ASPEK STABILITAS DAN KONSISTENSI METODA DALAM PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DENGAN MENGGUNAKAN METODA PREDIKTOR- KOREKTOR ORDE 4

Transkripsi

1 ASPEK STABILITAS DAN KONSISTENSI METODA DALAM PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DENGAN MENGGUNAKAN METODA PREDIKTOR- KOREKTOR ORDE 4 Asep Juarna, SSi, MKom. Fakultas Ilmu Komputer, Universitas Gunadarma Jl. Margonda Raya 100, Depok ajuarna@staff.gunadarma.ac.id Abstrak Metoda numerik adalah moda penyelesaian persamaan matematika yang penting dalam era komputasi. Walaupun begitu, tidak semua masalah matematika dapat diselesaikan secara numerik, dan tidak semua metoda numerik cocok untuk suatu masalah matematika. Persamaan matematika yang dapat diselesaikan dengan baik adalah persamaan yang bersifat well posed, sedangkan metoda numerik yang baik untuk digunakan adalah metoda numerik yang bersifat konsisten, konvergen, dan stabil. Tulisan ini memaparkan hasil penelitian terhadap metoda numerik prediktor-korektor orde 4 (PC-4) dimana metoda Adam-Bashfort orde 4 (AB-4) digunakan sebagai prediktor dan metoda Adam-Moulton orde 4 (AM-4) digunakan sebagai korektor. PC-4 diimplementasikan dalam p(ec) m dan fixed step size. Metoda PC-4 adalah linear multistep method (LMM) yang membutuhkan empat nilai awal. Tiga kekurangan nilai awal dipasok dengan menjalankan metoda runge-kutta eksplisit orde-4. Dalam tulisan ini metoda PC-4 serta digunakkan untuk menyelesaikan dua jenis masalah nilai awal persamaan diferensial biasa orde satu non linier : well posed dan singulir. Hasil penelitian menunjukkan bahwa metoda PC-4 bersifat konsisten dan zero stable dengan wilayah stabilitas (-0.3-0) untuk komponen AB-4 dan (-3.0-0) untuk komponen AM-4. Stabilitas, konsistensi, dan konvergensi metoda PC-4 terbukti dalam penyelesaian masalah yang bersifat well posed dengan orde galat pada kisaran Pada masalah yang mempunyai titik singulir dan komputasi dilakukan mendekati titik singulir menghasilkan galat dengan orde pada kisaran Kedua percobaan menggunakan step size h = Ketika komputasi dilakukan mendekati titik singulir orde galat bergerak pada kisaran walaupun step size h diperkecil menjadi Kata kunci : PC-4, fixed step size, stabil, konsisten, well posed, singulir. 1. Pendahuluan Penyelesaian numerik adalah sebuah alternatif bahkan kadang-kadang menjadi pilihan tunggal dalam penyelesaian sebuah persamaan matematika. Ia menjadi sebuah alternatif ketika persamaan tersebut mempunyai jawab analitis tetapi terlalu sulit dalam proses penyelesaiannya. Ia menjadi pilihan tunggal ketika memang persamaan tersebut tidak mempunyai jawab analitis. Jika kita memang bermaksud untuk mengeksplorasi lebih jauh sifat-sifat persamaan matematika dan jawabnya, misalnya visualisasi sifat-sifat persamaan dengan menggunakan program komputer, sangat mungkin penyelesaian numerik menjadi satu-satunya pilihan. Dalam penyelesaian numerik paling tidak perlu diperhatikan dua hal berikut : sifat persamaan matematika yang akan diselesaikan dan sifat metoda yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah tadi. Sifat utama yang harus dipenuhi oleh persamaan adalah well posed, artinya jika persamaan tersebut dikenai sedikit gangguan maka pengaruh gangguan terhadap jawabnya cukup kecil. Metoda yang baik harus memenuhi tiga sifat utama berikut : stabil, konvergen, dan konsisten. Persamaan yang mempunyai sifat singulir jelas tidak termasuk dalam katagori persamaan yang bersifat well posed, di lain pihak metoda yang galatnya membesar dari satu langkah ke langkah berikutnya bukanlah metoda yang baik. A-12

