METODE RANK NONPARAMETRIK PADA MODEL REGRESI LINEAR

METODE RANK NONPARAMETRIK PADA MODEL REGRESI LINEAR oleh KUSUMA M4 SKRIPSI dtuls dan daukan untuk memenuh sebagan persyaratan memperoleh gelar Sarana Sans Matematka FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 7

SKRIPSI METODE RANK NONPARAMETRIK PADA MODEL REGRESI LINEAR yang dsapkan dan dsusun oleh KUSUMA M4 Pembmbng I, dbmbng oleh Pembmbng II, Dra. Sr Subant, M. S. NIP 3 568 93 Dra. Mana Roswtha, M. S. NIP 3 85 863 telah dpertahankan d depan Dewan Pengu pada har Senn, tanggal 4 Jun 7 dan dnyatakan telah memenuh syarat. Anggota Tm Pengu Tanda Tangan. Dra. Yulana Susant, M. S...... Dra. Etk Zukhronah, M. S..... 3. Irwan Susanto, DEA 3.... Surakarta, 4 Jun 7 Dsahkan oleh Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan, Ketua Jurusan Matematka, Prof. Drs. Sutarno, M. Sc., Ph. D. NIP 3 96 776 Drs. Kartko, M. S. NIP 3 569 3

ABSTRAK Kusuma, 7. METODE RANK NONPARAMETRIK PADA MODEL REGRESI LINEAR. Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam. Unverstas Sebelas Maret. Persamaan Y = β + βx + β X + L + βk X k + ε merupakan model regres lnear dengan β adalah parameter regres yang destmas berdasarkan data pengamatan. Metode kuadrat terkecl merupakan metode estmas parameter regres yang dapat memberkan hasl yang optmal ka sesatannya dasumskan berdstrbus normal, ε ~ N (, σ ). Jka kenormalan tdak dpenuh maka estmas parameter regres yang dperoleh tdak tepat. Sesatan yang tdak berdstrbus normal dapat dndkaskan dengan adanya penclan (outler). Metode rank nonparametrk merupakan metode estmas parameter regres yang dapat dgunakan untuk menganalss data ka sesatannya tdak berdstrbus normal yang dndkaskan dengan adanya penclan. Tuuan dalam penulsan skrps adalah menentukan estmas parameter regres dan u sgnfkans parameter regres untuk mengetahu hubungan antara varabel bebas dengan varabel tak bebas menggunakan metode rank nonparametrk. Metode yang dgunakan dalam penulsan skrps adalah stud lteratur. Berdasarkan hasl pembahasan dapat dsmpulkan bahwa estmas parameter regres dperoleh dengan memnmumkan umlah rank ssaan berbobot. Hpotess yang dgunakan pada regres lnear sederhana adalah H : β = dan H : β dengan statstk u U t =. SD U Hpotess nol H dtolak ka < α T t dan nla p dperoleh menggunakan tabel dstrbus t dengan deraat bebas n. Pada regres lnear ganda, hpotess yang dgunakan adalah H : βl + = L = β k = dan H : β + dengan statstk u l, K, k F rank = ( ) p dengan p = Prob [ ] JRSB tereduks JRSB l cτ penuh ( k ) p < α dengan p = Prob [ F F ] Hpotess nol H dtolak ka rank dperoleh menggunakan tabel dstrbus F dengan deraat bebas k n k. Kata kunc: model regres lnear, metode rank nonparametrk. dan nla p l dan

ABSTRACT Kusuma, 7. NONPARAMETRIC RANK METHOD ON LINEAR REGRESSION MODEL. Faculty of Mathematcs and Natural Scences. Sebelas Maret Unversty. The equaton Y = β + βx + β X + L + βk X k + ε s a model of a lnear regresson wth β are regresson parameters whch are estmated based on the observatons of data. The least square method s a method to estmate the regresson parameters that gves an optmal result f the error terms assumed have normally dstrbuted, ε ~ N (, σ ). If the normalty assumpton s not satsfed then estmaton of regresson parameters s not exact. The volaton of normalty assumpton s ndcated by the occurence of outlers. The nonparametrc rank method can be used to analyze the data f the errors have not normally dstrbuton whch ndcated by the occurence of outlers. The ams of the fnal proect are to estmate the regresson parameters and to test the sgnfcance of regresson parameters to know the relatonshp of ndependent varable wth dependent varable, usng the method of nonparametrc rank. The method used n ths fnal proect s a lterary study. Based on the dscusson, t can be concluded that estmaton of regresson parameters s obtaned by mnmzng the sum of rank weghted resduals. The hypothess used on smple lnear regresson s H : β = versus H : β wth the test statstcs U t =. SD U The zero hypothess H s reected when < α T t and p value s obtaned by usng t dstrbuton table wth n degrees of freedom. On the multple lnear regresson, the hypothess used s H : βl + = L = β k = versus H : β l +, K, k wth the test statstcs JRSB JRSB F rank = tereduks ( ) p where p = Prob [ ] l cτ penuh. ( k ) p < α where p = Prob [ F F ] The zero hypothess H s reected when rank and p value s obtaned by usng F dstrbuton table wth k l and n k degrees of freedom. Key words: lnear regresson model, nonparametrc rank method v

MOTO Empat kat P Untuk merah keberhaslan Perencanaan yang bertuuan. Persapan yang penuh DOA. Proses yang postf Pengearan yang penuh ketabahan Lakukan Har In Lakukan hal yang benar, Lakukan har n. Lakukan dengan tdak mengaharapkan penghargaan, Lakukan dengan senyuman dan skap yang cera, Lakukan terus har dem har dem har. Lakukan dan suatu saat, Akan datang harnya, Yang merupakan har perolehan ga, Karena setap har yang kemarn yang anda habskan, Mengarah pada har n. Yang tdak hanya akan member nla pada har n, Tap uga akan membuat har-har berkutnya, Lebh terang dar har-har kemarn. Dan apa lag yang akan anda mnta dar sebuah Har? v

persembahan Karya n kupersembakan untuk My Father n the heaven... My Mom ı love u s o mu ch My brother n My sster..thanx for all Aat, Dw, La, Lsha, Naom, Fenne dan Trsna. My frend ( Stephanus J ohan. )...always t hanx. v

KATA PENGANTAR Dengan kash karuna dar Allah Bapa, penuls mengucapkan syukur atas terselesakannya skrps yang berudul METODE RANK NONPARAMETRIK PADA MODEL REGRESI LINEAR yang daukan sebaga salah satu syarat untuk mendapatkan gelar kesaranaan pada Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unverstas Sebelas Maret. Pada kesempatan n penuls mengucapkan terma kash kepada :. Dra. Sr Subant, M.S sebaga Pembmbng I yang telah memberkan motvas, petunuk serta pengarahan dalam penulsan skrps n.. Dra. Mana Roswtha, M.S sebaga Pembmbng II yang telah memberkan petunuk serta pengarahan dalam penulsan skrps n. 3. Dra. Yulana Susant, M. S sebaga pembmbng akadems yang telah memberkan bmbngan akadems. 4. Seluruh staf dosen dan karyawan, khususnya d urusan Matematka dan umumnya d Fakultas MIPA. 5. Rekan rekan urusan Matematka khususnya angkatan FMIPA UNS atas dukungannya. 6. Semua phak yang telah membantu penuls dalam penyusunan skrps n. Akhrnya, semoga skrps n dapat memberkan manfaat sebagamana yang dharapkan. Terma kash. Surakarta, Jun 7 Penuls v

DAFTAR ISI Halaman JUDUL... PENGESAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... v MOTO... v PERSEMBAHAN... v KATA PENGANTAR... v DAFTAR ISI... v DAFTAR TABEL... x DAFTAR GAMBAR... x DAFTAR LAMPIRAN... x DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL... xv BAB I PENDAHULUAN.... Latar Belakang Masalah.... Rumusan Masalah....3 Batasan Masalah....4 Tuuan Penulsan....5 Manfaat Penulsan... 3 BAB II LANDASAN TEORI... 4. Tnauan Pustaka... 4.. Konsep Dasar Statstka... 4.. Dstrbus Normal... 5..3 Model Regres Lnear... 5..4 U Hpotess... 6..5 Matrks dan Operas Matrks... 6..6 Metode Kuadrat Terkecl dengan Matrks... 7..7 Rank... 8..8 Metode Rank Nonparametrk... 9 v

. Kerangka Pemkran... 9 BAB III METODE PENULISAN... BAB IV PEMBAHASAN... 4. Estmas Parameter Regres Lnear Sederhana... 4. U Sgnfkans Parameter Regres Lnear Sederhana... 5 4.3 Estmas Parameter Regres Lnear Ganda... 7 4.3. Algortma... 7 4.4 U Sgnfkans Parameter Regres Lnear Ganda... 4.5 Contoh Kasus Regres Lnear Sederhana... 4 4.6 Contoh Kasus Regres Lnear Ganda... 34 BAB V PENUTUP... 48 5. Kesmpulan... 48 5. Saran... 49 DAFTAR PUSTAKA... 5 LAMPIRAN... 5 x

DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4. Data Tngkat Kelahran... 4 Tabel 4. Hasl Perhtungan y bx... 3 Tabel 4.3 Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla U... 3 Tabel 4.4 Data Oksdas Amona NH 3 menad Asam Ntrat HNO 3... 34 Tabel 4.5 Tabel 4.6 Hasl Perhtungan Vektor Hasl Perhtungan Vektor u pada Iteras Pertama... 39 u pada Iteras Kedua... 4 Tabel 4.7 Hasl Perhtungan y... 43 ' b x Tabel 4.8 Hasl Perhtungan untuk JRSB penuh... 44 Tabel 4.9 Hasl Perhtungan untuk JRSB tereduks... 45 Tabel. a Hasl Perhtungan vektor u pada Iteras Ketga... 64 Tabel. b Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Ketga. 65 Tabel. a Hasl Perhtungan vektor u pada Iteras Keempat... 68 Tabel. b Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Keempat... 69 Tabel 3. a Hasl Perhtungan vektor u pada Iteras Kelma... 7 Tabel 3. b Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Kelma 73 Tabel 4. a Hasl Perhtungan vektor u pada Iteras Keenam... 76 Tabel 4. b Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Keenam... 77 Tabel 5. a Hasl Perhtungan vektor u pada Iteras Ketuuh... 8 Tabel 5. b Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Ketuuh... 8 x

DAFTAR GAMBAR Gambar 4. Gambar 4. Gambar 4.3 Gambar 4.4 Output Analss Regres untuk Data Penuh pada Data Tngkat Halaman Kelahran... 5 Plot Ssaan dengan Metode Kuadrat Terkecl untuk Data Penuh pada Data Tngkat Kelahran... 6 Ouput Analss Regres Tanpa Data Observas 3 pada Data Tngkat Kelahran... 7 Output Analss Regres Tanpa Data Observas 3 dan 3 pada Data Tngkat Kelahran... 8 Gambar 4.5 Plot Ssaan dengan Metode Rank Nonparametrk... 3 Gambar 4.6 Estmas Gars Regres dengan Metode Rank Nonparametrk... 3 Gambar 4.7 Output Analss Regres untuk Data Penuh pada Data Oksdas Amona NH 3 menad Asam Ntrat HNO 3... 35 Gambar 4.8 Gambar 4.9 Plot Ssaan dengan Metode Kuadrat Terkecl untuk Data Penuh pada Data Oksdas Amona NH 3 menad Asam Ntrat HNO 3... 36 Output Analss Regres Tanpa Data Observas pada Data Oksdas Amona NH 3 menad Asam Ntrat HNO 3... 37 x

DAFTAR LAMPIRAN Lampran. Output Analss Regres Tanpa Data Observas dan 4 pada Halaman Data Oksdas Amona NH 3 menad Asam Ntrat HNO 3... 5 Lampran. Output Analss Regres Tanpa Data Observas, 4 dan 3 pada Data Oksdas Amona NH 3 menad Asam Ntrat HNO 3 5 Lampran 3. Output Analss Regres Tanpa Data Observas, 4, 3 dan pada Data Oksdas Amona NH 3 menad Asam Ntrat HNO 3 5 Lampran 4. Output Analss Regres Tanpa Data Observas, 4, 3, dan Lampran 5. Matrks Lampran 6. Vektor pada Data Oksdas Amona NH 3 menad Asam Ntrat HNO 3... 53 X c dan Matrks ' X c... 54 u pada Iteras Pertama sampa Ketuuh... 55 Lampran 7. Tabel Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Estmas Parameter Regres β... 56 Lampran 8. Tabel Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Pertama... 57 Lampran 9. Tabel Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Kedua... 59 Lampran. Tabel Hasl Perhtungan untuk Rata Rata Pasangan Ssaan dengan Urutan dar Kecl ke Besar... 6 Lampran. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor Nla t dan Vektor u, Vektor d, b pada Iteras Ketga... 64 Lampran. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor Nla t dan Vektor u, Vektor d, b pada Iteras Keempat... 68 Lampran 3. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor Nla t dan Vektor u, Vektor d, b pada Iteras Kelma... 7 x

Lampran 4. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor Nla t dan Vektor u, Vektor d, b pada Iteras Keenam... 76 Lampran 5. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor Nla t dan Vektor u, Vektor d, b pada Iteras Ketuuh... 8 x

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL f ( ) : fungs denstas probabltas α, β : parameter regres Y X ε e τ t F rank JRSB penuh JRSB tereduks H : varabel tak bebas : varabel bebas : sesatan random : ssaan untuk sampel : devas standar untuk populas dalam metode rank nonparametrk : statstk u untuk regres lnear sederhana : statstk u untuk regres lnear ganda : umlah rank ssaan berbobot untuk model penuh : umlah rank ssaan berbobot untuk model tereduks : hpotess nol H : hpotess alternatf b : slope untuk pasangan ttk data ( y ) x, dan ( x, ) y A x : rata rata untuk pasangan ssaan e dan e : matrks dar k varabel bebas pada bars ke b : vektor kolom dar estmas parameter regres β,, K β k xv

BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah Analss regres merupakan analss statstk yang dgunakan untuk mengetahu hubungan antara varabel bebas X dengan varabel tak bebas Y yang terdapat dalam data. Hubungan antara varabel dapat dnyatakan dalam suatu model yang berbentuk fungs. Menurut Brkes dan Dodge (993), persamaan ( K ) Y = f X, X,, X k + ε merupakan model regres yang tersusun dar fungs regres f ( X X K X ),,, k dan sesatan random ε. Model regres serngkal belum dketahu dan dtentukan setelah data pengamatan terkumpul dan danalss. Model regres yang palng sederhana yatu hubungan fungsonal antara satu varabel bebas dengan varabel tak bebas yang berupa gars lurus. Model regres lnear merupakan model regres dengan fungs regres yang berbentuk lnear. Persamaan Y = β + βx + β X + L + βk X k + ε model regres lnear dengan β merupakan adalah parameter regres yang destmas berdasarkan data pengamatan. Metode yang basa dgunakan untuk estmas parameter regres adalah metode kuadrat terkecl. Metode kuadrat terkecl dapat memberkan hasl yang optmal ka sesatannya dasumskan berdstrbus normal, (, σ ) ε ~ N. Pada kenyataannya, asums kenormalan tdak selalu dpenuh sehngga estmas parameter regres yang dperoleh tdak tepat. Sesatan yang tdak berdstrbus normal dapat dndkaskan dengan adanya penclan (outler). Oleh karena tu, dperlukan metode estmas parameter regres yang sesua untuk data dan sesatannya tdak berdstrbus normal yang dndkaskan dengan adanya penclan. Salah satu metode yang dgunakan adalah metode rank nonparametrk. Menurut Brkes dan Dodge (993), metode rank nonparametrk merupakan metode estmas parameter regres yang tdak tergantung asums kenormalan pada sesatan. Dalam hal n merupakan metode untuk mengendalkan pengaruh penclan pada sekumpulan data. Pengamatan berpengaruh merupakan suatu

pengamatan yang ka dkeluarkan dar analss mengakbatkan perubahan yang cukup besar pada model regresnya. Pada model regres lnear, ssaan dapat menunukkan penympangan model dengan data. Semakn besar nla ssaan maka semakn besar penympangan antara model dengan data. Estmas parameter regres dtentukan untuk memperoleh model yang sesua dengan data. Pada metode rank nonparametrk, estmas parameter regres dperoleh dengan memnmumkan umlah rank ssaan berbobot. Selanutnya, dapat dperoleh estmas persamaan regres yang memlk beberapa kegunaan, dantaranya sebaga dasar untuk mengu sgnfkans hubungan antara varabel bebas dengan varabel tak bebas.. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang d atas maka rumusan masalah dalam penulsan skrps n adalah sebaga berkut.. Bagamana menentukan estmas parameter regres dengan metode rank nonparametrk?. Bagamana mengu sgnfkans parameter regres dengan metode rank nonparametrk?.3 Batasan Masalah Batasan masalah dalam penulsan skrps n adalah data yang dgunakan memuat penclan (outler) pada regres lnear sederhana dan regres lnear ganda..4 Tuuan Penulsan Tuuan dalam penulsan skrps n adalah sebaga berkut.. Dapat menentukan estmas parameter regres dengan metode rank nonparametrk.. Dapat mengu sgnfkans parameter regres dengan metode rank nonparametrk.

3.5 Manfaat Penulsan Manfaat yang dapat dperoleh dar penulsan skrps n adalah sebaga berkut.. Manfaat teorts yatu dapat menambah pengetahuan mengena metode rank nonparametrk dalam mengestmas parameter regres dan mengu sgnfkans parameter regres.. Manfaat prakts yatu dapat menerapkan metode rank nonparametrk ka asums kenormalan pada sesatan tdak dpenuh yang dndkaskan dengan adanya penclan.

