Bab 0 Pendahuluan MA1101 Matematika 1A Semester I Tahun 2018/2019 FMIPA (K-03) Dosen: Dr. Rinovia Simanjuntak
0.1 Bilangan Real
Bilangan Real
Desimal Berulang dan Tak Berulang Setiap bilangan rasional dapat dituliskan dalam desimal. Bilangan tak rasional juga dapat diekspresikan dalam desimal. Setiap bilangan rasional dapat dituliskan dalam desimal berulang. Jika x adalah bilangan rasional maka x adalah bilangan desimal berulang. Jika x adalah bilangan desimal berulang maka x adalah bilangan rasional. Contoh. Tunjukkan bahwa x = 0.136136136 merepresentasikan suatu bilangan rasional. Bagaimana dengan x = 0.199999
Kepadatan Bilangan rasional dan tak rasional bersifat padat sepanjang garis bilangan real. Bilangan rasional sebarang dapat diaproksimasi sedekat yang kita inginkan oleh suatu bilangan rasional. Contoh. Carilah bilangan rasional di antara 3,14159 dan π. Ingat bahwa π=3,141592
Logika Hasil penting dalam matematika disebut teorema. Banyak teorema yang dinyatakan dalam bentuk Jika P maka Q (P Q). P dinamakan hipotesis dan Q konklusi dari teorema. Konvers dari P Q adalah Q P. Negasi dari pernyataan P adalah ~P. Kontrapositif dari P Q adalah ~Q ~P. Contoh. Tuliskan konvers dan kontrapositif dari pernyataan berikut: 1. Jika hari ini hujan, maka saya akan tinggal di rumah. 2. Jika x < y maka x 2 < y 2.
INGAT bahwa: P Q tidak sama dengan P Q Yang manakah yang benar? Jika x = 1 maka x 2 = 1 atau Jika x 2 = 1 maka x = 1
Urutan Himpunan bilangan real tak nol terbagi menjadi dua himpunan yang saling lepas: himpunan bilangan real positif dan himpunan bilangan real negatif. Fakta ini mendefinisikan urutan <. x < y y x positif x y y x positif atau nol
Kuantifikasi Banyak pernyataan matematika yang melibatkan variabel x dan kebenaran dari pernyataan tersebut ditentukan oleh nilai x. Misalkan P(x) menyatakan suatu pernyataan yang nilai kebenarannya ditentukan oleh x. Untuk semua x, P(x) atau Untuk setiap x, P(x) bermakna bahwa pernyataan P(x) benar untuk setiap nilai x. Pada saat ada paling tidak satu nilai x sehingga P(x) benar, Ada x sehingga P(x)".
Contoh Manakah di antara pernyataan berikut yang benar? 1. Untuk setiap x, x 2 > 0. 2. Untuk semua x, x < 0 x 2 > 0. 3. Untuk setiap x, ada suatu y sehingga y > x. 4. Terdapat suatu y sehingga, untuk setiap x, y > x.
0.2 Pertaksamaan dan Nilai Mutlak
Persamaan dan Pertaksamaan Menyelesaikan persamaan adalah satu masalah tradisional dalam matematika. Dalam Kalkulus, menyelesaikan pertaksamaan juga merupakan masalah yang penting. Menyelesaikan suatu pertaksamaan adalah mencari himpunan semua bilangan real yang mengakibatkan pertaksamaan bernilai benar. Solusi dari suatu persamaan biasanya memuat satu atau beberapa bilangan, tapi himpunan solusi dari suatu pertaksamaan biasanya merupakan selang atau gabungan dari selang.
Selang
Menyelesaikan Pertaksamaan Dalam menyelesaikan pertaksamaan, perlu dilakukan transformasi pertaksamaan tersebut sampai diperoleh bentuk yang sudah jelas solusinya. Operasi berikut dapat dilakukan pada kedua sisi pertaksamaan tanpa mengubah himpunan solusinya. 1. Menjumlahkan bilangan yang sama pada kedua sisi pertaksamaan. 2. Mengalikan kedua sisi pertaksamaan dengan bilangan positif yang sama. 3. Mengalikan kedua sisi pertaksamaan dengan bilangan negatif yang sama berakibat pada perubahan arah ketaksamaan.
Contoh 1. Selesaikan 5 2x + 6 < 4. 2. Selesaikan 3x 2 x 2 > 0. 3. Selesaikan x 1 x+2 0 4. Selesaikan 2.9 < 1 x < 3.1 5. Selesaikan 3 x+5 < 2
Harga Mutlak Harga mutlak dari bilangan real x, dinotasikan sebagai x, didefinisikan sebagai Harga mutlak dapat dipandang sebagai jarak. x adalah jarak antara x dengan titik asal. x-a adalah jarak antara x dan a.