2 Aspek Stabilitas Dan Konsistensi Metoda Dalam Penyelesaian Numerik Persamaan Diferensial Biasa Dengan Menggunakan Metoda Prediktor-Korektor Orde 4 A-13 Dalam tulisan ini persamaan matematika yang akan diselesaikan adalah persamaan diferensial biasa (PDB) non linier orde 1 dengan sebuah nilai awal yang diketahui. Persoalan seperti ini dikenal sebagai masalah nilai awal (initial value problem) atau disingkat MNA. Salah satu sifat PDB yang tidak well posed dan mudah dilihat adalah sifat singulir, karena itu dalam tulisan ini akan diperlihatkan hasil-hasil penelitian tentang sifat-sifat jawab numerik dari PDB yang mempunyai dan tidak mempunyai titik singulir. Terhadap PDB yang mempunyai titik singulir akan dilakukan dua pendekatan komputasi yang berbeda yaitu mendekati dan menjauhi titik singulir. Metoda numerik yang digunakan dalam penelitian ini adalah metoda prediktor-korektor orde 4 (PC-4) dimana metoda Adam-Bashfort orde 4 (AB-4) digunakan sebagai prediktor dan metoda Adam-Moulton orde 4 (AM-4) digunakan sebagai korektor. PC-4 diimplementasikan dalam p(ec) m dan fixed step size. Metoda PC-4 adalah linear multistep method (LMM) yang membutuhkan empat nilai awal. Tiga kekurangan nilai awal dipasok dengan menjalankan metoda runge-kutta eksplisit orde-4. Dari tiga sifat penting metoda numerik seperti yang disebutkan di atas, dilakukan penelitian terhadap dua sifat diantaranya, yaitu stabilitas dan konsistensi metoda. Tujuan penulisan ini adalah meneliti sifat-sifat jawab numerik ketiga PDB seperti yang disebutkan di atas serta sifat-sifat metoda numerik. Sifat-sifat yang diteliti adalah : (1) sifat stabilitas metoda, termasuk wilayah stabilitasnya, (2) sifat konsistensi metoda, (3) perkembangan galat jawab numerik dari PDE yang bersifat well posed, dan (4) perkembangan galat jawab numerik dari PDE yang mempunyai titik singulir. 2. Telaah Pustaka 2.1. Masalah Nilai Awal Persamaan Diferensial Biasa dan Metoda PC-4 Masalah nilai awal PDB (MNA-PDB) orde 1 dapat dituliskan sebagai berikut : y = f(x,y), y(x 0 ) = y 0, x [x 0,x f ] (1) Salah satu metoda numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal di atas adalah metoda PC-4, khususnya dengan implementasi p(ec) m. Huruf e pada formula tersebut adalah langkah evaluasi f(x,y p ), dimana y p adalah nilai yang diperoleh pada tahap prediksi, sedangkan huruf m menunjukkan jumlah iterasi sehingga kondisi kendali komputasi dipenuhi. Metoda prediktor korektor orde p adalah linear multistep method atau linear p-step method, yaitu metoda yang membutuhkan p buah nilai y i berurutan sebagai acuan untuk memperoleh sebuah nilai y j. Jelaslah bahwa metoda PC-4 membutuhkan 4 buah nilai acuan sebelum dapat digunakan untuk menghitung nilai ke-5, ke-6, dan seterusnya. Karena sebuah MNA- PDB hanya menyediakan sebuah nilai awal maka tiga buah nilai lainnya harus dihitung dengan sebuah metoda nilai tunggal (linear singlestep method). Metoda Runge-Kutta eksplisit orde 4 (RK- 4) seringkali dipilih untuk menyediakan tiga nilai acuan selain y 0 untuk pertama kalinya. Pada iterasi berikutnya keempat nilai terakhir diambil sebagai nilai acuan Sifat Well Posed