Fungsi Grafik Fungsi. Kalkulus 1. Fungsi dan Grafik Fungsi. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

Transkripsi

1 Kalkulus 1 Fungsi dan Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah nilai f(x) dari himpunan kedua. Himpunan dari semua nilai yang diperoleh disebut sebagai range dari fungsi.

3 Bayangkan suatu mesin dengan input berupa nilai x dan menghasilkan output bernama f(x). Setiap nilai input berhubungan dengan sebuah nilai output. Namun, dapat juga terjadi beberapa input yang berbeda yang memberikan output yang sama.

4 Notasi Fungsi Fungsi Fungsi dapat dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst. Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan: f : A B

5 Sumber: A disebut domain atau daerah definisi, dinotasikan D f B disebut kodomain atau daerah kawan dari f Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A disebut range atau daerah hasil, dinotasikan dengan R f

6 Fungsi Ketika domain dalam suatu fungsi tidak disebutkan secara spesifik, maka kita mengasumsikan bahwa domainnya adalah himpunan terbesar dari bilangan real di mana fungsi tersebut terdefinisi. Daerah definisi ini disbeut natural domain.

7 Contoh 1 Fungsi Tentukan natural domain dari a. f(x) = 1 x+2 b. f(x) = 1 9 x 2 c. f(x) = x x 2 1

8 Penyelesaian Fungsi a. D f = {x R : x 2} = R { 2} b. Untuk menghindari hasil akar di bagian penyebut bernilai negatif dan nol, maka 9 x 2 > 0 Diperoleh (3 x)(3 + x) > 0 D f = {x R : 3 < x < 3} = ( 3, 3)

9 c. Karena suatu akar ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka: x x x x Diperoleh D f = {x R : 1 < x 0 atau x > 1} = ( 1, 0] (1, )

10 Contoh 2 Fungsi Misalkan V (x, d) menyatakan volume batang yang berbentuk silindris dengan panjang x dan diameter d. Tentukan a. Formula untuk V (x, d) b. Domain dan range dari V c. V (4, 0.1)

11 Penyelesaian Fungsi a. V (x, d) = x π ( ) d 2 2 = πxd 2 4 b. Karena panjang dan diameter batang harus positif, maka domainnya adalah seluruh pasangan (x, d) di mana x > 0 dan d > 0; D f = {x, d R : x > 0, d > 0}. Semua volume positif adalah daerah hasil (range) yang mungkin, maka R f = (0, ). c. V (4, 0.1) = π = 0.01π

12 Genap Fungsi Jika f( x) = f(x) untuk semua x. Contoh: Misalkan f(x) = x 2 2, maka f( x) = ( x) 2 2 = x 2 2 = f(x)

13 Ganjil Fungsi Jika f( x) = f(x) untuk semua x. Contoh: Misalkan f(x) = x 3 2x, maka f( x) = ( x) 3 2( x) = x 3 + 2x = (x 3 2x) = f(x)

14 Fungsi Diberikan skalar real α dan fungsi-fungsi f dan g, maka 1 (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) 2 (αf)(x) = αf(x) 3 (f g)(x) = f(x) g(x) ( ) 4 f g (x) = f(x) g(x), asalkan g(x) 0 Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali f g, D f = {x D f D g : g(x) 0}. g

15 Contoh 3 Fungsi Jika f dan g masing-masing: f(x) = x 1 atau g(x) = 1 x + 5 Tentukan f + g, f g, f g, dan f g.

16 Penyelesaian Fungsi (f + g)(x) = x x+5 (f g)(x) = x 1 1 x+5 (f g)(x) = x 1 1 x+5 (f/g)(x) = x 1 (x + 5) Karena D f = [1, ) dan D g = R { 5}, maka f + g, f g, f g, dan f g masing-masing mempunyai domain: [1, ).

17 Latihan 1 Fungsi 1. Tentukan natural domain dari a. f(x) = 4 x2 x 2 x 6 b. f(x) = 2x Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut adalah fungsi genap atau ganjil atau bukan keduanya a. f(x) = x x 2 1 b. f(x) = 3x 2 c. f(x) = x 2 + 4

18 Invers Fungsi Diberikan fungsi f : X Y. Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X, dinotasikan g = f 1 (y).

19 Contoh 4 Fungsi Tentuka f 1 jika diketahui f(x) = 1 x 1 3x+2.

20 Penyelesaian Fungsi y = f(x) = 1 x 1 3x y = x 1 3x + 2 (1 y)(3x + 2) = x 1 3x 3xy 2y + 2 = x 1 2x 3xy = 2y 3 x = f 1 (y) = 2y 3 2 3y

21 Komposisi Fungsi Definisi Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis f g, didefinisikan sebagai: (f g)(x) = f(g(x)) dengan domain D f = {x D g : g(x) D f }.

