak, sampling dan sensus 4. Pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan bahan-bahan atau keterangan, pengolahan serta penganalisisan, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang beralasan berdasarkan penganalisisan yang dilakukan adalah pengertian dari a. Statistika 29

30 b. Statistik c. Bilangan d. Populasi 5. Ditinjau dari segi pengolahan data statistic dibagi menjadi dua jenis yaitu : a. Statistik deskriptif dan Statistik Inferensial (Induktif) b. Statistik terapan dan Statistik teoritis c. Statistik penduduk dan Statistik ekonomi d. Statistik computer dan Statistik Inferensial 6. Fungsi dari statistik adalah a. Sebagai untuk pencari hasil sensus penduduk b. Untuk penunjang pembelajaran matematika c. Untuk penghitungan pemilu d. Penelitian ilmiah, Proses Pembelajaran, dan untuk Kehidupan seharihari 7. Penggabungan antara statistik dan ilmu ekonomi akan berubah menjadi ilmu... a. Geometrika b. Ekonometrika c. Psikometri d. Sosiometri 8. Skala pengukuran yang dapat digunakan dalam pengolahan data statistik adalah a. Data intern, Data modus dan Data ekstern b. Data interval, Data Rasio dan Data median c. Data Ordinal, Data Rasio, Data Interval dan Data Nominal d. Data Time series, Data cross section, Data manipulasi, dan Data ekonometri 9. Data statistik yang cara menyusunnya didasarkan pada urutan, kedudukan dan rangking/tingkatan data adalah 30

31 a. Data Rasio b. Data Ordinal c. Data Interval d. Data Nominal 10. Sekumpulan objek yang akan dijadikan sebagai bahan penelitian dengan ciri mempunyai karakteristik yang sama adalah a. Sample b. Sampling c. Populasi d. Populasi tak terhingga B. Soal essai 1. Data dapat berguna, bila dikaitkan dengan masalah manajemen, karena data dapat berguna sebagai 2. Sebutkan perbedaan dari sample dan populasi 3. Sebutkan pengertian dari populasi berhingga dan populasi tak berhingga juga sebutkan pebedaan masing-masing jenis populasi tersebut 4. Dalam kehidupan sehari-hari kita menbutuhkan statistik untuk membantu dalam hal 5. Apakah yang dimaksud dengan Data cross section dan Data time series dan juga sebutkan contoh datanya 6. Sebutkan dan jelaskan langkah-langkah dasar dalam pemecahan masalah secara statistik Sebutkan persyaratan data yang baik didalam statistik 8. Data dapat dikelompokkan antara lain, menurut sifatnya, sumber, cara memperoleh dan waktu pengumpulan. Sebutkan dan jelaskan pengelompokkan data tersebut 9. Sebutkan peranan statistik dalam kehidupan sehari-hari 10. Sebutkan dan jelaskan Data untuk keperluan pembangunan daerah C. Soal studi kasus 31

32 1. Diketahui informasi sebagai berikut : Sebuah survey dilakukan untuk melihat struktur pengangguran. Jenis pengangguran dikelompokkan menjadi 8 kelompok, yaitu Tidak/belum pernah sekolah, Belum/tidak tamat SD, SD, SLTP, SLTA Umum, SLTA Kejuruan, Diploma I,II,III/Akademi, Universitas. Data dicatat dengan kode 1 yang menyatakan tidak/belum pernah sekolah, 2 menyatakan belum/tidak tamat SD, 3 menyatakan SD, dan seterusnya. Variabelnya adalah sektor pengangguran. Apakah variabel tersebut termasuk kualitatif atau kuantitatif dari data diatas. 2. Diketahui informasi sebagai berikut: Sebuah biro perjalanan Raja Ampat di Papua mengumpulkan data tentang wisatawan lokal maupun mancanegara yang berkunjung ke Raja Ampat di Papua tersebut. Pertanyaan berikut ditanyakan pada 10 orang penumpang sebagai sampel di pesaawat yang datang pada bulan februari a. Perjalanan ke Raja Ampat ini sudah yang ke berapa kali : 1, 2, 3, 3+ b. Alasan utama perjalanan ke Raja Ampat ini adalah : (4 kategori yaitu: liburan, konfrensi, bulan madu, mengunjungi kerabat, urusan bisnis). c. Rencana para penumpang untuk tinggal di Raja Ampat tersebut : (5 kategori yaitu : apartemen, tempat saudara, camping, hotel, dan penginapan sederhana). d. Total jumlah hari tinggal di Raja Ampat. Setelah mendaptkan jawaban dari semua pertanyaan untuk 10 penumpang tersebut. Maka Anda diminta untuk menjawab pertanyaan dibawah ini : - Sebutkan populasi yang diteliti. - Apakah dengan menggunakan pertanyaan atau kuesioner tadi merupakan cara yang paling efektif untuk mencari populasi para penumpang pesat yang datang. 32

33 - Berikan pendapat anda atas pertanyaan diatas apah menurut anda pertanyaan tersebut merupakan akan menghasilkan data kulitatif atau data kuantitatif dan kemukakan alasan anda. BAB 2 PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA Kompetensi Inti Menjelaskan tentang pengumpulan dan pengolahan data statistika Kompetensi Dasar Mengetahui tentang metode pengumpulan data Mengetahui alat pengolahan data Mengetahui cara pengolahan data Mengetahui metode pengolahan data 33

34 PENGUMPULAN DATA Kualitas data yang dihasilkan oleh peneliti tergantung pada validitas dan reliabilitas instrumen atau alat pengumpul datanya. Apabila instrumennya valid dan reliabel datanya juga akan cukup valid dan reliable. Akan tetapi salah satu faktor yang tidak boleh dilupakan adalah kualifikasi dari pengambil data (pelaksana), karena meskipun instrumennya valid dan reliabel namun apabila pengambil datanya kurang/tidak memahami tentang instrumen tersebut, maka data yang diperoleh ada kemungkinan tidak akan valid dan reliabel. Sebagai contoh, beberapa alat laboratorium atau test psikologis mensyaratkan kualifikasi tertentu dari pihak pelaksana sehingga tidak dapat dilakukan oleh sembarang orang yang tidak memiliki dasar pendidikan atau pengalaman khusus tentang instrumen tersebut. Selain hal tersebut di atas langkah-langkah yang telah digariskan oleh suatu metode pengambilan data harus dilaksanakan secara tertib. Biasanya setiap alat atau metode pengambilan data dilengkapi dengan petunjuk pelaksanaannya, dan inilah yang harus dipahami oleh peneliti atau pelaksana yang ditugasi oleh si peneliti untuk mengumpulkan data. Secara umum tujuan pengumpulan data adalah: 1. Membantu dalam setiap pengambilan keputusan yang lebih baik 2. Membantu melihat kemajuan dari kegiatan tertentu. Pengumpulan data merupakan kegiatan yang banyak dilakukan dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, seseorang akan membeli sebuah pesawat televisi baru di 34

35 sebuah toko. Ada dua jenis data yang dibutuhkan yaitu, harga pesawat televisi dan jumlah uang yang tersedia. Bahkan jika orang tersebut hati-hati tentu akan mengumpulkan data lain seperti, harga pesawat sejenis di took lain bahkan mungkin harga barang lain yang diperlukan yang mungkin lebih penting manfaatnya dari pesawat TV. Jadi, orang tersebut punya data-data untuk membantu dalam pengambilan keputusannya. Tujuan pengumpulan data dalam audit kinerja adalah untuk memperoleh bukti audit untuk mendukung temuan audit. Dalam proses pengumpulan dan pengolahan data pada audit kinerja dibedakan antara: bukti audit, bukti, informasi dan data. Istilah-istilah tersebut memiliki pengertian sebagai berikut: Data adalah kumpulan bahan keterangan yang dapat berwujud angka dan tidak berwujud angka. Informasi adalah data yang sudah diolah. Bukti adalah segala informasi yang digunakan oleh auditor untuk menentukan apakah informasi terukur yang diauditnya memang sesuai dengan kriteria (tolok ukur) yang ditetapkan. Bukti audit adalah bukti-bukti yang dikumpulkan auditor selama audit berlangsung untuk mendukung simpulan audit. Simpulan audit dan rekomendasi audit sangat tergantung kepada bukti-bukti audit yang didapat. Bukti-bukti tersebut harus memenuhi sifat, kualitas dan jumlah yang memadai, agar simpulan yang dibuat berdasarkan bukti-bukti tersebut valid. Bukti yang cukup, kompeten, dan relevan harus diperoleh untuk rnenjadi dasar yang memadai bagi temuan dan simpulan auditor. Suatu catatan mengenai pekerjaan auditor harus dibuat dalam bentuk kertas kerja audit. Kertas kerja audit harus memuat informasi yang cukup untuk memungkinkan auditor memastikan bahwa dari kertas kerja audit tersebut diperoleh bukti yang mendukung simpulan dan penilaian audit. Hal tersebut disyaratkan dalam standar audit kinerja. 35

36 Selain itu, tujuan pengumpulan data adalah untuk mengetahui jumlah elemen dan mengetahui karakteristik dari elemen-elemen tersebut. Karakteristik adalah sifatsifat, ciri-ciri atau hal-hal yang dimiliki oleh elemen, yaitu semua keterangan mengenai elemen. Variabel atau pengubah ialah sesuatu yang nilainya dapat berubah atau berbeda. Nilai karakteristik suatu elemen merupakan nilai variabel. Biasanya untuk menunjukkan suatu variabel digunakan huruf latin (X,Y,Z) atau Yunani dan lain sebagainya. Mengumpulkan data berarti mencatat peristiwa atau karakteristik elemen.hasil wawancara disebut dengan data mentah (row data). Sebelum melakukan pengolahan data, ada bebarapa tahap yang harus dilakukan. Sedangkan setelah analisis data yaitu suatu proses penyederhanaan data, maka dapat dilakukan interpretasi data dengan mudah. Kuesioner merupakan alat pengumpul data yang digunakan untuk survai, guna memudahkan proses selanjutnya, sebaiknya dalam kuesioner telah tersedia kolom untuk koding. Metode Pengumpulan Data Sensus Sensus adalah cara pengumpulan data seluruh elemen populasi diselidiki satu per satu. Sensus merupakan cara pengumpulan data yang menyeluruh. Data yang diperoleh sebagai hasil pengolahan sensus disebut data yang sebenarnya (true value) atau sering disebut parameter.. Perlu diperhatikan, bahwa sensus itu mahal biayanya yang memerlukan banyak tenaga dan waktu yang lama. Sebetulnya cara ini tidak efisien. Oleh karena itu menurut rekomendasi PBB, kepada para negara anggota, sensus penduduk cukup sekali dalam 10 tahun (Indonesia menyelenggarakan sensus penduduk pada tahun 1961,1971, 1980), sensus industri dan pertanian masing-masing cukup sekali dalam 5 tahun. 36

37 Sampling Sampling adalah cara pengumpulan data, kalau yang diselidiki adalah sampel dari suatu populasi. Data yang diperoleh dari hasil sampling merupakan data perkiraan (estimate value). Jadi kalau dari 1000 perusahaan akan diselidiki hanya 100 saja, maka hasil penyelidikan dari 100 perusahaan tersebut merupakan suatu perkiraan. Misalnya, perkiraan jumlah karyawan, perkiraan jumlah produksi, perkiraan jumlah modal, perkiraan rata-rata modal, perkiraan rata-rata gaji karyawan per bulan, dsb. Pada dasarnya ada dua cara sampel, yaitu cara acak (random) dan cara bukan acak (non random). Cara acak adalah suatu cara pemilihan sejumlah elemen dari anggota populasi untuk menjadi sampel, dimana pemilihannya dilakukan sedemikian rupa sehingga setiap elemen populasi mendapat kesempatan yang sama untuk dipilih untuk menjadi anggota sampel. Sedangkan, cara bukan acak adalah suatu cara pemilihan elemen-elemen dari populasi untuk menjadi anggota sampel dimana setiap elemen tidak mendapat kesempatan untuk dipilih. Terdapat beberapa jenis sampling, yaitu: Simple random sampling, dimana setiap anggota populasi mendapat kesempatan yang sama untuk menjadi sampel. Stratified random sampling, dimana populasi dipecah menjadi lebih kecil atau di sebut Stratum Multistage random sampling, ialah sampling dimana pemilihan elemen anggota sampel dilakukan secara bertahap. Cluster random sampling, dimana elemen terdiri dari elemen-elemen yang lebih kecil yang disebut klaster (area). Klaster yang dipilih elemennya akan diteliti satu persatu dan membuat perkiraan Systematic random sampling, dimana pemilihan elemen pertama dipilih secara acak sedangkan elemen berikutnya dipilih secara sistematis. 37

38 Alat Pengumpulan Data Selanjutnya apabila metode pengumpulan datanya sudah ditentukan, maka kemudian ditentukan alat untk memperoleh data dari elemen-elemen yang akan diselidiki. Alat-alat atau device untuk memperoleh keterangan dari elemen, antara lain : a. Reviu Dokumen Reviu dokumen merupakan langkah awal auditor dalam tahap perolehan informasi mengenai Kinerja perusahaan yakni pada saat survai pendahuluan. Reviu dilakukan atas dokumen umum yang didapat. Hasil reviu dokumen diharapkan dapat memberikan gambaran sejauh mana suatu kondisi atau fakta dalam perusahaan memenuhi kriteria yang ada. Beberapa kriteria dapat langsung terpenuhi dengan ada atau tidaknya suatu dokumen namun ada beberapa yang hanya dapat terpenuhi melalui analisis lebih lanjut. Yang harus diperhatikan dalam penggunaan dokumen sebagai sumber data adalah keterkaitan (relevansi) dan kecukupan informasi yang terkandung dalam mendukung fakta yang dikumpulkan untuk mengukur kriteria tertentu. Auditor harus cermat dalam memilih dokumen yang dibutuhkan dan menentukan relevansinya dengan kondisi yang akan dievaluasi. Selain relevansinya, dokumen yang digunakan sebagai sumber data harus mengandung informasi yang cukup secara kualitatif maupun kuantitatif. Suatu dokumen dapat dikatakan cukup secara kuantitatif apabila jumlahnya telah mewakili populasi yang ada. Dalam menentukan kecukupan kuantitatif dan kualitatif data yang ada, auditor dapat menggunakan pendekatan statistik atau pertimbangan profesional (judgment) auditor termasuk metode yang akan dipakai. Setelah mempelajari dokumen yang ada, auditor hendaknya membuat simpulan hasil reviu yang dilakukan, yaitu mengenai: 1) Tingkat keandalan sistem pengendalian manajemen. 38

39 2) Kecukupan Indikator Kinerja Kunci. 3) Capaian kinerja dibandingkan dengan target maupun benchmark. 4) Bukti-bukti pendukung untuk temuan pada audit rinci. b. Survai melalui Kuesioner Kuesioner adalah teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara memberi seperangkat pertanyaan atau pernyataan tertulis kepada responden untuk di jawab. Metode ini banyak digunakan dalam tahap-tahap Kuesioner adalah seperangkat pertanyaan/pernyataan yang telah disusun sebelumnya. Kuesioner bertujuan mengumpulkan informasi guna menjawab kriteriakriteria yang telah ditetapkan Audit Kinerja. Hasil reviu dokumen diharapkan dapat memberikan gambaran sejauh mana suatu kondisi atau fakta dalam perusahaan memenuhi kriteria yang ada. Beberapa kriteria dapat langsung terpenuhi dari ada atau tidaknya suatu dokumen, namun ada beberapa kriteria yang hanya dapat terpenuhi melalui analisis lebih lanjut. Untuk topik yang belum/tidak terdukung oleh dokumen karena ketiadaan dokumen atau ketidakcukupan dokumen harus dilakukan teknik lain misal kuesioner, wawancara, atau observasi. Data yang di hasilkan bisa data yang kuantitatif atau kualitatif. Metode survai observasi seperti yang disebutkan sebelumnya adalah metode pengumpulan data primer yang diperoleh secara langsung dari sumber asli. Metode survai merupakan metode yang menggunakan pertanyaan lisan dan tertulis, Metode tertulis mengunakan kuesioner sebagai alat bantunya.. Kuesioner merupakan mekanisme pengumpulan data yang efisien apabila auditor mengetahui dengan tepat variabel atau data penting apa yang ingin di peroleh dan bagaimana cara mengukurnya. Namun demikian, meskipun perancangan kuesioner telah disusun dengan sangat hati-hati, jelas dan tidak bias, kurangnya pengetahuan 39

40 responden mengenai permasalahan yang dipertanyakan akan sangat berpengaruh pada hasil akhir kuesioner. Dengan memahami bahwa perancangan kuesioner merupakan hal yang kritis dalam perolehan informasi, diharapkan kesalahan dalam perancangannya dapat diminimalisir. Sehubungan dengan evaluasi Kinerja, kuesioner merupakan bagian dari metodologi evaluasi kinerja yang dipakai mulai dari penilaian SPM (berupa check list) sampai penilaian capaian kinerja. Adapun informasi yang ingin diperoleh melalui kuesioner adalah: 1) Informasi yang tidak dapat diperoleh melalui reviu dokumen ataupun observasi; 2) Pendalaman dan/atau validasi, serta uji silang dari informasi lain yang sudah diperoleh sebelumnya. Mempertimbangkan manfaat, kelebihan, dan kekurangan dari kuesioner, sangatlah penting untuk memperhatikan langkah-langkah dalam penyusunan kuesioner sehingga tujuan pengumpulan informasi dapat diperoleh semaksimal mungkin. c. Wawancara Wawancara merupakan teknik pengumpulan data dalam metode survai yang menggunakan pertanyaan secara lisan kepada subjek pemeriksaan. Wawancara adalah teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan mengajukan pertanyaan secara lisan, biasanya dilakukan jika ingin diketahui hal-hal yang lebih mendalam dari responden. Teknik wawancara dilakukan jika memerlukan komunikasi atau hubungan dengan responden. Data yang dikumpulkan umumnya berupa masalah tertentu yang bersifat kompleks, sensitif atau kontrovesial, sehingga kemungkinan jika dilakukan dengan teknik kuesioner akan kurang memperoleh tanggapan responden. Teknik wawancara dilakukan terutama untuk responden yang tidak dapat membaca dan menulis, atau pertanyaan yang memerlukan pernjelasan dari pewawancara atau memerlukan penerjemaahan. Hasil wawancara 40

41 selanjutnya dicatat oleh pewawancara sebagai data penelitan untuk bahan evaluasi. Teknik wawancara dapat dilakukan dengan cara tatap muka atau melalui telepon. Wawancara tatap muka dilakukan antara pewawancara yang mengajukan pertanyaan secara lisan dengan responden yang menjawab pertanyaan secara lisan. Teknik ini memungkinkan untuk mengajukan banyak pertanyaan dan memerlukan waktu lebih lama dibandingkan dengan wawancara melalui telepon. Pertanyaan peneliti dan jawabanjawaban dapat pula melalui telepon. Teknik ini dapat mengatasi kelemahan wawancara tatap muka karena dapat mengumpulkan data dari responden yang letak geografisnya terpencar dengan biaya relatif lebih murah dan diperoleh dengan waktu yang relatif lebih cepat. Jumlah tenaga pengumpul data relatif lebih sedikit dibandingkan dengan tenaga yang diperlukan dalam wawancara tatap muka. Namun kelemahan yang paling utama dari metode ini adalah masalah validitas bukti apabila responden berbohong. Data yang di hasilkan adalah data yang kualitatif. d. Observasi Metode pengumpulan data lainnya adalah observasi, yaitu proses pencatatan pola perilaku subjek (orang), objek (benda) atau kejadian yang sistematis tanpa adanya pertanyaan atau komunikasi dengan individu sebagai narasumber. Observasi adalah teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan melakukan pengamatan. Data yang di hasilkan adalah data yang kualitatif. Kelebihan metode ini dibandingkan dengan metode survai bahwa data yang dikumpulkan umumnya tidak terdistorsi, lebih akurat, dan menghasilkan data lebih rinci mengenai objek tertentu. Metode observasi, meskipun demikian, tidak bebas dari kesalahan-kesalahan. Pengamat kemungkinan 41

42 memberikan catatan tambahan yang bersifat subjektif, seperti halnya terjadinya bias karena pengaruh peran wawancara dalam metode survai.lembaran kerja observasi setidaknya memuat informasi mengenai: 1) Teknik observasi yang digunakan 2) Hal-hal yang diobservasi dan 3) Simpulan Hasil observasi. PENGOLAHAN DATA Apabila telah dilakukan pengumpulan data, akan diperoleh data mentah (raw data).data mentah adalah hasil pencatatan peristiwa atau karakteristik elemen yang dilakukan pada tahap pengumpulan data. Agar data mentah tersebut menjadi lebih berguna untuk keperluan lain, maka perlu diolah. Pengolahan data adalah mentabulasi data, menjumlahkan atau memilah-milah data menjadi data yang siap di sajikan dan kemudian di analisis sesuai dengan kebutuhan. Pengolahan data pada dasarnya merupakan suatu proses untuk memperoleh data/angka ringkasan (summary figures). Data ringkasan yang berasal dari sensus disebut dengan true value sedangkan data dari sample disebut dengan estimate value/statistik. Angka ringkasan itu misalnya jumlah (total), rata-rata (average), persentase (percentage), dsb. Data yang dikumpulkan oleh peneliti selanjutynya harus diolah dan dianalisis sehingga akhirnya diperoleh kesimpulan. Umumnya langkah pertama dari pengolahan data adalah menyeleksi data atas dasar relevansi data yang dihasilkan dengan permasalahan atau variabel-variabel penelitian. Data yang kurang atau tidak relevan dengan masalah penelitian dibuang atau dilengkapi, sementara yang terkait dengan permasalahan ditabulasikan dalam bentuk tabel, matriks, atau yang lainnya agar memudahkan di dalam pengolahan selanjutnya. Setelah tabel ditabulasikan, langkah berikutnya adalah menganalisis data tersebut. Disinilah peneliti dituntut untuk memahami pola analisis yang akan 42

43 digunakannya, apakah analisis statistik atau non-statistik (kualitatif). Pola analisis yang harus diambil oleh peneliti sudah tentu sangat tergantung pada jenis data yang dikumpulkan dan metode serta rancangan penelitiannya. Apabila datanya bersifat kuantitatif atau yang dikuantifikasikan, yaitu dalam bentuk bilangan, maka analisis statistik dapat digunakan, sedangkan apabila datanya berupa data deskriptif maka pengolahannya dapat dilakukan melalui cara non statistik. Untuk analisis statistik, maka jenis statistik yang akan digunakan harus sesuai dengan metode dan rancangan penelitian yang telah disusunnya. Sebagai contoh, metode dan rancangan penelitian yang bersifat korelasi, dapat dilakukan uji statistik korelasional, sementara untuk metode eksperimental yang terdiri atas beberapa kelompok, uji statistiknya sangat tergantung pada kelompok eksperimen dan rancangan penelitian yang digunakan oleh peneliti. Apakah weak experiment, true experiment, atau quasy experiment. Uji statistik yang dapat digunakan mungkin uji t, anava, uji Z, dan sebagainya. Mengenai macam-macam rancangan penelitian ini, dapat dilihat kembali pada bab tentang macam-macam rancangan penelitian. Paling tidak ada dua hal yang perlu dilakukan ketika melakukan pengolahan data: Entry data, atau memasukan data dalam proses tabulasi. Melakukan editing ulang terhadap data yang telah ditabulasi untuk mencegah terjadinya kekeliruan memasukan data, atau kesalahan penempatan dalam kolom maupun baris tabel. Pendekatan Pengolahan Data Pendekatan yang dilakukan dalam pengolahan data dalam modul ini adalah pendekatan kuantitatif terutama untuk data yang diperoleh dari hasil survei. Analisis data kuantitatif dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan statistik tergantung pada tujuannya. Bila tujuan analisis hanya bersifat eksploratif dan deskriptif, maka 43

44 teknik statistiknya pun cukup dengan statistik deskriptif. Sedangkan bila tujuan analisis adalah untuk melihat hubungan dan atau perbedaan antar variabel, atau membuat prediksi, maka teknik statistik yang dibutuhkan adalah statistik inferensial. Dikaitkan dengan tahapan dalam audit kinerja sektor publik maka teknik statistik yang sesuai adalah statistik deskriptif, yaitu menentukan tingkat keandalan pengendaiian manajemen khususnya soft control, indeks kepuasan pegawai dan indeks kepuasan pelanggan. Tahap Persiapan Dalam Pengolahan Data Secara garis besar pengolahan atau analisis data dilakukan setelah seluruh data yang diperlukan telah terkumpul. Sebelum dilakukan analisis perlu dilakukan persiapan data untuk memudahkan proses analisis data dan interpretasi hasilnya, yaitu: pengeditan, pemberian kode dan pemrosesan data. 1. Pengeditan (Editing) Pengeditan merupakan proses pengecekan dan penyesuaian yang diperlukan terhadap data untuk memudahkan proses pemberian kode dan pemrosesan data dengan teknik statistik. Data yang diperoleh dari hasil survai atau observasi perlu diedit dari kemungkinan kekeliruan dalam proses pencatatan yang dilakukan oleh pengumpul data, serta dari pengisian kuesioner yang tidak lengkap atau tidak konsisten. Tujuan pengeditan data adalah untuk menjamin kelengkapan, konsistensi dan kesiapan data dalam proses analisis. Proses pengeditan dapat dilakukan di lapangan (field editing) sesaat setelah melakukan pengecekan terhadap isian kuesioner. Pengeditan dapat juga dilakukan di tempat pemrosesan data (in house editing) setelah beberapa atau semua data terkumpul, misalnya karena field editing sulit dilakukan. Prosedur pengeditan akan memudahkan proses pemberian kode dan data entry. 44

45 2. Pemberian Kode (Coding) Pemberian kode merupakan proses identifikasi dan klasifikasi data ke dalam skor numerik. Proses pemberian kode (coding) ini diperlukan terutama untuk data yang dapat diklasifikasikan, misal: jawaban dari tipe pertanyaan tertutup (close-ended questions) yang tidak memberikan alternatif kepada responden selain pilihan jawaban yang tersedia. Pemberian kode pada jawaban dari tipe pertanyaan terbuka (openended questions) relatif lebih sulit karena memerlukan judgement dalam menginterpretasikan jawaban responden. Tujuan pemberian kode pada tipe pertanyaan terbuka adalah untuk mengurangi variasi jawaban responden menjadi beberapa kategori umum sehingga dapat diberi skor numerik. Teknis pemberian kode dapat dilakukan sebelum atau setelah pengisian kuesioner. Proses pemberian kode akan memudahkan dan meningkatkan efisiensi proses data entry ke dalam komputer. 3. Pemrosesan Data (Data Processing) Setelah kedua tahap di atas dilaksanakan, maka data siap untuk diolah atau dianalisis. Analisis yang sesuai dengan tahapan audit kinerja sektor publik adalah analisis statistik deskriptif. Berikut akan dibahas secara rinci teknik analisis tersebut. a. Definisi Statistik deskriptif pada dasarnya merupakan proses transformasi data dalam bentuk tabulasi\ sehingga mudah dipahami dan diinterpretasikan. Tabulasi menyajikan ringkasan, pengaturan atau penyusunan data dalam bentuk tabel numerik dan grafik. Ukuran yang digunakan dalam deskripsi antara lain berupa: frekuensi, tendensi 45

46 sentral (rata-rata, median, modus), dan dispersi (deviasi standar dan varian). b. Tujuan Analisis Statistik Deskriptif Analisis statistik deskriptif bertujuan untuk melihat data secara apa adanya untuk memperoleh gambaran umum mengenai variabelvariabel yang diukur pada sampel. c. Jenis-jenis Analisis Deskriptif Analisis statistik deskriptif yang umum dilakukan diantaranya adalah: 1) Analisis potret data (frekuensi dan persentase). 2) Analisis kecenderungan sentral data (nilai rata-rata, median, dan modus). 3) Analisis sebaran data (range/kisaran dan simpangan baku atau varian). Tahap Audit Kinerja Pada Pengolahan Data Pengolahan data dalam tahapan audit kinerja adalah sebagai berikut: a. Tahap Diagnosis Pengendalian Manajemen Pada tahap ini, auditor menilai tingkat keandalan pengendalian manajemen. Sesuai pedoman audit kinerja, auditor diharapkan menetapkan skor dengan skala 1 sampai dengan 5. Skor 1 berarti sistem pengendalian manajemen dinilai sangat lemah, dan skor 5 berarti sangat kuat. Skor tingkat keandalan pengendalian manajemen diperoleh dari hasil reviu dokumen, observasi dan penyebaran kuesioner sesuai dengan teknik yang ditetapkan. Untuk menetapkan skor hasil kuesioner dilakukan dengan teknik statistik deskriptif melalui penghitungan nilai mean (rata-rata) terhadap skor yang 46

47 diberikan responden atas jawaban kuesioner yang valid. Dengan menggunakan program SPSS dapat diperoleh hasil yang lebih akurat. Hasil pengukuran ini merupakan skor pengendalian manajemen dari metode penyebaran kuesioner. Skor lainnya ditetapkan dari metode reviu dokumen dan observasi. Skor ini ditetapkan berdasarkan pertimbangan profesional auditor (professionaljudgement) serta didukung bukti yang cukup. Ketiga skor tersebut kemudian dihitung rata-ratanya untuk ditetapkan sebagai skor pengendalian manajemen keseluruhan. b. Tahap Penilaian IKK dan Capaian Kinerja Pada tahap ini dilakukan penilaian terhadap IKK dan capaian kinerja. Teknik yang biasanya digunakan dalam tahap ini pada umumnya adalah reviu dokumen dan survai untuk mengukur indikator tingkat kepuasan pegawai atau pelanggan. Khusus untuk menetapkan indeks kepuasan pegawai ataupun pelanggan dilakukan dengan cara menghitung mean (rata-rata) hasil penilaian responden yang tercakup dalam kuesioner. Teknik statistik yang dapat digunakan adalah statistik deskriptif. Program komputer yang dapat digunakan untuk membantu hal ini antara lain SPSS. c. Tahap Audit Rinci Pada tahap ini dilakukan pengujian rinci terhadap bukti awal yang diperoleh dari hasil tahap sebelumnya. Pengolahan data yang dilakukan dalam tahap ini pada umumnya adalah reviu dokumen dan observasi. Jika diperlukan dapat dilakukan survai. Analisis yang digunakan sama dengan tahapan audit sebelumnya. 47

48 Metode Pengolahan Data Untuk menentukan metode pengolahan data yang lebih baik, jawabannya tergantung pada seberapa besar ukuran datanya. Jika hasil observasi yang dikumpulkan jimlahnya sedikit, maka dapat dilakukan pengolahan secara manual. Akan tetapi, jika jumlah observasi sangat besar, maka pengolahan data secara elektronik (dengan komputer) merupakan cara yang efektif. Secara umum, metode pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua, yaitu pengolahan data secara manual (manual data processing) dan pengolahan data secara electronik (electronical data processing) Pengolahan Data secara Manual Pengolahan data secara manual umumnya dilakukan untuk jumlah observasi yang tidak terlalu banyak. Pengolahan secara manual biasanya memerlukan waktu yang sangat lama, karena harus meneliti satu per satu dari setiap observasi. Metode pengolahan ini dapat dijumpai pada pemilu yang telah dilaksanakan. Dalam rangka mengetahui jumlah suara maka setiap suara harus dihitung menurut partai masing-masing. Dari peristiwa tersebut, dapat dibayangkan betapa lamanya pengolahan data dengan metode secara manual. Meskipun demikian, dalam keadaan tertentu seperti pemilu, pengolahan secara manual harus dilakukan. Pengolahan Data Secara Elektronik Perkembangan ilmu pengetahuan dibidang komputer sangat membantu kegiatan statistik khususnya pengolahan data. Dengan bantuan komputer, pengolahan data dimana masing-masing individu dirinci menurut beberapa karakteristik dapat dilakukan dengan mudah dan cepat. Jika pada pengolahan secrara manual 48

49 kemungkinan terjadi kesalahan adalah sangat besar, maka dalam pengolahan secara elektronik kesalahan tersebut dapat diminimalisasi. Setelah data hasil penelitian dimasukkan ke komputer dalam bentuk file data, maka data tersebut dapat diolah dan diedit lebih lanjut untuk mengetahui jumlah, presentase serta ukuran statistik lainnya sesuai sengan fasilitas yang ada pada komputer. Proses analisis data kuantitatif dapat dengan mudah dilakukan bila menggunakan program-program komputer yang telah dirancang khusus untuk keperluan analisis data. Salah satu contoh program komputer yang banyak digunakan untuk analisis data kuantitatif pada penelitian-penelitian ilmu social adalah Statistical Package for Social Sciences (SPSS). Program ini mempunyai kemampuan untuk melakukan analisis statistik dari yang paling sederhana seperti melihat kecenderungan sentral data hingga yang paling kompleks. Program lain yang bisa digunakan antara lain: Oracle, Microsoft Access, Foxpro Database, Dbase, dll. Dengan bantuan program komputer, proses persiapan dan analisis data dapat dilakukan dengan cepat dan efisien serta hasilnya lebih akurat. 49

50 SOAL LATIHAN A. Soal Pilihan Berganda 1. Cara pengumpulan data seluruh elemen populasi diselidiki satu per satu adalah pengertian dari a. Populasi b. Sensus c. Sampel d. Statistika 2. Cara pengumpulan data apabila yang diselidiki adalah elemen sampel dari suatu populasi adalah a. Sampling b. Statistik c. Data berkala d. Data cross section 3. Alat-alat atau device untuk memperoleh keterangan dari elemen, antara lain a. Sensus dan sampling b. Computer dan dokumen c. Data time series dan data cross section d. Reviu Dokumen, Wawancara, Observasi dan Survey melalui Kuesioner 4. Salah satu hal yang harus dilakukan dalam statistik adalah a. Pengumpulan data b. Pencurian data c. Manipulasi data d. Korupsi data 5. Unit yang paling terkecil di dalam setiap data adalah a. Variabel b. Sampel 50

51 c. Parameter d. Elemen 6. Didalam alat pengumpulan data ada teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan mengajukan pertanyaan secara lisan, biasanya dilakukan jika ingin diketahui hal-hal yang lebih mendalam dari responden adalah yaitu a. Wawancara b. Observasi c. Penelitian d. Pengambilan sampel 7. Pendekatan yang dilakukan dalam pengolahan data dalam modul ini adalah pendekatan kuantitatif terutama untuk data yang diperoleh dari hasil a. Pencurian b. Pengambilan secara acak c. Survey d. Sensus 8. Proses pengecekan dan penyesuaian yang diperlukan terhadap data untuk memudahkan proses pemberian kode dan pemrosesan data dengan teknik statistik di dalam pengolahan data di statisti adalah proses a. Pengeditan b. Penilaian c. Pengambilan d. Pemberian kode 9. Analisis statistik deskriptif yang umum dilakukan diantaranya adalah a. Analisis kecenderungan sentral data dan Analisis potret data b. Analisis pengumpulan data dan Analisis pengolahan data c. Analisis internal dan Analisis eksternal d. Analisis penyajian data dan Analisis pembuatan data 10. Secara umum metode pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua, salah satunya yaitu 51

52 a. Pengolahan data secara acak b. Pengolahan data secara berurut c. Pengolahan data melalui computer d. Pengolahan data secara manual B. Soal essai 1. Tujuan dari pengumpulan data selain untuk mengetahui jumlah elemen juga untuk mengetahui karakteristik dari elemen-elemen data. Apakah yang dimaksud dengan karakteristik disini 2. Nilai karakteristik dari suatu elemen adalah nilai variabel. Apakah yang dimaksud variabel dan sebutkan contohnya minimal dua 3. Secara umum tujuan pengumpulan data 2 (dua) yaitu adalah 4. Dalam proses pengumpulan dan pengolahan data pada audit kinerja dibedakan antara: bukti audit, bukti, informasi dan data. Sebutkan pengertian dari masing-masing proses tersebut 5. Didalam statistik kita sudah mengenal 2 (dua) metode pengumpulan data yaitu sensus dan sampling. Sebutkan pengertian nya dan sebutkan factor pembeda dari metode tersebut 6. Setelah mempelajari dokumen yang ada, auditor hendaknya membuat simpulan hasil reviu yang dilakukan, yaitu mengenai 7. Sebelum dilakukan analisis perlu dilakukan tahap persiapan dalam pengolahan data untuk memudahkan proses analisis data dan interpretasi hasilnya, yaitu dengan cara pengeditan, pemberian kode dan pemrosesan data. Jelaskan pengertian dari masing-masing tahap persiapan tersebut 8. Tahap audit kinerja pada pengolahan data adalah yaitu 9. Secara umum, metode pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua, yaitu pengolahan data secara manual (manual data processing) dan pengolahan data secara elektronik (electronical data processing). Dari kedua metode 52

53 pengolahan data tersebut jelaskan pengertiannya dan perbedaan dari setiap metode pengolahan data tersebut 10. Dari kedua metode pengolahan data yang sudah anda jelaskan diatas tadi manakah metose yang paing efektif digunakan dan uraikan alasannya C. Soal studi kasus 1. Diketahui informasi sebagai berikut : Sebuah survey dilakukan oleh usaha penyewaan baju terhadap para pelanggannya, dengan mengajukan beberapa pertanyaan yang sebagai berikut : a. Berapakah baju yang anda sewa selama setahun yang lalu? b. Apakah anda termasuk pelanggan tetap yang sering menyeka baju disini? (ya atau tidak) c. Berapakah umur anda? d. Berapakah anak anda? e. Berapakah jumlah biasanya anda menyewa baju-baju tersebut? f. Model baju seperti apakah yang sering anda sewa? g. Untuk keperluan apakah anda menyewa baju tersebut? Dari pertanyaan di atas menggunakan alat pengumpulan data mana yang paling cocok dan kelompokkan yang termasuk pertanyaan yang tertutup atau pertanyaan yang terbuka. 2. Dari sebanyak ±100 bank di Indonesia dipilih sampel 10 bank secara acak untuk diteliti dan dilaukan pengamatan. Hasil dari penelitian dapat dilihat pada tabel berikut ini: Jumlah Aset (triliun Keuntungan Nama Bank Karyawan Rp) (miliar Rp) / tahun BNI Bank Mandiri

54 BRI Bank Sumut Bank Indonesia CIMB Niaga May bank Citibank Bank Danamon 289 3,3 84 BCA Dari data tabel diatas jawablah pertanyaan dibawah ini : a. Berapakah jumlah elemen didalam data pada tabel diatas? b. Berapakah jumlah karakteristik dari data di dalam tabel tersebut? 54

55 BAB 3 PENYAJIAN DATA Kompetensi Inti : Memahami mengenai penyajian sebuah data kompetensi dasar Kompetensi Dasar : Memahami penyajian data dengan berbagai bentuk Mengetahui cross section data dan cara penyajiannya Memahami data berkala dan cara penyajiannya 55

56 Data statistik tidak hanya cukup dikumpulkan dan diolah, tetapi juga perlu disajikan dalam bentuk yang mudah dibaca dan dimengerti oleh pengambil keputusan. Penyajian data ini bisa dalam bentuk tabel atau grafik. Karena, ada sebagian orang yang tidak suka dengan matematika, oleh sebab itu keuntungan dari penyajian data berupa table atau grafik akan lebih cepat ditangkap dan dimengerti daripada disajikan dalam bentuk kata-kata. Selain berupa angka-angka ringkasan, penyajian data juga dapat berbentuk table dan grafik. Tabel merupakan kumpulan angka-angka yang disusun menurut kategori-kategori misalnya; jumlah pegawai menurut pendidikan dan masa jabatan, jumlah penjualan menurut jenis barang dan harga barang, dan lain sebagainya, sehingga memudahkan dalam pembuatan analisis data. Sedangkan grafik adalah gambar-gambar yang menunjukkan secara visual data berupa angka (mungkin dengan symbol-simbol) yang biasanya juga berasal dari tabel-tabel yang telah dibuat. Baik tabel maupun grafik bisa dipergunakan untuk menyajikan cross section data dan data berkala. CROSS SECTION DATA Penyajian dengan Tabel Data dapat disajikan dalam bentuk tabel. Misalnya, data penjualan PT. Jaya Sakti disajikan pada tabel 2.1 berikut. Penjualan PT. Jaya Sakti menurut jenis barang TABEL 1. 1 dan daerah penjualan pada tahun 2005 (dalam satuan) Jenis Barang Daerah Penjualan Medan Pekanbaru Jakarta Bandung Total 56

57 A B C Total Tabel 2.1 merupakan tabel dua arah, yaitu tabel yang menunjukkan hubungan timbal balik antara dua hal: jenis barang dan daerah penjualan. Dari tabel tersebut selain diperoleh jumlah seluruh penjualan (sebesar 375 satuan di pojok kanan bawah), juga akan diperoleh gambaran tentang perbandingan hasil penjualan antara daerah yang satu dengan daerah lainnya dan antara jenis barang yang satu dengan jenis barang lainnya. Hal tersebut akan memudahkan kita untuk melakukan analisis guna mengetahui jenis barang apa yang paling laku dan di daerah mana, yang selanjutnya dapat digunakan sebagai dasar penentuan alokasi barang-barang untuk berbagai daerah. Misalnya, berapa jumlah barang A yang harus dikirim ke medan, pekanbaru, Jakarta, dan bandung seta berapa untuk barang C, dan lain sebaginya. Hal tersebut untuk mencegah atau menghindari pengiriman jenis barang yang terlalu banyak untuk daerah yang tidak laku atau terlalu sedikit untuk daerah dimana barang tersebut sangat laku. Jadi, tabel semacam itu juga untuk kebijakan logistik. TABEL 1. 2 Jumlah Mahasiswa menurut Perguruan Tinggi dan Fakultas Tahun 2012 (ribuan orang) PT PT. I PT. II PT. III PT. IV PT. V Fakultas Ekonomi Hukum Teknik Mipa

58 FIK Jumlah Dari tabel 1.2 dapat dilihat bahwa pada tahun 2012 jumlah mahasiswa PT. I = 57 ribu, dengan rincian Fakultas Ekonomi 15 ribu, hukum 12 ribu, teknik 11 ribu, Mipa 10 ribu, FIK 9 ribu. Demikian juga untuk perguruan tinggi lainnya, bisa dibaca pada tabel 1.2. Penyajian dengan Grafik Data juga bisa disajikan dalam bentuk grafik dengan menggunakan bagan batangan atau bar chart (lihat tabel 1.1). Dari tabel 1.1 secara cepat bisa dilihat bahwa di daerah penjualan di kota Bandung hampir semua jenis barang menunjukkan hasil penjualan tinggi dibandingkan dengan daerah-daerah lainnya, sedangkan di daerah Medan paling rendah hasil penjualannya untuk setiap barang. PERAGA 1. 1 Penjualan PT. Jaya Sakti menurut jenis barang dan daerah penjualan pada tahun 2005 (dalam satuan) 58

