METODE RANK NONPARAMETRIK PADA MODEL REGRESI LINEAR

Transkripsi

1 METODE RANK NONPARAMETRIK PADA MODEL REGRESI LINEAR oleh KUSUMA M4 SKRIPSI dtuls dan daukan untuk memenuh sebagan persyaratan memperoleh gelar Sarana Sans Matematka FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 7

2 SKRIPSI METODE RANK NONPARAMETRIK PADA MODEL REGRESI LINEAR yang dsapkan dan dsusun oleh KUSUMA M4 Pembmbng I, dbmbng oleh Pembmbng II, Dra. Sr Subant, M. S. NIP Dra. Mana Roswtha, M. S. NIP telah dpertahankan d depan Dewan Pengu pada har Senn, tanggal 4 Jun 7 dan dnyatakan telah memenuh syarat. Anggota Tm Pengu Tanda Tangan. Dra. Yulana Susant, M. S Dra. Etk Zukhronah, M. S Irwan Susanto, DEA.... Surakarta, 4 Jun 7 Dsahkan oleh Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan, Ketua Jurusan Matematka, Prof. Drs. Sutarno, M. Sc., Ph. D. NIP Drs. Kartko, M. S. NIP 569

3 ABSTRAK Kusuma, 7. METODE RANK NONPARAMETRIK PADA MODEL REGRESI LINEAR. Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam. Unverstas Sebelas Maret. Persamaan Y β + βx + β X + L + βk X k + ε merupakan model regres lnear dengan β adalah parameter regres yang destmas berdasarkan data pengamatan. Metode kuadrat terkecl merupakan metode estmas parameter regres yang dapat memberkan hasl yang optmal ka sesatannya dasumskan berdstrbus normal, ε ~ N (, σ ). Jka kenormalan tdak dpenuh maka estmas parameter regres yang dperoleh tdak tepat. Sesatan yang tdak berdstrbus normal dapat dndkaskan dengan adanya penclan (outler). Metode rank nonparametrk merupakan metode estmas parameter regres yang dapat dgunakan untuk menganalss data ka sesatannya tdak berdstrbus normal yang dndkaskan dengan adanya penclan. Tuuan dalam penulsan skrps adalah menentukan estmas parameter regres dan u sgnfkans parameter regres untuk mengetahu hubungan antara varabel bebas dengan varabel tak bebas menggunakan metode rank nonparametrk. Metode yang dgunakan dalam penulsan skrps adalah stud lteratur. Berdasarkan hasl pembahasan dapat dsmpulkan bahwa estmas parameter regres dperoleh dengan memnmumkan umlah rank ssaan berbobot. Hpotess yang dgunakan pada regres lnear sederhana adalah H : β dan H : β dengan statstk u U t. SD U Hpotess nol H dtolak ka < α T t dan nla p dperoleh menggunakan tabel dstrbus t dengan deraat bebas n. Pada regres lnear ganda, hpotess yang dgunakan adalah H : βl + L β k dan H : β + dengan statstk u l, K, k F rank ( ) p dengan p Prob [ ] JRSB tereduks JRSB l cτ penuh ( k ) p < α dengan p Prob [ F F ] Hpotess nol H dtolak ka rank dperoleh menggunakan tabel dstrbus F dengan deraat bebas k n k. Kata kunc: model regres lnear, metode rank nonparametrk. dan nla p l dan

4 ABSTRACT Kusuma, 7. NONPARAMETRIC RANK METHOD ON LINEAR REGRESSION MODEL. Faculty of Mathematcs and Natural Scences. Sebelas Maret Unversty. The equaton Y β + βx + β X + L + βk X k + ε s a model of a lnear regresson wth β are regresson parameters whch are estmated based on the observatons of data. The least square method s a method to estmate the regresson parameters that gves an optmal result f the error terms assumed have normally dstrbuted, ε ~ N (, σ ). If the normalty assumpton s not satsfed then estmaton of regresson parameters s not exact. The volaton of normalty assumpton s ndcated by the occurence of outlers. The nonparametrc rank method can be used to analyze the data f the errors have not normally dstrbuton whch ndcated by the occurence of outlers. The ams of the fnal proect are to estmate the regresson parameters and to test the sgnfcance of regresson parameters to know the relatonshp of ndependent varable wth dependent varable, usng the method of nonparametrc rank. The method used n ths fnal proect s a lterary study. Based on the dscusson, t can be concluded that estmaton of regresson parameters s obtaned by mnmzng the sum of rank weghted resduals. The hypothess used on smple lnear regresson s H : β versus H : β wth the test statstcs U t. SD U The zero hypothess H s reected when < α T t and p value s obtaned by usng t dstrbuton table wth n degrees of freedom. On the multple lnear regresson, the hypothess used s H : βl + L β k versus H : β l +, K, k wth the test statstcs JRSB JRSB F rank tereduks ( ) p where p Prob [ ] l cτ penuh. ( k ) p < α where p Prob [ F F ] The zero hypothess H s reected when rank and p value s obtaned by usng F dstrbuton table wth k l and n k degrees of freedom. Key words: lnear regresson model, nonparametrc rank method v

5 MOTO Empat kat P Untuk merah keberhaslan Perencanaan yang bertuuan. Persapan yang penuh DOA. Proses yang postf Pengearan yang penuh ketabahan Lakukan Har In Lakukan hal yang benar, Lakukan har n. Lakukan dengan tdak mengaharapkan penghargaan, Lakukan dengan senyuman dan skap yang cera, Lakukan terus har dem har dem har. Lakukan dan suatu saat, Akan datang harnya, Yang merupakan har perolehan ga, Karena setap har yang kemarn yang anda habskan, Mengarah pada har n. Yang tdak hanya akan member nla pada har n, Tap uga akan membuat har-har berkutnya, Lebh terang dar har-har kemarn. Dan apa lag yang akan anda mnta dar sebuah Har? v

6 persembahan Karya n kupersembakan untuk My Father n the heaven... My Mom ı love u s o mu ch My brother n My sster..thanx for all Aat, Dw, La, Lsha, Naom, Fenne dan Trsna. My frend ( Stephanus J ohan. )...always t hanx. v

7 KATA PENGANTAR Dengan kash karuna dar Allah Bapa, penuls mengucapkan syukur atas terselesakannya skrps yang berudul METODE RANK NONPARAMETRIK PADA MODEL REGRESI LINEAR yang daukan sebaga salah satu syarat untuk mendapatkan gelar kesaranaan pada Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unverstas Sebelas Maret. Pada kesempatan n penuls mengucapkan terma kash kepada :. Dra. Sr Subant, M.S sebaga Pembmbng I yang telah memberkan motvas, petunuk serta pengarahan dalam penulsan skrps n.. Dra. Mana Roswtha, M.S sebaga Pembmbng II yang telah memberkan petunuk serta pengarahan dalam penulsan skrps n.. Dra. Yulana Susant, M. S sebaga pembmbng akadems yang telah memberkan bmbngan akadems. 4. Seluruh staf dosen dan karyawan, khususnya d urusan Matematka dan umumnya d Fakultas MIPA. 5. Rekan rekan urusan Matematka khususnya angkatan FMIPA UNS atas dukungannya. 6. Semua phak yang telah membantu penuls dalam penyusunan skrps n. Akhrnya, semoga skrps n dapat memberkan manfaat sebagamana yang dharapkan. Terma kash. Surakarta, Jun 7 Penuls v