22

23 Contoh 5 Fungsi Misalkan f(x) = x 3 2 dan g(x) = x. Kita mempunyai (f g)(x) = f(g(x)) = f( x 3 x) = 2 ( ) x 3 x 3 (g f)(x) = g(f(x)) = g = 2 2

24 Untuk menggambarkan grafik fungsi secara manual, kita dapat melakukan tiga langkah berikut: 1 Dapatkan koordinat dari beberapa titik yang memenuhi persamaan/fungsi 2 Gambarkan titik-titik tersebut di sumbu koordinat 3 Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva halus

25

26 Rumus Jarak Rumus Jarak Jarak di antara titik-titik P (x 1, y 1 ) dan Q(x 2, y 2 ) diberikan oleh D = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2

27 Contoh 6 Tentukan jarak antara titik P ( 2, 5) dan Q(4, 1). Solusi: D = (4 ( 2)) 2 + ( 1 5) 2 = 72 = 6 2

28 Grafik Garis Lurus Grafik garis lurus berasal dari fungsi dengan bentuk y = mx + c di mana x adalah variabel kontrol, y adalah variabel yang diobservasi, dan m serta c adalah konstanta. c dikenal dengan nama intercept di mana grafik melewati/memotong sumbu-y. Untuk mendapatkan nilai c, kita dapat menghitung y ketika x = 0 m disebut sebagai gradien dan menggambarkan seberapa curam garis tersebut. Nilai m dapat diperoleh dengan: m = y x = y 2 y 1 x 2 x 1

29 Contoh 7 Grafik fungsi f(x) = 2x 1 adalah sebagai berikut

30 Ketika x bertambah dari 1 ke 3, kita mempunyai penambahan y yaitu dari 1 ke 5, sehingga x = 3 1 = 2 y = 5 1 = 4 Maka gradiennya adalah m = y x = 4 2 = 2. Intercept c adalah ketika grafik memotong sumbu-y, dapat dilihat bahwa c = 1.

31 Contoh 8 Apa persamaan fungsi dari grafik berikut? Solusi: y = 1 2 x

32 Polinomial Fungsi polinomial berderajat n mempunyai persamaan f(x) = P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n dengan n bilangan bulat non-negatif, a 0, a 1,..., a n bilangan-bilangan real, dan a n 0. Untuk membuat grafik fungsi polinomial, maka dapat dilakukan hal-hal berikut 1 Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu-x dan sumbu-y 2 Ambil beberapa titik, masukkan ke dalam fungsi, dan hubungkan titik-titik tersebut

33 Contoh 9 Gambarkan grafik fungsi y = x 2 3 Solusi: Titik potong terhadap sumbu-x (y = 0) 0 = x = (x 3)(x + 3) x = 3, x = 3 diperoleh pasangan titik ( 3, 0) dan ( 3, 0). Titik potong terhadap sumbu-y (x = 0) y = 3

34

35 Contoh 10 Gambarkan grafik 2x, jika 0 x < 1 f(x) = 2 x, jika 1 x < 4 3, jika x 4

36

37 Latihan 2 1. Tentukan fungsi invers dari f(x) = 2x 3x Misalkan f(x) = x 2 1 dan g(x) = 2 x. Tentukan a. (f g)(x) b. (g f)(x) c. f 4 (x) + g 4 (x)

38 3. IMUNISASI Misalkan selama program suatu negara untuk memberikan imunisasi pada populasi penduduk untuk melawan suatu virus influenza tertentu, lembaga-lembaga pelayanan kesehatan menghitung bahwa biaya untuk menyuntik x% populasi penduduk mendekati suatu fungsi C(x) = 150x 200 x juta dolar. a. Tentukan natural domain dari C. b. Untuk nilai x yang mana agar fungsi C(x) dapat diinterpretasikan dalam kehidupan nyata? c. Berapa biaya yang dibutuhkan untuk menyuntik 50% pertama dari populasi? d. Berapa biaya yang dibutuhkan untuk menyuntik 50% kedua dari populasi? e. Berapa persentase populasi yang disuntik ketika biaya yang dihabiskan adalah sebesar 37.5 juta dolar?

39 4. ALIRAN DARAH Para ahli biologi menemukan bahwa kecepatan darah di arteri merupakan suatu fungsi jarak darah dari pusat arteri. Berdasarkan hukum Poiseuille, kecepatan darah (dalam cm/s) yang berjarak r cm dari pusat arteri dapat dituliskan dalam suatu fungsi S(r) = C(R 2 r 2 ), di mana C adalah suatu konstanta dan R adalah jari-jari arteri. Misalkan untuk suatu arteri tertentu, C = dan R = cm. a. Hitunglah kecepatan darah pada pusat arteri. b. Hitunglah kecepatan darah pada saat berada di tengah-tengah antara dinding arteri dengan pusat arteri.

40 5. POLUSI UDARA Emisi timbal adalah penyebab utama polusi udara. Dengan menggunakan data yang telah dikumpulkan oleh Agen Perlindungan Lingkungan AS pada tahun 1990, dapat ditunjukkan bahwa formula N(t) = 35t t + 3, 347 merupakan estimasi jumlah total emisi timbal N (dalam ribuan ton) terjadi di AS t tahun setelah tahun a. Sketsakan grafik fungsi polusi N(t) b. Perkirakan seberapa banyak emisi timbal pada tahun 1995 menggunakan formula tersebut (jumlah aktualnya adalah sekitar 3,924 ribu ton).