59 Hasil Penjualan (dalam satuan) A B C 10 0 Medan Pekanbaru Jakarta Bandung Daerah Penjualan Jadi, jelaslah bahwa gambar lebih mudah disimpulkan dari pada tabel. Hal ini sesuai dengan pendapat yang menyatakan: single picture is worth a thousand words. Dalam arti luas words juga berarti figures atau angka-angka. DATA BERKALA Penyajian dengan Tabel TABEL 1. 3 Perkembangan Seluruh Penjualan Barang Elektronik PT. Raja Karya menurut Jenis Barang Tahun Tahun Jenis Barang Televisi Laptop Kulkas Jumlah

60 Dari tabel 1.3 selain bisa dilihat perkembangan jumlah hasil penjualan per tahun, juga sekaligus hasil penjualan untuk setiap jenis barang. Penyajian dengan Grafik Gambar tentang perkembangan hasil penjualan akan lebih jelas lagi jika dapat disajikan dalam bentuk grafik. Dengan menggunakan grafik, kita dengan cepat dapat melihat perkembangan hasil penjualan untuk setiap jenis barang selama tahun 2001 sampai 2005, sekaligus laju perkembangan dari masing-masing jenis barang. Apabila dilanjutkan dengan analisis yang lebih mendalam, maka bisa diketahui besarnya laju kenaikan dari masing-masing produk (rate of increase) selama periode tersebut, sehingga untuk masa yang akan datang kita dapat melihat atau meramalkan jenis produk mana yang akan meningkat dan mana yang selalu menunjukkan kecenderungan menurun, mungkin jenis barang tersebut sudah tidak laku lagi dan jika perlu dibuang untuk diganti dengan yang baru atau cukup diperbaiki mutunya saja. Hal ini hanya mungkin dilakukan jika perusahaan melakukan penelitian dan pengembangan (research & development). Dari uraian tersebut sebetulnya sudah bisa ditarik kesimpulan, bahwa penyajian data dengan tabel bisa memberikan angka-angka yang lebih rinci (hingga dua atau tiga angka dibelakang koma), tetapi tidak bisa dengan cepat diambil kesimpulannya. Sedangkan dengan grafik, kesimpulan bisa dengan cepat diambil tetapi angka-angkanya kurang rinci. Susah sekali, misalnya, menggambarkan grafik dengan mempertahankan angka sampai tiga angka dibelakang koma. Data cross-section dikumpulkan pada suatu waktu tertentu untuk mengetahui perbedaan (differences) sedangkan data berkala dikumpulkan dari waktu 60

61 ke waktu untuk mengetahui perubahan (changes). Penjelasan lebih rinci mengenai pembagian tabel dan grafik bisa dipelajari berdasarkan uraian berikut. BENTUK TABEL Ada berbagai bentuk tabel yang dikenal, yaitu tabel satu arah, tabel dua arah, dan tabel tiga arah. Tabel satu arah Ialah tabel yang memuat keterangan mengenai satu hal atau satu karakteristik saja, misalnya : Data personalia: jumlah personalia menurut : pendidikan, masa kerja, umur, golongan dsn lsin sebagainya. Data peralatan: jumlah kendaraan bermotor menurut : merek, jenis, umur, harga dan lain sebagainya. Tabel 1.4 merupakan contoh dari tabel satu arah. TABEL 1. 4 Produksi Hasil Pertanian Desa Suka Maju menurut Jenis Hasil Tahun 2012 (dalam satuan Ton) Hasil Pertanian Banyaknya Cabe Tomat Sayur Kol Jumlah Tabel dua arah Ialah tabel yang menunjukkan hubungan dua hal atau dua karakteristik, misalnya: 61

62 Data personalia, menurut masa kerja dan pendidikan, masa kerja dan golongan, agama dan pendidikan, dan lain sebagainya. Data peralatan, menurut umur dan merek, umur dan jenis, dan lain sebagainya. Tabel 1.5 dan 1. 6 merupakan contoh tabel dua arah. TABEL 1. 5 Jumlah Siswa SMP Negeri 1 Harapan berdasarkan Kelas dan asal SD Tahun Kelas Asal Sekolah Dasar Total SD N.1 SD N. 2 SD N. 3 SD N. 4 Kelas VII Kelas VIII Kelas IX Jumlah TABEL 1. 6 Jumlah Mahasiswa Universitas Negeri Medan Menurut Fakultas dan Agama Tahun 2013 Fakultas Islam Nasrani Jumlah F. Ekonomi F. Mipa F. Ilmu Sosial F. Ilmu Keolahragaan

63 F. Bahasa dan Seni F. Ilmu Pendidikan Jumlah Tabel tiga arah Ialah tabel yang menunjukkan tiga hal atau tiga karakteristik, misalnya: Data personalia, menurut masa kerja, pendidikan, dan golongan; masa kerja, umur serta golongan, dan lain sebagainya. Data peralatan, menurut umur, merek, dan jenis; jenis, merek dan unit kerja; dan lain sebagainya. Contoh tabel tiga arah dalam tabel 1.7 Jumlah Mahasiswa Universitas Negeri Medan TABEL 1. 6 Menurut Fakultas dan Agama Tahun 2013 Umur TOYOTA MITSUBISHI HINO Sedan Bis Dll Sedan Bis dll Sedan Bis Dll Jumlah < 1 Tahun 1 th < 2 th 2 th < 3 th 3 th < 4 th 4 th < 5 th 5 th < 6 th Jumlah Dari tabel 2.6, bisa diketahui bahwa kendaraan yang sudah berumur 5 th < 6 tahun sesuai dengan peraturan yang ada, mungkin harus diganti. Di dalam penggantiannya harus diperhatikan merek dan jenis kendaraan. Ada 18 mobil yang 63

64 harus diganti, diantaranya lima sedan Toyota, dua bus Toyota, dan seterusnya seperti terlihat pada tabel tersebut. Jumlah Penduduk Kecamatan Balige menurut TABEL 1. 7 Jenjang Pendidikan, Desa dan Jenis Kelamin Tahun 2012 Jenjang Desa A Desa B Desa C Pendidik Jumlah Pria Wanita Pria Wanita Pria Wanita an Tidak Ada SD SMP SMA Sarjana Jumlah BENTUK GRAFIK Pengajian dalam bentuk gambar dapat memudahkan pengambilan kesimpulan dengan cepat. Data berkala (time series data), yaitu data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk mengetahui perkembangan suatu hal/kegiatan, biasanya disajikan dalam bentuk grafik garis untuk memudahkan pembuatan trend. Seperti kita ketahui, trend dapat dipergunakan sebagai dasar perencanaan. Beberapa macam grafik antara lain: grafik garik (line chart), grafik batangan/balok (bar chart/histogram), grafik lingkaran (pie chart), grafik gambar (pictogram), grafik berupa peta (cartogram). 64

65 Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan data berkala. Grafik garis dapat berupa grafik garis tunggal maupun grafik garis berganda. Grafik Garis Tunggal Grafik garis tunggal (single line chart) adalah grafik yang terdiri dari satu garis untuk menggambarkan perkembangan (trend) dari suatu karakteristik. TABEL 1. 9 Hasil Penjualan Barang oleh UD. Sinar Jaya selama bulan Januari hingga Juli 2012 (dalam jutaan rupiah) Bulan Hasil Penjualan Januari 20 Februari 38 Maret 41 April 50 Mei 60 Juni 80 Juli 93 PERAGA 1. 2 Hasil Penjualan Barang oleh UD. Sinar Jaya selama bulan Januari hingga Juli 2012 (dalam jutaan rupiah) 65

66 Hasil Penjualan (jutaan rupiah) Hasil Penjualan Bulan TABEL 1. 8 Jumlah Komoditas Kopra Yang Diangkut Melalui Pelabuhan Belawan Dari Bulan Januari Hingga Desember 2000 ( Ton ) Tahun Jumlah Januari Februari Maret April Mei Juni Juli

67 Januari Februai Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Jumlah Komoditas Kopra (dalam ribuan) Agustus September Oktober November Desember PERAGA 1. 2 Jumlah Komoditas Kopra Yang Diangkut Melalui Pelabuhan Belawan Dari Bulan Januari hingga Desember 2000 (ton) Jumlah 0 Bulan Grafik Garis Berganda 67

68 Grafik garis berganda adalah grafik yang terdiri dari beberapa garis untuk menggambarkan perkembangan beberapa hal/kejadian sekaligus. TABEL Perbandingan Jumlah Penjualan Antara Komputer Built dan Rakitan Lokal pada PT Green Diamond. Tahun Komputer Bulit Rakitan Lokal TABEL 1. 3 Perbandingan Jumlah Penjualan Antara Komputer Built dan Rakitan Lokal pada PT Green Diamond. 68

69 Jumlah Penjualan Rakitan Lokal Komputer Bulit Tahun Grafik Garis Komponen Berganda Grafik garis komponen berganda merupakan grafik yang serupa dengan grafik berganda, tetapi garis yang teratas/terakhir menggambarkan jumlah dari komponenkomponen, sedangkan garis lainnya menggambarkan masing-masing komponen. Perbandingan Jumlah Penjualan Antara Kendaraan TABEL Bermerek Mitsubishi dan Toyota oleh PT Angkasa Tahun Mitsubishi Toyota

70 Jumlah Penjualan PERAGA 1. 4 Perbandingan Jumlah Penjualan Antara Kendaraan Bermerek Mitsubishi dan Toyota oleh PT Angkasa Tahun Toyota Mitsubishi Grafik Garis Persentase Komponen Berganda Grafik garis persentase komponen berganda (multiple percentage component line chart) adalah sama seperti garis berganda, kecuali bahwa masing-masing nilai kompssonen dinyatakan dalam persentase, sehingga garis teratas (terakhir) merupakan garis yang menunjukkan 100%. TABEL Persentase Penjualan Tiga Jenis Sepeda Motor oleh PT. Internasional selama delapan Tahun 70

71 Tahun Jumlah Honda Suzuki Yamaha PERAGA 1. 5 Persentase Penjualan Tiga Jenis Sepeda Motor oleh PT. Internasional selama delapan Tahun 71

72 Persentase Penjualan 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% Yamaha Suzuki Honda 20% 10% 0% Tahun Grafik Garis Berimbang Neto Grafik garis berimbang neto (net balanced line) adalah nilai-nilai selisih dengan garis timbangan yang dapt diberi warna yang berbeda untuk menilai selisih yang positif dan negatif. TABEL Selisih Penerimaan dan Pengeluaran Dalam Neraca Pembayaran Indonesia (miliar Rp) Tahun Penerimaan Pengeluaran Selisih

73 Selisih Penerimaan-Pengeluaran PERAGA 1. 6 Selisih Penerimaan dan Pengeluaran Dalam Neraca Pembayaran Indonesia (miliar Rp) Selisih Selisih Tahun Grafik Batangan Tunggal TABEL

74 Perbandingan Jumlah Penduduk Perbandingan Jumlah Penduduk Kelurahan Bulan Jumlah Sukarame Menurut Jenjang Pendidkan Tahun 2012 SD 1100 SMP 2000 SMA 4700 Sarjana 2200 Perbandingan Jumlah Penduduk Kelurahan PERAGA 1. 7 Sukarame Menurut Jenjang Pendidkan Tahun Januari Februari Maret April 0 Januari Februari Maret April Tingkat Pendidikan PERAGA 1. 8 Jumlah Komoditas Kopra Yang Diangkut Melalui Pelabuhan Belawan Dari Bulan Januari hingga Desember 2000 (ton) 74

75 Januari Februai Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Jumlah Komoditas Kopra Dalam Ribuan Jumlah Bulan Grafik Batangan Berganda (Multiple Bar Chart) Perbandingan Jumlah Penjualan Antara Komputer PERAGA 1. 9 Built dan Rakitan Lokal pada PT Green Diamond. 75

76 Jumlah Penjualan Komputer Bulit Rakitan Lokal Tahun Grafik Batangan Komponen Berganda (Multi-component Bar Cha Jumlah Unit Sepeda Motor Merek Honda yang TABEL Terjual pada Empat Provinsi adri Januari hingga Juni Bulan Bali Jakarta Riau Januari Februari Maret April Mei Juni

77 Jumlah Penjualan PERAGA Jumlah Unit Sepeda Motor Merek Honda yang Terjual pada Empat Provinsi adri Januari hingga Juni Riau Jakarta Bali Januari Februari Maret April Mei Juni Bulan Grafik Batangan Persentase Komponen Berganda (Multiple Percentage Component Bar Chart) 77

78 Persentase Penjualan PERAGA Persentase Penjualan Tiga Jenis Sepeda Motor oleh PT. Internasional selama delapan Tahun 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% Yamaha Suzuki Honda 30% 20% 10% 0% Tahun Grafik Batangan Berimbang Neto (Net Balanced Bar Chart PERAGA Selisih Penerimaan dan Pengeluaran Dalam Neraca Pembayaran Indonesia (miliar Rp) 78

79 Selisih Penerimaaan dan Pengeluaran Selisih Selisih Tahun Selain dalam grafik garis dan batangan, data dapat juga digambarkan dalam bentuk lingkaran. Grafik lingkaran adalah grafik yang berupa lingkaran, dimana luas lingkaran merupakan komponen dari beberapa nilai. Bentuk-bentuk grafik lingkaran diantaranya grafik lingkaran tunggal, yaitu grafik lingkaran yang terdiri atas satu lingkaran, dan grafik lingkaran berganda yaitu grafik lingkaran yang terdiri atas lebih dari satu lingkaran. 79

80 Grafik Lingkaran Tunggal (Single Pie Chart) TABEL Jumlah Kendaraan Bermotor di Sumatera Utara Menurut Jenis tahun 2012 (dalam ribuan) Jenis Mobil Bis Mobil Sepeda Jumlah Kendaraan Penumpa ng Gerobak Motor Jumlah PERAGA Jumlah Kendaraan Bermotor di Sumatera Utara Menurut Jenis tahun 2012 (dalam ribuan) 46% 23% 11% Mobil Penumpang Bis Mobil Gerobak Sepeda Motor 20% TABEL Negara Persentase Nilai Impor Negara Indonesia Menurut Kelompok Negara Ekonomi Januari-Desember 2012 Persentase Nilai Impor 80

81 ASEAN 12,94 Korea Selatan 5,57 Jepang 19,80 NAFTA 14,84 APEC Lainnya 15,07 Uni Eropa 19,99 Timur Tengah 3,85 Lainnya 7,94 Total 100,00 PERAGA Persentase Nilai Impor Negara Indonesia Menurut Kelompok Negara Ekonomi Januari-Desember 2012 ASEAN 4% 20% 15% 8% 13% 15% 6% 19% Korea Selatan Jepang NAFTA APEC Lainnya Unit Eropa Timur Tengah Lainnya Grafik Lingkaran Berganda (Multiple Pie Chart) Hasil Tambang (Tambang X, Y dan Z) dari TABEL Negara-negar A, B, dan C Tahun 2012 (dalam jutaan Ton) 81

82 Negara Hasil Tambang Jumlah X Y Z A B C Sebelum digambarkan, pertama-tama kita cari persentase tiap-tiap hasil tambang terhadap jumlah masing-masing Negara. Di dalam gambarannya nanti, luas lingkaran sebanding dengan jumlah hasil tambang dari Negara masing-masing. Jika kita telah mengetahui perbandingan luas-luas lingkaran sesuai dengan jumlah masing-masing (dalam contoh, perbandingannya 12,16 dan 20), maka dapat dicari perbandingan jari-jari dari lingkaran-lingkaran tersebut. Cara mencari perbandingan jari-jari adalah dengan mengumpamakan jari-jari dari lingkungan suatu Negara tertentu (misalkan Negara A) mempunyai jari-jari tertentu (misalkan = 2cm). Dengan demikian, jari-jari negara lain dapat kita cari besarnya. Setelah dihitung, jari-jari lingkaran Negara B = 2,66 cm (yaitu 16/12 * 2 cm) dan jari-jari lingakaran negar C= 3,32 cm (yaitu 20/12*2 cm). Tiap-tiap lingkaran mempunyai perbandingan luas tersendiri, seperti halnya dalam grafik lingkaran tunggal. Setelah dihitung, di peroleh tabel seperti berikut ini : TABEL Hasil Tambang (Tambang X, Y dan Z) dari Negara-negar A, B, dan C Tahun 2012 (dalam jutaan Ton) Negara Hasil Tambang Jumlah X Y Z 82

83 A B 50 37,5 12,5 100 C PERAGA Hasil Tambang (Tambang X, Y dan Z) dari Negara-negar A, B, dan C Tahun 2012 (dalam jutaan Ton) 50% 17% 33% X Y Z 38% 12% 50% X Y Z 83

84 X Y Z Keterangan : (1) Titik pusat lingkaran-lingkaran harus terletak dalam satu garis. (2) Jarak antara dua lingkaran harus lebih kecil dari pada jumlah jari-jari kedua lingkaran yang berdekatan. (3) Komposisi (urutan bentuk gambar) dari tiap lingkaran harus seragam. (4) Komponen komponen dalam lingkaran harus dibedakan dalam warna atau diberi arsir. (5) Keterangan serta kelengkapan grafik harus ada, seperti halnya pada grafik lain. Grafik Peta (Cartogram Chart ) Cartogram adalah grafik berupa peta. Suatu karakteristik (sifat/hal) yang akan digambarkan, diberi tanda/ciri khusus (berupa gambar sederhana). Misalnya, untuk menggambarkan hasil bumi (kopi), di daerah/tempat yang menghasilkan hasil bumi (kopi) pada peta diberi tanda gambar kopi dan lain sebagainya. Gambar ikan dan 84

85 menara minyak menunjukkan produksi ikan dan minyak bumi. Satu ekor ikan di Bagian Siapi-api, Sumatra Utara dan satu menara minyak di Sungai Gerong, Sumatra Selatan menujukkan produksi ikan 1000 ton dan produksi minyak 1000 barrel. PERAGA Rata-rata Kepadatan Penduduk Pulau Jawa Menurut Angka Sensus Penduduk Tahun 2012 di Indonesia. Kepadatan Penduduk Per Km 2 < Grafik Gambar (Pictogram Chart ) Grafik Gambar (Pictogram chart) adalah grafik yang disajikan dalam bentuk gambar. Didalam bidang koordinat (salib sumbu) XY dinyatakan dengan gambargambar cirri khusus untuk suatu karakteristik. Misalnya, untuk menyatakan jumlah penduduk pada tahun-tahun tertentu, dapat digambarkan berupa gambar orang (secara 85

86 sederhana). Tiap gambar mewakili suatu jumlah tertentu. Contoh lainnnya, seperti menyatakan banyaknya unit perumahan yang di bangun oleh pengembang menurut propinsi, dapat digambarkan berupa gambar rumah secara sederhana dan tiap gambar juga memiliki jumlah tertentu. TABEL Jumlah Penduduk Indonesiadari Tahun 1979 sampai dengan 1985 (dalam jutaan) Tahun Jumlah (1) (2) , , , , , , ,0 PERAGA Jumlah Penduduk Indonesiadari Tahun 1979 sampai dengan 1985 (dalam jutaan)

87 SOAL LATIHAN A. Soal Pilihan Berganda 1. Kumpulkan angka-angka yang disusun menurut kategori-kategori adalah : a. Tabel b. Histogram c. Grafik d. Polygon 87

88 2. Dibawah ini merupakan merupakan tabel hasil produksi komputer oleh pabrik CV Maju Jaya selama bulan Januari hingga September Bulan Hasil Penjualan Januari unit Februari unit Maret unit April unit Mei unit Juni unit Juli unit Agustus unit September unit Jika dilihat dari penyajian data dalam bentuk tabel maka tabel di atas termasuk dalam contoh dari: a. Tabel Dua arah b. Tabel tiga arah c. Tabel satu arah d. Tabel empat arah 3. Perhatikan grafik lingkaran berikut ini : ribuan) Jumlah Kendaraan Bermotor di Jakarta Pusat Menurut Jenis tahun 2012 (dalam 88

89 Persentase 46% 23% 11% Mobil Penumpang Bis Mobil Gerobak 20% Sepeda Motor Berdasarkan grafik di atas jika diketahui total kendaraan yang ada di Jakarta Pusat adalah ribu unit, maka jumlah kedaraan jenis Bis adalah: a b c d Persentase pengeluaran pemerintah yang terjadi selama enam tahun. 100% 80% 60% 40% 20% Penerimaan Pengeluaran 0% Tahun Berdasarkan data diatas, maka pengeluaran pemerintah yang paling rendah terjadi pada tahun : a b

90 c d Berikut adalah data penjualan tiga jenis sepeda motor oleh Sorum Martabe di Kabupaten Deli Serdang dari Januari hingga Agustus 2012 Tahun Jenis Merk Sepeda Motor Honda Suzuki Yamaha Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus Berdasarkan data diatas, penjualan tiga jenis sepeda motor yang secara bersamasama mengalami kenaikan sebanyak dua kali yaitu pada bulan a. Januari dan Maret b. Maret dan Juni c. April dan Juli d. Mei dan Juli 6. Data penerimaan mahasiswa baru Unimed Fakultas Ekonomi untuk regular dan ekstensi dari tahun 2008 hingga Kelas Regular

91 Ekstensi Karena fakultas ekonomi Unimed membangun beberapa ruangan kelas, maka penerimaan mahasiswa baru untuk tahun 2011 mengalami peningkatan 15%. Berdasarkan data diatas maka mahasiwa yang diterima untuk kelas regular dan ekstensi tahun 2011 masing-masing a. 348 dan 135 b. 350 dan 137 c. 376 dan 151 d. 378 dan Banyaknya kendaraan bermotor di Indonesia menurut jenisnya tahun 2012 (dalam ribuan) Jenis Mobil Bis Mobil Sepeda Jumlah kendaraan Penumpang Gerobak Motor Berdasarkan tabel diatas, jika disajikan kedalam grafik lingkaran, maka grafik berikut yang memuat informasi diatas adalah: a. 91

92 39% 28% 14% 19% Mobil Penumpang Bis Mobil Gerobak b. 39% 11% 28% 22% Mobil Penumpang Bis Mobil Gerobak c. 39% 14% 25% 22% Mobil Penumpang Bis Mobil Gerobak d. 17% 36% 22% 25% Mobil Penumpang Bis Mobil Gerobak 8. Data penjualan antara komputer Built dan Rakitan Lokal di Kota Medan(ribuan) 92

93 Jumlah Penjualan Komputer Bulit Rakitan Lokal Tahun Berdasarkan penyajian data diatas, pada tahun 1990 penjualan computer Built sebanyak 50 ribu unit dan Rakitan sebanyak 25 ribu unit. Begitu juga untuk tahun 1991, penjualan kedua jenis komputer mengalami peningkatan. Untuk tahun 1998, penjualan untuk komputer Built merupakan penjualan? a. Penjualan terendah dari penjualan Rakitan Lokal b. Penjualan yang sama dengan Rakitan Lokal c. Penjualan yang paling tinggi dari semua penjualan d. Penjualan Komputer Built sama dengan penjualan tahun sebelumnya. 9. Volume komoditas tanaman palawija yang diangkut dari kabupaten Humbang Hasundutan pada tahun 2012 Bulan Volume (Ton) Januari Februari Maret 8000 April Mei Juni 7000 Juli

94 Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Volume Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember volume Agustus September Oktober November Desember Berdasarka data diatas, jika data disajikan dalam bentuk grafik garis maka grafik berikut yang benar sesuai dengan informasi tersebut adalah a Bulan b Bulan c. 94

95 Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Volume Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Volume Bulan d Bulan 10. gambar-gambar yang menunjukkan secara visual data berupa angka (mungkin dengan symbol-simbol) yang biasanya juga berasal dari tabel-tabel yang telah dibuat disebut a. grafik b. histogram c. table d. polygon B. Soal Essai 95

96 1. Apa yang dimaksud dengan grafik? Sebutkan dan jelaskan macam-macam grafik yang Anda ketahui! 2. Berikan contoh table satu arah,dua arah dan tiga arah menggunakan data buatan! 3. Buatlah grafik garis berganda dan grafik batangan berganda dengan menggunakan data berikut: Bulan Hasil Produksi Januari unit Februari unit Maret unit April unit Mei unit Juni unit Juli unit Agustus unit September unit 4. Berdasarkan soal nomor.3 di atas, buatlah: a. Grafik garis persentase komponen berganda b. Grafik lingkaran 5. Jumlah penjual smartphone di PT Timbul Tenggelam pada tahun 2013 Merk smartphone Unit penjualan SAMSUNG 500 ADVAN 400 EVERCOOS 350 OPPO 358 SONY 250 ACER

97 Jumlah 2008 Berdasarkan tabel diatas, sajikanlah data dalam grafik batangan berganda! 6. Berdasarkan soal nomor. 5 diatas, buatlah persentase penjual ke- enam jenis Smartphone tersebut, kemudian sajikan data tersebut kedalam grafik lingkaran! 7. Nerca perdagangan Indonesia (Juta US$) Tahun Ekspor Impor Berdasarkan data disajikan dalam tabel di atas, buatlah grafik garis berimbang neto! 8. Data penjualan sepeda motor merek Honda dan Suzuki oleh Sorum Adiputra dar Maret hingga Oktober 2012: Bulan Honda Suzuki Maret April Mei Juni Juli September Oktober

98 Berdasarkan tabel di atas, sajikanlah data tersebut dengan mengunakan grafik garis komponen berganda! 9. Penerimaan mahasiswa baru Universitas Negeri Medan dari tahun 2008 hingga 2012 untuk setiap fakultas! Fakultas FIP FBS FIS FMIPA TEKNIK FE OLAHRAGA Berdasarkan data diatas, buatlah grafik garis berganda yang memuat seluruh penerimaan mahasiswa baru! 10. Berdasarkan soal no. 9 di atas, buatlah: a. Grafik batangan berganda untuk fakultas FMIPA, TEKNIK, adan FE. b. Buatlah grafik lingkaran untuk penerimaan mahasiswa untuk tahun 2009 dan 2012 C. Soal Studi Kasus 1. Diketahui informasi sebagai berikut: dari total penerimaan negara dalam sektor pajak yang diperoleh pada periode tertentu, Pemerintah mengolahnya menjadi pengeluaran Negara untuk empat kategori yaitu pengeluaran untuk bidang pendidikan, kesehatan, parawisata dan untuk perbaikan jalan. Dari total penerimaan Negara tahun 2000 yakni Rp miliar, pemerintah membelanjakannya kembali sebagi pengeluaran Negara untuk keempat kategori 98

99 tersebut secara berurutan 40%, 35%, 10% dan 15%. Pada tahun 2001, seiring dengan bertambahnya penerimaaan Negara baik dari sektor bea cukai, devisa dari para TKI yang bekerja di luar negeri, pemerintah pun menambah pengeluaran Negara untuk keempat kategori tersebut sebanyak 10% dari tahun sebelummya yang dibagi sesuai dengan persentase untuk masing-masing kategori yang telah dibuat sebelummnya. Pada tahun 2002, pemerintah kembali menambah pengeluaran Negara sebanyak 5% dari tahun sebelumnya yakni tahun 2001, namun pengeluaran tersebut hanya dialokasikan untuk dua jenis pengeluaran yaitu bidang pendidikan dan kesehatan dengan persentase yang sama. Pada tahun 2003, karena negara dilanda oleh wabah penyakit, pemerintah kembali menambah pengeluaran untuk bidang kesehatan sebanyak 4% dari anggaran yand diperuntukan untuk bidang kesehatan tahun Berdasarkan informasi yang dijelaskan diatas buatlah: a. Tabel ringkasan yang memuat informasi diatas! b. Grafik garis berganda yang memuat informasi keempat jenis pengeluaran pemerintah! c. Buatlah grafik batang untuk membandingkan keempat pengeluaran pemerintah dari tahun ke tahun! 2. Diketahui informasi sebagai berikut: dari modal yang disiapkan perusahaan PT. Mundur Serentak, perusahaan menggunakannnya untuk membiayai 3 jenis produksi barang yakni barang A, B, dan C. Pada produksi tahap pertama dan kedua, perusahaan mengalokasi biaya untuk produksi barang A sebanyak 40% dan 50%. Dari total biaya yang tersedia. Pada produksi tahap ketiga, produksi barang A menurun 2% dari produksi sebelumnya. Disisi lain, biaya untuk produksi kedua jenis barang berikutnya juga mengalami perubahan. Dimana pada produksi tahap pertama untuk barang A dialokasikan biaya 35% dari total biaya yang ada, sedangkan untuk tahap produksi kedua barang B biaya dinaikkan menjadi 38%. Sedangkan pada tahap produksi ketiga jenis barang B, biaya diturunkan 6% dari tahap produksi kedua barang B. biaya yang disedikan 99

100 perusahaan untuk produksi tahap pertama dan kedua masing-masing Rp , dan Rp ,. sementara untuk tahap produksi ketiga perusahaan menambah biaya sebanyak 15% dari tahap produksi kedua. Berdasarkan data diatas, buatlah: a. Penyelesaian dengan pertanyaan yang sama dengan pertanyaan nomor 1! b. Buatlah grafik garis persentase komponen berganda c. Grafik lingkaran untuk setiap tahap produksi. 100

101 BAB 4 DISTRIBUSI FREKUENSI Kompetensi Inti : Menjelaskan arti dan manfaat distribusi frekuensi Kompetensi Dasar : Menyusun distribusi frekuensi data kualitatif dan kuantitatif Menggambar grafik frekuensi, frekuensi relative dan frekuensi kumulatif 101

102 Pengertian Frekuensi Kata frekuensi yang dalam bahasa Inggrisnya adalah frequency berarti: kekerapan, keseringan, atau jarang-kerapnya. Dalam statistik frekuensi mengandung pengertian: Angka (bilangan) yang menunjukkan seberapa kali suatu variabel (yang dilambangkan dengan angka-angka itu) berulang dalam deretan angka tersebut;atua berapa kalikah sutu variabel(yang dilambangkan dengan angka itu) muncul dalam deretan angka tersebut. (Sudijono Anas.2009: 36) Pengertian Distribusi Frekuensi Distribusi (distribution,bahasa Inggris) dalam bahasa Indonesia dapat diartikan penyaluran, pembagian atau pencaran. Jadi distribusi frekuensi dapat diartikan penyaluran frekuensi, pembagian frekuensi atau pencaran frekuensi. Dalam statistik, distribusi frekuensi kurang lebih mengandung pengertian: suatu keadaan yang menggambarkan bagaimana frekuensi dari gejala atau variabel yang dilambangkan dengan angka itu,telah tersalur,terbagi,atau terpencar. Tabel Distribusi Frekuensi Tabel Distribusi Frekuensi dapat kita beri pengertian sebagai: Alat penyajian data statistik berbentuk kolom dan lajur, yang di dalamnya dimuat angka yang dapat melukiskan atau menggambarkan pencaran atau pembagian frekuensi dari variabel yang sedang menjadi objek penelitian. (Sudijono Anas.2009: 38) Contoh : Jika data yang berupa nilai hasil Ujian MID Semester dalam bidang studi Matematika dari 40 orang siswa kelas VII SMP Tunas Karya kita sajikan dalam bentuk tabel,maka pembagian atau pencaran frekuensi nilai hasil ujian itu akan tampak dengan nyata: 102

103 Nilai Banyaknya (Orang) Total 40 Dalam suatu tabel distribusi frekuensi akan kita dapati: (1)variabel, (2)frekuensi, dan (3)jumlah frekuensi. Dalam contoh di atas, angka-angka 100,90,85,80,75,70,60,55,50,dan 40 adalah angka yang melambangkan variabel nilai hasil ujian,angka 2,3,3,6,8,7,5,3,2,dan 1 adalah angka yang menunjukkan frekuensi,sedangkan 40 adalah jumlah frekuensi.terkadang Tabel Distribusi Frekuensi itu acapkali disingkat menjadi Tabel Frekuensi saja Tabel Distribusi Frekuensi dan Macamnya Dalam dunia statistik kita mengenal berbagai macam Tabel Distribusi Frekuensi; dalam makalah ini akan dikemukakan mengenai 4 macam Tabel Distribusi Frekuensi,yaitu: Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal,Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan,Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif, dan Tabel Distribusi Frekuensi Relatif ( Tabel Persentase). (Sudijono Anas.2009: 39) 103

104 Tabel Distibusi Frekuensi Data Tunggal Tabel Distribusi Data Tunggal adalah salah satu jenis tabel statistik yang di dalamnya disajikan frekuensi dari data angka ;angka yang ada itu tidak dikelompokkelompokkan(ungrouped data). (Sudijono Anas.2009: 39) Contoh : TABEL 2.1 Distribusi Frekuensi Nilai UAS Dalam Bidang Studi Matematika dari 40 Orang Siswa kelas X 1 SMA Tunas Cendekia. Nilai (X) Total Frekuensi (f) = N Dalam Tabel 2.3 itu, Nilai UAS Dalam Bidang Studi Matematika dari sejumlah 40 orang siswa kelas X1 SMA Tunas Cendekia berbentuk Data Tunggal,sebab nilai tersebut tidak dikelompok-kelompokkan (ungrouped data). Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan adalah salah satu jenis tabel statistik yang di dalamnya disajikan pencaran frekuensi dari data angka,di mana angka-angka tersebut dikelompok-kelompokkan (dalam tiap unit terdapat sekelompok angka Data disajikan memalui Tabel 2.2 berbentuk Data Kelompokkan (Grouped Data).Adapun huruf N yang terdapat pada lajur Total (baik yang terdapat pada Tabel 2.1 maupun Tabel 2.2) adalah singkatan dari Number atau Number of Gases yang berarti jumlah frekuensi atau jumlah hal yang diselidiki,atau jumlah individu 104

105 Contoh: TABEL 2.2. Distribusi Frekuensi Tentang Usia dari Sejumlah 60 orang Guru Matematika yang Bertugas Pada Sekolah Menengah Atas Negeri. Usia Frekuensi (f) Total N Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Dimaksud dengan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif ialah salah satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan frekuensi yang dihitung terus meningkat atau: selalu ditambah-tambahkan, baik dari bawah ke atas maupun dari atas ke bawah. (Sudijono Anas.2009: 41) Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Tabel Distribusi Frekuensi Relatif juga dinamakan Tabel Persentase. Dikatakan frekuensi relatif sebab frekuensi yang disajikan di sini bukanlah frekuensi yang sebenarnya, melainkan frekuensi yang dituangkan dalam bentuk angka persenan. (Sudijono Anas.2009: 42) Contoh : TABEL 2.5. Distribusi Frekuensi Relatif (Distribusi Persentase) tentang Nilai-nilai THB Dalam Studi PMP dari sejumlah 40 Orang Siswa MTsN. 105

106 Nilai (X) F Persentase (p) Total: 40 = N = p Keterangan: Untuk memperoleh frekuensi relative (angka persenan) sebagaimana tertera pada kolom 3 tabel 2.5, digunakan rumus: P = N x 100% = frekuensi yang sedang dicari persentasenya. N = Number of Cases (jumlah frekuensi/banyaknya individu). p = angka persentase. Dengan cara yang sama seperti telah dikemukakan di atas, contoh untuk Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan adalah sebagai berikut: TABEL 2.6. Distribusi Frekuensi Kumulatif Usia 50 Orang Guru Matematika yang bertugas pada Sekolah Dasar Negeri. Usia Persentase (p) Total : 50 = N = p 106

107 Tabel Persentase Kumulatif Seperti halnya Tabel Distribusi Frekuensi Tabel Persentase atau Tabel Distribusi Frekuensi relatif pun dapat diubah ke dalam bentuk Tabel Persentase Kumulatif (Tabel Distribusi Frekuensi relatif Kumulatif). Contoh Tabel Persentase Kumulatif adalah Tabel 2.7. untuk data tunggal,dan Tabel 2.8 untuk data berkelompok. Penjelasan tentang bagaimana cara memperoleh pk(b) dan pk(a) adalah sama seperti penjelasan yang telah dikemukakan pada Tabel 2.3. (Sudijono Anas.2009: 44-45) Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Dari lima macam Tabel Distribusi Frekuensi yang telah dikemukakan contohnya di atas,hanya dua buah saja yang dipandang perlu dibahas cara pembuatannya, yaitu: Tabel Distribusi Data Tunggal dan Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan. Kedua macam tabel distribusi frekuensi tersebut perlu dipelajari prosedur dan teknik pembuatannya,sebab pekerjaan menganalisis data statistik pada umumnya diawali dengan pembuatan salah satu diantara dua jenis tabel distribusi frekuensi tersebut.sedangkan prosedur dan teknik pembuatan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif, Tabel Distribusi Frekuensi Relatif, dan Tabel Persentase Kumulatif ;ketiga macam tabel distribusi frekuensi yang disebutkan terakhir,dapat dibuat setelah dipersiapkan lebih dahulu Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggalnya atau Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokannya. (Sudijono Anas.2009: 45-46) Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal Sebelum dikemukakan mengenai cara pembuatan Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal,terlebih dahulu perlu dikemukakan bahwa Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal ada dua macam,yaitu: Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal yang semua skornya berfrekuensi 1, dan Tabel Distribusi 107

108 Frekuensi Data Tunggal yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu. (Sudijono Anas.2009: 46) Contoh Pembuatan Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal yang Semua Skornya Berfrekuensi Misalkan dari 10 orang Mahasiswa yang menempuh Ujian Akhir Semester dalam mata kuliah Statistika Dasar,diperoleh nilai sebagai berikut: No. Nama Nilai Aditin Meta Riska Melani Dika Santoso Imam Uka Yasmin Zelly Apabila kita perhatikan data di atas,maka dari 10 orang mahasiswa yang menempuh ujian akhir semester tersebut,kita dapat mengatakan bahwa semua skor atau semua nilai yang sedang kita hadapi itu masing-masing berfrekuensi 1. Jika data di atas kita tuangkan penyajiannya dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal,wujudnya adalah seperti Tabel

109 TABEL 3.1. Distribusi Frekuensi Nilai Hasil Ujian Akhir Semester Dalam Mata Kuliah Statistika Dasar yang Diikuti 10 Orang Mahasiswa. Nilai f (X) Total 10 = N Karena semua skor (nilai) hasil ujian tersebut befrekuensi 1 dan semua skor(nilai) yang ada itu berwujud Data Tunggal maka tabel di atas dinamakan: Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal yang Semua Skornya Berfrekuensi 1. Contoh Pembuatan Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal yang Sebagian atau Keseluruhan Skornya Berfrekuensi Lebih dari 1 Misalkan dari sejumlah 40 orang murid Sekolah Menengah Pertama yang menempuh ulangan harian dalam mata pelajaran matematika,diperoleh nilai hasil ulangan sebagai berikut (nama murid tersebut tidak dicantumkan di sini):

110 Apabila data tersebut akan kita sajikan dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi, maka langkah yang perlu ditempuh adalah: Langkah Pertama : Mencari Nilai Tertinggi (Skor paling tinggi (Highest Score) H) dan Nilai Terendah (Skor paling rendah (Lowest Score) L). Ternyata H = 10 dan L = 3. Dengan diketahuinya H dan L maka kita dapat menyusun atau mengatur nilai hasil ulangan harian itu, dari atas ke bawah,mulai dari 10 berturut-turut ke bawah sampai dengan 3 pada kolom 1 dari Tabel Distribusi Frekuensi yang kita persiapkan adalah seperti yang terlihat pada Tabel 3.2 Langkah Kedua : Menghitung frekuensi masing-masing nilai yang ada,dengan bantuan jari-jari (tallies); hasilnya dimasukkan dalam kolom 2 dari Tabel Distribusi Frekuensi yang kita persiapkan ( Lihat Kolom 2 Tabel 3.2). Langkah Ketiga : Mengubah jari-jari menjadi angka biasa, dituliskan pada kolom 3 (lihat kolom 3 tabel 3.2 ), setelah selesai, keseluruhan angka yang menunjukkan frekuensi masing-masing nilai yang ada itu lalu kita jumlahkan, sehingga diperoleh jumlah frekuensi (Σ f) atau Number of cases = N Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokkan Jika penyebaran angka/skor/nilai yang akan kita sajikan dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi itu demikian luas atau besar,dan penyajiannya dilakukan dengan cara seperti yang telah dikemukakan di atas, maka Tabel Distribusi Frekuensi yang berhasil kita buat akan terlalu panjang dan memakan tempat. Di samping itu ada kemungkinan bahwa skor yang kita sajikan frekuensinya dalam tabel,ternyata berfrekuensi 0 karena skor tersebut tidak terdapat dalam deretan skor yang kita hadapi.dalam keadaan demikian, tabel yang kita buat itu menjadi tidak menarik dan tidak dapat menggambarkan keadaan data yang kita hadapi dengan ringkas dan jelas. 110

111 TABEL : Nilai Akhir Mata Kuliah X Berdasarkan Jenis Kelamin Mahasiswa Nilai Pria Wanita Jumlah Akhir F % f % F % A B C D E Jumlah Tabel diatas merupakan contoh daftar distribusi frekuensi data yang tidak dikelompokkan karena frekuensinya dicantumkan untuk setiap skor (nilai) yang muncul. Daftar distribusi frekuensi seperti ini dapat digunakan jika skor (nilai) yang diperoleh relative tidak beragam. Namun, jika nilai yang hendak dianalisis cukup beragam, maka daftar distribusi frekuensi diatas tidak memadai lagi. Sebagai contoh,perhatikanperangkat data fiktif pertama diatas dengan jumlah sampel terbesar 80. Data tersebut cukup beragamdengan skor terkecil 36 dan skor terbesar 95, sehingga jika distribusi frekuensnya dibuat seperti diatas tidak akan membantu memudahkan dalam menafsirkan. Untuk mengatasi masalah ini,data di atas perlu dikelompokkan terlebih dahulu menjadi sejumlah rentangan skor. Frekuensi setiap rentangan skor kemudian dihitung berdasarkan jumlah skor yang tergolong ke dalam rentangan skor itu. Cara seperti ini akan menghassilkan daftar distribusi frekuensi data yang dikelompokkan. Secara berurutan, langkah-langkah untuk menyusun daftar distribusi data yang dikelompokkan adalah sebagai berikut: (a) menentukan rentang, (b) menentukan panjang kelas, (c) menentukan banyak kelas, (d) menyusun interval kelas, dan (e)menghitung frekuensi untuk setiap kelas. 111