8 DAFTAR ISI Halaman JUDUL... PENGESAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... v MOTO... v PERSEMBAHAN... v KATA PENGANTAR... v DAFTAR ISI... v DAFTAR TABEL... x DAFTAR GAMBAR... x DAFTAR LAMPIRAN... x DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL... xv BAB I PENDAHULUAN.... Latar Belakang Masalah.... Rumusan Masalah.... Batasan Masalah....4 Tuuan Penulsan....5 Manfaat Penulsan... BAB II LANDASAN TEORI Tnauan Pustaka Konsep Dasar Statstka Dstrbus Normal Model Regres Lnear U Hpotess Matrks dan Operas Matrks Metode Kuadrat Terkecl dengan Matrks Rank Metode Rank Nonparametrk... 9 v

9 . Kerangka Pemkran... 9 BAB III METODE PENULISAN... BAB IV PEMBAHASAN Estmas Parameter Regres Lnear Sederhana U Sgnfkans Parameter Regres Lnear Sederhana Estmas Parameter Regres Lnear Ganda Algortma U Sgnfkans Parameter Regres Lnear Ganda Contoh Kasus Regres Lnear Sederhana Contoh Kasus Regres Lnear Ganda... 4 BAB V PENUTUP Kesmpulan Saran DAFTAR PUSTAKA... 5 LAMPIRAN... 5 x

10 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4. Data Tngkat Kelahran... 4 Tabel 4. Hasl Perhtungan y bx... Tabel 4. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla U... Tabel 4.4 Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO... 4 Tabel 4.5 Tabel 4.6 Hasl Perhtungan Vektor Hasl Perhtungan Vektor u pada Iteras Pertama... 9 u pada Iteras Kedua... 4 Tabel 4.7 Hasl Perhtungan y... 4 ' b x Tabel 4.8 Hasl Perhtungan untuk JRSB penuh Tabel 4.9 Hasl Perhtungan untuk JRSB tereduks Tabel. a Hasl Perhtungan vektor u pada Iteras Ketga Tabel. b Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Ketga. 65 Tabel. a Hasl Perhtungan vektor u pada Iteras Keempat Tabel. b Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Keempat Tabel. a Hasl Perhtungan vektor u pada Iteras Kelma... 7 Tabel. b Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Kelma 7 Tabel 4. a Hasl Perhtungan vektor u pada Iteras Keenam Tabel 4. b Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Keenam Tabel 5. a Hasl Perhtungan vektor u pada Iteras Ketuuh... 8 Tabel 5. b Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Ketuuh... 8 x

11 DAFTAR GAMBAR Gambar 4. Gambar 4. Gambar 4. Gambar 4.4 Output Analss Regres untuk Data Penuh pada Data Tngkat Halaman Kelahran... 5 Plot Ssaan dengan Metode Kuadrat Terkecl untuk Data Penuh pada Data Tngkat Kelahran... 6 Ouput Analss Regres Tanpa Data Observas pada Data Tngkat Kelahran... 7 Output Analss Regres Tanpa Data Observas dan pada Data Tngkat Kelahran... 8 Gambar 4.5 Plot Ssaan dengan Metode Rank Nonparametrk... Gambar 4.6 Estmas Gars Regres dengan Metode Rank Nonparametrk... Gambar 4.7 Output Analss Regres untuk Data Penuh pada Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO... 5 Gambar 4.8 Gambar 4.9 Plot Ssaan dengan Metode Kuadrat Terkecl untuk Data Penuh pada Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO... 6 Output Analss Regres Tanpa Data Observas pada Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO... 7 x

12 DAFTAR LAMPIRAN Lampran. Output Analss Regres Tanpa Data Observas dan 4 pada Halaman Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO... 5 Lampran. Output Analss Regres Tanpa Data Observas, 4 dan pada Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO 5 Lampran. Output Analss Regres Tanpa Data Observas, 4, dan pada Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO 5 Lampran 4. Output Analss Regres Tanpa Data Observas, 4,, dan Lampran 5. Matrks Lampran 6. Vektor pada Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO... 5 X c dan Matrks ' X c u pada Iteras Pertama sampa Ketuuh Lampran 7. Tabel Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Estmas Parameter Regres β Lampran 8. Tabel Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Pertama Lampran 9. Tabel Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla t pada Iteras Kedua Lampran. Tabel Hasl Perhtungan untuk Rata Rata Pasangan Ssaan dengan Urutan dar Kecl ke Besar... 6 Lampran. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor Nla t dan Vektor u, Vektor d, b pada Iteras Ketga Lampran. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor Nla t dan Vektor u, Vektor d, b pada Iteras Keempat Lampran. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor Nla t dan Vektor u, Vektor d, b pada Iteras Kelma... 7 x

13 Lampran 4. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor Nla t dan Vektor u, Vektor d, b pada Iteras Keenam Lampran 5. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Vektor Nla t dan Vektor u, Vektor d, b pada Iteras Ketuuh... 8 x

14 DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL f ( ) : fungs denstas probabltas α, β : parameter regres Y X ε e τ t F rank JRSB penuh JRSB tereduks H : varabel tak bebas : varabel bebas : sesatan random : ssaan untuk sampel : devas standar untuk populas dalam metode rank nonparametrk : statstk u untuk regres lnear sederhana : statstk u untuk regres lnear ganda : umlah rank ssaan berbobot untuk model penuh : umlah rank ssaan berbobot untuk model tereduks : hpotess nol H : hpotess alternatf b : slope untuk pasangan ttk data ( y ) x, dan ( x, ) y A x : rata rata untuk pasangan ssaan e dan e : matrks dar k varabel bebas pada bars ke b : vektor kolom dar estmas parameter regres β,, K β k xv

15 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah Analss regres merupakan analss statstk yang dgunakan untuk mengetahu hubungan antara varabel bebas X dengan varabel tak bebas Y yang terdapat dalam data. Hubungan antara varabel dapat dnyatakan dalam suatu model yang berbentuk fungs. Menurut Brkes dan Dodge (99), persamaan ( K ) Y f X, X,, X k + ε merupakan model regres yang tersusun dar fungs regres f ( X X K X ),,, k dan sesatan random ε. Model regres serngkal belum dketahu dan dtentukan setelah data pengamatan terkumpul dan danalss. Model regres yang palng sederhana yatu hubungan fungsonal antara satu varabel bebas dengan varabel tak bebas yang berupa gars lurus. Model regres lnear merupakan model regres dengan fungs regres yang berbentuk lnear. Persamaan Y β + βx + β X + L + βk X k + ε model regres lnear dengan β merupakan adalah parameter regres yang destmas berdasarkan data pengamatan. Metode yang basa dgunakan untuk estmas parameter regres adalah metode kuadrat terkecl. Metode kuadrat terkecl dapat memberkan hasl yang optmal ka sesatannya dasumskan berdstrbus normal, (, σ ) ε ~ N. Pada kenyataannya, asums kenormalan tdak selalu dpenuh sehngga estmas parameter regres yang dperoleh tdak tepat. Sesatan yang tdak berdstrbus normal dapat dndkaskan dengan adanya penclan (outler). Oleh karena tu, dperlukan metode estmas parameter regres yang sesua untuk data dan sesatannya tdak berdstrbus normal yang dndkaskan dengan adanya penclan. Salah satu metode yang dgunakan adalah metode rank nonparametrk. Menurut Brkes dan Dodge (99), metode rank nonparametrk merupakan metode estmas parameter regres yang tdak tergantung asums kenormalan pada sesatan. Dalam hal n merupakan metode untuk mengendalkan pengaruh penclan pada sekumpulan data. Pengamatan berpengaruh merupakan suatu