BAB II LANDASAN TEORI. Tnauan Pustaka Untuk mencapa tuuan penulsan, dperlukan pengertan dan teor teor yang melandasnya. Pada bab n dberkan penelasan tentang konsep dasar statstka, dstrbus normal, model regres lnear, u hpotess, matrks serta operasnya, metode kuadrat terkecl dengan matrks, rank dan metode rank nonparametrk... Konsep Dasar Statstka Pengertan tentang ruang sampel, varabel random, fungs denstas probabltas, varabel random ndependen, varabel random kontnu dan sampel random dberkan sebaga berkut. Defns. (Ban dan Engelhardt, 99) Ruang sampel adalah hmpunan semua hasl (outcomes) yang mungkn dar suatu ekspermen dan dnotaskan dengan S. Defns. (Ban dan Engelhardt, 99) Varabel random X adalah suatu fungs yang memetakan setap hasl e yang mungkn pada ruang sampel S dengan suatu blangan real x sedemkan hngga X (e) = x. Defns.3 (Ban dan Engelhardt, 99) Fungs denstas probabltas (fdp) dar varabel random X dnyatakan sebaga f ( x ) P [ X = x ], = x = x, x, K, x = d dx F ka X dskrt ' ( x ) = F ( x ) ka X kontnu. n Defns.4 (Ban dan Engelhardt, 99) Varabel random ndependen ka X,, X K dkatakan n 4

5 p n [ a x b,, a n x n b n ] = P [ a x b ], untuk setap a b K. = Defns.5 (Ban dan Engelhardt, 99) Jka hmpunan semua harga yang mungkn dar varabel random X terletak d sepanang nterval maka X dsebut varabel random kontnu. Defns.6 (Ban dan Engelhardt, 99) Hmpunan dar varabel random X, K, X n dkatakan sebaga sampel random berukuran n dar suatu populas dengan fungs denstas f(x) ka fdp bersamanya memlk bentuk f ( x x, x ) f ( x ) f ( x ) K f ( x ) K, n, =. n.. Dstrbus Normal Defns.7 (Ban dan Engelhardt, 99) Dstrbus normal dengan rata rata µ dan varans probabltas σ dnotaskan dengan N ( µ,σ ) f ( x ;, σ ) ( x µ ) σ µ = e, untuk < x <. π σ Dstrbus normal dengan rata rata µ = dan varans σ = normal standar yang dnotaskan dengan N (, ) probabltas f x ( x ;, ) = e, untuk < x < π mempunya fungs denstas dsebut dstrbus dan mempunya fungs denstas...3 Model Regres Lnear Menurut Sembrng (995), model regres adalah model yang memberkan gambaran mengena hubungan antara varabel bebas X dengan varabel tak bebas Y yang dpengaruh oleh beberapa parameter regres yang belum dketahu nlanya. Jka analss regres dlakukan untuk satu varabel bebas dengan satu varabel tak bebas, maka regres n dnamakan regres lnear sederhana dengan

6 model Y = β + β X + ε. Jka X, X, K, X k adalah varabel bebas dan Y adalah varabel tak bebas, maka regres n dnamakan regres lnear ganda dan model regresnya adalah Y = β + βx + + βk X k + ε L dengan ~ (, σ ) ε N...4 U Hpotess Defns.8 (Walpole dan Myers, 995) Hpotess statstk adalah suatu anggapan atau pernyataan yang mungkn benar atau tdak, mengena satu populas atau lebh. Hpotess ada dua macam yatu hpotess nol dan hpotess alternatf. Penguan hpotess terhadap suatu nla parameter tergantung kasus yang dseldk, akbatnya defns terhadap kedua hpotess tersebut relatf terhadap kasus yang ada...5 Matrks dan Operas Matrks Menurut Anton (99), matrks adalah susunan seg empat sku sku dar blangan blangan yang secara umum dtulskan sebaga a sampa a mn a, A = a a M a m a a a M m L L O L dsebut entr dar matrks A dan dnyatakan secara umum dengan =,, K, m dan =,, K, n. Matrks yang mempunya m bars dan n kolom dsebut matrks berorde (berukuran) m x n. a a a n n M mn Defns.9 (Hadley, 99) Matrks buur sangkar adalah matrks yang mempunya umlah bars dan kolom yang sama. Defns. (Hadley, 99) Matrks denttas orde n yang dnotaskan dengan I atau I n adalah matrks buur sangkar dengan entr entr pada dagonal utamanya

7 adalah dan untuk yang lannya adalah. Jka A adalah matrks buur sangkar dan I adalah matrks denttas orde n maka perkalannya adalah IA = AI = A. Defns. (Hadley, 99) Invers dar matrks buur sangkar A adalah suatu matrks yang dnotaskan dengan A dan A A = A A = I. Defns. (Hadley, 99) Jka A adalah suatu matrks dan c adalah sembarang skalar maka hasl kal (product) ca adalah matrks yang dperoleh dengan mengalkan masng masng entr dar A dengan c. Defns.3 (Hadley, 99) Jka A adalah sembarang matrks berorde m x n (A m x n ) maka tranpos (A m x n ) dnyatakan dengan ' A berorde n x m yang barsnya merupakan kolom dar A m x n dan kolomnya merupakan bars dar A m x n. Jad, ka A = a M a m L O L a a n M mn maka tranpos dar A m x n adalah ' ( A ) m x n = a M a m L O L a a n M mn ' a = M a n L O L a a m M mn...6 Metode Kuadrat Terkecl dengan Matrks Vektor b ( b b b ) ' β ( β β β ) ' =,, K, k merupakan estmas vektor parameter regres =,, K, k. Menurut Sembrng (995), dalam estmas parameter regres β, β, K, β k pada n data pengamatan, n n ( ) ε β β β L β p k (.) J = = y x x x = = haruslah mnmum. Pada persamaan (.), x, x, K, x k dan y merupakan data pengamatan. Estmas parameter regres dperoleh dengan menurunkan J secara

8 parsal terhadap parameter regres β, β, K, β k kemudan menyamakannya dengan nol. Dengan menggant parameter regres β, β, K, β k dengan estmasnya yatu b, b, K, b k maka dperoleh suatu sstem persamaan lnear n n n n y = nb + b x + b x + L + b x k k = = = = n n n n n y x = b x + b x + b x x + L + bk xk x = = = = = n n n n n y x = b x + b x x + b x + L + bk xk x = = = = =... n n n n n y xk = b xp + b x xk + b x xk + L + bk x k = = = = = Jka dtuls dalam lambang matrks maka persamaan (.) akan menad ' ' ( X X ) b X Y. (.) = (.3) dengan X x L x k x L x k =, Y M M O M xn L x nk = y y M y n b b dan b =. M b k Jka X ' X mempunya nvers (nonsngular) maka persamaan (.3) menad b = ' ' ( X X ) X Y dan vektor b merupakan estmas parameter regres β, β, K, β k...7 Rank Menurut Gbbons (97), msalkan random berukuran n, rank observas ke yatu terurut adalah banyaknya observas X p X. Msalkan X ( ), X ( ),, X ( n ) X,, X, K X n merupakan sampel G dar sampel random yang tdak X p, p =,, K, n sedemkan hngga K merupakan statstk terurut dar sampel random X, X,, X G =. K n, rank dar statstk terurut ke yatu ( )

9..8 Metode Rank Nonparametrk Menurut Brkes dan Dodge (993), metode rank nonparametrk merupakan metode estmas parameter regres yang tdak tergantung asums kenormalan pada sesatan. Pada model regres lnear, estmas parameter regres dengan metode rank nonparametrk dperoleh dengan memnmumkan umlah rank ssaan berbobot n + rank ( e ) e. (.4). Kerangka Pemkran Kerangka pemkran dalam penulsan skrps n dapat delaskan sebaga berkut. Jka suatu data yang akan danalss dengan model regres mempunya sesatan yang tdak berdstrbus normal maka data n dapat danalss dengan metode rank nonparametrk. Sesatan yang tdak berdstrbus normal dapat dndkaskan dengan adanya penclan. Selanutnya, estmas parameter regres dperoleh dengan memnmumkan umlah rank ssaan berbobot n + rank ( e ) e. Pada regres lnear ganda, estmas parameter regres dperoleh dengan menggunakan algortma yang bersfat teratf. Setelah dperoleh estmas persamaan regres, dlakukan u sgnfkans parameter regres untuk mengetahu hubungan antara varabel bebas X dengan varabel tak bebas Y.

BAB III METODE PENULISAN Dalam penulsan skrps, penuls menggunakan metode stud lteratur yatu dengan mengumpulkan referens berupa buku buku yang dapat mendukung pembahasan mengena estmas parameter regres dan u sgnfkans parameter regres dengan metode rank nonparametrk sedangkan untuk melakukan perhtungan pada contoh kasus dgunakan software SPSS for Wndows, Mntab 3 for Wndows dan Mcrosoft Excel. Adapun langkah langkah yang dlakukan dalam penulsan skrps n adalah. menentukan estmas parameter regres,. mengu sgnfkans parameter regres, 3. memberkan contoh kasus.

.. 3. 4.

