MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN

Transkripsi

1 MATHunesa Jurnal Iliah Mateatika Volue 3 No.6 Tahun 2017 ISSN SIFAT-SIFAT TURUNAN MUTLAK FUNGSI PADA RUANG METRIK Wicitra Diah Kusua (S1 Mateatika, Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala, Universitas Negeri Surabaya) E-ail: wicitrakusua@hs.unesa.ac.id Dwi Nur Yunianti (Mateatika, Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala, Universitas Negeri Surabaya) E-ail: nian_zalpha@yahoo.co Abstrak Konsep turunan telah diperkenalkan pada studi tentang fungsi bernilai real. Naun, pada turunan fungsi bernilai real terdapat fungsi-fungsi yang tidak epunyai turunan. Sebagai contoh fungsi bernilai utlak f(s) = s untuk setiap s R. Fungsi f tidak epunyai turunan di 0 R. Sehingga diperlukan suatu konsep turunan yang baru sedeikian hingga f epunyai turunan. Pada tahun 2012, Charatonik dan Insall eperkenalkan turunan utlak fungsi pada sebarang ruang etrik (A, d A ) dengan A sebarang hipunan tak kosong dan d A sebarang etrik pada A. Berdasarkan konsep tersebut, fungsi f epunyai turunan utlak di 0 R dengan nilai turunan utlaknya saa dengan satu. Artikel ini terinspirasi dari Charatonik dan Insall (2012). Di dala artikel ini dibahas sifat-sifat turunan utlak fungsi pada ruang etrik, seperti kekontinuan fungsi yang epunyai turunan utlak, sifat turunan utlak saat nilai turunan utlaknya tak nol, sifat aturan rantai pada turunan utlak suatu fungsi, sifat turunan utlak pada R dan R n. Sebagai tabahan juga dibahas sifat-sifat lain eliputi hubungan turunan utlak dan turunan utlak kuat, kekontinuan fungsi yang epunyai turunan utlak kuat, sifat operasi penjulahan dan pengurangan turunan utlak suatu fungsi. Kata kunci: etrik, ruang etrik, turunan, turunan utlak, dan turunan utlak kuat. Abstract The concept of a derivative was introduced in the context of the study of real-valued functions of a real variable. But, soe real valued functions didn t have derivatives. For exaple, absolute valued function f(s) = s for each s R. This function doesn t have derivatif at 0 R. Therefore, we need new derivative concept that ake the absolute valued function has derivative. In 2012, Charatonik and Insall introduce the new concept of absolute derivative in any etric spaces (A, d A ) where A is any non-epty set and d A is any etric on A. Based on the concept, absolute valued function has an absolute derivative at 0 R with its absolute derivative value equal to one. This article was inspired by article was written by Charatonik and Insall (2012). The result of this article discuss about the charactheristics of absolute derivative in etric spaces. These properties are continuity of the absolutly differentiable function, property when absolute derivative is non-zero, chain rule, and properties on R and R n. For ore details, this article disscuss soe properties that not exist before. These are relation bertween absolute derivative and strong absolute derivative, continuity of the strong absolutly differentiable function, addition and subtraction. Keywords: etric, etric spaces, derivative, absolute derivative, and strong absolute derivative. PENDAHULUAN Konsep turunan telah diperkenalkan pada studi tentang fungsi bernilai real. Naun, pada turunan fungsi bernilai real terdapat fungsi-fungsi yang tidak epunyai turunan. Sebagai contoh fungsi bernilai