16 pengamatan yang ka dkeluarkan dar analss mengakbatkan perubahan yang cukup besar pada model regresnya. Pada model regres lnear, ssaan dapat menunukkan penympangan model dengan data. Semakn besar nla ssaan maka semakn besar penympangan antara model dengan data. Estmas parameter regres dtentukan untuk memperoleh model yang sesua dengan data. Pada metode rank nonparametrk, estmas parameter regres dperoleh dengan memnmumkan umlah rank ssaan berbobot. Selanutnya, dapat dperoleh estmas persamaan regres yang memlk beberapa kegunaan, dantaranya sebaga dasar untuk mengu sgnfkans hubungan antara varabel bebas dengan varabel tak bebas.. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang d atas maka rumusan masalah dalam penulsan skrps n adalah sebaga berkut.. Bagamana menentukan estmas parameter regres dengan metode rank nonparametrk?. Bagamana mengu sgnfkans parameter regres dengan metode rank nonparametrk?. Batasan Masalah Batasan masalah dalam penulsan skrps n adalah data yang dgunakan memuat penclan (outler) pada regres lnear sederhana dan regres lnear ganda..4 Tuuan Penulsan Tuuan dalam penulsan skrps n adalah sebaga berkut.. Dapat menentukan estmas parameter regres dengan metode rank nonparametrk.. Dapat mengu sgnfkans parameter regres dengan metode rank nonparametrk.

17 .5 Manfaat Penulsan Manfaat yang dapat dperoleh dar penulsan skrps n adalah sebaga berkut.. Manfaat teorts yatu dapat menambah pengetahuan mengena metode rank nonparametrk dalam mengestmas parameter regres dan mengu sgnfkans parameter regres.. Manfaat prakts yatu dapat menerapkan metode rank nonparametrk ka asums kenormalan pada sesatan tdak dpenuh yang dndkaskan dengan adanya penclan.

18 4

19 BAB II LANDASAN TEORI. Tnauan Pustaka Untuk mencapa tuuan penulsan, dperlukan pengertan dan teor teor yang melandasnya. Pada bab n dberkan penelasan tentang konsep dasar statstka, dstrbus normal, model regres lnear, u hpotess, matrks serta operasnya, metode kuadrat terkecl dengan matrks, rank dan metode rank nonparametrk... Konsep Dasar Statstka Pengertan tentang ruang sampel, varabel random, fungs denstas probabltas, varabel random ndependen, varabel random kontnu dan sampel random dberkan sebaga berkut. Defns. (Ban dan Engelhardt, 99) Ruang sampel adalah hmpunan semua hasl (outcomes) yang mungkn dar suatu ekspermen dan dnotaskan dengan S. Defns. (Ban dan Engelhardt, 99) Varabel random X adalah suatu fungs yang memetakan setap hasl e yang mungkn pada ruang sampel S dengan suatu blangan real x sedemkan hngga X (e) x. Defns. (Ban dan Engelhardt, 99) Fungs denstas probabltas (fdp) dar varabel random X dnyatakan sebaga f ( x ) P [ X x ], x x, x, K, x d dx F ka X dskrt ' ( x ) F ( x ) ka X kontnu. n Defns.4 (Ban dan Engelhardt, 99) Varabel random ndependen ka X,, X K dkatakan n 4

20 5 p n [ a x b,, a n x n b n ] P [ a x b ], untuk setap a b K. Defns.5 (Ban dan Engelhardt, 99) Jka hmpunan semua harga yang mungkn dar varabel random X terletak d sepanang nterval maka X dsebut varabel random kontnu. Defns.6 (Ban dan Engelhardt, 99) Hmpunan dar varabel random X, K, X n dkatakan sebaga sampel random berukuran n dar suatu populas dengan fungs denstas f(x) ka fdp bersamanya memlk bentuk f ( x x, x ) f ( x ) f ( x ) K f ( x ) K, n,. n.. Dstrbus Normal Defns.7 (Ban dan Engelhardt, 99) Dstrbus normal dengan rata rata µ dan varans probabltas σ dnotaskan dengan N ( µ,σ ) f ( x ;, σ ) ( x µ ) σ µ e, untuk < x <. π σ Dstrbus normal dengan rata rata µ dan varans σ normal standar yang dnotaskan dengan N (, ) probabltas f x ( x ;, ) e, untuk < x < π mempunya fungs denstas dsebut dstrbus dan mempunya fungs denstas... Model Regres Lnear Menurut Sembrng (995), model regres adalah model yang memberkan gambaran mengena hubungan antara varabel bebas X dengan varabel tak bebas Y yang dpengaruh oleh beberapa parameter regres yang belum dketahu nlanya. Jka analss regres dlakukan untuk satu varabel bebas dengan satu varabel tak bebas, maka regres n dnamakan regres lnear sederhana dengan

21 6 model Y β + β X + ε. Jka X, X, K, X k adalah varabel bebas dan Y adalah varabel tak bebas, maka regres n dnamakan regres lnear ganda dan model regresnya adalah Y β + βx + + βk X k + ε L dengan ~ (, σ ) ε N...4 U Hpotess Defns.8 (Walpole dan Myers, 995) Hpotess statstk adalah suatu anggapan atau pernyataan yang mungkn benar atau tdak, mengena satu populas atau lebh. Hpotess ada dua macam yatu hpotess nol dan hpotess alternatf. Penguan hpotess terhadap suatu nla parameter tergantung kasus yang dseldk, akbatnya defns terhadap kedua hpotess tersebut relatf terhadap kasus yang ada...5 Matrks dan Operas Matrks Menurut Anton (99), matrks adalah susunan seg empat sku sku dar blangan blangan yang secara umum dtulskan sebaga a sampa a mn a, A a a M a m a a a M m L L O L dsebut entr dar matrks A dan dnyatakan secara umum dengan,, K, m dan,, K, n. Matrks yang mempunya m bars dan n kolom dsebut matrks berorde (berukuran) m x n. a a a n n M mn Defns.9 (Hadley, 99) Matrks buur sangkar adalah matrks yang mempunya umlah bars dan kolom yang sama. Defns. (Hadley, 99) Matrks denttas orde n yang dnotaskan dengan I atau I n adalah matrks buur sangkar dengan entr entr pada dagonal utamanya

22 7 adalah dan untuk yang lannya adalah. Jka A adalah matrks buur sangkar dan I adalah matrks denttas orde n maka perkalannya adalah IA AI A. Defns. (Hadley, 99) Invers dar matrks buur sangkar A adalah suatu matrks yang dnotaskan dengan A dan A A A A I. Defns. (Hadley, 99) Jka A adalah suatu matrks dan c adalah sembarang skalar maka hasl kal (product) ca adalah matrks yang dperoleh dengan mengalkan masng masng entr dar A dengan c. Defns. (Hadley, 99) Jka A adalah sembarang matrks berorde m x n (A m x n ) maka tranpos (A m x n ) dnyatakan dengan ' A berorde n x m yang barsnya merupakan kolom dar A m x n dan kolomnya merupakan bars dar A m x n. Jad, ka A a M a m L O L a a n M mn maka tranpos dar A m x n adalah ' ( A ) m x n a M a m L O L a a n M mn ' a M a n L O L a a m M mn...6 Metode Kuadrat Terkecl dengan Matrks Vektor b ( b b b ) ' β ( β β β ) ',, K, k merupakan estmas vektor parameter regres,, K, k. Menurut Sembrng (995), dalam estmas parameter regres β, β, K, β k pada n data pengamatan, n n ( ) ε β β β L β p k (.) J y x x x haruslah mnmum. Pada persamaan (.), x, x, K, x k dan y merupakan data pengamatan. Estmas parameter regres dperoleh dengan menurunkan J secara

