BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya perlu turua sepihak) Lambag ati-turua (itegral tak-tetu) oleh Leibiz adalah... d, sehigga berdasarka defiisi dapat ditulis f ( ). d = F( ) + C Cotoh : Tetukalah ati turua dari f() = Jawab: 4 4 F() = 4( ) = 4 yag memeuhi F () = f() = 4, sehigga 4 Ati turua dari f() = Dega Derive: Cara : 4 adalah 4 + C Tulislah: it(4,, c) eter, lalu klik tada sama dega. Cara :. Tulislah: 4 eter. Klik ico Klik ico, gati kosta dega c, da OK. Klik ico Meggambar f() da ati turuaya: Klik 4, lalu klik tada gambar = Tulislah: Vector( 4 + c, c, -, ) eter, lalu klik tada gambar
Tugas Kelompok:. Guaka defiisi utuk meetuka : a. d pada (-, ) b. d pada (-, ) c. 4 / d pada (-, ). Cocokka jawaba ada pada dega megguaka derive. Atura Pagkat Tetukalah itegral tak-tetu berikut dega megguaka Derive: a. d =... b. d =... c. d =... d. d =...
e. d =... f. d =... Dapatkah ada meyimpulka d =... Berika alasa dari kesimpula ada,... Teorema A (Atura Pagkat): Jika r adalah sebarag bilaga rasioal kecuali -, maka r r+ d = + c ; r da r Bilaga rasioal r + Tugas kelompok:. Utuk membuktika Teorema A, harus ditujukka bahwa f ( ) d = F( ) + C D ( F( ) + C) = f(). Buktika Teorema A!. Dif(y, ) adalah utuk mecari diferesial y = f() terhadap. Kostruksilah lagkah-lagkah utuk membuktika teorema atura pagkat dega megguaka derive.. Selesaika berdasarka atura pagkat da derive a. d b. d c. 4 / d
4 4. Tetukalah itegral tak-tetu si( ) d da cos( ) d dega megguaka Derive, juga gambar grafik masig-masig fugsi da ati turuaya. Teorema B: si( ) d = cos( ) + c da cos( ) d = si( ) + c Buktika teorema B tersebut dega Derive! Teorema C: Itegral tak tetu adalah operator liear kf = f ( ) d. ( ) d k. [ ( ) g( ) d = f ( ) d + f + g( ) d. [ ( ) g( ) d = f ( ) d f g( ) d Buktika teorema tersebut secara teoritis (maual)! Cotoh : Dega megguaka kelieara itegral, hituglah Jawab: ( 4) + d ( + 4) d = d + 4 d = + C + + C = + + C Dega Derive: Tulis: it(^,, c) + it(4,, d) eter, lalu klik tada sama dega. Klik F4, lalu gati c+d dega K eter Klik ico Calculus, pilih Vektor, ubah variabel ke k, isi startig value dega - da edig value dega, OK, lalu klik tada gambar
5 Atura Pagkat yag Digeeralisir Teorema D (Atura Pagkat): Adaika g suatu fugsi yag terdiferesialka da r suatu bilaga rasioal yag buka -, maka r + r [ g( )] [ g( ) g' ( ) d = + c r + Cotoh : Tetukalah ( + 6) ( + 6) d Jawab: Misalka u = + 6 maka du = + 6 d ( + 6) ( + 6) d = u du = u + C = ( + 6) + C
6 Dega Derive: Misalka u = + 6. Deklasilaka: u : = + 6 eter da du:=dif(u,). Klik =. Tulis u, eter 4. Klik ico, gati variabel dega u, OK 5. Klik =, lalu Simplify >> Epad Hasilya adalah seperti gambar berikut. Sehigga, 9 7 5 ( + 6) (6 + ) d = + 6 + 6 + 7 + c Tugas Kelompok: Tujukka bahwa ( + 6) = 9 + 6 7 + 6 5 + 7
7 Soal-Soal Latiha: Carilah ati-turua utuk masig-masig fugsi berikut.. f ( ) = + π. f ( ) = 5 / 4. f ( ) = 4. f ( ) = + 5. f 5 ( ) = 4 6. 7 5 f ( ) = 7 + 45 + 7. f ( ) = 6 4 + 8. f ( ) = 4 Tetukalah hasil itegral-itegral berikut dega megguaka operator liear. 9. ( + ) d. ( + ) d ( z. + ) z dz. (si θ cosθ ) dθ Guaka atura pagkat yag digeeralisir utuk meghitug itegral berikut.. ( + ) d 6 4. ( 5 + )(5 + 8) d
8 5. (5 + ) (5 + d 6. t t d 7. 6 si( 6) d 8. si ( ) d 6 9. ( cos() + si()) d Carilah f() dega megitegralkaya dua kali.. f "( ) = +. f "( ) = 4 +. f "( ) =. Adaika F () = si() da F + () = F ( ) d, Tetukalah: a. F (), F (), F (), da F 4 () b. Berdasarka bagia a, perkirakalah F () utuk geap da gajil. 5.. Pedahulua Persamaa Diferesial Cotoh 4: Carilah persamaa-y dari kurva yag melalui (-,) da kemirigaya pada setiap titik pada kurva itu adalah 4 (dy/d = 4 ). Jawab: dy = 4 dy = 4 d d