utlak f(s) = s untuk setiap s R. Fungsi f tidak epunyai turunan di 0 R (Bartle and Sherbert, 2000: 159). Sehingga diperlukan suatu konsep turunan yang baru sedeikian hingga f epunyai turunan. Ruang etrik erupakan suatu generalisasi dari konsep jarak yang dikenal dala praktek sehari-hari. Konsep ini pertaa kali diperkenalkan oleh Maurice Fréchet pada tahun 1906 (Kreyszig, 1978: 2). Seperti yang sudah diketahui, hipunan bilangan real R dengan suatu etrik d erupakan salah satu contoh ruang etrik dan ditulis (R, d). Oleh karena itu, pengertian turunan suatu fungsi bernilai real dapat dikebangkan enjadi turunan fungsi pada sebarang ruang etrik (A, d A ) dengan A sebarang hipunan tak kosong dan d A sebarang etrik pada A. 74

2 Volue 3 No.6 Tahun 2017 Pada tahun 2012, Charatonik dan Insall telah eperkenalkan konsep turunan utlak Berdasarkan konsep tersebut, fungsi berniali utlak f(s) = s untuk setiap s R epunyai turunan utlak di 0 R dengan nilai turunan utlaknya saa dengan satu (Charatonik dan Insall, 2012: 1319). Selain itu, konsep turunan utlak ini lebih uu dibandingkan konsep turunan pada hipunan bilangan real R aupun konsep turunan pada hipunan bilangan kopleks C. Berdasarkan artikel tersebut, artikel ini ebahas sifat-sifat turunan utlak fungsi pada ruang etrik. LANDASAN TEORI Dala bab ini akan dikaji engenai beberapa definisi dan teorea pendukung yang diperlukan untuk ebahas turunan utlak fungsi pada sebarang ruang etrik (A, d A ). Definisi 2.1 Diketahui s R. Notasi s disebut nilai utlak s dan didefinisikan sebagai s s untuk a 0 = { s untuk a < 0 (Bartle and Sherbert, 2000: 31) Interpretasi dari nilai utlak s dari suatu eleen s R adalah jarak s ke titik origin 0. Secara uu, jarak s dan t untuk setiap s, t R adalah s t. Teorea 2.1 Untuk setiap s, t R berlaku t 0 aka s t t s t. (Bartle and Sherbert, 2000: 31) Definisi 2.2 Diberikan A sebarang hipunan bagian tak kosong dari R. Jika A eiliki batas atas, aka s disebut supreu dari A dinotasikan sup A = s jika eenuhi: i) untuk a A berlaku x s (u disebut batas atas A), ii) jika t batas atas A, aka s t. (Bartle and Sherbert, 2000: 35) Teorea 2.2 Batas atas s dikatakan sebagai supreu suatu hipunan tak kosong A R jika dan hanya jika untuk setiap bilangan real ε > 0 ada suatu a A sedeikian hingga s ε < a. (Bartle and Sherbert, 2000: 36) Berikut ini diberikan beberapa definisi terkait dengan raung etrik beserta sifat-sifatnya. Definisi 2.3 Diketahui A sebarang hipunan tak kosong. Fungsi d: A A R disebut etrik pada A (atau fungsi jarak pada A) jika untuk setiap a, b, c A berlaku i) d(a, b) 0, ii) d(a, b) = 0 a = b, iii) d(a, b) = d(b, a), iv) d(a, b) d(a, c) + d(c, b). Pasangan (A, d) disebut ruang etrik dan d(a, b) disebut jarak a ke b. (Kreyszig, 1978: 3) Definisi 2.4 Diberikan ruang etrik (A, d) dan sebarang bilangan real ε > 0. Bola terbuka dengan pusat a 0 X dan jari-jari ε didefinisikan sebagai B(a 0 ; ε) = {a A d(a, a 0 ) < ε}. (Kreyszig, 1978: 18) Definisi 2.5 Diketahui ruang etrik (A, d) dan M A. Titik a 0 A disebut titik interior M, jika ada bilangan real r > 0 berlaku B(a 0 ; r) M. Hipunan seua titik interior M dinotasikan dengan Int(M). (Kreyszig, 1978: 18) Definisi 2.6 Diberikan ruang etric (A, d A ) dan (B, d B ). Fungsi f: A B kontinu di a A jika untuk sebarang bilangan real ε > 0, bola terbuka dengan pusat f(a) B yaitu B(f(a); ε) = {b B d B (f(a), b) < ε} aka ada bilangan real δ > 0, bola terbuka dengan pusat a X yaitu B(a; δ) = {a A d A (a, a ) < δ} sehingga untuk setiap a A B(a; δ) berlaku f(a ) B(f(a); ε). Selanjutnya juga dapat ditulis sebagai f(a B(a; δ)) B(f(a); ε). (Shirali dan Vasudeva, 2006: 105) Definisi 2.7 Diberikan ruang etric (A, d A ) dan (B, d B ). Fungsi f: A B kontinu di a A jika untuk setiap bilangan real ε > 0, ada bilangan real δ > 0, sehingga untuk a A dan d A (a, a) < δ aka d B (f(a ), f(a)) < ε. (Pugh, 2003: 55) Definisi 2.8 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Fungsi f: A B disebut fungsi injektif lokal di a A jika terdapat suatu bilangan real r 0 > 0 sehingga untuk setiap s, t B(a ; r 0 ) berlaku jika s t aka f(s) f(t). (Villanacci, 2002: 69) Berikut ini diberikan beberapa definisi dan teorea engenai ruang bernora dan sifat-sifatnya. Definisi 2.9 Diberikan suatu hipunan tak kosong F dengan dua operasi biner dan disebut lapangan (field) ditulis (F,, ), jika untuk setiap a, b, c F eenuhi sifat-sifat: 75

3 Volue 3 No.6 Tahun 2017 i) a b F. ii) (a b) c = a (b c). iii) Terdapat 0 F sedeikian hingga a 0 = 0 a = a. iv) Terdapat a 1 F sedeikian hingga a a 1 = a 1 a = 0. v) a b = b a. vi) a b F. vii) a (b c) = (a b) c. viii) a (b c) = (a b) (a c). ix) (a b) c. = (a c) (b c). x) a b = b a xi) Terdapat 1 F sedeikian hingga a 1 = 1 a = a. xii) Untuk setiap a F dengan a 0, aka a 1 F. (Heirstein, 1996: 256) Definisi 2.10 Diberikan suatu hipunan tak kosong A dengan operasi penjulahan dan operasi perkalian skalar disebut ruang linier atas lapangan R jika untuk setiap α, β R dan u, v, w A eenuhi: i) u + v A. ii) (u + v) + w = u + (v + w). iii) Terdapat 0 A sedeikian hingga u + 0 = 0 + u = u. iv) Terdapat u A sedeikian hingga u + ( u) = ( u) + u = 0. v) u + v = v + u. vi) αu X. vii) Terdapat 1 A sedeikian hingga u1 = 1u = u. viii) α(u + v) = (αu) + (αv). ix) (α + β)u = (αu) + (βu). x) α(βu) = (αβ)u. (Kreyszig, 1978: 50) Definisi 2.11 Diketahui A ruang linier. Fungsi. : A R dengan sifat-sifat: i) u 0 untuk setiap u A, ii) u = 0 u = 0, iii) αu = α u untuk setiap α R dan setiap u A, iv) u + v u + v untuk setiap u A. disebut nor pada A. Ruang linier A dengan nor. dan ditulis dengan (A,. ) disebut ruang bernora. (Kesavan, 2009: 26) Teorea 2.3 Diberikan ruang bernora (A,. ). Jika untuk setiap a, b A didefinisikan d(a, b) = a b, aka d erupakan etrik pada (A,. ). Teorea 2.4 (Translation Invariance) Suatu etrik yang diinduksi dengan nor tertentu pada ruang bernora A eenuhi i) d(u + w, v + w) = d(u, v) ii) d(αu, αv) = α d(u, v) untuk setiap u, v, w X dan α R. (Kreyszig, 1978: 63) Definisi 2.12 Diketahui A dan B ruang linier. Fungsi f: A B dikatakan linier jika eenuhi: i) f(u + v) = f(u) + f(v) untuk setiap u, v A. ii) f(αu) = αf(u) untuk setiap u A dan α R. (Kreyszig, 1978: 83) Selanjutnya diberikan definisi turunan pada R dan turunan berarah pada ruang bernora, khususnya R n. Hal ini dikarenakan kekhasan dari R n yang erupakan ruang linier, ruang bernora, sekaligus ruang etrik. Definisi 2.13 Diketahui A R, f: A R, dan a titik interior I. Bilangan real L disebut turunan f di a, jika diberikan sebarang bilangan real ε > 0, ada bilangan real δ > 0, sehingga untuk a A eenuhi 0 < a a < δ aka f(a ) f(a) L < ε a a Dala kasus ini, f dikatakan epunyai turunan di c, dan ditulis f (a) = L. Secara ekivalen, turunan f di a