BAB V INTEGRAL KOMPLEKS

6 BAB V INTEGRAL KOMPLEKS 5.. INTEGRAL LINTASAN Msal suatu lntasan yang dnyatakan dengan : (t) = x(t) + y(t) dengan t rl dan a t b. Lntasan dsebut lntasan tutup bla (a) = (b). Lntasan tutup dsebut lntasan tutup sederhana bla ( t ) ( t ) untuk t t ( lntasan tdak berpotongan ). Integral dar fungs kompleks f() atas lntasan dsebut ntegral lntasan atau ntegral gars atau ntegral contour dnyatakan sebaga : f ( ) d Bla : lntasan tutup maka dnotaskan : f ( ) d. Sfat ntegral lntasan : k f ( ) + l g( ) d = k f ( ) d + l g( ) d dengan k, l. ( sfat lner ). f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d ( : komposs dar dan ). f ( ) d = f ( ) d ( dan merupakan ujung-ujung dar lntasan ). [ ] 5... Integral Bergantung Lntasan Msal lntasan dengan (t) = x(t) + y(t) ( a t b ) dan f() fungs tdak analtk pada doman D ( yang memuat lntasan ). Maka nla ntegral lntasan f() terhadap bergantung pada bentuk lntasan yang dambl dan dapat dnyatakan : b f ( ) d = f [ ( t) ] '( t) dt a Untuk menghtung ntegral lntasan d atas dlakukan cara sebaga berkut :. Nyatakan lntasan dalam (t) = x(t) + y(t), a t b. ar turunan, (t).. Substtuskan (t) ke dalam f().. Integraskan f() (t) terhadap t. Berkut beberapa lntasan dan penyajannya dalam (t) :. Lngkaran

6 Msal dberkan lntasan berbentuk Lngkaran satuan ( lngkaran dengan pusat (, ) dan jar-jar ) dan t sebaga sudut pusat. Maka dperoleh hubungan x = cos t dan y = sn t. Oleh karena tu persamaan lntasan, (t) = x(t) + y(t) = cos t + sn t = e t dengan t π. Sedangkan lntasan berbetuk lngkaran dengan pusat = (, ) dan jar-jar r dapat dtentukan dengan cara sama, sehngga persamaan dtulskan sebaga : ( t) = x( t) + y( t) = r e t dengan t π. Menggunakan trasformas salb sumbu dan bentuk persamaan lntasan d atas ddapatkan persamaan lntasan berbentuk lngkaran dengan pusat dan jar-jar r, yatu: ( t) = re t +, dengan t π. ontoh 5.. Htung ntegral dar f ( ) = atas lntasan berbentuk lngkaran satuan dengan arah berlawanan jarum jam. Persamaan lntasan : (t) = e t dengan t π. (t) = e t f ( ) = = e t. π π f ( ) d f ( ) ' ( t) dt e t e t = = dt = π. Segmen Gars Msal lntasan berbentuk segmen gars dar ( x,y ) ke ( x,y ). Maka kta plh terlebh dahulu nterval parameter t, msal t dan dengan cara deduktf dapat dturunkan persamaan untuk lntasan yatu : t = x( t) = x, y( t) = y ( t) = x + y = x + x y + y t = x( t) =, y( t) = ( t) = + ( )......... t = x( t) = x, y( t) = y ( t) = Secara umum persamaan lntasan berbentuk segmen gars dar ke yatu : ( t) = + t( ) dengan t ontoh 5.. Htung f ( ) d dengan f ( ) = dan lntasan berupa segmen gars dar = - ke = +.

