STK 203 TEORI STATISTIKA I

Transkripsi

1 STK 203 TEORI STATISTIKA I III. PEUBAH ACAK KONTINU III. Peubah Acak Kontinu 1 PEUBAH ACAK KONTINU Ingat definisi peubah acak! Definisi : Peubah acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh anggota ruang contoh S ke himpunan bilangan nyata R; Y : S R. III. Peubah Acak Kontinu 2

2 Peubah Acak Kontinu Definisi 3.1. (Peubah Acak Kontinu): Jika Y adalah suatu peubah acak dengan ruang contoh S yang terdiri dari suatu selang (interval) atau gabungan dari beberapa selang, serta f(y) adalah fungsi non negatif sedemikian sehingga S f(y) dy = 1 dan jika ada fungsi P(A), A S dapat dinyatakan sebagai P(A) = P(Y A) = A f(y) dy, maka Y disebut peubah acak kontinu dan f(y) disebut fungsi kepekatan peluang (fkp) dari Y. III. Peubah Acak Kontinu 3 Jika f(y) adalah fkp peubah acak Y dan A = {y a < y < b} maka P(A) = P(Y A) dapat ditulis sbb Jika A = {a}, maka P(a < Y < b) = a b f(y) dy P(A) = P(Y A) = P(Y = a) = a a f(y) dy = 0, artinya jika Y peubah acak kontinu, maka peluang setiap himpunan yang terdiri dari satu titik adalah nol. Dengan demikian P(a < Y < b) = P(a Y b) III. Peubah Acak Kontinu 4

3 Sifat Fungsi Sebaran Peubah Acak Kontinu Jika F Y (y) adalah fungsi sebaran (kumulatif) suatu peubah acak kontinu Y dimana F Y (y) = - y f(t) dt, maka berlaku : 1. 0 F Y (y) 1 2. F Y (y) merupakan fungsi tidak turun 3. lim y - F Y (y) = 0 dan Lim y F Y (y) = 1 4. F Y (y) merupakan fungsi kontinu kanan, lim y a+ F Y (y) = F Y (a) III. Peubah Acak Kontinu 5 Ilustrasi 3.1. Pada suatu percobaan, dipilih satu titik secara acak dari selang [a, b] dimana a < b. Misalkan Y adalah fungsi identitas yang terdefinisi pada selang [a, b], dengan demikian ruang contoh S Y = [a, b]. Anggap jika suatu interval A adalah anak gugus dari S Y, maka peluang kejadian A sebanding terhadap panjang A. Jika A = [a, y], y b maka P(A) = P(Y A) = P(a Y y) = c (y - a), dimana c konstanta keproporsionalan. Jika y = b maka P(A) = P(a Y b) = c (b - a) = 1, sehingga c = 1/(b-a). III. Peubah Acak Kontinu 6

4 Ilustrasi (cont): Dengan demikian kita akan mempunyai suatu model peluang jika fungsi sebaran Y, yaitu F Y (y) didefinisikan : F Y (y) = (y a),y < a (b a),a y,b y Sehingga f Y (y)=f Y (y)dapat dituliskan sbb: 0 1 b f Y (y) = 1 (b 0 a),a y b,selainnya III. Peubah Acak Kontinu 7 Hubungan F Y (y) dengan f Y (y) Jika Y peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran F Y (y), maka fungsi kepekatan peluang (fkp) bagi Y, dinotasikan f Y (y) adalah asalkan turunan pertama dari F Y (y) terdefinisi. Dengan demikian berdasarkan kaidah kalkulus maka juga dapat ditulis Sifat dari f Y (y): ; III. Peubah Acak Kontinu 8

5 Ilustrasi 3.2. Jika diketahui Y memiliki fkp f Y (y) sbb. y lainnya Untuk menentukan F Y (y) kita perlu menghitung P(Y y) untuk semua kemungkinan nilai y. Untuk y 0, kita peroleh Untuk y 2, kita peroleh Untuk 0 < y < 2, kita peroleh Jadi F Y (y) yang dimaksud adalah III. Peubah Acak Kontinu 9 Sifat fkp Jika Y peubah acak kontinu dengan fkp f Y (y), maka (i) (ii) (iii) III. Peubah Acak Kontinu 10

6 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu Nilai harapan suatu peubah acak kontinu Y adalah : Ilustrasi 3.3. Jika diketahui y lainnya Sehingga III. Peubah Acak Kontinu 11 Jika Y adalah suatu peubah acak kontinu dengan fkp f Y (y) dan g(y) adalah suatu fungsi dari peubah acak Y, maka Ilustrasi 3.4. Jika diketahui y lainnya Jika g(y) = Y 2, maka E(Y 2 ) : Jika g(y) = ln Y, maka E(ln Y) : III. Peubah Acak Kontinu 12