5. 4.3

BAB V PENUTUP 5. Kesmpulan Kesmpulan yang dperoleh berdasarkan hasl pembahasan adalah sebaga berkut.. Pada regres lnear sederhana, estmas parameter regres β dperoleh dengan memnmumkan n + rank ( y bx ) y bx dan estmas parameter regres α dperoleh dengan medan dar y bx. Pada regres lnear ganda, estmas parameter regres β, β, K, β k dperoleh dengan memnmumkan n + rank y b x + + b x y b x + + b x L L ( ) ( ) ( ) k k k k yatu menggunakan algortma yang bersfat teratf. Estmas parameter regres β dperoleh dengan medan dar y ( b x + + b x ) L. k k. Pada regres lnear sederhana, u sgnfkans parameter regres dlakukan dengan menggunakan hpotess H : β dan H : β. Statstk u yang dgunakan adalah t = n + U = U SD ( U ) dengan = rank ( y ) x dan ( U ) Daerah krts : H dtolak ka < α ( n + ) n SD = ( x x ). p dengan p = Prob [ T t ] nla p dperoleh menggunakan tabel dstrbus t dengan deraat bebas n. dan 48

49 3. Pada regres lnear ganda, u sgnfkans parameter regres dlakukan dengan menggunakan hpotess H : βl + = L = β k = dan H : β +. Statstk u yang dgunakan adalah l, K., k F rank = JRSB tereduks JRSB ( k ) ˆ l cτ penuh n + JRSB dengan = rank ( e ) e n n ( ) ( ) dan A A q q τ =. n ( k + ) (,645 ) Daerah krts : H dtolak ka < α p dengan p = Prob [ F ] F. Nla p dperoleh menggunakan tabel dstrbus F dengan deraat bebas rank k l dan n k. 5. Saran Pada penulsan skrps n, penuls menggunakan bentuk persamaan n + rank ( e ) e untuk memperoleh estmas parameter regres. Bag pembaca yang tertark dengan regres nonparametrk, dapat menggunakan bentuk persamaan ( e ) rank Φ n + untuk memperoleh estmas parameter regres. e

DAFTAR PUSTAKA Anton, H. (99). Elementary Lnear Algebra. Ffth Edton. John Wley & Sons, Inc., New York. Ban, L. J. and Engelhardt, M. (99). Introducton to Probablty and Mathematcal Statstcs. Second Edton. Duxbury Press, Calforna. Brkes, D. and Dodge, Y. (993). Alternatve Methods of Regresson. John Wley & Sons, Inc., New York. Gbbons, J.D. (97). Nonparametrc Statstcal Inference. Mc Graw Hll, Inc., Tokyo. Hadley, G. (99). Alabar Lnear. Teremahan Napospos, N. Soemartoyo. Erlangga, Jakarta. Herzberg, P. A. (983). Prncples of Statstcs. John Wley & Sons, Inc., Canada. Sembrng, R. K. (995). Analss Regres. ITB, Bandung. Walpole, R. E. and Myers, R. H. (995). Ilmu Peluang dan Statstka untuk Insnyur dan Ilmuan. Eds Kedua. Teremahan R. K. Sembrng. ITB, Bandung. 5

LAMPIRAN Lampran. Output Analss Regres dengan Metode Kuadrat Terkecl Tanpa Data Observas dan 4 pada Data Oksdas Amona NH 3 menad Asam Ntrat HNO 3. Regresson Analyss The regresson equaton s Y = 4.3 +.94 X +.66 X.5 X3 Predctor Coef SE Coef T P Constant 4.34 7.44 5.7. X.945.9338.8. X.66.64.37.3 X3.493.973.8.56 S =.4 R Sq = 96.9% R Sq(ad) = 96.3% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 3 889.55 69.85 56.85. Resdual Error 5 6.4 4. Total 8 949.79 Source DF Seq SS X 86.43 X.5 X3 5.6 Unusual Observatons Obs X Y Ft SE Ft Resdual St Resd 3 75. 37. 33.33.895 3.668.5R R denotes an observaton wth a large standardzed resdual Lampran. Output Analss Regres dengan Metode Kuadrat Terkecl Tanpa Data Observas, 4 dan 3 pada Data Oksdas Amona NH 3 Ntrat HNO 3. menad Asam Regresson Analyss The regresson equaton s Y3 = 4. +.889 X3 +.643 X3.3 X33 Predctor Coef SE Coef T P Constant 4. 6.58 6.. X3.8894.858.45. X3.646.9.8.4 5

5 X33.68.855.3.9 S =.76 R Sq = 97.% R Sq(ad) = 96.6% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 3 488.57 496.9 59.95. Resdual Error 4 43.43 3. Total 7 53. Source DF Seq SS X3 459.75 X3 3.43 X33 5.38 Unusual Observatons Obs X3 Y3 Ft SE Ft Resdual St Resd 8. 4. 38.63.6 3.737.74R R denotes an observaton wth a large standardzed resdual Lampran 3. Output Analss Regres dengan Metode Kuadrat Terkecl Tanpa Data Observas, 4, 3 dan pada Data Oksdas Amona NH 3 menad Asam Ntrat HNO 3. Regresson Analyss The regresson equaton s Y4 = 37.5 +.785 X4 +.66 X4.7 X34 Predctor Coef SE Coef T P Constant 37.53 4.697 7.99. X.4.78484.658.93. X.4.663.68 3.87. X3.4.7.66.8.6 S =.43 R Sq = 97.5% R Sq(ad) = 97.% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 3 796.4 65.38 7.68. Resdual Error 3..55 Total 6 86.4 Source DF Seq SS X4 77.46 X4.53 X34.5 Unusual Observatons Obs X4 Y4 Ft SE Ft Resdual St Resd 58.. 3.358.54.358.R R denotes an observaton wth a large standardzed resdual

53 Lampran 4. Output Hasl Analss Regres dengan Metode Kuadrat Terkecl Tanpa Data Observas, 4, 3, dan pada Data Oksdas Amona NH 3 menad Asam Ntrat HNO 3 Regresson Analyss The regresson equaton s Y5 = 35.4 +.88 X5 +.58 X5.957 X35 Predctor Coef SE Coef T P Constant 35.49 4.58 8.73. X5.878.583 4.. X5.584.447 3.5.4 X35.9574.56.8.94 S =.5 R Sq = 98.4% R Sq(ad) = 97.9% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 3 79.9 63.4 38.6. Resdual Error 3.5. Total 5 83.44 Source DF Seq SS X5 77.7 X5 3.8 X35 3.65

54 Lampran 5. Matrks X c dan Matrks ' X c Matrks X c 9,5 9,5 4,5,5,5,5,5,5,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48 4,48 9,5 5,9 5,9 3,9,9,9,9,9,9,9 3, 3, 4, 3,, 3, 3,,,,,,,7,7 3,7,7,7,7 6,7 6,7,7 6,9,7,7 4,9 6,7,7,9 4,9 7,9 6,9 4,9 4,7 Matrks ' X c 9,5 5,9,7 9,5 5,9,7 4,5 3,9 3,7,5,9,7,5,9,7,5,9,7,5,9 6,7,5,9 6,7,48,9,7,48 3, 6,9,48 3,,7,48 4,,7,48,48 3,, 4,9 6,7,48 3,,7,48 3,,9,48, 4,9,48, 7,9,48, 6,9 4,48, 4,9 9,5, 4,7

55 Lampran 6. Vektor u pada Iteras Pertama sampa Ketuuh Iteras Iteras Iteras Iteras Iteras Iteras Iteras I II III IV V VI VII 4 4 6 5 7 3 9 3 7 8 5 9 6 8 5 3 4 7 7 3 6 8 5 9 4 9 6 8 5 3 3 7 7 4 6 8 6 9 5 9 4 8 5 3 4 7 8 3 6 7 6 9 5 9 4 8 5 3 7 3 7 4 6 8 6 9 5 9 4 8 5 3 4 7 7 3 6 8 6 9 5 9 4 8 5 4 7 3 8 3 6 7 6 9 5 9 4 8

56 Lampran 7. Tabel Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Estmas Parameter Regres β. No Slope y y x x x x Kumulatf x x 57,, 9,6667,3,5 3 8,5,6, 4 5,6875 4,8 5,9 5 3,4565 4,6,5 6,667 6 6,5 7,888 4,3 3,8 8,769 9, 4 9,645 8,3 48,3,5,8 6,,3459 3,3 73,4,97 8,6 8 3,577 9,4,4 4,57 9,,5 5,64 4, 34,6 6,688,8 56,4 7,566 6,5 8,9 8,7 8,9 9,944 7,9 8,8,884 9,4 48,,853 8,7 66,9,86 3,4 8,3 3,7694 36 36,3 4,744 37,5 353,8 5,77 4,7 368,5 6,68 7,3 385,8 7,677 9, 45 8,6667,7 47,7 9,6383 8,8 46,5 3,639 5,8 44,3 3,67 4, 483,4 3,63 3, 496,5 33,5967 8, 54,6 34,5939 4,6 557, 35,5588 3,8 58 36,555,9 6,9 37,557 43,5 646,4 38,559,6 668 39,544 4,8 78,8 4,5378 45 753,8 4,5344 8,9 77,7 4,596 4,3 85 43,556 3,4 838,4 44,56 7,7 866, 45,4966 9, 895,3 46,4656 6, 9,5 47,446 3.5 945 48,43 4, 969, 49,3793 5,8 975 5,3534 3, 998, 5,96 6,5 4,7 5,773 5,6 5,3 53,56 9,3 79,6 54,44,4 9 55,34,9,9 56,987 3,7 44,6 57,743 48, 9,8 58,73 49,7 4,5 59,55 9 7,5 6,333,5 73 6,65 4,6 77,6 6,388 3, 3,8 63,33,7 3,5 64,36 9,5 33 65, 3,9 36,9 66,3 6, 369 67,47 6,3 395,3 68,986 4,6 49,9 69,38 5,9 45,8 7,353 7 44,8 7,555 36,4 479, 7,653 9,8 489 73,85 3,3 59,3 74,878,5 539,8 75,456 4,3 554, 76,4583,4 556,5 77,4933 7,5 564 78,598 5, 569, 79,5545, 579, 8,93,7 6,9 8,77 5,5 66,4 8,458 4,8 6, 83, 4 65, 84,58, 67,4