112 Rentang Rentang (range) suatu perangkat data yang biasanya dilambangkan dengan huruf Radalahskor terbesardikurangi skor terkecil. Dengan demikian rentang perangkat data di atas dapat ditemukan, yaitu: R = = 59 Panjang Kelas Panjang kelas (p) atau interval (i) menunjukkan banyaknya angka (nilai) yang tercakup oleh suatu interval kelas. Sebagai contoh, pada interval 4 8 (untuk data yang dicatat dalam bilangan bulat) terdapat 5 buah angka, yaitu 4,5,6,7, dan 8. Dengan demikian, panjang kelas (p atau i) untuk interval kelas tersebut adalah 5; jadi, p = 5. Panjang kelas dapat membantu ditentukan dengan beberapa cara. Salah satu cara yang dapat membantu menentukan panjang kelas adalah rumus yang disusulkan oleh Sturgess (Sudjana, 1975: 46), yaitu p = 1 + 3,3 log n.. Dengan menggunakan rumus diatas, panjang kelas yang diperlukan untuk mengelompokkan data diatas dapat ditentukan seperti berikut p = 1 +3,3log 80 = 7,3 Jadi, panjang kelas untuk mengelompokkan data dari 80 subjek adalah sekitar 7 atau 8. Hal yang perlu dicatat di sini adalah bahwa panjang kelas dapat berupa bilangan decimal atau bilangan bulat bergantung pada pencatatan data yang akan dikelompokkan. Oleh karena data dalam contoh di atas dicatat dalam bilangan buat, maka panjang kelasnya pun harus berupa bilangan bulat. (Furqon.2004: 24) Banyak Kelas Banyak kelas (bk) menunjukkan jumlah interval kelas diperlukan untuk mengelompokkan suatu perangkatdata. Banyak kelas selalu berbentuk bilangan bulat 112

113 dan sebaiknya berkisarantara 5 sampai 20. Banyak kelas suatu perangkat data dapat ditemukan dengan rumus Dengan menggunakan R = 59 dan p = 7, maka banyakkelass yang diperlukan perangkat data pada contoh diatas adalah: bk = 59 : 7 = 8,43 Dengan demikian, untuk mengelompokkan perangkat data pada contoh diatas diperlukan sekitar 8 atau 9 interval kelas. Interval Kelas Untuk menyusun interval kelas, perlu ditentukan dahulu bilangan awal untuk interval kelaspertama (paling bawah). Bilangan awal ini sebaiknya merupakan kelipatan dari panjang kelas (p) dan tidak lebih kecil ddari skor terkecil dikurangi panjang kelas. Bilangan awal ini harus sama dengan atau lebih kecil dari skor terkecil. Tabel 3.4 Daftar distribusi frekuensi contoh data fikif Interval Kelas Turus Frekuensi /// /// ///// /// ///// ///// /// ///// ///// ///// //// ///// ///// ///// ///// //// ///// / //// 4 Jumlah

114 Dengan menggunakan bilangan awal 35 dan panjang kelas 7, maka kelas pertama untuk contoh data di atas adalah yang meliputi 7 macam nilai, yaitu 35,36,37,38,39,40, dan 41. Interval kelas berikutnya adalah 42 48, dan seterusnya. Frekuensi Frekuensi setiap kelas dapat diperoleh dengan cara turus (tally) setiap nilai yang ada pada interval kelas masing-masing dan kemudian menjumlahkan banyaknya turus yang didapat. Melalui kelima langkah ini, maka daftar distribusi frekuensi untuk contoh data di ats dapat dibuat seperti tabel 3.4. Titik Tengah Istilah lain yang perlu dipahami adalah titiktengah (midpoint). Sesuai dengan namanya, titik tengah suatu kelas merupakan nilai yang membagi kelas itu menjadi dua bagian sama besar. Secara aljabar, pengertian tersebut dapat ditulis Titik tengah = ½ (batas bawah +batas atas) Sebagai contoh, titik tengah kelas adalah ½ ( ) = 38; ada tiga nilai dibawahnya (35,36,dan 37) dan tiga niali lain di atasnya(39,40, dan 41). Titik tengah ini sering digunakan sebagai wakil kelas yang bersangkutan daam analisis statistika. Dalam suatu penelitian, jumlah atau persentase subjek yang mendapat nilai lebih besar atau lebih kecil daripada skor tertentu mungkin merupakan hal yang menarik untuk ditelaah. Informasi tentang hal ini dapat dengan mudah diperoleh dengan menambahkan frekuensi kumulatif (fk) pada daftar ditribusi frekuensi di atas (tabel 3.4). Frekuensi kumulatif dapat diperoleh dengan cara menanbahkan frekuensi (f) setiap kelas dari bawah ke atas. 114

115 TABEL 3.3 Frekuensi dan persentase kumulatif data pada tabel 3.4 Skor F Fk % ,0 96,3 92,5 82,5 66,3 42,5 23,8 12,5 5,0 Jumlah Uraian dan contoh sederhana tersebut menunjukkan bahwa penyajian data melalui tabel mempermudah peneliti atau pembaca memahami fenomena yang diamati dn maksud yang hendak disampaikan. Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi Dalam Bentuk Grafik Poligon (Polygon Frequency) Grafik Poligon dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu: (1) Grafik Poligon Data Tunggal (2) Grafik Poligon Data Kelompok. Contoh Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi Dalam Bentuk Grafik Poligon Data Tunggal Misalkan data yang berupa nilai hasil ulangan harian dalam bidang studi Matematika yang diikuti oleh 40 orang murid Madrasah Ibtidayah seperti tertera pada tabel 3.2 di 115

116 muka tadi, kita sajikan kembali dalam bentuk grafik poligon, maka langkah yang dilakukan berturut-turut adalah: Membuat sumbu horizontal dengan lambang X. Membuat sumbu vertikal dengan lambang Y. Menetapkan titik nol, yaitu perpotongan X dengan Y. Menempatkan nilai hasil ulangan umum bidang studi matematika pada absis X, berturut-turut dari kiri ke kanan, mulai dari nilai terendah sampai nilai yang tertinggi. Menempatkan frekuensi pada ordinal Y. Melukiskan grafik poligonnya. Hasilnya seperti pada grafik 4.1 Grafik 4.1 Poligon frekuensi tentang nilai-nilai hasil ulangan harian bidang studi Matematika dari 40 orang murid Madrasah Ibtidayah(Sudijono Anas.2009: 65) Contoh Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi Dalam Bentuk Grafik Poligon Data Kelompokan Misalkan data tentang nilai hasil EBTA dalam bidang studi Matematika dari sejumlah 80 orang siswa kelas III Jurusan IPA seperti yang disajikan pada tabel di bawah ini. TABEL 4.1 Distribusi Frekuensi Nilai Hasil EBTA dalam Bidang Studi Matematika dari Sejumlah 80 Orang Siswa Kelas III SMA Jurusan IPA Interval Tanda/Jari-jari F // // /// //// ///// ///// /////

117 ///// ///// ///// // ///// ///// //// ///// ///// / ///// / //// // Total 80 = N Maka langkah yang perlu dilakukan adalah: Menyiapkan sumbu horizontal X. Menyiapkan sumbu vertikal Y. Menetapkan titik nol. Menetapkan atau mencari titik tengah masing-masing interval yang ada Menempatkan nilai-nilai tengah dari masing-masing interval, pada sumbu X. Menempatkan frekuensi dari masing-masing interval, pada sumbu Y. Membuat garis pertolongan (koordinat). Melukiskan grafik poligonnya (lihat pada grafik 4.2). Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi dalam Bentuk Grafik Histogram Histogram adalah suatu bentuk grafik yang menggambarkan sebaran (distribusi) frekuensi suatu perangkat data dalam bentuk batang. Histogram digunakan untuk menggambarkan secara visual frekuensi data yang bersifat kontinu. Untuk data yang berbentuk kategori, tampilan visual yang serupa disebut diagram batang. Untuk menggambar histogram diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak. Sumbu datar dan sumbu tegak saling berpotongan secara tegak lurus, sehingga kaki setiap batang jatuh pada batas nyata bawah/batas nyata atas setiap kelas dengan titik tengah kelas berada di tengah kedua kaki batangnya. Pada grafik 4.3, angka 38,45,52,...,94 117

118 merupakan titik tengah setiap kelas, dan berada di antara dua batas nyata kelas yang bersangkutan. Misalnya, kaki batang di sebelah kiri dan kanan angka 38, masingmasing jatuh tepat pada angka 34,5 (batas nyata bawah) dan 41,5 (batas nyata atas). Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi dalam Bentuk Grafik Ogif Ogif (ogive) merupakan poligon yang dibuat atas dasar frekuensi kumulatif seperangkat data. Secara lebih tegas dapat dikatakan bahwa grafik ogif merupakan gambaran visual dari frekuensi kumulatif perangkat data. Garis suatu ogif menghubungkan batas nyata bawah/atas setiap intercal kelas. Grafik 4.4 merupakan ogif untuk frekuensi kumulatif data pada tabel 3.5 Sesuai dengan makna frekuensi kumulatif, ogif menggambarkan secara visual jumlah subjek yang berada di bawah atau di atas skor tertentu. Sebagai contoh, grafik ogif pada grafik 4.4 menunjukkan bahwa 74 subjek berada di bawah skor 83,5 dan hanya 14 subjek yang berada di atas skor 76,5. 118

119 BAB 5 UKURAN PEMUSATAN Kompetensi Dasar Mahasiswa mampu menjelaskan tentang ukuran pemusatan. Kompetensi Inti Mengerti arti dari ukuran pemusatan Mengetahui beberapa ukuran pemusatan Dapat mengetahui cara penghitungan ukuran pemusatan Dapat mengetahui beberapa jenis dari ukuran pemusatan 119

120 DEFINISI UKURAN PEMUSATAN Rata-rata (average) adalah nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok data (a set of data). Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak ditengah suatu kelompok data yang disusun menurut besar atau kecilnya nilai. Dengan kata lain, nilai rata-rata mempunyai kecenderungan memusat, sehingga sering disebut ukuran kecenderungan memusat (measures of central tendency). Beberapa jenis rata-rata yang sering dipergunakan ialah rata-rata hitung (arithmetic mean atau sering disingkat mean), rata-rata ukur (geometric mean), dan rata harmonis (harmonic mean). Didalam kehidupan sehari-hari rata-rata banyak dipergunakan dan dikel oleh masyarakat. Contohnya yaitu: rata-rata gaji atau upah karyawan perusahaan swasta per tahun, rata-rata produksi gula per tahun, rata-rata harga beras per kilogram dan lain sebagainya. Jenis-jenis rata-rata yaitu sebagai berikut ini : Rata-rata hitung Rata-rata hitung sering digunakan sebagai dasar perbandingan antara dua kelompok atau lebih. Rata-rata hitung juga sering disebut dengan data kuantitatif. Kumpulan data sebanyak n, nilai akan dinyatakan dengan simbol-simbol x1, x2, x3,, xn. Simbol n juga dipakai untuk menyatakan ukuran sampel atau besar sampel, yaitu banyak data yang diteliti dalam sampel. Untuk ukuran populasi atau besar populasi digunakan simbol N, yaitu banyak data yang diteliti dalam populasi. Mean atau rata-rata hitung dari sekumpulan data kuantitatif dinyatakan dengan simbol X (X bar/besar sampel) dan μ (myu/besar populasi). Rumus untuk rata-rata sampel dan rata-rata populasi adalah sebagai berikut : a) Rata-rata sampel Apabila rata-rata dihitung berdasarkan sampel sebanyak n di mana n < N observasi, maka diperoleh rata-rata perkiraan atau rata-rata sampel, yang diberi simbol X yang rumusnya sebagai berikut: X = 1 n n i=1 X i 120

121 = 1 n (X 1 + X X i + + X n ) X dibaca X bar, yaitu simbol rata-rata X merupakan perkiraan μ b) Rata-rata populasi Simbol rata-rata populasi disebut parameter. Rata-rata sebenarnya sering juga disebut rata-rata populasi. μ = 1 N N i=1 X i = 1 (X1 + X2 + + Xi + + XN) N μ dibaca myu Contoh : Ada 10 nilai matematika dari 10 siswa yaitu : 80, 75, 77, 58, 85, 65, 87, 52, 68, 91. X = hasil nilai matematika 10 siswa. X1 = 80 X2 = 75 X3 = 77 X4 = 58 X5 = 85 X6 = 65 X7 = 87 X8 = 52 X9 = 68 X10 = 91 ( Angka-angka yang digarisbawahi merupakan sampel ). a) Hitung rata-rata populasi. b) Hitung rata-rata sampel dari data yang diambil sampelnya : X2, X4, X5, X8, dan X

122 Penyelesaian : a) Rata-rata populasi μ = i=1 X i = 1 10 (738) = 73,8 Jadi rata-rata hasil nilai matematika dari 10 siswa tersebut adalah = 73,8 b) Rata-rata sampel X = 1 n n i=1 X i = 1 ( ) 5 = 72,2 Jadi, rata-rata sampel dari hasil nilai matematika 10 siswa yaitu = 72,2 (mendekati rata-rata sebenarnya). X merupakan perkiraan μ. Rata-rata Hitung (Data Berkelompok) Apabila data sudah disajikan dalam bentuk tabel frekuensi, dimana X1 terjadi f1 kali X2 terjadi f2 kali, dan seterusnya sampai Xk terjadi fk kali, maka rumus rata-rata dari data yang sudah dibuat tabel frekuensinya adalah sebagai berikut : k Karena i=1 f i = n, maka : Atau X = X = 1 n X = k i=1 f ix i k i=1 f i k i=1 f ix i k i=1 k i=1 f i M if i Di mana Mi = nilai tengah kelas interval ke-i (untuk data berkelompok). Contoh : Perhatikan tabel berikut. Berdasarkan data tersebut, hitunglah rata-ratanya. 122

123 X f Penyelesaian X = f ix i f i = = 5,5 Jadi, rata-rata dari data diatas adalah 5,5. Rata-rata Hitung Tertimbang Sering kali dalam suatu persoalan, masing-masing nilai mempunyai nilai bobot/timbangan tertentu, misanya X1 dengan timbangan W1, X2 dengan timbangan W2, dan seterusnya sampai Xn dengan timbangan Wn. Oleh karena itu, rata-rata yang menggunakan timbangan tersebut disebut rata-rata tertimbang (weighted arithmetic mean) dengan rumus sebagai berikut : X = W ix i W i = W 1X 1 + W 2 X W i X i + + W k X K W 1 +W W i + + W k Perhatikan bahwa dalam rumus diatas, timbangannya berupa frekuensi (Wi = fi). Contoh : Data berikut ini menunjukkan nilai hasil ujian statistika mahasiswa. 80, 85, 55, 80, 60, 70, 90, 85, 55, 70 70, 90, 80, 60, 55, 85, 80, 70, 90, 55 90, 80, 85, 70, 70, 55, 60, 70. Carilah rata-rata hitung tertimbang dari nilai hasil ujian statistika mahasiwa dengan cara : a) Data tidak dikelompokkan b) Data dikelompokkan 123

124 Penyelesaian : a) X = X i n = 1 28 ( ) = = 73,04 b) X = f ix i f i = 55(5) + 60(3) + 70(7) + 80(5) + 85(4) + 90(4) = 73, BEBERAPA SIFAT/CIRI RATA-RATA HITUNG I. Jumlah deviasi atau selisih dari suatu kelompok nilai terhadap rata-ratanya sama dengan nol, yaitu : n (X i X) = 0 i=1 = X i nx = X i X i = 0 X ( = nilai statistika ) Dimana X = 1 n X i atau X i = nx Buktinya : (X i X) = X i X n Ingat, i=1 k = k + k + k + + k = nk n X i=1 f(= banyak mahasiswa) = X + X + X + + X n n = nx 124

125 Contoh : Misalkan diketahui X1 = 6, X2 = 5, X3 = 7, X4 = 8, dan X5 = 4. Hitunglah ratarata (X) dan tunjukkan bahwa (X i X) = 0. Penyelesaian : X = 1 n X i 5 = 1 ( ) 5 = 6 (X i X) = (X 1 X) + (X 2 X) + (X 3 X) + (X 4 X) + (X 5 X) i=1 = (6 6) + (5 6) + (7 6) + (8 6) + (4 6) = 0 II. Jumlah deviasi kuadrat dari suatu kelompok nilai terhadap nilai k akan minimum (terkecil) jika k = X. Masudnya, n (X i k) 2 (X i X) 2 i=1 Contoh : Misakan bahwa X1 = 6, X2 = 8, dan X3 = 9. Hitunglah X dan tunjukkan bahwa (X i k) 2 (X i X) 2, jika k merupakan salah satu nilai dari kelompok nilai tersebut. Penyelesaian : X = 1 n X i = 1 ( ) 3 = 7,67 k = 6 (X i 6) 2 = ( 6 6) 2 + (8 6) 2 + (9 6) 2 125

126 = 13 k = 8 (X i 8) 2 = (6 8) 2 + (8 8) 2 + (9 8) 2 = 5 k = 9 (X i 9) 2 = (6 9) 2 + (8 9) 2 + (9 9) 2 = 10 k = X = 7,67 (X i X) 2 = (X i 7,67) 2 = (6 7,67) 2 + (8 7,67) 2 + (9 7,67) 2 = 4,67 Jadi, ternyata (X i k) 2 (X i X) 2, dimana: 13 > 4,67 5 4, ,67 Jadi, (X i X) 2 = minimum (terkecil). III. Apabila ada kelompok nilai: Contoh : Kelompok pertama sebanyak f1 nilai dengan rata-rata X1 Kelompok kedua sebanyak f2 nilai dengan rata-rata X2 Kelompok ke-i sebanyak fi nilai dengan rata-rata Xi Kelompok ke-k sebanyak fk nilai dengan rata-rata Xk Oleh karenanya, rata-rata dari seluruh nilai adalah sebagai berikut: X = f ix i f i = f ix i f i = f ix i f i = f 1X 1 + f 2 X f i X i + f k X k f 1 + f f i + f k Ada 2 kelompok pekerja. Kelompok pertama terdiri dari 50 orang, di mana masing-masing menerima upah per minggu Rp dan kelompok kedua terdiri dari 10 orang masing-masing menerima upah perminggu Rp i. Hitung rata-rata upah per minggu dari seluruh pekerja. ii. Apakah hasil perhitungan rata-ratanya akan sama kalau 50 orang tersebut menerima rata-rata upah Rp per minggu (X1 = Rp30.000) 126

127 dan 10 orang menerima rata-rata upah Rp per minggu (X 2 = Rp20.000). Penyelesaian : i. X = upah mingguan dalam ribuan rupiah. f = banyaknya pekerja yang menerima upah X. X f X = f 1X 1 + f 2 X 2 f 1 + f 2 = = 28,3 Jadi, rata-rata upah mingguan per pekerja = Rp ii. Jika X = X i n, maka nx = X i. Kelompok pertama X 1 = X i, T n 1 = X i (kelompok pertama). Karena n1 = f1, maka T1 = X1n1 atau X1 f1 atau f1x1. Kelompok kedua X 2 = X i, T n 2 = X i (kelompok kedua). 2 Karena n 2 = f 2, maka T 2 = X 2 n 2 atau X 2 f 2 atau f 2 X 2. Jumlah pekerja = f 1 + f 2 = atau 60. Jumlah upah seluruh pekerja dibagi dengan banyaknya pekerja, Atau X = T 1+T 2 f 1 +f 2 = f1x1+f 2X 2 f 1 +f 2 = = 28,3 Hasil perhitungan (i) dan (ii) adalah sama, yaitu rata-rata upah mingguan per pekerja adalah Rp Rata-rata ini sangat 127

128 IV. mendekati upah sesungguhnya dari masing-masing kelompok, dimana kelompok pertama Rp30.000, sedangkan kelompok kedua Rp Rata-rata ini ditimbang dengan menggunakan frekuensi sebagai timbangan. Apabila k adalah sembarang nilai yang merupakan nilai rata-rata asumsi/anggaran dan di merupakan deviasi atau selisih dari nilai Xi terhadap k(di = Xi k, i = 1,2,,n), maka kita peroleh rumus rata-rata sebagai berikut: X = k + d i n X = k + f id i f i, sebagai pengganti X = X i n, sebagai pengganti X = f ix i f i i = 1,2,, k Bukti: a) X1, X2,, Xi,, Xn, k = suatu bilangan konstan rata-rata asumsi. di = Xi k, Jadi, d1 = X1 k, d2 = X2 k,, di = Xi k,, dn = Xn k di = Xi k X = X i n = (k+d i ) n = k+ d i n = nk + d i n n = k + d i n Xi = k + di 128

129 Jadi: X = k + d i n Contoh : b) Xi terjadi f1 kali, X2 terjadi f2 kai,., Xi terjadi fi kali,, Xn terjadi fn kali. X = f ix i f i = k f i + f i d i f i = k f i + f i d i f i = k f i f i = k + f id i f i Jadi: X = k + f id i f i + f id i f i Misalkan diketahui X1 = 5, X2 = 8, X3 = 11, X4 = 9, X5 = 12, X6 = 6, X7 = 14, dan X8 = 10. Cari rata-rata nilai variabel X ini dengan rumus X = 1 n ( X i) dan X = k + 1 n ( d i), k = 9 dan k = 20. Penyelesaian: a) X = 1 ( ) 8 = 9,375 b) d 1 = 4, d 2 = 1, d 3 = 2, d 4 = 0, d 5 = 3, d 6 = 3, d 7 = 5, d 8 = 1. Untuk k = 9, maka: X = k ( d i) = ( 4 ± ± ) 8 129

130 = 9,375 untuk k = 20, maka X = k ( d i) = ( ) 8 = 9,375 Contoh : Dengan menggunakan rumus X = f ix i dan X = k + f id i, hitunglah rata-rata f i f i berdasarkan data berikut: X f Penyelesaian: X = f ix i f i = 8(55) + 10(65) + 16(75) + 14(85) + 10(95) + 5(105) + 2(115) = 79,77 misalkan k = 85 d i = 30, d 2 = 20, d 3 = 10, d 4 = 0, d 5 = 10, d 6 = 20, d 7 = 30. X = k + f id i f i = 8( 30) + 10( 20) + 16( 10) + 14(0) + 10(10) + 5(20) + 2(30) = 79,77 Perhatikan apabila interval kelas-nya sama, dalam hal ini = 10, maka deviasi tersebut merupakan kelipatan dari kelas interval, d1 = -30 = 10(-3), d2 = -20 = 130

131 10(-2), d3 = -10 = 10(-1), dan seterusnya. Kalau kelas interval = c, maka di = cui, dimana Ui = 0, ±, ±3, dan seterusnya. Jadi, rumus rata-rata menjadi: X = k + c ( f iu i f i ) Contoh 5.8 Kerjakan contoh 5.7, dengan rumus yang baru ini. d = -30, -20, -10, 0, 10, 20, 30 c = 10 U = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 f = 8, 10, 16, 14, 10, 5, 2 fu = -24, -20, -16, 0, 10, 10, 6 fiui = = -34 Penyelesaian: X = k + c ( f iu i f i ) = ( ) = 79,77 V. Jika suatu kelompok data sangat heterogen, maka rata-rata hitung tidak dapat mewakili masing-masing nilai dari kelompok tersebut dengan baik. Rata-rata hitung hanya dapat mewakili dengan sempurna atau nilainya tepat apabila kelompok datanya homogeny (semua nilai dalam kelompok sama). Semakin heterogen datanya semakintidak tepat. Suatu kelompok data dikatakan homogeny atau tidak bervariasi jika semua nilai dari kelompok tersebut sama dan dikatakan sangat heterogen jika nilainilai tersebut sangat berbeda satu sama lain atau sangat bervariasi. Antara homogen dan sangat heterogen disebut relatif homogeny, yaitu perbedaan 131

132 antara nilai yang satu dengan lainnyatidak begitu besar. Untuk mengukur tingkat homogenitas atau tingkat variasitersebut sering dipergunakan criteria yang disebut simpangan baku (standard deviation). Perhatikan tabel berikut ini, yang menggambarkan upah bulanan dalam ribuandari 3 kelompok pekerja perusahaan. Misalkan X = upah dalam ribuan rupiah. TABEL. Upah per Bulan Tiga Kelompok Pekerja X kelompok I kelompok II kelompok III (Homogen) (relatif homogen) (heterogen) (1) (2) (3) (4) X X X X X Jumlah Rata-rata Rata-rata upah bulanan per pekerja dari kelompok I, II dan III masing-masing sama sebesar Rp50.000, namun jika diperhatikan secara lebih cerma, rata-rata dari kelompok I mewakili kelompok dengan sempurna atau tepat sekali (sebab masing-masing nilai sebesar Rp50.000, sama dengan nilai rata-rata), rata-rata kelompok II agak mewakili atau mewakili dengan cukup (sebab semua nilai dalam kelompok mendekati Rp50.000), sedangkan rata-rata kelompok III 132

133 sangat tidak mewakili. Jadi, nilai rata-rata hitung sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrem (besar sekali atau kecil sekali). MEDIAN Median adalah salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang terkecil sampai yang terbesar, atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil. Misalnya data umur pegawai di Departemen X (Contoh dalam modus), untuk dapat mencari mediannya harus disusun terlebih dahulu urutannya. Dari data yang diberikan setelah disusun urutannya dari yang terkecil sampai yang terbesar menjadi seperti berikut : 19, 20, 20, 35, 45, 45, 45, 45, 45, 51, 56, 57, 60 Nilai tengah dari kelompok data tersebut adalah urutan ke-7 yaitu 45. Jadi mediannya = 45. Kebetulan disini mediannya sama dengan modus. Misalnya tinggi badan 10 mahasiswa adalah sebagai berikut : 145, 147, 167, 166, 160, 164, 165, 170, 171, 180 cm Untuk mencari median, maka data tersebut harus diurutkan terlebih dahulu dari yang kecil atau sebaliknya. Kalau diurutkan dari yang besar menuju kecil adalah : , 170, 167, 166, 165, 164, 160, 147, 145 cm Jumlah individu dalam kelompok tersebut adalah genap, maka nilai tengahnya adalah dua angka yang ditengah dibagi dua, atau rata-rata dari dua angka yang tengah. Nilai tengah dari kelompok tersebut adalah, nilai ke 5, dan ke 6. Mediannya = 133

134 ( ) : 2 = 165,5 cm. dengan demikian dapat dijelaskan rata-rata median tinggi badan kelompok mahasiswa itu adalah 165,5 Median digunakan karena rata-rata memiliki kelemahan bila dalam kelompok data terdapat harga yang sangat besar atau ekstrim. Median tidak mudah dipengaruhi data yang nilainya ekstrim, sedangkan mean sangat cepat dipengaruhi harga ekstrim. MEDIAN (DATA TIDAK BERKELOMPOK) Bila jumlah data ganjil maka median adalah data yang letaknya ditengah. Misalnya : , maka mediannya adalah 24 Bila jumlah data genap, maka median adalah sam dengan harga rata-rata hitung dari dua data yang letaknya ditengah : Misalnya : Maka mediannya adalah : = 19,5 Apabila ada sekelompok nilai sebanyak n diurutkan mulai dari yang terkecil X1, sampai dengan yang terbesar Xn, maka nilai yang ada ditengah disebut Median (Med). Untuk n Ganjil : n = 2k + 1 atau k = n 1 2 misalnya : Kalau k adalah suatu bilangan konstan dan n ganjil, maka selalu dapat ditulis 134

135 n = 7 7 = 2k + 1 2k = 7 1 k = 6 2 = 3 n = 9 9 = 2k + 1 2k = 9 1 k = 8 2 = 4 Kelompok nilai X1, X2,.... Xk-1, Xk, Xk+1,....., Xn Terkecil terbesar Median = Xk+1, atau nilai yang ke (k + 1) Contoh : Ada 7 karyawan dengan upah perbulan masing-masing Rp , Rp , Rp , Rp , Rp , Rp , Rp tentukan median upah karyawan tersebut! Penyelesaian : Tentukan nilai k dari 7 = 2k + 1 = k = 3 Jadi, median = med = Xk+1 = X4 = Rp Perhatikan bahwa X4 merupakan nilai yang berada di tengah-tengah setelah diurutkan mulai yang terkecil sampai dengan yang besar. X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 Med 135

136 Untuk n Genap Kalau k adalah suatu bilangan konstan dan n genap, maka selalu dapat ditulis n = 2k, atau k = n. Misalkan n = 8, maka k = 4. 2 Median = 1 (Xk + Xk+1) 2 Contoh : Terdapat 8 orang siswa dan nilai nya dalam mata pelajaran Matematika adalah sebagai berikut : 70, 72, 71, 80, 75, 82, 78, 85. Berapakah nilai mediannya? Penyelesaian : X1 = 70, X2 =71, X3 = 72, X4 = 75, X5 = 78, X6 = 80, X7 = 82, X8 = 85 8 = 2k k = 4 med = 1 (X4 + X5) 2 = 1 2 ( ) = 76.5 Jadi, median nilai matematika para siswa tersebut adalah = 76.5 MEDIAN (DATA BERKELOMPOK) Untuk data yang berkelompok, nilai median dapat dicari dengan interpolasi yang rumusnya adalah sebagai berikut : n 2 Med = L0 + c { ( f 1 )₀ } f m Di mana : nilai median; L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat 136

137 n = banyaknya observasi = jumlah semua frekuensi; ( fi)0 = jumlah frekuensi dari semua kelas di bawah kelas yang mengandung median (kelas yang mengandung median tak termasuk); fm = frekuensi dari kelas yang mengandung median; c = besarnya kelas interval, jarak antara kelas yang satu dengan yang lainnya atau besarnya kelas interval yang mengandung median. Contoh : hitunglah median berat badan 100 orang mahasiswa. Berat Badan (kg) F Jumlah 100 Penyelasaian : setengah dari observasi = 100 = 50 f1 + f2 = 23, untuk mencapai 50 masing kurang 27, sehingga perlu ditambah dengan frekuensi kelas ketiga. Jadi, median terletak pada kelas ke-3, yaitu kelas 66 68, setelah dikoreksi menjadi 65,5 68,5 c = 68,5 65,5 = 3. 2 L0 = 65,5, n = 50, ( fi)0 = 23, fm = 42 1 n 2 Med = L0 + c { ( f 1)₀ } f m = 65,5 + 3 ( ) = 65,64 137

138 MODUS Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi terbanyak dalam seperangkat data. Modus untuk data yang disusun dalam bentuk kelas interval (data berkelompok) bisa ditentukan berdasarkan nilai tengah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak. Jika dalam suatu kelompok data memiliki lebih dari satu nilai data yang sering muncul maka sekumpulan data tersebut memiliki lebih dari satu modus.. Modus biasanya dilambangkan dengan Mo. Beberapa kemungkinan tentang modus suatu gugus data: Apabila pada sekumpulan data terdapat dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan bimodal. Apabila pada sekumpulan data terdapat lebih dari dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan multimodal. Apabila pada sekumpulan data tidak terdapat mode, maka gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modus. Modus Data Tidak Berkelompok X F (1) (2) x1 f1 x2 f xi fi xn fn 138

139 Contoh : Delapan buah mobil sedang melaju di suatu jalan raya. Kecepatan kedelapan mobil tersebut adalah sebagai berikut. 60, 80, 70, 50, 60, 70, 45, 75 Tentukan modus kecepatan mobil! Jawab: Jika data diurutkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut. 45, 50, 60, 60, 70, 70, 75, 80 Hasil pengamatan dari pengurutan di atas bisa diketahui nilai data 60 dan 70 adalah nilai data yang paling sering muncul (masing-masing dua kali). Oleh karena itu modus sekelompok data di atas ada 2 adalah 60 dan 70. Contoh : Berikut ini adalah nilai ujian matematika kelas 3 SMU: 2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 Jawab: 2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 Nilai yang sering muncul adalah angka 7 (frekuensi terbanyak = 3), sehingga Modus (M) = 7 139

140 2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 7 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 7. Modus tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus 2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 8 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 8. Modus tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Modus Data Berkelompok Apabila data sudah dikelompokkan dan disajikan dalam table frekuensi,maka dalam mencari modus harus digunakan rumus sebagai berikut : Mo: L0 + c { (f1)0 } (f1)0+(f2)0 Keterangan : LO = nilai batas bawah,kelas yang memuat modus. fm0 = frekuensi kelas yang memuat modus. (f1)0 (f2)0 C = fmo-f (mo-1) {selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sebelumnya (bawahan)} = fmo-f (mo+1) {selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sesudahnya (atasnya)} = besarnya jarak antara batas atas dan nilai batas bawah dari kelas yang memuat modus. 140

141 Contoh : Berikut ini adalah nilai statistik mahasiswa jurusan ekonomi sebuah universitas. Nilai Statistik Frekuensi (fi) Berapakah modus nilai statistik mahasiswa tersebut? Jawab: Dari tabel di atas, kita bisa mengetahui bahwa modus terletak pada kelas interval keempat (66 70) karena kelas tersebut memiliki frekuensi terbanyak yaitu 27. Sebelum menghitung menggunakan rumus modus data berkelompok, terlebih dahulu kita harus mengetahui batas bawah kelas adalah 65,5, frekuensi kelas sebelumnya 14, frekuensi kelas sesudahnya 21. Panjang kelas interval sama dengan 5. Dengan begitu bisa kita menghitung modus nilai statistik mahasiswa sebagai berikut. Mo: L0 + c { (f1)0 } (f1)0+(f2)0 141

142 Mo = 65,5 + 5 ( ) (27 14)+(27 21) Mo = 65,5 + 5 ( 13 ) = 65,5 + 3,42 = 68, PERBANDINGAN ANTARA RATA-RATA,MEDIAN,DAN MODUS Apabila distribusi frekuensi mempunyai kurva yang simetris dengan satu puncak saja,maka letak rata-rata x,median,dan modus adalah sama,yaitu x = mod=med. Bentuk kurva Nilai Median,Modus,dan rata-rata sama Median modus x (rata-rata). Bentuk Kurva Nilai Rata-Rata >Med<Mod Modus median x = (rata-rata) (menceng kekanan) 142

143 Bentuk kurva nilai rata-rata <med<mod x =(rata-rata) median modus (menceng ke kiri) Apabila distribusi tidak terlalu menceng.maka terdapat hubungan: Rata-rata-modus = 3 (rata-rata- median) Atau Modus = rata-rata-3 (rata-rata-median) RATA-RATA DI LUAR UKURAN PEMUSATAN Rata-rata ukur Dalam masalah bisnis dan ekonomi sering kali diperlakukan data untuk mengetahui rata-rata persentase tingkat perubahan sepanjang waktu (average percentage rates of change over time),misalnya rata-rata persentase tingkat perubahan hasil penjualan, produksi, harga, dan pendapatan nasional selama 10 tahun yang lalau. Perhatikan data berkala mengenai hasil perjualan suatu penjualan (dalan jutaan rupiah) : 143

144 Tahun Penjualan Barapa besarnya rata-rata persentase tingkat perubahan pertahun dari penjualan tersebut? Pertanyaan ini sebetulnya sama dengan mencari nilai konstan, sebagai persentase tingkat perubahan tahunan yang diperlukan sehingga angka hasil penjualan berubah dari Rp.10juta dari tahun 2004 menjadi Rp.15juta pada tahun Nilai ini dapat diperoreh dengan menggunakan rumus rata-rata ukur atau rumus bunga majemuk. Rumus rata-rta majemuk adalah sebagai berikut : n G = X 1. X 2 X n Jadi rata-rata ukur suatu kelompok nilai X1,X2,, Xn merupakan akar pangkat n dari hasil kali masing-masing nilai kelompok. Untuk mencari rata-rata ukur, juga dapat dipergunakan rumus berikut : CONTOH : Cari rata-rata ukur dari data berikut : PENYELESAIAN : 3 (a) G = X 1. X 2. X 3 (a) X1= 2, X2 = 4, X3 = 8 Log G = 1/3 (log X1 + log X2 + log X3) 3 3 = (2)(4)(8) = 64 = 4. Atau dapat dihitung dengan : = 1/3 (log 2 + log 4 + log 8) = 1/3 (0, , log 0,9031) Log G = 1/3 (1,8062) G = 0,6021 G = antilog 0,6021 = 4 144

145 RATA-RATA HARMONIS Rata-rata harmonis (RH) dari n angka, X, X,..., X adalah nilai yang diperoleh dengan jalan membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X tersebut diatas. n RH = 1 n i=1x i CONTOH : Seorang pedagang pakaian bekas di Pasar Baru memperoleh hasil penjulan sebesar Rp per minggu dengan rincian, sebagai berikut: Minggu pertama : dapat menjual 10 pakaian seharga Rp /pakaian Minggu kedua : dapat menjual 25 pakaian seharga Rp /pakaian Minggu ketiga : dapat menjual 20 pakaian seharga Rp /pakaian Minggu keempat : dapat menjual 40 pakaian seharga Rp.5.000/pakaian Berapa harga rata-rata pakaian tersebut perpakaian? PENYELESAIAN : Untuk menghitung rata-rata harga pakaian perpakaian dipergunakan rumus rata-rata harmonis sebagai berikut: n RH = 1 n i=1x i = = = 2.105,26 Jadi, harga rata-rata pakaian per pakaian adalah Rp.2.105,26. (Rata-rata harmonis ini jarang dipergunakan. Dan oleh karena itu kita tidak akan membahasnya lebih lanjut lagi). 145

146 DISTRIBUSI YANG DIBAGI OLEH 4, 10, 100 BAGIAN YANG SAMA KUARTIL, DESIL, DAN PERSENTIL (DATA TAK BERKELOMPOK) Jika sekelompok data dibagi menjadi dua bagian yang sama, maka nilai yang berada di tengah (50%) disebut dengan median. 50% (X med) med 50% (X med) Untuk kelompok data dimana n 4, kita tentukan tiga nilai, katakanlah Q1, Q2, Q3, yang membagi kelompok data tersebut menjadi 4 bagian yang sama, yaitu setiap bagian memuat data yang sama atau jumlah observasinya sama. Nilai-nilai tersebut dinamakan kuartil pertama, kedua, dan ketiga. Pembagian itu adalah sedemikian rupa sehingga nilai 25% data / observasi sama atau lebih kecil Q1, 50% data / observasi sama atau lebih kecil dari Q2, 75% data / observasi sama atau lebih kecil dari Q3. 50% 25%,,, Q1 Q2 Q3 Dimana Q2 = med 75% Jika suatu kelompok data atau nilai sudah diurutkan dari yang terkecil (X1) sampai yang terbesar (Xn), maka untuk menghitung Q1, Q2,dan Q3 harus dipergunakan rumus berikut: Qi = nilai yang ke- i(n+1) 4, i = 1,2,3 146

147 CONTOH : berikut ini adalah nilai ujian kalkulus dari 13 siswa dikelas X-A SMAN 1Medan, yaitu 55, 60,70, 80, 65, 40, 85, 75, 90, 95, 45, 50, 100, (n = 13). Cari nilai Q1, Q2, dan Q3. PENYELESAIAN : Langkah pertama data diurutkan terlebih dahulu: X1= 40, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 55, X5 = 60, X6 = 65, X7 = 70, X8 = 75, X9 = 80, X10 = 85, X11 = 90, X12 = 95, X13 = 100. Q1 = nilai yang ke- i(n+1) 4 = nilai ke- 1(13+1) 4 = nilai ke-3 1 (nilai yang 2 ke-31, berarti rata-rata dari X3 dan X4) 2 Jadi : 1 Q1 = 2 = 1 2 (X3 + X4 ) ( ) = 52,5 Q2 = nilai ke- 2(13+1) 4 Jadi: = nilai ke-7 Q2 = X7 = 70 Q3 = ke- 3(13+1) 4 Jadi: = nilai ke-10 1 (nilai yang 2 ke-101, berarti rata-rata dari X10 dan X11) 2 Q3 = 1 2 = 1 2 (X10 + X11) ( ) = 87,5 147

148 Untuk kelompok data dimana n 10, dapat ditentukan 9 nilai yang membagi kelompok data tersebut menjadi 10 bagian yang sama, misalnya D1, D2,...,D9, artinya setiap bagian mempunyai jumlah observasi yang sama, sedemikian rupa sehingga nilai 10% observasi sama atau lebih kecil dari D1, nilai 20% observasi sama atau lebih kecil dari D2, dan seterusnya. Nilai tersebut dinamakan desil pertama, kedua, dan seterusnya sampai desil kesembilan. Kalau nilai kelompok data tersebut sudah diurutkan dari yang terkecil (=X1) sampai yang terbesar (=Xn), maka rumus desil adalah sebagai berikut: Di = nilai yang ke- i(n+1), i = 1, 2,..., 9 10 CONTOH : Berdasarkan Contoh diatas, hitunglah D1, D2, dan D3. PENYELESAIAN: D1 = nilai ke- 1(13+1) 10 = nilai ke = nilai ke-1 4, berarti 10 X1 + 4 (X2 - X1) 10 = (45 40) 10 = 42 D2 = nilai ke- 2(13+1) 10 = nilai ke-2 8, berarti 10 X2 + 8 (X3 X2) 10 = (50 45) 10 = 49 D9 = nilai ke ke- 9(13+1) 10 = nilai ke , berarti X (X13 X12) 148

149 = (100 95) 10 = 98 Terakhir, untuk kelompok data, dimana n 100, dapat ditentukan 99 nilai, P1, P2,..., P99 yang disebut persentil pertama, kedua, dan ke-99, yang yang membagi kelompok data tersebut menjadi 100 bagian; masing-masing mempunyai bagian dengan jumlah observasi yang sama, dan sedemikian rupa, sehingga 1% dari observasi mempunyai nilai yang sama atau lebih kecil dari P1, 2% observasi mempunyai nilai yang sama atau lebih kecil dari P2, dan seterusnya. Apabila data sudah disusun mulai dari yang terkecil (X1) sampai yang terbesar (Xn), maka rumus persentil adalah sebagai berikut: Pi = nilai yang ke- i(n+1), i = 1, 2,..., KUARTIL, DESIL, DAN PERSENTIL (DATA BERKELOMPOK) Untuk data berkelompok, yaitu data yang sudah dibuat tabel frekuensinya, maka rumus-rumus kuartil, desil, dan persentil adalah sebagai berikut: Rumus Kuartil: in 4 Qi = Lo + c { ( f i )₀ }, i = 1,2,3 f q Dimana : Lo n = nilai batas bawah dari kelas yang memuat kuartil ke-i; = banyaknya observasi = jumlah semua frekuensi; ( f i )₀ = jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas yang mengandung kuartil ke-i (kelas yang mengandung kuartil ke-i tidak termasuk); f q = frekuensi dari kelas yang mengandung kuartil ke-i; 149

150 batas c = besarnya kelas interval yang mengandung kuartil ke-i atau jarak nilai bawah (atas) dari suatu kelas terhadap nilai batas bawah (atas) kelas berikutnya. i = 1, 2, 3, in = i kali n Rumus Desil : in 10 Di = Lo + c { ( f i )₀ } f d Rumus Persentil : in 100 Pi = Lo + c { ( f i )₀ } f p Dimana: Lo ke-i) n = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung desil ke-i (persentil = banyaknya observasi = jumlah semua frekuensi; ( f i )₀ = jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas yang memuat desil ke-i (persentil ke-i) f d f p c = frekuensi dari kelas yang mengandung desil ke-i; = frekuensi dari kelas yang mengandung persentil ke-i; = besarnya kelas interval yang mengandung desil ke-i (persentil ke-i) 150

