BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN Fungsi Logaritma Natural Fungsi Balikan (Invers) Fungsi Eksponen Natural Fungsi Eksponen Umum an Fungsi Logaritma Umum Masalah Laju Perubahan Seerhana Fungsi Trigonometri Balikan Turunan Fungsi Trigonometri Fungsi Hiperbolik an Balikannya
Untuk menyajikan persoalan-persoalan yang lebih rumit, kita memerlukan perluasan fungsi-fungsi yang apat ipakai. Fungsi Logaritma Natural Fungsi Logaritma Natural (isingkat ln), itulis f()ln, iefinisikan sebagai, ln t, > t Daerah efinisi (D f ) an Daerah nilai (R f ) fungsi ini aalah D f (0,+ ) an R f R. Fungsi ini aa hubungannya engan fungsi logaritma yang telah ipelajari paa sekolah lanjutan. 0
Grafik ari fungsi f()ln aalah, Teorema (Turunan Fungsi Logaritma Natural) (ln ), > 0. ; u u u u. (lnu)., u( ) > 0, u aa.
Teorema (Sifat Logaritma Natural). Jika a, b > 0 an r є Q an r -, maka. ln 0;. ln a.b ln a + ln b;. ln a/b ln a ln b; 4. ln a r r.ln a. Contoh. (ln + ) ln( ) ln(+ ) + (Menggunakan rumus turunan an sifat logaritma natural. Selain itu, apat juga menggunakan Aturan Rantai). Seangkan D f (-,). 4
Setiap bentuk turunan itu aa rumus integralnya. Akibatnya ari teorema, iperoleh u lnu + C, u 0. u Contoh. Hitung. Jawab. Misalkan u0-, u-, maka Menurut Teorema asar kalkukus iperoleh, 0 u u + C ln ln0 0 u 0 ln0 ln9. + C Agar perhitungan i atas berlaku, 0-0 paa [-,]. 5
Latihan. A. Tentukan turunan fungsi i bawah ini.. f() ln(/ - ).. y ln (-)/. B. Hitung nilai integral berikut.... +. + 0 tan. 6
Fungsi Balikan (Invers). Misalkan fungsi yf(), engan є D f an y є R f. Bila f apat ibalik, maka iperoleh fungsi f - (y). Fungsi f - isebut balikan (invers) ari fungsi f. Sebagai contoh, jika yf() -, maka f - (y) Tiak semua fungsi mempunyai balikan. Sebagai contoh, jika yf() tiak mempunyai balikan, kecuali kalau aerah efinisinya ibatasi. y +. Teorema. Eksistensi Fungsi Balikan. Jika fungsi f monoton murni paa aerah efinisinya, maka f mempunyai balikan. 7
Langkah-langkah mencari inver fungsi yf(),. Nyatakan engan y ari persamaan yf();. Nyatakan bentuk alam y sebagai f - (y) f - (y);. Ganti y engan an engan y ari f - (y), iperoleh y f - (). Contoh. Tentukan rumus untuk f - () bila yf()/(-). Jawab. Langkah: y /(-) (-).y (+y)y y/(+y); Langkah: f - (y) y/(+y); Langkah: f - () /(+); 8
Bila f mempunyai balikan f - maka f - juga memiliki balikan f sehingga iperoleh, f - (f()) an f(f - (y)) y. Jika f mempunyai balikan, maka f - (y) y f(). Catatan. Lambang f - bukan berari /f. Grafik fungsi yf - () aalah pencerminan grafik yf() terhaap garis y. Sebagai contoh, grafik fungsi yf - () aalah pencerminan grafik yf() - terhaap garis y. + y + y y 9
Teorema 4. (Turunan Fungsi Balikan). Misalkan f mempunyai turunan an monoton murni paa I. Jika f () 0 untuk suatu Є I, maka f - apat iturunkan i titik y f() paa aerah nilai f an berlaku ( f ) ( y ). f ( ) Rumus tersebut apat juga itulis y y Contoh 4. Misalkan yf() 5 + +. Maka ( f ) (4) f () 5 + (Berasarkan fakta y4 sepaan engan an f ()5 4 + ) 7. 0
Latihan. Rumuskan f - () ari fungsi f() berikut,. f() +5. f() -/4 + 5. f() (-)/(+) 4. f() /, 0.
