APLIKASI PERSAMAAN PANAS PADA STERILISASI MINUMAN KEMASAN. Eminugroho R, Fitriana Yuli S., Dwi Lestari Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

Transkripsi

1 APLIKASI PERSAMAAN PANAS PADA STERILISASI MINUMAN KEMASAN Emiugroho R, Firiaa Yuli S., Dwi Lesari Jurusa Pedidika Maemaika FMIPA UNY Absrak. Persamaa paas memiliki bayak aplikasi. Salah sauya diguaka pada serilisasi miuma kemasa. Pada makalah ii aka dibahas bagaimaa perpidaha paas pada miuma kemasa yag berbeuk kaleg. Dimulai dari pembeuka persamaa paas pada koordia abug karea disesuaika dega beuk kemasa miuma, kemudia dicari peyelesaia model. Peyelesaia model yag diperoleh diguaka uuk membua simulasi dega baua sofware Maple 13. Selajuya pada akhir makalah dibahas megeai ilai serilisasi miuma. Kaa Kuci: Persamaa paas dimesi iga, koordia abug, serilisasi 1. PENDAHULUAN Ilmu maemaika saga deka dega kehidupa sehari-hari. Perkembaga ilmu seirig perkembaga ekologi maki membua peyelesaia-peyelesaia pada eori maemaika dapa diguaka uuk meyelesaika permasalaha yag ada. Salah sau eori yag dipelajari megeai persamaa paas. Adapu aplikasi persamaa paas serigkali dijumpai, khususya di bidag idusri. Peeliia megeai aplikasi persamaa paas juga elah dilakuka. Kaa [], [4] da Dedik [5] meerapkam persamaa paas pada serilisasi makaa kemasa. Meuru Muchadi [6], serilisasi (Processig) pada pegalega adalah proses pemaasa wadah sera isiya pada suhu da jagka waku ereu uuk meghacurka mikroba pembusuk da pahoge, selai iu juga berujua agar produk mejadi cukup masak. Waku da suhu yag diperluka uuk proses serilisasi biasaya ergaug pada jeis mikroba yag dihacurka, kecepaa perambaa paas, suhu awal di dalam wadah, keasama produk yag dikalegka, ukura da jeis wadah yag diguaka. Sekarag ii, pegemasa dalam kaleg idak haya uuk makaa eapi juga uuk miuma. Marakya pejuala miuma dalam kemasa membua kosume erarik uuk membeli. Berdasarka Nurmayai [7], daa ahu 4 sampai ahu 9 peigkaa produksi miuma riga di Idoesia mecapai 7,% bahka mecapai 8% pada ahu 11. Beragam merk da mafaa yag diawarka oleh perusahaa miuma dalam kemasa, membua kosume ergiur uuk membeli. Di lai pihak, karea pejuala erus megalami peigkaa dari ahu ke ahu, perusahaa perlu memperahaka sadar muu olaha. Hal ii berujua agar kasus miuma mejadi berubah rasa, berubah wara, bahka mudah sekali berubah beuk (meggumpal) idak erjadi. 84