57 63 85,77 9,9 637,3 86,8649 7,4 644,7 87,35 7, 65,8 88,57 4,4 656, 89 3,39 4,7 66,9 9 4,63 3,8 664,7 9,467, 665,9 Lampran 8. Tabel Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Pertama. No Slope z w z w w w Kumulatf w w 65,355,34,34 65,355,48,643 3 57,4,34,8756 4 5,375,945,48 5 5,959,398,8783 6 5,66,647,55 7 5,93,5737,94 8 3,57,7855,6997 9 3,7,7393,5439,7,838 3,37598 9,5,79987 4,7585 8,3,9975 5,56 3 7,34,79 5,8966 4 6,47,94365 6,845 5 6,44,474 7,9899 6 6,38,3643 9,94 7 6,99,999 9,385 8 6,46,33555 9,6546 9 5,436,4869,875 5,87,834 3,6589 4,9,3585 3,97394 4,435,6 4,986 3 4,348,35769 6,34389 4 4,37,87476 8,865 5 4,95,34543 8,5648 6 3,995,5837,4735 7 3,849,5 3,3757 8 3,76,4 4,3947 9 3,69,4483 4,8484 3 3,6 3,53356 8,3764 3 3,537,6767 9,53 3 3,7,988 9,899 33 3,35,3834 3,4933 34 3,5,785 3,9984 35,84,6588 3,85864 36,68,959 33,8893 37,583,5899 36,39884 38,56,7456 39,44 39,545,53693 39,67833 4,534,797 4,476 4,445,366 4,787 4,339,3973 45,8434 43,33,475 45,5939 44,74,398 47,98 45,6,44684 49,495 46,55,8376 5,58 47,79 3,474 53,65355 48,44,73369 56,3874 49,98,638 58,995 5,944,434 6,457 5,867,74 6,4569 5,684 3,43 65,556 53,65,748 68,5749 54,457,7499 69,74 55,398,4483 69,45554 56,39 3,43 7,86586 57,39,969 75,885 58,9,3546 76,785 59,6,8879 77,673 6,47,73833 78,563 6,99,547 79,57 6,45,986 8,4886 63, 3,5455 84,333 64,7,984 86,335 65,6,759 87,9854 66,,88634 9,86888 67,968 3,589 94,4579 68,953,773 95,9

63 58 69,86,38487 96,6679 7,79,69657 97,3336 7,7,865 98,987 7,57,7989 99,9878 73,44,3487,57 74,376,636,8843 75,3,34974 5,34 76,3,95 6,535 77,3,67663 6,93 78,7,9365 8,866 79,38,8649,787 8,74,3934,8 8,3,693 4,74 8,98,9469 6,6838 83,3,5998 8,837 84,53,5896 8,8666 85,53,659,35 86,93,5583,5834 87,33,43,5877 88,335,468 3,634 89,336,7457 5,949 9,339,88 7,777 9,345,45348 9,7 9,395,693 3,795 93,59,865 3,597 94,63,94 34,5 95,637,7389 36,795 96,656,7545 39,549 97,68,95 4,5687 98,765,79 4,7399 99,834,578 44,379,838,3866 46,665,878 3,99 49,866,984,8843 5,698 3,6396 53,3373 4,5,5976 54,9346 5,8,75783 56,694 6,36 3,45967 6,5 7,55,5784 6,733 8,77,7389 65,4 9,54,84 65,846,47,67663 66,53,5,6598 67,767,67,9434 68,786 3,7,5433 69,869 4,87,99 7,759 5,35 3,45967 73,5356 6,338,487 75,9443 7,344,4935 78,4378 8,345,7834 8,8 9,383,46738 8,688,4,5439 83,946,44,754 85,7,44,5784 87,7484 3,49 3,5945 9,349 4,497,763 94,6 5,5,96 96,76 6,543,53556 97,543 7,57,6536,963 8,595,447,6365 9,64,9469 4,579 3,656,737 7,93 3,684,8576 9,8 3,73 3,54,96 33,8,8578 3,353 34,859,763 6,784 35,863,7773 7,85 36,94,55874 9,489 37,989,755,4 38,993,846,9355 39,4,3 3,656 4,4,89793 5,9636 4,58,8647 8,5 4,94,53556 9,5856 43,5,955 3,5 44,33,376 3,887 45,39,5737 3,4 46,373,84 33,5 47,38,85 34,456 48,45,5978 36,8 49,4,95659 37,9594 5,476,48 38,374 5,48,6739 4,48 5,49,3497 4,3568 53,549,7436 44,4 54,848,9554 45,556 55,93,6958 45,35 56,96,35838 45,6836 57,94,85893 46,545 58 3,3,5978 48,397 59 3,33,43458 48,5743 6 3,5,85 49,7594

59 64 6 3,4,73 5,494 6 3,48,3993 5,83 63 3,674,8743 53,8988 64 3,77,77677 54,6755 65 4,47,795 55,446 66 4,74,3435 55,789 67 4,6,8435 56,5493 68 4,343,955 57,4698 69 4,76,663 58,735 7 4,759,495 59,885 7 5,4,36469 6,45 7 5,86,566 6,763 73 5,94,995 6,7533 74 5,496,489 6,45 75 5,499,663 63,54 76 5,5,39646 64,96 77 5,533,875 65,777 78 5,594,7967 66,583 79 5,74,3483 66,653 8 5,857,5847 67,66 8 6,36,73697 67,8986 8 6,38,444 68,33 83 6,433,85 68,535 84 6,6,9688 69,4934 85 6,6,6958 69,763 86 6,74,875 7,59 87 6,8,55747 7,475 88 6,9,378 7,598 89 7,83,57768 7,974 9 7,673,8486 7,83 9 7,673,4378 7,46 9 8,989,37859 7,847 93 9,98,835 73,68 94,47,585 74,3 95,3,44 74,6444 96 3,57,3483 74,779 97 4,34,455 75,343 98 6,369,3789 75,633 99 8,895,656 75,7789 3,9,66 75,845 5,79,43 76,86 8,538,4378 76,64 3 3,463,54 76,3768 4 4,75,7653 76,4533 5 9,94,39 76,467 6 89,35,4935 76,566 7 5,,54 76,537 8 546,596,664 76,5438 9 76,76,59 76,5554 * 76,5554 Lampran 9. Tabel Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Kedua. No Slope z w z w w w Kumulatf w w 8994,4,7,7 56,5,5, 3 435,86,3468,4689 4 39,83,37,76 5 35,9,653,7659 6 59,55,3398,57 7 75,4,4634,569 8 8,73,468,373 9,,96,9379 76,6,7453,3683 74,68,84,39636 6,3,453,53789 3 59,7,349,6538 4 48,35,35,78638 5 4,44,3848,9486 6 39,38,947,8957 7 37,53,7855,68 8 3,55,3395,57 9 3,35,688,775 3,35,8936,8595 6,6,688,759 6,58,587,846

6 63 3 4,54,6667,473 4 3,67,9697,544 5,8,3778,8588 6,95,54745 3,39933 7 9,7,7 3,55 8 9,68,9564 3,79669 9 9,,34 4,683 3 8,69,84 4,3355 3 6,36,4533 4,7558 3 6,8,888 4,83876 33 5,,5555 4,9943 34 4,78,335 5,378 35 4,9,59 5,8 36 3,87,34674 6,5684 37 3,78,969 6,35375 38 3,76,6 6,575 39,85,4494 7,443 4,4,3879 7,47 4,9,338 7,5448 4,6,593 8,3693 43,8,5488 8,6788 44,,53594 9,475 45,,488 9,6355 46,46,54675,73 47 9,56,36,499 48 9,43,5488,38 49 9,38,68,3548 5 9,4,6,35674 5 9,,5459,533 5 8,96,559,744 53 8,74,6543,7474 54 7,45,959,8993 55 7,44,58346 3,4339 56 6,66,56944 3,9783 57 6,64,7769 4,7489 58 6,58,665 4,95557 59 6,57,45739 5,496 6 6,45,7885 6,938 6 6,7,3346 6,577 6 5,93,44 6,7397 63 5,79,666 7,36597 64 5,9,64777 8,374 65 5,8,73 8,73696 66 5,7,7885 9,578 67 4,65,335 9,756 68 4,58,45547,653 69 4,57,338,3396 7 4,49,654,965 7 4,,56,975 7 3,66,6887,448 73 3,55,55959,7367 74 3,36,884 3,58 75 3,8,3346 3,83554 76 3,8,348 4,7634 77,93,488 4,456 78,78,969 5,38735 79,7,8576 6,446 8,64,5459 6,399 8,,938 6,58958 8,99,8595 7,4499 83,9,55767 8,676 84,77,3679 8,3745 85,7,46 8,77665 86,53,456 9,6 87,39,586 9,688 88,6,3888 9,9968 89,3,963 3,879 9,97,5943 3,67934 9,86,46735 3,4669 9,8,69898 3,84567 93,8,34 33,7988 94,,74 33,36 95,,755 33,497 96,3,8553 34,347 97,,6379 34,83849 98,3,5378 34,997 99,66,548 35,4977,79,756 36,9863,8,35 36,54965,93,999 36,84957 3,,5974 37,993 4,8,46735 38,37666 5,35,8553 39,9 6,4,53664 39,73883 7,4,3588 4,97 8,98,836 4,537 9,98,367 4,459,5,45595 4,984,6,6794 4,57898,4,344 4,8934

