TEOREMA TITIK TETAP BANACH. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Matematika. Program Studi Matematika

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "TEOREMA TITIK TETAP BANACH. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Matematika. Program Studi Matematika"

Transkripsi

1 TEOREMA TITIK TETAP BANACH Skrps Dajuka utuk Memeuh Salah satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Matematka Program Stud Matematka Oleh: Wdaryata Ctra Nursata NIM : 348 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 6

2

3

4 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya meyataka dega sesugguhya skrps yag saya tuls tdak memuat karya atau baga karya orag la, kecual yag telah dsebutka dalam daftar pustaka, sebagamaa layakya karya lmah. Yogyakarta, Me 6 Peuls Wdaryata Ctra Nursata

5 INTISARI Dalam skrps dbahas megea ttk tetap fed pot. Bayak permasalaha matematka yag dapat dformulaska dalam betuk ttk tetap. Teorema Ttk Tetap Baach memberka syarat cukup suatu fugs dar ruag metrk legkap ke drya sedr mempuya ttk tetap yag tuggal. Selajutya Teorema Ttk Tetap Baach dterapka utuk mejam eksstes da ketuggala peyelesaa persamaa dferesal lear orde satu. Peyelesaa tersebut dapat dcar dega tekk teras.

6 ABSTRACT Ths thess dscusses what s so called fed pot. May mathematcal problems ca be formulated as fed pot problem. Baach Fed Pot Theorem gves a suffcet codto for a fucto from a complete metrc space to t self to have a uque fed pot. Furthermore, Baach Fed Pot Theorem may be appled to esure the estece ad uqueess of the soluto of frst order lear dfferetal equato. Ths soluto ca be solved by a terato method.

7 KATA PENGANTAR Segala puj da hormat kepada Tuha Yesus atas segala berkat, pmpa, kash da peyertaa-nya sehgga peuls dapat meyelesaka skrps yag bejudul TEOREMA TITIK TETAP BANACH. Skrps dsusu sebaga salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Matematka S.S pada program stud Matematka d Fakutas MIPA Uverstas Saata Dharma, Yogyakarta. Peyusua skrps tdak lepas dar batua berbaga phak, bak berupa mater, moral, maupu sprtual. Peuls meyampaka terma kash yag sebesar-besarya kepada :. Bapak Ir. Ig. Ars Dwatmoko, M.Sc. selaku Deka Fakultas MIPA Uverstas Saata Dharma.. Bapak Y.G. Hartoo, S.S, M.Sc. selaku Kaprod Matematka Fakultas MIPA Uverstas Saata Dharma. Terma kash karea mau merevs skrps saya hgga selesa. 3. Bapak Herry Prbawato, S.S. selaku dose pembmbg. Terma kash atas sara, de, waktu serta kesabaraya dalam membmbg peuls. 4. Bapak Prof. Drs. Sumatr karea telah bayak membatu meyelesaka masalah dalam peulsa. 5. Bapak-Ibu dose Fakultas MIPA Uverstas Saata Dharma yag membekal saya utuk tumbuh da berkembag.

8 6. Papa da Mama kekash, terma kash buat kash segala keperlua ku dalam meyelesaka stud. 7. Dea ku, makash atas dukuga da doaya buat Aya. Sorry kata pegatarya aku copy. Tap teag aja, udah Aya gat kok katakataya. Ayo... Uja...!!!!! 8. Papa da Mama d Pedolo, terma kash buat semua perhataya. Terma kash udah mau jad orag tua ku. 9. Tema-tema seperjuaga d math Da.WA, Tabtha, Ages, Adre, Arel, Alam, Very, Ajek, Erka, Idah, Mara, Deta, Faya, Vrsca, Rta, Wwt, Yul, Upek, Teddy, Da. Juga buat tematema d PMK Oukumee, thaks ya buat dukuga do aya.. Pap Naro da Mam Vera serta tema-tema d GKN Soopaks, makash buat do a da kebersamaaya ya.. Sahabat-sahabat ku : Bmo, Ryo, e Soy. Ayo tadg mae PS lg. Hehehe. Terma kash juga peuls sampaka kepada semua phak yag tdak dapat peuls sebutka satu-persatu. Peuls