23 8 parsal terhadap parameter regres β, β, K, β k kemudan menyamakannya dengan nol. Dengan menggant parameter regres β, β, K, β k dengan estmasnya yatu b, b, K, b k maka dperoleh suatu sstem persamaan lnear n n n n y nb + b x + b x + L + b x k k n n n n n y x b x + b x + b x x + L + bk xk x n n n n n y x b x + b x x + b x + L + bk xk x... n n n n n y xk b xp + b x xk + b x xk + L + bk x k Jka dtuls dalam lambang matrks maka persamaan (.) akan menad ' ' ( X X ) b X Y. (.) (.) dengan X x L x k x L x k, Y M M O M xn L x nk y y M y n b b dan b. M b k Jka X ' X mempunya nvers (nonsngular) maka persamaan (.) menad b ' ' ( X X ) X Y dan vektor b merupakan estmas parameter regres β, β, K, β k...7 Rank Menurut Gbbons (97), msalkan random berukuran n, rank observas ke yatu terurut adalah banyaknya observas X p X. Msalkan X ( ), X ( ),, X ( n ) X,, X, K X n merupakan sampel G dar sampel random yang tdak X p, p,, K, n sedemkan hngga K merupakan statstk terurut dar sampel random X, X,, X G. K n, rank dar statstk terurut ke yatu ( )

24 9..8 Metode Rank Nonparametrk Menurut Brkes dan Dodge (99), metode rank nonparametrk merupakan metode estmas parameter regres yang tdak tergantung asums kenormalan pada sesatan. Pada model regres lnear, estmas parameter regres dengan metode rank nonparametrk dperoleh dengan memnmumkan umlah rank ssaan berbobot n + rank ( e ) e. (.4). Kerangka Pemkran Kerangka pemkran dalam penulsan skrps n dapat delaskan sebaga berkut. Jka suatu data yang akan danalss dengan model regres mempunya sesatan yang tdak berdstrbus normal maka data n dapat danalss dengan metode rank nonparametrk. Sesatan yang tdak berdstrbus normal dapat dndkaskan dengan adanya penclan. Selanutnya, estmas parameter regres dperoleh dengan memnmumkan umlah rank ssaan berbobot n + rank ( e ) e. Pada regres lnear ganda, estmas parameter regres dperoleh dengan menggunakan algortma yang bersfat teratf. Setelah dperoleh estmas persamaan regres, dlakukan u sgnfkans parameter regres untuk mengetahu hubungan antara varabel bebas X dengan varabel tak bebas Y.

25 BAB III METODE PENULISAN Dalam penulsan skrps, penuls menggunakan metode stud lteratur yatu dengan mengumpulkan referens berupa buku buku yang dapat mendukung pembahasan mengena estmas parameter regres dan u sgnfkans parameter regres dengan metode rank nonparametrk sedangkan untuk melakukan perhtungan pada contoh kasus dgunakan software SPSS for Wndows, Mntab for Wndows dan Mcrosoft Excel. Adapun langkah langkah yang dlakukan dalam penulsan skrps n adalah. menentukan estmas parameter regres,. mengu sgnfkans parameter regres,. memberkan contoh kasus.

26 4 4.5 Contoh Kasus Regres Lnear Sederhana Pada bagan n dberkan contoh kasus untuk mempermudah pemahaman mengena estmas parameter regres dan u sgnfkans parameter regres dengan metode rank nonparametrk pada regres lnear sederhana. Dberkan data sekunder dar 4 negara d Amerka Tengah dan Amerka Utara yang umlah penduduknya telah mencapa satu uta orang lebh pada tahun 985. Dar 4 negara tersebut dberkan data mengena tngkat kelahran yatu umlah kelahran yang terad tap serbu orang penduduk dan persentase urban yang merupakan persentase penduduk yang tnggal d kota. Data tngkat kelahran dar masng masng negara dalam selang waktu lma tahun yatu pada tahun serta data persentase urban yang dcapa pada tahun 98 dtunukkan pada Tabel 4.. Data tersebut dambl dar Brkes dan Dodge (99). Dar data tersebut akan dtentukan estmas persamaan regres dan u hpotess untuk mengetahu hubungan antara besarnya persentase urban dengan tngkat kelahran yang terad. Tabel 4. Data Tngkat Kelahran No Negara Tngkat Kelahran Y Persentase Urban Kanada 6, 55, Kostarka,5 7, Kuba 6,9, 4 Republk Domnka, 7, 5 El Savador 4,,5 6 Guatemala 8,4 4, 7 Hat 4,,9 8 Honduras 4,9 9, 9 Jamaka 8,, Meksko,9 4, Nkaragua 44, 8,5 Panama 8, 7,7 Trndad/Tobago 4,6 6,8 4 USA 6, 56,5 X

27 5 Penyelesaan. Dlakukan analss regres terhadap data pada Tabel 4. dengan persentase urban sebaga varabel bebas X dan tngkat kelahran sebaga varabel tak bebas Y menggunakan software Mntab for Wndows. Regresson Analyss The regresson equaton s Y X Predctor Coef SE Coef T P Constant X S 8.54 R Sq 8.6% R Sq(ad).5% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson Resdual Error Total 99.5 Unusual Observatons Obs X Y Ft SE Ft Resdual St Resd R R denotes an observaton wth a large standardzed resdual Gambar 4. Output Analss Regres untuk Data Penuh pada Data Tngkat Kelahran Berdasarkan output d atas, dperoleh estmas persamaan regresnya adalah y ˆ 4,, 99 x, kemudan dlakukan pemerksaan ssaan untuk mengetahu apakah ssaan ssaan dar data pada Tabel 4. memenuh asums kenormalan.

28 6 Normal Probablty Plot of the Resduals (r esponse s Y) Normal Score Standardzed Resdual (a) Plot Probabltas Normal Hstogram 6 Dependent Varable: Y 5 4 Frequency Std. Dev,96 Mean, N 4,,,,,,5,5,5,5 Regresson Standardzed Resdual (b) Dagram Kenormalan Ssaan Resduals Versus the Ftted Values (response s Y) Standardzed Resdual 4 Ftted Value (c) Plot Ssaan vs y ˆ Gambar 4. Plot Ssaan dengan Metode Kuadrat Terkecl untuk Data Penuh pada Data Tngkat Kelahran

29 7 Pada Gambar 4. a dan b sepertnya terlhat bahwa asums kenormalan dpenuh, tetap pada gambar 4. c dketahu terdapat ttk data yang berada d luar nterval ± pada sumbu y maka dapat dartkan terdapat data penclan. Pengamblan batas ± tersebut berdasarkan pada Brkes dan Dodge (99), yang menyatakan agar penclan lebh mudah ddeteks yatu dengan membuat plot ssaan terbaku (standardzed resduals). Ssaan ssaan terbaku danggap sebaga penclan ka mempunya nla absolut lebh besar dar. Selan tu, uga ddukung oleh hasl analss regres bahwa data observas merupakan penclan (unusual observatons) maka data tersebut dkeluarkan agar memenuh asums kenormalan, kemudan dlakukan analss regres tanpa data observas. Regresson Analyss The regresson equaton s Y X Predctor Coef SE Coef T P Constant X S 6.57 R Sq 6.% R Sq(ad) 58.7% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson Resdual Error Total 5.55 Unusual Observatons Obs X Y Ft SE Ft Resdual St Resd R R denotes an observaton wth a large standardzed resdual Gambar 4. Output Analss Regres Tanpa Data Observas pada Data Tngkat Kelahran Berdasarkan output d atas, dperoleh estmas persamaan regresnya adalah y ˆ 48, 9, 549 x. Hasl analss regres yang dperoleh tanpa data observas mempunya perubahan yang cukup besar pada estmas parameternya. Dar output