6 64 3,46,687 4,97 4,48,6945 43,597 5,77,63884 44,356 6,84,8539 45,8465 7,84,33593 45,458 8,9,34 45,65468 9 3,,64869 46,3337 3,3,4 46,7549 3,3,376 47,85 3,4,49 48,596 3 3,5,4683 48,6747 4 3,6,3347 48,9674 5 3,76,449 49,665 6 3,8,949 5,84 7 3,87,4949 5,6575 8 3,9,479 5,8487 9 4,8,34 5,398 3 4,6,57 5,85 3 4,34,7873 5,6388 3 4,4,74 5,856 33 4,4,664 5,9866 34 4,5,3897 53,53 35 4,55,3676 53,58599 36 4,87,44846 54,3445 37 4,98,85 54,66 38 5,8,46997 54,68657 39 5,4,878 54,97439 4 5,,647 55,57866 4 5,36,546 56,467 4 5,4,655 56,5 43 5,8,438 56,6543 44 6,5,577 57,677 45 7,,537 57,749 46 7,9,34 57,9389 47 7,33,4544 58,35373 48 7,4,738 58,6753 49 7,5,834 58,8887 5 7,7,465 59,35 5 7,84,449 59,483 5 8,,74 59,6977 53 8,5,54948 6,45 54 8,,335 6,4745 55 8,4,569 6,3479 56 8,86,3538 6,357 57 9,9,493 6,59947 58 9,9,5 6,698 59 9,9,3789 6,9887 6 9,95, 6,37 6,4,4493 6,473 6,69,344 6,674 63,75,469 6,8533 64,99,34 63,5353 65,3,4389 63,974 66,47,666 63,5598 67,88,747 63,8355 68,3,3538 64,4693 69,8,376 64,45969 7 3,,834 64,643 7 3,,3357 64,9646 7 3,3,655 65,95 73 4,79,55745 65,6486 74 6,97,4676 66,6 75 7,87,8866 66,487 76 9,48,54 66,35898 77 9,54,5 66,5649 78 9,63,54878 67,97 79 9,74,5 67,647 8,6,675 67,3 8,84,8 67,43 8,93,8365 67,5568 83,53,4474 67,944 84,6,83 68,55 85,7, 68,537 86 5,79,93 68,4359 87 6,3,795 68,33 88 9,55,7866 68,476 89 9,9,334 68,6356 9 33,,36 68,947 9 34,9,334 69,86 9 34,96,87 69,679 93 35,6,696 69,575 94 38,8,997 69,7 95 4,76,37 69,7459 96 4,7,7866 69,8385 97 47,76,756 69,854 98 57,3,36 69,86377 99 58,9,685 69,976 84,4,756 69,9988 85,6,3 7,985 6,45,788 7,773 3,9,5538 7,369 4 5,3,4468 7,7737

6 65 5 67,64,365 7,3 6 9,39,84 7,3386 7 6,7,66 7,355 8 85,76,4 7,33766 9 69,44,48 7,3384 * 7,3384 Lampran. Tabel Hasl Perhtungan untuk Rata Rata Pasangan Ssaan dengan Urutan dar Kecl ke Besar. No A 8,44 5,359 3 5,7 4 5,78 5 4,9793 6 4,93 7 4,7694 8 4,67 9 4,66 4,4793 4, 4, 3 3,8839 4 3,8774 5 3,8737 6 3,39 7 3,385 8 3,59 9,758,35,888,886 3,8 4,6 5,3 6,896 7,8 8,89 9,889 3,767 3,733 3,737 33,686 34,599 35,5989 36,595 37,594 38,564 39,445 4,444 4,44 4,44 43,443 44,396 45,364 46,39 47,389 48,365 49,33 5,498 5,497 5,379 53,965 54,736 55,736 56,59 57,57 58,379 59,64 6,959 6,956 6,943 63,9398 64,9398 65,849 66,865 67,87 68,794 69,795 7,783 7,783 7,783 73,758 74,737 75,734 76,77 77,769 78,735 79,733 8,68 8,658 8,6498 83,6497 84,58 85,5483 86,564 87,448 88,4 89,445 9,48 9,396 9,395 93,3448 94,3383 95,3347 96,369 97,973 98,95 99,95,58,99,97 3, 4,3 5,

63 6,45 7,9 8,58 9,7,543,543,478 3,478 4,44 5,44 6,357 7,355 8, 9,78,79,84,856 3,89 4, 5,49 6,586 7, 8,57 9,88 3,94 3,333 3,3373 33,3438 34,3474 35,4373 36,4395 37,4395 38,4438 39,4475 4,449 4,449 4,467 43,578 44,584 45,637 46,637 47,6745 48,68 49,6847 5,6875 5,69 5,6948 53,757 54,83 55,846 56,8698 57,93 58,947 59,9568 6,957 6,5 6,53 63,683 64,748 65,779 66,784 67,844 68,88 69,495 7,36 7,356 7,355 73,359 74,366 75,486 76,488 77,4594 78,66 79,66 8,66 8,676 8,68 83,73 84,7495 85,7774 86,846 87,8558 88,9 89,77 9,34 9,679 9,68 93,77 94,3 95,683 96,3449 97,354 98,355 99,3553,3556,4595,5595 3,648 4,74 5,7967 6,83 7,869 8,8387 9,8483,858 3,47 3,47 3 3,9 4 3,48 5 3,95 6 3,3 7 3,46 8 3,4747 9 3,563 3,7435 3,75 3,7536 3 4,53 4 4,37 5 4,468 6 4,44 7 4,467 8 4,989 9 5,439 3 5,8657 3 6,84

64 Lampran. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor t dan Vektor b pada Iteras Ketga. u, Vektor d, Nla Tabel a. Hasl Perhtungan Vektor u pada Iteras Ketga. y [ ] [ x ] ' ' ' ( b ) x rank y ( b ) x rank y ( b ) 36,69 9 8 4,35 7 4 35,98 9 33,536 4,3955 6 5 4,346 9 4,5658 5 6 4,5658 4,678 3 8 39,349 3 38,93 7 6 39,678 5 4 4,956 4 7 4,7636 9 37,9797 8 7 39,336 4 3 4,8576 8 3 4,55 39,8696 38,3754 6 5 48,39 Setelah vektor ' ' u dperoleh, dhtung vektor d ( X c X c ) X c u = dengan X c merupakan matrks berorde n x k dengan entr (, 459,, 864,, 96 ) d =. x x, dperoleh vektor Pada tabel b dapat dperoleh nla t yang memnmumkan (4.) dengan menghtung, T + T km < dan T + T km + w k w m >.