PDB Seperti telah disinggung sebelumnya bahwa persamaan matematika, dalam hal ini PDB, yang akan diselesaikan secara numerik harus bersifat well posed sedangkan dua dari tiga sifat metoda yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah MNA-PDB harus bersifat stabil dan konsisten. Sifat well posed PDB berkaitan dengan kehadiran gangguan δ terhadap persamaan (1) sedemikian rupa sehingga persamaan (1) menjadi : z' = f(z,x) + δ(x), z(0) = y 0 + ε 0 (2) Sebuah PDB y = f(x,y) dikatakan bersifat well posed terhadap nilai awal y 0 jika terdapat tetapan positif k dan μ sedemikian rupa sehingga untuk sembarang ε μ persamaan terganggu (2) memenuhi [1]:

3 A-14 Proceedings, Komputer dan Sistem Intelijen (KOMMIT 2002) Auditorium Universitas Gunadarma, Jakarta, Agustus 2002 z(x) y(x) kε, jika ε 0 < ε, δ(x) < ε, untuk setiap x [x 0,x f ] (3) Persamaan (3) ini menjamin terbatasnya perubahan nilai jawab PDB Sifat Konsisten dan Stabil LMM Bentuk umum LMM adalah sebagai berikut : Σ i α i y n+i = hσ i β i f n+i (4) Dua persamaan karakteristik yang digunakan untuk menganalisa stabilitas dan konsistensi LMM adalah [2] : ρ(θ) = Σ i α i θ i, (5) τ(θ) = Σ i β i θ i (6) Sebuah LMM dikatakan bersifat konsisten jika τ(1) = ρ'(1) dan ρ(1) = 0, dan zero stable jika ρ(θ) mempunyai tepat sebuah akar dengan modulus 1. Wilayah stabilitas, yaitu wilayah nilai ukuran langkah (step size) komputasi LMM adalah akar dari polinom berikut [2] : π(r,hλ) = ρ(r) - hλτ(r) (7) dimana λ adalah koefisien eksponensial fungsi uji y' = λy dengan λ < 0 untuk menjamin konvergensi jawab. Sifat zero stable didefinisikan sebagai berikut : Definisi 1. Misalkan (δ n n = 0, 1, 2,, N) dan (δ n * n = 0, 1, 2,, N) adalah dua gangguan dan misalkan (z n n = 0, 1, 2,, N) dan (z n * n = 0, 1, 2,, N) adalah dua jawab terganggu. Jika terdapat konstanta h 0, ε, dan S sedemikan rupa sehingga untuk semua h (0, h 0 ) berlaku z n - z n * Sε jika δ n - δ n * ε Galat, Stepsize, dan Toleransi Global Error (GE) di suatu titik x f adalah selisih antara jawab numerik dengan jawab analitis di titik tersebut. Uraian Taylor memperkirakan nilai GE ini diakibatkan oleh truncation sebesar y (v) (ξ) h 5 / 5!, dimana y (v) (ξ) adalah nilai turunan fungsi y di titik ξ, 0 < ξ < h. Untuk implementasi fixed step size batas atas nilai GE adalah h Persamaan Yang Diselesaikan Tiga MNA-PDB yang diselesaikan adalah : 1. Persamaan yang bersifat well posed : y = f(x, y) = -2xy, dengan nilai awal y(0) = 1. Solusi analitis persamaan ini adalah : y(x) = exp(-x 2 ) 2. Persamaan dengan titik singulir : y = f(x, y) = -y/x + y 3 dengan nilai awal y(1) = 1. Solusi analitis persamaan ini adalah : y(x) = sqrt(1/(2x x 2 )). 3. Persamaan dengan titik singulir : y = f(x, y) = y(1 + 2x)/x dengan nilai awal y(1) = 1. Solusi analitis persamaan ini adalah : x e 2x.

4 Aspek Stabilitas Dan Konsistensi Metoda Dalam Penyelesaian Numerik Persamaan Diferensial Biasa Dengan Menggunakan Metoda Prediktor-Korektor Orde 4 A Hasil Penelitian 3.1. Konsistensi dan Stabilitas Metoda AB-4 dan AM-4 Metoda AB-4 dan AM-4 adalah komponen utama metoda PC-4. Untuk mendapatkan nilai y i+5 dari empat nilai sebelumnya, yaitu {y i+1, y i+2, y i+3, y i+4 }, komputasi diimplementasikan sebagai p(ec) m, dimana m menunjukkan jumlah iterasi sehingga kondisi kendali komputasi dipenuhi. Ungkapan metoda AB-4 dan AM-4 berturut-turut adalah : y