151 CONTOH : Hitunglah Q1, Q3, D5, P25 dari nilai ujian kalkulus dari 120 orang mahasiswa FE Unimed, Medan adalah: Nilai Ujian Mahasiswa Banyak ) (1) (2) PENYELESAIAN : letak Q1 = m 4 = 1(120) 4 = 30, n = 120 untuk menghitung Q1 : f1 = 9 belum mencapai 30. Agar mencapai 30, Q1 = f1 + f2 = 41dengan demikian kelas ke-2 memuat Q1. Dari data, ( fi)0 = 9 ; Lo = 39,5 ; c = 49,5 39,5 = 10 ; fq = 32; in 4 Q1 = Lo + c { ( f i )₀ } f q = 39, { } = 39,5 + 6,6 = 46,1 Letak Q3 = m 4 = 3(120) 4 = 90, untuk menghitung letak Q3 = f1 + f2 + f3 = 84 belum mencapai 90. Agar mencapai 90 maka Q3 = f1 + f2 + f3 + f4 = 105. Dengan demikian Q3 berada di kelas ke-4. Dari data ( fi)0 = 84; L0 = 59,5; c = 10; fq =

152 in 4 Q3 = Lo + c { ( f i )₀ } f q = 59, { } = 59,5 + 2,9 = 62,4 Letak D5 = m 10 = 5(120) 10 = 60, untuk menghitung letak D5 = f1 + f2 = 41 belum mencapai 60. Agar mencapai 60 maka D5 = f1 + f2 + f3 = 84. Dengan demikian D5 berada di kelas ke-3. Dari data ( fi)0 = 41; L0 = 49,5; c = 10; fd = 43. in 10 D3 = Lo + c { ( f i )₀ } f d = 49, { } = 49,5 + 4,42 = 53,92, artinya 60% dari observasi sama atau lebih kecil dari 53,92. Letak P25 = m = 25(120) = 30, untuk menghitung letak P25 = f1 = 9 belum mencapai Agar mencapai 30 maka P25 = f1 + f2 = 41. Dengan demikian P25 berada di kelas ke-2. Dari data ( fi)0 = 9; L0 = 39,5; c = 10; fp = 32. in 100 P25 = Lo + c { ( f i )₀ } f p = 39, { } = 39,5 + 6,56 = 46,16 artinya nilai 30% dari observasi mempunyai nilai sama atau lebih kecil dari 46,

153 SOAL LATIHAN A. Soal pilihan berganda. 1. Nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok data adalah a. Median b. Modus c. Rata-rata d. Ukuran pemusatan 2. Beberapa jenis rata-rata yang sering dipergunakan ialah a. Rata-rata hitung, rata-rata harmonis dan rata-rata ukur b. Rata-rata median dan rata-rata modus c. Rata-rata gabungan dan rata-rata pemusatan d. Rata-rata mean, rata-rata harmonis dan rata-rata desil 3. Yang termasuk kedalam rata-rata hitung yaitu,.. a. Median, modus dan kuartil b. Modus, sampel, dan populasi c. Desil, persentil, dan kuartil d. Sampel dan populasi 4. Nilai yang ada ditengah-tengah sekelompok data jika nilai-nilai tersebut diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah pengertian dari.. a. Median b. Modus c. Kuartil d. Desil 5. Lima orang anak menghitung jumlah kelereng yang dimilikinya, dari hasil penghitungan mereka diketahui jumlah kelereng mereka adalah sebagai berikut: 5, 6, 7, 3, 2. Median dari jumlah kelereng tersebut adalah? a. 2 b

154 c. 5 d Sepuluh orang siswa dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Hasil pengukuran tinggi badan kesepuluh siswa tersebut adalah sebagai berikut : 172, 167, 180, 171, 169, 160, 175, 173, 170 berapakah median dari data tinggi badan siswa? a. 160,5 b. 165,5 c. 170,5 d. 180,5 7. Diketahui data yang menunjukkan ukuran badan siswa disebuah sekolah SD di Medan yaitu: 30,35,35,40,45,30,35.berapakah modus dari data tersebut yaitu: a. 30 b. 35 c. 40 d Tentukan modus dari data berikut: Interval F a. 31,75 b. 30 c d

155 9. Persentil kesepuluh (P10) dari data pada tabel berikut ini adalah... Nilai Frekuensi a. 30,5 b. 41,5 c. 35,5 d. 39,5 e. 75, Kuartil pertama (Q1) untuk data pada tabel berikut adalah... Nilai Frekuensi a. 60,17 b. 61,17 c. 62,17 d. 63,17 e. 64,17 155

156 B. Soal Essai 1. Coba anda jelaskan pengertian dari ukuran pemusatan? 2. Data apa sajakah yang sering menggunakan rata-rata hitung? 3. Apakah perbedaan dari rata-rata populasi dengan rata-rata sampel? 4. Sebanyak 26 orang mahasiswa terpilih sebagai sampel dalam penelitian kesehatan di sebuah universitas. Mahasiswa yang terpilih tersebut diukur berat badannya. Hasil pengukuran berat badan disajikan dalam bentuk data berkelompok seperti di bawah ini. Hitunglah median berat badan mahasiswa! 5. Tentukan median dari tabel berikut : Interval Kelas Frekuensi

157 Tentukan median dari data berikut! Sembilan orang siswa memiliki nilai ujian sebagai berikut. 77, 62, 72, 54, 76, 57, 81, 70. Tentukan modus nilai siswa! 8. Diketahui data sebagai berikut : Data F Tentukanlah modus dari data tersebut. 157

158 9. Soal Perhitungan Kuartil (Qi), Desil (Di), Persentil (Di) Data Tidak Berkelompok Tentukan Kuartil, Desil dan Persentil dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan rupiah ) berikut ini 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, Soal Perhitungan Kuartil (Qi), Desil (Di), Persentil (Di) Data Berkelompok Tentukan Kuartil, Desil dan Persentil dari Modal (dalam jutaan rupiah) dari 40 perusahaan yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut ini : Modal Frekuensi ( f ) f = 40 C. Soal Studi kasus 1. Diketahui informasi sebagai berikut : Di dalam suatu kelas A Reguler terdapat data berikut ini yang menunjukkan nilai hasil ujian matematika ekonomi 28 mahasiswa. 80, 85, 55, 80, 60, 70, 90, 85, 55, 70 70, 90, 80, 60, 55, 85, 80, 70, 90, 55 90, 80, 85, 70, 70, 55, 60, 70. Dari data tersebut identifikasikanlah rata-rata hitung tertimbang dari nilai ujian matematika kelas A regular tersebut? 158

159 2. Diketahui informasi sebagai berikut : Berikut ini adalah nilai statistik ekonomi untuk kelas B reguler mahasiswa jurusan ekonomi di sebuah perguruan tinggi swasta di Tanjung Pura. Nilai Frekuensi Statistik (fi) Dari data tersebut bisa ditarik kesimpulan memiliki beragam ukuran pemusatan. Jadi, tentukanlah dari data tersebut median, modus, Q1, Q3, D5, dan P25 dari data mahasiswa yang memiliki nilai mata kuliah statistik diatas? 159

160 BAB 6 UKURAN VARIASI ATAU DISPERSI Kompetensi Inti : Memahami ukuran variasi atau dispersi Kompetensi Dasar Menjelaskan pengertian variasi/dispersi, jenis- jenis ukuran variasi atau dispersi Menghitung beberapa ukuran dispersi 160

161 Dispersi atau variasi adalah suatu tingkatan dimana data-data numerik memiliki kecenderungan untuk menyebar disekitar nilai rata- ratanya. Mengapa mempelajari dispersi? Nilai rata- rata seperti mean atau median hanya menitik beratkan pada pusat data, tapi tidak memberikan informasi tentang sebaran nilai pada data tersebut. Kita tentu tidak akan menyeberangi sebuah danau begitu saja jika kita tahu kedalaman rata- ratanya 2 m. Alasan kedua mempelajari dispersi adalah untuk membandingkan sebaran data dari dua informasi distribusi nilai. Pengukuran Dispersi Data Tidak Dikelompokkan Nilai Jarak atau Jangkauan Nilai jarak atau jangkauan adalah selisih antara bilangan terbesar dan terkecil dalam himpunan bilangan tersebut. Kalau suatu kelompok nilai ( data ) sudah disusun menurut urutan yang terkecil ( X1) sampai yang terbesar ( Xn), maka untuk menghitung nilai jarak dipergunakan rumus berikut : Nilai Jarak = NJ : Xn X1 atau NJ : Nilai Maksimum Nilai Minimum Contoh : Carilah jarak dari data berikut : 5, 5, 3, 3, 2, 10, 5, 12, 8 Penjelasan : Pertama urutkan data terlebih dahulu 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 Maka NJ : Xn X1 X9 X1 = 12-2 =

162 Rata- rata Simpangan Apabila dipunyai data X1, X2, X3,..., Xi,..., Xn, dan rata- rata x = 1 n x1, maka simpangan terhadap rata- rata hitung diartikan sebagai berikut : ( x 1 x ), (x 2 x ),..., (x n x ). Rata- rata simpangan adalah rata- rata hitung dari nilai absolut simpangan yang dirumuskan : RS = 1 [ x n 1 x ] Untuk simpangan selalu kita ambil nilai mutlaknya, simpangan terhadap median diartikan sebagai berikut : ( x 1 Med ), ( x 2 Med ),...,( x i Med ),..., (x n Med) Jadi simpangan terhadap median dirumuskan RS = 1 [ x n i Med ] Simpangan Baku Adalah standar satuan skala untuk kelompok data yang diolah ( dianalisis ) satuannya mengikuti sattuan data yang diukur. Bila setiap data mengacu pada harga rata- ratanya x, maka akan diperoleh simpangan sebesar d = x 1 x, karena d menyatakan jarak, maka nilainya harus pasif, atau d =[x 1 x ] nilai negatif menyatakan data berada disebelah kiri rata- rata pada garis bilangan data. Kalau kita mempunyai suatu populasi dengan jumlah elemen sebanyak N dan sampel dengan n elemen, dan selanjutnya nilai suatu karakteristik tertentu kita kumpulkan, maka kita akan memperoleh sekumpulan nilai observasi sebagai berikut : x 1, x 2,..., x i,... x N populasi) M = 1 n x n i=1 1 = rata- rata sebenarnya dari x ( rata- rata Sampel = x 1, x 2,..., x i,... x N x = 1 n x N i=1 1 = rata- rata perkiraan dari x 162

163 x = adalah perkiraan dari M Varians populasi ( G 2 ), rumusnya adalah : n G 2 = 1 (x N i=1 i M ) 2 Varians sampel (S 2 ) rumusnya adalah : S 2 = 1 N n i=1 (x 1 x ) 2 Rumus dan simbol dari simpangan baku populasi, adalah : G = n i=1 (x i M) 2 N Pada prakteknya, pengumpulann data yang harga didasarkan atas sampel tidak menghasilkan varian / simpangan baku yang sebenarnya, tetapi hanya suatu perkiraan saja sebagai berikut : G = n i=1 (x 1 x) 2 n Pengukuran Dispersi Data Dikelompokkan A. Nilai Jarak Untuk data kelompok, nilai jarak ( NJ ) dapat dihitung dengan dua cara, yaitu : 1. NJ = Nilai tengah kelas akhir Nilai tengah kelas I 2. NJ = Batas atas kelas terakhir Batas bawah kelas I Contoh : Hitunglah nilai jarak dari upah 30 orang karyawan. Upah ( Ribuan Rp ) Banyak Orang ( f )

164 Jumlah 30 Penyelesaian : Cara I : Nilai tengah kelas terakhir : Maka : NJ Cara II Nilai tegah kelas pertama : = 63 = 51 = Nilai tengah kelas terakhir Nilai tengah kelas pertama = = 12 Batas atas kelas terakhir = 64,5 Batas bawah kelas pertama = 49,5 Maka : NJ = Batas atas kelas terakhir Batas bawah kelas pertama = 64,5 49,5 = 15 NB : Cara I cenderung menghilangkan kasus-kasus ekstrim B. Simpangan Baku Untuk data yang berkelompok dan sudah disajikan dalam table frekuensi, rumus simpangan baku populasi adalah sebagai berikut : k ð = c i=1 fi(mi N)2 N M i = nilai tengah dari kelas ke i, i = k 164

165 Atau ð = 1 [ k f 2 N i=1 id i ( k i=1 fimi)2 N ] untuk kelas interval yang sama Keterangan c : keterangan kelas interval Fi : Frekuensi kelas ke-i di : deviasi simpangan dari kelas ke-i terhadap titik asal asumsi Mi : nilai tengah kelas ke-i Untuk data sampel diperoleh simpangan baku sampel dengan rumus : s = c k f 2 i=1 id i n ±1 [ k i f id i n 1 ] ² untuk kelas yang sama Dan s = 1 n 1 i=1 ( k i=1 f im i )² n 1 k 2 { f i M i } untuk kelas yang tidak sama Contoh : Hitunglah simpangan baku dari data berikut : 1) X1 = 60, X2 = 60, X3 = 60, X4 = 60, X5 = 60 (Kelompok karyawan pertama) 2) X1 = 60, X2 = 50, X3 = 40, X4 = 70, X5 = 80 (Kelompok karyawan kedua) 3) X1 = 100, X2 = 50, X3 = 90, X4 = 30, X5 = 20 (kelompok karyawan ketiga) X = upah bulanan karyawan suatu perusahaan (dalam Rp) 165

166 Jawaban : N σ = 1 N { X i 2 ( i=1 N i=1 X i)² N } Kelompok 1 X X 2 (1) (2) X1 = X2 = X3 = X4 = X5 = Xi = 300 X 2 i = Kelompok 2 X X 2 (1) (2) X1 = X2 = X3 = X4 = X5 = Xi = 300 X 2 i = Kelompok 3 X X 2 (1) (2) X1 = X2 = X3 = X4 = X5 = Xi = 300 X 2 i = σ₁ = 1 5 (300)² { } 5 = 0 (kelompok karyawan pertama upah bulananya homogen dengan kata lain tidak bervariasi, nilai simpangan bakunya = 0) Contoh : modal daro 40 populasi perusahaan (dalam jutaan rupiah) adalah sebagai berikut :

167 Kemudian data dikelompokkan dan disajikan dalam bentuk tabel frekuensi sebagai berikut : Modal Nilai Tengah Sistem Tally f (M) / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 2 Jumlah 40 Hitunglah simpangan baku terhadap data yang berkelompok. Jawaban : Untuk data berkelompok harus diperlukan jarak antara kelas yang satu dengan kelas berikutnya sama, atau dengan perkataan lain selisih nilai tengah yang satu dengan nilai tengah lainnya sama, yaitu sebesar ( ) = ( ) =... = 9, jadi c = 9. Tentukan titik asal asumsi = M = 149, yaitu kelas Dengan demikian, kita dapat memperoleh nilai simpangan (deviasi) dari setiap nilai tengah terhadap titik asal asumsi tersebut sebagai berikut : 167

168 Kelas f d d 2 fd fd Jumlah fidi = -9 fidi 2 = 95 σ = c k f 2 i=1 id i N [ k f 2 i=1 id i ] ² N = [ 9 40 ] ² = 13,72 Contoh : a) Berdasarkan data yang sudah dikelompkkan dari contoh diatas, hitunglah simpangan baku. b) Hitunglah simpangan baku untuk data berikut : X = nilai ujian Statistik Matematik dari 50 mahasiswa Akademik Ilmu Statistik. Kelas M f , , , ,

169 , , ,5 4 Jawaban : Untuk menghitung simpangan baku diperlukan lembaran kerja sebagai berikut : a) M M 2 F fm fm Jumlah fi = 40 fimi = fimi 2 = σ = 1 50 { , ² 50 } = 16,78 Jadi, simpangan baku merupakan satuan ukuran (unit of measurement) dari simpangan atau deviasi. Seperti halnya kg, ton untuk mengukur berat; cm, m,km untuk mengukur panjang, maka σ = simpangan baku digunakan untuk mengukur simpangan atau deviasi masing-masing nilai individu dari suatu kelompok data terhadap rata-rata hitungnya. Satuan simpangan baku mengikuti data aslinya. Kalau satuan data asli kg, liter, m, Rp, maka satuan σ juga kg, liter, m, Rp. 169

170 Nilai atau data yang dibakukan (Standardized Value) Variabel x mempunyai rata-rata dengan simpangan baku ð. Jadi xi ø mempunyai nilai baku dari xi dan zi Xi µ ð (Z) didefinisikan dalam bentuk z = xi x Varian z : = zi 2 (n 1) = ( xi x 5 ) 2 /(n 1) = 1 (xi.x) 2 s 2 (n 1) = 1 s 2 x s2 = 1. atau merupakan nilai simpangan atau deviasi nilai baku s nilai rata rata z = 0 G 2 z = (zi z ) 2 Koefisien Variasi kv : Koefisien variasi data kv : s x 100% x Koefisien variasi menyatakan perbandingan standar deviasi dengan rata-rata. Contoh : Dari dua kelompok data (sampel) didapat hasil sebagai berikut. Tentukanlah kelompok data yang bervariasi! A B

171 XA = 9.6 ; SA = 5.55 XB = 6 ; SB = 1.58 KVA = = KVB = = KVA > KVB artinya kelompok A lebih bervariasi. Contoh diatas menunjukkan bahwa nilai KV suatu kelompok data, menyatakan tingkat kebervariasian data dalam kelompoknya. Semakin kecil nilai KV artinya kelompok data tersebut semakin relative homogeny. Untuk KV=0 memberikan arti ukuran setiap elemen data tepat sama. Ukuran Kemencengan Kurva (Skewness) Ukuran tingkat kemencengan (TK) menurut Pearson adalah sebagai berikut : Mod = X = Med Kurva simetris X med mod Kurva menceng ke kiri Mod med X Kurva menceng ke kanan dimana : Atau TK : x Mod s x = rata rata hitung Mod = modus S = simpangan baku 171

172 TK = 3 (x med) s Secara emperis dapat ditunjukan bahwa x mod = 3(x-med). Ukuran tingkat kemencengan dapat juga dihitung berdasarkan momen ketiga dengan rumus sebagai berikut : 3= M3 S3 = 1 atau 3= M3 S3 = 1 n NS3 k NS3 i=1 (xi x)3 (untuk data tidak berkelompok) i=1 fi (mi x)3 (untuk data berkelompok) Apabila kelas intervalnya sama, maka untuk menghitung sebagai berikut : 3= C3 i S3 n k 1=1 fi di 3-3( i fi di n i=1 2 )( i fidi) + n i=1 2(1 fi di n i=1 3 ) Di mana : 3 = ukuran tingkat kemencengan S = simpang baku C = besarnya kelas interval fi = frekuensi kelas ke-i di = simpangan ke-i terhadap titik asal k = banyaknya kelas. k k k Ukuran kemencengan lainnya dengan menggunakan kuartil dan persentil : QCS = (Q3 Q2) (Q2 Q1) = Q3 2Q2+Q1 Q3 Q1 Q3 Q PCS = (P90 P50) (P50 P10) = P90 2P50+P10 P90 P10 P90 P10 QC5 = quartile coefficient of skewness Ukuran Keruncingan Kurva 172

173 Dilihat dan tingkat keruncinganya kurva distribusi Frekuensi dibagi menjadi 3 yaitu leptokortis, platy kurtis dan meso kurtis dan bentuk Kurvanya sebagai berikut ; a.puncaknya sangat runcing b. puncaknya agak datar c. puncaknya tidak begitu runcing (leptokurtis) (platykurtis) (mesokurtis) Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva distribusi di pergunakan 4, yaitu momen coeffisien of kutois yang rumusnya sebagai berikut : 4= M4 S4 = i n n i=1 fi(mi x)4 S4 (untuk data berkelompok) Kalau kelas intervalnya sama, maka rumus akan menjadi 4= c4 i s4 n k i=1 k k fidi4-4( i fi di3)( i n i=1 fi di) + 6( i n i=1 fi di2)( i n i=1 fi di) n i=1 k k 4 Rumus lainnya disebut quartile coefficient of kurtosis (QCK), yaitu sebagai berikut : 1 2 QCK= (Q3 Q1) P90 P10 Suatu distribusi yang mempunyai nilai QCK =0.263 Dapat di dekati dengan fungsi normal 173

174 Sifat sifat deviasi standar 1. Deviasi standart dapat di definisikan sebagai S= N i=1 (xj a)2 N Dimana a adalah rata-rata yang bukan mean aritmetik. Dari semua defiasi standar semacam ini, nilai minimum tercapai jika a= berdasarkan sifat ke 2 dari sifat sifat mean arit metik yang diterangkan pada bab 3. Sifat ini menjadi landasan bagi alas an penting untuk pendefinisian davaiasi standar di atas. Untuk pembuktian sifat ini, 2. Untuk distribusi normal terlihat bahwa a. 68,27% kasus berada diantara -s dan +2s(yaitu satu deviasi standar pada masing masing sisi dari mean) b. 95,45% kasus berada diantara -2s dan +2s(yaitu dua dua divariasi standar masing-masing sisi dari mean) c. 99,73% kasus berada diantara -3s dan +3s(yaitu tiga daviasi standar pada masing masing sisi dari mean) Diberikan diatas secara pendekatan dapat tetap digunakan. -s +s -3s +2s -3s +3q 3. Misalkan terdapat dua himpunan yang terdiri atas N1 dan N2 bilangan (atau dua distribusi frekuensi dengan frekuensi-frekuensi total masin-masing N1 dan N2 ) masing-masing memiliki varians s 2 dan S2 2 dan mempunyai mean, 174

175 yang sama maka kombinasi varians dari kedua himpunan bilangan ( kedua distribusi frekuensi) tersebut diberikan rumus S 2 = NiS2 1 +N2S2 2 Ni+N2 Perhatikan bahwa persamaan diatas merupakan persamaan untuk mean aritmetik terbobot dari varians persamaan ini dapat di generelisasi untuk tiga himpunan bilangan atau lebih. 175

176 LATIHAN SOAL A. Soal Pilihan Berganda 1. Nilai terbesar dikurangi nilai terkecil disebut juga dengan... a. Nilai Baku c. Simpangan b. Nilai Jarak d. Deviasi 2. Simpangan baku merupakan... a. Akar kuadrat positif dari varians c. Rata- rata hitung dari kudrat simpangan b. Rata- rata hitung nilai absolut d. Ukuran jauh dekatnya nilai 3. Dibawah ini yang tidak termasuk jenis- jenis dari ukuran keruncingan kurva adalah : a. Leptokurtis c. Mesokurtus b. Playtikurtis d. Skewness 4. Bila diketahui data- data berikut ini maka Nilai jaraknya adalah... X = 52, 56, 58, 64, 68, 70, 72, 76, 80, 82 a. 10 b. 20 c. 30 d Himpunan bilangan 176

177 ( a ) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5, berapakah deviasi mean dari himpunan tersebut... a. 4, 25 b. 5,25 c. 3,25 d. 2,25 Upah ( Ribuan Rp ) Banyak Orang ( f ) Jumlah Jangkauan dari data kelompok diatas adalah... a. 12 b. 13 c. 14 d Diketahui data sebagai berikut : X1 = 2, X2 = 8, X3 = 10, X4 = 4, X5 = 1 ( N = 5) Berapakah nilai baku dari ( Z4 ) yang ke 4... a. -0, 86 b. 1,43 c. -0, 29 d. -1, Dari soal no. 7 diatas maka N adalah... a. 2,5 b. 3,5 c. 4,5 d. 5,5 177

178 9. Rumus dari koefisien variasi untuk menentukan populasi adalah... a. KV = G x 100 % N c. KV = S x 100 % b. KV = S x 100 % X d. KV = N x 100 % S 10. Diketahui data sebagai berikut : Berapakah rata- rata simpangan dari data ( x ) tersebut adalah... a. 20 b. 15 c. 12 d. 18 B. Soal Essai 1. Apa yang dimaksud dengan nilai jarak? 2. Apa yang dimaksud dengan koefisien variasi? 3. Apa yang dimaksud dengan deviasi rata-rata? 4. Himpunan bilangan 14, 8, 9, 5, 17, 12, 20, 7 Carilah deviasi standarnya! 5. Hasil ujian susulan matematika 10 mahasiswa mata kuliah statistik adalah sebagai berikut : 70, 75, 80, 65, 60, 85, 95 Dengan data tersebut hitunglah : a. Nilai Jarak b. Rata-rata simpangan, dan c. Koefisien Variasinya b. 6. Persetase penduduk 15 tahun keatas Menurut jam kerja selama seminggu Jam Kerja Persentase

179 Kelas Frekuensi Tentukan : a. Nilai Jaraknya b. Deviasi Standar dan c. Varians 8. Tinggi badan 100 orang mahasiswa universitas XYZ Upah ( Ribuan Rp ) Banyak Orang ( f ) Jumlah 100 Hitunglah : a. Jangkauan b. Deviasi Mean c. Deviasi Standar 179

180 9. Berikan himpunan bilangan 2, 5, 8, 11, 14 dan 2, 8, 14 carilah : a. Mean dari masing- masing himpunan bilangan b. Varians dari masing- masing himpunan bilangan c. Mean dari gabungan kedua himpunan bilangan d. Varians dari gabungan kedua himpunan bilangan Kelas Frekuensi C. Soal Studi Kasus 1. Impor menurut Negara-Negara di Asia dari Tahun 1994 dan 1995 ( Jutaan US$) Negara Inggris 297,2 300,4 Belanda 266, 1 215,1 Jerman 820,1 677,1 Belgia & Luksemburg 101,8 100,7 Perancis 431,9 284,4 Denmark 19,5 18,1 Irlandia 8,4 8,8 Italia 113,2 101,4 Yunani 3,7 0,1 180

181 Dari data tersebut: a. Hitunglah variansnya b. Hitunglah deviasi standar c. Hitunglah koefisien tingkat kemencengan d. Hitunglah koefisien tingkat keruncian. 2. Dengan menggunakan distribusi frekuensi data tersebut sebagai sampel dari banyaknya kelas di suatu yayasan sekolah berikut : Kelas Frekuensi Dari data tersebut : a. Tentukanlah nilai jaraknya. b. Hitung deviasi standarnya. c. Berapakah variansnya dari data tersebut. 181

182 BAB 7 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI SEDERHANA Kompetensi Inti : Mengetahui tentang analisis korelasi dan analisis regresi sederhana. Kompetensi Dasar : Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu : Menjelaskan arti dari korelasi Menjelaskan arah dari korelasi Menghitung korelasi dan regresi sederhana Memahami dan menerapkan regresi dan korelasi Menggunakan teknik ramalan dan melakukan analisis regresi 182

183 PENGERTIAN KORELASI Kata korelasi berasal dari bahasa Inggris correlation. Dalam bahsa Indonesia korelasi diterjemahkan sebagai hubungan atau saling berhubungan, atau hubungan timbal balik. Dalam ilmu statistik istilah korelasi diberi pengertian sebagai hubungan antardua variabel atau lebih. Hubungan antardua variabel misalnya hubungan atau korelasi antara prestasi studi (variabel X) dan kerajinan kuliah (variabel Y), maksudnya prestasi studi ada hubungannya dengan kerajinan kuliah. Dalam contoh diatas, variabel prestasi studi (X) disebut sebagai independent variable, yaitu variabel yang dipengaruhi ; sedangkan variabel kerajinan kuliah (Y) disebut sebagai dependent variable. ARAH KORELASI Hubungan antarvariabel jika dilihat dari segi arahnya dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu hubungan yang sifatnya satu arah (korelasi positif) dan hubungan yang sifatnya berlawanan arah (korelasi negatif). Disebut korelasi positif jika dua variabel (atau lebih) yang berkorelasi berjalan paralel, artinya bahwa hubungan antardua variabel itu menunjukkan arah yang sama. Jadi apabila variabel X mengalami kenaikan atau penurunan akan diikuti juga dengan kenaikan atau penurunan pada variabel Y. Contohnya : kenaikan harga Bahan Bakar Minyak diikuti dengan kenaikan ongkos angkutan. Disebut korelasi negatif jika dua variabel (atau lebih) yang berkorelasi berjalan dengan arah yang berlawanan, bertentangan atau berkebalikan. Jadi apabila variabel X mengalami kenaikan atau pertambahan akan diikuti dengan penurunan atau pengurangan pada variabel Y. Contohnya makin meningkatnya kesadaran hukum di kalangan masyarakat diikuti dengan makin menurunnya angka kejahatan atau angka pelanggaran. Kuat dan tidaknya hubungan antara X dan Y apabila dinyatakan dengan fungsi linear, diukur dengan suatu nilai yang disebut Koefisien Korelasi. Nilai koefisien 183

184 korelasi ini paling sedikit -1 dan paling besar 1. Jadi, jika r = koefisien korelasi, maka nilai r dapat dinyatakan sebagai berikut : -1 < r < 1 Artinya: Jika r = 1, hubungan diantara X dan Y sempurna dan positif (mendekati 1, yaitu hubungan sangat kuat dan positif) = -1, hubungan di antara X dan Y sempurna dan negatif (mendekati -1, yaitu hubungan sangat kuat dan negatif) MENGHITUNG KOEFISIEN KORELASI Untuk mengukur besarnya hubungan antara sekelompok nilai satu (X) dengan sekelompok nilai yang lainnya (Y) telah ditemukan rumusnya oleh para ahli matematika statistik, sehingga kita tinggal memakainya. Rumus-rumus korelasi yang sering dipakai diantaranya ; Pearson (product moment correlation) dan Spearmen Correlation. Kedua rumus tersebut dikembangkan dengan suatu asumsi dasar yang berbeda, sehingga rumus tersebut tepat penggunaannya jika syarat-syarat dituntut terpenuhi. KORELASI PEARSON Korelasi ini sering digunakan oleh para peneliti yang mempunyai data-data interval. Ada beberapa persyaratan yang harus dipenuhi agar dapat memakai rumus ini, yaitu : a) Pengambilan sampel dari populasi harus random (acak) b) Data yang dicari korelasinya harus berskala interval atau ratio c) Variasi skor kedua variabel yang akan dicari korelasinya harus sama d) Distribusi skor variabel yang dicari korelasinya hendaknya merupakan distribusi unimodal e) Hubungan antara variabel X dan Y hendaknya linear Korelasi Pearson dapat dihitung dengan menggunakan dua rumus yaitu : Rumus

185 r = {(X X )(Y Y )} (X X )² (Y Y )² Rumus 1.1 memerlukan suatu perhitungan rata-rata dari masing-masing kelompok, yang selanjutnya perlu suatu perhitungan selisih masing-masing skor dengan rataratanya, serta kuadrat simpangan skor dengan rata-ratanya, maupun hasil kali simpangan masing-masing kelompok. Rumus 1.2 r = n XY X Y n X² ( X)² n Y² ( Y)² Rumus 1.2 ini lebih sederhana perhitungannya dibandingkan dengan rumus 1.1, oleh karena itu banyak peneliti menggunakannya. Hasil perhitungan rumus 1.1 dengan rumus 1.2 adalah sama. Walaupun demikian kemungkinan adanya perbedaan hasil perhitungan kedua rumus itu masih ada. Apabila terjadi perbedaan, perbedaan tersebut tidaklah cukup berarti, sedangkan penyebab terjadinya perbedaan tersebut adalah karena proses pembulatan. KOEFISIEN KORELASI UNTUK DATA BERKELOMPOK Rumus untuk menghitung koefisien korelasi yang sudah dibahas diatas adalah untuk data yang tidak berkelompok (data yang belum disajikan dalam bentuk tabel frekuensi, dengan menggunakan kelas-kelas atau kategori-kategori). Untuk data yang berkelompok rumusnya adalah sebagai berikut : r n n uvf ufu vfv u f 2 u ufu n v fv vfv Rumus untuk menghitung koefisen korelasi bagi data berkelompok penting sekali sebab dalam praktek, misalnya di dalam suatu penelitian, hasil data yang diperoleh sudah disajikan dalam bentuk data berkelompok dengan interval kelas yang sama. 185

186 METODE Z UNTUK PERHITUNGAN KORELASI PEARSON Apabila data kedua variabel yang akan dicari korelasinya mempunyai rentangan nilai yang sangat berbeda, maka sebaiknya perhitungan korelasi Pearson didasarkan pada Z skor. Dalam hal ini setiap skor/nilai untuk kedua variabel dikonversikan ke Z skor. Langkah menkonversikan ke Z skor berarti membuat standard untuk masing-masing skor yang ingin dicari korelasinya. Standardisasi skor tersebut merupakan tindakan hati-hati. Untuk menghitung korelasi Pearson dengan metode Z skor dapat dilakukan dengan dua rumus yaitu : Rumus 2.1 r = ZxZy n Untuk memperoleh hasil dari Z skor dapat digunakan dengan rumus : Zx = X X Sdx Zy = Y Y Sdy Apabila kita telah mengetahui nilai rata-rata dan simpangan baku masing-masing variabel, maka korelasi dapat dihitung dengan : Rumus 2.2 r = XY n (X Y ) Sdx Sdy KORELASI SPEARMAN Apabila data yang kita miliki memiliki skala yang ordinal, maka korelasi Pearson tidak dapat digunakan. Untuk itu telah ditemukan sebuah rumus yang sederhana tetapi akurat yaitu Spearman Correlation. Korelasi Spearman tidak memperhatikan sifat hubungan linear antara kedua variabel yang akan dicari korelasinya. Korelasi Spearman dapat dihitung dengan rumus, yaitu : 186

187 rs (rho) = 1 - keterangan : D merupakan selisih antara X dan Y 6 merupakan angka konstan 6 D² n(n 2 1) KORELASI KOEFISIEN KONTINGENSI Teknik korelasi koefisien kontingensi adalah salah satu teknik analisis korelasional bivariat, yang dua buah variabel yang dikorelasikan adalah berbentuk kategori atau merupakan gejala ordinal atau disebut juga data kualitatif. Rumus untuk mencari Koefisien Korelasi Kontingensi adalah : Dimana n = banyaknyaobservasi χ² = (fij ±eij)² eij C = χ² χ²+n, fij = nij = banyaknya observasi i = 1, 2,..., p j = 1, 2,..., q TEKNIK RAMALAN DAN REGRESI LINEAR SEDERHANA Diagram Pencar Tujuan utama materi ini adalah bagaimana menghitung suatu perkiraan atau persamaan regresi yang akan menjelaskan hubungan antara dua variabel. Setelah ditetapkan bahwa terdapat hubungan logis di antara variabel, maka untuk mendukung analisis lebih jauh, barangkali tahap selanjutnya adalah menggunakan grafik. Grafik ini disebut diagram pencar, yang menunjukkan titik-titik tertentu. Setiap titik memperlihatkan suatu hasil yang kita nilai sebagai varibel tak bebas maupun bebas. 187

188 Diagram pencar ini memiliki 2 manfaat, yaitu : membantu menunjukkan apakah terdapat hubungan yang bermanfaat antara dua variabel, dan membantu menetapkan tipe persamaan yang menunjukkan hubungan antara kedua variabel tersebut. Persamaan Regresi Linear Regresi merupakan suatu alat ukur yang juga digunakan untuk mengukur ada atau tidaknya korelasi antarvariabelnya. Istilah regresi itu sendiri berarti ramalan atau taksiran.persamaan yang digunakan untuk mendapatkan garis regresi pada data diagram pencar disebut persamaan regresi. Untuk menempatkan garis regresi pada data yang diperoleh maka digunakan metode kuadrat terkecil, sehingga bentuk persamaan regresi adalah sebagai berikut: Y = a + b X Kesamaan di antara garis regresi dan garis trend tidak dapat berakhir dengan persamaan garis lurus. Garis regresi (seperti garis trend dan nilai tengah aritmatika) memiliki dua sifat matematis berikut : (Y Y ) = 0 dan (Y Y ) 2 = nilai terkecil atau terendah. Dengan perkataan lain, garis regresi akan ditempatkan pada data dalam diagram sedemikian rupa sehingga penyimpangan (perbedaan) positif titik-titik terhadap titik-titik pencar di atas garis akan mengimbangi penyimpangan negatif titiktitik pencar yang terletak di bawah garis, sehingga hasil pinyimpangan keseluruhan titik-titik terhadap garis lurus adalah nol. Untuk tujuan diatas, perhitungan analisis regresi dan analisis korelasi dapat dipermudah dengan menggunakan rumus dalam bentuk penyimpangan nilai tengah variabel X dan Y, yaitu penyimpangan dari X dan Y Nilai dari a dan b pada persamaan regresi dapat dihitung dengan rumus berikut : atau b n b xi yi 2 xi X iyi X i 2 2 n X i X i a Y bx Y i 188

189 SOAL LATIHAN A. Soal Pilihan Berganda 1. Dilihat dari segi arahnya korelasi dapat dibagi menjadi dua, yaitu... a. Korelasi linear dan korelasi nonlinear b. Korelasi positif dan korelasi negatif c. Korelasi linear dan korelasi negatif d. Korelasi linear dan korelasi positif 2. Untuk menghitung koefisien rank, angka konstanta untuk pengali d adalah... a. 1 b. 4 c. 5 d Jika nilai r (koefisien korelasi) adalah 1, maka hubungan diantara X dan Y... a. Sangat kuat dan positif b. Sangat kuat dan negatif c. Sempurna dan positif d. Tidak ada hubungan 4. Hubungan X dan Y dikatakan bernilai positif, apabila... a. Kenaikan (penurunan) X pada umumnya diikuti oleh kenaikan (penurunan) Y b. Kenaikan Y tidak diikuti kenaikan X c. Penurunan X tidak diikuti penurunan Y d. Semua salah 5. Diketahui sebuah data : X

190 Y Bagaimana hubungan variabel X dan Y? a) Positif b) Negatif c) Positif dan negatif d) Tidak ada hubungan 6. Dari soal no 4 berapakah nilai r? a) 12 b) 12 c) 13 d) Diketahui d² = 312, n = 10. Berapa nilai dari ρ... a. 1,0 b. -1 c. 0 d. -0,89 8. Jika r = 0,9, maka nilai KP adalah... a. 0,81 b. 0,18 c. 0,88 d. Semua salah 9. Jika diketahui χ² = 18,7194 dan n = 200. Berapa nilai dari C (koefisien kontingensi)... a. 0,9 b. 1,0 190

191 c. 0,3 d Jika sebuah data dihitung koefisien korelasinya bernilai -0,81, seperti apa hubungan antara variabel X dan Y... a. Sangat kuat dan positif b. Sempurna dan negatif c. Sangat kuat dan negatif d. Tidak ada hubungan B. Soal Essai 1. Jelaskan pengertian tentang korelasi, korelasi positif dan korelasi negatif! 2. Tabel berikut adalah hasil observasi terhadap sampel acak yang terdiri dari 8 desa di kota Alfabet mengenai pendapatan dan pengeluaran kesehatan penduduk desa bersangkutan selama tahun Desa Pendapatan (juta rupiah) Peng Kesehatan (juta rupiah) A 21 4 B 15 3 C D 9 2 E 12 3 F G H

192 Tentukan persamaan regresi linear sederhana pengeluaran kesehatan terhadap pendapatan. Kemudian jelaskan arti koefisien yang terdapat dalam persamaan tersebut? 3. Jelaskan apa fungsi regresi dalam sebuah penelitian? 4. Pada saat kapan rumus-rumus korelasi dibawah ini digunakan? a) Korelasi Pearson b) Korelasi Pearson dengan metode Z c) Korelasi Spearman 5. Sebutkan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar dapat menggunakan rumus korelasi Pearson? 6. Tabel berikut menunjukkan hasil pengamatan terhadap sampel acak yang terdiri dari 15 usaha kecil di suatu kecamatan mengenai omzet penjualan dan laba (dalam juta rupiah). Obs Omzet Penjualan Laba

193 a. Hitunglah koefisien korelasi Pearson? 7. Berikut ini merupakan data mengenai semangat berolahraga dan kegairahan belajar dari sejumlah 200 orang subjek. Semangat Berolahraga Gairah Belajar Besar Sedang Kecil Besar Sedang Kurang Hitunglah berapa koefisien kontingensinya? 8. Diketahui sebuah data : X Y Hitunglah : Koefisien korelasinya? berapa nilai ramalan nilai Y jika X = 73. Pergunakan persamaan garis regresi Y = a + bx? 193

194 9. Dalam pengumpulan nilai mata kuliah dari 18 mahasiswa diperoleh sebuah data : Nilai Pertama Nilai Kedua Hitunglah korelasi antara nilai mata kuliah pertama dan mata kuliah kedua? 10. Diketahui sebuah data dari hasil penelitian : Jumlah SKS IPK 20 2,7 18 3,0 22 3,8 12 1,8 15 1,2 18 2,4 20 3,2 14 2,1 20 3,0 Cari persamaan garis regresi Y = a + bx. Berapa ramalan Y, kalau X =

195 C. Soal Studi Kasus 1. Sebuah pengamatan terhadap hubungan antara ranking anak SMP kelas 8 dengan rangking anak SMP kelas 9. Dari 10 siswa yang terambil sebagai sampel ternyata penyebaran datanya sebagai berikut : Ranking tes masuk Ranking kelas Berapa tingkat hubungan antara rangking kelas 8 dan kelas 9 dari sejumlah siswa SMP tersebut? 2. Suatu penelitian tentang hubungan hasil belajar (X) dan banyaknya uang saku per bulan (dalam puluhan ribu rupiah) (Y). Penyebaran data dari sampel 15 orang sebagai berikut : X Y

196 Hitunglah : a) Koefisien korelasinya b) Persamaan garis regresi linear sederhana c) Jika X = 74, berapa ramalan Y? 196

197 BAB 8 REGRESI LINEAR BERGANDA DAN REGRESI (TREND) NONLINEAR Kompetensi inti: Mahasiswa mampu memahami regresi linear berganda dan regsesi (trend) non linear Kompetensi dasar: Mahasiswa dapat memahami hubungan lebih dari dua variabel dua regresi linear berganda Mahasiswa dapat memecahkan persamaan lebih dari dua variabel Mahasiswa dapat menghitung korelasi berganda dan parsial Mahasiswa mampu membuat trend non linear (parabola, eksponensial, eksponensial yang di ubah, logistik dan gompertz). 197

198 Persamaan Regresi Linier Berganda Lebih Dari Dua Variabel Adalah suatu persamaan regresi dimana variabel bebasnya lebih dari 1 Variabel (dalam hal ini x1 dan x2) Contoh : 1.1 y = pengeluaran pembelian barang x1 = Pendapatan dan x2 = jumlah anggota rumah tangga Bentuk persamaannya : Y = b0 + b2x1 + b2x2 +. bo = nilai y apabila x1 = x2 = 0 b1 = besarnya kenaikan (penurunan) y dalam satuan, apabila x1 naik (turun) satu satuan, sedangkan x2 konstan b2 = besarnya kenaikan (penurunan) y dalam satuan, apabila x2 naik (turun) satu satuan, sedangkan x1 konstan Apabila didapat persamaan regresi linier berganda Y = 3,92 + 2,50x1-0,48x2 artinya : jika x1 naik Rp sementara x2 konstan, maka y naik Rp Demikian juga jika x2 bertambah 1 orang, sedangkan x1 konstan, maka y turun (makin besar jumlah anggota keluarganya makin berkurang pengeluaran untuk membeli barang) Catatan : nilai b1 dan b2 dinamakan Koefisien Regresi Parsial CARA MEMECAHKAN PERSAMAAN LEBIH DARI DUA VARIABEL Korelasi Berganda Rumus korelasi berganda : rxy = x i y i x 2 1i y 1i 2 xi = x1i X dan yi = Yi - Ῡ Koefisien korelasi antara dua variabel sering disebut koefisien korelasi linear sederhana (KKLS).Misal korelalsi antara X1 dengan Y, X2 dengan Y atau X1 dengan X1. 198