2 Pada makalah ii aka dibahas megeai aplikasi persamaa paas pada serilisasi miuma dalam kemasa. Kemasa yag dimaksud berbeuk kaleg. Perama aka dibahas erlebih dahulu megeai pembeuka persamaa paas, kemudia dicari peyelesaiaya secara aaliik. Berdasarka peyelesaia yag diperoleh, dibua suau simulasi dega baua MAPLE 13. Terakhir, dibahas megeai ilai serilisasi pada miuma dalam kemasa ersebu.. TINJAUAN PUSTAKA.1. Mekaisme perpidaha paas. Serh [3] dalam bukuya disebuka bahwa paas aau kalor merupaka suau beuk eergi yag berpidah dari beda yag suhuya iggi ke beda yag suhuya lebih redah. Terdapa iga cara perpidaha paas: koduksi, koveksi da radiasi. Koduksi merupaka perpidaha paas dega peghaar paas eap. Koveksi merupaka perpidaha paas yag erjadi aara permukaa pada dega fluida yag megalir di sekiarya, dega megguaka media peghaar berupa fluida (caira/gas). Sedagka radiasi merupaka perpidaha paas yag erjadi kaarea pacara/siara/radiasi gelombag elekromageik, apa memerluka media peraara... Serilisasi miuma kaleg. Terdapa berbagai macam cara pegemasa miuma, misalya dikemas dalam bool, kardus maupu dikemas dalam kaleg. Pada makalah ii, aka dibahas uuk miuma yag dikemas dalam kaleg. Miuma bersoda, kopi maupu miuma kesehaa merupaka cooh miuma yag dikemas dalam kaleg. Karea beukya yag kecil da prakis sehigga mudah dibawa-bawa membua kosume lebih memilih uuk membeli miuma yag dikemas dega cara ii. Terdapa lima ahapa uuk pegemasa miuma kaleg yag disebuka oleh Holdsworh [1]: 1. Meyiapka jeis miuma yag aka dikemas, megaur kebersihaya da megaur keadaa sedemikia sehigga miuma idak mudah rusak.. Megemas miuma dega meghilagka udara yag mugki ada dalam kaleg. 3. Proses serilisasi, hal ii merupaka bagia erpeig dalam pegalega. Serilisasi adalah proses pemaasa wadah besera isiya pada suhu da jagka waku ereu uuk meghilagka aau meguragi fakor-fakor peyebab kerusaka miuma. Waku da suhu yag diperluka uuk serilisasi ergaug dari baha kaleg (alumiium aau besi ipis), keasama isi kaleg, besar kaleg, kecepaa perambaa paas, jeis mikroba yag dihacurka da suhu awal di dalam kaleg. 4. Meyimpa pada emperaure yag epa uuk mecegah perumbuha jamur pada miuma. 5. Memberi label. 3. PEMBAHASAN Semiar Nasioal Maemaika 1 85 Prosidig

3 3.1. Pembeuka Persamaa Paas. Dari sudu padag maemaika, proses perpidaha paas dapa diliha dari dimesi sau, dua maupu iga. Uuk proses perpidaha paas pada dimesi sau, Serh [3] meyebuka bahwa dalam hal ii dapa diaalogika dega megambil selembar ipis didig yag dilewai paas. Selajuya, megguaka hukum ermodiamika diperoleh suau persamaa paas. Pada seiap ahap pegalega, eruama pada saa serilisasi, diperluka perhaia lebih agar idak erjadi kesalaha yag meimbulka kerusaka miuma. Serilisasi sediri perlu diperhaika dalam proses perambaa paas yag dapa diulis dalam bahasa maemaika dega persamaa diferesial parsial, sera ilai serilisasi dega memperhaika perumbuha mikroba dalam kaleg. Persamaa paas yag aka dibeuk pada makalah ii yaiu pada dimesi iga. Pemodela persamaa paas dimesi iga ii dimulai dari sisem koordia karesius yag kemudia di rasformasi ke dalam sisem koordia abug. Pegguaa sisem koordia abug karea disesuaika dega beuk kaleg yag dimaksud dalam makalah ii, yaiu keleg yag berbeuk abug. Didefiisika c uuk kalor jeis baha, k uuk kodukivias suhu baha, da massa jeis baha. Meuru Cegel [8], persamaa koduksi paas pada dimesi iga dapa diuruka melalui perubaha volume beda dega adaya perubaha pajag iap rusukya. Gambar 1. Perubaha volume dari beda pada Gambar 1 dioasika dega V, yaiu V xy z. Jika U x, y, z, meyaaka suhu pada posisi x, y, z saa waku, maka diperoleh arus koduksi paas pada posisi x saa waku adalah U J x, k, (4.1) x arus koduksi paas pada posisi y saa waku adalah U J y, k, (4.) y arus koduksi paas pada posisi z saa waku adalah U J z, k. (4.3) z Semiar Nasioal Maemaika 1 86 Prosidig

