INTEGRAL ONTOUR Tujua Perkuliaha: Mahasiswa dapat memahami kosep itegral cotour da meyelesaika masalah dalam itegral otour. Defiisi: Diberika fugsi z = z(t) utuk a t b, Mewakili sebuah litasa yag diperpajag dari sebuah titik z = z (a) ke titik z = z (b), misal fugsi f(z) kotiu pada, maka f(z(t)) kotiu pada iterval a t b, kita medefiisika itegral cotour dari f sepajag sebagai berikut: Ā b f(z)dz = fz(t)z (t)dt a Jika litasa dimaksudka litasa berarah dari titik awal α ke titik akhir β, maka jika litasa tersebut berarah dari β ke α aka diyataka dega. Dega demikia, kita mempuyai sifat-sifat sebagai berikut:. tetap, f dipadag sebagai variabel. a. Jika f kotiu da terbatas, maka f(z)dz ada b. Jika f da g kotiu pada, maka (f + g)(z)dz = f(z)dz + g(z)dz c. Jika kε da f kotiu pada maka kf(z)dz = k f(z)dz. Fugsi f tetap, dipadag sebagai variabel a. f(z)dz = f(z)dz b. f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz dega = + +, yaki ragkaia dari da dega titik awal berimpit dega titik awal, titik akhir berimpit dega titik akhir da titik akhir berimpit dega titik awal. 3. Jika fugsi f kotiu pada, terbatas, utuk suatu M > berlaku
f(z)dz M. Bukti Jika kurva mulus, maka pajag kurva adalah β = ( dx dt ) + ( dy dt ) dt α = (dx) + (dy) = dz.() Sedagka meurut defiisi diperoleh Da f(z)dz=lim Δ i= i= f(i)δzi i= f(i)δzi M Dari (),(),(3) diperoleh f(i)δzi.() f(i) ΔZi ΔZi.(3) f(z)dz =lim Δ i= lim Δ M lim Δ M Mlim Δ f(i)δzi ΔZi ΔZi ΔZi M dz = M TEOREMA EKSISTENSI INTEGRAL KOMPLEKS Teorema Eksistesi Itegral Kompleks Jika f(x) = u(x,y) + v(x,y) kotiu pada setiap titik di suatu kurva mulus, maka itegral f sepajag ada da f(x)dz = udx vdy + i( udy + vdx) Bukti : Misalka f(z) = u(x,y) + iv(x,y), i = (σ i,ω i ) da Δz i = Δx i + iδy i maka
i= f(z)dz = lim Δ f(ci)δzi = lim Δ [u( σ i,ω i ) + iv(σ i,ω i )]( Δx i + iδy i ) = lim Δ [u( σ i,ω i ) Δx i - v(σ i,ω i ) Δy i ] + ilim Δ i=[u( σ i,ω i ) Δy i + v(σ i,ω i ) Δx i ] = lim Δ u( σ i,ω i ) Δx i - lim Δ i= v(σi, ωi) Δyi + ilim Δ i= u( σ i,ω i ) Δy i i= + lim Δ u( σ i,ω i ) Δx i = udx vdy + i( udy + vdx) ONTOH-ONTOH SOAL (,). Hituglah (,3) y + x dx + (3x y)dy sepajag: a. Parabola x = t, y = t + 3 b. Garis lurus dari (,3) ke (,3) da kemudia dari (,3) ke (,) c. Garis lurus dari (,3) ke (,) Peyelesaia : a. Titik (,3) da (,) pada parabola berkaita dega t = da t =. Maka itegral yag diberika adalah t= {( t +3) + (t) } dt + {3(t) (t +3)} t dt = (t + t 3-6t) dt = 33/. b. Sepajag garis lurus dari (,3) ke (,3), y=3, dy= da itegral garisya 6 + x dx + (3x 3) = x= 6 + x dx = x= 3 Sepajag garis lurus dari (,3) ke (,), x=, dx= da itegral garisya adalah (y + ) + (6 y)dy = y=3 (6 y)dy = y=3 Maka ilai yag diigika = + 5 = 3 3 6 5