9 DAFTAR ISI Halama HALAMAN JUDUL... HALAMAN PENGESAHAN PEMBIMBING... HALAMAN PENGESAHAN... PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... ARTI LAMBANG... v v v v v BAB I PENDAHULUAN... BAB II RUANG METRIK Ruag Metrk Hmpua Terbuka da Fugs Kotu Kekovergea, Barsa Cauchy da Kelegkapa Ruag Topolog... 4 BAB III TEOREMA TITIK TETAP BANACH Ttk Tetap Teorema Ttk Tetap Baach BAB IV PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP BANACH... 7 BAB V KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA... 88

10 ARTI LAMBANG p q jka p maka q. p q p jka da haya jka q. A aggota A. A B A hmpua baga B. / hmpua kosog. [ a, b] terval tertutup. a, b terval terbuka. g o f komposs fugs. y d, jarak/metrk atara ttk da y. X, d ruag metrk. { } barsa dega suku-suku. barsa { } koverge ke. f : X Y fugs/pemetaa dar X ke Y. C X ruag fugs kotu terbatas berla real pada X.

11 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Salah satu betuk peerapa matematka adalah utuk meyelesaka suatu persamaa. Namu sebelum memecahka masalah persamaa, perlu dketahu terlebh dahulu apakah persamaa tersebut mempuya peyelesaa atau tdak. Berkut aka dberka fugs f dega varabel, f kotu pada terval tertutup [ b] maka persamaa f a, da jka f a da f b memlk tada yag berbeda, mempuya sedktya satu peyelesaa d dalam terval [ a, b]. Utuk meyelesaka persamaa d atas dperluka Teorema Eksstes atau teorema yag mejam adaya suatu peyelesaa, serg dyataka dalam betuk prsp ttk tetap fed pot prcples. Sebaga cotoh, dperhatka persamaa f. Persamaa dapat dtuls dalam betuk α f dega parameter postf α. Jka α f dyataka sebaga F dperoleh persamaa F...* Ttk dalam persamaa * dkeal sebaga ttk tetap. Oleh karea tu persamaa tersebut mempuya sedktya satu peyelesaa d dalam terval [ a, b]. Ide awal lahrya kosep ttk tetap, dmula kra-kra tahu 5 sebelum Maseh, d Mesopotama. Pertama kal mucul adalah masalah problem/p, yatu:

12 P a N Sebaga cotoh, jka a 4 maka. Setelah muculya masalah, kemuda drumuska masalah ttk tetap fed pot problem/fpp sebaga berkut : a FPP a Masalah ttk tetap d atas dselesaka dega successve substtuto/ss yag meghaslka appromate soluto/as. SS Aggap AS a, utuk,,,... Kemuda drumuska FPP yag lebh abstrak, yatu: f Ttk dalam persamaa d atas dkeal sebaga ttk tetap... Perumusa Masalah Dalam skrps pokok permasalaha yag aka dbahas adalah:. Bagamaa motvas muculya kosep ttk tetap?. Apa pegerta ttk tetap? 3. Teorema Ttk Tetap Baach da pembuktaya? 4. Bagamaa sfat lebh lajut da pegembaga Ttk Tetap Baach? 5. Bagamaa peerapa Teorema Tetap Ttk Baach pada persamaa dferesal?

13 .3. Pembatasa Masalah Skrps dbatas pada masalah pecara syarat cukup fugs dar ruag metrk legkap ke drya sedr mempuya ttk tetap. Peerapaya pu haya dbatas pada masalah pejama eksstes da ketuggala persamaa dferesal lear orde satu..4. Tujua Peulsa Peulsa skrps bertujua utuk member wawasa kepada pembaca tetag suatu sfat fugs kotu pada ruag metrk legkap khususya megea Teorema Ttk Tetap Baach beserta peerapaya pada eksstes da ketuggala peyelesaa persamaa dferesal lear orde satu..5. Mafaat Peulsa Mafaat dar peulsa skrps yag sagat dharapka adalah peuls dapat megetahu da memaham bagamaa sebearya sfat-sfat da peerapa Teorema Ttk Tetap Baach pada peyelesaa persamaa dferesal lear orde satu..6. Metode Peulsa da Sstematka Peulsa Metode peulsa yag dguaka dalam skrps adalah metode stud pustaka, yatu dega membaca da mempelajar mater da buku-buku acua yag ada serta megkosultaska hasl stud madr dega dose pembmbg. Dalam skrps tdak ada peemua-peemua yag baru.