Sifat Harga Mutlak
Pertaksamaan yang Melibatkan Harga Mutlak Contoh. 1. Selesaikan x 4 < 2. 2. Selesaikan 3x 5 1.
Kuadrat dan Akar Jelas bahwa Apakah operasi kuadrat mengawetkan urutan? Contoh. Selesaikan 3x + 1 < 2 x 6.
Estimasi dan Pembatasan Kesalahan (Error) Berapakah luas persegi yang sisinya x? Dalam dunia nyata, persegi yang bentuk dan ukurannya sempurna amat jarang ditemukan. Jika kita ingin luas persegi dekat ke 4, maka sisi persegi haru dibuat dekat ke 2. Seberapa dekat kita menginginkan luas persegi ke 4? Bagaimana mendeskripsikannya? x 2 4 < ε Jika kita ingin luas persegi berada di antara 3.9 dan 4.1, seberapa dekatkah sisi persegi tersebut ke 2? x 2 <? x 2 4 < 0.1
Contoh Carilah sehingga 1. x 2 < δ 2x 4 < 0.1 2. x 2 < δ x + 4 < 0.1 3. x 2 < δ x 2 4 < 0.1
0.3 Sistem Koordinat
Koordinat Kartesius sumbu koordinat: sumbu-y dan sumbu-x titik asal kuadran koordinat (a,b): koordinat-x dan koordinat-y
Rumus Jarak Dengan menggunakan Teorema Phytagoras dapat diperoleh Rumus Jarak antara dua titik P dan Q. Contoh. Tenukan jarak antara P 2, 3 dan Q π, π.
Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik yang berjarak tertentu (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat). Lingkaran dengan jari-jari r dan pusat (h,k) memiliki persamaan: Formula ini disebut persamaan standar dari lingkaran. Contoh. Tunjukkan bahwa persamaan x 2 2x + y 2 + 6y = 6 merepresentasikan suatu lingkaran, dan tentukan pusat serta jari-jarinya.
Formula Titik Tengah Contoh. Carilah persamaan lingkaran yang memiliki ruas garis dari (1,3) ke (7,11) sebagai diameter.
Garis Untuk suatu garis yang melalui A x 1, y 1 dan B x 2, y 2, dengan x 1 x 2, didefinisikan gradien m Apakah gradien bergantung pada pemilihan A dan B?
Gradien Garis Gradien mengukur kemiringan suatu garis.
Persamaan Garis Garis yang melalui titik x 1, y 1 gradien m dengan Garis yang memotong sumbu-y di 0, b dengan gradien m
Persamaan Garis Vertikal
Bentuk Ax + By + C = 0 disebut persamaan umum dari garis yang meliputi formula untuk semua garis, termasuk garis vertikal.
Garis Paralel Dua garis yang tidak memiliki titik yang sama disebut saling paralel. Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui (6,8) dan parallel garis 3x 5y = 11.
Garis Tegak Lurus Dua garis yang bukan merupakan garis vertikal saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali gradien masing-masing garis adalah -1. Contoh. Carilah persamaan garis yang melalui titik potong 3x + 4y = 8 dan 6x + 10y = 7; yang tegak lurus terhadap garis pertama.
0.4 Grafik Persamaan
Prosedur Menggambar Grafik Persamaan Langkah 1. Tentukan koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan. Langkah 2. Gambarkan titik-titik tersebut pada bidang. Langkah 3. Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus. Contoh. Gambarkan grafik persamaan y = x 2 3.
Kesimetrian Grafik Suatu grafik dikatakan simetri terhadap sumbu-y, jika setiap kali (x,y) ada pada grafik, (-x,y) juga ada di grafik. Suatu grafik dikatakan simetri terhadap sumbu-x, jika setiap kali (x,y) ada pada grafik, (x,-y) juga ada di grafik. Suatu grafik dikatakan simetri terhadap titik asal, jika setiap kali (x,y) ada pada grafik, (-x,-y) juga ada di grafik.
Uji Kesimetrian Contoh. Periksalah kesimetrian dari grafik berikut. 1. x 2 y 2 = 4 2. y = 1 x 2 +1 3. x + y = 1
Titik Potong Titik potong adalah titik di mana grafik suatu persamaan memotong sumbu koordinat. Contoh. Tentukan semua titik potong dari grafik of y 2 x + y 6 = 0.
Perpotongan Grafik Tentukan titik potong antara garis y = 2x + 2 dengan parabola y = 2x 2 4x 2.