dapat ditulis sebagai it, yaitu f(a ) f(a) f (a) = a a a a bilaana it tersebut ada. (Bartle and Sherbert, 2000:158) Definisi 2.14 Diketahui f: A R n R, p titik interior X, dan u sebarang vektor di A. Fungsi linier L: R n R dikatakan sebagai turunan berarah f di p A dengan arah u jika untuk setiap bilangan real ε > 0, ada bilangan real δ > 0 sehingga untuk setiap t R, 0 < t < δ, aka f(p + tu) f(p) L(u) < ε. (2.14.1) t Secara ekivalen, persaaan (2.14.1) dapat ditulis sebagai it, yaitu f(p + tu) f(p) L(u) = t 0 t (Bartle, 1975: 348) Pada saat u = e 1 = (1,0,,0) vektor di X aka L(e 1 ) enjadi f (p) x 1 atau yang lebih dikenal sebagai turunan parsial fungsi f terhadap variabel x 1. Jadi, secara uu turunan parsial fungsi f terhadap variabel x j dapat didefinisikan sebagai 76

4 Volue 3 No.6 Tahun 2017 f f(p + te j ) f(p) (p) = x j t 0 t (2.14.2) Untuk t = x p R dan f fungsi linier aka persaaan (2.14.2) dapat ditulis sebagai f f(x)e j f(p)e j (p) = (2.14.3) x j x p x p PEMBAHASAN Bagian ini enjelaskan hasil penelitian berupa sifat-sifat yang berlaku pada turunan utlak kuat suatu fungsi pada ruang etrik. Di bawah ini definisi turunan utlak dan turunan utlak kuat suatu fungsi pada ruang etrik. Definisi 3.1 Diberikan ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Bilangan real K dikatakan turunan utlak dari fungsi f: A B di p A jika diberikan sebarang bilangan real ε > 0, ada bilangan real δ > 0 sehingga untuk setiap a A eenuhi d A (a, p) < δ berlaku d B(f(a), f(p)) K < ε d A (a, p) Dala kasus ini, f dikatakan epunyai turunan utlak di p A, dan ditulis K = f (p). Dengan kata lain, turunan utlak f di p A dapat ditulis sebagai it, yaitu d B (f(a), f(p)). a p d A (a, p) Nilai it tersebut bilaana ada disebut turunan utlak f di p A. (Charatonik dan Insall, 2012: 1315) Contoh 3.1 Diketahui ruang etrik (R 2, d) dan fungsi g: R 2 R 2 dengan g(u, v) = (u, v) dengan (u, v) R 2 dan u, v R. Dapat dibuktikan bahwa g epunyai turunan utlak di p = (0,0) R 2 dan 0 R. d(g(u), g(p)) d((u, v), (0,0)) = u p d(u, p) (u,v) (0,0) d((u, v), (0,0)) (u 0) 2 + (v 0) 2 = (u,v) (0,0) (u 0) 2 + (v 0) 2 = 1 = 1 (u,v) (0,0) Jadi, f epunyai turunan utlak di p = (0,0) R 2. Definisi 3.2 Diberikan ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Bilangan real T dikatakan turunan utlak kuat dari fungsi f: A B di p A jika diberikan sebarang bilangan real ε > 0, ada bilangan real δ > 0 sehingga untuk setiap a, b A, a b eenuhi d A (a, b) < δ aka d B(f(a), f(b)) T < ε d A (a, b) Dala kasus ini, f dikatakan epunyai turunan utlak kuat di p A, dan ditulis T = F (p). Dengan kata lain, turunan utlak f di p A dapat ditulis sebagai it, yaitu (a,b) (p,p) a b d B (f(a), f(b)). d A (a, b) Nilai it tersebut bilaana ada disebut turunan utlak kuat f di p A. (Charatonik dan Insall, 2012: 1316) Berikut diberikan hubungan antara fungsi yang epunyai turunan utlak, fungsi yang epunyai utlak kuat, dan kekontinuan fungsi. Teorea 3.1 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Jika fungsi f: A B epunyai turunan utlak kuat di p A aka f epunyai turunan utlak di p A. Turunan utlak kuat suatu fungsi erupakan peruuan dari turunan utlak suatu fungsi. Oleh karena itu, setiap fungsi yang epunyai turunan utlak kuat aka fungsi tersebut erupakan fungsi yang epunyai turunan utlak (Charatonik dan Insall, 2012: 1316). Tetapi, kebalikannya belu tentu berlaku. Sebagai