jp = y j-1 + (h/24)(55f j-1 59f j f j-3 9f j-4 ), j = 4, 5, 6,... (8) y jc = y j-1 + (h/24)(9f jp + 19f j-1-5f j-2 + f j-3 ), j = 4, 5, 6,... (9) Kedua formula di atas merupakan kasus khusus dari bentuk umum LMM. Dari persamaan (8) dan (4) terlihat bahwa metoda AB-4 mempunyai nilai-nilai α 0 = α 1 = α 2 = 0, α 3 = -1, α 4 = 1, β 0 = -9/24, β 1 = 37/24, β 2 = -59/24, β 3 = 55/24 sehingga ρ(θ) = -θ 3 + θ 4 atau ρ'(θ) = -3θ 2 + 4θ 3 dan τ(θ) = -9/ β/24-59β 2 / β 3 /24. Terlihat bahwa syarat τ(1) = ρ'(1) dan ρ(1) = 0 dipenuhi sehingga metoda AB-4 bersifat konsisten. Begitu pula karena ρ(θ) = θ 3 (θ - 1) maka ρ(θ) mempunyai tepat satu akar dengan modulus 1 sehingga metoda AB-4 adalah zero stable. Polinomial (7) untuk AB-4 adalah : π(r,hλ) = r 4 (1 + 55hλ/24)r hλr 2 /24 37hλr/24 + 9hλ/24 sehingga wilayah stabilitasnya adalah : < λh < 0. Dari persamaan (9) dan (4) terlihat bahwa metoda AB-4 mempunyai nilai-nilai α 0 = α 1 = 0, α 2 = -1, α 3 = 1, β 0 = -9/24, β 0 = 1/24, β 1 = -5/24, β 2 = 19/24, β 3 = 9/24, sehingga ρ(θ) = -θ 2 + θ 3 atau ρ'(θ) = -2θ + 3θ 2 dan τ(θ) = 1/24-5β/ β 2 /24 + 9β 3 /24. Terlihat bahwa syarat τ(1) = ρ'(1) dan ρ(1) = 0 dipenuhi sehingga metoda AM-4 bersifat konsisten. Begitu pula karena ρ(θ) = θ 2 (θ - 1) maka ρ(θ) mempunyai tepat satu akar dengan modulus 1 sehingga metoda AM-4 adalah zero stable. Polinomial (7) untuk AM-4 adalah : π(r,hλ) = (1-9hλ/24)r 3 - (1 + 19hλ/24)r 2 + 5hλr/24 - hλ/24 sehingga wilayah stabilitasnya adalah : -3.0 < λh < Komputasi Numerik Hasil komputasi PC-4 terhadap ketiga persoalan yang diberikan adalah sebagai berikut : 1. Persamaan well posed GE pada h = 0.02 x = h x = 2h x = 3h x = 4h s/d 20h -3.89e e e e -4 s/d 1.18e -4 GE pada h = 0.01 x = h x = 2h x = 3h x = 4h s/d 20h -4.93e e e e -5 s/d 1.67e Persamaan singulir di x = 0 GE pada h = 0.02, x 0 = 1 x = 1 + h x = 1 + 2h x = 1 + 3h x = 1 + 4h s/d h -2.02e e e e -4 s/d 8.65e Persamaan singulir di x = 0 GE pada h = 0.001, x 0 = x = 1 + h x = 1 + 2h x = 1 + 3h x = 1 + 4h s/d h 2.28e e e e -1 s/d 5.27e -1

5 A-16 Proceedings, Komputer dan Sistem Intelijen (KOMMIT 2002) Auditorium Universitas Gunadarma, Jakarta, Agustus Kesimpulan 1. Untuk persoalan yang bersifat well posed terlihat bahwa GE(0.01) < GE(0.02). Ini menunjukkan bahwa metoda PC-4 adalah metoda yang konsisten. Pada selang x = 4h s/d 20h terlihat bahwa nilai GE mengecil yang menunjukkan bahwa metoda PC-4 adalah stabil. Kenaikan nilai GE pada selang dari x = h s/d 3h disebabkan karena metoda yang digunakan adalah metoda Runge-Kutta yang diimplementasikan tanpa iterasi. 2. Pada komputasi persoalan singulir pertama terlihat nilai GE masih cukup kecil (orde 1e -4 ) sepanjang selang x = 4h s/d 20h ketika komputasi dilakukan menjauhi titik singulir. Sifat stabil PC-4 terlihat gagal dengan membesarnya nilai GE di sepanjang selang x = 4h s/d 20h tersebut. 3. Pada komputasi persoalan singulir kedua terlihat nilai GE cukup besar (orde 1e -1 ) pada selang x = 4h s/d 20h ketika komputasi dilakukan mendekati titik singulir. Sifat stabil PC-4 terlihat dengan mengecilnya nilai GE di sepanjang selang x = 4h s/d 20h tersebut. 5. Daftar Pustaka [1] Gear, William C. Numerical Initial Value Problem in Ordinary Differential Equations. Prentice-Hall, Inc. New Jersy [2] Hall, G dan J.M. Watt (ed). Modern Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Clarendon Press. Oxford