0.5 Fungsi dan Grafik
Fungsi Fungsi f adalah aturan yang mengaitkan setiap obyek x dalam suatu himpunan yang disebut domain, ke tepat satu nilai f(x) dalam himpunan kedua. Himpunan semua nilai yang diperoleh dari fungsi disebut range dari fungsi.
Notasi Fungsi Alfabet, seperti f, g, atau F, digunakan untuk menamai fungsi. f(x), dibaca f dari x atau f pada x, adalah nilai yang dikaitkan ke x oleh f. Contoh. Untuk f x = x 2 2x, tentukan a. f 4 b. f 4 + h c. f 4 + h f 4 d. f 4+h f 4 h
Domain dan Range Untuk menyatakn fungsi secara lengkap, kita perlu menyatakan domain dari fungsi tersebut. Aturan pengaitan beserta dengan domain akan menentukan range dari fungsi tersebut. Contoh. F x = x 2 + 1 dengan domain 1,0,1,2,3. Ketika domain suatu fungsi tidak diberikan, diasumsikan bahwa domain adalah himpunan bilang real terbesar yang mengakibatkan fungsi terdefinisi dengan baik. Ini disebut domain alami. Contoh. Tentukan domain alami dari 1. f x = 1 x 3 2. g t = 9 t 2
Grafik Fungsi Grafik dari fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f x. Contoh. Sketsa grafik dari 1. f x = x 2 2 2. g x = 2 x 1
Fungsi Genap dan Ganjil Jika f x = f(x) untuk setiap x, maka grafik fungsi akan simetri terhadap sumbu-y. Fungsi yang demikian dinamakan fungsi genap. Jika f x = f(x) untuk semua x, maka grafik fungsi akan simetri terhadap titik asal. Fungsi yang demikian dinamakan fungsi ganjil. Contoh. Apakah fungsi berikut genap, ganjil, atau tidak keduanya? 1. f x = x3 +3x x 4 3x 2 +4 2. g x = 2 x 1
Dua Fungsi Khusus Fungsi harga mutlak Fungsi bilangan bulat terbesar
0.6 Operasi pada Fungsi
Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, dan Pangkat Misalkan f dan g adalah fungsi dengan
Contoh Let F x = 4 x + 1 and G x = 9 x 2. Tentukan formula untuk F + G, F G, F G, F G, dan F5 serta berikan domain alaminya.
Komposisi Fungsi Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa g dikomposisi dengan f. Fungsi yang dihasilkan, dinamakan komposisi g dengan f, dinotasikan oleh g f. Contoh. Misalkan f x = x 3 dan g x = x. 2 Tentukan g f dan f g.
Domain dari Fungsi Komposisi Jelas, g f f g (komposisi dari dua fungsi tidak komutatif). Domain dari g f adalah himpunan semua x yang memenuhi: 1. x ada di domain f. 2. f(x) ada di domain g. Example. Misalkan f x = 6x dan g x = 3x. x 2 9 Tentukan f g x dan domainnya.
Translasi Apakah hubungan dari grafik fungsi berikut?
Translations (2) Contoh. Sketsalah grafik f x = x 2 2 4 dengan menggunakan translasi.
Katalog Fungsi fungsi konstan fungsi identitas fungsi polinom fungsi linear fungsi kuadrat fungsi rasional
0.7 Fungsi Trigonometri
Sinus dan Cosinus
Sifat Fungsi Sin dan Cos Domain adalah,. Range adalah [ 1,1].
Sifat Fungsi Sin dan Cos (2)
Grafik Fungsi Sin dan Cos Contoh. Sketsalah grafik dari fungsi 1. y = cos 2t 2. y = sin 2πt
Perioda Fungsi Trigonometri Fungsi f dikatakan periodik terdapat bilangan positif p sehingga f x + p = f x untuk setiap x di domain f. Bilangan positif terkecil p yang demikian disebut perioda f. Fungsi sin periodik karena sin x + 2π = sin x. Atau karena. Contoh. Berapakah perioda fungsi berikut. 1. cos(2t) 2. sin(at) 3. sin(2πt)
Amplitudo Fungsi Trigonometri Jika suatu fungsi periodik f memiliki maksimum dan minimum, amplitudo A didefinisikan sebagai setengah jarak vertikal antara titik tertinggi dan titik terendah pada grafik fungsi tersebut. Contoh. Tentukan amplitudo dari fungsi periodik berikut. 1. sin 2πt 12 2. 3 cos(2t)
Fungsi Trigonometri yang Lain Contoh. Tunjukkan bahwa tan adalah fungsi ganjil.
Identitas Trigonometri
Identitas Trigonometri (2)