Fungsi Eksponen Natural. Bilangan e aalah suatu bilangan real yang merupakan jawaban tunggal ari persamaan ln. Nilai hampirannya aalah e,788. Fungsi eksponen natural aalah suatu fungsi yang iefinisikan oleh persamaan f() e. Teorema 5. (Hubungan Fungsi ln engan ep). Fungsi f : R (0,+ ), f() e aalah invers ari fungsi g : (0,+ ) R, g() ln. Bentuk lain apat itulis y e ln y.
Karena antara ep an ln aalah fungsi-fungsi yang saling invers, maka grafik y e aalah grafik y ln yang icerminkan terhaap garis y. (Seperti gambar i samping). Teorema 6 (Sifat Eponen Natural). Jika a, b є R, maka. e 0 ;. e a.e b e a+b ;. e a /e b e a-b ; 4. (e a ) b e a.b.
Teorema 7 (Turunan Fungsi Eksponen Natural) ( e. ; ) e. u u u u ( e ) e e u'; u' aa. Contoh 5.. ( ) ln ln ln ln e e ( ln ) e + ln e ( + ln ). ( e cos ) e ( sin ) + ( cos ) e e ( cos sin ) Akibatnya, rumus integral fungsi eksponen natural, u u e u e + C. 4
Contoh 6. e e ( ) + C. (Misalkan u -, sehingga u - ) e Latihan. A. Tentukan turunan fungsi berikut.. y e sin ;. y ln ( - e )/( + e ). B. Hitung nilai integral berikut. e. ;. e 5
Fungsi Eksponen Umum Fungsi eksponen engan bilangan asar a>0 an peubah bebas real iefinisikan sebagai, f() a e ln a. Akibatnya, ln a ln a. Teorema 8. (Sifat-sifat eksponen umum).. a 0, a>0; 5. a - /a, a>0,,yєr;. a a, a>0; 6. (a )y a y, a>0,,yєr;. a.a y a +y, a>0,,yєr; 7. (ab) a.b,a,b>0, yєr; 4. a /a y a -y, a>0,,yєr; 8. (a/b) a /b,a,b>0, yєr; 6
Teorema 9.(Turunan fungsi eksponen Umum).. ( a ) a lna, a > 0;. u u ( a ) ( a lna) u'; u' aa. Akibatnya iperoleh, a u u u a lna + C, a > 0, a. Catatan. Beakan engan fungsi f() a. 7
Fungsi Logaritma Umum Jika a>0 an a, maka fungsi logaritma engan bilangan asar a, itulis y f() a log. Diefinisikan sebagai invers ari fungsi eksponen engan bilangan asar a, a. Hubungan keua fungsi ini itentukan oleh relasi y a log a. Teorema 0.(Hubungan logaritma engan log. Natural). a log ln / ln a, a>0, a ;. a log e /ln a; ln a / a log e, a>0, a. 8
Teorema.(Sifat-sifat Logaritma). Jika a>0 an a an,y>0, maka. a log.y a log + a log y; 4. a log 0;. a log (/y) a log - a log y; 5. a log a.. a log y y a log ; Teorema.(Turunan fungsi Logaritma Umum).. a a loge ( log ), a > 0, a, > 0;. a a ( loge). u' ( logu), a > 0, a, u > 0, u' aa; u 9
Contoh 7. ln... ln ln ( ) ( ln ).. + ln ( + ln )(. ln). loge. cos loge ( log(cos ) ( cos ).( sin ) loge.tan cos u u 4 4 4 4 ( ) 4 u + C ln4.ln4 + C Latihan. A. Hitung turunan berikut.. y y ;. log y y. B. Hitung Integral berikut. e ln. ;. e log 0
Masalah Laju Perubahan Seerhana Misalkan suatu populasi yang besarnya setiap saat berubah bergantung paa waktu t. Bila laju perubahan populasinya setiap saat sebaning engan besarnya populasi saat itu, maka masalah yang muncul inamakan Masalah Laju Perubahan Seerhana. Untuk menyelesaikan masalah ini, misalkan P(t) besarnya populasi paa saat t, maka P/t laju perubahan populasi paa saat t. Karena iketahui P/t sebaning P, terapat konstanta k 0, sehingga P P/t kp, k 0. (*) Jika k > 0, maka populasi bertambah, k < 0 berkurang.
Selanjutnya akan iselesaikan persamaan (*). P/P k t, k 0 an P > 0 P/P k t ln P kt + C, C konstanta sebarang. P e kt + C C e kt, C > 0. Ini berarti, populasinya berubah secara eksponen terhaap t. Contoh 8. Laju pertumbuhan penuuk suatu kota paa setiap saat berbaning lurus engan jumlah penuuknya paa saat itu. Bila jumlah penuuk kota itu bertambah ari, juta jmenjai,8 juta jiwa alam kurun waktu 0 tahun, tentukan lamanya waktu yang iperlukan sehingga penuuk kota itu bertambah ari, juta menjai,7 juta jiwa.