199 Koefisien Korelasi Linier Berganda Adalah suatu korelasi antara variabel tidak bebas (Y) dengan variabel bebas yang lebih dari 1 variabel. Rumus KKLB KKLB = Ry.12 r 2 1y +r 2 2y 2r 1y r 2y r 12 = 1 r2 12 Rumus KKLB ini digunakan untuk mengetahui kuatnya hubungan antara variabel Y dengan beberapa variabel X lainnya (misalnya antara Y dengan X1 dan X2). Koefisien Penentu (KP ) Apabila KKLB dikuadratkan. Yaitu besarnya sumbangan dari variabel bebas terhadap variasi variabel tidak bebas atau suatu nilai untuk mengukur besarnya sumbangan (share) dari beberapa variabel x terhadap variasi (naik-turunnya) y. Rumus KP 2 KP = R y.12 = b 1 x 1i y i + b 2 x 2i y i y2 i b1 dan b2 diperoleh dari Y = bo + b1x1 + b2x2 Di mana x1iyi = (X1i X 1)(Y1-Ῡ) Contoh : 1.2 = X1iYi - 1 n X1i Yi x2iyi = (X2i X 2)(Yi-Ῡ) = X2iYi 1 n X2i Yi y 1 2 = (Y1 - Ῡ) 2 = Y n ( Yi Dari data berikut, hitunglah KP dan KKLB! Y (ratusan rupiah)

200 X1 (Ratusan rupiah) X2(orang Data diatas diolah menjadi: Y X1 X2 X1Y X2Y X1X2 Y 2 2 X 1 2 X Y X1 X2 X1Y X2Y =753 =643 =106 = =6796 Y 2 X 2 1 = X1X = X 2 2 =976 Persamaan normal adalah sebaai berikut: b0n + b1 X1 + b2 X2 = Y maka, 57 b b b2 = b1 X1 + b1 X 1 + b2 X1X2 = X1Y maka, 643b b b2 = b0 X2 + b1 X2X1 + b2 X 2 = X2Y maka 106b b b2 =

201 Pemecahan persamaan normal tersebut menghasilkan nilai bo =3,65 b1 = 0,855 dan b2 = 1,506. Dengan mengetahui nilai b, maka: Y = X1 + 1,506X2 2 KP = R y.12 = b 1 x 1i y i + b 2 x 2i y i y2 i x1iyi = x1iyi - 1 n X1i Yi = (643)(753) = 481,75 x2i = x2iyi - 1 n X2i Yi = (106)(753) = 144,5 y i 2 = y i ( Yi)2 KP = = (753)2 = 888,25 0,855(481,75) 1,506(144,5) 888,25 = 0,2187 = 0,22 Jadi besarnya sumbangan pendapatan (X1) dan jumlah anggota rumah tangga (X2) terhadap variasi atau naik turunnya pengeluaran untuk pembelian barang-barang tahan lama (Y) adalah 22%, sedangkan sisanya sebesar 78% merupakan sumbangan oleh faktor lainnya. Sedangkan KKLB nya adalah: KKLB = Ry.12 = 0,2187 = 0,45 201

202 Koefisien Korelasi Parsial (KKP) lainnya tetap Adalah Koefisien korelasi antara 2 variabel dengan menganggap variabel Rumus Koefisien Korelasi Parsial X1 dan Y, apabila X2 konstan r1y.2 = r 1y r 2y r12 1 r2 2y 1 r2 12 Rumus Koefisien Korelasi Parsial X2 dan Y, apabila X1 konstan r2y.1 = r 2y r 1y r12 1 r2 1y 1 r2 12 Rumus Koefisien Korelasi Parsial X1 dan X2, apabila Y konstan R12.y = r 12 r 1y r2y 1 r2 1y 1 r2 2y Contoh: Dengan menggunakan data pada contoh 1.2 hitunglah Kofesien Korelasi Parsial antara X1 dan Y, X2 dan Y serta X1 dan X2 x1iyi = x1iyi - 1 n X1i Yi = (643)(753) 12 = 481,75 x2iyi = x2iyi - 1 n X2i Yi = (106)(753) = 144,5 y i 2 = y i 2-1 n ( Yi)2 = (753)2 = 888,25 202

203 2 2 x 1i = x 1i - 1 n ( Y1i)2 = (643)2 = 388,92 2 x 2i = x 2 2i - 1 n ( Y2i)2 = (106)2 = x1iy2i = x1iy2i - 1 n X1i Y2i = (643)(106) = 99,17 x1iyi r1y = x 2 1i y2 i = r2y = 481,75 388,92 888,25 = 0,82 = x1iyi x 2 2i y2 i 144,5 39,67 888,25 = 0,77 x1iy2i r12 = x 2 1i y2 2i = 99,17 388,92 39,67 = 0,80 r1y.2 = r 1y r 2 r r 2y 1 ry2 = 0,77 (0.82)(0.80) 1 (0,80) 2 1 (0,85) 2 = 0,36 r2y.1 = r 2y r 1y r r 1y 1 r12 203

204 = 0,82 (0.77)(0.80) 1 (0,77) 2 1 (0,85) 2 = 0,62 r12y = r 12 r 1y r 2y r 1y 1 ry2 = 0,80 (0.77)(0.82) 1 (0,77) 2 1 (0,82) 2 = 0,81 PERSAMAAN TREND NON-LINEAR Garis Trend adalah garis regresi dimana variabel bebas X merupakan variabel waktu Jenis Garis Trend : Garis trend garis lurus (linier regression/trend) Garis trend tidak lurus (non-linier regression/trend) Ada 4 Trend non - linier regression ( tidak berupa garis lurus )10 a+bx 1. Trend Parabola Y = a + bx + cx 2 ( X = waktu ) 2. Trend Eksponensial (Logaritma) Y = ab X 3. Trend Logistik Y = k biasanya b < 0 k 1+10 a+bx dimana k, a dan b konstan Trend Gompertz y = ka bx dimana k, a dan b konstan Pengertian Regresi Trend Parabola Regresi Trend Parabola Adalah Garis Rgresi Di Mana Variabel Bebas X Merupakan Variabel Waktu. Persamaan Garis Trend Parabola Adalah Sebagai Berikut : Y = a + bx + cx 2 204

205 205 Y X X c X b X a XY X c X b X a Y X c X b an C B A Y X XY X c b a X X X X X X X X n det det det det det det h a a h a a h a a A a h a a h a a h a A a a h a a h a a h A A A b A A b A A b h h h b b b a a a a a a a a a h b a b a b a h b a b a b a h b a b a b a Di Dalam Regresi Trend Parabola, Pemecahan Masalah Menggunakan Persamaan Normal Sebagai Berikut : an + b X + c X 2 = Y a X + b X 2 + c X 3 = XY a X 2 + b X 3 + c X 4 = X 2 Y TREND PARABOLA Penggunaan matriks dalam 3 persamaan 3 variabel

206 A A A A b b b b b b b b b b b b det det det det det det det det det det A A b A A b A A b A A A A Berikut Contoh Soal Untuk Mencari Nilai Regresi Trend Eksponensial : 1. Hasil Penjualan PT. Sinar Surya Selama 3 Tahun Menunjukkan Perkembangan Yang Cepat Sekali, Seperti Ditunjukkan Dalam Tabel Berikut :

207 Dengan Menggunakan Trend Eksponensial, Ramalkan Hasil Penjualan Tahun 2000? Jawab : Mencari Nilai ao Dan bo Melalui Persamaan Normal : ao * n + bo Σ X = Σ Yo 3ao = ao = log a = ao Yang Nilai - Nya Memiliki Antilog Sebesar ao * Σ X + bo * Σ X^2 = Σ XYo 2bo = bo =

208 log b = bo Yang Nilai - Nya Memiliki Antilog Sebesar Mencari Besar Nilai Ramalan Dalam Semilog Untuk Tahun 2000, X = 2 Y'o = log Y = log a + log b * X = * 2 = Jadi Besar Ramalan Y Adalah Antilog = Mencari Besar Nilai Ramalan Dalam Eksponensial Untuk Tahun 2000, X = 2 Y' = a * b^x = * ^2 = Contoh 1 Data hasil penjualan perusahaan selama 5 tahun terakhir. Berapa besarnya ramalan hasil penjualan tahun 2000? Tahun Hasil Penjualan (jutaan Rp)

209 Jawaban: Tahun X Y X 2 X 3 X 4 XY X 2 Y 2 an b X c X Y 2 3 a X b X c X XY a X b X c X X Y Jumlah a 0 10c b a 0 34c b 97 b 97 :10 9, a 10a 10c a 20c c a 34c c 9 c 0,64 209

210 b 9,7 c 0,64 1 5a 10c 206 5a 10 0, a 39,92 a 39,92 b 9,7 c 0,64 Y ' a bx cx Y ' 39,92 9,7 X 0,64 X 2 2 Jadi persamaan trend parabola adalah Y = 39,92 + 9,7X + 0,64X 2. TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA) Model Eksponensial Ini Adalah Salah Satu Terapan Dari Regresi Linier. Contoh Dari Model Eksponensial Ini Adalah Pertumbuhan Populasi Atau Peluluhan Radioaktif. Model Eksponensial Ini Dapat Diibaratkan Sebagai Gambar Berikut : 210

211 Model Eksponensial Ini Diberikan Oleh Persamaan Berikut : z = b0 * e^b1x Dari Persamaan Di Atas, Nilai - Nya Dapat Dicari Dengan Mengambil Logaritma Asli - Nya Sebagai Berikut : ln z = ln b0 + b1x * ln e ln z = ln b0 + b1x Untuk Mendapatkan Persamaan Regresi Model Eksponensial, Maka Harus Dicari Dengan Melihat Persamaan Regresi Linier - Nya, Yaitu : y = a0 + a1x ln z = ln b0 + b1x Jadi, y = ln z, a0 = ln b0, dan a1 = b1 Jadi, z = e^y, b0 = e^a0, Dan b1 = a1 211

212 Langkah - Langkah Pengerjaan Untuk Mendapatkan Persamaan Regresi Linier Model Eksponensial, Ikuti Langkah - Langkah Berikut : Menentukan Σx, Σy, Σxy, Σx^2, Σy^2, ybar = Σy / n, xbar = Σx / n, Dan Grafik - Nya Dengan Metode Kuadrat Terkecil, a0 Dan a1 Dapat Dicari Dengan Rumus Berikut : a1 = n * Σxy - Σx * Σy / n * Σx^2 - Σ( x )^2 a0 = ybar - a1 * xbar Menentukan Kesalahan Estimasi Dengan Mencari Nilai - Nilai Berikut : St = Σy^2 - (( Σy )^2 / n ) Sxy = Σxy - (( Σx * Σy ) / n ) Sr = St - a1 * ( Sxy ) Sy/x = (Sr / ( n - 2 )) Sy = (St / ( n - 1 )) r = ( 1- (Sr / St )) Menentukan Model Baik Atau Tidak, Model Baik Jika Sy/x < Sy Menentukan Persamaan Regresi Linier - Nya Dengan Ketentuan Sebagai Berikut : z = b0 * e^b1x Berikut Contoh Soal Dan Penyelesaian Regresi Linier Model Eksponensial : 212

213 1. Tentukan Persamaan Regresi Linier Model Eksponensial Untuk Data Dalam Tabel Berikut : Berikut Penyelesaiannya : Menentukan Σx, Σy, Σxy, Σx^2, Σy^2, ybar = Σy / n, xbar = Σx / n, Dan Grafik - Nya 213

214 Mencari Nilai - Nilai Dari a1 Dan a0 : a1 = n * Σxy - Σx * Σy / n * Σx^2 - Σ( x )^2 a1 = ( 7 * * ) / ( 7 * ( 35 )^2 ) a1 = a0 = ybar - a1 * xbar a0 = * 5 a0 = 3.36 Mencari Nilai - Nilai Dari : St = Σy^2 - (( Σy )^2 / n ) St = Sxy = Σxy - (( Σx * Σy ) / n ) Sxy =

215 Sr = St - a1 * ( Sxy ) Sr = Sy/x = (Sr / ( n - 2 )) Sy/x = Sy = (St / ( n - 1 )) Sy = r = ( 1- (Sr / St )) r = Menentukan Model Baik Atau Tidak, Model Baik Jika Sy/x < Sy Sy/x < Sy < Menentukan Persamaan Regresi Model Eksponensial - Nya z = b0 * e^b1x z = e^a0 * e^a1x z = * e^0.320x TREND EKSPONENSIAL YANG DIUBAH Konsep Bentuk trend eksponensial Y = ab x atau Y = ax b melalui proses transformasi menjadi bentuk linear semi log dan sepenuhnya log, yaitu Y ' Y ' a b a b X semi log Y ' a bx log 0 log Y ' log a log b 0 Y ' a 0 X log Y ' log a log X 215

216 Rumus Bentuk Y = ab X dikonversi dengan menambah bilangan konstan k, menjadi: k merupakan nilai asymptote (selalu didekati, tetapi tidak pernah dicapai) 216

217 217

218 Apabila banyaknya tahun antara Y1, Y2, dan Y3 bukan tahun tertentu, akan tetapi t tahun, maka rumus untuk menghitung k, a, dan b adalah k Y a 1 Y2 Y1 a t b 1 t Y3 Y b Y Y Y ' k ab X Contoh Data hasil penjualan (Y) suatu perusahaan selama 6 tahun (X) disajikan dalam tabel berikut. Berapa besarnya ramalan hasil penjualan untuk tahun 2000 dengan menggunakan trend eksponensial yang diubah? X (0) (1) (2) (3) (4) (5) Y Y1 Y2 Y3 Jawaban Tiga titik yang dipilih, 1994 (X = 0), 1996 (X = 2), dan 1998 (X = 4), serta berjarak 2 tahun. b 2 Y Y b Y Y Y2 Y1 9 3 a 2 t b k Y a Y' k ab X X 218

219 Nilai X yang digunakan untuk meramal penjualan tahun 2000 adalah Y = 1 + 2(2) 6 = 129 (Rp ,00) TREND LOGISTIK Konsep Trend logistik digunakan untuk mewakili data yang menggambarkan perkembangan atau petumbuhan yang mula-mula sangat cepat tetapi lambat laun agak lambat dimana kecepatan pertumbuhannya makin berkurang sampai tercapai suatu titik jenuh. Pertumbuhan ini biasanya dialami oleh pertumbuhan suatu jenis industri, pertumbuhan biologis, dll. Rumus k Y ' 110 abx k, a, dan b konstan, b < 0 k, a, dan b dicari seperti trend eksponensial yang diubah X, 10 a + bx 0, dan Y k. k merupakan asymptote, yaitu batas atas. 219

220 220 a b T k T T T T a T T T T T T tb log log Pada umumnya, jika titik yang diambil berjarak t tahun, maka Contoh Data perkembangan jumlah perusahaan industri pengolahan di suatu daerah disajikan dalam tabel berikut. Berapa ramalan banyaknya industri pengolahan pada tahun 2000 (X = 6)?

221 Tahun X Y Titik T1 = (0, 2) T2 = (2, 6) T3 = (4, 9) Jawaban T tb log T b log b 0,7782 b 0,3891 T3 T Garis trend logistic k Y ' abx Y ' 0, X 0 pada Tiga titik T1, T2, T3 untuk X = 0, 2, 4 dan Y = 2, 6, 9 Jawaban 2 0,3891X pertengahan T2 T1 tahun a log 0, a 0,6021 T1 T2 log 2 10 T T a b a k T k k

222 Jawaban untuk tahun 2000, X = 6 10 Y ' Y ' 110 Y ' 9,823 0,6021 0,3891X 0,6021 2,3346 Jadi banyaknya ramalan perusahaan pengolahan industri di daerah pada tahun 2000 adalah 10 buah. TREND GOMPERTZ Konsep Trend Gompertz digunakan untuk meramalkan jumlah penduduk pada usia tertentu. Rumus k, a, dan b konstan log Y = log k + (log a)(b X ) log Y = Y0 log k = k0 log a = a0 Y 0 = k0 + a0b X Penggunaannya sama seperti trend eksponensial yang diubah hanya nilai Y diganto dengan log Y. 222

223 SOAL LATIHAN A. Soal Pilihan Berganda 1. Apakah yang di maksud koefisien berganda itu.. a. Variabel bebasnya lebih dari 2 variabel b. Variabel bebasnya lebih dari 1 variabel c. variasi variabelnya tetap d. Variabel bebasnya kurang dari 3 variabel e. Variasi variabelnya tak bebas 2. Dari rumus-rumus di bawah ini manakah rumus dari koefisien penentu... a. KP = R 2 y 12 k b. Y ' 110 abx c. R12.y = r 12 r 1y r2y 1 r2 1y 1 r2 2y 2 d. KP = R y.12 = b 1 x 1i y i + b 2 x 2i y i y2 i e. rxy = x i y i x 2 1i y2 1i 3. Besarnya sumbangan dari variabel bebas terhadap variasi variabel tak bebas adalah arti dari... a. Kolerasi linear berganda b. Regresi linear berganda c. Koefisien penentu d. Korelasi parsial e. Trend parabola 223

224 4. Berapakah persamaan regresi dari data berikut! (Hitung dengan menggunakan determinan)... Y (Ratusan rupiah) X1(ribuan rupiah) X2 (Orang) a ,60X1 0,32X2 b. 3,92 + 2,50X1 0,48X2 c. 2,85 + 3,32X1 0,35X2 d. 2,56 + 4,65X1 0,28X2 e. 1,55 + 3,85X1 0,75X2 5. Dari persamaan Y = a + bx. manakah yang disebut variabel terikat? a. a b. b c. X d. bx e. Y 6. Nilai b1, b2, dan b3 dri persamaan berikut adalah 4b1 + b2 + 2b3 = 18 3b1 + 4b2 + b3 = 12 b1 + 3b2 + 2b3 = 14 a. 1.4, 12.3 dan 6,5 b. 2.3, 10.6 dan

225 c. 2.6, 18.8 dan 10.7 d. 2.7, 17.8 dan 7.4 e. 3.2, 14.3 dan Diketahui persamaan regresi Y = 4,56 + 3,65X1 0,55X2, Jika nilai X1 = 20 dan X2 = 15, berapa besarnya nilai Y? a. 54,31 b. 69,31 c. 70,23 d. 72,52 e. 73,42 8. Dari soal no.2 jika X1 naik menjadi 2000 sementara X2 konstan, maka a. Y turun sebesar 2000 b. Y naik sebesar 4000 c.y naik sebesar 7300 d. Y turun sebesar 7300 e.y konstan 9. Persamaan trend parabola dari data berikut adalah. Tahun Penjualan a. 2,8 + 0,48X + 0,49X 2 b. 3,7 + 0,12X + 1,5X 2 c. 3,9 + 1,3X + 1,75X 2 d. 4, X + 0,49X 2 e. 4,8 + 0,56X + 0,55X 2 225

226 10. Produksi jagung daerah A tahun Tahun Produksi Persamaan trend parabola dari table diatas adalah a. 6,55 + 1,5X + 0,75X 2 b. 5,42 + 0,7X + 0,05X 2 c. 5,35 + 0,8X + 1, 55X 2 d. 4,35 + 1,5X + 1,25X 2 e. 3,27 + 1,5X + 0,35X 2 B. Soa Essai 1. Jelaskan yang di maksud dengan: a. Koefisien korelasi ganda b. Trend gompertz c. Koefisien korelasi parsial d. Koefisien regresi linear e. Koefisien regresi nonlinear 2. Data pengeluaran 10 rumah tangga, untuk pembelian barang tahan lama per minggu(y), pendapatan per minggu (X1), dan jumlah anggota keluarga (X2) disajikan dalam tabel berikut. Jika suatu rumah tangga mempunyai pendapatan per minggu (X1) Rp11.000,00 dan jumlah anggota keluarga (X2) 8 orang, berapa uang yang dikeluarkan untuk membeli barang-barang tahan lama tersebut. x Y X

227 Diketahui: X1 = jumlah karyawan X2 = luas lantai (dalam meter persegi) Y = jumlah penjualan (dalam Juta Rupiah) X1 = X2 = Y = a. Buatlah persamaan regresi berganda yang menunjukkan hubungan antara jumlah karyawan, luas lantai, dan penjualan 227

228 4.Diketahui: b. Hitung koefisien determinasinya dan jelaskan artinya c. Tentukan matriks (X'X) dan (X'Y) VARIABEL RUMAH TANGGA I II III IV V VI VII Pengeluaran (Y) Pendapatan (X1) Jumlah Anggota Keluarga (X2) Pertanyaan : 1. Carilah Nilai Koefisien Korelasinya! 2. Jelaskan makna hubungannya! 5.Diketahui: Y (ratusan rupiah) X1 (Ratusan rupiah) X2(orang Data diatas diolah menjadi: Y X1 X2 X1Y X2Y X1X2 Y 2 2 X 1 2 X

229 Y =753 X1 =643 X2 =106 X1Y = X2Y =6796 Pertanyaan : Y 2 X 2 1 = X1X = X 2 2 =976 hitunglah Kofesien Korelasi Parsial antara X1 dan Y, X2 dan Dengan menggunakan Y serta X1 dan X2? 6. Hasil Penjualan PT. Sinar Surya Selama 3 Tahun Menunjukkan Perkembangan Yang Cepat Sekali, Seperti Ditunjukkan Dalam Tabel Berikut : Dengan Menggunakan Trend Eksponensial, Ramalkan Hasil Penjualan Tahun 2000? 7. Data hasil penjualan perusahaan selama 5 tahun terakhir. Berapa besarnya ramalan hasil penjualan tahun 2000? 229

230 Tahun Hasil Penjualan (jutaan Rp) Data hasil penjualan (Y) suatu perusahaan selama 6 tahun (X) disajikan dalam tabel berikut. Berapa besarnya ramalan hasil penjualan untuk tahun 2000 dengan menggunakan trend eksponensial yang diubah? X (0) (1) (2) (3) (4) (5) Y Y1 Y2 Y3 9. Data perkembangan jumlah perusahaan industri pengolahan di suatu daerah disajikan dalam tabel berikut. Berapa ramalan banyaknya industri pengolahan pada tahun 2000 (X =6)? Tahun X Y Titik 230

231 T1 = (0, 2) T2 = (2, 6) T3 = (4, 9) Dibawah ini merupakan data berat mobil (x) dalam ribu kilo dan konsumsi bahan bakar (y) dalam km/liter): x: 2,0 2,4 2,8 3,4 3,6 y: Buat persamaan regresi linier C. Soal Studi Kasus 1. Apabila dicontohkan naik turunnya impor barang dari suatu negara ditentukan antara lain oleh produksi dalam negeri barang tersebut dan juga oleh rasio (perbandingan) tingkat harga barang impor terhadap tingkat bunga dalam negeri adalah sebagai berikut. Y = indeks impor beras X1 = indeks produksi beras dalam negeri X2 = rasio indeks harga impor dan harga beras dalam negeri 231

232 Y X X Dengan menggunakan Y = a + b1 Y1 + b2 X2. Berapakah nilai ramalan Y, jika X1 = 30 dan X2 = Kualitas benang telah diteliti sebanyak 15 potong. Karakteristik yang diuji dalam penelitian ini adalah: X 1 = panjang fiber per 0,01 inci. X 2 = kehalusan fiber (0,1 microgram per inci fiber) Y = kekuatan untaian benang dalam pound Hasil penelitian diberikan dalam daftar berikut. Benang Nomor X 1 X 2 Y

233 Tentukan model regresi linier ganda sehingga dapat diramalkan kekuatan untaian benang jika diketahui panjang dan kehalusannya!. 233

234 BAB 9 ANALISIS DATA BERKALA Kompetensi Dasar : Mahasiswa Mampu Menganalisis Data Berkala Kompetensi Inti : Diharapkan mahasiswa dapat memahami arti dari data berkala Mahasiswa dapat menyebutkan jenis-jenis gerakan / variasi data berkala Mahasiswa mampu menggunakan berbagai metode untuk memperoleh trend 234

235 ARTI DAN PENTINGNYA ANALISIS DATA BERKALA Data berkala adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu. Tujuannya adalah untuk menggambarkan perkembangan suatu kegiatan dari waktu ke waktu yang sekaligus dapat dipergunakan untuk mengetahui trend atau arah perkembangan secara umum dari masing-masing kegiatan. Biasanya jarak atau interval dari waktu ke waktu sama. Contoh dari data berkala adalah sebagai berikut : perkembangan produksi padi selama lima tahun terakhir perkembangan SEMBAKO selama 10 bulan terakhir harga penutupan harian sebuah saham di pasar modal untuk kurun waktu satu bulan jumlah keuntungan perusahaan tiap tahun indeks produksi minyak per bulan Dengan analisis data berkala kita dapat mengetahui perkembangan satu atau beberapa keadaan serta hubungan atau pengaruhnya terhadap keadaan lain. Artinya apakah suatu kejadian/keadaan mempunyai hubungan atau pengaruh terhadap keadaan lain, dan bila ada hubungan berapa besar atau seberapa kuat hubungan tersebut, misalnya : apakah kenaikan nilai ekspor akan mempengaruhi anggaran pendapatan dan belanja Negara? apakah jumlah uang yang beredar akan mempengaruhi tingkat inflasi? apakah kenaikan pendapatan rumah tangga akan diikuti dengan kenaikan permintaan terhadap produk tertentu? Dengan data berkala kita juga dapat membuat ramalan-ramalan berdasarkan garis trend. Data berkala apabila dibuat grafiknya, maka akan menunjukkan suatu fluktuasi (gerakan naik turun). Secara sistematis suatu data berkala dirumuskan dengan nilai-nilai Y1, Y2, Y3, Yn dari variabel Y pada waktu 235

236 waktu t1,t2,t3,.tn. Dengan demikian variabel Y merupakan fungsi dari t yang dinyatakan dengan Y = f(t) atau bisa juga dinyatakan dengan Y=f(X), oleh karena itu suatu data berkala dapat digambarkan dengan suatu grafik grafik yang menyatakan hubungan antara Y dengan t tau antara Y dengan X. Sebagai contoh, berikut ini diberikan gambar grafik data berkala mengenai produksi minyak (dalam ton) yang diproduksi oleh perusahaan B dari tahun 1999 sampai tahun Banyak produksi minyak Tahun Gambar grafik banyak produksi minyak perusahaan B tahun Dengan memperhatikan grafik tersebut, kita mempunyai gambaran bahwa banyaknya produksi minyak yang di produksi oleh Perusahaan B cenderung tidak stabil. Namun dengan memakai persamaan matematis kita dapat memperkirakan berapa banyak produksi minyak yang akan diproduksi oleh perusahaan pada tahun 1999 dan tahun-tahun sesudahnya. 236

237 CIRI-CIRI DAN PENGGOLONGAN GERAKAN ATAU DATA BERKALA Data berkla menunjukkan bahwa terdapat gerakan-gerakan khas tertentu atau variasi yang beberapa diantaranya atau seluruhnya terdapat berbagai tingkat yang berbeda. Analisis dari gerakan tersebut sangat penting dalam berbagai hal, salah satunya adalah meramalkan gerakan-gerakan yang akan datang. Oleh karena itu, banyak industry dan lembaga pemerintah sering menggunakan analisis gerakangerakan data berkala. Persamaan klasik mengasumsikan bahwa data berkala Y merupakan hasil perkalian dari komponen; gerakan jangka panjang (T), gerakan siklis (C), gerakan musim (S), dan gerakan tak teratur atau acak (I), yaitu Y=T x C x S x I tetapi ada juga statistikawan yang mengasumsikan bahwa data berkala Y merupakan jumlah dari komponen-komponen tersebut, yaitu Y=T + C + S + I Analisis data berkala terdiri atas sutu penelitian mengenai faktor-faktor T,C,S, dan I yang disebut dengan komponen-komponen. Keempat komponen data berkala tersebut masing-masing diuraikan sebagai berikut. 1. Gerakan Trend Jangka Panjang Gerakan trend jangka panjang adalah suatu gerakan yang menunjukkan arah perkembangan atau kecenderungan secara umum dari data berkala yang meliputi jangka waktu yang panjang. Kecenderungan tersebut arahnya bisa naik bisa juga turun. Gerakan ini disebut juga trend sekuler, ini direpresentasikan oleh garis putus-putus, yang disebut garis trend. Penentuan garis-garis dan kurva kurva trend ini dapat dilakukan melalui metode kuadrat terkecil yang akan di bahas di bab selanjutnya. Perlu diketahui garis tren sangat diperlukan untuk membuat ramalan yang sangat dibutuhkan bagi perencanaan. 237

238 2. Gerakan Siklis atau Variasi Siklis Gerakan siklis adalah gerakan naik-turun disekitar garis trend dalam jangka panjang. Atau bisa dikatakan suatu gerakan disekitar rata-rata nilai data berkala, diatas atau dibawah garis trend jangka panjang.gerakan siklis ini bisa berulang atau bahkan lebih, dan bisa juga terulang pada waktu yang sama. Bisnia siklis adalah salah satu contoh gerakan siklis yang menggambarkan runtunan masa kesejahteraan, resesi, depresi, dan pemulihan secara bergantian dan berulangulang. 3. Gerakan Musiman atau Variasi Musiman Gerakan musiman adalah gerakan yang mempunyai pola-pola tetap atau identik dari waktu ke waktu dengan jangka waktu yang kurang dari satu tahun. Gerakangerakan tersebut diakibatkan karena adanya peristiwa tertentu, misalnya hari Raya Idul Fitri terjadinya harga bahan pokok meningkat, hari Natal terjadinya harga pohon natal naik, dan sebagainya. Dengan demikian bahwa variasi musiman adalah suatu pola yang berulang dalam jangka pendek. Meskipun dalam teori ekonomi dan bisnis pergerakan musiman pada umumnya merujuk ke faktor-faktor tau kejadian-kejadian dalam jangka waktu setahun, namun konsep pergerakan musiman dapat diperluas untuk mencakup interval-interval waktu apa pun (misalnya hari, jam, atau minggu), sesuai dengan kebutuhan dan data yang tersedia. 4. Gerakan Tidak Teratur atau Acak Gerakan tidak teratur atau acak adalah gerakan yang bersifat sporadic atau gerakan dengan pola yang tidak teratur dan tidak dapat diperkirakan yang terjadi dalam waktu singkat. Gerakan ini disebabkan karena peristiwa-peristiwa 238

239 kebetulan misalnya, banjir, gempa bumi, gunung meletus, pemogokan buruh, pemilihan umum, dan perubahan pemerintahan. Meskipun biasanya kejadiankejadian semacam itu dianggap hanya menimbulkan variasi-variasi sementara yang tidak berlangsung lama, diketahui pula bahwa intensitas suatu kejadian bisa saja begitu hebat sehingga memunculkan suatu siklus atau pergerakan baru. Y = f (X) Y= f(x) (Trend jangka Panjang) Siklis) (Trend Y= f(x) Y= f (X) (Trend Jangka Panjang, Siklis dan Musiman) (Trend Jangka Panjang, Siklis, Musiman, dan Acak) 239

240 CARA MENENTUKAN PERSAMAAN TREND Pada bagian ini kita akan membahas bagaimana caranya menentukan persamaan trend. Terdapat empat metode yang diketahui secara umum dalam menentukan trend, yaitu sebagai berikut : Metode Tangan Bebas Metode tangan bebas merupakan cara yang paling sederhana dan mudah untuk menentukan trend dari data berkala. Metode ini, pada intinya adalah mencocokan sebuah garis atau kurva trend secara manual terhadap titik-titik data pada sebuah kertas grafik, dapat pula digunakan untuk mengestimasikan nilai-nilai tren T. Akan tetapi, metode ini terlalu banyak bergantung pada penilaian subjektif individu yang melakukan pencocokan garis/kurva. Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan persamaan trend dengan cara sebagai berikut : Buatlah sumbu datar X dan sumbu tegak Y Buatlah diagram pencar dari pasangan titik (X,Y) yang menyatakan kaitan antara waktu dan nilai data berkala. Tariklah garis linear yang arahnya mengikuti arah penyebaran nilainilai data berkala. Pilihlah dua titik senbarang untuk menentukan persamaan tren, Pilihlah salah satu periode waktu data berkala sebagai titik asal (X=0) Masukkanlah atau substitusikanlah nilai X dan Y dari dua titik yang telah dipilih. Selanjutnya tentukan nilai-nilai trend. 240

241 Metode Rata-rata Semi Untuk menggunakan metode ini harus dilakukan beberapa langkah yaitu : Metode ini membagi data menjadi dua bagian, apabila data genap maka dibagi menjadi dua bagian misalnya, jika ada 10 data maka masing-masing menjadi 5 data, sedangkan data ganjil hilangkan satu, yaitu yang berada di tengah misalnya, jika ada 7 data maka dikelompokkan menjadi dua bagian dengan jumlah masing-masing 3. kemudian mencari nilai rata-rata untuk tiap-tiap bagian tersebut, dengan demikian kita mendapatkan dua titik pada grafik tersebut, katakanalah Y 1 dan Y 2 yang merupakan ordinatnya Tentukanlah dua titik, yaitu (X1, Y 1) dan (X2, Y 2) dimana absis X1 dan X2 ditentukan dari periode waktu data berkala. Titik absis harus dipilih dari variabel X yang berada di tengah masing-masing kelompok (tahun atau waktu yang ditengah). Misalnya, Tentukan lah nilai a dan b dengan mensubstitusikan nilai-nilai X dan Y dari dua titik tersebut pada persamaan Y = a + bx. Masalah akan muncul ketika membagi data berkala menjadi dua kelompok yang sama banyak. Banyak data berkala genap maka tidak akan ada masalah, namun apa bila banyaknya data berkala ganjil maka dapat dilakukan dnegan dua cara yaitu menghilangkan nilai data paling tengah atau memasukkan nilai data paling tengah tersebut pada masing-masing kelompok. Meskipun metode ini cukup sederhana, namun tidak akan memberikan hasil yang memuaskan apabila diterapkan secara kurang berhati-hati. Namun metode ini hanya dapat diterapkan secara optimal apabila pergerakan tren diketahui linear atau mendekati linear. 241

242 Metode Rata-rata Bergerak Metode rata-rata bergerak ditentukan dengan cara berikut. Misalkan kita mempunyai data berkala dengan nilai-nilai berikut Y1, Y2, Y3,.. Yn Rata-rata bergerak menurut urutan waktu n adalah merupakan urutan rata-rata hitung, yaitu sebagai berikut Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y n n, Y 2 + Y Y n+1 n, Y 3 + Y Y n+2,.. n Bagian pembilang masing-masing disebut total bergerak menurut total n yang bergantung pada periode waktu data berkala. Bila data berkala merupakan tahunan maka urutan n dalam tahunan, dan bila data berkala merupakan bulanan maka n nya itu dalam bulanan, dan seterusnya. Jadi kita dapat mengenal rata-rata bergerak satu tahun, rata-rata bergerak lima tahun, rata-rata bergerak sepuluh tahun, rata-rata bergerak tiga bulan, dan seterusnya. Kemudian metode ini juga dapat memuluskan fluktuasi yang terjadi di dalam data berkala, pemulusan tersebut disebut pemulusan data berkala. Metode Kuadrat Terkecil Metode ini dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis tren atau kurv atren yang sesuai untuk data. Dari persamaan ini, kita dapat menghitung nilai-nilai tren T. seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa garis trend linear yang diperoleh dari persamaan trend linier yaitu Y = a + bx dimana Y adalah data berkala, X adalah waktu, dan a b adalah bilangan konstanta. Berarti garis trend mencari nilai a dan b. apabila nilai a dan b sudah diketahui maka garis tren dapat digunakan untuk meramalkan Y. Untuk mencari persamaan trend garis lurus dengan menggunakan metode kuadrat terkecil kita dapat memakai beberapa cara dan rumus yaitu sebagai berikut 242

243 Cara I Untuk garis tren yang lurus rumusnya adalah : a = Y b = X iy i X i 2 Y = a + bx dimana X merupakan variabel waktu. Cara II Garis tren lurus diperoleh dengan rumus sebagai berikut : a = Y b X b = n X iy i X i Y i n X i 2 ( X i ) 2 Cara III Yaitu dengan menggunakan rumus sebagai berikut : a = Y n b = X Y X 2 dengan syarat X = o, dimana X adalah variabel waktu dari data berkala dan Y adalah nilai-nilai data berkala 243

244 SOAL LATIHAN A. Soal Pilihan Berganda 1. Suatu perkiraan atau taksiran mengenai nilai a dan b dari tren garis lurus, disebut.. a. Metode kuadrat terkecil b. Metode rata-rata bergerak c. Metode semi rata-rata d. Metode tangan bebas 2. Gerakan yang mmepunyai pola tetap dari waktu ke waktu, disebut a. Variasi siklus b. Variasi musiman c. Gerakan trend jangka panjang d. Analisis data berkala 3. Yang dimaksud dengan variasi yang tidak teratur atau acak adalah a. Gerakan dari waktu ke waktu b. Gerakan di sekitar garis tren c. Gerakan atau variasi yang sifatnya sporadic d. Perkiraan mengenai nilai a dan b 4. Dari jawaban berikut merupakan metode dari penentuan persamaan trend, kecuali a. Metode kuadrat terkecil b. Metode rata-rata semi c. Metode rata-rata bergerak d. Metode variasi siklis 244

245 5. Diketahui data berkala berikut : 2, 6,1, 5, 3, 7, 2 Dengan menggunakan rata-rata bergerak menurut urutan 3, maka jawabannya adalah.. a b c d Uraian tentang komponen-komponen yang menyebabkan gerakangerakan atau variasi-variasi yang tercemin dalam fluktuasi, disebut.. a. Analisis data berkala b. Variasi acak c. Metode tangan bebas d. Variasi siklis 7. Curah hujan bulanan, dalam inci di sebuah kota selama periode waktu 6 tahun. Dari data kejadian di atas gerakan atau variasi mana yang cocok diantara jawaban berikut. a. Variasi siklis b. Variasi acak c. Variasi jangka panjang d. Variasi musiman 8. Suatu gerakan yang menunjukkan arah perkembangan secara umum (kecenderungan menaik/menurun), disebut.. a. Ramalan b. Variasi siklus c. Variasi kuadrat terkecil d. Gerakan trend jangka panjang 245

246 9. Perhatikan tabel berikut, maka rata-rata bergerak 3 tahunnya adalah.. Tahun Besar Pinjaman 1,5 1,8 2,5 3,5 2, 3 1,6 4,1 3,8 4,5 a. 4,13 3,17 2,67 2,47 2,77 2,60 1,93 b. 1,93 2,60 2,77 2,47 2,67 3,17 4,13 c. -1,93-2,60-2,77-2,47-2,67-3,17-4,13 d. -4,13-3,17-2,67-2,47-2,77-2,60-1, Dari data table berikut, maka ramalan tahun 1997 dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, adalah. Tahun X Y a ,999 miliar b ,599 miliar c. 999,599 miliar d ,559 miliar B. Soal Essai 1. a. Apakah yang dimaksud dengan data berkala? b. Apa manfaat data berkala? 2. Berikan 5 contoh dari data berkala! 3. Jelaskan 4 penggolongan data berkala! 246

247 4. Sebutkan metode penentuan persamaan Trend! 5. Sebutkan langkah untuk menentukan garis trend dengan menggunakan metode tangan bebas dan metode rata-rata semi! 6. Diberikan sekelompok data: 9,6 7,1 9,4 7,0 9,0 7,2 8,4 a. Tentukanlah rata-rata bergerak orde 3 dan orde 4! b. Tentukanlah rata-rata bergerak orde 3 dengan bobot 1,2dan 1! 7. Tabel berikut ini menyajikan rata-rata produksi per bulan kendaraan angkutan di Singapore dari tahun TABEL Tahun Rata-rata produksi a. Buatlah rata- rata bergerak 3 tahun! b. Buatlah rata-rata bergerak 4 tahun! 8. Dengan menggunakan metode tangan bebas, dan metode rata-rata semi serta buatlah trennya dari data berikut : Tahun Y

248 9. Dengan pergerakan khas data berkala manakah menurut anda mengasosiasikan kejadian atau hal berikut : a. Sebuah kebakaran di suatu pabrik yang menghentikan produksi pabrik selama 3 minggu b. Suatu masa kesejahteraan ekonomi c. Sebuah obrolan pasca-paskah di suatu toserba d. Kebutuhan akan peningkatan produksi gandum karena peningkatan tetap jumlah penduduk e. Curah hujan bulann, dalam inci, di sebuah kota selama periode waktu 5 tahun 10. Berdasarkan soal no 8, berapa besarnya ramalan Y pada tahun 2006, kalau dipergunakan persamaan garis trend Y = a + bx, dengan metode kuadrat terkecil C. Soal Studi Kasus 1. Tabel berikut ini menunjukkan jumlah bekerja menjadi petani di Amerika Latin untuk tahun-tahun Tahun Jmlh Petani (jt) 9,47 9,26 8,96 8,25 7,81 8,01 7,55 7,24 7,01 6,88 7,03 248

249 Berdasarkan data tersebut tentukan : a. Rata-rata bergerak per 2 tahun b. Rata-rata bergerak per 5 tahun 2. Tabel berikut ini menunjukkan jumlah banyaknya penduduk yang mencoba mengakhri hidupnya dengan cara bunuh diri (dalam ribuan) yang terjadi di Korea Utara untuk periode tahun Tahun Jlh penduduk(jt) 19,0 20,6 20,1 20,7 21,5 23,4 24,7 23,8 24,5 23,3 21,6 Berdasarkan data tersebut, dengan menggunkan metode semi rata-rata, tentukan nilai-nilai tren dengan mencari meannya dan mediannya! 249

250 BAB 10 INDEKS MUSIMAN DAN GERAKAN SIKLIS Kompetensi dasar Memahami gerakan musiman,penyelesaian data bulanan serta indeks musim. Memahami beberapa metode penghitungan indeks musiman. Kompetensi inti Memahami indeks musiman dan gerakan siklis 250