c. Suatu persamaa garis yag meghubugka (,3) da (,) adalah y-x = 6. Selesaika utuk x, maka x = y 6. Jadi itegralya {y + (y - 6) } dy + {3 (y 6 ) y) dy y=3 = ( y=3 8y 39y +5) dy = 97/6 Hasil tersebut dapat juga diperoleh dega megguaka y = ½ (x+6). Hituglah z c dz, z = ke z = +i sepajag kurva yag diberika: a. Z = t + it b. Garis dari z = da z = i kemudia garis dari z = i ke z = + i Peyelesaia : a. Titik z = da z = +i pada berkaita dega t = da t = t= (t + it ) d(t + it) = (t + it) (t+i) dt = (t 3 it + t) dt = 8i b. Itegral garis yag diberika (x iy)(dx + idy) = xdx + ydy + i xdy ydx c c Garis dari z = ke z = i sama seperti garis dari (,) ke (,) sehigga x=, dx = da itegral garisya ()() + ydy + i ()(dy) y() = y= ydy = y= y= Garis dari z = i ke z = +i sama dega garis dari (,) ke (,) sehigga y =, dy = da itegral garisya c 3 xdx +. + i x. dx = xdx + i dx = 8 8i y= y= 3. Jika ligkara z = dega arah positif da f(z) suatu cabag dari z -+i = e (- +i)iө ( z >, < arg(z) < π) hituglah f(z)dz Peyelesaia : Utuk z pada berlaku z = e iө dega θ π π π f(z)dz = f( e iө ).i e iө dθ = ( e (-+i)iө. i e iө dθ =i e θ dθ = i(-e -π ). Dipuyai z = e iө ( - π θ π ) π
Tetuka I = zdz Peyelesaia: Jelas z = cos θ + si θ Diperoleh x = cos θ da y = si θ Sehigga z = x + y i = cos θ + si θ = (cos θ + si θ) = = Batas dari z = -i ke z = i dapat di iterpretasika pada gambar berikut: -i Y Karea e iθ = e -iө da deiθ = i dθ eiө Berdasarka defiisi pada sectio 3 diperoleh X π I = π = πi e iθ. ie iθ dθ = i dθ = i( π + π ) π π Tulis bahwa pada saat titik z pada ligkara sehigga hasil I= πi dapat ditulis = πi dz z = maka zz = atau z = z z 5. Misalka diotasika sebagai garis OAB seperti terlihat pada gambar berikut: Y A B dega f(x) = y x i3x ( z = x + iy) berdasarka gambar tersebut diperoleh: X
f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz A AB pada litasa garis OA dapat dipresetasika dega parameter z = +iy ( y ) karea x = ilai f dega parameter y meurut persamaa f(z) = y, ( y ) akibatya f(z)dz = yidy = i ydy = i[ y ] = i =. () OA Pada litasa AB, z=x+i, ( x ) diperoleh AB f(z)dz = x i3x. dx = ( x)dx 3i x dx = (x x ] 3i[ x ] = 3i( ) = i. () Dari () da () diperoleh = f(z) = f(z)dz + f(z)dz = + i = = Selajutya jika diotasika dega segme OB pada garis y=x dega represetasi parameter z = x+ix ( x ) diperoleh: f(z)dz = i3x ( + i)dx = ( 3x i + 3x )dx = 3x ( i)dx = 3( i). x ] = i
Utuk selajutya f(z)dz sepajag garis da mempuyai perbadiga ilai walaupu kedua garis merupaka titik awal da titik akhir yag sama. f(z)dz pada litasa tertutup DABO atau - adalah i f(z)dz f(z)dz = ( i) 6. Hituglah zdz dega = : y = x-x ; x:3, y:3 : y = x; x: 3, y: 3 3 : x =3; y: 3 = + + 3 zdz = zdz + zdz + zdz 3. zdz = (x iy)(dx idy) c = = xdx + ydy + i( xdy ydx) = xdx + ydy = + i( + 9) = 9 + 9i + ydy + i ( x( x)dx (x x )dx). zdz = xdx + ydy + i( xdy ydx) = xdx + = + + ydy + i( xdx xdx) 3. zdz = 3 xdx + ydy + i( xdy ydx) = xdx + = + + 6i = + 6i ydy + i( 3dy y. ) Jadi zdz = zdz + zdz + zdz = ( 9 + 9i) + 5 + ( + 6i) = 5i 3
DAFTAR PUSTAKA hurchill da Brow. 99. omplex Variables ad Applicatios Fifth Editio. Sigapore: McGraw-Hill.Ic. Dedy da Sumiati.. Fugsi Variabel Kompleks. Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UPI. Badug. Soemato, R. 99. Fugsi Variabel Kompleks. Yogyakarta: Spiegel, Murray R. da Koko Martoo. 99. Seri Buku Schaum Teori da Soal-soal Peubah Kompleks dega Pegeala Pemetaa Koformal da Peerapaya. Jakarta: Erlagga.