4 Cegel [8] juga meyebuka bahwa perubaha massa beda adalah m V xy z. Bayakya kalor (jumlah paas) adalah,,,,,,,,, Q x y z x y z c mu x y z (4.4) Laju perubaha jumlah paas adalah dq U x, y, z, c x y z (4.5) d Oleh karea berdasarka hukum kekekala eergi, bahwa laju perubaha jumlah paas sama dega alira paas yag masuk dikuragi dega alira paas yag keluar, maka diperoleh dq q x q y q z q xx q yy q zz (4.6) d dega q, q, q, q, q, q beruru-uru uuk meyaaka laju perpidaha x y z xx yy zz koduksi paas pada posisi x, y, z, x x, y y, z z. Noasi qx meyaaka laju perpidaha koduksi paas, ilaiya diperoleh dega megalika arus koduksi paas pada posisi x dega luas permukaa area pada sisi beda, sehigga berdasarka (4.1) diperoleh U qx J x, yz k yz (4.7) x Noasi meyaaka laju perpidaha koduksi paas, ilaiya diperoleh dega qy megalika arus koduksi paas pada posisi y dega luas permukaa area pada sisi beda, sehigga berdasarka (4.) diperoleh U qy J x, xz k xz (4.8) y Noasi qz meyaaka laju perpidaha koduksi paas, ilaiya diperoleh dega megalika arus koduksi paas pada posisi x dega luas permukaa area pada sisi beda, sehigga berdasarka (4.3) diperoleh U qz J x, xy k xy (4.9) z Noasi qx x meyaaka laju perpidaha koduksi paas di dalam beda, ilaiya diperoleh dega megalika arus koduksi paas pada posisi x yag meramba sebesar x dega luas permukaa area pada sisi beda, sehigga diperoleh U U qx x J x x, yz k k yz x x x (4.1) Noasi qy y meyaaka laju perpidaha koduksi paas di dalam beda, ilaiya diperoleh dega megalika arus koduksi paas pada posisi y yag meramba sebesar y dega luas permukaa area pada sisi beda, sehigga diperoleh Semiar Nasioal Maemaika 1 87 Prosidig

5 U U qx x J y y, xz k k xz (4.11) y y y Noasi qz z meyaaka laju perpidaha koduksi paas di dalam beda, ilaiya diperoleh dega megalika arus koduksi paas pada posisi z yag meramba sebesar z dega luas permukaa area pada sisi beda, sehigga diperoleh U U qz z J z z, xy k k xy z z z (4.1) Jika Persamaa (4.5), da Persamaa (4.7) sampai dega (4.1) disubsiusika ke Persamaa (4.6), maka diperoleh U U U U c k x y z aau 1 U U U U, (4.13) x y z k dega adalah difusias ermal baha. Jika ilai semaki besar, maka c semaki cepa paas berdifusi ke baha. Uuk selajuya, Persamaa (4.13) disebu Persamaa Paas pada beda dimesi iga dalam koordia karesius [3]. Oleh karea dalam makalah ii aka dibahas megeai perambaa paas pada beda yag berbeuk kaleg, maka koordia yag sesuai yaiu koordia abug. U x, y, z, dirasformasi dega x rcos, y rsi da z z, Uuk iu, jika maka diperoleh derivaive parsial perama yaiu U U x U y cos U si U r x r y r x y (4.14) da U U x U y rsi U rcos U x y x y. (4.15) Persamaa (4.14) da (4.15) dapa diulis sebagai beriku U cosu siu da r x y (4.16) U r siu x r cosu y. (4.17) Selajuya derivaive parsial kedua yaiu U cos U si U r r x y Semiar Nasioal Maemaika 1 88 Prosidig