30 8 tersebut, dapat dketahu bahwa data observas merupakan penclan maka data tersebut dkeluarkan agar memenuh asums kenormalan, kemudan dlakukan analss regres tanpa data observas dan. Regresson Analyss The regresson equaton s Y X Predctor Coef SE Coef T P Constant X S 5.9 R Sq 7.5% R Sq(ad) 7.9% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson Resdual Error Total 9. Gambar 4.4 Output Analss Regres Tanpa Data Observas dan pada Data Tngkat Kelahran Berdasarkan ouput d atas, dapat dambl kesmpulan bahwa terdapat penclan pada Tabel 4. yatu data observas dan. Tndakan menghlangkan data penclan tdak selalu merupakan tndakan yang baksana karena serngkal data penclan memberkan nformas yang cukup berart. Estmas parameter regres, dalam hal n dlakukan secara berulang dengan menghlangkan data penclan agar memenuh asums kenormalan. Oleh karena tu, ada kemungknan estmas parameter regres yang dperoleh dengan metode kuadrat terkecl menad kurang tepat. Selanutnya, dlakukan estmas parameter regres untuk data pada Tabel 4. dengan metode rank nonparametrk. Estmas parameter regres β dengan metode rank nonparametrk adalah dengan menentukan nla b yang memnmumkan persamaan (4.). Langkah pertama, dhtung slope gars b untuk setap pasangan ttk data dan dsusun dengan urutan dar kecl ke besar. Msalkan slope gars untuk pasangan ttk data Kanada dengan Kostarka adalah ( 6,, 5 ) ( 55, 7, ), 56. Hasl

31 9 perhtungan slope gars b untuk setap pasangan ttk data dengan urutan dar kecl ke besar dtunukkan pada tabel kolom kedua pada lampran 7. Selanutnya, dhtung nla x x untuk setap slope gars b. Msalkan, nla x x untuk pasangan ttk data Kanada dengan Kostarka adalah 7, 55, 7, 7 7, 7. Hasl perhtungan x x untuk setap slope gars b dtunukkan pada tabel kolom ketga pada lampran 7, kemudan dhtung umlah kumulatf untuk x x sehngga dperoleh nla T x x. 665, 9. Untuk menerapkan pertdaksamaan (4.), maka umlah kumulatf totalnya T. 665, 9 dbag dengan negatf dua sehngga dperoleh nla T 8, 95. Langkah kedua, untuk memperoleh nla b yang memnmumkan persamaan (4.) maka dar tabel pada lampran 7 dapat dperoleh nla b km dengan, T + T km < dan T + T km + x k x m >. Dperoleh nla slope gars b pada urutan ke 4 karena T + T 8, 95 km < , 95 < dan T + Tkm + xk x m > 8, ,4 5, 45 > sehngga nla b yang memnmumkan persamaan (4.) adalah nla slope gars pada urutan ke 4 yang merupakan pasangan ttk data USA dengan Jamaka yatu, 556. Jad, estmas parameter regres β adalah, 556. Estmas parameter regres α dperoleh dengan medan dar selsh Nla dar y bx y bx. dtunukkan pada Tabel 4.. Dperoleh estmas parameter regres α adalah 46,5. Selanutnya, dapat dtentukan estmas persamaan regres untuk data pada Tabel 4. yatu y ˆ 46, 5, 556 x. Untuk mengetahu apakah estmas persamaan regres yang dperoleh dengan metode rank nonparametrk,

32 data pada Tabel 4. memenuh asums kenormalan maka dlakukan pemerksaan ssaan yang dtunukkan pada Gambar 4.5. Berdasarkan Gambar 4.5 a dan b, dapat dketahu bahwa asums kenormalan telah terpenuh dan pada Gambar 4.5 c, tdak terdapat ttk data yang berada dluar nterval ± pada sumbu y. Jad, dapat dartkan tdak terdapat data yang merupakan penclan. Estmas gars regres yang dperoleh dengan metode rank nonparametrk dtunukkan pada Gambar 4.6. Tabel 4. Hasl Perhtungan y b x y x y b x 6, 55, 45,,5 7, 44,85 6,9, 4,4, 7, 5,6 4,,5 46,4 8,4 4, 45,86 4,,9 48,6 4,9 9, 5,89 8,, 45,7,9 4, 56,6 44, 8,5 59,8 8, 7,7 47,8 4,6 6,8 8,7 6, 56,5 45,7 Regresson Plot Y 46,56,5575 X S,865 R Sq, % R Sq(ad), % 4 YRank X Gambar 4.6 Estmas Gars regres dengan Metode Rank Nonparametrk.

33 Normal Probablty Plot of the Resduals (response s YRank) Normal Score Standardzed Resdual (a) Plot Probabltas Normal Hstogram,5 Dependent Varable: YRANK,,5,,5 Frequency,,5,,,5,,5,,5,,5 Std. Dev,96 Mean, N 4, Regresson Standardzed Resdual (b) Dagram Kenormalan Ssaan Resduals Versus the Ftted Values (response s YRank) Standardzed Resdual 4 Ftted Value (c) Plot Ssaan vs y ˆ Gambar 4.5 Plot Ssaan dengan Metode Rank Nonparametrk

34 Pengaruh besarnya persentase urban terhadap tngkat kelahran yang terad dapat dketahu dengan melakukan u sgnfkans terhadap parameter regresnya. U sgnfkans atau u hpotess parameter regresnya adalah sebaga berkut.. H : β (besarnya persentase urban tdak mempengaruh tngkat kelahran secara sgnfkan). H : β (besarnya persentase urban mempengaruh tngkat kelahran secara sgnfkan).. Menentukan tngkat sgnfkans α, 5.. Daerah krts : H dtolak ka <, 5 4. Menghtung statstk u : n + U Nla rank ( y ) x p dengan p Prob [ t ] U t. SD U ( ) n + rank ( y ) x untuk memperoleh nla U. T.. Pada Tabel 4., dberkan perhtungan Tabel 4. Hasl Perhtungan untuk Memperoleh Nla U y n + x rank ( x ) rank ( y ) x 6, 55,,5,5 7, 7,65 6,9, 49,85, 7, 8 8,55 4,,5 4,5 8,4 4, 5,5 4,,9 6,55 4,9 9, 4,5 8,, 6 49,65,9 4, 9 64,8 44, 8,5 4 85,5 8, 7,7 5 94,5 4,6 6,8 4,8 6, 56,5 67,5

35 n + U dan nla Dperoleh nla rank ( y ) x 489, 55 ( ) n n + 489, , 55, kemudan dhtung nla SD ( U ) ( x x ). Nla ( x ). 5 x ( n + ) maka dperoleh nla ( ) (. 5 ) 55, , 8 n 4 5 SD ( U ) ( x x ). Jad, dapat dperoleh nla U 489, 55 t, 8. SD 4, 8 ( U ) Untuk nla p dperoleh menggunakan tabel dstrbus t dengan deraat bebas n maka nla p Prob [ T, 8 ]. Dar tabel dstrbus t dperoleh nla p antara, dan,5 yatu, Pengamblan Keputusan. Dar langkah keempat dperoleh nla p >, 5 maka H tdak dtolak (menerma H ). Jad, dapat dsmpulkan bahwa persentase urban tdak mempengaruh tngkat kelahran secara sgnfkan dengan tngkat sgnfkans α 5 %.