251 Gerakan Musiman, Penyelesaian Data Bulanan, Dan Indeks Musiman Gerakan musiman (seasonal movement or variation) merupakan gerakan yang teratur dalam arti naik-turunnya terjadi pada waktu-waktu yang sama atau sangat berdekatan.disebut gerakan musiman oleh karena terjadinya bertepatan dengan pergantian musiman dalam suatu tahun (musiman panen padi harga beras turun dan pada waktu menjelang panen harga masih tinggi; juga harga buah-buahan seperti rambutan, duku, lengkeng, akan dipengaruhi oleh musim panen). Gerakan lainnya yang terjadi secara teratur waktu yang singkat juga disebut gerakan musiman, misalnya: naik turunnya temperature seorang pasien tiap jam dari hari ke hari naik turunnya produksi karet tiap bulan dari tahun ketahun naik turunnya jumlah orang ke luar negeri (ingat musim haji) Pengetahuan tentang gerakan musiman ini sangat penting sebagai dasar penentuan langkah-langkah kebijakan dalam rangka mencegah hal-hal yang tidak diinginkan. Untuk menstabilkan harga beras pemerintah melalui bulok akan membeli beras pada waktu panen, disimpan di gudang-gudang, kemudian akan dijual lagi kepada masyarakat pada waktu menjelang panen (jauh sebelum panen), agar harga tidak melonjak tinggi. Misalnya (pemilik bioskop menyediakan karcis lebih banyak pada malam minggu, pemilik restoran menyediakan makanan yang lebih banyak pada malam minggu, khususnya pada bulan muda, pemerintah mengimpor beras menjelang panen, dan lain sebagainya. Oleh karena itu jumlah hari pada setiap bulan tidak sama, maka perlu diadakannya penyesuaian data. Penyusunan data mempunyai alasan-alasan berikut: a) jumlah hari untuk tiap bulan tidak sama b) jumlah hari kerja tidak sama c) jumlah jam kerja tidak sama 251

252 Untuk keperluan analisis, seringkali data berkala dinyatakan dalam bentuk angka indeks.apabila kita ingin menunjukkan ada tidaknya gerakan musiman, perlu dibuat indeks musiman (seasonal indekx). Data berkala yang dinyatakan sebagai variable Y terdiri dari 4 komponen, yaitu: Y = T x C x S x I Kalau pengaruh dari trend (T) siklis dan irregular (I) dihilangkan, tinggallah satu komponen S, yaitu komponen musiman. Apa bila S ini dinyatakan dalam angka indeks, maka akan kita peroleh indeks musiman. Jadi angka indeks musiman merupakan angka yang menunjukkan nilai relative dari variable Y yang merupakan data berkala selama seluruh bulan dalam satu tahun (dapat lebih dari 1 tahun). Ada beberapa metode untuk menghitung angka indeks musiman, antara lain metode rata-rata sederhana (simple average method), metode relatif bersambung (link relative method), metode rasio terhadap trend (ratio to trend method), dan metode rasio terhadap rata-rata bergerak (ratio to moving average method). Metode Rata-Rata Sederhana Untuk menerangkan bagaimana cara menghitung indeks musiman, terlebih dahulu kita cari produksi rata-rata bulanan untuk seluruh tahun, maksudnya angka rata-rata dipakai untuk mewakili bulan Januari, Pebruari, Maret,...Untuk mencari rata-rata bagi bulan tertentu, kita jumlahkan angka dari bulan tersebut, kemudian membaginya dengan banyaknya tahun. Setelah diperoleh rata-rata untuk tiap bulan, hasilnya kita masukkan pada kolom kedua. Lalu,kita mencari persentase terhadap totalnya dengan cara membagi harga rata-rata setiap bulannya dengan jumlah keseluruhan harga rata-rata lalu dikalikan dengan 100%.Hasil pembagian ini terdapat di kolom (3).Kemudian untukmemperoleh angka indeks musiman, nilai pada kolom (3) dikalikan dengan

253 dan semua dibulatkan menjadi dua angka di belakang koma.hasil tersebut kita masukkan di kolom (4). Untuk pemahaman, perhatikan tabel berikut: Harga eceran beras per liter di kota X dalam rupiah BULAN TAHUN Indeks Jumlah rata-rata Persentase Musiman Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Jumlah Kesalahan pembulatan (rounding error), ada kemungkinan jumlah kolom (3) tidak tepat 100 dan kolom (4) tidak tepat Pengambilan nilai rata-rata tiap bulan dimaksudkan untuk menghilangkan pengaruh trend (T). untuk memperoleh gerakan musiman yang murni, pengaruh dari gerakan siklis seharusnya juga dihilangkan. Karena gerakan siklis akan terulang setelah beberapa tahun (4 tahun 5 tahun atau lebih), maka banyaknya tahun yang 253

254 diselidiki harus sebanyak tahun terulangnya gerak siklis tersebut. Apabila indeks musiman dari kolom (4). Metode Relatif Bersambung Untuk menggunakan metode ini, data bulanan yang asli mula-mula dinyatakan sebagai persentase dari data pada bulan yang mendahuluinya. Persentasepersentase yang didapat dengan cara tersebut disebut relatif bersambung. Jadi, relatif besambung menghubungkan data pada bulan yang mendahuluinya. Kemudian diambil harga rata-rata atau median dari persentase-persentase tersebut untuk setiap bulan. CONTOH Harga gula per kilogram di kota Y Bulan Tahun januari februari maret april mei juni juli agustus september oktober november desember

255 Dari data di atas, dapat dibuat relatif bersambung sebagai berikut: Februari 2000 data februari 2000 data januari 2000 x 100% = 92% x 100% Maret 2000 data maret 2000 data Februari x 100% 460 =102,17% x 100% Dan begitu seterusnya untuk april 2000 hingga desember Setelah relatif bersambung selesai, maka selanjutnya yaitu mencari rata-rata untuk setiap bulan. Setelah rata-rata untuk tiap bulan lalu yang selanjutnya dicari yaitu median. Hasil yang kita peroleh yaitu: Bulan Tahun Rata-rata Median Januari - 184,56 92,6 138,58 138,58 Februari 92 98,18 100,96 97,05 98,18 Maret 102,17 97,22 97,14 98,84 97,22 April 108,51 101,71 102,94 104,39 102,94 Mei 98,04 93,26 99,43 96,91 98,04 Juni 84 95,38 102,87 94,08 95,38 Juli 95,24 92,42 91,25 92,97 92,42 Agustus 112,5 113,21 101,84 109,18 112,5 September 113,33 104,63 100,2 106,05 104,63 255

256 Oktober 103,92 101,92 103,8 103,21 103,8 November 73,58 97,7 103,85 91,71 97,7 Desember 76,41 108,74 102,97 96,04 102,97 Menghitung indeks musiman dengan menggunakan rata-rata Untuk menghitung indeks musiman dengan menggunakan rata-rata maka harus kita cari terlebih dahulu relatif berangkai. Relatif berangkai dihitung dengan cara mengalikan rata-rata dengan median sebelumnya. Misalnya: Dengan anggapan bahwa januari 100% maka: Februari= 97,05X100% = 97,05 Maret = 98,84X97,05 = 95,92 Dan seterusnya hingga desember Maka hasil yang diperoleh yaitu: Bulan Rata-rata relatif relatif bersambung Berantai Januari 138, Februari 97,05 97,05 Maret 98,84 95,92 April 104,39 100,13 Mei 96,91 97,04 Juni 94,08 91,30 Juli 92,97 84,88 Agustus 109,18 92,67 September 106,05 98,28 Oktober 103,21 101,44 256

257 November 91,71 93,03 Desember 96,04 89,35 Januari Januari pertama = 100% Januari kedua = 138, = 123,82% x 89,35% Terjadi kenaikan sebesar 23,82% yang disebabkan oleh pengaruh dari ternd. Untuk menghilangkan pengaruh dari trend ini masing-masing nilai relatif berantai harus disesuaikan. Januari = 123,82% 12 x 23,82% = 100% Februari = 97,05% 1 x 23,82% 12 = 95,06 12 Dan seterusnya hingga desember dan akan diperoleh hasil sebagai berikut: Rata-rata relatif Sebelum Bulan relatif bersambung berantai Penyesuaian januari 138, ,00 februari 97,05 97,05 95,06 maret 98,84 95,92 95,75 april 104,39 100,13 99,88 mei 96,91 97,04 96,71 juni 94,08 91,3 90,88 juli 92,97 84,88 84,38 agustus 109,18 92,67 92,09 september 106,05 98,28 97,61 257

258 oktober 103,21 101,44 100,69 november 91,71 93,03 92,20 desember 96,04 89,35 88, ,68 Karena hasilnya belum 1200% yaitu masih 1133,68 maka harus dilakukan penyesuaian dengan mengalikan nilai setiap bulan dengan faktor pengali. Faktor pengali = ,68 = 1, 585 Setelah nilai tiap bulan pada data yang belum disesuaikan dikalikan dengan faktor pengali, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut: Bulan Belum disesuaikan Sudah disesuaikan/ Indeks harga Januari 100,00 105,85 februari 95,06 100,62 Maret 95,75 101,35 April 99,88 105,72 Mei 96,71 102,36 Juni 90,88 96,20 Juli 84,38 89,32 Agustus 92,09 97,47 september 97,61 103,32 oktober 100,69 106,58 november 92,20 97,59 desember 88,43 93,61 Jumlah 1133, ,0 258

259 Menghitung indeks musiman dengan menggunakan median Untuk menghitung indeks musiman dengan metode ini, maka hita harus menghitumg nilai relartif berantainya terlebih dahulu. Nilai relatif berantai diketahui dengan cara menganggap bahwa januari adalah 100% lalu mengalikan nilai median relatif bersambung tiapbulannya dengan nilai relatif berantainya lalu dibagi dengan 100. Misalnya: Februari = 98, = 98,18% Maret = 97, Bulan = 95,45 x 100% x 98,18% Dan sterusnya hingga desember. Maka akan diperoleh hasil yaitu: Median relatif berantai Januari 138, Februari 98,18 98,18 Maret 97,22 95,45 April 102,94 98,25 Mei 98,04 96,32 Juni 95,38 91,87 Juli 92,42 84,91 Agustus 112,5 95,52 September 104,63 99,94 Oktober 103,8 103,74 November 97,7 101,35 Desember 102,97 104,36 Jumlah 259

260 Januari pertama= 100% Januari kedua = 138, = 144,62% x 104,36% Terjadi kenaikan sebesar 44,62% yang disebabkan oleh pengaruh dari ternd. Untuk menghilangkan pengaruh dari trend ini masing-masing nilai relatif berantai harus disesuaikan. Januari = 144,62% 12 x 44,62% Bulan = 100% Februari = 98,18% 1 x 44,62% 12 = 94,46 12 Dan seterusnya hingga desember dan akan diperoleh hasil sebagai berikut: Median relatif berantai Sebelum Penyesuaian januari 138, ,00 februari 98,18 98,18 94,46 maret 97,22 95,45 88,01 april 102,94 98,25 87,10 mei 98,04 96,32 81,45 juni 95,38 91,87 73,28 juli 92,42 84,91 82,72 agustus 112,5 95,52 69,49 september 104,63 99,94 70,19 oktober 103,8 103,74 70,28 november 97,7 101,35 64,17 desember 102,97 104,36 63,46 jumlah 944,60 260

261 Karena hasilnya belum 1200% yaitu masih 944,60 maka harus dilakukan penyesuaian dengan mengalikan nilai setiap bulan dengan faktor pengali. Faktor pengali = ,60 = 1,270 Setelah nilai tiap bulan pada data yang belum disesuaikan dikalikan dengan faktor pengali, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut: Bulan Sebelum Penyesuaian setelah pennyesuaian/ angka indeks Januari 100, februari 94,46 119,97 Maret 88,01 111,78 April 87,10 110,61 Mei 81,45 103,44 Juni 73,28 93,06 Juli 82,72 105,05 agustus 69,49 88,25 september 70,19 89,15 oktober 70,28 89,25 november 64,17 81,49 desember 63,46 80,59 Jumlah 944, ,6 Metode Rasio Terhadap Trend Pada metode ini, data asli untuk setiap bulan dinyatakan sebagai persentase dari nilai-nilai trend bulanan. Rata-rata dari persentase ini merupakan indeks musiman. Indeks musiman perlu dilakukan penyesuaian jika jumlahnya tidak 1200 atau bukan

262 CONTOH: Keuntungan yang diperoleh PT. JAYA SELALU (jutaan rupiah) Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Keuntungan rata-rata bulananya yaitu: TAHUN RATA-RATA BULANAN Dengan mengasumsikan bahwa angka bulanan ini terletak pada pertengahan bulan, maka rata-rata yang mewakili tahun akan terletak pada tanggal 30 juni atau 1 juli tahun bersangkutan. Untuk mencari trend tahuna diperlukan perhitunganperhitungan sebagi berikut: 262

263 TAHUN x y xy x² JUMLAH a = 1 n Yi b = ,08 =250,26 = xiyi xi 2 = 1117, =6,65 Y =a+bx =250,26+6,65X X diukur menrut tengahan tahun (6 bulan) dan titik asalnya pada tanggal 31 desember 2008 atau 1 januari Dari persamaan Y=250,26+6,65X berarti nilai Y naik sebesar 6,65 setiap 6 bulannya. Jadi, naik setiap bulannya secara rata-rata yaitu: 6,65 6 =1,11 Ketika nilai x sama dengan 0 yaitu pada 1 januari 2009 Y=250,26+1/2(1,11)=250,82 yaitu merupakan nilai trend pada januari

264 Untuk bulan setelah januari, nilai trend didapat dengan penambahan 1,11 pada setiap bulannya secara berurutan. Sedangkan untuk nilai trend sebelum januari 2009 didapatkan dengan mengurangi 1,11 pada setiap bulannya secara berurutan. Maka hasil yang diperoleh yaitu nilai trend sebagai berikut: Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus Sepember Oktober November Desember Nilai rasio terhadap trend didapatkan dengan cara membagi keuntungan bulanan dengan nilai trend lalu dikalikan dengan 100%. Rata- Bulan Rata Median januari februari Maret April Mei

265 Juni Juli agustus sepember oktober november desember JUMLAH Januari 2005 = ,54 =75,93 Februari 2005 = ,65 =85,58 x 100% x 100% Dan seterusnya hingga desember 2012 dan akan diperoleh nilai rasio terhadap trend yaitu sebagai berikut: Untuk menghitung indeks musiman dengan menggunakan rata-rata, maka kita menggunakan nilai rasio terhadap trend berdasarkan rata-rata. Dan karena jumlahnya tidak sama dengan 1200 maka kita perlu melakukan penyesuaian yaitu dengan cara mengalikan setiap angka pada kolom rata-rata dengan factor pengali yaitu ,66 = 0,9995 Januari =112,91 x 0,9995 =112,85 Februari =88,27 x 0,9995 =85,50 Maret =100,94 x 0,9995 =97,32 265

266 Begitu juga perhitungan indeks musiman dengan menggunakan median. Kita harus mengalikan masing-masing angka rasio terhadap trend dengan factor pengali yaitu ,02 = 1,0025. Hasil yang dipreoleh yaitu indeks musiman dengan rata-rata dan indeks musiman dengan median sebagai berikut: indeks musiman bulan indeks musiman rata-rata indeks musiman median januari februari maret april mei juni juli agustus sepember oktober november desember JUMLAH Metode Rasio Terhadap Rata-Rata Bergerak Di dalam metode ini harus dihitung terlebih dahulu rata-rata bergerak selama 12 bulan. Oleh karena hasil perhitungan rata-rata bergerak 12 bulan ini terletak antara dua bulan yang berdekatan, tidak terletak pada pertengahan bulan, maka harus dibuat rata-rata bergerak 2 bulan yang didasarkan atas data rata-rata bergerak 12 bulan tersebut. 266

267 Apabila rata-rata bergerak 12 bulan terpusat sudah dihitung, maka angkaangka ini dapat dipergunakan untuk membagi data asli yang hasilnya dalam persentase, kemudian dibuat rata-rata angka persentase ini dari bulan ke bulan. Kalau jumlah rata-rata dari bulan ke bulan sudah sama atau dekat sekali dengan 1200, maka angka rata-rata sudah merupakan angka indeks musiman. Apabila jumlah A tidak sama dengan 1200, maka harus diadakan penyesuaian, yaitu dengan jalan mengalikan setiap angka rata-rata dengan faktor pengali sebesar CONTOH Keuntungan PT. JAYA SELALU pada Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Kita terlebih dahulu membuat kolom rata-rate bergerak 12 bulan pusat terlebih dahulu. Sehingga menjadi: rata-rata bergerak 12 bulan terpusat hasil keuntungan yang diperoleh oleh PT. JAYA SELALU

268 tahun bulan keuntungan rata-rata bergerak 12 bulan rata-rata bergerak 1 bulan terpusat 2005 januari 150 februari 170 maret 200 april 250 mei 220 juni junli agustus september oktober november desember januari februari maret april mei juni junli agustus september oktober november desember januari

269 februari maret april mei juni junli agustus september oktober november desember januari februari maret april mei juni juli 265 agustus 350 september 245 oktober 210 november 205 desember 250 Setelah rata-rata bergerak 12 bulan dan rata-rata bergerak 1 bulan terpusat dekiretahui, maka yang harus kita carai selajutnya yaitu jumlah begerak 12 bulan, jumlah bergerak 2 bulan dari kolom 1 dan rata-rata 12 bulan terpusat. 269

270 jumlah bergerak jumlah bergerak rata-rata bergerak 12 bulan 2 bulan dari kolom 1 12 bulan terpusat Langkah selanjutnya, data asli yaitu mulai juli 2005 sampai bulan juni 2008 dibagi dengan angka rata-rata bergerak 12 bulan terpusat lalu dikalikan dengan 100%. hasil pembagian data asli dengan rata-rata bergerak 12 bulan terpusat bulan rata-rata median januari februari maret april mei juni juli agustus september oktober november desember JUMLAH

271 Karena jumlah rata-rata dan median tidak sama dengan 1200, maka perlu dilakukan penyesuaian.penyesuaian dilakukan dengan mengalikan nilai pada rata-rata dengan angka pengali. 1,005 1,0009 Angka pengali untuk mengetahui indeks musiman dengan rata-rata= ,37 = Angka pengali untuk mengetahui indeks musiman dengan median= ,84 = Hasil yang diperoleh untuk indeks musiman yaitu sebagai berikut: Bulan dengan ratarata dengan median Januari Februari Maret April Mei Juni Junli Agustus september Oktober november desember JUMLAH MENGHILANGKAN PENGARUH MUSIMAN DAN TREND 271

272 Apabila kita ingin menghilangkan pengaruh musiman terhadap data berkala, maka setiap nilai (data asli) bulanan dari tahun ke tahun harus dibagi dengan indeks musiman. CONTOH Diketahui hasil penjualan PT. JAYA SELALU tahun adalah sebagai berikut: bulan januari februari maret april mei juni juli agustus september oktober november desember Setelah dihitung, indeks musiman dengan menggunakan median adalah sebagai berikut: bulan indeks 272

273 musiman januari 127 februari maret april 110,61 mei 103,44 juni 93,66 juli 105,05 agustus 88,25 september 89,15 oktober 89,25 november 81,49 desember 80,59 HITUNGLAH hasil penjualan PT. JAYA SELALU yang bebas dari pengaruh musiman PENYELESAIAN Untuk menghitung hasil penjualan yang bebas dari pengaruh musiman caranya yaitu dengan cara membagi data hasil penjualan PT Jaya Selalu dengan indeks musiman berdasarkan median setelah dibagi 100. Maka akan diperoleh hasil sebagai berikut: bulan januari februari maret april mei juni

274 juli agustus september oktober november desember GERAKAN SIKLIS DAN CARA MENGUKURNYA Jika pengaruh musiman dan trend dihilangkan dari data berkala, maka sisanya merupakan gerakan siklis dan gerakan yang tak teratur (CI). CONTOH Diketahui hasil penjualan PT. JAYA SELALU tahun adalah sebagai berikut: bulan januari februari maret april mei juni juli agustus september oktober november desember

275 Nilai trend dari data di atas yaitu sebagai berikut: bulan januari februari maret april mei juni juli agustus september oktober november desember HITUNGLAH hasil penjualan yang bebas dari pengaruh musiaman dan trend PENYELESAIAN Untuk menghitung hasil penjualan yang bebas dari pengaruh musiman dan trend maka hasil penjualan PT. JAYA SELALU yang bebas daripengaruh musiman dibagi dengan nilai trend PT. JAYA SELALU lalu dikalikan dengan 100%. Misalnya januari 2000= Februari 2000= = 307,33 x 100% x 100% Begitu seterusnya hingga akan diperoleh hasil sebagai berikut: bulan januari februari

276 maret april mei juni juli agustus september oktober november desember Maka dapat diperoleh persentase selisih pengaruh musiman terhadap 100% yaitu: bulan januari februari maret april mei juni juli agustus september oktober november desember

277 CONTOH TAMBAHAN MENGENAI INDEKS MUSIMAN Sekali lagi, indeks musiman adalah suatu angka yang bervariasi terhadap nilai dasar 100. Jika suatu bulan (minggu, kuartal, atau periode musiman lainnya) mempunyai niai indeks 100, maka nilai ini menunjukkan bahwa pada bulan tersebut tidak ada pengaruh musiman. Dua metode untuk memperoleh indeks musiman akan disajikan di sini. Pertama, menemukan indeks musiman dengan membandingkan nilai rata-rata musiman dengan nilai tengah utama. Metode ini paling tepat untuk data berkala yang tidak mempunyai trend atau variasi siklis yang kuat. Metode kedua, membandingkan setiap nilai musiman sebenarnya dengan rata-rata bergerak (Moving average) tahunan untuk memperoleh sebuah nilai indeks. Indeks hasil akhir berupa rata-rata keseluruhan periode dalam deret. Penggunaan metode ini lebih luas karena dapat memberikan indeks musiman yang berarti untuk data dengan trend dan variasi siklis yang kuat. Contoh persoalan dalam bab ini adalah bagaimana menentuan indeks musiman untuk setiap kuartal dalam satu tahun. Jika akan menghitung indeks bulanan, maka teknik yang sama dapat digunakan. Kita menghitung indeks kuartalan di sini hanya untuk memperlihatkan metodenya tampa menggunakan ruang yang berlebihan. Contoh: Tabel berikut menyajikan data kuartalan 10 tahun untuk penjualan I-TU, Sebuah produk yang digunakan untuk membasmi sejenis serangga. Pabrik merekomendasikan penggunaan I-TU di musim penghujan. Temukan indeks penjualan musiman untuk keempat kuartal dalam setahun. Penyelesaian Indeks yang di temukan di tabel menggunakan metode pertama untuk menghitung indeks musiman. Nilai tengah (mean) penjualan untuk setiap kuartal di ambil dari seluruh data 10 tahun dan kemudian dinyatakan sebagai persentase terhadap nilai tengah utama dalam periode 10 tahun. Nilai tengah utama merupakan rata-rata 277

278 keempat nilai tengah kuartalan. Jadi, Indeks musiman kuartal pertama adalah nilai tengah kuartal pertama tersebut dibagi dengan nilai tengah utama dikaalikan ,1 404,8 x 100 = 81,2 Perhitungan Indeks penjualan kuartalan (dalam ton) untuk Produk I-TU. Tahun Kuartalan 1 Kuartalan 2 Kuartalan 3 Kuartalan Total Total utama Nilai tengah kuartalan a Nilai tengah utama b Indeks Kuartalan c 329,1 420,7 410,2 460,0 405,0 81,2 103,9 101,3 113,6 Jumlah indeks 400 Jadi rata-rata penjualan kuartal pertama hanya 81,2% dari rata-rata penjulan kuartalan. Sebaliknya penjualan kuartalan keempat adalah 113,6 % di atas rata-rata 278

279 penjualan kuartalan. Karena indeks musimaan bervariasi terhadap patokan 100, maka keempat indeks kuartalan harus berjumlah 400. Jika indeks yang dihitung adalah indeks bulanan, Jumlahnya harus 1.200, yang merata-ratakan nilai seratus untuk setiap bulan. Contoh: Sebuah tabel akan menyajikan bentuk yang agak berbeda mengenai data kuartal penjualan produk I-TU Selama 10 tahun. Dalam Persoalan ini, Indeks dihitung dengan menggunakan metode perbandingan nilai penjualan sebenarnya dengan rata-rata bergerak (moving average) empat kuartal. Penyelesaian. Terdapat 5 langkah dalam penyelesaian ini, tiga langkah pertama terlihat di tabel, sedangkan langkah keempat dan kelima di tabel berikutnya. Langah 1 : Tentukan rata-rata bergerak empat kuartal. Rata-rata ini diperoleh dengan menjumlahkan empat nilai yang berdampingan dan membaginya dengan 4. Sekarang angka rata-rata bergerak ini menunjuk pada kuartal yang mana? Dengan rata-rata bergerak yang jumlah periode pengamatannya ganjil (5), Setiap nilai ratarata bergerak dapat ditempatkan ke periode tengah (3) dari 5 Periode. Tetapi bila jumlah periodenya genap (misalnya 4), rata-rata bergerak tidak dapat ditempatkan ke tengah periode tertentu, karena tidak ada periode di tengah. Pertengahan dari 4 Kuartal adaalah uartal di antara (2) dan (3), Sehingga rata-rata bergerak pada kolom kedua di tabel dipusatkan di antara kuartal-kuartal. Untuk mendapatkan rata-rata bergerak yang dapat ditempatkan pada kuartal khusus, kita mesti melaksanakan langkah 2. Langkah 2 :Bentuklah rata-rata bergerak dua kuartal dari kolom rata-rata bergerak 4 Kuartal. Data ini, yaitu kom 3 pada tabel, Sekarang dipusatkan pada kuartal dan 279

280 bukan diantara kuartal. Data ini juga merupakan rata-rata bergerak 4 Kuartal, yang dipusatkan pada kuartal tertentu. Sebagai cotoh rata-rata bergerak kuartal pertama dipusatkan pada kuartal ketiga pada tahun pertama. Ini sebenarnya adalah rata-rata yang sudah dibobotkan dari data penjualan kuartalan dengan bobot sebagai berikut : Tahun Kuartal Bobot 1 Pertama 1 1 Kedua 2 1 Ketiga 2 1 Keempat 2 2 Pertama 1 Total Bobot 8 Dengan cara yang sama, Setiap rata-rata bergerak kuartal terdiri dari data 5 kuartal, Dimana Kuartal Pertama dan terakhir dibobotkan sekali, Sedangkan Kuartal lainnya dibobotan dua kali. Kolom 1 Kolom2 Kolom3 Kolom4 Kolom4 Tahun dan Kuartal Data yang sebenarnya Rata-rata bergerak 4 kurtal dari kolom 1 Rata-rata bergerak 2 dari kolom 2 Data yang sebenarnya sebagai persentase kolom 2 1-Pertama Kedua , Ketiga , Keempat ,25 297, ,07 2-Pertama ,25 316,25 90,75 2-Kedua ,25 334,75 105,15 2-Ketiga ,5 350,375 98,18 2-Keempat , ,09 280

281 3-Pertama , ,79 3-Kedua ,25 365,25 119,64 3-Ketiga ,25 358,25 89,88 3-Keempat ,0 346, ,43 4-Pertama ,5 338,25 89,87 4-Kedua , ,26 4-Ketiga ,0 347,75 95,47 4-Keempat , ,40 5-Pertama ,75 376,875 87,56 5-Kedua , ,88 5-Ketiga , ,985 5-Keempat ,75 417,75 103,34 6-Pertama , ,91 6-Kedua ,0 428, ,59 6-Ketiga , ,49 6-Keempat ,0 409, ,39 7-Pertama ,75 397,875 83,69 7-Kedua ,5 399, ,84 7-Ketiga ,75 404, ,94 7-Keempat ,25 410,5 106,69 8-Pertama ,5 414,15 85,47 8-Kedua ,0 442,75 102,31 8-Ketiga ,0 471,5 87,59 8-Keempat ,5 478,25 138,83 9-Pertama ,0 467,75 76,53 9-Kedua , ,79 9-Ketiga , ,67 281

282 9-Keempat ,5 465, , Pertama , ,90 10-Kedua ,5 547,125 88,09 10-Ketiga ,5-10-Keempat Langkah 3: Nyatakan setiap data kuartalan sebenarnya sebagai persentase terhadap rata-rata bergerak. Kolom 4 pada tabel berisi persentase tersebut. Langkah 4: Untuk Setiap Kuartalan (Pertama, Kedua, Ketiga, dan keempat), dapatkan persentase nilai tengah dari langkah 3 untk Seluruh tahun. Langkah ini dilakukan pada tabel berikutnya. Sebagai Contoh, Persentase nilai tengah untuk kuartal pertama adalah 84,9 Nilai ini menunjukkan bahwa rata-rata penjualan untuk kuartal pertama adalah 84,9 % dari 4 rata-rata bergerak Kuartal yang dipusatkan pada kuartal pertama. Tetapi persentase nilai tengah ini tidak dapat digunakan sebagai indeks musiman, Karena indeks musiman berubah-ubah dengan dasar 100. Keempat persentase nilai tengah ini tidak ditambahkan dengan 400, Tetapi ditambah dengan 398,5. Jadi perhitungan akhir dibutuhkan untuk mendapatkan indeks musiman. Perhitungan langkah 4 dan 5 Untuk indeks Penjualan Musiman produk I-TU Tahun Kuartal Pertama Kedua Ketiga Keempat ,44 104, ,75 105,15 98,18 110, ,79 119,64 89,88 104, ,87 105,26 95,47 106, ,56 107,88 101, , ,91 119,59 97,49 103,39 282

283 7 83,69 105,84 101,94 106, ,47 102,31 87,59 138, ,53 110,79 96,67 111, ,90 88, Persentase 84,9 107,1 96,8 109,8 Rata-rata Total a 398,6 Indeks Musiman Total b Langkah 5 : Sesuaikan Persentase nilai tengah sehingga bertambah menjadi 400. Langkah ini dilengkapi dengan mengalikan persentase nilai tengah dengan suatu faktor penyesuaian dari 400/398,6 atau 1,003. Hasil akhir berupa persentase yang berubah-ubah dengan dasar 100 dn indeks musiman. Langkah-langkah yang dijabarkan pada Contoh sangat mirip dengan perhitungan indeks musim bulanan. Ada Sedikit Modifikasi yang dapat dilihat dengan membandingkan langkah-langkah prosedur dibawah ini. Langkah 1 Tentukan Rata-rata bergerak 12 Bulan. Langkah 2 Dapatkan rata-rata bergerak 2 Bulan pada data yang terdapat dilangkah 1. Hasil ini adalah modifikasi dari rata-rata bergerak 12 Bulan. Laangkah 3 Nyatakan Setiap data Aktual bulanan sebagai Persentase dari rata-raa bergerak pada langkah 3. Langkah 4 Untuk Setiap bulan (Januari, Februari,...,Desember), temukan persentase nilai tengah dari Langkah 3 Untuk semua tahun. Langkah 5 Cocokkan Persentase nilai tengah sehingga totalnya adalah Indeks Musiman yang dihitung pada Contoh tidak berbeda terlalu banyak satu dengan yang lainnya. Indeks tersebut sama-sama menunjukkan bahwa penjualan 283

284 tinggi pada musim semi dan musim gugur, dan Rendah pada musim dingin dan panas. Indeks ini diinginkan karena data pada periode 10 tahun yang digunakan dalam contoh memperlihatkan adanya trend yang kuat, dan metode kedua dari dua metode untuk mengembangkan indeks musiman tidak mengena untuk data yang mempunyai trend tinggi. Kesukaran untuk menghitung indeks musiman dengan metode Kedua bukan merupakan faktor yang serius, Karena banyak soal dimana banyak terdapat data yang terlibat, Program komputer dibuat untuk melakukan penghitungan. MENEMUKAN UKURAN MUSIMAN DENGAN PENGGUNAAN REGRESI BERGANDA ( MULTIPLE REGRESSIAN ) Penggunaan regresi berganda adalah merupakan metode kedua dari ukuran musiman, yaitu metode yang lebih kompleks untuk menentukan indeks musiman adalah metode yang cukup memadai untuk data yang memiliki trend kuat. Akan tetapi, kita dapat menggabungkan pengetahuan tentang regresi dan data berkala menjadi metode yang dapat member keterangan trend pada data dan membutuhkan pekerjaan yang lebih sederhana daripada metode kedua. Satu hal yag kita butuhkan hanyalah penyesuaian paket awal program regresi berganda dan sebuah computer. Metodenya dilaksanakan sebagai berikut : Kita harus memilih satu musim sebagai musim datar. Bila data tersedia dalam kuartil, kita boleh memilih kuartil pertama, yaitu musim dingin sebagai musim dasar. Semua indeks musiman akan diukur berdasarkan musim ini. Selain itu, tidak ada peraturan tertentu yang mutlak untuk memilih musim dasar ini. Berikutnya, data deret berkala ini dicatat sepanjang periode waktu dengan menggunakan variable dummy untuk menunjukkan musim lain dari musim dasar. Contoh 1 : 284

285 Data penjualan kuartal setahun pada perusahaan tertentu adalah $20, $40, $60, $80 (dalam ribuan). Bila musim dingin kita pilih sebagai dasar, maka data diatas dapat dicatat dengan menggunakan indicator atau variable dummy, sebagai berikut : Penyelesain : Y, Penjualan T, Waktu S2, musim semi S3, musim panas S4, musim gugur Perhatikan bahwa indeks musiman-musim semi, panas, dan gugur- adalah nol pada periode waktu yang tidak merupakan musimnya. Notasi ini memungkinkan kita menyajikan keempat musim dengan hanya 3 variabel. Sebagai contoh, periode musim dingin disajikan dengan 3 nol dalam variable musiman (0,0,0). Musim semi disajikan dengan (1,0,0). Musim panas dengan (0,1,0). Musim Gugur (0,0,1). Dengan data yang disajikan pada model di atas, kita dapat membangun persamaan regresi dari rumus : Ý =a+b1t+b2s2+b3s3+b4s4 Dimana : Ý (= Y topi) menyajikan ramalan data penjualan, t adalah periode waktu Sj adalah variable indicator yang menunjukkan musim semi, panas, dan gugur. 285

286 Untuk memperoleh ramalan dengan penggunaan persamaan regresi ini, kita harus menetapkan periode waktu t dan musim Sj untuk ramalan yang diinginkan. Jika kita menginginkan ramalan penjualan untuk kuartil musim panas, dengan mengikuti data terakhir, t=7, dan indikasi musiman adalah (0,1,0), ramalan kemudian akan menjadi : Ý = a+b1(0)+b2(0)+b3(1)+b4(0) =a+b1(7)+b3 Dengan hasil ini kita dapat melihat bahwa ramalan terdiri dari nilai trend a+b1(7) ditambah jumlah b3, yang merupakan penyesuaian data musiman dari penjualan musim panas. Dengan alas an sama, b2 adalah data yang disesuaikan untuk musim semi, dan b4 adalah penyesuaian untuk musim gugur. Karena musim dingin adalah musim dasar, maka tidak ada data penyesuaian yang ditambahkan pada trend. Tentu saja, pada masalah nyata, lebih dari 4 data dibutuhkan untuk mendapat persamaan regresi. Contoh 2 : Data penggunaan bahan bakar kuartalan (dalam ribuan galon) pada perusahaan Reymar kecil selama 5 tahun terakhir. Carilah penyesuaian musiman dari penggunaan bahan bakar dengan regresi berganda, dengan menggunakan indicator variable musiman.ramalkanlah penggunaan bahan bakar untuk musim gugur tahun ini. Tahun Musim Dingin Musim Semi Musim panas Musim gugur 5 tahun lalu tahun lalu tahun lalu tahun lalu tahun lalu Penyelesaian : 286

287 Langkah pertama adalah memilih musim dasar. Untuk memudahkan, kita pilih musim dingin sebagai musim dasar. Nampaknya musim dingin menunjukkan musim yang terkecil penggunaan bahan bakarnya, dan mungkin ini cukup sebagai dasar. Kemudian, kita catat data selama 5 tahun dengan variable indicator untuk menyajikan semua musim. Bila data tersebut kita masukkan ke dalam program regresi berganda, maka persamaannya akan menjadi : Ý = 61,5 + 4,7t + 36,3S S3 + 26,8S4 Garis regresi ini menunjukkan bahwa ramalan Ý = 61,5 + 4,7(0) =61,5 pada waktu t=0. Oleh karena itu, bentuk konstan dapat dilihat sebagai persamaan untuk memperkirakan trend penggunaan bahan bakar selama musim gugur 6 tahun yang lalu,sebelum penyesuaian musim dibuat. Data penyesuaian adalah 36,3 ; 74,6 dan 26,8 untuk musim semi, panas dan musim gugur. Tidak ada penyesuaian musim untuk musim dingin, sehingga ramalan untuk musim dingin sama dengan trend. Akan tetapi, penggunaan bahan bakar selama musim semi adalah galon di atas trend, dan untuk musim panas adalah galon di atas trend, serta untuk musim gugur adalah galon di atas trend. Ramalan untuk musim gugur tahun ini dibuat dengan menggunakan t=24, dan susunan variable dummy untuk musim gugur adalah (0,0,1), sehingga, Ý= 61,5 + 4,7(24) + 36,3(0) + 74,6(0) + 26,8(1) = 61, ,8 + 26,8 = 201,1 (atau galon) Akan tetapi,ada satu ketidakpastian dalam perkiraan di atas, katena kita membuat kesalahan pada ekstrapolasi ramalan selama tenggang variable bebas t. Jadi, t=24 di dalam rentang nilai t dikembangkan untuk persamaan regresi. Sayangnya, bila seseorang sedang membuat peramalan dengan menggunakan persamaan regresi data berkala, tidak ada cara untuk menghindari ekstrapolasi tersebut. Nilai penggunaan yang diperkirakan untuk periode 5 tahun dapat dilihat di kolom terakhir pada Tabel ini. 287

288 Perhatikan bahwa data R² untuk persamaan regresi yang dikembangkan dalam soal ini adalah 0,94. Nilai ini menunjukkan bahwa persamaan regresi merupakan sesuatu hasil yang lebih baik dengan mencocokan hasil ramalan untuk mendapatkan nilai penjualan yang sebenarnya. Sebelumnya kita telah menyinggung bahwa persamaan menyajikan model data berkala yang klasik, dimana : Nilai yang sebenarnya = T x S x C x I Model ini kadang-kadang disebut sebagai model multiplikatif karena semua komponen telah dikalikan. Nama atau sebutan ini memudahkan untuk membedakan model dengan model tambahan, yag menyajikan nilai data berkala sebagai berikut : Data Penggunaan Bahan Bakar dengan Memasukkan Waktu dan Variabel Dummy Tahun Kuartal T Y, S2, S3, S4, Data Musim Musim Musim Sebelumnya Semi Panas Gugur 5 tahun yang lalu Dingin Semi Panas Gugur tahun Dingin yang lalu Semi Panas Gugur tahun yag Dingin lalu Semi Panas Gugur Y, Nilai Ramalan 66,2 107,2 150,2 107,2 85,1 126,1 169,1 126,1 104,0 145,0 188,0 145,0 288

289 2 tahun Dingin yang lalu Semi Panas Gugur tahun Dingin yang lalu Semi Panas Gugur Nilai yang sebenarnya = T + S + C + I Kalau kita menggunakan persamaan regresi untuk meramalkan nilai masa depan pada data berkala, kita sedang menggunakan model tambahan ini. Jadi, penggunaan variable dummy menyajikan musim yang selalu menghasilkan ramalan dalam bentuk : Ý = T + Sj Dimana Sj adalah jumlah yang ditambahkan pada trend untuk suatu musim pada tahun ke-j. bahkan ramalan yang lebih baik dapat diperoleh bila kita mempunyai ukuran, misalnya pada variasi siklis dan tidak beraturan yang dapat ditambahkan pada persamaan untuk meramalkan nilai data berkala secara lebih tepat. Seseorang barang kali bertanya, metode mana yang menyajikan nilai data berkala ini lebih baik, nilai yang sebearnya = T x S x C x I atau nilai yang sebenarnya = T + S + C + I? Tentu saja, jawabannya tergantung pada keadaan data berkala yang terlibat. Tetapi secara keseluruhan, metode pertama nampaknya lebih disukai oleh banyak ahli statistik. Untuk memahami mengapa banyak ahli statistic lebih menyukai metode pertama ini, kita dapat mempelajari ramalan penggunaan bahan bakar yang dihasilkan. Ramalan ini terdiri dari nilai trend T = 61,5 + 4,7(24) = 174,3 ribu gallon ditambah 26,8 ribu gallon untuk data musim gugur atau total ramalan adalah 201,1 ribu galon. Seseorang mungkin berkata bahwa variasi musiman untuk musim gugur 122,0 163,9 206,9 163,9 141,8 182,8 225,8 182,8 289

290 adalah (26,8/174,3)x100 = 15,4% di atas trend. Sementara seorang lainnya mungkin mengatakan bahwa variasi musiman untuk musim gugur adalah 26,8 ribu gallon di atas trend. Untuk perkiraan ini, tanpa memandang kedua pernyataan tersebut benar atau salah, keduanya mengatakan sesuatu yang sama dan hasil yang sama dalam ramalan. PENERAPAN DATA BERKALA DAN INDEKS MUSIM UNTUK PERAMALAN Berikut diberikan beberapa contoh penerapan data berkala dan indeks musiman yang dibahas pada Bab 9 dan bab ini. Contoh Suatu perusahaan yang bergerak dalam industri bahan bangunan khusus bernama PT XYZ berkeinginan mengembangkan suatu bentuk ramalan penjualan bulan untuk tahun mendatang. Perusahaan meramalkan bahwa penjualan untuk tahun mendatang adalah $20 juta. Dengan data indek penjualan pada tabel berikut tentukan ramalan penjualan per bulan pada tahun mendatang. Bulan Indeks Januari 82 Februari 90 Maret 90 April 102 Mei 106 Juni

291 Juli 117 Agustus 104 September 102 Oktober 96 November 99 Desember 98 Jawaban 1 Karena jumlah indeks musiman adalah 1200, maka ramalan penjualan bulanan dapat dinyatakan sebagai berikut: Indeks musiman x Ramalan tahunan 1200 Gambaran ramalan tahunan dapat dihitung Januari : (82/1200) x $20 juta = $1,367 juta Februari: (90/1200) x $20 juta = $1,500 juta dst Januari $1,367 juta Februari $1,500 juta Maret $1,500 juta April $1,700 juta Mei $1,766 juta Juni $1,900 juta Juli $2,950 juta Agustus $1,733 juta September $1,700 juta Oktober $1,600 juta 291