14 Sstematka peulsa pada skrps sebaga berkut. Pada BAB I bers pedahulua yag mejelaska latar belakag, perumusa masalah, pembatasa masalah, tujua peulsa, mafaat peulsa, serta metode peulsa da sstematka peulsa skrps. Kemuda BAB II mejelaska pegerta ruag metrk, kekovergea, hmpua terbuka serta ruag topolog. Selajutya pada BAB III mejelaska motvas muculya kosep ttk tetap, pegerta ttk tetap, Teorema Ttk Tetap Baach da pembuktaya, serta sfat lebh lajut da pegembaga Ttk Tetap Baach. Pada BAB IV dberka peerapa Teorema Ttk Tetap Baach pada persamaa dferesal. Kemuda pada BAB V merupaka kesmpula dar seluruh skrps.

15 BAB II RUANG METRIK Pada bab aka dbahas megea ruag metrk, kekovergea, hmpua terbuka yag aka meladas pembahasa bab-bab selajutya. A. Ruag Metrk Pada sub bab aka dbahas defs da cotoh ruag metrk. Defs... Dketahu hmpua X tdak kosog. Suatu metrk metrc pada X adalah fugs d dar X X ke R yag memeuh aksoma-aksoma berkut: a. dp,q ; utuk setap p,q X. b. dp,q jka da haya jka p q. c. dp,q dq,p; utuk setap p,q X d. dp,q dp,r dr,q; utuk setap p,q,r X Pertdaksamaa segtga Suatu ruag metrk adalah pasaga X,d, dega X hmpua tdak kosog da d adalah metrk pada X. Aggota ruag metrk dsebut ttk pot. Blaga d,y dsebut jarak ttk ke ttk y. Serg kal pasaga X,d dsgkat dega X saja apabla metrkya sudah cukup jelas.

16 Cotoh.. Dberka X sebarag hmpua yag tdak kosog. Ddefska fugs d,y,, y y, utuk setap,y X Aka dtujukka X,d adalah ruag metrk. d,y d,y jka da haya jka y d,y dy, Utuk,, da jelas dar defs fugs y d, d atas. v Jka d,y, jelas d,y d,z dz,y Jka d,y, kemugkaya : a. z da z y d,y d,z dz,y b. z da zy d,y d,z dz,y c. z da z y d,y d,z dz,y Utuk selajutya ruag metrk dsebut ruag metrk dskrt. Cotoh.. Dberka X R da ddefska fugs d : R R R dega defs d,y y ; utuk setap,y R. Aka dtujukka X, d adalah ruag metrk.

17 d,y y, jelas dar defs. d,y y jka da haya jka y. d,y y y y y y y dy, v d,y y z z y z z y z z y d,z dz,y Selajutya ruag metrk dsebut ruag metrk basa usual metrc space. Cotoh..3 Dberka X R da ddefska fugs d: R d, y y R R dega defs, utuk setap,,...,, y y, y,..., y R. Aka dtujukka X,d adalah ruag metrk d, y, jelas dar defs.

18 d, y jka da haya jka y. apabla d, y maka y y y... y y y... y y, utuk setap,.., y, utuk setap,.., y, utuk setap,..,. Jad terbukt jka d, y maka y.. apabla y maka berlaku y, utuk,,3,...,, sehgga dperoleh d, y y y y... y Jad terbukt jka y maka d, y Dega demka d, y jka da haya jka y. d, y d y,

19 d, y y y y... y y y... y y d y,. v d, y d, z d z, y Utuk membuktka Pertdaksamaa segtga utuk metrk dperguaka pertdaksamaa Cauchy Schwarz. Pertdaksamaa Cauchy Schwarz : y y, utuk setap,,...,, y y, y,..., y R. Bukt: Jka y, utuk setap, maka secara trval terbukt. Aggap y, utuk suatu,, maka y >. Jka t sebarag blaga real, maka ddapat atau t y t y utuk semua t R ty da y >.