36 4 4.6 Contoh Kasus Regres Lnear Ganda Pada bagan n dberkan penerapan dar metode rank nonparametrk untuk estmas parameter regres dan u sgnfkans parameter regres pada regres lnear ganda. Dberkan data sekunder pada Tabel 4.4 yang dambl dar Brkes dan Dodge (99) yatu mengena oksdas amona NH menad asam ntrat HNO pada tanaman. Pengamatan dlakukan selama har dengan varabel yang dgunakan adalah alran udara, suhu ar pendngn, konsentras asam dan persentase hlangnya amona NH yang tak terkat. Dar data tersebut akan dtentukan hubungan antara persentase hlangnya amona NH yang tak terkat dengan ketga varabel yatu alran udara, suhu ar pendngn dan konsentras asam. Tabel 4.4 Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO No. Persentase Hlangnya Alran Suhu Ar Konsentras Amona NH Udara Pendngn Asam Y X X X

37 5 Penyelesaan. Ddefnskan suatu model regres lnear ganda untuk data pada Tabel 4.4 yatu Y β + β X + β X + β X + ε dengan alran udara sebaga varabel bebas X, suhu ar pendngn sebaga varabel bebas X, konsentras asam sebaga varabel bebas X dan persentase hlangnya amona NH yang tak terkat sebaga varabel tak bebas Y, kemudan dlakukan analss regres menggunakan software Mntab for Wndows. Regresson Analyss The regresson equaton s Y X +. X.58 X Predctor Coef SE Coef T P Constant X X X S. R Sq 9.5% R Sq(ad) 9.% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson Resdual Error Total 69.4 Source DF Seq SS X X 8.4 X.67 Unusual Observatons Obs X Y Ft SE Ft Resdual St Resd R R denotes an observaton wth a large standardzed resdual Gambar 4.7 Output Analss Regres untuk Data Penuh pada Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO Berdasarkan output d atas, dperoleh estmas persamaan regresnya adalah y ˆ 9, 8 +, 7 x x, kemudan dlakukan pemerksaan +, x, 58 ssaan untuk mengetahu apakah ssaan ssaan dar data Tabel 4.4 memenuh asums kenormalan.

38 6 Normal Probablty Plot of the Resduals (response s Y) Normal Score Standardzed Resdual (a) Plot Probabltas Normal 7 Hstogram Dependent Varable: Y Frequency Std. Dev,9 Mean, N,,,,,,,5,5,5,5 Regresson Standardzed Resdual (b) Dagram Kenormalan Ssaan Resduals Versus the Ftted Values (response s Y) Standardzed Resdual Ftted Value 4 (c) Plot ssaan vs y ˆ Gambar 4.8 Plot Ssaan dengan Metode Kuadrat Terkecl untuk Data Penuh pada Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO

39 7 Pada Gambar 4.8 a dan b sepertnya terlhat bahwa asums kenormalan dpenuh, tetap pada gambar 4.8 c dketahu terdapat ttk data yang berada d luar nterval ± pada sumbu y maka dapat dartkan terdapat data penclan. Selan tu, uga ddukung oleh hasl analss regres bahwa data observas merupakan penclan (unusual observatons) maka data tersebut dkeluarkan agar memenuh asums kenormalan, kemudan dlakukan analss regres tanpa data observas. Regresson Analyss The regresson equaton s Y X X. X Predctor Coef SE Coef T P Constant X X X S.56 R Sq 94.9% R Sq(ad) 94.% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson Resdual Error Total Source DF Seq SS X X 47.5 X 5.44 Unusual Observatons Obs X Y Ft SE Ft Resdual St Resd R R denotes an observaton wth a large standardzed resdual Gambar 4.9 Output Analss Regres Tanpa Data Observas pada Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO Berdasarkan output d atas, dperoleh estmas persamaan regresnya adalah y ˆ 4, 6 +, 877 x x. Dar output tersebut, dapat dketahu +, 867 x, bahwa data observas 4 merupakan penclan maka data tersebut dkeluarkan agar memenuh asums kenormalan, kemudan dlakukan analss regres tanpa data

40 8 observas dan 4. Berdasarkan hasl output, dperoleh estmas persamaan regresnya adalah y ˆ 4, +, 94 x +, 66 x, 5 x. Dar output tersebut, dapat dtentukan bahwa data observas merupakan penclan maka data tersebut dkeluarkan agar memenuh asums kenormalan, kemudan dlakukan analss regres kembal terhadap data Tabel 4.4 tanpa data observas, 4 dan. Dperoleh estmas persamaan regres tanpa data data tersebut adalah y ˆ 4, +, 889 x x. Dar hasl output, dketahu mash +, 64 x, terdapat data penclan dalam analss regresnya yatu data observas. Oleh karena tu, dlakukan analss regres kembal terhadap data Tabel 4.4 tanpa data observas, 4, dan. Dperoleh estmas persamaan regresnya adalah y ˆ 7, 5 +, 785 x x. Pada metode kuadrat terkecl data +, 66 x, 7 penclan dhlangkan dengan tuuan asums kenormalan dpenuh. Dar hasl output analss regres dperoleh bahwa data observas merupakan penclan sehngga data tersebut dkeluarkan pada analss selanutnya agar tetap memenuh asums kenormalan. Berdasarkan output, dperoleh estmas persamaan regresnya adalah y ˆ 5, 4 +, 88 x +, 58 x, 957 x. Dar hasl output n, tdak dtemukan kembal adanya data penclan sehngga hasl analss terakhr n merupakan hasl estmas persamaan regres dengan metode kuadrat terkecl yang telah memenuh asums kenormalan dengan tdak adanya data penclan sebaga ndkasnya. Selanutnya, dlakukan estmas parameter regres dan u sgnfkans parameter regres terhadap data Tabel 4.4 dengan metode rank nonparametrk. Estmas parameter regres pada regres lnear ganda dperoleh dengan menggunakan algortma untuk memnmumkan g ( b ). Algortma dteraskan sampa dperoleh estmas vektor ˆ β yang lebh bak. Adapun hasl perhtungan estmas parameter regres untuk data pada Tabel 4.4 dengan metode rank nonparametrk adalah sebaga berkut. Pada teras pertama, vektor awal b terkecl yatu (,7,,9,,576 ) dperoleh dengan metode kuadrat b. Dtentukan vektor d untuk

41 9 memperoleh vektor b b + td. Dhtung nla selsh y ( b ) x ' untuk data pada Tabel 4.4. Msalkan nla y ' ( b ) x untuk data pertama yatu ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4,7 8 +,9 7 +, ,64 n + [ x ] ' kemudan dhtung nla dar rank y ( b ) dar vektor u. untuk memperoleh entr Tabel 4.5 Hasl Perhtungan Vektor u pada Iteras Pertama y [ ] n + [ x ] ' ' ' ( b ) x rank y ( b ) x rank y ( b ) 6, , , ,68 4, , , ,6 8 4,99 9 8, , , ,8 9 9,7678 7, ,847 4, ,694 4,4 8, ,9594 Setelah vektor ' ' u dperoleh, dhtung nla d ( X c X c ) X c u dengan X c merupakan matrks berorde n x k dengan entr (, 4574,, 577,, 54 ) d. x x, dperoleh vektor