contoh fungsi bernilai utlak f(a) = a untuk setiap a R epunyai turunan utlak di titik nol, tetapi f tidak epunyai turunan utlak kuat di titik tersebut. Teorea 3.2 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Jika fungsi f: A B epunyai turunan utlak di p A, aka f kontinu di p A. (Charatonik dan Insall, 2012:1317) Teorea 3.3 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Jika fungsi f: A B epunyai turunan utlak kuat di p A, aka f kontinu di p A. Bukti: Karena fungsi f epunyai turunan utlak kuat di p A, aka berdasarkan Teorea 3.1 aka fungsi f epunyai turunan utlak di p A. Selanjutnya, berdasarkan Teorea 3.2 aka fungsi f kontinu di p A. Jadi, f kontinu di p A. Selanjutnya berturut-turut pada Teorea 3.4 dan Teorea 3.5 akan dibahas engenai sifat turunan utlak kuat dan turunan utlak suatu fungsi saat nilai turunan utlak fungsinya tak nol. 77

5 Volue 3 No.6 Tahun 2017 Teorea 3.4 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Jika fungsi f: A B epunyai turunan utlak kuat di p A dan f (p) tak nol, aka fungsi f injektif lokal di p A. (Charatonik dan Insall, 2012: 1317) Teorea 3.5 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Jika fungsi f: A B epunyai turunan utlak di p A dan f (p) tak nol, aka terdapat bola terbuka B(p; δ) sehingga untuk setiap a B(p; δ) {p} berlaku f(a) f(p) (Charatonik dan Insall, 2012: 1318) Berikut akan dijelaskan sifat turunan utlak pada suatu koposisi fungsi. Sebelunya, akan diberikan Teorea 3.6 yang erupakan perluasan dari Teorea Caratheodory pada R. Teorea 3.6 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Fungsi f: A A epunyai turunan utlak di p A jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi φ pada A kontinu di p A dan d B (f(a), f(p)) = φ(a)d A (a, p) untuk setiap a A. Lebih lanjut φ(p) = f (p). Teorea 3.7 Diketahui ruang etrik (A, d A ), (B, d B ). dan (C, d c ). Jika fungsi f: A B epunyai turunan utlak di p A dan fungsi g: B C epunyai turunan utlak di f(p) B, aka koposisi fungsi g f: A C epunyai turunan utlak di p A dan (g f) (p) = g (f(p)) f (p). (Charatonik dan Insall, 2012: 1318) Selanjutnya akan dibahas engenai sifat operasi penjulahan dan pengurangan perkalian skalar turunan utlak suatu fungsi. Teorea 3.8 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). Jika fungsi f: A B dan g: A B asing-asing epunyai turunan utlak di p A, aka fungsi (f + g) epunyai turunan utlak di p A dan (f ± g) (p) = f (p) ± g (p). Di bawah ini sifat turunan utlak dengan engabil kasus khusus yaitu X R dan d etrik biasa. Teorea 3.9 Diberikan A R dan ruang etrik (A, d) dengan d etrik biasa. Jika fungsi f: A R epunyai turunan di p A, aka f epunyai turunan utlak di p A, dan berlaku f (p) = f (p) (Charatonik dan Insall, 2012: 1321) Turunan utlak kuat suatu fungsi erupakan peruuan dari turunan suatu fungsi. Oleh karena itu, setiap fungsi yang epunyai turunan utlak kuat aka fungsi tersebut epunyai turunan utlak (Charatonik dan Insall, 2012: 1320). Tetapi, kebalikannya belu tentu berlaku. Sebagai contoh fungsi bernilai utlak f(a) = a untuk setiap a R epunyai turunan utlak di titik nol, tetapi f tidak epunyai turunan di titik tersebut. Berikut ini sifat turunan utlak dengan engabil kasus ruang etrik (R n, d). Pada Teorea 3.10 dibahas engenai sifat perkalian skalar turunan utlak suatu fungsi. Sedangkan Teorea 3.11 ebahas tentang turunan utlak pada