6 U U cos si r x r y Ux x U U x y y x Uy y cos si x r y r x r y r U xx U xy U yx U yy cos cos si si cos si cos U si cos si U (4.18) xx Berdasarka Persamaa (4.16), (4.17) da (4.18) diperoleh U U U rsi rcos x y yy U Ux x U U x y U y x Uy y r cos si si cos x x y y x y r cosu si r siu r cosu siu cos r siu r cosu r cosu r x x xx xy y yx yy si cos x si y si xx si cos xy cos yy U r si cosu r siu r si cosu r cos U xx xy y yx yy r U U r U U U si cos r cos cosu r U si siu r U r r cos r si r xx yy rr ru r r U xx U yy r U rr r si U cos U si U U cos U xx xx yy rr yy r U U r U U U aau U ru r r U xx U yy r Urr aau 1 1 U xx U yy U U r Urr. (4.19) r r Jika Persamaa (4.19) disubsiusika ke Persamaa (4.13), maka diperoleh 1 U 1 U 1 U U U (4.) r r r r z Selajuya Persamaa (4.) disebu Persamaa Paas dimesi iga dalam koordia abug [3]. Oleh karea kemasa yag dimaksud dalam makalah ii berupa kaleg yag Semiar Nasioal Maemaika 1 89 Prosidig

7 berbeuk abug, maka perambaa paas idak bergaug pada besarya sudu [5], maka U U,. Akibaya, Persamaa (4.) mejadi 1 U 1U U U (4.1) r r r z Persamaa (4.1) merupaka persamaa paas pada kaleg yag berbeuk abug,,, rz, dega dega U r z meyaaka suhu miuma di lokasi kaleg r R da z saa waku. Suhu pada sekelilig, alas da uup kaleg dibua eap, sehigga syara awal da syara baas uuk Persamaa (4.1) diberika sebagai beriku U r, z, U, dega meyaaka waku mula-mula, r R da z U r, z,, z U r,,, r R (4.) U r,,, r R. 4.. Peyelesaia Model. Peyelesaia Persamaa (4.1) dega syara awal da syara baas (4.) megguaka Meode Variabel Terpisah, yaiu dicari peyelesaia U r, z, y r, z T( ) U r, z, y r, z T( ) (4.1) yag berbeuk. Jika disubiusika ke Persamaa (4.1), maka diperoleh 1 1 r r r z y r, z T y r, z T y r, z T y r, z T aau 1 1 r r r z T y r, z T y r, z T y r, z y r, z T (4.3) Jika kedua ruas pada Persamaa (4.3) dibagi dega yr, zt, maka diperoleh d y r, z r r y r, z r y r, z z d y r, z y r, z y r, z T T (4.4) Semiar Nasioal Maemaika 1 9 Prosidig

8 1 d Jika diguaka kosaa pemisah, maka diperoleh T T da d yr, z yr, z y r, z y r, z r r y r, z r y r, z z Sehigga diperoleh dua sisem persamaa T T (4.5a) 1 yr, z yr, z y r, z y r, z r r r z (4.5b) U r, z, y r, z T( ), maka dari Syara Baas (4.) diperoleh Karea U r,, y r, T( ) U r,, y r, T( ) Agar didapa peyelesaia o rivial, maka diambil T(), sehigga diperoleh y r, da y, (4.6). Selajuya, aka dicari peyelesaia Persamaa (4.5b) megguaka Meode Variabel Terpisah dega mesubsiusi y r, z R r Z z pada Persamaa (4.5b). Sehigga diperoleh 1 Rr Z z RrZ z r r r z RrZ z R r Z z Jika kedua ruas pada Persamaa (4.7) dibagi dega R r Z z maka diperoleh 1 d 1 d 1 d Rr R r Z z. Rr dr rrr dr Z z dz Jika diguaka kosaa pemisah, maka diperoleh dua sysem persamaa 1 d 1 R r dr R r (4.8a) d Rr rr r dr d Z z Z z (4.7). (4.8b) dz Berdasarka (4.6) diperoleh Semiar Nasioal Maemaika 1 91 Prosidig