292 November Desember $1,650 juta $1,633 juta Contoh 2 Pada bulan Januari 1998, seorang staf gubernur Negara tertentu mendapat tugas untuk memebuat ramalan tentang penerimaan Negara dari pajak penjualan per kuartal tahun Untuk tugas ini staf tersebut menggunakan persamaan trend (kecenderungan) kuartal dan indeks musiman yang disediakan oleh kantor bendahara Negara. Persamaan trend dan indeks telah ditetaokan dengan menggunakan data pajak penjualan selama 24 tahun terakhir. Data tersebut telah disesuaikan untuk menghilangkan perbedaan tarif (rate) pajak penjualan selama 24 tahun. Persamaan trend yang dimaksud adalah Ŷ= ,1t dimana semua data adalah dalam jutaan dollar dan t= 1 terjadi pada kuartal pertama Penyelesaian Karena kuartal pertama 1974 adalah periode dimana t = 1,maka kuartal pertama tahun 1999 adalah 101, kuartal kedua 1999 t= 102, dan seterusnya. Indeks kuartalan pendapatan dari pajak penjualan adalah sebagai berikut: Kuartal pertama = 80 Kuartal kedua = 95 Kuartal ketiga = 104 Kuartal keempat = 121 Staf ahli gubernur tersebut mulai mengembangkan peramalan dengan menggunakan rumus sebagai berikut : Ramalan = Tx S

293 Perhatikan bahwa ramalan dalam variasi yang siklis dan variasi tak teratur tidak dapat dikembangkan dari data yang ada dengan teknik yang dikemukakan pada babini karena tidak mengikuti pola yang dapat diduga. Jadi, proyeksi dilakuakan semata-mata berdasarkantrend dan data musiman. Setiap penyimpangan daru ramalan akan disebabkan terutama fluktuasi siklus bisnis dari variasi yang tidak beraturan. Dengan menggabunfkan persamaan peramalan dengan persaaan trend, diperoleh rumus sebagai berikut. Ŷ 1,99 = [ ,1(101)] ( 80 ) = 464,1 x 0,80 = 371,3 100 Ŷ 2,99 = [ ,1(102)] ( 95 ) = 467,2 x 0,95 = 443,8 100 Ŷ 3,99 = [ ,1(103)] ( 104 ) = 470,3 + 1,04 = 489,1 100 Ŷ 4,99 = [ ,1(104)] ( 121 ) = 474,4 x 1,21 = 572,8 100 Total = 1877,0 Jumlah dari ramalan per kuartal menunjukkan tahunan $1.877 miliar penerimaan Negara dari pajak penjualan tahun Contoh 3 Departemen pembelin suatu perusahaan yang bergerak dalam pelayanan catering perjalanan udara sedang merencanakan pemesanan unutk bulan yang bersangkutan. Mereka mempersiapkan makanan untuk penumpang penerbangan dari suatu kota di amerikan. Telah ditemukan bahwa jumlah makanan yang dimta untuk dipersiapkan setiap bulan mengikuti pola musman penerbangan. Jadi, mereka dapat menggunakan indeks musiman penerbangan lokaluntuk memproyeksikan jumlah mkaan yang harus disediakan. Bulan lalu, jumlah makan yang disediakan unut penumpang penumpang. Departeman pebelian inginmengetahui berapa jumlah makan yang yarus disiapkan bulan ini. 293

294 Penyelesaian bulan lalu adalah bulan juni, dengan indeks musiman penerbangan adalah 118; dan bulan ini adalah juli dengan indeks musiman adalah 124. Proyeksi jumlah makanan yang harus dipersiapkan bulan ini dapat dihitung dengan hubungan berikut: Makanan yang disediakan bulan juli indeks musiman juli = Makanan yang disediakan bulan juni indeks musiman juni atau X = X= x (124/118) = makanan Jadi, departemen pembelian dapat merencanakan unutk sejumlah makanan SOAL LATIHAN A. Soal Latihan Berganda 1. Berikut ini adalah beberapa Metode yang digunakan untuk menghitung angka indeks musiman, Kecuali... a. Metode rata-rata Sederhana c. Metode rata-rata bersambung b. Metode rata-rata bergerak d. Metode simple 2. Salah satu kegunaan pengetahuan tentang gerakan musiman adalah... a. Untuk menstabilkan data b. Untuk mencegah hal-hal yang tidak diinginkan c. Sebagai dasar pengetahuan langkah-langkah kebijakan untuk mencegah hal-hal yang tidak diinginkan. d. Sebagai Pelengkap data 3. Indeks musiman Produksi Minyak Bumi indonesia, (000 MSCF) Harga Persentase (%) Indeks terhadap Bulan Rata-rata Total dari kolom (2) musiman (1) (2) (3) (4) 294

295 Januari ,50 8, ,37 Februari ,50 8, ,30 Maret ,75 8, ,30 April ,25 7, ,91 Mei ,25 8, ,28 Juni ,00 7, ,61 Juli ,00 8, ,14 Agustus ,75 8, ,14 September ,75 7, ,85 Oktober ,25 8, ,06 November ,25 8, ,56 Desember ,25 8, ,64 Jumlah ,50 100, ,00 Cara menghitung Persentase pada pada kolom ketiga adalah... a. Harga rata rata Total harga rata rata (100) b. c. indeks musiman Harga rata rata (100) Total harga rata rata Harga rata rata (100) Harga rata rata indeks Musiman (100) d. 4. Untuk membuat sebuah ramalan diperlukan persamaan untuk menghitung data ramalan, persamaan tersebut adalah... a. T S 100 b. T S 100 c. 100 T d. S

296 5. Gerakan yang teratur dalam arti naik turunnya terjadi pada waktu-waktu yang sama atau sangat berdekatan disebut... a. Gerakan siklis b. Gerakan musiman c. Indeks musiman d. Data bulanan 6. Produksi Minyak Bumi indonesia (000 MSCF) Bulan (1) (2) (3) (4) (5) Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Jumlah Berapakah Angka relatif bersambung Untuk maret 1995? a. 94,23% c. 112,31% b. 89,85% d. 109,56% 296

297 7. Produksi Minyak Bumi indonesia (000 MSCF) Bulan (1) (2) (3) (4) (5) Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Jumlah Berapakah angka Relatif bersambung dari Agustus 1997? a. 103,62 c. 111,244 b. 234,1 d. 152,3 8. Indeks yang digunakan Untuk menunjukkan ada/tidaknya gerakan musiman disebut a. Data Musiman c. Indeks Musiman b. Data berimbang d.time Series

298 Produksi Minyak Bumi indonesia (000 MSCF) Bulan (1) (2) (3) (4) (5) Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Jumlah Berapakah angka Relatif bersambung dari Desember 1996? a. 103,66 c.145,88 b. 112,09 d.132,3 Tahun x Y xy x 2 (1) (2) (3) (4) (5) , , , , ,0-945, ,8-336,

299 ,4-364, , , , , , ,9 49 Jumlah 0 y=2.861,1 xy=2.215,5 x=168 Berapakah trend tahunan dari data berikut ini? a. 12,13 c. 13,21 b. 13,19 d. 12,31 B. Soal Essai 1. Jelaskan Pengertian gerakan musiman dan gerakan apa saja yang termasuk dalam gerakan musiman? 2. Tuliskan dan jelaskan Metode yang digunakan dalam menghitung angka indeks musiman. 3. Harga sembako dari bulan ke bulan dalam ribuan rupiah selama 5 tahun adalah sbb. Bulan (1) (2) (3) (4) (5) (6) Jan 89,8 214,9 229,8 219,2 225,6 Feb 89,9 313,9 227,7 215,4 225,2 Mar 102,6 214,8 254,4 232,2 230,1 April 246,1 315,6 253,1 240,1 246,5 Mei 239,1 651,7 265,6 256,9 262,9 Jun 230,8 156,8 321,7 230,1 256,6 Jul 216,8 586,1 642,1 262,0 238,6 299

300 Agus 246,8 109,6 239,7 234,1 310,8 Sep 98,8 961,0 227,5 215,2 103,5 Okt 78,7 812,3 923,4 102,9 104,2 Nov 85,9 145,4 97,9 105,8 103,4 Des 105,7 454,1 108,1 103,8 214,5 a. Gambarkan grafik garis data tersebut b. Buatlah indeks musiman dengan menggunakan metode rata-rata sederhana c. Buatlah indeks musiman menggunakan median 4. Penjualan bulanan PT. Merpati (Jutaan Rupiah) Bulan (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Jan Feb Mar April Mei Jun Jul Agus Sep Okt Nov Des Carilah Angka relatif bersambung (Link Relative) Tahun

301 5. Hasil Penjualan makanan ringan dari perusahaan PT. MARETTA ULI dalam jutaan rupiah dari bulan ke bulan selama 5 tahun adalah sbb. Bulan (1) (2) (3) (4) (5) (6) Jan 25,26 23,68 27,3 24,68 26,3 Feb 23,44 23,48 24,66 24,12 25,28 Mar 26,86 25,48 27,92 27,08 29,14 Apr 27,06 26,8 28,34 28,64 30,98 Mei 26,54 26,9 29,32 28,5 30,66 Jun 24,72 27,62 29,16 29,32 31,2 Jul 26,54 26,8 28,76 28,78 30,52 Agust 24,72 26,9 28,36 27,8 30,96 Sept 26,54 27,24 28,16 28,28 31,52 Okt 26,2 29,64 29,9 29,32 31,52 Nov 27,72 28,02 27,97 29,06 31,5 Des 30,76 33,82 32,88 35,74 38,24 a. gambarlah grafik garisnya (line chart) b. Buatlah indeks musiman dengan rasio terhadap trend c. Gambarlah grafik indeks musiman. 6. Produksi kentang di Indonesia tahun Bulan Januari Februari Maret

302 April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Dari soal tersebut buat lah rata-rata relative bersambung. 7. Dari soal no 6 tersebut Buatlah indeks musiman dengan rasio terhadap trend. 8. Dari soal 6 tersebut tentukan pula relative berantai. 9. Dari soal no 6 tersebut tentukan juga median relative bersambung dan relative berantai. 10. Persamaan trend yang menggambarkan penjualan bulanan dari suatu perusahaan computer pada tahun ke 7 adalah Y= 5,50 + 2,20 X,.dari data tersebut tentukan ramalan jumlah penjualan pada tahun ke 9 dan 10. C. Soal Studi Kasus 1. Hasil produksi daging ayam di Negara Uni Emirat Arab adalah sebagai berikut : Bulan (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Jan 563,7 567,7 746,6 702,1 739,1 589,5 Feb 596,4 557,8 788,8 671,9 681,1 507,3 302

303 Mar 677,2 642,6 902,4 694,3 696,8 470,6 Apr 706,9 645,8 864,5 663,9 596,8 433,5 Mei 659,4 608,2 832,2 585,7 652,8 462,1 Jun 696,8 618,2 758,8 552,1 648,2 453,1 Jul 708,0 562,8 769,8 528,1 607,4 427,5 Agus 623,8 556,4 731,7 314,9 595,8 306,1 Sept 588,2 412,1 578,9 463,1 632,4 213,8 Okt 639,9 332,3 616,3 441,2 402,2 383,3 Nov 490,0 609,3 857,1 583,5 694,9 623,0 Des 500, ,2 588,5 666,3 719,8 a. Berdasarkan data diatas, buatlah rata-rata bergerak 12 bln b. Buatlah rata-rata bergerak 12 bulan terpusat c. Buatlah rata-rata bergerak 6 bulan terpusat 2. Deret berkala dibawah ini menunjukkan jumlah izin tinggal yang dikeluarkan perbulan di suatu wilayah adalah sebagai berikut : Bulan Jumlah izin yang dikeluarkan Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agus

304 Sept Okt Nov Des a. Buatlah indeks musiman dengan menggunakan median b. Buatlah indeks musiman dengan menggunakan rata-rata sederhana BAB 11 ANGKA INDEKS Kompetensi Inti Mahasiswa dapat mengenal angka indeks. Kompetensi Dasar Mahasiswa dapat mengerti apa itu angka indeks. Mahasiswa dapat memahami macam-macam angka indeks. Mahasiswa dapat menghitung berbagai macam angka indeks dan menginterpretasikannya. 304

305 PENGERTIAN ANGKA INDEKS Angka indeks atau sering disebut indeks saja pada dasarnya merupakan suatu angka yang dibuat sedemikian rupa sehingga dapat dipergunakan untuk melakukan perbandingan antara kegiatan yang sama (produksi, ekspor, hasil penjualan, jumlah uang beredar, dll) dalam suatu waktu yang berbeda. Dari angka indeks bisa diketahui turun-naikknya atau maju-mundurnya suatu usaha atau kegiatan. Jadi, tujuan pembuatan angka indeks adalah untuk mengukur secara kualitatif terjadinya perubahan yang dalam waktu yang berlainan, misalnya indeks harga untuk mengukur perubahan harga (berapa kenaikannya atau penurunaanya), indeks produksi untuk mengetahui perubahan yang terjadi dalam kegiatan produksi, indeks biaya hidup untuk mengukur tingkat inflasi,dll. Dengan demikian, angka indeks sangat diperlukan oleh siapa saja yang ingin mengetahui maju-mundurnya kegiatan atau usaha yang dilaksanakan, seperti pemilik perusahaan, para pejabat pemerintah, para ahli ekonomi dan social (untuk melihat perkembangan ekonomi dan social yang terjadi di masyarakat), para pendidik, ahli agama, penegak hukum (untuk melihat naik-turunnya pelanggaran hukum yang terjadi), dll. Sebab itulah,baik pemerintah (melalui Badan Pusat Statistik atau 305

306 instansi-instansi pemerintah lainnya) maupun perusahaan-perusahaan yang menganut modern management membuat berbagai macam indeks untuk keperluan pemantauan (monitoring) atau evaluasi. Didalam membuat angka indeks diperlukan dua macam waktu, yaitu: 1. Waktu dasar (base period) adalah waktu dimana suatu kegiatan (kejadian) dipergunakan sebagai dasar perbandingan, waktu dasar biasanya dinyatakan dalam angka indeks, sebesar Waktu yang bersangkutan atau sedang berjalan (current period) adalah waktu dimana suatu kegiatan (kejadian) dipergunakan sebagai perbandingan terhadap kegiatan pada waktu dasar. INDEKS HARGA RELATIF SEDERHANA DAN AGREGATIF Indeks harga relative sederhana (simple relative price indeks) ialah indeks yang terdiri dari satu macam barang saja, baik untuk indeks produksi maupun indeks harga (misalnya indeks produksi beras, indeks produksi karet, indeks produksi ikan, indeks harga beras, indeks harga karet, indeks harga ikan, dll). Indeks agregatif merupakan indeks yang terdiri dari beberapa barang (kelompok barang), misalnya indeks harga 9 macam bahan makanan, indeks impor Indonesia, indeks ekspor Indonesia, indeks harga bahan makanan, indeks biaya hidup, indeks hasil penjualan suatu perusahaan (lebih dari satu barang yang dijual), dll. Indeks agregatif memungkinkan kita untuk melihat persoalan secara agregatif (secara makro), yaitu secara keseluruhan, bukan melihat satu per satu (per individu). Dimana: Rumus indeks harga sederhana (simple indeks) adalah: It,o = p t p o 100 % It,o = indeks harga pada waktu t dengan waktu dasar 0 pt = harga pada waktu t 306

307 po = harga pada waktu 0 Rumus untuk menghitung indeks produksi sama seperti untuk menghitung indeks harga hanya huruf p-nya daja diganti dengan q. It,o = q t q o 100 % Dimana: It,o = indeks harga pada waktu t dengan waktu dasar 0 qt = produksi pada waktu t qo = produksi pada waktu 0 INDEKS AGREGATIF TIDAK BERIMBANG Indeks agregatif tidak berimbang adalah digunakan untuk unit-unit yang mempunyai satuan yang sama. Indeks ini diperoleh dengan jalan mambagi hasil penjualan harga pada waktu yang bersangkutan dengan hasil penjumlahan harga pada waktu dasar. It,o = p t p o 100 % Rumus ini dapat dipakai untuk menghitung indeks produksi agregratif asalkan barang-barang mempunyai satuan yang sama. Oleh karena itu, dengan rumus diatas kita dapat menghitung angka indeks yang produksi agreratif dari 9 macam bahan pokok, sebab satuan lainnya, ada yang kilogram, liter, meter, dll. Untuk menghitung indeks produksi agregatif tidak tertimbang kita, tinggal mengganti huruf p dengan q (quantity = produksi). Contoh soal: 307

308 1) Dik: harga barang menurut jenisnya selama Jenis Barang Harga (Rp) L M N O JUMLAH Dit: Berapakah harga indeks tidak tertimbang untuk tahun 1997 dan 1998 dengan waktu dasar tahun 1996? Jawab: I97/96 = p 97 p % = = 125% I98/96 = p 98 p % = = 150 % Dari tabel diatas dapat diketahui bahwa angka indeks pada waktu tahun 1996 = 100 %. 308

309 INDEKS AGREGATIF TERTIMBANG Indeks agregatif tertimbang adalah indeks yang dalam pembuatannya telah dipertimbangkan factor-faktor yang akan mempengaruhi naik-turunnya indeks tersebut. Timbangan yang akan dipergunakan untuk pembuatan indeks biasanya: 1. Kepentingan Relatif (relative importance). 2. Hal-hal yang ada hubungannya atau pengaruhnya terhadap naik-turunnya indeks tersebut. produksi akan mempengaruhi harga (produksi naik mengakibatkan suplai naik. Apabila permintaan dan daya beli tetap, harga barang dapat turun, sebaliknya penurunan produksi menyebabkan harga naik). Dalam pembuatan indeks harga, produksi dipergunakan sebagai timbangan. Sebaliknya harga juga mempengaruhi produksi, apabila harga barang turun maka produsen tidak akan bergairah untuk meningkatkan produksi, tetapi, jika harga barang naik maka produsen akan bergairah dalam hak proses produksi. Contohnya: Jika pemerintah menekan harga beras para petani akan kurang bergairah untuk menenem padi,. Mereka akan lebih memilih lading mereka digunakan untuk menanam komoditi yang prospek harganya akan meningkat. Karena alasan inilah, maka di dalam membuat indeks produksi harga dipergunakan sebagai timbangan. Dalam pembuatan indeks biaya hidup, persentase pengeluaran setiap barang dipergunakan sebagai timbangan (percentage weight). Pada umumnya, indeks biaya hidup terdiri dari 4 komponen, yaitu untuk makanan, pakaian, perumahan, dll. Badan Pusat Statistika selalu mengeluarkan indeks biaya hidup setiap bulan untuk keperluan mengukut tingkat inflasi, sedangkan perusahaan menggunakan indeks biaya hidup untuk dasar penyesuaian gaji. Secara psikologis, gairah kerja para karyawan akan menurun jika indeks biaya hidup naik tetapi gaji tidak dinaikkan. Kelemahan dari indeks harga agregatif tidak berimbang adalah: 309

310 1. Satuan unit harga barang sangat mempengaruhi indeks harga. 2. Tidak memperhitungkan kepentingan relative (relative importance) barang yang tercakup dalam pembuatan indeks. INDEKS RATA-RATA HARGA RELATIF Indeks rata-rata harga relatif dinyatakan oleh persamaan berikut: It, 0 = Dimana, n adalah banyaknya jenis barang. 1 n [ Pt P0 100%] Ada beberapa rumus angka indeks tertimbang, yaitu rumus Laspeyres dan rumus Paasche, yaitu nama dari penemunya. Di mana: L = Indeks Laspeyres Pt = Harga waktu t P0 = Harga waktu 0 Lt, 0 = ptqo p0q0 100% (rumus indeks harga agregatif tertimbang) (11.5) Q0 = Produksi waktu 0, sebagai timbangan Di mana: qt = Produksi waktu t Lt, 0 = p0qt p0q0 100% (rumus indeks produksi agregatif tertimbang) Q0= Produksi waktu 0 (11.6) P0= Harga waktu 0, sebagai timbangan Pt, 0 = ptqt p0qt 100% 310

311 Di mana: P = Indeks Paasche Pt = Harga waktu t P0 = Harga waktu 0 (rumus indeks harga agregatif tertimbang) (11.7) Qt = Produksi waktu t, sebagai timbangan Pt, 0 = ptqt ptq0 100% (rumus indeks produksi agregatif tertimbang) (11.8) Di mana: qt = Produksi waktu t Q0= Produksi waktu 0 P0= Harga waktu t, sebagai timbangan Perhatikan rumus (11.5) dan (11.7). Kedua rumus tersebut menggunakan timbangan atau bobot yang sangat berbeda. Laspeyers menggunakan produksi pada waktu dasar, sedangkan paasche menggunakan produksi pada waktu t (waktu yang bersangkutan sebagai timbangan). Dilihat dari segi praktis, laspeyres lebih baik karena tidak berubah-ubah tetapi secara teoritis kurang baik, sebab yang mempengaruhi harga sebetulnya adalah produksi pada waktu yang bersangkutan. Sebaliknya, dilihat dari segi teoritis rumus paasche sangat baik. Perubahan produksi selalu diperhitungkan pengaruhnya terhadap perubahan harga, tetapi dari segi praktis, susah di terapkan, khususnya Negara yang sedang berkembang seperti Indonesia, unuk mendapatkan data produksi bebas dengan harga bebasyang sama up to datenya sangat sulit sekali. Data harga beras dapat di peroleh di pasar, tetapi produksi padi/ beras harus menunggu laporan para mantra tani dan mantra statistik di tingkat kecamatan. Badan pusat statistik sendiri lebih banyak menggunkan rumus laspeyres. Perhitungan indeks biaya hidup juga menggunakan rumus laspeyres 311

312 VARIASI DARI INDEKS HARGA TERTIMBANG Indeks agregatif tertimbang dari laspeyres dan paasche masing-masing memiliki kebaikan dan keburukan. Rumus laspeyres baik dalam praktek, lemah dalam teori, sedangkan rumus paasche baik dalam teori sukar penggunaannya dalam praktek. Akan tetapi, kedua orang tersebut tidak ada yang mau mengalah, masingmasing mengatakan rumusnyalah yang paling baik. Sampai akhirnya muncul irving fisher dengan rumusnya yang baru: I = L P = Ptq0 Ptqt P0q0 P0qt 100% Rumus lainnya dibuat oleh Drobisch. Irving fisher mengalihkan Ldan P kemudian menarik akar dari hasil kali tersebut, maka drobisch mengambil rata-rata dari hasil perhitungan dengan rumus laspeyres dan paasch. Rumus drobisch adalah sebagai berikut: I = L + P 2 Ptq0 + Ptqt = ( p0q0 + p0qt ) 100% Kesimpulannya adalah bahwa ternyata rumus fisher dan drobisch memberikan hasil yang sama. Selain rumus diatas, ada juga rumus Marshal-Edgeworth. Timbangan yang dipergunakan oleh Marshal-Edgeworth adalah rata-rata produksi (kualitas) dari tahun (waktu) dasar dan waktu yang bersangkutan yaitu = 1 (q0 + qt) 2 312

313 I = pt 1 (q0 + qt) 2 p % (q0 + qt) 2 pt (q0 + qt) p0 (q0 + qt) 100% (rumus Marshal-Edgeworth) ANGKA INDEKS BERANTAI Angka indeks mempunyai waktu dasar tertentu, yaitu waktu yang dianggap dapat dipergunakan untuk melakukan perbandingan atas beberapa tahun. Waktu tersebut tetap, tidak berubah-ubah, dalam pembuatan indeks dari tahun ke tahun. Para pemimpin biasanya menghendaki agar waktu dasarnya selalu berubah setiap tahun, setiap 2 tahun atau lebih dari 2 tahun. Misalkan jika waktu dasarnya satu satuan waktu sebelumnya (1 bulan, 1 tahun), maka simbolnya menjadi I t,t1, untuk 2 satuan waktu I t,t2, dan seterusnya. Dalam membuat indeks berantai, harus ditentukan terlebih dahulu berapa satuan waktu sebelumnya yang akan dipergunakan sebagai waktu dasar. Dan hanya mengganti p o menjadi p t 1, atau p t 2, dan q o menjadi q t 1 atau q t 2 dan seterusnya. Maka rumus mencari angka indeks berantai (I) adalah sebagai berikut : I t,t1= Keterangan : q t = ekspor tahun t q t 1 = ekspor tahun t 1 q t q t 1 x 100% Contoh 1 : Buatlah indeks berantai untuk tahun 1995, 1996, 1997, 1998, 1999 dan 2000 dengan waktu dasar satu tahun sebelumnya, berdasarkan table dibawah ini. Jumlah Ekspor Sawit,

314 Tahun Ekspor ( ,1 447,6 450,0 469,2 475,4 480,9 489,2 ton) Penyelesaian : I t,t1 = q t q t 1 x 100% I 1995,1994 = q 1995 q 1994 x 100% = 114,15% I 1996,1995 = q 1996 q 1995 x 100% = 100,54% I 1997,1996 = q 1997 q 1996 x 100% = 104,27% I 1998,1997 = q 1998 q 1997 x 100% = 101,32% I 1999,1998 = q 1999 q 1997 x 100% = 101,16% I 2000,1999 = q 2000 q 1999 x 100% = 101,73% Keuntungan dalam menggunakan angka indeks berantai adalah : 1) Memungkinkan kita untuk memasukkan komoditi-komoditi baru yang diperlukan sebagai timbangan. Misalnya dalam pembuatan indeks biaya hidup, maka dipergunakan macam-macam barang yang dikonsumsi oleh kelompok masyarakat yang berpendapatan rendah. Komposisi barang-barang tersebut selalu berubah-ubah dari waktu ke waktu. Misal ada barang-barang baru yang sudah tidak dikonsumsi lagi sehingga harus diganti dengan barangbarang yang baru muncul, seperti pengeluaran untuk membeli radio transistor, pengeluaran untuk bepergian dengan taksi, becak atau angkutan umu dan sebagainya. 2) Bila sudah dibuat angka indeks berantai dengan waktu dasar yang berubahubah, maka dapat diturunkan dari indeks berantai tersebut suatu indeks pada tahun-tahun tertentu dengan waktu dasar yang tetap. 314

315 Rumus mencari angka indeks berantai dengan waktu dasar tetap adalah sebagai berikut : I t+1,t 1= (I t, t 1 )(I t+1, t ) Contoh 2 : Berdasarkan contoh 1, berapakah indeks pada tahun 1996, 1997, 1998, 1999 dan 2000 dengan waktu dasar tetap pada tahun 1994? Penyelesaian : Kalau kita ingin menghitung indeks pada tahun 1996, 1997, 1998, 1999 dan 2000 dengan waktu dasar tahun 1994, maka caranya adalah sebagai berikut : Sebab : I t+1,t 1= (I t, t 1 )(I t=1, t ) (I t, t 1 )(I t+1, t ) = q t q t 1 x q t+1 q t Rumus ini berlaku sebelum masing-masing indeks dikalikan dengan 100%, hasil perkaliannya baru dikalikan dengan 100%. I 1996,1994= (I 1995,1994 )(I 1996, 1994 ) I 1997,1994= (I 1996,1994 )(I 1997, 1994 ) (I 1995, 1994 )(I 1996, 1994 )(I 1997, 1994 ) I 1998,1994= (I 1997, 1994 )(I 1998, 1994 )(I 1996, 1994 )(I 1997, 1994 )(I 1998,1994 ) I 1999,1994= (I 1998, 1994 )(I 1999, 1994 )(I 1996, 1994 )(I 1997, 1994 )(I 1998,1994 )(I 1999, 1994 ) I 2000,1994= (I 1999,1994 )(I 2000, 1994 )(I 1995, 1994 )(I 1996, 1994 )(I 1997,1994 ) (I 1998, 1994 )(I 1999, 1994 )(I 2000, 1994 ) Dengan menggunakan hasil perhitungan indeks berantai dari Contoh 1, maka : I 1996,1994= (1,1415) (1,0054) x 100% = 114,77% I 1997,1994= (1,1477) (1,0427) x 100% = 119,67% I 1998,1994= (1,1967) (1,0132) x 100% = 121,25% 315

316 I 1999,1994= (1,2125) (1,0116) x 100% = 122,66% I 2000,1994= (1,1266) (1,0173) x 100% = 114,61% (Ingat, hasil perkalian terakhir harus dikalikan dengan 100%) Perlu ditekankan sekali lagi bahwa untuk semua rumus angka indeks yang telah diuraikan diatas dapat dibuat indeks berantai, yaitu dengan mengubah waktu dasar 0, menjadi t t 1, atau t t 2, tergantung berapa unit waktu sebelumnya yang akan dipergunakan sebagai dasar perbandingan. PENENTUAN DAN PERGESERAN WAKTU DASAR Tujuan utama pembuatan indeks adalah untuk melakukan perbandingan mengenai suatu kegiatan pada dua waktu yang berbeda (kegiatan produksi, penjualan, konsumsi, perkembangan harga dll). Di dalam pembuatan angka indeks pada suatu waktu tertentu (minggu tertentu, bulan tertentu, triwulan tertentu, tahun tertentu), harus ditentukan terlebih dahulu waktu dasar (base period) yaitu waktu dimana suatu kegiatan akan dipergunakan sebagai dasar perbandingan. Waktu dasar dapat berupa suatu waktu tertentu (at a point of time), misalnya bulan Oktober 1996, tahun 1996, tahun 2002, atau berupa suatu jangka waktu atau periode tertentu. Apabila kita hanya membandingkan suatu kegiatan dari 2 waktu saja (2 bulan, 2 tahun misalnya), maka hal ini tidak sukar, sebab tinggal memilih satu di antara dua, misalnya untuk indeks harga 9 bahan pokok pada bulan Agustus 2009 dengan waktu dasar Juli 2009, atau produksi padi tahun 2009 dengan waktu dasar 2008, hal ini dinamakan Binary Comparison (J. Supranto, 1990). Akan tetapi dalam prakteknya kita harus membuat angka indeks dari data berkala selama 10 tahun atau lebih, katakanlah antara , dan lain sebagainya. Untuk ini kita harus memilih satu waktu tertentu. Ada beberapa syarat yang perlu diperhatikan dalam menentukan atau memilih waktu dasar tersebut : 316

317 1.Waktu seyogyanya menunjukkan keadaan perekonomian yang stabil, dimana harga tidak berubah dengan cepat sekali. Di dalam keadaan inflasi orang biasanya istilah kenaikan harga tetapi pergantian harga, mengingat kenaikan itu tidak wajar, sering melebihi 100%. Antara tahun , angka indeks Badan Pusat Statistik didasarkan pada tahun 2002 sebagai waktu dasar, mengingat keadaan perekonomian selama periode tersebut relatif stabil. 2.Waktu jangan terlalu jauh dibelakang, kalau bisa usahakan paling lama 10 tahunatau lebih baik kurang dari 5 tahun. Khususnya untuk indeks tertimbang, dimana timbangannya terdiri dari beberapa barang, seperti indeks biaya hidup. Timbangan yang dipergunakan untuk membuat indeks biaya hidup, merupakan suatu hasil penelitian biaya hidup (cost of living survey). Di dalam penelitian itu ditanyakan sejumlah barang atau komoditi (basket of commodities) yang dikonsumsi oleh golongan masyarakat tertentu (misalnya pendapatannya rendah). Komoditi meliputi barang dan jasa yang harus dibeli untuk memenuhi kebutuhan hidup bagi anggota rumah tangga. Komoditi-komoditi tersebut pada umumnya dikelompokkan menjadi 7 kelompok yaitu bahan makanan; makanan jadi, minuman, rokok dan tembakau; perumahan, air, listrik, gas, dan bahan bakar; sandang; kesehatan; pendidikan, rekreasi dan olah raga; transport komunikasi dan jasa keuangan. Kalau waktu dasarnya terlalu lama, maka barang dan jasa yang dahulunya dikonsumsi sudah tidak ada lagi di pasaran (sudah tidak diproduksi) atau kemungkinan ada barang dan jasa yang dahulunya belum dikonsumsi. Ingatbahwa dengan kemajuan teknologi dapat diciptakan barang-barang baru dan di samping itu selera masyarakat juga berubah dengan cepat, selalu mengikuti mode (pakaian, hiburan dan lain sebagainya). Itulah sebabnya waktu dasar harus up to date (mutakhir), tidak boleh terlalu jauh di belakang. 3. Waktu di mana terjadi perisiwa penting, misalnya saja jika suatu perusahaan dalam membuat indeks produksi atau hasil penjualan menggunakan waktu dasar pada saat direktur produksi/pemasaran yang baru diangkat. Dengan demikian dapat diketahui apakah dengan penggantian pimpinan yang baru itu terjadi perbaikan- 317

318 perbaikan (kenaikan produksi dan penjualan) yang tercermin dengan angka indeks yang selalu lebih besar dari 100% serta meningkat terus. Peristiwa penting lainnya adalah dilaksanakannya kebijakan baru dalam perekonomian, dalam pemasaran dan lain sebagainya. Kalau harus berpegang pada kestabilan (keadaan perekonomian yang normal), mungkin sulit sekali mencari waktu dasar, akan tetapi sangat mudah untuk menentukan waktu di mana terjadi peristiwa penting. 4. Waktu dimana tersedia data untuk keperluan timbangan. Hal ini biasanya juga tergantung kepada tersedianya biaya untuk melakukan penelitian (pengumpulan data). Pada suatu ketika apabila waktu dasar dari suatu angka indeks dianggap sudah out of date, karena sudah terlalu lama atau terlalu jauh ketinggalan, maka perlu diadakan pergeseran waktu dasar (shifting the base period). Ada tiga cara untuk melakukan pergeseran itu, yaitu sebgai berikut : 1. Apabila data asli masih tersedia, maka angka pada waktu atau tahun tertentu yang akan dipakai sebagai tahun dasar yang baru itu diberi nilai 100%. Sedangkan angkaangka lainnya dibagi dengan angka dari waktu tersebut, kemudian dikalikan dengan 100% 2. Dibuat berdasarkan indeks yang lama. Indeks pada tahun yang akan dipilih sebagai waktu dasar diberi nilai 100%, kemudian indeks pada tahun-tahun lainnya dibagi dengan indeks dari tahun dasar baru, dan mengalikannya dengan 100%. Cara ini sering digunakan kalau data aslinya sudah tidak ada lagi. Sebaiknya cara ini dipergunakan kalau angka indeks memenuhi pengujian sirkuler (circular test), atau kalau terpaksa harus menggeser waktu dasar tetapi data aslinya sudah tidak ada lagi, seperti telah diuraikan di atas. 3. Harus dilakukan suatu penelitian baru, untuk membuat timbangan bagi indeks tertimbang, seperti angka indeks biaya hidup. Penelitian harus dilakukan pada waktu atau tahun dasar yang baru, misalnya Badan Pusat Statistik melakukan Survei Biaya Hidup (SBH) pada tahun 2007 untuk membuat timbangan bagi angka indeks biaya hidup yang baru, dengan waktu dasar 2007 sebagai pengganti indeks biaya hidup yang lama. 318

319 TAHUN DASAR Syarat dalam menentukan atau memilih waktu dasar adalah: 1. Waktu seyogyanya menunjukkan keadaan perekonomian yang stabil 2. Waktu tidak terlalu jauh ke belakang 3. Waktu terjadinya peristiwa penting 4. Waktu tersedianya data untuk keperluan timbangan 5. Survei baru untuk menentukan komposisi barang Dua cara untuk melakukan perggeseran adalah: 1. Apabila data asli masih tersedia, maka angka pada waktu atau tahun tertentu yang akan dipakai sebagai tahun dasar yang baru tersebut diberi nilai 100%, sedangkan angka-angka lainnya dibagi dengan angka dari waktu tersebut, kemudian dikalikan dengan 100%. Data harga perdagangan besar kentang tahun disajikan dalam tabel berikut. Tentukan indeks harga dengan tahun dasar 1987 dan indeks baru dengan tahun dasar Tahun Harga Indeks lama, tahun dasar

320 11578 I1988, % 123,62% I1995, % 420,69% 9366 dst Indek baru, tahun dasar I1987, % 112,32% I1994, % 361,46% 8339 dst Tabel Indeks Lama 1987 dan Indeks Baru 1990 Tahun Indeks Lama Indeks Baru ,00 112, ,62 138, , ,03 100, , ,32 326, ,29 429, ,82 361, ,69 472,53 2. Apabila data asli tidak tersedia, maka angka pada waktu atau tahun tertentu yang akan dipakai sebagai tahun dasar yang baru tersebut diberi nilai 100%, kemudian angka indkes pada tahun-tahun lainnya dibagi dengan indeks dari tahun dasr baru, dan mengalikannya dengan 100% Indeks yang sudah ada dengan 1987 = 100, kemudian akan digeser menjadi 1990 = 100 Indeks lama, tahun dasar 1987 I I 1988, ,1987 dst % 123,62% % 420,69%

321 I I 1987, ,1990 dst Indeks hasil pergeseran, tahun dasar % 112,32% 89,03 420,69 100% 472,53% 89,03 Perbandingan Indeks Baru dan Bergeser Indeks Baru Indeks Bergeser 112,32 112,32 138,84 138,85 267,23 267,24 100,00 100,00 333,94 333,95 326,62 326,64 429,37 429,37 361,46 361,47 472,53 472,53 Kesimpulan : Hasil perhitungan yang didasarkan pada data asli tersedia dengan data asli tidak tersedia sama. PENGUJIAN ANGKA INDEKS DAN PENDEFLASIAN DATA BERKALA Untuk mengetahui kebaikan atau kesempurnaan angka indeks biasanya dilihat dari kenyataan apakah indeks itu memenuhi beberapa kriteria pengujian. Sebagai 321

322 contoh, indeks ideal dari Fisher paling tidak secara teoritis lebih baik daripada indeks Laspeyres atau Paasche. Beberapa kriteria pengujian adalah time reversal test, dan factor reversal test. Suatu indeks yang memenuhi time reversal test, harus memenuhi persamaan berikut: It, 0 x I0, t = 1 (indeks belum dinyatakan dalam persentase) Dimana It, 0 = indeks waktu t dengan waktu dasar 0 I0, t = indeks waktu 0 dengan waktu dasar t Contoh: I96,95 = indeks tahun 1996 dengan tahun 1995 sebagai waktu dasar. I95,96 = indeks tahun 1995 dengan tahun 1996 sebagai waktu dasar. (1) It, 0 = Pt Po, I0, t = Po Pt It, 0 x I0, t = Pt Po x Po Pt (2) It, 0 = Pt Po, I0, t = Po Pt reversal test. It, 0 x I0, t = Pt Po = 1 indeks harga relatif memenuhi time reversal test. x Po Pt (3) It, 0 = PtQo PoQt, I0, t = PoQt PtQt It, 0 x I0, t = PtQo PoQt = 1 indeks agretatif tidak tertimbang memenuhi time x PoQt PtQt 1 indeks Laspeyers tidak memenuhi time reversal test. (4) I = L x P (indeks ideal) It, 0 = Lt, o Pt, o I0, t = Lo, t Po, t It, 0 x I0, t = Lt, o Pt, o Lo, t Po, t 322

323 = Lt, o Pt, o Lo, t Po, t = PtQo PoQo PtQt PoQt PoQt PtQt PoQo PtQo = 1 = 1 indeks ideal memenuhi time reversal test. Kesimpulan: 1. Indeks harga relatif memenuhi time reversal test 2. Indeks agregatif tidak tertimbang memenuhi time reversal test 3. Indeks Laspeyres tidak memenuhi time reversal test 4. Indeks ideal (Indeks Irving Fisher) memenuhi time reversal test Pada faktor reversal test, langkah awal pengujiannya adalah mencari nilai v = p x q dimana: v = nilai p = harga per satuan q = banyaknya barang dalam satuan Kemudian dicari nilai indeks sederhana dan nilai indeks agergatif, dengan rumus: I0, t = Vt Vo I0, t = Vt Vo PtQt x 100% = x 100% PoQo PtQt x 100% = PoQo x 100% (indeks nilai agregatif) Suatu indeks dikatakan memenuhi faktor reversal test apabila memenuhi persamaan berikut: (1) I(t,0)p = Pt Qt, I(t,o)q = Po Qo I(t,0)p x I(t,o)q = I(t.0)v I(t,0)p x I(t,o)q = Pt Po x Qt Qo = PtQt QtQo 323

324 = I(t.0)v indeks harga dan indeks kuantitas memenuhi faktor reversal test. (2) I(t,0)p = Pt Qt, I(t,o)q = Po Qo faktor reversal test. = PtQt PoQo = I(t.0)v indeks harga dan indeks kuantitas agretatif memenuhi (3) I(t,0)p x I(t,o)q = L(t, o)p P(t, o)p x L(t, o)q L(t, o)q = PtQo PoQo PtQt PoQt PoQt PtQt PoQo PtQo = I(t.0)v indeks ideal memenuhi faktor reversal test. Kesimpulan : 1. Indeks harga dan indeks kuantitas memenuhi factor reversal test. 2. Indeks harga agregatif dan indeks kuantitas agregatif memenuhi factor reversal test. 3. Indeks ideal (Indeks Irving Fisher) memenuhi factor reversal test. Misalkan mempunyai suatu deretan angka indeks (indeks dari beberapa tahun, katakanlah t tahun) dengan waktu dasar I, yaitu dengan simbol sebagai berikut. I1, i, I2, i,, It, i Selanjutnya mempunyai indkes dari tahun-tahun yang sama tetapi dengan waktu dasar j, sebagai berikut. I1, j, I2, j,, It, j Apabila diperoleh urutan indeks yang kedua, yaitu (b) dengan jalan membagi setiap indeks dalam urutan pertama, yaitu (a) dengan Ij, i, maka indeks dikatakan memenuhi pengujian sirkuler. 324

325 Rumus I I 1, i j, i I 1, j I2, i I3, i ; I2, j; I3, I I j, i j, i,... (Sebelum indeks dinyatakan dalam %). j Pendeflasian Data Berkala Data berkala, menunjukkan perkembangan mengenai kegiatan dari waktu ke waktu. Perkembangan kegiatan yang dinyatakan/dinilai dengan mata uang (bukan dengan fisik), sering menyesatkan kita, artinya perkembangan yang dinilai dalam mata uang kemungkinan besar menunjukkan kenaikan yang hebat, padahal seringkali kenyataannya tidak demikian, karena adanya pengaruh kenaikan harga(inflasi). Dengan kata lain, secara riil kemungkinan kenaikan itu, walaupun terjadi, sedikit sekali Kesimpulannya kenaikan indeks harga menurunkan daya beli. Sebaliknya, penurunan angka indeks harga menaikkan daya beli. Untuk mendapatkan data berkala yang riil, misalnya gaji/upah riil, dan pendapatan riil, angka-angka tersebut harus dibagi dengan indeks harga konsumen atau indeks biaya hidup. Pada dasarnya dapat dikatakan jika indeks harga naik a kali, daya beli turun 1 kali a (indeks naik 2 kali = 200%, daya beli turun 1 kali, dan lain sebagainya

326 SOAL LATIHAN A. Soal Pilihan Berganda 1. Yang dimaksud dengan Po adalah a. Harga pada waktu yang dihitung indeksnya b. Harga tertinggi sebagai dasar perhitungan c. Jumlah produksi pada waktu yang dihitung angka indeksnya d. Jumlah produksi pada waktu dasar e. Harga barang pada waktu dasar 2. Angka indeks adalah a. Angka perbandingan antara satu variable bilangan dan variable bilangan lain yang perubahan relatifnya dinyatakan dalam bentuk persentase (%) b. Angka yang menunjukan perkembangan harga dari waktu ke waktu yang dinyatakan dalam bentuk persentase (%) c. Perubahan angka dari waktu ke waktu yang dinyatakan dalam bentuk persentase d. Kecenderungan kenaikan/penurunan angka dari waktu ke waktu dalam bentuk persentase (%) 326