9 dy = 4 d, kedua ruas diitegralka y + C = 4 + C y = 4 + C Karea kurva melalui (-, ) maka (-, ) disubstitusi pada y = 4 + C, diperoleh = (-) 4 + C atau C = Sehigga, y = 4 + merupaka persamaa-y dari kurva yag melalui (-,) Dega Derive:. Tulislah y = it(4,, c), lalu eter. Klik ico SUB, masukka ilai = -, Klik OK. Klik ico SUB, masukka ilai y =, Klik OK 4. Klik, memperoleh c = 5. Klik y = 4 + c, lalu Klik ico SUB, masukka ilai c =, Klik OK. Hasilya adalah seperti gambar berikut. y= 4 +
Jadi persamaa-y dari kurva yag melalui (-,) da kemirigaya pada setiap titik pada kurva itu adalah 4 adalah y = 4 +. Berdasarka uraia tersebut, maka dy/d = 4 atau dy = 4 d disebut persamaa diferesial. Defiisi: Persamaa diferesial adalah suatu persamaa yag tidak diketahui berupa fugsi da melibatka turua (diferesial) dari fugsi yag tidak diketahui tersebut. Cotoh 5: Selesaikalah persamaa diferesial dy + =, d y kemudia carilah peyelesaia yag memeuhi y = 6 bilamaa =. Peyelesaia dega Derive:. Tulislah: it(y, y, c) = it( +,, d) eter, lalu Klik ico = y. Persamaaya adalah + c = + + d atau y = + + C. Tulislah: y = + + C 4. Klik ico SUB, masukka =, Klik OK da ulagi utuk y = 6, Klik OK 5. Klik, memperoleh c = 6 6. Klik y = + + C, Klik ico SUB, masukka ilai c = 6, Klik OK. Hasilya adalah seperti gambar berikut.
Jadi peyelesaia umum persamaa diferesial adalah y = + + C. Peyelesaia khusus yag memeuhi y = 6 bilamaa = adalah y = + + 6. Cotoh 6: Aggaplah percepata beda jatuh karea grafitasi adalah kaki per detik kuadrat dega hambata udara diabaika. Jika suatu beda dilempar ke atas dari ketiggia kaki (Gambar ) dega kecepata 5 kaki per detik, carilah kecepata da tiggiya 4 detik kemudia. Gambar
Jawab: Mula-mula kecepata v = ds/dt adalah positif (s meigkat) tetapi percepata a = dv/dt adalah egatif (tarika grafitasi cederug memperkecil v). Sehigga titik awal persamaa diferesial adalah dv/dt = -, dega syarat v = 5 da s = pada saat t =. dv/dt = - v = dt = -t + C Karea v = 5 pada t =, diperoleh C = 5, sehigga v = -t + 5 Selajutya, ds/dt = -t + 5 s = t + 5 dt = -6t + 5t + K Karea s = pada t =, diperoleh K =, sehigga s = -6t + 5t + Akhirya pada saat t = 4, diperoleh: v = -(4) + 5 = -7 kaki per detik da s = -6(4) + 5(4) + = 944 kaki. Soal-oal Latiha: Dalam soal-soal -5, Carilah peyelesaia umum persamaa diferesial yag diberika, lalu carilah peyelesaia khususya yag memeuhi syarat yag ditujukka. dy. = + ; y = pada = d
dy. = ; y = pada = d y dz. = t z ; z = pada t = dt ds 4. = 6t + 4t ; s = pada t = dt dy 4 5. = ( + ) ; y = 6 pada = d 6. Carilah persamaa-y dari kurva yag melalui (,) da kemirigaya setiap titik pada kurva itu adalah tiga kali koordiat--ya. 7. Carilah persamaa-y dari kurva yag melalui (-,) da kemirigaya pada setiap titik pada kurva itu adalah tiga kali kuadrat koordiat-y-ya. 8. Sebuah bola dilemparka ke atas dari permukaa bumi dega kecepata awal 96 kaki per detik. Berapakah tiggi maksimum yag dicapai bola tersebut? 9. Pada permukaa Bula, percepata gravitasi adalah -5,8 kaki per detik per detik. Jika sebuah beda dilemparka ke atas dari ketiggia awal kaki dega kecepata 56 kaki per detik, carilah kecepata da tiggiya 4,5 detik kemudia.. Laju perubaha volume V suatu bola salju yag mecair berbadig lurus dega luas permukaa bola S; yaki dv/dt = -ks, dega k kostata positif. Jika pada saat t =, jari-jari bola r =, da saat t =, jari-jari r =,5. Tujukka bahwa r = t +.