65 Dperoleh nla slope gars pada urutan ke 98 karena T + T km, 9789 dan < +, 6454 =, 33353 < T + T km, 9789 + w + k w m, 6454 > +, 3858 =, 57 >. Dperoleh nla t yang memnmumkan (4.) yatu nla slope gars pada urutan ke 98 yang merupakan pasangan ttk data ke 3 dan 9 yatu, 9, kemudan dtentukan vektor b = b = = + td * b untuk teras ketga yatu, 7898 + (, 9 )(, 459 ),, 999 + (, 9 )(, 864 ), 464 + (, 9 )(, 96 ) (, 79385,, 967,, 88 )., Tabel b. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Ketga No Slope z w z w w w Kumulatf w w 8,8,8 68,84,3,458 3 33,9,39,5359 4 49,6,5556,95 5 49,6,85,767 6 43,8,,4867 7 3,6,5556,43 8 8,6,694,677 9 4,96,864,35359 96,65,348,3777 8,7,34,3894 7,75,476,537 3 67,58,478,5795 4 6,,83,68378 5 56,99,386,7464 6 48,97,48,7547 7 47,,784,9756 8 44,8,943,87 9 44,7,87,54 4,37,3396,84 4,75,384,55 4,9,96,6953 3 4,46,4,993 4 4,,94,937 5 35,35,798,835 6 33,73,584,4339 7 3,78,37756,875 8 3,,39,9465 9 3,85,33748 3,83 3 3,63,558 3,4857 3 8,34,48 3,69989 3 6,3,57944 4,7933 33 5,33,874 4,46675 34 4,83,3656 4,83 35 4,59,386 4,8687 36 4,39,64 4,9635

66 37 4,3,6978 5,339 38 3,65,37386 5,475 39 3,43,476 5,83475 4,56,5346 5,988 4 9,53,496 6,37 4 9,9,3893 6,6947 43 8,89,4734 6,7668 44 8,77,3868 7,5363 45 7,98,7765 7,338 46 7,36,5968 7,4996 47 7,,466 7,89756 48 7,9,35534 8,59 49 6,76, 8,4749 5 6,6,883 8,563 5 6,4,565 9,797 5 5,,634 9,46 53 4,94,5388 9,66594 54 4,9,794 9,94534 55 4,36,59366,539 56 3,69,88,7488 57 3,3,5388,6476 58,96,583,8468 59,33,5744,935 6,3,493,39654 6,,99,5644 6,86,338,698 63,49,43868 3,585 64,3,5443 3,59893 65,53,5938 4,93 66,6,3746 4,4777 67 9,98,6978 4,49755 68 9,6,368 4,73435 69 9,6,33855 5,79 7 9,58,75 5,7465 7 8,3,968 5,3433 7 8,,75 5,47945 73 8,6,876 5,6665 74 7,7,63 5,9754 75 7,7,78 6,448 76 6,56,39 6,35574 77 6,,684 6,5658 78 5,74,3888 6,9566 79 5,3,84 7,39 8 4,8,383 7,45 8 4,67,35 7,6537 8 4,3,9847 7,957 83 4,3,376 8,893 84 3,48, 8,95 85 3,9,37574 8,66599 86 3,8,747 8,847 87,4,776 8,9787 88,3,38859 9,3646 89,,435 9,7998 9,7,3636,3634 9,66,383,35464 9,59,9836,453 93,59,967,6497 94,4,945,844 95,59,33374,7796 96,,46,39 97,7,365,64537 98,9,3858,37 99,4,398,435,9,8684,799,3,859,8948,8,8744 3,87 3,8,55465 3,73637 4,45,78 3,85365 5,47,36956 4,3 6,65,47749 4,77 7,87,9668 4,89738 8,39,84 5,578 9,4,33374 5,4595,5,94 5,759,68,48487 6,3679,9,646 6,4535 3,93,543 6,99556 4 3,7,376 7,36 5 3,48,459 7,5855 6 3,5,44 7,98676 7 4,4,9978 8,8654 8 4,8,8478 8,473 9 4,9,357 8,8854 4,39,9 8,9866 4,59,45 9,436 4,69,37574 9,589 3 4,74,48487 3,377 4 4,84,54 3,55

67 5 5,7,456 3,35957 6 5,8,5744 3,47 7 5,5,388 3,7989 8 5,5,5537 3,76 9 5,36,3478 3,67 3 5,79,36759 3,98766 3 5,8,4456 3,48 3 5,93,383 3,834 33 6,73,454 33,6535 34 7,,66 33,484 35 7,38,568 33,73759 36 7,48,9978 34,3737 37 7,74,3678 34,4465 38 7,83,586 34,5637 39 8,54,383 34,94639 4 8,6,456 35,397 4 8,9,675 35,4645 4 9,666 35,6357 43 9,9,53 35,787 44,75,864 35,868 45,,67 36,384 46,5,689 36,9976 47,3,6 36,4596 48,35,85 36,58846 49,44,356 36,947 5,54,466 37,8678 5,59,79 37,3658 5,67,6584 37,6364 53,8,4384 37,87548 54,38,8334 37,9588 55,38,648 38,364 56,58,6 38,4976 57 3,34,978 38,6954 58 3,87,864 38,45594 59 4,4,586 38,6456 6 5,53,595 38,6737 6 6,5,537 38,8743 6 6,5,539 39,833 63 6,98,6657 39,479 64 7,33,755 39,535 65 7,83,6 39,7395 66 8,89,889 39,885 67 9,4,864 4,455 68,9,69 4,7746 69,75,968 4,37374 7 3,6,6378 4,5375 7 3,49,776 4,6658 7 3,73,675 4,7378 73 3,76,376 4,93654 74 5,,989 4,3463 75 5,9,797 4,476 76 6,6,547 4,637 77 7,93,5554 4,7686 78 8,,7488 4,84349 79 8,77,38 4,573 8 9,6,3894 4,965 8 3,,99 4,3544 8 3,9,463 4,4576 83 3,48,547 4,6573 84 33,4,968 4,7535 85 37,9,463 4,89983 86 4,39,746 43,7444 87 47,3,54 43,448 88 48,38,778 43,56 89 49,4,69 43,38 9 5,3,4938 43,776 9 5,,434 43,3 9 54,63,546 43,4756 93 58,66,648 43,4938 94 6,37,654 43,5578 95 63,88,4934 43,674 96 69,9,738 43,645 97 7,4,889 43,77 98 83,86,56 43,747 99 86,7,544 43,7397 88,9,684 43,88 9,9,4685 43,85497 3,4,6 43,8653 3 5,,97 43,884 4 85,,94 43,934 5 4,7,738 43,95 6 465,6,4 43,93474 7 55,34,96 43,944 8 746,58,94 43,95594 9 444,68,88 43,9578 * 43,9578

68 Lampran. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor t dan Vektor b pada Iteras Keempat. u, Vektor d, Nla Tabel a. Hasl Perhtungan Vektor u pada Iteras Keempat. y [ ] [ x ] ' ' ' ( b ) x rank y ( b ) x rank y ( b ) 36,38 9 8 4,67 7 4 35,963 9 33,3 4,4769 6 5 4,3896 9 4,649 5 6 4,649 4,4 4 7 39,44 3 38,45 7 6 39,49 4 3 4,5 3 8 4,886 9 38,74 8 7 39,49 5 4 4,959 8 3 4,57 39,955 38,458 6 5 48,558 Setelah vektor ' ' u dperoleh, dhtung vektor d ( X c X c ) X c u = dengan X c merupakan matrks berorde n x k dengan entr (, 89,, 98,, 3 ) d =. x x, dperoleh vektor Pada Tabel b dapat dperoleh nla t yang memnmumkan (4.) dengan menghtung, T + T km < dan T + T km + w k w m >.

69 Dperoleh nla slope gars pada urutan ke 3 karena T + T km 3, 5369 dan < + 3, 4986 =, 383 < T + T km + w k w m > 3, 5369 + 3, 4986 +, 4649 =, 87 >. Dperoleh nla t yang memnmumkan (4.) yatu nla slope gars pada urutan ke 3 yang merupakan pasangan ttk data ke dan yatu,, kemudan dtentukan vektor b = b = = * b untuk teras keempat yatu + td, 79385 + (, )(, 89 ),, 967 + (, )(, ), 88 + (, )(, 3 ) (, 7956,, 9459,, 65 ). 98, No Tabel b. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Keempat Slope z z w w w w Kumulatf w w 498,,35,35 56,6,534,849 3 57,5,86,665 4 494,5,4,377 5 398,8,6,473 6 353,6,78,644 7 36,9,398,369 8 88,7,9,39 9 75,,338,659 85,5,5,839 45,8,437,346 4,6,886,43 3 9,,66,339 4 5,6,65,3667 5 84,7,8958,45575 6 74,9,8456,543 7 73,9,56,5957 8 73,9,556,6433 9 7,5,4968,698 7,5,9,8 6,,339,95593 6,,4464,57 3 6,7,38,438 4 58,9,349,499 5 58,7,948,477 6 58,6,5657,9734 7 56,8,66,48 8 56,6,844,494 9 54,9,549,54633 3 54,7,339,685 3 5,6,655,748 3 5,3,4968,7948 33 47,6,98,866 34 44,7,37,84436 35 4,9,98,9366 36 4,7,987,3487 37 4,9,59,9397 38 4,6,76,6659 39 4,,8546,355 4 39,,399,3997