9 , Rr Z, Rr Z y r y r agar diperoleh peyelesaia o rivial, maka dipilih Rr, sehigga diperoleh Z da Z. (4.9) Selajuya aka dicari peyelesaia o rivial Masalah Syara Baas (4.8b) da (4.9). Persamaa karakerisik (4.8b) adalah m. Dapa diujukka bahwa uuk da idak erdapa peyelesaia o rivial. Sedagka peyelesaia o rivial diperoleh uuk da peyelesaia (4.8b) adalah cos si Z z A z B z, (4.3) dega A da B kosaa sebarag. Subsiusi (4.9) ke (4.3) diperoleh Z z Bsi z,,,1,, (4.31) Berikuya aka dicari peyelesaia (4.8a). Jika kedua ruas pada Persamaa (4.8a) dikalika dega r, maka diperoleh d d r Rr r R r r Rr. (4.3) dr dr Jika ar disubiusi pada Persamaa (4.3), maka diperoleh dr dr da dr dr da dr da d R d dr d dr da d R dr dr da da da dr da Akibaya, pada Persamaa (4.3) mejadi d R dr a a a R a. (4.33) da da Persamaa (4.33) disebu sebagai Persamaa Bessel [9]. Uuk meyelesaika (4.33), diguaka subsiusi dere pagka R a sehigga diperoleh i p Cia (4.34a) i R a i p C a i ip1 1 R a i p i p C a i i i ip (4.34b) Jika (4.34a) da (4.34b) disubiusi ke Persamaa (4.33), maka diperoleh Semiar Nasioal Maemaika 1 9 Prosidig

10 i p i p1 i p i i i i i i a i p i p 1 C a a i p C a a C a i p i p i p i p i p 1 Cia i p Cia Cia i i i i p i p i pi p 1 i pcia a Cia a i i i i i i i i p C a C a i 1 1 i i i C p C p a i p C C a Karea C, maka p. Akibaya C1 da uuk i, p diperoleh Ci Ci i p Ci Ci Ci, i,3,. Relasi rekuresi ii i p i megaaka dua hal yaiu selalu memberika koefisie geap dimulai dari C, sedagka koefisie gajil C1 C3 C5.... Diperhaika bahwa 1 i, C C maka 1 1 i 4, C C C i s, Cs C, s 1,,3,... s s! s i s i p p i s s 1 i i s s, s s i i s s R a C a a C a a C a C a C C s! (4.35) Selajuya, aka diujukka bahwa Dere pada (4.35) koverge megguaka es rasio. 1 s1 s C a s a s s1 a lim 1 s1! 1 lim lim, oleh s s 1 s s s Csa s s 1! s 1 a 4 s 1 karea ilai limi ersebu sama dega ol, maka erbuki bahwa Dere pada (4.35) koverge. Semiar Nasioal Maemaika 1 93 Prosidig

11 Jadi, diperoleh Fugsi Bessel [9] Oleh karea a r s s s 1 1 a Ra C a C s s s s! s s! merupaka s s 1 a Ja C s s!. (4.36), maka diperoleh Ra J r. Selajuya peyelesaia Persamaa (4.5a) adalah (4.31), maka diperoleh T e. T e. Berdasarka (4.37) Sehigga, berdasarka (4.31), (4.36), (4.37) da prisip superposisi diperoleh peyelesaia Persamaa Paas pada koordia abug dimesi iga (4.1) yaiu U r, z, C si z J r e (4.38) U r, z, U, sehigga diperoleh Syara awal dari (4.1) yaiu,, si U r z C z J r U (4.39) Persamaa (4.39) merupaka Dere Fourier-Bessel pada dimesi iga dega koefisie C c c U J r rdr J r rdr 4.3. Simulasi Model. Beriku diberika simulasi dari Persamaa (4.38) dega jari-jari U r, z, 9, maka perpidaha kaleg=3 cm, iggi kaleg=1 cm da syara awal paas aka ampak pada gambar beriku Semiar Nasioal Maemaika 1 94 Prosidig