20 Oleh karea tu dskrma persamaa kuadrat dalam t d atas adalah opostf, maka D 4 ac b y - 4 y. 4 y 4 y. y y. atau y y y y Jad terbukt, y y y, utuk setap,...,,,,...,, y y y y R. Sekarag aka dbuktka pertdaksamaa segtga,, y d y [ ] y z z PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

21 [ ] y z z [ ] y z y z z z y z z y z z Megguaka Pertdaksamaa Cauchy Schwarz y z z y z z y z z y z z, z d, y z d Terbukt, y d, z d, y z d Utuk selajutya ruag metrk dsebut ruag metrk Eucld. Cotoh..4 Dberka XR da ddefska fugs d: R R R dega defs, y d y y ; utuk setap,,, y y y R. Aka dtujukka X,d adalah ruag metrk. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

22 d, y, jelas dar defs. d, y jka da haya jka y. jka d, y maka y y y y, utuk setap, y, utuk setap, y, utuk setap,. Jad terbukt jka d, y maka y. jka y maka d, y d, y y y Jad terbukt jka y maka d, y Dega demka d, y jka da haya jka y. d, y d y, d, y y y y y d y,. v d, y y y

23 z z z z y y z z y z z y z z z y z y d, z d z, y Utuk selajutya ruag metrk dsebut metrk seg empat pada R. Cotoh..5 Dberka XR da ddefska fugs d: R R R dega defs d, y maks { y, y };utuk semua,, y y, y R. Aka dtujukka X,d adalah ruag metrk. d, y, jelas dar defs. d, y jka da haya jka y. jka d, y maka y d, y maks { y, y }, berart y da y Jad y da y, yag artya y. jka y maka d, y d, y maks { y, y } maks {, } maks {, }

24 Jad terbukt jka y maka d, y Dega demka d, y jka da haya jka y. d, y d y, d, y maks { y, y } maks { y, y } d y, v d, y maks { y, y } Msal d, y maks { y, y } y d, y y z z y z z y maks { z z } maks { z y z y },, d, z d z, y Utuk kemugka d, y, d, z, da d z, y yag la dkerjaka dega cara serupa. Utuk selajutya ruag metrk dsebut ruag metrk maksmum pada R. Cotoh..6 Dketahu X C[ a, b] {f : [ b] a, R f kotu}da dketahu fugs d :C[ a, b] C[ a, b] R dega defs df,f sup { f f }, [ a b], utuk setap f C[ b], f a,. Aka dtujukka C[ a, b], d adalah ruag metrk. df,f

25 karea df,f sup [ a b], { f f } da f f, maka sup [ a b], { f f } df,f jka da haya jka f f. jka df,f maka f f df,f sup [ a b], { f f } f f f f ; utuk setap [a,b]. f f. jka f f maka df,f, karea f f maka f f ; utuk setap [a,b]. df,f sup [ a b], sup [ a b], sup [ a b], { f f } { f f } { } df,f df,f df,f sup [ a b], sup [ a b], { f f } { f f } df,f

26 v df,f sup [ a b], { f f } f f f f f f 3 3 f f f f 3 3 sup [ a b], { f f } 3 sup { f f } [ a b], 3 Jad f f sup [ a b], Hal berart { f } { f f } 3 f terbatas dega sup { f f } [ a b], 3 sup { f f } sup { f f }sebaga batas atas. [ a b], 3 Hal berakbat [ a b], 3 sup [ a b], { f f } sup { f f } sup { f f } [ a b], 3 [ a b], 3 atau df,f df,f 3 df 3,f. Cotoh..7 Dketahu X C[,] {f : [,] d:c[,] C[,] R dega defs R f kotu} da dketahu fugs df,f f f d ; utuk setap, f f C[,]. Aka dtujukka C[,],d ruag metrk. df,f f f d, karea f f df,f jka da haya jka f f

27 . jka df,f maka f f df,f f f d f f f f ; utuk setap [,]. f f jka f f maka df,f, karea f f maka f f ; utuk setap [,]. df,f f f d df,f df,f f f d d df,f f f d f f d df,f v df,f f f d f f f f d 3 3 f f 3 f 3 f d

28 f f 3 f3 f d f f d f f d 3 3 df,f 3 df 3,f. B. Hmpua Terbuka da Fugs Kotu Pada subbab aka djelaska hubuga atara hmpua terbuka dega fugs kotu d dalam ruag metrk. Defs.. Dberka sebarag ruag metrk X,d, X da blaga real r>. Bola terbuka, bola tertutup da luasa bola dega pusat da jar-jar r berturut-turut ddefska sebaga : Bola terbuka Ope Ball B ; r { X d, < r} Bola tertutup Closed Ball B ; r { X d, r} Luasa bola Sphere S ; r { X d, r} Dapat dlhat bahwa bola terbuka dega radus r adalah hmpua semua ttk d dalam X sehgga jarakya terhadap pusat bola kurag dar r. Lebh jauh dperoleh hubuga : S ; r B ; r - B ; r Notas la utuk B ; r adalah B r.