42 4 nla z yatu Selanutnya, dtentukan nla t yang memnmumkan g ( b + td ) ' ( b ) x ' y dan w d x. Dhtung ', msalkan nla w d x untuk data pertama (, 4574 )( 8 ) + (, 577 )( 7 ) + (, 54 )( 89 ), 997 w. Nla t merupakan estmas parameter regres β untuk model regres lnear sederhana Z α + β W + ε, dperoleh dengan memnmumkan (4.). Untuk memperoleh estmas parameter regres β yatu t, dhtung sesua dengan pertdaksamaan (4.). Pada tabel lampran 8, dapat dperoleh nla t km sebaga nla yang memnmumkan (4.) dengan menghtung, Dperoleh nla slope gars t km T + T km < dan T + T km + w k w m >. T + T km 8, 777 dan pada urutan ke 96 karena < + 6, 795, 487 < T + T km 8, w k w m 6, >, 7545, 75 >. sehngga nla t yang memnmumkan persamaan yatu nla slope gars pada urutan ke 96 yang merupakan pasangan ttk data ke dan 9 yatu, 656. Selanutnya, dtentukan vektor b b + td * b untuk teras pertama yatu + ( )( ) + ( )( ),576 + (,656)(,54 ) (,887,,9448,,44 ).,7,656,4574,,9,656,577, Dlanutkan teras kedua dengan vektor b yang dperoleh pada teras pertama sebaga vektor awal b (, 887,, 9448,, 44 ). Dtentukan vektor d untuk memperoleh vektor b b + td pada teras kedua. Dhtung nla

43 4 selsh y ' ' ( b ) x untuk data pada Tabel 4.4. Msalkan nla y ( b ) x untuk data pertama yatu ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4, , , ,675 n + [ x ] ' kemudan dhtung nla dar rank y ( b ) dar vektor u. untuk memperoleh entr Tabel 4.6 Hasl Perhtungan Vektor u pada Iteras Kedua y [ ] n + [ x ] ' ' ' ( b ) x rank y ( b ) x rank y ( b ) 5, , ,9 9,658 4, ,5 9 4, ,4 4, ,76 7, , , , , , ,4 8 8,995 8,797 7, ,85 Dar vektor ' ' u yang dperoleh, dhtung nla d ( X c X c ) X c u dengan X c merupakan matrks berorde n x k dengan entr (, 498,, 959,, 567 ) d. x x, dperoleh vektor

44 4 Setelah vektor d dtentukan kemudan dcar nla t yang memnmumkan ' ( b td ). Dhtung nla z y ( b ) x g + w d untuk data pertama yatu ' x ' dan w d x, msalkan nla (, 498 )( 8 ) + (, 959 )( 7 ) + (, 567 )( 89 ), 987 w. Selanutnya, dtentukan nla t yang merupakan estmas parameter regres β untuk model regres lnear sederhana Z α + β W + ε. Untuk memperoleh nla t yang memnmumkan (4.), dhtung sesua dengan pertdaksamaan (4.). Pada tabel lampran 9, dapat dperoleh nla t km (4.) dengan menghtung, Dperoleh nla slope gars t km T + T km < dan T + T km + w k w m >. pada urutan ke 99 karena sebaga nla yang memnmumkan T + T km 5, 697 < + 4, 997, 768 < dan T + T km + w 5, k w m 4, 997 > +, 548, 8 > sehngga nla t yang memnmumkan persamaan yatu nla slope gars pada urutan ke 99 yang merupakan pasangan ttk data ke 6 dan yatu, 66. Selanutnya, dtentukan vektor b b + td * b untuk teras kedua yatu + ( )( ) + ( )( ),444 + (,66)(,567 ) (,7898,,999,,464 ).,887,66,498,,9448,66,959, Iteras dlanutkan hngga dperoleh selsh vektor sebelumnya kurang dar b dengan vektor 4. Hal n menunukkan bahwa estmas parameter regres yang dperoleh telah konvergen. Pada teras ketuuh dperoleh vektor b

45 4 b (, 7964,, 978,, 86 ) dengan vektor keenam adalah (, 7964,, 978,, 86 ) b yang dperoleh pada teras sehngga telah dperoleh estmas parameter regres dengan metode rank nonparametrk yatu ˆ β, 796, ˆ β, 98 dan ˆ β, 9. Selanutnya, dtentukan estmas parameter regres β selsh y ( b x + b x + b x ). Nla dar y ( b x + b x + b x ) pada Tabel 4.7. Tabel 4.7 Hasl Perhtungan y x x x y ' b x y ' b x dengan medan dar dberkan , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,67 ' Nla medan dar selsh y b x adalah 4,685. Jad, estmas parameter regres β yatu 4,685. Estmas persamaan regres yang dperoleh dar data oksdas amona NH menad asam ntrat HNO pada Tabel 4.4 dengan metode rank nonparametrk adalah y ˆ 4, 685 +, 796 x x. +, 98 x, 9

46 44 Kemudan dlakukan u hpotess untuk mengetahu ada tdaknya hubungan yang sgnfkan antara alran udara, suhu ar pendngn, konsentras asam terhadap persentase amona NH β β β. yang hlang tak terkat atau dengan kata lan apakah Nla ssaan untuk model penuh yatu e y y ˆ dengan y ˆ. 4, 685 +, 796 x +, 98 x, 9 x Msalkan nla ssaan untuk data pertama yatu e y y ˆ 4 4, 5 kemudan dhtung rank dar ssaan rank ( e ) ( 4, 685 +, 796 ( 7 ) +, 98 ( ), 9 ( 9 )) berbobot untuk model penuh yatu ( ) dan dhtung umlah rank ssaan n + JRSBpenuh rank e e 44,68. Tabel 4.8 Hasl Perhtungan untuk JRSB penuh n + 4,5 9,6, ,86 4,989 44,7 6,84 68,4,64 6 6,84,758,486, ,986,564,564, 4 4,79,6745,49,68 7,874,6875 4,65,8 6,84,78 8,49,4 8 4,5,6948 5,779,78 9,566,,,,,66 6 8,99 8,44 84,44 e rank ( e ) rank ( e ) e

47 45 Untuk model tereduks tanpa varabel bebas X, X dan X yatu Y β + ε. Estmas parameter regres β untuk model tereduks dperoleh dengan medan dar sampel y yatu 5. Dhtung nla ssaan untuk model tereduks yatu e y y ˆ y 5. Msalkan nla ssaan untuk data pertama yatu e, kemudan dhtung nla rank ssaan, rank ( e ) umlah rank ssaan berbobot untuk model tereduks yatu n + JRSB tereduks rank ( e ) e. dan dhtung Tabel 4.9 Hasl Perhtungan untuk JRSB tereduks n + e rank ( e ) rank ( e ) e 7 7 9,5 87 9, ,5,5 4,5, ,5,5 9,5,

48 46 Dengan menggunakan nla ssaan untuk model penuh, dapat dtentukan nla τˆ. Untuk ssaan maka terdapat rata rata pasangan ssaan A. Msalkan rata rata untuk pasangan ssaan pertama dan kedua yatu A e + e 4, 5 + (, 965 ) ssaan, 4594 kemudan rata rata untuk pasangan A dsusun dengan urutan dar kecl ke besar yatu pada lampran. Selanutnya, dhtung nla ( n + ) ( n + ) ( )( 4 ) n a ( n + ) ( ) 4 4 5, 5 n b 8, 776 maka dapat dtentukan nla q 4 4 yatu blangan bulat terdekat dengan (, 645 ) + 5, 5 (, 645 ) 8, , a b yatu 69 dan nla q yatu blangan bulat terdekat dengan (, 645 ) + 5, 5 + (, 645 ) 8, 776 6, 8 + a + b yatu 6 dan dapat dtentukan nla dan n n A( ) A q ( q ) τ n ( k + ) (,645 ) [ A 6 A 69 ] [ ( + )], 9 [, 68 (, 795 )] 7,., 9. Nla statstk u F rank F rank JRSB yatu tereduks ( k ) JRSB l cτ penuh ( ). 44,68 48 ( ) (, ) 7, 8