Contoh 9. Suatu zat raio aktif meluluh engan laju yang sebaning engan banyaknya zat saat itu. Zat tersebut memerlukan waktu 5570 tahun untuk mneyusut menjai setengahnya. Apabila paa saat awal aa 0 gram, berapakah sisanya setelah 000 tahun?
Fungsi Trigonometri Balikan. Balikan ari Sinus iperoleh engan membatasi aerah efinisinya paa selang [-π/, π/], sehingga sin - y y sin an -π/ π/. y sin y sin Grafik y sin an grafik y sin -. Fungsi y f() sin - mempunyai D f [-, ] an R f [-π/, π/]. 4
Balikan ari Cosinus iperoleh engan membatasi aerah efinisinya paa selang [0, π], sehingga cos - y y cos an 0 π. y cos y cos Grafik y cos an grafik y cos -. Fungsi y f() cos - mempunyai D f [-, ] an R f [0, π]. 5
Balikan ari Tangen iperoleh engan membatasi aerah efinisinya paa selang (-π/, π/), sehingga tan - y y tan an -π/ < < π/. y tan y tan Grafik y tan an grafik y tan -. Fungsi y f() tan - mempunyai D f R an R f (- π /, π/). 6
Balikan ari Secan iperoleh engan membatasi aerah efinisinya paa selang [0,π/)U (π/,π], sehingga sec - y y sec an 0 π, π/. y sec y sec Grafik y sec an grafik y sec -. Fungsi y f() sec - mempunyai D f R [-,] an R f [0, π] {π/}. 7
Teorema. (Turunan Balikan fungsi Trigonometri) ( ) ;. sin, < <. ( tan ) + ( ) ; cos, < <. 4. ( sec ), > Akibatnya, iperoleh integral berikut,. sin + C.. tan + C + sec + C 8
Contoh 0.. 4 ( sin (4 ) ). ( 4 ). (4 ) 6 + 8. 4 4 4 4 sin + C 9
Fungsi Hiperbolik an Balikannya. Fungsi Hiperbolik iperoleh ari campuran fungsi e an fungsi e -. Fungsi sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik an empat fungsi hiperbolik lainnya, iefinisikan sebagai berikut. sinh ( e e sinh tanh cosh sec h cosh ) cosh ( e + cosh coth sinh csc h sinh Berlaku hubungan : cosh sinh e ) 0
y sinh() y cosh() Teorema 4. (Turunan fungsi hiperbolik) (sinh ) cosh (tanh ) (sec h ) sec h sec h.tanh (cosh ) (coth ) (csc h ) sinh csc h csc h.coth
Balikan Fungsi Hiperbolik. Dengan cara membatasi aerah efinisi fungsi hiperbolik paa suatu himpunan tertentu agar fungsinya satu-kesatu, maka apat iefinisikan balikan fungsi hiperbolik sebagai berikut. sinh - y y sinh cosh - y y cosh, 0 tanh - y y tanh coth - y y coth, 0 sech - y y sech, 0 csch - y y csch
Karena fungsi hiperbolik apat inyatakan sebagai fungsi eksponen, maka balikannya apat inyatakan sebagai fungsi logaritma natural. Teorema 4. (Balikan fungsi hiperbolik alam logaritma) sinh ln ( + +. cosh ln ( +, >. tanh ln +, < <. coth ln +, [, ]. sec h ln ( +, 0 <. csc h ln ( + + 0.,
Rumus turunan balikan fungsi hiperbolik iperoleh ari rumus turunan fungsi balikan atau apat juga ari bentuk logaritma naturalnya. Turunan balikan fungsi hiperbolik inyatakan oleh rumus berikut. Teorema 5. (Turunan Balikan fungsi hiperbolik) (sinh (tanh (sec h ). + ), < <. ), < <. (cosh (coth (csc h ), >. ), [, ]. ), 0. + Latihan. Buktikan Teorema, 4 an Teorema 5. 4
SOAL-SOAL BAB 6. 7. no., 6, 7,8, 7,. 7. no. 8,7, 7. 7. no., 6, 7, 9,,,. 7.4 no., 4, 5, 8, 5, 7. 7.5 no., 4. 7.6 no., 5, 6, 5 7.7 no. 5, 7,4,,, 9, 5, 6. 7.8 no., 9,,,, 5. 5