29 Cotoh.. XR dega d,y y, utuk semua,y R. Dberka a R da r>, maka B r a { : d, a < r} { : a < r} { : r < a < r} { : a r < < a r} a r a r, Gambar.. Cotoh.. X R dega d, y y y, utuk semua, y R. Dberka a R da r>, maka B r a { : d, a < r} { : a a < r}

30 { : a a < r } Gambar.. Cotoh..3 X R dega d, y y y Dberka a R da r>, maka B r a { : d, a < r} { : a a < r} Aggap a, adalah pusat, maka, a a Utuk a da y a Dar kods d atas terdapat empat kemugka : B r { : y < r} y < r y < r y < r v y < r

31 Gambar..3 Cotoh..4 X R dega, y Dberka d maks{ y } a R da r>, maka B r a { : d, a < r}., y { : maks{ a a } < r}, Dar kods d atas terdapat dua kemugka : Jka maks{ a } a, a Maka ttk batasya adalah : a r a r atau a r a r atau a r Jka maks{ a } a, a Maka ttk batasya adalah : <r. <r

32 a r a r atau a r a r atau a r Gambar..4 Cotoh..5 C[ a b] dega d f, g X, Dketahu h C[ a, b] sup [ a, b] da r>. Maka, B r h f : d f, h sup [ a, b] { f : f h < r} { f g } { f h } { f : r < f h < r} { f : h r < f < h r} < r

33 Gambar..5 Defs.. Dketahu X ruag metrk. Hmpua K X dkataka terbuka jka utuk setap K terdapat bola terbuka B sehgga B K. Hmpua K X dkataka tertutup jka komplemeya yatu K c X K terbuka. Dar s dperoleh bahwa setap bola terbuka adalah hmpua terbuka da setap bola tertutup merupaka hmpua tertutup. Bola terbuka B, ε dega pusat da jar-jar ε > juga basa dsebut persektara- ε ε -eghbourhood dega pusat da jar-jar ε. Hmpua A dsebut persektara dar jka ada bola terbuka B, ε sehgga B, ε A. Kemuda dapat dlhat secara lagsug dar defs bahwa

34 setap persektara dar memuat ; da jka N adalah suatu persektara dar da N M maka M juga suatu persektara dar. Ttk dsebut ttk dalam teror pot hmpua M X jka terdapat persektara N dar sehgga N M. Jad meurut defs hmpua terbuka, hmpua M terbuka jka setap aggotaya adalah ttk dalam. Hmpua semua ttk dalam M dtuls dega M atau tm. Lebh lajut tm adalah hmpua terbuka terbesar yag termuat dalam M. Hmpua terbuka memegag pera petg dalam kataya dega karaktersas fugs kotu pada ruag metrk. Cotoh..6 Hmpua kosog / terbuka sekalgus tertutup. Bukt : Meurut pelajara logka, kodsoal A B selalu bear apabla dketahu A peryataa yag salah. Maka peryataa-peryataa / ttk teror / / C R terbuka / tertutup. Jad hmpua kosog / adalah terbuka sekalgus tertutup. Defs..3 Dketahu X X, d da Y Y, d adalah ruag metrk.

35 Fugs T : X Y dkataka kotu d X jka utuk setap ε > terdapat δ > sehgga berlaku d T, T < ε utuk setap yag memeuh d, < δ. Fugs T dkataka kotu jka T kotu d setap ttk X. Teorema berkut meghubugka kosep hmpua terbuka dalam ruag metrk dega fugs kotu. Teorema.. Dketahu X, d, Y, d ruag metrk Fugs T : X Y kotu jka da haya jka prapeta premage setap hmpua terbuka dalam Y juga terbuka dalam X. Bukt : Dketahu T kotu. Aka dbuktka utuk semua hmpua terbuka dalam X. S Y, T S terbuka Ambl sebarag hmpua S Y terbuka da sebut T S S. Jka S adalah hmpua kosog maka S terbuka atau tertutup. Utuk selajutya aggap S buka hmpua kosog. Dambl sebarag S, harus dtujukka ttk dalam S. Sebut y T S.