12 Gambar Berdasarka Gambar, jika diberika suhu awal 9, maka seirig dega perambaha jari-jari da iggi kaleg, paas aka meramba sehigga erjadi peurua suhu. Ariya, pada selimu kaleg, aka lebih lama meerima perpidaha paas Nilai Serilisasi Miuma. Serilisasi miuma kemasa, dalam hal ii berbeuk kaleg, dilakuka uuk meguragi risiko peyebab kerusaka makaa, seperi kerusaka urisi, kerusaka pigme maupu rasa. Jika ilai serilisasi diberika dega,, rz, saa waku, maka G da hr z meyaaka koserasi mikroba di,, h R z meyaaka koserasi mikroba pada sekelilig (selimu) kaleg. Hacurya mikroba akiba pemaasa aka megikui persamaa beriku dhr, z, KhR, z, d (4.4) dega hr, z, h meyaaka koserasi awal. Peyelesaia Persamaa (4.4) adalah l h K h h K h h e log log e K log K.434 h h h log h K log h h.33 h.33 Nilai saga dipegaruhi oleh suhu. Berdasarka Kaa [4], semaki K iggi suhu pemaasa, maka semaki pedek waku yag diperluka uuk meghacurka mikroba. Jika suhu dibuuhka uuk mereduksi ilai yag ergaug suhu acua U acua, maka diperoleh U R, z, Uacua acua exp.33. Semiar Nasioal Maemaika 1 95 Prosidig

13 Di lai pihak, karea K acua.33 U R, z, U exp.33 acua.33, maka diperoleh K da dari Persamaa (4.4) diperoleh i i h h.33 l Kd l h h,, o U R z U o acua exp.33 i h.33 U R, z, U acua l exp.33 h acua o 1 d acua d Nilai serilisasi pada waku didefiisika dega [5] i U R, z, Uacua G exp.33 d Sehigga pada akhir waku, dibua sedemikia sehigga G G 1 i h R, z, h exp.33 G. acua da koserasi mikroorgaisme, U R z,, Ui 5. KESIMPULAN Berdasarka pembahasa perpidaha paas pada miuma yag dikemas dalam kaleg, dapa disimpulka 1. Persamaa paas dimesi iga dega koordia abug adalah 1 U 1U U U r r r z dega U r, z, meyaaka suhu di lokasi kaleg rz, dega r R da z saa waku. Suhu pada sekelilig, alas da uup kaleg dibua eap, sehigga syara awal da syara baas diberika sebagai beriku U r, z, U, dega meyaaka waku mula-mula, r R da z U r, z,, z Semiar Nasioal Maemaika 1 96 Prosidig

14 U r,,, r R U r,,, r R.. Nilai serilisasi uuk jamia keamaa muu miuma harus memeuhi G i G, U R, z, Ui da koserasi mikroorgaisme.33 hr, z, hexp G acua 1 i U R, z, Uacua G exp.33 d., dega DAFTAR PUSTAKA [1] Holdsworh, D., Ricardo S. Thermal Processig of Packaged Food. Spriger (7) [] Kaa,A., Gourisakar S., Hea Trasfer Aalysis of Caed Food Serilizaio i a Sill Reor. Joural of Food Egieerig. (8) [3] Serh, R. Hea Trasfer Pricipal ad Applicaios. Elsevier Sciece & Techology Books. (7) [4] Kaa,A., Korribili N., Esimaio of Eergy Cosumpio i Thermal Serilizaio of Caed Liquid Foods i Sill Reor. Joural Egieerig Applicaios of Compuaioal Fluis Mechaics Vol 1. No.4. pp (7) [5] Dedik Ardia, Lukma H., Mardlijah. Hea equaio aalize ad serilized value of caed food serilizaio process. 7. ITS Surabaya. [6] Muchadi T.R. Tekologi Proses Pegolaha Paga. Bogor: ITP IPB. (8) [7] Nurmayai. 1. Pejuala Miuma Siap Saji. hp:// diakses aggal 4 Jauari 1. [8] Cegel, Yuus. A., Hea ad Mass Trasfer: A Pracical Approach. McGraw Hill (6). [9] Kreyszig, E., Advaced Egieerig Mahemaics 9 h Ediio. Joh Wiley&Sos. (6) Semiar Nasioal Maemaika 1 97 Prosidig