ruang etrik (R n, d). Teorea 3.10 Diketahui ruang etrik (A, d A ) dan (B, d B ). dengand A dan d B adalah etrik yang diinduksi oleh nor. Jika fungsi f: A B dan g: A B asingasing epunyai turunan utlak di p A, aka untuk setiap α R, fungsi αf epunyai turunan utlak di p X dan (αf) (p) = α [f (p)] Teorea 3.11 Jika fungsi linier f: R n R epunyai turunan utlak di x 0 R n, dan f = (u 1,, u ) dengan u j : R n R epunyai turunan parsial pertaa di x 0 R n, aka untuk setiap k n, berlaku f (x 0 ) = u j (x x 0 )e j k j=1 dengan 1 j n aka e 1 = (1,0,,0), e 2 = (0,1,,0),, e n = (0,0,,1). (Charatonik dan Insall, 2012: 1320) Bukti: Diketahui S R n dan ruang etrik (S, d) dengan d etrik pada S. Selanjutnya, didefinisikan x 0 = (x 1 (0),, x n (0) ) S. Karena S R n erupakan ruang bernora aka berdasarkan Teorea 2.3 (hubungan ruang etrik dengan ruang bernora) diperoleh turunan utlak f di x 0 R n sebagai berikut f d(f(x), f(x 0 )) (x 0 ) = x x0 d(x, x 0 ) f(x) f(x 0 ) x x 0 = x x0 Selanjutnya, karena f = (u 1,, u ) dengan u j : R n R dan e 1 = (1,0,,0) berlaku f j=1 u j (x)e j j=1 u j (x 0 )e j (x 0 ) = x x0 x x 0 Sehingga, untuk setiap k n, berlaku f j=1 [u j (x) u j (x 0 )]e j (x 0 ) = x x0 x k x (0) k 78

6 Volue 3 No.6 Tahun 2017 = x x0 j=1 [u j(x) u j (x 0 )] x k x (0) e k j Berdasarkan persaaan (2.14.3) diperoleh PENUTUP f (x 0 ) = u j (x x 0 )e j. k j=1 Sipulan Dala jurnal ini telah dibahas engenai konsep turunan utlak suatu fungsi pada ruang etrik beserta sifat-sifatnya. Berdasarkan pebahasan tersebut dapat diperoleh sipulan sebagai berikut: 1. Fungsi yang epunyai turunan utlak kuat adalah fungsi yang epunyai turunan utlak. Fungsi yang epunyai turunan utlak adalah fungsi kontinu. 2. Fungsi yang epunyai turunan utlak kuat dan turunan utlaknya tak nol adalah fungsi injektif lokal. 3. Suatu koposisi fungsi g f epunyai turunan utlak di p dengan (g f) (p) = g (f(p)) f (p). 4. Pada turunan utlak fungsi adalah (f ± g) (p) = f (p) ± g (p). 5. Fungsi f yang epunyai turunan adalah fungsi f yang epunyai turunan utlak dengan f (p) = f (p). Turunan utlak fungsi f pada ruang etrik dan dilengkapi etrik yang diinduksi oleh nor adalah (αf) (p) = α [f (p)]. Sedangkan, turunan utlak suatu fungsi linier f pada x 0 R n adalah f (x 0 ) = u j (x x 0 )e j. k j=1 Saran Pada artikel ini, sifat-sifat yang belu dibahas dapat dikebangkan lebih lanjut pada ruang yang lain, seperti ruang Banach, ruang Bernora, ruang Hilbert, dan lainlain. Charatonik, Wlodziierz J. and Insall, Matt Absolute Differentiation in Metric Spaces. Houston Journal of Matheatics. Vol. 38(4): hal Friedberg, Stephen H. et al Linear Algebra. New Jersey: Prentice Hall. Heirstein, I.N Abstract Algebra. New Jersey: Prentice Hall. Kesavan, S Functional Analysis. New Delhi: Hindustan Book Agency. Kreyszig, Erwin Introductory Functional Analysis with Applications. United States of Aerica: John Wiley & Sons. Pugh, Charles Chapan Real Matheatical Analysis. Berlin: Springer. Shirali, Satish and Vasudeva, Harkrishan L Metric Spaces. London: Springer. Villanacci, Antonio et al Differential Topology and General Equilibriu with Coplete and Incoplete Market. Boston: Springer. DAFTAR PUSTAKA Bartle, Robert G The Eleent of Real Analysis. United State of Aerica: John Wiley & Sons. Bartle, Robert G and Sherbert, Ronald R Introduction to Real Analysis. New York: Hailton Printing Copany. 79