Penaksiran Parameter Model Regresi Polinomial Berkson Menggunakan Metode Minimum Distance

Transkripsi

1 Peaksra Parameter Model Regres Polomal Berkso Megguaka Metode Mmum Dstace Da Kurawat Dearteme Matematka, FMIPA UI, Kamus UI Deok 16 Abstrak Berkso Measuremet Error Model meruaka model regres dmaa la dar varabel redktor yag terobservas telah dtetuka sebelumya da megadug error egukura atau error observas. Pada model regres oler dega kasus Berkso Measuremet Error, fugs regres tdak haya oler dalam arameter teta fugs regresya daat oler dalam varabel redktor seert ada model regres olomal Berkso. Peaksra arameter model regres olomal Berkso daat dlakuka dega beberaa metode dataraya dega metode OLS da metode Mmum Dstace. Metode yag dguaka dalam eelta adalah metode Mmum Dstace berdasarka mome ertama da kedua dar varabel reso dberka varabel redktor terobservas. Peaksr arameter model deroleh dega mesubsttuska taksra dar arameter-arameter baru yag mucul ada mome ertama da kedua dar varabel reso dberka la varabel redktor terobservas. Kata Kuc : Berkso Measuremet Error, regres olomal Berkso, Mmum Dstace, mome ertama da kedua Abstract Berkso Measuremet Error model s a regresso model where the value of the observed redctor varable was determed ad cotaed errors of measuremet or error of observato. I the oler regresso model wth Berkso case, the regresso fucto ot oly olear arameters but t ca be olear redctor varables such as Berkso olyomal regresso model. The Parameter estmato of Berkso olyomal regresso model ca be estmated wth several methods such as by OLS method ad Mmum Dstace methods. The method used ths joural s the Mmum Dstace based o the frst two codtoal momet of the resose varable gve the value of observed redctor varable. Parameter estmators of model were obtaed by substtutg the value of ew arameter estmators that aear o the frst two codtoal momet of the resose varable gve the value of observed redctor varable. Keywords : Berkso Measuremet Error, Berkso olyomal regresso model, mmum dstace, frst two codtoal momet 1. PENDAHULUAN Pada model regres ler mauu oler yag delajar ada umumya, dasumska bahwa la varabel redktorya meruaka la yag sesugguhya yag deroleh dar hasl egukura atau observas. Namu, adakalaya la yag sesugguhya tersebut tdak dketahu atau tdak daat dukur secara teat sehgga hasl egukura yag terbaca megadug error egukura atau error observas. Varabel redktor yag tak daat dukur laya secara teat dsebut varabel redktor tak terobservas, sedagka varabel yag deroleh dar hasl embacaa egukuraya dsebut varabel redktor terobservas. Dalam aalss regres, kasus dkeal dega Measuremet Error Model atau Error Varable Model. Salah satu te Measuremet Error Model adalah Berkso Measuremet Error Model yag daat delajar ada [1], [], [3]. Pada model dasumska bahwa error observas deede dega varabel redktor terobservas, sedagka atara error observas da varabel redktor tak terobservas salg deede. Dalam hal la varabel redktor terobservas Kekosstea eaksr..., Da Kurawat, FE UI, 013