6 Persamaan lntasan : (t) = - + t ( - + 5 ) = - t + ( - + 5t ), t. Turunan, (t) = - + 5. f ( ) = = t ( + 5 t) f ( ) d = f ( ) '( t) dt = ( t ( + t ))( + ) dt = 7 5 5 + 7. Ellps ( ) ( ) Msal Lntasan berbentuk ellps : x x y y + = dengan arah postf. a b Maka dengan cara sama sepert menentukan persamaan lntasan yang berbentuk lngkaran, ddapatkan : (t) = + a cos t + b sn t dengan t π dan = ( x,y ). ontoh 5.. Htung f ( ) d dengan f() = x - y dan lntasan berbentuk ellps x + y = dengan arah berlawanan jarum jam. y Bentuk lntasan : x + = dengan penyajan (t) = cos t + sn t, t π. Turunan, ( t ) = - sn t + cos t. f() = cos t - sn t π π f ( ) d = ( cos t sn t) ( sn t + cos t) dt = sn t + dt = π cos t + t = π. Kurva Bla lntasan dnyatakan sebaga persamaan kurva maka kta dapat memsalkan x(t) = t. Sehngga nterval parameter t dan bentuk y(t) sangat bergantung berturut-turut terhadap nla x dar ttk dan persamaan kurva yang dberkan. Sebaga contoh, msal lntasan berupa kurva dengan persamaan y = x - dar ttk ( -, ) ke ttk (,- ). Persamaan lntasan : (t) = x(t) + y(t) = t + ( t - ) dengan - t. ontoh 5.. Htung ntegral dar fungs f() = x y + y atas lntasan sepanjang kurva y = x - dar ttk ( -, ) ke ttk (,- ). Persamaan lntasan : (t) = x(t) + y(t) = t + ( t - ) dengan - t. Turunan, (t) = + 6 t

6 f ( ) = t ( t ) + ( t ) = t t + ( 6t 6) [ ] ( ) f ( ) d = t t + t + t dt = 9 6 6 6 + 5 ( ) 5... Integral Bebas Lntasan Dalam keadaan khusus ntegral lntasan tdak bergantung ( bebas ) terhadap lntasan artnya nla ntegral lntasan akan bernla sama walaupun lntasannya berbeda asalkan ttk-ttk ujung lntasan tetap. Syarat perlu dan cukup untuk keadaan tersebut dberkan berkut. Doman D dsebut tersambung sederhana bla setap lntasan tutup sederhana dalam D melngkup ttk-ttk pada D. Msal f() analtk pada doman tersambung sederhana D. Maka terdapat fungs analtk F() sehngga F () = f() untuk setap D dan nla ntegral dar f() terhadap setap lntasan yang menghubungkan dar ttk ke dnyatakan sebaga: f ( ) d = F ( ) F( ) Dar konds d atas dapat dsmpulkan bahwa bla f() analtk pada doman tersambung sederhana yang memuat lntasan tutup maka f ( ) d =. ontoh 5.5. Htung f ( ) d bla f() = sn dan lntasan berupa ruas gars yang menghubungkan dar ttk ( π,π ) ke ttk ( π,-π ). Pandang bahwa f() = sn merupakan fungs entre, sehngga analtk pada doman tersambung sederhana yang memuat lntasan. Oleh karena tu, ntegral lntasan dar f() tdak bergantung ( bebas ) bentuk lntasan. Jad : π π π π f ( ) d = sn d = ( cos + sn) = π + π π + π ( ) ( ) = π π coshπ snhπ π + π coshπ + snhπ Soal Lathan ( Nomor sd ) Nyatakan dalam = (t), segmen gars dengan ttk ujung,. = - + dan = - + 5.. = dan = 5 +.. = + dan = + 5.. = - dan = 9-5. ( Nomor 5 sd ) Nyatakan kurva berkut dalam = (t) 5. - =

6 6. y = x dar (, ) ke (, ) 7. - + = 8. x + y = 9. y = / x dar (, ) ke (,/ ) x + 9 y + = 6. ( ) ( ) ( Nomor sd ) Htung : f ( ) d dengan :. f ( ) = dan : setengah lngkaran, e t π π = ( t ) dar ttk = - ke =.. f() = y - x - x dan : segmen gars dar ttk ke +.. f() = y - x - x dan : segmen gars dar ttk ke. dlanjutkan ke +.. f ( ) = dan : setengah lngkaran = e t ( t π ) dar ttk = ke = -., y < 5. f ( ) = dan : dar y, y > = - - ke = + sepanjang y = x 6. f() = Re dan : parabola y = x dar ke +. 7. f ( ) = + dan : = e t ( t π) mempunya arah berlawana jarum jam 8. f ( ) = + dan : = e t ( π t π ) mempunya arah postf. 9. f ( ) = + dan : = e t ( t π) mempunya arah postf. f ( ) = ( ) ( ) dan : - = ½ ( searah jarum jam ). f() = Im dan : dar ke +. sepanjang segmen gars.. f() = Im dan : dar ke +. sepanjang parabola y = x. ( Nomor sd 7 ) Seldk apakah ntegral dar f() atas bebas lntasan dan tentukan f ( ) d bla :. f ( ) = e dan : segmen gars dar π ke π.. f ( ) = sec dan : sembarang lntasan dar π / ke π/ d dalam lngkaran satuan. 5. f ( ) = cos dan : sembarang lntasan dar ke π. 6. f ( ) = dan : lngkaran 5 satuan ( arah postf ) 7. f ( ) = sec dan : lngkaran satuan ( arah berlawanan jarum jam ). 5.. INTEGRAL AUHY Rumtnya perhtungan ntegral lntasan mendorong tmbulnya cara-cara atau metode yang lebh mudah dan prakts untuk menyelesakannya. Hal n nampak dar berbaga usaha ke arah sana walaupun hanya sebatas ntegral terhadap lntasan tutup, sepert yang dkenalkan oleh auchy berkut.