36 Karea S terbuka maka y adalah ttk dalam S. Jad ada persektara-ε dar y yatu N. Karea T kotu, ada persektara-δ dar yatu N sehggat N N.Karea N S maka T N T S atau N S. Jad terdapat persektara N dar sehgga N S Terbukt ttk dalam S. Jad setap aggota S adalah ttk dalam. Dega kata la S T terbuka. S Dketahu prapeta setap hmpua terbuka dalam Y juga terbuka dalam X Dambl sebarag X da sebarag persektara-ε dar T yatu N. Prapeta dar N yatu N terbuka, karea N terbuka da N memuat. Dar s N juga memuat persektara-δ dar, yag dpetaka ke N karea N dpetaka ke N. Akbatya meurut defs T kotu d. Lebh lajut karea sebarag aggota X terbukt T kotu Cotoh..7 Cotoh Fugs Kotu Dambl X Y R terhadap metrk basa. Dbetuk fugs f : X Y dega defs f ; utuk semua X. Aka dtujukka fugs f kotu. Dega kata la aka dtujukka f kotu d setap Ambl sebarag c X. c X. Dberka ε > harus dcar δ > sehgga utuk setap yag memeuh c < δ berlaku f f c < ε.

37 Dtjau la-la dalam bola terbuka c c, c dega c <. B yatu la-la Aka dtujukka adaya blaga δ > sehgga utuk c < δ berlaku c < ε. Utuk c < maka c c c c c c c c. Jad utuk c < maka c < ε apabla c ε < c Dega demka jka dambl ε δ m, maka apabla c < δ c berlaku c < ε. Terbukt f kotu d c. Karea pegambla c sebarag maka terbukt f kotu. Pada baga terakhr subbab aka dbahas megea ttk lmt da peutup hmpua. Defs..4 Dketahu X,d ruag metrk da M X. Ttk X dsebut ttk lmt atau ttk akumulas accumulato pot M jka setap persektara-ε dar memuat ttk la aggota M sela. Hmpua semua ttk lmt M dtuls dega M ' atau Hmpua semua ttk aggota M dgabug dega hmpua semua ttk lmt M dsebut peutup closure hmpua M da dtuls M. M d Jad M M M '.

38 Teorema.. M M M tertutup. Bukt: Utuk sebarag M past tertutup Karea M M M ' Maka M tertutup Cotoh..8 X R terhadap metrk basa A,] maka A,, A [,], da A A A [,] Cotoh..9 X R terhadap metrk maksmum M {, y R 4, < < 5} y Maka M {, y R < < 4, < y < 5} {, y R 4, 5} M y {, y R 4, 5} M M M y C. Kekovergea, Barsa Cauchy da Kelegkapa Barsa blaga real memegag peraa petg dalam Kalkulus, da metrk basa usual metrc dar R yag membatu medefska kosep dasar

39 kekovergea barsa. Sekarag aka dbahas secara sgkat kekovergea barsa dalam sebarag ruag metrk X,d. Defs.3. Barsa Koverge da Lmtya Suatu barsa dalam ruag metrk X,d dkataka koverge jka ada X sehgga lm d, Ttk dsebut lmt barsa da dapat dtuls lm atau sgkatya,. Barsa yag tdak koverge dsebut dverge. Terlhat bahwa d meghaslka barsa blaga real a d, yag medefska koverges. Oleh karea tu jka maka utuk setap ε >, terdapat blaga asl N Nε sehgga apabla > N berlaku B ; ε. Perlu dperhatka bahwa lmt barsa koverge dalam ruag metrk X harus merupaka aggota dar X.

40 Cotoh.3. Ambl X adalah selag terbuka, R dega metrk basa d, y y. Kemuda barsa tetap,.,,,k 3 4 tdak koverge sebab barsa koverge ke Sekarag djelaska dua sfat umum dar barsa koverge, yatu ketuggala lmt da keterbatasa. Defs.3. Hmpua M X dkataka terbatas jka dameterya : δ M sup, y M { d, y } adalah terbatas. Jka M terbatas, maka terdapat blaga real r > sup { d, y } sehgga M B ; r, dmaa X adalah sebarag ttk., y M Oleh karea tu X dapat dsebut barsa terbatas jka hmpua ttk merupaka hmpua terbatas dalam X. Oleh karea tu aka djelaska pada teorema berkut : Teorema.3. Dketahu X,d adalah ruag metrk, maka :. Barsa koverge X adalah terbatas da memlk lmt tuggal. Jka da y y X, maka d, y d, y.