327 e. Perbandingan rangkai antara obyek yang satu terhadap obyek yang lain dinyatakan dalam bentuk persentase (%) 3. Perbandingan nilai barang-barang yang dihasilkan dari satu period ke periode lain disebut a. angka indeks b. indeks harga c. indeks nilai d. indeks kuantitas e. indeks harga konsumen 4. Jika diketahui jumlah harga tahun 2004 Rp. 9500,- dan jumlah harga tahun 2005 Rp ,-maka angka indeks agregat sederhana adalah a. 116,84 % b. 115,48 % c. 161,84 % d. 162,48 % e. 114,84 % 5. Perhatikan data berikut ini : No Komoditas Satuan Harga Q0 P0.Q0 Pn.Q Beras Gula Pasir Minyak Daging Jumlah Berdasarkan data diatas indeks harga berdasarkan Laspeyres adalah 327

328 a. 115,29 b. 115,20 c. 115,89 d. 116,10 e. 118,20 6. Yang menjadi dasar penimbangan pada indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres adalah a. nilai b. produksi tahun dasar c. produksi tahun tertentu d. kuantitas pada tahun dasar e. harga tahun dasar 7. Data harga barang kebutuhan rumah tangga tahun pada pasar Andaria Jakarta Selatan Jenis Barang Harga Jumlah terjual Harga Jumlah terjual 1. Beras 2. Gula pasir 3. tepung terigu 4. Minyak goreng Berdasarkan tabel di atas indeks harga menurut Laspeyres dapat disimpulkan a. harga barang-barang tahun 2007 mengalami kenaikan 24,78% b. harga barang-barang tahun 2008 mengalami kenaikan 115,83% dibandingkan dengan harga dari tahun

329 c. harga barang-barang tahun 2007 mengalami kenaikan 75,22% dibandingkan dengan harga dari tahun 2008 d. harga barang-barang tahun 2008 mengalami kenaikan 15,83% dibandingkan dengan harga dari tahun 2007 e. harga barang-barang tahun 2008 mengalami kenaikan 84,17% dibandingkan dengan harga dari tahun Tabel indeks harga konsumen Tahun Indeks Harga Konsumen % % % % Berdasarkan tabel diatas, tingkat inflasi tahun 2008 dengan pembulatan keatas adalah a. 3,84% c. 4,59% e. 5,25% b. 4,34% d. 5,00% 9. Dalam perhitungan angka indeks produksi agregatif tertimbang Paasche, yang dijadikan factor penimbang adalah. a. kuantitas pada tahun ke n b. harga dan kuantitas tahun dasar 329

330 c. harga pada tahun dasar d. kuantitas pada tahun dasar e. harga pada tahun ke n 10. Diketahui dari beberapa jenis beras suatu daerah tertentu tahun 2006 dan 2007 sebagai berikut : Jenis Barang Tahun Cianjur Rajalele Banda Cisadane Apabila tahun dasar tahun 2006 maka indeks harga tahun 2007 menurut metode agregatif sederhana adalah a. 101,01 b. 107,97 c. 108,86 d. 109,76 e. 109,96 B. Soal Essai 1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan angka indeks serta dua macam waktu di dalam membuat angka indeks! 2. Apa yang dimaksud indeks dengan harga relative sederhana, indeks agregatif, indeks agregatif tidak tertimbang, indeks agregatif tertimbang! 3. Sebutkan keunggulan dari angka indeks berantai! 4. Sebutkan tujuan utama pembuatan angka indeks serta syarat yang perlu diperhatikan dalam mementukan atau memilih waktu dasar? 330

331 5. Harga rata-rata beberapa hasil komoditas pertanian di Jakarta dari tahun 1990 sampai 1994, disajikan dalam table berikut: Hasil Pertanian Kacang Kedelai Kacang Hijau Kentang Jagung Kuning Tentukan indeks harga kentang pada tahun 1991 dan 1994 dengan periode/waktu dasar 1990! 6. Harga rata-rata 9 macam bahan pokok di pasar pedesaan seluruh Pulau Jawa dan Madura untuk tahun , disajikan dalam table berikut: Jenis Barang Satuan Harga Beras Kg 134,15 139,87 149,67 Ikan Asin Kg 320,41 356,57 382,38 Minyak Kelapa Botol 180,39 234,26 269,76 Gula Pasir Kg 190,79 203,54 225,75 Garam Bata 29,29 26,98 26,70 Minyak Tanah Liter 27,21 28,59 29,90 Sabun Cuci Batang 62,68 71,12 75,12 Tekstil Meter 244,25 259,10 268,65 Batik Lembar 2.023, , ,55 Jumlah 3.213, , ,48 Tentukan indeks harga agregatif tidak tertimbang untuk tahun 1977 dan tahun 1978 dengan waktu dasar tahun 1976! 7. Berikut ini table berisikan kuantitas konsumsi dan harga eceran tiga jenis barang tahun 1994 dan

332 Jenis Barang Produksi (satuan) Harga (Rp/satuan) X Y Z a. Tentukan indeks kuantitas relative barang Y tahun 1994 dengan tahun dasar 1995! b. Tentukan indeks kuantitas rata-rata relative tahun 1995 dengan tahun dasar 1994! c. Tentukan indeks rata-rata tertimbang kuantitas relative 1995 dengan rumus Laspeyres dan Paasche! 8. Berikut ini data mengenai perkembangan harga suatu komoditas tertentu selama lima tahun dari 1991 sampai 1995: Tahun Harga (Rp/kg) Buatlah indeks rantai untuk tahun 1992,1993,1994,1995 dengan waktu dasar 1991! 9. Berikut ini adalah angka indeks untuk tahun-tahun tertentu: Tahun Angka indeks Buatlah angka indeks yang baru dengan waktu dasar 1987! 10. Berikut ini data mengenai rata-rata upah mingguan dari sebuah perusahaan garmen beserta indeks biaya hidup selama lima tahun: Tahun Rata-rata mingguan Indeks biaya hidup , ,52 102, ,02 101, ,52 104,5 332

333 1995 6,80 108,1 a. Tentukan upah nyata mingguannya! b. Tentukan kenaikan uang upah dan kenaikan upah nyata dari tahun 1991 sampai 1995! Apa kesimpulannya? c. Tentukan daya beli rupiah dari tahun ke tahun, jika daya beli satu rupiah pada tahun 1991 bernilai Rp 1,00! BAB 12 PROBABILITAS Kompetensi Dasar Memahami pengertian probabilitas Mengetahui berbagai pendekatan perhitungan probabilitas Mengetahui bagaimana notasi himpunan Memahami beberapa aturan dasar probabilitas Mengetahui permutasian dan kombinasi dalam probabilitas Kompetensi Inti Memahami bagaimana probabilitas dalam suatu data 333

334 Kita sebagai manusia sering tidak bias mengetahui dengan pasti tentang terjadinya suatu kejadian/peristiwa, apalagi kalau kejadian itu mengenai sesuatu dimasa yang akan datang. Pertanyaan berikut ini adalah contoh mengenai kejadian-kejadian yang tidak dapat dijawab dengan pasti. Jika kita melempar sebuah dadu apakah kita memperoleh angka tiga? Apabila kita melempar koin gambar apakah yang keluar? Apakah dimasa depan hasil penjualan akan naik? Apakah produk padi akan menurun? Untuk Menjawab pertanyaan-pertanyaan diatas, kita akan membahas apa yang disebut dengan Probabilitas. PENGERTIAN PROBABILITAS Kata probabilitas biasanya dikenal dengan nama peluang dan kemungkinan. Secara umum probabilitas adalah peluang sesuatu akan terjadi. Secara jelas probabilitas akan didevinisikan sebagai berikut : Probabilitas adalah suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak 334

335 Dalam mempelajari probabilitas ada 3 kata kunci yang harus diketahui: Eksperimen, hasil (Outcome), dan kejadian atau peristiwa (event). Ketiga istilah tersebut sering kita dengar, tetapi dalam ilmu statistic ketiga istilah itu mempunyai arti yang spesifik. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi. PENDEKATAN PERHITUNGAN PROBABILITAS Ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu pendekatan yang bersifat objektif dan subjektif. Probabilitas objektif dibagi menjadi dua yaitu pendekatan klasik dan pendekatan frekuansi relative. Konsep Pendekatan Klasik Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam h cara yang berbeda dari total n cara yang mungkin, maka probabilitas dari kejadian tersebut adalah x/n. untuk mempermudah pemahaman diberikan gambaran sebagai berikut : Perhatikan suatu kejadian A yang dapat terjadi sebanyak cara dari seluruh n cara; misalnya ada n banyak barang, x barang rusak, (n-x) barang tidak rusak. Jika kita mengambil suatu barang yang tidak acak lallu ditanyakan berapa probabilitas bahwa baarang yang diambil tersebut rusak atau berapa P(A)? Ada x barang rusak, ada x carauntuk memperoleh barang yang dari seluruh barang sebanyak n, A= barang yang rusak, merupakan suatu kejadian atau event. (a) P(A) = x, P(A) 0, sebab x 0, n > 0 n P(A ) = n x n 335

336 = n x n = n n x n (b) P(A ) = 1 P(A) A = bukan A (Bukan Barang Rusak) A = Komplomen A n n Jika x = 0, maka P(A) = 0 0, tidak ada barang rusaak. Jjika x = n, maka P(A) = n = 1, semua barang rusak. Jadi 0 P(A) 1, A sering disebut sukses dan A sering disebut gagal. Artinya, Probabilitas terjadinya A, yaitu P(A), nilainya palin kecil 0 dan paling besar 1. Contoh 12.1: Sebuah dadu di lemparkan sekali kelantai. berapa probabilitas agar angka 6 yang akan muncul di lantai? Penyelesaian : Dari soal, n = 6, x = 1 maka dengan demikian : P(A) = x n = 1 = 0,16 = 16% 6 Jadi besarnya Probabilitas (kemungkinan) untuk munculnya angka 6 dilantai adalah 16%. Konsep Frekuensi Relatif Pendekatan yang mutakhir adalah perhitungan yang didasarkan atas limit dari frekuensi relative. Perlu disebutkan disini bahwa besaranya nilai yang diambil oleh suatu variabel juga merupakan kejadian. Artinya, probabilitas suatu kejadian merupakan limit dari frekiensi relative kejadian tersebut yang secara teoritis berlaku untuk nilai n yang besarr sekali (tidak terhingga). 336

337 Didalam prakreknya, frekuensi relative itu sendiri bisa digunakan untuk memperkirakan nilai probabilitas. Hal ini dapat ditulis dengan rumus sebagai berikut : Probabilitas terjadinya suatu kejadian = jumlah/frekuensi terjadian tersebut dimasa lalu Jumlah observasi Contoh 12.2 : Jika kita melempar sebuah koin sebanyak 2000 kali dan berapakah probabilitas kepala muncul sebanyak 689 kali? Penyelesaian : Dari soal diatas n = 2000, A= 689 P(A) = = 0,345 = 34,5% Contoh 12.3 : Dalam pengumpulan nilai-nilai statistic mahasiswa S1 diperoleh data sebagai berikut : Nilai Mahasiswa (X) Banyak Mahasiwa (F) < >75 20 Jumlah 100 Berdasarkan data yang ada maka tentukan berapa probabilitas pada : nilai 25< X < 50, nilai 50 < X < 75 dan nilai X >75 Penyelesaian : P(25 < X < 50) =

338 = 0,25 = 25% P(50 < X < 75) = P(X < 75) = = 0,45 = 45% = 0,2 = 20% Probabilitas Subjektif Probabilitas subjektif didasarkan kepada penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan. Jika tidak ada pengalaman / pengamatan masa lalu sebagai dasar untuk perhitungan probabilitas, maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subjektif. Hal ini biasanya terjadi dalam bentuk opini atau pendapat yang dinyatakan dalam suatu nilai probabilitas. NOTASI / PERISTIWA DAN NOTASI HIMPUNAN Apabila suatu ekperimen dengan mengambil bola warna sebanyak dua kali didalam kotak yang berwarna biru(b) dan merah (M) maka hasil ekperimen tersebut memiliki salah satu kemungkinan hasil berikut : BM, MB, BB, MM - Pengambilan pertama bola berwarna biru dan pengambilan kedua bola berwarna merah - Pengambilan pertama bola berwarna merah dan pengambilan kedua bola berwarna biru - Pengambilan pertama bola berwarna biru dan pengambilan kedua bola berwarna biru - Pengambilan pertama bola berwarna merah dan pengambilan kedua bola berwarna merah. Hasil yang berbeda-beda dari suatu eksperimen disebut titik sampel. Dalam contoh ini memiliki 4 titik sampel. Sedangkan himpunan dari seluruh kemungkinan hasil atau titik sample disebut ruang sampel. Jika dua dadu kita lempar maka kita memperoleh ruang sample sebagai berikut :

339 = dadu pertama 2 = dadu kedua 23 = dadu pertama keluar mata dua, dadu kedua keluar mata tiga 52 = dadu pertama keluar mata lima, dadu kedua keluar mata dua Ruang sample suatu eksperimen mempunyai dua syarat berikut : 1. Dua hasil atau lebih dapat terjadi secara bersamaan. 2. Harus terbagi habis, artinya ruang sampel harus memuat seluruh kemungkinan hasil tidak ada ynag terlewatkan. Jadi, ruang sampel merupakan himpunan hasil eksperimen. Suatu himpunan merupakan kumpulan yang lengkap atas elemen-elemen sejenis tetapi dapat dibedakan satu sama lain. Didalam statistik himpunan (set) disebut populasi dan himpunan bagian disebut sampel(sample). Dengan eksperimen-eksperimen yang berbeda-beda sehingga memiliki sifat eksperimen acak atau dikenal dengan variable acak. Biasanya variable diberi symbol X dan untuk singkanya disebut variable saja. Variable mempunyi pengertian kuantitatif, maksudnya harus dinyatakan dengan angka-angka. Karena hasil eksperimen sering merupakan data kualitatif, maka harus dilakukan penilaian kembali melalui angka-angka. Misalnya kita melempar uang logam ke atas sebanyak 3 kali maka memperoleh ruang sampel S = BBB, BBB, BB B, BB B, B BB, B BB, B B B, B B B dengan demikian ruang sample ada 8 anggota (n=8). Bila X = jumlah gambar burung (B) untuk 3 kali lemparan tersebut maka untuk : BBB X = 3 BB B X = 1 B B B X = 1 BBB X = 2 BB B X = 2 B B B X = 0 B BB X = 2 B BB X = 1 339

340 Jadi, X= [0,1,2,3]. Hasil eksperimen dapat menghasilkan nilai X= 0, yaitu (B B B ), atau X= 3, yaitu (BBB), atau X=2, yaitu (BBB, BB B, B BB) Jika disajikan dalam bentuk table frekuensi dan distribusi probabilitas, maka hasilnya kita lihat pada table dibawah berikut : Tabel frekuensi dan distribusi probabilitas dari eksperimen tiga kali pelemparan mata uang. X f fr fr = P(X) ,125 0,375 0,375 0,125 Jumlah 1,000 Apabila cari probabilitas untuk setiap nilai variable maka seluruh probabilitas tersebut bersama-sama dengan nilai variable masing-masing dinamakan distribusi probabilitas. Notasi Himpunan Apabila S merupakan himpunan, maka objek yang terkandung didalamnya dinamakan anggota atau elemen. Misalnya S=n{x1, x2, x3, x4, x5}, maka x1, x2, x3, x4, dan x5 masing-masing merupakan anggota atau elemen dari S. Anggota S dapat berupa variable diskrit (tidak mengambil seluruh nilai dalam interval) dan kontinu (mengambil seluruh nilai dalam interval). 340

341 Diskrit: S = {x: x = 0, 1, 2, 3} (nilainya berupa kumpulan beberapa titik) Kontinu: S = {x: 0 x 1} 0 1 (nilainya berupa garis seluruh titik) Simbol (:) yang memisakan variable dengan nilai dalam himpunan dibaca sedemikian rupa sehingga (s.r.s). jadi, S = {x 0 x 1} merupakan himpunan yang diwakili oleh x, sedemikian rupa sehingga x dapat mengambil nilai mulaidari 0 sampai dengan 1. Sering terjadi bahwa X = {x: x A dan x B}. Artinya, sebagai anggota X, x juga anggota (A) dan anggota(b). Misalnya X adalah himpunan mahasiswa FE-UI yang pernah ikut menwa. Jika A adalah mahasiswa FE-UI, B adalah mahasiswa UI yang pernah ikut menwa, maka : X = {x: x A dan x B} Himpunan dari seluruh kejadian disebut himpunan himpunan semesta (universal set). Himpunan bagian terkecil dari suatu himpunan disebut himpunan kosong (null set) dengan symbol Himpunan maupun himpunan bagian dapat merupakan kejadian (event), maka selanjutnya kita membicarakan istilah-istilah mengenai kejadian, antara lain : kejadian komplimenter, interaksi (perpotongan), dan union (gabungan). Komplomen Suatu Kejadian Misalnya bahwa S adalah ruang sampel (himpunan dari hasil eksperimen), A adalah bagian dari S, dan A adalah komplomen dari A atau semua anggota S yang bukan anggota A. Hubungan tersebut dapat digambarkan seperti terlihat pada peraga berikut. Diagram Venn Hubungan A dengan Komplemen A (A ) A 341

342 A S A = daerah Yang berwarna biru Misalnya dari suatu kotak yang berisi 100 bola yang berwana biru dan kuning ternyata ada 10 bola yang berwarna kuning maka : S = seluruh bola (100) A = bola berwarna biru (10) A = bola bukan berwarna biru (100-10=90 P(A ) = 1 P(A) Interseksi Dua Kejadian Misalnya A dan B yang sering ditulisa B (dibaca A interseksi atau irisan B) atau AB, terdiri dari elemen-elemen anggota S yang selain mempunyai sifat A juga B, artinya selain anggota A juga anggota B maka : A B = {x x A dan x B} Diagram venn A B (Himpunan A interseksi himpunan B) B A A B Contoh

343 Diketahui himpunan A adalah angka prima dari 1 sampai 20 dan himpunan B adalah angka ganjil dari 1 sampai 1 Penyelesaian : A= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} B = {3,5,7,9} Maka A B = {3,5,7} Contoh 12.5 Himpunan A adalah jumlah uang yang dapat digunakan bagi seorang ibu rumah tangga untuk pengeluaran selama sebulan dan himpunan B adalah pengeluaran ibu rumah tangga tersebut selama sebulan. Penyelesain : A = {x 0 x R p B = { x x R p A B = {x x = R p Union Dua Kejadian Himpuna gabungan dari seluruh elemen dari himpunan A dan Himpunan B. misalnya A = { x: 2 x 5}, dan B = {x: 6 x 12} Maka A B = {x 2 x 12}. Gambar diagram venn A B (A union B) B A 343

344 A B BEBERAPA ATURAN DASAR PROBABILITAS Beberapa kombinasi dari kejadian dalam sebuah eksperimen dapat dihitung probabilitasnya berdasarkan atas dua aturan, yaitu aturan penjumlahan dan aturan perkalian. Aturan Penjumlahan Dalam menerapkan aturan penjumlahan ini, kita harus dilihat jenis kejadiannya apakah bersifat saling meniadakan (mutually exclusive) atau tidak saling meniadakan. Kejadian Saling Meniadakan Untuk kejadian yang saling meniadakan ini aturan penjumlahan yang diterapkan disebut dengan aturan penjumlahan khusus. Kejadian saling meniadakan (mutually exclusive event) adalah kejadian dimana jika sebuah kejadian terjadi, maka kejadian yang kedua adalah kejadian yang saling meniadakan. Jika A terjadi, maka kejadian B tidak akan terjadi. Sebagai contohnya yaitu, dalam pelemparan sebuah dadu, munculnya mata dadu 2 dan 3 tidak bisa terjadi secara bersamaan, sehingga munculnya mata 2 akan meniadakan munculnya mata dadu yang lain. Jika dua kejadian A dan B saling meniadakan (saling lepas), aturan penjumlahan menyatakan bahwa probabilitas terjadinya A dan B sama dengan penjumlahan dari masingmasing nilai probabilitasnya dan dinyatakan dengan rumus sebagai berikut : P(A atau B) = P(A B) = P(A) + P(B) Untuk tiga kejadian saling meniadakan yang ditanyakan dengan A, B, dan C ditulis: P(A atau B atau C) = P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) CONTOH 12.7 Sebuah mesin otomatis pengisi kantong plastik dengan campuran beberapa jenis sayuran menunjuk bahwa sebagian besar kantong plastik berisi sayuran tersebut memuat benar yang 344

345 benar. Meskipun demikian, karena ada sedikit variasi dalam ukuran sayuran yang ada, sebuah paket kantong pelastik mungkin sedikit lebih berat atau lebih ringan dari berat standar. Pengecekan terhadap 6000 paket menunjukkan hasil sebagai berikut : TABEL 12.8 Hasil Pengecekan Probabilitas Kejadian A, B, dan C untuk 6000 Paket Berat Kejadian Jumlah Paket Probabilitas Lebih ringan A = 0,17 Standar B = 0,75 Lebih berat C = 0,08 Jumah ,00 Hitung berapa probablitas bahwa paket tertentu beratnya akan lebih ringan atau lebih berat dari berat standar! Penyelesaian: Hasil (outcome) lebih ringan adalah kejadian A, dan hasil lebih berat adalah kejadian C. Dengan menerapkan aturan penjumlahan, maka diperoleh: P(A atau C) = P(A) + P(C) = 0,17 + 0,08 = 0,25 Catatan : Kejadian diatas merupakan kejadian yang saling meniadakan (saling lepas). Artinya, sebiah paket tidak dapat memenuhi berat lebih ringan, standar, dan lebih berat secara bersamaan. Jadi, hanya salah satu dari ketiga criteria tersebut. Kejadian Tidak Saling Meniadakan Dalam sebuah hasil eksperimen adakalanya tidak bersifat saling meniadakan. Sebagai contoh, misalkan Departemen Pariwisata meilih sebuah sampel dari 400 wisatawan yang mengunjungi Jakarta. Dari hasil survei tersebut diperoleh bahwa 220 orang telah mengunjungi Taman Mini Indonesia Indah, dan 210 orang telah mengunjungi Taman Impian Jaya Ancol. Berapa probabilitas bahwa seorang wisatawan yang terpilih telah mengunjungi Taman Mini Indonesia Indah atau Taman Impian Jaya Ancol? Jika aturan penjumlahan khusus pada kejadian saling 345

346 meniadakan diterapkan, maka probabilitas seorang wisatawan telah pergi ke TMII adalah 0,55 (diperoleh dari 220 ) dan probalitas seorang wisatawan telah berkunjung ke Ancol adalah 0, Jumlah kedua probabilitas dua kejadian ini akan lebih dari 1. Hal ini terjadi karena ada beberapa wisatawan yang mengunjungi kedua tempat wisata tersebut, sehingga mereka dihitung dua kali. Ternyata setelah diteliti dari respons survei terdapat 80 orang yang mengunjungi kedua tempat wisata tersebut. Untuk mengetahui berapa probabilitas bahwa seorang wisatawan terpiih mengunjungi TMII atau Ancol adalah dengan menjumlahkan kedua nilai probabilitas diatas (masing-masing 0,55 dan 0,53) dikurangi dengan probabilitas mengunjungi kedua tempat wisata. Jadi : P(Taman Mini atau Ancol) = P(Taman Mini) + P(Ancol) P (Taman Mini dan Ancol) = = 0,8 Jika dua kejadian saling berinteraksi (berisirisan), probabilitasnya disebut sebagai probabilitas bersama (joint probability). Secara ringkas, aturan umum penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan pada dua kejadian A dan B dapat ditulis: P(A atau B) =P(A) + P(B) P(A dan B) atau P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (12.9) ATURAN PERKALIAN Aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian dalam) hal ini, yaitu kejadian tak bebas (dependent event) dan kejadian bebas (independent event). Kejadian Tak Bebas ( Bersyarat) 346

347 Probabilitas terjadinya A dengan syarat B sudah terjadi atau akan terjadi disebut probabilitas bersyarat (conditional probability), atau biasa ditulis P(A/B). Misalkan jumlah seluruh mahasiswa suatu Universitas ( M atau I) sama dengan orang. Himpunan A mewakili 2000 mahasiswa lama (a). Himpunan B mewakili 4000 mahasiswa putri (b). Sedangkan 900 dari 4000 mahasiswa putri merupakan mahasiswa lama (c). A dan B masingmasing merupakan himpunan bagian dari S. Kita memilih satu orang mahasiswa secara acak/random, maka kejadian bersyarat (A/B) adalah kejadian yang mewakili mahasiswa lama dengan syarat bahwa mereka putri. P(A/B) = probabilitas bersyarat untuk menjawab pertanyaan: diketahui mahasiswa yang terpilih putri, berapa probabilitasnya bahwa mahasiswa tersebut mahasiswa lama? P(A/B) = c b = = 0,23 (merupakan proporsi mahasiswa lama putri dengan seluruh mahasiswa putri) Untuk memperoleh persentase, nilai proporsi kalikan 100%, yaitu 23% Kejadian bersyarat (A/B) berarti kejadian yang mewakili mahasiswa putri dengan syarat bahwa mereka mahasiswa lama. P(B/A) = probabilitas bersyarat untuk menjawab pertanyaan: diketahui mahasiswa yang terpilih mahasiswa lama, berapa probabilitasnya bahwa mahasiswa tersebut putri, atau P(A/B) = probabilitas terjadinya B dengan syarat A terjadi = probabilitas bahwa yang terpilih mahasiswa putri dengan syarat bahwa mahasiswa tersebut mahasiswa lama. P(B/A ) = P (mahasiswa putri/lama) c = 900 a 2000 = 0,45 Contoh : 347

348 Sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak dua kali, dan X adalah jumlah mata dadu dari hasil lemparan tersebut. Apabila lemparan pertama yang keluar mata 2, dan lemparan kedua keluar mata 4, maka X = = 6. Juga, apabila pada lemparan pertama yang keluar adalah mata 3 dan yang kedua 5, X = 8, dan seterusnya. Jika, A = {x : x < 5 } B = {x : x suatu bilangan ganjil}, hitunglah P(A/B). Penyelesaian: Hasil Eksperimen Dadu II I (14) 15 (16) (23) 24 (25) (32) 33 (34) 35 (36) 4 (41) 42 (43) 44 (45) (52) 53 (54) 55 (56) 6 (61) 62 (63) 64 (65) 66 S = 36 titik sampel = 36 hasil eksperimen (N = 36) A = ( 11 = 2, 12 = 3, 13 = 4, 21 = 3,22 = 4 semuanya memberikan nilai X kurang dari 5, a =6). B = (21, 41, 61, 12, 32, 52, 23, 43, 63, 14, 35, 54, 25, 45, 65, 16, 36, 56, semuanya memberikan X ganjil X= 3,5,7,9,... dan seterusnya) (b = 18) A B = 2(12 dan 21, semuanya memeberikan nilai X kurang dari lima dan ganjil) (c =2) P(A/B) = P(A B) P(B) = c/n b/n = c b = 12 8 = 0,11 348

349 P(B/A) = P(A B P(A) = c/n a/n = c a = 2 6 = 0,33 Probabilitas Kejadian Interseksi Untuk menghitung probabilitas bersyarat, seolah-olah kita sudah mengetahui P(A B), P(A), dan P(B). Berdasarkan apa yan kita ketahui tersebut, kita akan menghitung P(A/B) atau P(B/A). Dalam prakteknya, sukar sekali untuk menghitung P(A B), untuk menghitung P(A B), rumus yang digunakan disebut Aturan Umum dari Perkalian Probabilitas, sebagai berikut : P(A B) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B) Maksud dari rumus tersebut bahwa P(A B) = probabilitas bahwa A dan B terjadi simultan, sebetulya merupakan hasil kali dari probabilitas dua kejadian. secara P(A B) = P(A) P(B/A) P(A) = probabilitas bahwa A terjadi, P(B/A) = probabilitas B terjadi dengan syarat A terjadi, P(A B) = P(B)P(A/B) P(B) = probabilitas B terjadi P(A/B) = probabilitas bahwa A terjadi dengan syarat B terjadi. Contoh : 349

350 Kita mengambil secara acak 2 kartu berturut-turut dari suatu set (kumpulan) kartu bridge. Berapa probabilitasnya bahwapengambilan kartu pertama berupa kartu As, yang kedua juga As? (Hasil pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi (without replacement) dan hasil pengambilan kedua dipengaruhi oleh hasil pengambilan pertama). Penyelesaian: Diketahui: S = 52 kartu (N), A = pengambilan pertama As (a = 4), P(A) = 4 52 B/A = pengambilan kedua juga As dengan syarat bahwa pengambilan pertama As (b = 3, N = 51). Sewaktu pengambilan kedua dilakukan,kartu As yang tinggal hanya 3 sedangkan sisa kartu kartu tinggal 51. P(B/A) = 3 51 P(A B) = P(A)P(B/A) = = 0,0045 Jika kejadiannya A, B, dan C (3 kejadian), maka: P(A B C) = P(A)P(B/A) P(C/ A B) Pembuktiannya: misalnya A B = C0, maka: P(A B C) = P(C0 C) = P(C0)P(C/C0) P(C0) = P(A B) (C/C0) = P(C/ A B) Jadi, P(A B C) = P(A)P(B/A) P(C/ A B) Kejadian Bebas (Independent Event) 350

351 Dua kejadian atau lebih merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, apabila kejadian A tidak mempengaruhi B atau sebaliknya. Kejadian-kejadian bersyarat (conditional event), karena saling mempengaruhi dikatakan kejadian-kejadian yang tidak bebas. Menurut definisinya, jika A dan B merupakan kejadian bebas, maka P(A/B) = P(A) dan P(B/A) = P(B) P(A B) P(A)P(B) = P(B)P(A) (A dan B merupakan kejadian bebas) Kenyataannya, kejadian-kejadian bebas jarang terjadi karena, pada dasarnya antara kejadian yang satu dengan yang lain saling mempengaruhi baik secara langsung maupun tidak. Contoh: Kita mengambil 2 lembar kartu berturut-turut secara acak dari satu set kartu bridge. Sebelum pengambilan kedua, hasil pengmabilan pertama dikembalikan lagi sehingga hasil pengambilan kedua. Kalau A1 = kartu As wajik (diamond) dan A2 kartu As hati. Berapa P(A1 A2)? Penyelesaian: P(A1) = P(A2) = maka 52 P(A1 A2) = P(A1) P(A2) = = 0,0059 Probabilitas Marjinal Didalam prakteknya, sering kali kita menjumpai suatu kejadian yang terjadi bersamaan dengan kejadian lainnya, dimana kejadian lainnya tersebut mempengaruhi terjadinya kejadian yang pertama. 351

352 Contoh: Suatu Universitas mempunyai mahasiswa sebanyak orang yang tediri dari 5 Fakultas, yaitu FE = 500 orang, FMIPA = 450 orang, FT = 400 orang, FH = 350 orang, dan FBS = 300 orang. Dari mahasiswa tersebut ada yang menjadi anggota Menwa (Resimen Mahasiswa). Dari FE = 200 orang, FMIPA = 150 orang, FT = 100 orang, FH = 80 orang, dan FBS = 50 orang. Jika suatu saat kita bertemu dengan salah seorang mahasiswa (anggap saja sebagai kejadian yang acak), berapa probabilitas bahwa mahasiswa tersebut seorang anggota M enwa? Penyelesaian: M = ME MMIPA MT MH MBS = Menwa dari FE atau FMIPA atau FT atau FH atau FBS. P(ME) = P(E)P(M/E) = P(MIPA) = P(MIPA)P(M/MIPA) = P(MT) = P(T)P(M/T) = P(MH) = P(H)P(M/H) 80 = 2000 P(MBS) = P(BS)P(M/BS) = Maka: (M) = P(ME) + P(MIPA) + P(MT) + P(MH) + P(MBS) = P(E)P(M/E) + P(MIPA)P(M/MIPA) + P(T)P(M/T) + P(H)P(M/H) + P(BS)P(M/BS) = = 0,29 Atau: P(M) = M S = ME+MMIPA+MT+MH+MBS S = 0,29 352

353 Permutasi dan Kombinasi Didala, suatu eksperimen mungkin dua kejadian atau lebih dapat terjadi dimana kejaidan itu dapat merupakan kombinasi terjadinya kejadian-kejadian elementer. Untuk menghitung probabilitas seperti itu, sering diperluka informasi mengenai banyaknya kejadian-kejadian elementer yang membentuk kejadian tersebut. Hal ini sering terjadi kalau eksperimen dilakukan berkali-kali. Suatu eksperimen dilakukan dalam beberapa langkah (steps), dimana disetiap langkah menghasilkan berbagai kemungkinan (outcome) yang berbeda, diperlukan suatu cara atau aturan untuk menghitung seluruh hasil. Apabila langkah pertama ddari suatu eksperimen dapat menghasilkan k hasil yang berbeda sedangkan langkah kedua mengahasilkan m hasil yang berbeda, maka keselurahan eksperimen yang terdiri dari 2 langkah tersebut akan menghasilkan k.m hasil. Misalkan seorang direktur pemasaran iklan mempunyai 4 alternatif didalam memasang iklan (Koran, majalah, TVRI, RRI) dan 2 kemungkinan rancangan pembungkus yaitu memakai plastic dan karton, banyaknya kombinasi iklan dan rencana pembungkus =k.m =4 x 2= 8. Kalau dinyatakan dalam diagram pohon gambarnya sebagai berikut : Diagram Pohon Probabilitas Alternatif Koran K 1 Majalah K 2 TVRI K 3 RRI K 4 m 1 Plastik m 1 Karton m 1 Plastik m 1 Karton m 1 Plastik m 1 Karton m 1 Plastik m 1 Karton K = hasil pada langkah pertama M =hasil pada langkah kedua 353

354 Permutasi Adalah suatu pengaturan atau urutan beberapa elemen atau objek (misalnya hasil suatu eksperimen), dimana urutan itu penting, maksudnya 123 tidak sama dengan 231. Permutasi sangat berguna untuk perhitungan probabilitas, khususnya yang berhubungan dengan ranking dari suatu himpunan elemen atau objek, misalnya untuk mengetahui ada beberapa cara 3 orang calon gebernur DKI jaya dirank atau dinilai oleh penduduk DKI jaya yang diberikesempatan untuk itu. Dalam hal ini akan memperoleh 6 permutasi atau rank yang berbeda. Rang atau penilaian dimulai dengan dengan angka 1 sampai 3, permutasi dimulai dengan terbaik dengan dukungan penuh, sampai pada calon yang dinilai kurang. Perhatikan tabel berikut : Tabel permutasi dari 3 Ranking Rank Permutasi A A B B C C 2 B C A C A B 3 C B C A B A Perhatikan bahwa ada 3 cara untuk mengisi rank yang pertama, maksudnya adalah alternatif untuk siapa-siapa yang memperoleh rak pertama tersebut. Misalnya telah ditentukan bahwa A mendapatkan rank 1, B mendapat rank 2, dan C mendapat rank 3. Jadi banyaknya permutasi merupakan hasil kali dari 3 x 2 x 1 = 6. Kalau ada 4 calon, banyaknya permutasi adalah 4x3x2x1= 24. Terakhir, jika ada m elemen (objek), ada m cara untuk mengisi posisi pertama, ada(m=1) cara untuk mengisi posisi kedua dan seterusya. Banyak permutasi = m(m 1)(m-2) (1) Dimana m = banyaknya elemen m! = m factorial, m 0 3! = = 6 4! = = 24 5! = =

355 Menurut definisi 0!=1!=1 Permutasi m objek diambil m setiap kali mp m = m! Permutai m objek diambil x setiap kali mp m = m! (m x)! Contoh : Banyak pengaturan atau permutasi yang berbeda dimana masing-masing darii 3 huruf yang dapat dibentuk dari huruf A, B, C, D, E, F, G adalah Penyelesaian Diketahui dari soal m =7 dan x = 3 maka : 10P 3 = 10! = 10! (10 5)! 5! = ! 5! = = Jadi, ada cara ranking Kombinasi Kombinasi adalah susunan dari beberapa elemen yang dimana urutan tidak diperhatikan, hal ini sangat berbeda pada permutasi. Banyaknya kombinasi dari m objek diambil dari x setiap kali, diberi symbol mcx yaitu jumlah maksimum himpunan yang berbeda-beda dan terdiri dari x elemen yang berasal dari elemen. Karena kombinasi urutan elemen tidak penting, mak dari itu banyaknya lebih sedikit dari pada permutasi. mc x = m x p = m! x!(m x)! Kombinasi m objek diambil x setiap kali. Contoh : Dalam berapa carakah sebuah panitia dengan 5 orang dapat dipilih dari 9 orang? 355

356 Penyelesaian : 9C 5 = 9! = 9! = = 126 5!(9 5)! 5!4! 5! SOAL LATIHAN Soal Pilihan Berganda 1. Probabilitas yang mengukur kemungkinan bahwa dua atau lebih kejadian akan terjadi bersama disebut probabilitas a. Probabilitas bersyarat b. Probabilitas bersama c. Probabilitas kombinasi d. Probabilitas peluang 2. Diketahui siswa A,B,C,D dan E akan duduk melingkar.banyaknya permutasi siklis, Jika A dan B selalu berdekatan. a. 6 b. 12 c. 18 d Aturan penjumlahan yang diterapkan untuk kejadian yang saling meniadakan disebut dengan aturan a. Penjumlahan khusus b. Penjumlahan umum c. Penjumlahan saling meniadakan d. Perkalian 4. Sembilan belas buku diletakkan dalam rak, terdiri dari empat jenis buku yakni 3 buku kalkulus, 7 buku alpro, 5 buku peluang, dan 4 buku statistik berapa probabilitas bukubuku yang sejenis diletakkan bersama-sama? a. 1/ b. 1/ c. 1/ d. 1/ Sebuah dadu dilemparkan maka peluang munculnya mata dadu bermata dua dan bermata 6 adalah : 356

357 a. 1 3 b. 3 6 c. 4 6 d Dalam pengumpulan nilai ujian mahasiswa S1 diperoleh nilai sebagai beriku : x f Jika diambil 1 mahasiswa secara acak berapakah kemungkinan terambil mahasiswa yang bernilai < 60? a. 0,2 b. 0,48 c. 0,28 d. 0,36 7. Ada sebanyak 20 orang pekerja di sebuah devisi pabrik kertas, dan 9 diantaranya merokok, diantara pekerja tersebut sebanyak 11 orang adalah pekerja wanita dan diantara pekerja wanita sebanyak 3 orang adalah perokok, berapa probabilitasnya jika diambil secara acak seorang wanita dan merokok? a b c d Banyak permutasi yang terdiri dari empat huruf yang di ambil dari huruf-huruf M,A,M Dan A adalah a. 2 b. 4 c. 6 d Didalam sebuah kotak terdapat lima kelereng yang berwarna merah, dua kelereng putih dan tiga kelereng biru bila disusun tampa membedakan warnanya berapa banyak susunan yang mungkin terjadi? a c b d

358 10. Terdapat 3 mata uang logam yang dilemparkan bersamaan. Tentukan besar frekuensi harapan peluang munculnya sisi gambar lebih dari satu pada 80 percobaan pelemparan? a. 40 b. 50 c. 35 d. 90 Soal Essay 1. Sebutkan perbedaan antara onsep pendekatan klasik dengan konsep frekuensi relatif 2. Sebuah keluarga terdiri atas 7 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda? 3. Sebanyak 100 orang turis manca negara ingin mengunjungi sebuah pulau dengan menggunakan jalur udara. Jika hanya tersedia sebuah pesawat dengan kapasitas 10 penumpang yang menuju pulau tersebut, ada berapa formasi penerbangan para turis tersebut? 4. Didalam acara sebuha pesta hadir 80 orang dan masing-masing saling berjabat tangan. Berapa jumlah jabat tangan yang terjadi? 5. Kelompok tani Suka Maju terdiri dari 6 orang yang berasal dari dusun A dan 8 orang berasal dari dusun B. Jika dipilih 2 orang dari dusun A dan 3 orang dari dusun B untuk mengikuti penelitian tingkat kabupaten, maka banyaknya susunan kelompok yang mungkin terjadi adalah 6. Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang tamat SMU di suatu kota tertentu dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status bekerja pada tabel: Gender Bekerja Menanggur Jumlah Laki laki Perempuan Total

359 Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang tamat SMU di suatu kota tertentu dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status bekerja pada tabel: Gender Bekerja Menanggur Jumlah Laki laki Perempuan Total Ada 36 orang dengan status bekerja dan 12 orang menganggur merupakan anggota koperasi. - Berapa probabilitas orang yang terpilih ternyata anggota koperasi? - Berapa probabilitas anggota yang bekerja? - Berapa probabilitas anggota koperasi yang menanggur? 7. Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita? 8. Apa yang dimaksud dengan PERMUTASI? 9. Jelaskan mengenai kejadian saling meniadakan dan kejadian yang tidak saling meniadakan, dan berikan contohnya! 10. Pada sebuah acara silaturahmi dihadiri oleh 60 orang, terdapat berapa jumlah jabat tangan yang terjadi? C. Soal Studi Kasus 1. Jika harga satu kilogram daging kambing adalah Rp ,- pada tahun 1998, kemudian harga tersebut menjadi Rp ,- pada tahun 2004, maka secara awam akan dikatakan perbandingan harga tahun 2004 dengan tahun 1998 adalah? 2. Harga dari 3 jenis daging unggas dan banyaknya konsumsi daging unggas tiap rumah tangga per tahun adalah sebagai berikut : 359

360 Harga ( Rp. / Kg ) Jenis ikan Satuan Konsumsi Th Ayam Kg Itik Kg Bebek Kg a. Hitung angka indeks harga agregatif tertimbang dengan rumus Paasche untuk tahun 2010 dengan tahun dasar b. Jelaskan pengertian dari angka indeks tahun 2010 dibandingkan dengan angka indeks tahun 2009 pada soal butir ( a ) di atas. 360

361 DAFTAR PUSTAKA Gunawan Ellen sitompul, dkk, 1996, Teknik Statistika Untuk Bisnis dan Ekonomi Jilid 1, Jakarta, Erlangga Soejipto Widyono, dkk, 1996, Teknik Statistika Untuk Bisnis dan Ekonomi Jilid 2, Jakarta, Erlangga Rojak Abdul, 2012, Pengantar Statistik, Malang, Intimedia Supardi, 2010, Pengantar Statistik Pendidik, Jakarta, Gaung Persada Press Suprianto J, 2008, Statistik Teori dan Aplikas Jilid 1, Jakarta, Erlangga 361