7 Bentuk-bentuk khusus nilai harapan Jika Y peubah acak diskret dengan fmp f(y) dan y terdefinisi pada a 1, a 2, a 3, maka akan berlaku E(Y) = a 1 f(a 1 ) + a 2 f(a 2 ) + a 3 f(a 3 ) + yang tidak lain adalah rataan terboboti atau disebut juga rataan aritmetik atau nilai tengah suatu peubah acak. Dengan demikian nilai tengah µ Y dari suatu peubah acak Y, jika ada, adalah µ Y = E(Y) berlaku untuk Y diskret atau kontinu. III. Peubah Acak Kontinu 13 Bentuk khusus nilai harapan ragam Perhatikan untuk g(y) = (Y - µ Y ) 2 E[g(Y)] = y g(y) f Y (y) dy = y (y - µ Y ) 2 f Y (y) dy adalah ragam Y, dinotasikan σ 2 Y. σ 2 Y = E[(Y - µ Y) 2 ] = E[Y 2 2Y µ Y + µ Y2 ] = E(Y 2 ) - 2 µ Y2 + µ 2 Y = E(Y 2 ) - µ Y 2 III. Peubah Acak Kontinu 14

8 Bentuk khusus nilai harapan fungsi pembangkit momen Perhatikan untuk g(y) = e ty E[g(Y)] = y e ty f Y (y) dy adalah fungsi pembangkit momen peubah acak Y dan dinotasikan dengan m Y (t). Jika dua buah peubah acak memiliki fungsi pembangkit momen yang sama, maka keduanya juga memiliki sebaran yang sama. Fungsi pembangkit momen bersifat unik dan menentukan sebaran peubah acak. III. Peubah Acak Kontinu 15 Dengan demikian kita bisa menyatakan suatu peubah acak Y secara unik dalam tiga bentuk : 1. Fungsi sebaran, F Y (y) 2. Fungsi kepekatan peluang, f Y (y) 3. Fungsi pembangkit momen, m Y (t) III. Peubah Acak Kontinu 16

9 Momen suatu peubah acak Jika M Y (t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak Y dan M (i) Y (t) adalah turunan ke-i terhadap t dari M Y (t), maka : M (1) Y (t) = y y ety f Y (y) dy dan untuk t = 0, maka M (1) Y (t) = y y f Y (y) dy = E(Y) M (2) Y (t) = y y2 e ty f Y (y) dy dan untuk t = 0, maka M (2) Y (t) = y y2 f Y (y) dy = E(Y 2 ) Dengan demikian M (k) Y (t) = y yk e ty f Y (y) dy dan untuk t = 0, maka M (k) Y (t) = y yk f Y (y) dy = E(Y k ) adalah momen ke-k dari peubah acak Y. III. Peubah Acak Kontinu 17 III. Peubah Acak Kontinu 18

10 Menentukan nilai tengah dan ragam melalui fpm III. Peubah Acak Kontinu 19 Ilustrasi 3.5. Perhatikan peubah acak Y dengan fkp sbb. y lainnya Fungsi pembangkit momen serta nilai harapan dan ragamnya adalah : Jadi E(Y), E(Y 2 ) dan V(Y) adalah : untuk t < 0 III. Peubah Acak Kontinu 20

11 Sifat nilai harapan Perhatikan peubah acak kontinu Y dengan fkp f Y (y) dan g 1, g 2,, g k adalah fungsi dari Y serta c adalah suatu konstanta, maka : III. Peubah Acak Kontinu 21 Y ~ Seragam (θ 1, θ 2 ) (1) fkp peubah acak Y : y lainnya (2) Fungsi pembangkit momen : (3) Nilai harapan dan ragam : Penurunan dan bukti sebagai latihan!!! III. Peubah Acak Kontinu 22

12 Y ~ Normal (µ, σ 2 ) (1) fkp peubah acak Y : y lainnya Akan diperlihatkan bahwa f Y (y) adalah fkp. Misal dan I > 0 dan jika f Y (y) fkp, maka I = 1 sehingga I 2 = 1 III. Peubah Acak Kontinu 23 Y ~ Normal (µ, σ 2 ) Misal x = r cos θ, y = r sin θ sehingga x 2 + y 2 = r 2 dan dxdy = r drdθ, maka I 2 dapat ditulis sbb. yang merupakan bentuk koordinat polar. III. Peubah Acak Kontinu 24

13 Y ~ Normal (µ, σ 2 ) (2) Fungsi pembangkit momen : Misal, sehingga dengan III. Peubah Acak Kontinu 25 Y ~ Normal (µ, σ 2 ) (2) Fungsi pembangkit momen : Dengan demikian m Y (t) = akhirnya m Y (t) = III. Peubah Acak Kontinu 26

14 Ilustrasi 3.6. Perlihatkan bahawa yika Y ~ N (µ, σ 2 ) maka ~ N (0, 1) Bukti : adalah fpm N(0, 1) III. Peubah Acak Kontinu 27 Y ~ Gamma (α, β) (1) fkp peubah acak Y : y lainnya Akan diperlihatkan bahwa f Y (y) adalah fkp. Misal maka : dan karena untuk t > 0 (fungsi gamma) III. Peubah Acak Kontinu 28

15 Y ~ Gamma (α, β) (2) fpm peubah acak Y : dengan maka suku sebelah kanan dapat ditulis sbb. fkp dengan demikian fpm peubah acak Y adalah III. Peubah Acak Kontinu 29 Y ~ Eksponensial (β) (1) fkp peubah acak Y : y lainnya (2) fpm peubah acak Y :, misal, untuk. Kenapa? III. Peubah Acak Kontinu 30

16 Latihan : Jika Y ~ Gamma (α, β). (1) Untuk α = 1, maka Y ~ Eksponensial (β) (2) Untuk α = v/2 dan β = 2, maka Y ~ χ 2 (v) III. Peubah Acak Kontinu 31