4 5.. Notasi Sigma Perhatika jumlah: + + + 4 +... + = i Peyelesaia dega Derive:. Tulislah: i. Klik ico Σ, masukka lower limitya da upper limitya, OK. Klik ico = Hasilya adalah seperti berikut. Jadi + + + 4 +... + = i = 85
5 Tugas Kelompok Guaka derive utuk meemuka rumus jumlah khusus berikut: a. i b. i =... =... c. i =... d. i 4 =... Defiisi: Misalka a, a, a,..., a adalah buah bilaga-bilaga. Jumlaha a + a + a +... + a diotasika sebagai sigma dega simbol a i Cotoh 7: Hituglah: a. i Jawab: ( + ) a. i = = 55 b. i c. i 4 ( + )( + ) b. i = = 85 6 4 4 4 ()(6 + 9 + ) c. i = i = = 5.
6 Soal-Soal Latiha Dalam soal-soal -4, tetukalah hasil jumlah berikut.. + + +... + 4. + + +... + 7. k k= + 8 4. ( ) m= 6 m m 5. cos( π ) = 4 6. ( ) k k k= + 7. i 8. k k= k 9. ( i ). Buktika dega iduksi matematis rumus jumlah khusus yag telah ada temuka dalam tugas kelompok.
7 5.4. Luas Poligo Dalam Riema Tijaulah daerah R yag dibatasi oleh parabola y = f() =, sumbu-, da garis tegak =. Kita megguaka acua R sebagai daerah dibawah kurva y = diatara = da =. Sasara kita meghitug luas daerah A(R) pada gambar. Gambar Buatlah selag [,] mejadi selag bagia, buat poligo-poligo dega tiggi f() = da lebar = (lihat gambar ), Luas A(R) = f ( i ) = f( ) + f( ) + f( ) =. +. + 4. = 5.
8 Gambar Buatlah selag [,] mejadi 6 selag bagia, buat poligo-poligo dega tiggi f() = da lebar = / (lihat gambar ), Luas A(R) 5 = f ( i ) = f( ) + f( ) + f( ) + f( ) + f( 4 ) + f( 5 ) = (/) + (/4)(/) + (/) + (9/4)(/) + 4(/) + (5/4)(/) = 6,875.
9 da seterusya sampai selag bagia diperoleh: A(R ) = f ( i ) = i ( ) ( ) = 7 i 7 ( ) ( ) = [ ] 6 7 + 7 = [ ] = [ ] 6 6 + A(R) = 7 lim [ ] 6 + = 9. Rumus umum poligo dalam Riema: = ( ) = lim A R i f ( ) i Dega Derive: Left_Riema(f(),,a,b,) adalah utuk meghitug luas daerah poligopoligo dalam Riema y = f(), a b, da selag bagia. Tugas Kelompok Kostruksilah lagkah-lagkah pegerjaa dega Derive sehigga ada meemuka bahwa A(R) = 9.
Soal-Soal Latiha Dalam soal-soal -, carilah luas poligo dalam yag ditujukka. y=+. y=+ y=+.