2 Dasumska fx sedagka la varabel redktor tak terobservas bervaras secara radom datara la varabel redktor terobservas tersebut. Pada defs model regres oler dega kasus Berkso Measuremet Error Model, fugs regresya tdak haya oler dalam arameter seert dalam teor model regres umumya [6], teta fugs regresya daat meruaka fugs oler dalam varabel redktor seert model regres olomal Berkso yag delajar dalam [5],[7]. Peaksra arameter model regres olomal Berkso daat dlakuka dega beberaa metode dataraya dega metode Ordary Least Square yag delajar dalam [5] atau dega metode Mmum Dstace berdasarka mome ertama da kedua dar varabel reso dberka varabel redktor terobservas yag derkealka dalam [7]. Peelta aka membahas roses eaksra arameter model regres olomal Berkso megguaka metode Mmum Dstace berdasarka mome ertama da kedua dar varabel reso dberka varabel redktor terobservas.varabel redktor yag aka dguaka yatu varabel redktor uvarat da dstrbus dar Measuremet Error adalah ormal dega mea ol da varas kosta.. METODE PENELITIAN Metode eeltta yag dguaka dalam eelta adalah stud lteratur tetag Nolear Regresso Measuremet Error Model khususya ada teor Berkso Measuremet Error Model da stud lteratur tetag eksektas matematka khususya ada teor eksektas matematka bersyarat. Lteratur yag delajar aka dguaka utuk megembagka eelta tetag eaksra arameter model regres olomal Berkso. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Secara umum model regres olomal Berkso daat dmodelka sebaga berkut : y = x θ x... θ x ε (1) x = δ ; = 1,,. () dmaa: y = varabel reso, x k = varabel redktor yag tak terobservas, k = 1,,... θ m arameter model yag tdak dketahu,θ m 0 m = 0,1,... ε = error model = varabel redktor yag terobservas δ = error observas (Measuremet Error) dega asums bahwa : 1. y ε R, x ε R, ε R, = 1,, dmaa la-la dkotrol da meruaka varabel yag fx dalam beberaa egulaga egambla samel sedagka la x berksar seara radom datara. θ ε R P1 dmaa θ =,, θ,..., θ adalah vektor yag etr-etrya adalah arameter θ m, m = 0,1,, da adalah ruag aremeter dar la-la θ yag mugk. 3. Error model, ε ~ Nd (0, σ ε ), σ ε ε R dmaa ε adalah ruag aremeter dar la- la varas error model σ ε yag mugk.. Error observas, δ ~ Nd 0, σ δ, σ δ δ R dmaa δ adalah ruag aremeter dar lala varas error observas σ δ yag mugk. 5. Atara ε, δ j da z l mutually deede utuk semua, j da l dmaa = 1,,, j = 1,, da l= 1,, Berdasarka ersamaa (1), model regres olomal Berkso megadug arameterarameter yag tdak dketahu laya. Parameterarameter tersebut yatu : koefse regres θ m, m = 0,1,,, ; varas error model σ ε da varas Measuremet Error σ δ. Dalam eelta, metode Mmum Dstace aka dguaka utuk meaksr arameter-arameter tersebut. Msalka y, meyataka data samel utuk = 1,,,. Maka berdasarka ersamaa (1), eaksr arameter model regres olomal Berkso megguaka metode Mmum Dstace deroleh dega memmumka fugs objektf : Q (γ)= [(y m 1 ; γ ) (y m ; γ ) ] dmaa: m 1 ; γ m ; γ γ = model utuk E[y ] (mome ertama dar varabel reso y dberka varabel redktor terobservas z = ) = model utuk E[y ] (mome kedua dar varabel reso y dberka varabel redktor terobservas z = ) = vektor dar arameter-arameter dalam model (1) yag laya tdak dketahu. dmaa γ = (θ t, σ ε, σ δ ) t da γ R P3. Hmua meruaka ruag arameter yag memuat lala γ yag mugk. Berdasarka ersamaa model (1) beserta asums ada model tersebut aka dtetuka mome ertama da kedua dar varabel reso y dberka varabel redktor terobservas sebaga berkut : Dalam teorema bomal dketahu bahwa a b r = r =0 () r ar b (3) Kekosstea eaksr..., Da Kurawat, FE UI, 013

3 berdasarka teorema tersebut da berdasarka betuk mome ke-k dar Measuremet Error δ yag djelaska dalam [] : E δ k = 0, k blaga gajl σ k k!, k blaga gea! k/ k maka mome ertama dar varabel reso y dberka varabel redktor terobservas adalah : E y =E x θ x... θ x ε =E ( δ θ ( δ ).... θ ( δ ) ε = θ 0 θ 1 θ z... θ () dmaa σ! = 0 0 θ σ δ θ! θ P E δ σ! = θ 3σ δ 5 θ 5! θ P E δ σ! θ = 0 θ θ σ δ 6 θ 6! θ P E δ θ = 0 θ (5) Selajutya aka dtetuka mome kedua dar varabel reso y dberka varabel redktor terobservas sebaga berkut : E y = E ( x θ x... θ x ε) z =E[θ 0 x θ x θ x ε θ 1 x θ x 3 θ x 1 x ε θ x θ θ x θ x ε... θ x θ x ε ε ] = θ 0 θ 1 θ z... θ (6) dmaa = 0 0 θ σ δ θ. E δ θ 1 σ δ θ!σ 3! θ 1 θ θ 6 6!σ ! θ θ E δ... θ () E δ σ ε θ E δ 1 θ θ = θ 0 θ 1 E δ 0 θ 3 σ δ θ 1. 1 E δ θ σ δ θ θ. 1 E δ... θ E[δ ] = θ (7) θ E δ Dar ersamaa () da (5) deroleh model utuk mome ertama da kedua dar varabel reso y dberka varabel redktor terobservas : m 1 ( ; γ) = θ 0 θ 1 θ z... θ z (8)m ; γ = θ 0 θ 1 θ z... θ (9) Lagkah selajutya adalah mecar eaksr dar θ 0, θ 1, θ,... θ, θ 0 θ 1, θ,... θ ada ersamaa (8) da (9) megguaka metode Mmum Dstace. Peaksr dar arameterarameter dalam kedua ersamaa tersebut deroleh dega mecar solus dar : MQ γ =M (y m 1 ; γ ) (y m ; γ ) Fugs Q (γ) datas harus dmmumka terhada θ 0, θ 1, θ,... θ, θ 0 θ 1, θ,... θ sedemka sehgga memeuh ersamaa-ersamaa berkut : θ... θ = y 3 θ... = y 1 θ... θ = y θ... θ 3 θ... θ 1 θ 1... θ = y = y = y = 1 0 θ θ 3 σ δ θ θ θ 3 5!σ! θ θ E[δ ] 1 E δ 1 1 yatu terbetuk ersamaa ormal sebayak 3, jka dotaska dalam matrks maka deroleh : B = A Kekosstea eaksr..., Da Kurawat, FE UI, 013