65 Ttk dsebut ttk nteror dar lntasan tutup bla terdapat lngkungan dar yang termuat d dalam.msal fungs f() analtk d dalam dan pada lntasan tutup arah postf, ttk f ( ) nteror dar. Maka f ( ) = d dengan d dalam lntasan. Bentuk π ntegral d atas dkenal dengan Rumus Integral auchy. Penerapan ntegral auchy d atas dapat dlhat dar dua contoh yang dberkan berkut. e ontoh 5.6. Htung d dengan berupa = dan berlawanan jarum jam. Lntasan berbentuk lngkaran dengan pusat = dan jar-jar dan = merupakan ttk nteror dar. Msal f() = e. Maka f() merupakan fungs entre, sehngga analtk d dalam dan pada lntasan. Karena semua syarat telah dpenuh maka penerapan ntegral auchy dlakukan sebaga berkut : f ( ) f d e e ( ) = π = π d e Jad : ( ) d = π sn + cos sn ontoh 5.7. Htung d dengan berupa = dan berlawanan jarum jam. Ttk nteror dar adalah = dan = -. Pandang : sn sn = +. ( ) ( + ) Menggunakan sfat lner ntegral lntasan ddapatkan : sn sn sn d d ( ( )) = d sn sn + = π + = + 5... Turunan Fungs Analtk Secara umum, untuk ttk nteror pada maka bentuk ntegral auchy menjad : f ( s) f ( ) = s ds dengan s d dalam. Bla f() dturunkan terhadap maka ruas π kanan juga dturunkan terhadap, caranya ntegran dturunkan terhadap dengan memandang peubah lan sebaga konstanta. Menggunakan cara deduktf kta dapat memperoleh turunan tngkat ke-n sebaga berkut : f ( s) ds Turunan ke- f ' ( ) = π ( s )

66 f ( s) ds Turunan ke- f "( ) = π ( s )...... Turunan ke-n f ( n) n! f ( s) ds ( ) = n ( s ) n ; =,,,... + π Bentuk turunan d atas merupakan bentuk perluasan dar ntegral auchy yang pada dasarnya dapat juga dterapkan untuk menyelesakan ntegral lntasan, sebagamana contoh berkut. e ontoh 5.8. Htung d ( ) dengan berupa = dan berlawanan jarum jam. Ttk nteror : =. Msal f() = e. Maka f () = e + e. e Jad : d ( e e = π + ) = π( cos sn) + π( cos sn ) ( ) Soal Lathan ( Nomor sd 7 ) Lntasan dbatas oleh gars x = ± dan y = ± ( arah postf ). Htung ntegral berkut :.. e d π cos d ( + ) d. + tan. d ; x ( x) < < cosh 5. d 6. 7. cosh d ( ) cos d + ( Nomor 8 sd 5 ) Htung ntegral dar g() atas lntasan, bla : 8. g( ) = + ; : - = ( arah postf ) 9. g( ) = + ; : - = ( ( ) arah postf ) sn. g( ) = ; : - + + = (arah postf )

67. g( ) = ; : - = + (arah postf ) e. g( ) = ; : + = + (berlawanan jarum jam ). g( ) =, : = ( arah postf ) +. g( ) =, w d dalam ( w) lntasan tutup sederhana yang mempunya arah postf. ln 5. g( ) =, 5 = ( ) ( arah postf ) ( Nomor 6 sd ) Htung g( ) d dengan = arah postf, bla g() = 6. ( ) 7. ( ) 8. cos + 9. e π. ( +). e sn Daftar Pustaka.. E B Saff, A D Snder, Fundamental of omplex Analyss for mathematcs, Scence, and Engneerng, Prentce Hall Inc, USA, 976. ( Hal 89 sd 7 ).