Dalam soal-soal 4-5, Hituglah luas daerah di bawah kurva y = f(), a b pada selag bagia yag diberika. 4. f() = -, a =, b =, = 4 5. f() =, a =, b =, da = 6 6. f() = + +, a = -, b =, da = Dalam soal-soal 6-, Hituglah luas daerah di bawah kurva y = f(), a b. Utuk melakuka ii, bagilah a b atas selag bagia, hitug jumlah luas poligo dalam, da tarik ilai limit. 7. y = +, a =, b = 8. y = +, a =, b = 9. y =, a =, b =. y = +, a =, b =
5.5. Itegral Tetu Defiisi Grafik y = f() dalam iterval [a,b], itervalya dibagi atas selag bagia dega pajag setiap poligo b a adalah titik tegah alas poligo maka k= b a Riema. f ( ); k dega b a a + ( k ) da tiggiya f( k ) utuk suatu k b a a + k k disebut jumlaha Cotoh 8: Hituglah jumlaha Riema f() = +, -. Deklarasika: f():= +. b a Tulislah:. f ( a + k( b a) / ). Tarik sigma ke-k, k = sampai k =, 4. Substitusi a = - da b = 5. Tarik limit ke- utuk 6. Klik ico sama dega.
Jadi hasil jumlaha Riemaya adalah 6 Defiisi Misalka P (orma P) meyataka selag bagia yag terpajag, da f terdefiisi pada selag tutup [a, b]. Jika lim ΙPΙ f ( ) i i ada, maka f teritegralka pada [a, b]. Lebih lajut f ( ) d disebut itegral tetu (Itegral Riema) f dari a ke b, yaki: b f ) d a ( = lim f ( i ) ΙPΙ i b a Cotoh 9: Hituglah ( + ) d. Tulislah: (-+i(5/))(5/) eter. Tarik sigma ke-i, i = sampai i =, OK. Tarik limit, OK 4. klik ico sama dega.
4 Jadi ( + ) d = 5/ Teorema A: Teorema Dasar kalkulus Aggaplah f kotiu (da teritegrasika) pada selag [a, b], da aggaplah F sebarag ati turua f pada [a,b], jadi b a f ( ) d = F( b) F( a)
5 Teorema B: Itegral tetu adalah operator liear b. ( ) d = k a kf f ( ) b a d b. [ f ( ) + g( ) d = f ( ) d + g( ) a b. [ f ( ) g( ) d = f ( ) d g( ) a b a b a b a b a d d Cotoh : Hituglah Jawab: ( + ) d ( + ) d = d + d = ( )] + ( )] = ( ( ) ) + (. ( ) = 5 + 5 = Meyelesaika cotoh dega Derive: It(f(),, a, b) adalah utuk meghitug itegral tetu y = f() dari = a ke b.. Tulislah: It ( +,, -, ) eter. Klik ico sama dega.
6 Cotoh : Hituglah - ( 4) d. Tulislah: -It( - 4),, -, ) eter. Klik ico sama dega.
7 Jadi - ( 4) d = 6/ Jika daerah R sebagia terletak di atas sumbu- da sebagia berada di bawah sumbu- maka luasaya dapat dihitug dega memafaatka teorema berikut. Teorema (sifat tambaha pada selag) Jika f terdiferesialka pada sebuah selag yag megadug titik a, b, da c maka c f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d a b a b c Cotoh : Hituglah ( 8) d
8. Tulislah: -It( - 8),, -, ) + it( 8,,, ) eter. Klik ico sama dega. Jadi ( 8) d = 68/ Soal-Soal Latiha Dalam soal-soal -6, Hituglah itegral tetu dega megguaka defiisi.. ( + ) d 4. ( + ) d. ( + π ) d 5. ( + ) d
9. d + 5 ) ( 6. d + ) ( Dalam soal-soal 7-, Hituglah d f b a ) ( dega a da b batas kiri da kaa dimaa f terdefiisi, dega megguaka sifat tambaha pada selag da rumus luas yag cocok dari geometri bidag. 7. < < = 5 ) ( jika jika jika f 8. + = ) ( ) ( jika jika f 9. < = ) ( jika jika f. < = 4 ) ( jika jika f Dalam soal-soal -6, Hituglah itegral berikut.. d + ) ( 4. d 6 ) si(. d ) ta( 5. d + 4 ) (. d + 4 6. d