7 4 37,7,6,5549 4 33,3,7,75 43 9,9,535,9455 44 7,3,366,9767 45 6,5,565 3,836 46 6,3,676 3,4996 47 6,,4336 3,933 48 5,6,377 3,333 49 5,,535 3,54638 5,7,846 3,65484 5,6,6 3,75544 5,5,47 3,956 53,8,94 4,98 54,9,6376 4,38574 55,9,96 4,4967 56,9,58 4,6495 57,8,66 4,766 58,4,73 4,8346 59 9,664 4,949 6 7,4,6567 5,477 6 7,,6376 5,37853 6 6,7,4434 5,487 63 6,7,84 5,549 64 4,7,58 5,7487 65 4,4,58 5,85767 66 3,8,56 6,983 67 3,9 6,73 68 3,449 6,35563 69,,56 6,5569 7,,84 6,73759 7,54 6,98973 7,6,79 7,969 73,4,774 7,6766 74,4,664 7,3843 75 9,,48 7,59838 76 9,685 7,763 77 8,9,449 8,63 78 8,8,398 8,39 79 8,, 8,353 8 7,5,86 8,47957 8 6,7,9998 8,57955 8 6,,35368 8,9333 83 5,9,537 9,8693 84 5,8,79 9,394 85 5,8,5684 9,6596 86 5,8,6786 9,888 87 5,4,8454,336 88 4,7,3934,37 89 4,,384,6 9 3,7,936,8346 9 3,4,448,9794 9 3,3,35368,356 93 3,3,,5378 94,5,386,6668 95,4,3766,89934 96,3,38,34 97,537,6684 98,8,4994,67678 99,4,868,9686,,5594 3,88,9,78 3,98,75 3,49858 3,,4649 3,6457 4,,374 3,88 5,,955 3,9766 6,,3656 4,3386 7,3,9 4,4336 8,7,4994 4,843 9,4,474 5,84,9,394 5,398,9,95 5,5863,,868 5,8738 3 3,4,556 5,9394 4 3,4,3 6,76 5 4,5,34 6,336 6 4,6,794 6,459 7 4,8,45 6,55 8 4,9,78 6,6778 9 5,53 6,8588 5,647 7,958 5,9774 7,883 5,,88 7,489 3 5,,394 7,7984 4 5,,933 8,954 5 5,,376 8,86 6 5,,564 8,38484 7 5,3,9556 8,484 8 5,4,3676 8,676 9 5,8,54 8,787 3 5,9,4434 8,7634 3 7,3,75 8,96579 3 7,9,366 9,365 33 8,5,575 9,48356 34 9,,878 9,5934 35 9,6,574 9,84948 36,4,535

7 37,6,6944,94 38,3,65,38546 39,5,53,53856 4 3,3,364,77496 4 3,8,876,8837 4 4,6,94,76 43 4,9,654,46 44 5,465,8767 45 5,7,54,389 46 6,5936,64857 47 6,8,9,74947 48 7,6,7388,8335 49 8,3,5439,87774 5 8,7,484,965 5,6696,993 5,9,338,639 53,6,984,563 54,8,7889,335 55 3,,57,393 56 3,3,843,47375 57 3,7,9684,5759 58 4,3,564,7683 59 5,,594,7863 6 6,566,8449 6 7,5,85,94434 6 7,5,76 3,36 63 7,8,6 3,3496 64 7,9,976 3,567 65 9,3,9459 3,7573 66 3,7,3833 3,89564 67 3,9,448 4, 68 3,9,468 4,663 69 34,338 4,9868 7 35,3,448 4,536 7 37,,899 4,638 7 37,,5564 4,6687 73 37,9,5534 4,746 74 4,7,34 4,8748 75 4,5,84 5,76 76 43,5,96 5,358 77 46,4,98 5,456 78 5,9,75 5,3668 79 5,5,94 5,4396 8 5,56 5,5978 8 56,9,978 5,756 8 58,7,644 5,7757 83 59,9,748 5,955 84 67,,48 5,9968 85 74,9,9369 6,8537 86 79,8,586 6,373 87 8,6,3646 6,7369 88 83,5,737 6,4696 89 84,5,788 6,354 9 84,7,784 6,4338 9 85,,773 6,538 9 86,3,738 6,5759 93 99,,5 6,58 94,,955 6,6975 95 8,3,3835 6,648 96 35,458 6,69338 97 35,5,5 6,74558 98 4,3,768 6,876 99 56,7,948 6,83674 68,4,956 6,973 89,88 6,936 3,,3836 6,97446 3 9,,3 6,99678 4 7,3,888 7,566 5 473,8,98 7,3484 6 58,,79 7,53 7 73,,8 7,644 8 46,7,93 7,7354 9 35,3 7,7384 * 7,7384

7 Lampran 3. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor dan Vektor b pada Iteras Kelma. u, Vektor d, Nla t Tabel 3 a. Hasl Perhtungan Vektor u pada Iteras Kelma y [ ] [ x ] ' ' ' ( b ) x rank y ( b ) x rank y ( b ) 36,59 9 8 4,365 7 4 35,3483 9 33,463 4,633 6 5 4,5477 9 4,7984 5 6 4,7984 4,3775 3 8 39,579 3 38,5833 7 6 39,579 5 4 4,3578 4 7 4,55 8 3 38,48 8 7 39,5747 4 3 4,384 9 4,639 4,678 38,69 6 5 48,79 Setelah vektor ' ' u yang dperoleh, dhtung vektor d ( X c X c ) X c u = dengan X merupakan matrks berorde n x k dengan entr x x, dperoleh vektor c (, 533,, 599,, 34 ) d =. Pada Tabel 3 b dapat dperoleh nla t yang memnmumkan (4.) dengan menghtung, T + T km < dan T + T km + w k w m >.

73 Dperoleh nla slope gars pada urutan ke 9 karena T + T km 4, 588 dan < + 4, 9 =, 497 < T + T km 4, 588 + w + k w m 4, 9 > +, 46745 =, 4775 >. Dperoleh nla t yang memnmumkan (4.) yatu nla slope gars pada urutan ke 9 yang merupakan pasangan ttk data ke 3 dan 9 yatu, 4, kemudan dtentukan vektor * b untuk teras kelma yatu b = b = = + td, 7956 + (, 4 )(, 533 ),, 9459 + (, 4 )(, 599 ), 65 + (, 4 )(, 34 ) (, 79357,, 9,, 97 )., No Tabel 3 b. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Kelma Slope z w z w w w Kumulatf w w 97,6,5,5 49,38,655,75 3 8,6,369,4866 4 5,7,468,9548 5 73,74,86,4 6 67,7,99,4 7 53,4,599,833 8 49,43,34,75 9 33,4,9333,383 5,5,67,35 4,4,593,3863 98,48,356,573 3 86,5,698,634 4 78,64,7647,768 5 7,3,564,767 6 7,9,8598,8538 7 68,9,858,9766 8 66,,34,6 9 63,4,36,3466 56,7,759,57 5,55,465,578 5,3,33,568 3 49,8,9869,65877 4 48,3,5785,766 5 4,6,7,93364 6 38,33,844,86 7 38,7,76,966 8 36,65,8878,37944 9 34,9,957,4746 3 3,7,396,7943 3 3,39,4387 3,38 3 3,73,3744 3,7554 33 8,3,575 3,399 34 7,53,86 3,5773 35 7,7,58 3,83533 36 5,56,669 4,4 37 5,5,437 4,3453 38 5,8,35 4,4833 39 4,4,337 4,7934 4 3,,58 4,9398

74 4,9,694 5,83 4,5,6936 5,558 43,35,47 5,9485 44,99,87 5,749 45,9,454 5,734 46,6,568 5,9565 47,4,3484 6,636 48 9,93,4866 6,3 49 8,33,3453 6,6555 5 8,5,77 6,763 5 6,83,3389 7,644 5 6,8,958 7,363 53 5,77,394 7,59963 54 5,55,58 8,783 55 4,99,5549 8,633 56 3,58,58 9,5 57 3,3,967 9,339 58 3,4,5933 9,495 59,98,6 9,593 6,96,364 9,9954 6,39,4938,4336 6,97,649,67385 63,7,845,958 64,3,5789,589 65,7,674,839 66 9,77,493,536 67 9,68,637,69577 68 9,65,89,88499 69 9,3,444,373 7 9,6,58,57985 7 8,3,88,69867 7 8,,33944 3,38 73 7,69,3947 3,35758 74 7,3,65 3,5583 75 7,5,87 3,8494 76 6,6,6449 4,543 77 5,69,866 4,95 78 5,49,855 4,3736 79 5,35,5 4,8957 8 4,49,865 5,436 8 4,3,346 5,3458 8 4,,3764 5,58346 83 3,83,8 5,76357 84 3,55,637 5,9674 85 3,49,495 6,3465 86 3,4,378 6,6545 87 3,4,394 6,89345 88,99,43549 7,3894 89,9,3389 7,6683 9,83,6449 7,963 9,6,544 8,43676 9,58,3378 8,7654 93,47,636 9,396 94,36,3684 9,698 95,,9349 9,7949 96,68,3 9,898 97,68,64,9545 98,3,953,958 99,3,78,56338,5,4497,45,,5394,6639,89,636,897 3,34,769,677 4,7,76,67786 5,4,8898,86684 6,,4784 3,7468 7,,886 3,49354 8,3,5556 4,9 9,4,46745 4,47655,5,3378 4,833,5,3663 5,6646,97,4497 5,6553 3,7,769 6,36 4,3,479 6,7975 5,4,66 7,593 6,5,3 7,3835 7,54,3869 7,7676 8,74,699 8,4668 9,93,3778 8,8448,7,59 8,96937,4,54 9,4794,45,5475 3,693 3,87,766 3,339 4,93,5389 3,8698 5 3,,773 3,347 6 3,7,699 3,73373 7 3,6,479 3,5 8 3,38,446 3,65 9 3,55,859 3,937 3 3,75,34 33,6936 3 3,8,953 33,6449 3 4,,98 33,55567 33 4,37,54 34,657 34 4,58,3778 34,4435 35 4,63,66 34,64 36 4,7,349 34,993