4 Maka eaksr utuk θ 0, θ 1, θ,... θ, θ 0 θ 1, θ,... θ daat deroleh dega cara : B = A B B = B A = B A Berdasarka ersamaa (5) secara rekursf deroleh : θ = θ θ = θ θ = θ θ σ δ θ 3 = θ 3 θ σ δ = θ 1 3 θ 3 =. 3 3 θ E δ P 3 σ δ 5 θ θ P 5 E δ σ!! θ P E δ θ θ θ E δ P σ δ 6 θ 6 6 θ 6 P 6 E δ σ!! σ δ - θ P E δ θ θ P σ! E δ! θ E δ P (10) Berdasarka ersamaa (7) deroleh bahwa : θ = θ θ =θ θ θ θ θ Sehgga deroleh : σ δ = θ θ θ θ θ θ σ δ Dega mesubttuska seta θ, θ, θ, θ da θ dega θ, θ, θ, θ da θ yag deroleh dar matrks maka deroleh eaksr bag varas error observas (measuremet error) σ δ yatu : σ δ = θ θ θ θ θ θ (11) Jka derajat olom adalah gajl maka berdasarka betuk E δ k m 1 da dega mesubsttus σ δ m 1 dega σ δ maka aka deroleh : E δ m 1 Sebalkya, jka adalah gea maka aka deroleh: E δ m Dega mesubsttus θ 0, θ 1, θ,..., θ, θ, θ dega θ 0, θ 1, θ,..., θ, θ, θ σ δ yag deroleh matrks da mesubsttuska σ m δ, E δ 1 atau E δ m masg-masg dega σ δ da E δ m 1 atau E δ m maka deroleh eaksr bag,, θ,..., θ, θ, θ dalam ersamaa (10) yatu :,, θ,..., θ, θ, θ (1) Lagkah selajutya alah mecar eaksr bag varas error model σ ε. Berdasarka betuk dalam ersamaa (7) da dega mesubsttuska seta,, θ,..., θ, θ, θ,, σ δ da m E δ 1 m atau E δ dega,, θ,..., θ, θ, θ,, σ δ da E δ m 1 atau E δ m error model : maka deroleh eaksr bag varas σ ε = 0 0 θ, σ δ θ E δ σ δ θ!σ δ 3 θ! 1θ E δ 1! σ θ δ! θ θ 6 6 6! σ δ 6 3 3! θ! σ δ!! σ θ δ! θ! σ δ! θ θ 6 6 6! σ δ 6 3 3! θ θ. E δ... θ () E δ (13) sehgga deroleh eaksr bag arameter-arameter model olomal Berkso, yatu :,, θ,..., θ, θ, θ, σ ε da σ δ. Model ft Mmum Dstace utuk regres olomal Berkso adalah : y = x θ x... θ x ; x = δ ; = 1,,. KESIMPULAN Peaksr arameter model regres olomal Berkso daat deroleh dega memmumka fugs objektf Mmum Dstace berdasarka mome ertama da kedua dar varabel reso Kekosstea eaksr..., Da Kurawat, FE UI, 013

5 dberka vaabel redktor terobservas. Dega mesubsttuska arameter-arameter baru yag mucul ada mome ertama da kedua secara smulta maka aka deroleh seluruh arameterarameter model regres olomal Berkso. UCAPAN TERIMAKASIH Peuls megucaka terma kash bayak keada Ibu St Nurrohmah da Ibu Da Lestar selaku embmbg skrs yag telah memberka bayak masuka da araha dalam eulsa makalah. Peuls juga megucaka terma kash bayak keada oragtua euls da adk-adk tercta terutama dudu yag seta meema da memberka doa-doa terbakya, terma kash atas kado terdahya. DAFTAR ACUAN [1] J. Berkso, Are There Two Regresso?. Amerca Statstcal Assocato, 5, (1950), [] R. J. Carroll,D. Ruert, ad L. A. Stefask, Measuremet Error I Noler Models, Chama ad Hall, Lodo,006 [3] W. A. Fuller,Measuremet Error Models, Joh Wley & Sos, New York,1987 [] R. V.Hogg, ada. T.Crag, Itroducto to mathematcal statstcs, 5th ed, Pretce Hall Ic, New Jersey, 1995 [5] L. Huwag, ady. H. S. Huag,Y. H,O error- Varables Polomal Regresso Berkso case. Statstc Sca, 10, (000), [6] D. C.Motgomery, E. A.Peck, adg.g. Vg, Itroducto to Ler Regresso Aalyss, 3rd ed, Joh Wley & Sos, New York, 001 [7] L. Wag,Estmato Of Noler Berkso-Tye Measuremet Error Models. Statstca Sca, 13, (003), Kekosstea eaksr..., Da Kurawat, FE UI, 013