49 47 Adapun langkah langkah dalam u sgnfkans parameter regres tersebut adalah sebaga berkut.. Menentukan Hpotess H : β β β ( alran udara, suhu pendngn dan konsentras asam tdak mempunya pengaruh yang sgnfkan terhadap hlangnya persentase amona NH ). H : β,,, ( palng tdak terdapat satu varabel bebas X, X dan X yang mempunya pengaruh sgnfkan terhadap hlangnya persentase amona NH ).. Menentukan tngkat sgnfkans α, 5.. Menentukan daerah krts : H dtolak ka p < α dengan p Prob [ F ] F. rank 4. Menghtung statstk u: F rank JRSB 7,8 tereduks ( k ) JRSB l cτ penuh Untuk nla p dperoleh dar tabel dstrbus F dengan deraat bebas k l dan n k 7 maka nla p Prob[ F 7, 8 ] F dperoleh nla p kurang dar,. 5. Pengamblan Keputusan. Dar tabel dstrbus Dar langkah keempat dperoleh nla p <, 5 maka H dtolak. Jad, dapat dsmpulkan bahwa alran udara, suhu ar pendngn dan konsentras asam mempunya pengaruh sgnfkan terhadap persentase hlangnya amona NH yang tak terkat dengan tngkat sgnfkans α 5 %.

50 48

51 BAB V PENUTUP 5. Kesmpulan Kesmpulan yang dperoleh berdasarkan hasl pembahasan adalah sebaga berkut.. Pada regres lnear sederhana, estmas parameter regres β dperoleh dengan memnmumkan n + rank ( y bx ) y bx dan estmas parameter regres α dperoleh dengan medan dar y bx. Pada regres lnear ganda, estmas parameter regres β, β, K, β k dperoleh dengan memnmumkan n + rank y b x + + b x y b x + + b x L L ( ) ( ) ( ) k k k k yatu menggunakan algortma yang bersfat teratf. Estmas parameter regres β dperoleh dengan medan dar y ( b x + + b x ) L. k k. Pada regres lnear sederhana, u sgnfkans parameter regres dlakukan dengan menggunakan hpotess H : β dan H : β. Statstk u yang dgunakan adalah t n + U U SD ( U ) dengan rank ( y ) x dan ( U ) Daerah krts : H dtolak ka < α ( n + ) n SD ( x x ). p dengan p Prob [ T t ] nla p dperoleh menggunakan tabel dstrbus t dengan deraat bebas n. dan 48

52 49. Pada regres lnear ganda, u sgnfkans parameter regres dlakukan dengan menggunakan hpotess H : βl + L β k dan H : β +. Statstk u yang dgunakan adalah l, K., k F rank JRSB tereduks JRSB ( k ) ˆ l cτ penuh n + JRSB dengan rank ( e ) e n n ( ) ( ) dan A A q q τ. n ( k + ) (,645 ) Daerah krts : H dtolak ka < α p dengan p Prob [ F ] F. Nla p dperoleh menggunakan tabel dstrbus F dengan deraat bebas rank k l dan n k. 5. Saran Pada penulsan skrps n, penuls menggunakan bentuk persamaan n + rank ( e ) e untuk memperoleh estmas parameter regres. Bag pembaca yang tertark dengan regres nonparametrk, dapat menggunakan bentuk persamaan ( e ) rank Φ n + untuk memperoleh estmas parameter regres. e

53 DAFTAR PUSTAKA Anton, H. (99). Elementary Lnear Algebra. Ffth Edton. John Wley & Sons, Inc., New York. Ban, L. J. and Engelhardt, M. (99). Introducton to Probablty and Mathematcal Statstcs. Second Edton. Duxbury Press, Calforna. Brkes, D. and Dodge, Y. (99). Alternatve Methods of Regresson. John Wley & Sons, Inc., New York. Gbbons, J.D. (97). Nonparametrc Statstcal Inference. Mc Graw Hll, Inc., Tokyo. Hadley, G. (99). Alabar Lnear. Teremahan Napospos, N. Soemartoyo. Erlangga, Jakarta. Herzberg, P. A. (98). Prncples of Statstcs. John Wley & Sons, Inc., Canada. Sembrng, R. K. (995). Analss Regres. ITB, Bandung. Walpole, R. E. and Myers, R. H. (995). Ilmu Peluang dan Statstka untuk Insnyur dan Ilmuan. Eds Kedua. Teremahan R. K. Sembrng. ITB, Bandung. 5

54 LAMPIRAN Lampran. Output Analss Regres dengan Metode Kuadrat Terkecl Tanpa Data Observas dan 4 pada Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO. Regresson Analyss The regresson equaton s Y X +.66 X.5 X Predctor Coef SE Coef T P Constant X X X S.4 R Sq 96.9% R Sq(ad) 96.% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson Resdual Error Total Source DF Seq SS X 86.4 X.5 X 5.6 Unusual Observatons Obs X Y Ft SE Ft Resdual St Resd R R denotes an observaton wth a large standardzed resdual Lampran. Output Analss Regres dengan Metode Kuadrat Terkecl Tanpa Data Observas, 4 dan pada Data Oksdas Amona NH Ntrat HNO. menad Asam Regresson Analyss The regresson equaton s Y X +.64 X. X Predctor Coef SE Coef T P Constant X X

55 5 X S.76 R Sq 97.% R Sq(ad) 96.6% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson Resdual Error Total 7 5. Source DF Seq SS X X.4 X 5.8 Unusual Observatons Obs X Y Ft SE Ft Resdual St Resd R R denotes an observaton wth a large standardzed resdual Lampran. Output Analss Regres dengan Metode Kuadrat Terkecl Tanpa Data Observas, 4, dan pada Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO. Regresson Analyss The regresson equaton s Y X X4.7 X4 Predctor Coef SE Coef T P Constant X X X S.4 R Sq 97.5% R Sq(ad) 97.% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson Resdual Error..55 Total Source DF Seq SS X X4.5 X4.5 Unusual Observatons Obs X4 Y4 Ft SE Ft Resdual St Resd R R denotes an observaton wth a large standardzed resdual

56 5 Lampran 4. Output Hasl Analss Regres dengan Metode Kuadrat Terkecl Tanpa Data Observas, 4,, dan pada Data Oksdas Amona NH menad Asam Ntrat HNO Regresson Analyss The regresson equaton s Y X X5.957 X5 Predctor Coef SE Coef T P Constant X X X S.5 R Sq 98.4% R Sq(ad) 97.9% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson Resdual Error.5. Total Source DF Seq SS X X5.8 X5.65

57 54 Lampran 5. Matrks X c dan Matrks ' X c Matrks X c 9,5 9,5 4,5,5,5,5,5,5,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48 4,48 9,5 5,9 5,9,9,9,9,9,9,9,9,, 4,,,,,,,,,,,7,7,7,7,7,7 6,7 6,7,7 6,9,7,7 4,9 6,7,7,9 4,9 7,9 6,9 4,9 4,7 Matrks ' X c 9,5 5,9,7 9,5 5,9,7 4,5,9,7,5,9,7,5,9,7,5,9,7,5,9 6,7,5,9 6,7,48,9,7,48, 6,9,48,,7,48 4,,7,48,48,, 4,9 6,7,48,,7,48,,9,48, 4,9,48, 7,9,48, 6,9 4,48, 4,9 9,5, 4,7