41 Bukt :. Aggap, jad utuk setap ε >, ada blaga asl N Nε sehgga utuk setap > N berlaku d, < ε. Khususya dambl ε maka aka ddapat N N dmaa d, <, utuk semua > N. Ambl { d,, d,, K, d, } α ma N maka d, < α, utuk semua,,...,n. Jad utuk semua,,... aka berlaku d, < α I meujukka bahwa terbatas. Msalka da z, megguaka pertdaksamaa segtga ddapatka d, z d, d, z. Karea d, z da d, z maka d, z sehgga z. Dega kata la lmt barsa adalah tuggal. Dega megguaka pertdaksamaa segtga d, y d, d, y d y, y Maka ddapat d, y d, y d, d y, y d, y d, y d, d y, y Da dega meukar peraa dega da y dega y serta megalka dega - dperoleh d, y d, y d, d y, y

42 d, d y, y d, y d, y Dega meggabug pertdaksamaa da maka ddapat d, y d, y d, d y, y sehgga d, y d, y yag berart d, y d, y. K aka ddefska megea kosep kelegkapa dar ruag metrk, yag mempuya peraa petg dalam pembahasa selajutya. Defs.3.3 Defs Barsa Cauchy Blaga Real Barsa adalah barsa Cauchy blaga real jka da haya jka memeuh krtera kekovergea Cauchy yatu apabla utuk setap ε > maka terdapat N Nε dmaa < ε, utuk setap m, > N. m Selajutya aka ddefska barsa Cauchy dalam ruag metrk da hubuga kelegkapa dega ruag metrk. Defs.3.4 Barsa dalam ruag metrk X, d dsebut barsa Cauchy jka utuk setap ε > terdapat N Nε sehgga d m, < ε, utuk setap m, > N. Ruag X dkataka legkap complete jka setap barsa Cauchy dalam X koverge. Dega kata la barsa Cauchy X memlk suatu lmt dmaa X.

43 Kemuda aka dbahas megea cotoh-cotoh dar kelegkapa da kekovergea Cauchy. Cotoh.3.3 Gars real da bdag kompleks adalah ruag metrk legkap. Cotoh.3.4 Ruag R {a} tdak legkap karea tdak terdapat satu ttk lmt dar barsa real tertetu. Lebh jelas lag, jka pada ruag R dhapus semua blaga rasoal maka ruag tersebut tdak legkap. Pada selag terbuka a,b dega metrk d R merupaka ruag metrk tdak legkap. Cotoh.3.5 Dambl X,] megguaka metrk basa da barsa dmaa da,,... adalah suatu barsa Cauchy tetap tdak koverge karea ttk tdak terdapat pada X. I meggambarka kosep dar kekovergea buka merupaka sfat utama dar barsaya tetap tergatug pada ruag d maa barsa tersebut berada. Teorema.3. Setap barsa koverge dalam suatu ruag metrk merupaka barsa Cauchy.

44 Bukt : Dketahu, maka utuk semua ε > terdapat N Nε dmaa ε d, < utuk semua > N Akbatya dega megguaka pertdaksamaa segtga ddapat utuk semua m, > N berlaku ε ε d m, d m, d, < ε Jad terbukt bahwa adalah barsa Cauchy. Selajutya aka dbahas megea peutup closure dar hmpua da kataya dega barsa koverge. Teorema.3.4 Dketahu M hmpua baga tak kosog dar ruag metrk X, d da M adalah peutup M maka : M jka da haya jka terdapat barsa dalam M sehgga. M adalah tertutup jka da haya jka M da berakbat M. Bukt : Dketahu M. Jka M, maka barsa dapat dtuls,, K.

45 Jka / M, maka adalah ttk lmt dar M. Akbatya utuk setap,,k B ; memuat M, da karea utuk. Sebalkya, jka barsa dalam M da, maka M atau utuk setap persektara dar ada ttk, jad adalah ttk lmt dar M. Akbatya M, megguaka defs dar peutup. M adalah tertutup jka da haya jka M M. Defs.3.5 Dketahu X, d ruag metrk. Hmpua Y X dsebut ruag baga X jka Y, d merupaka ruag metrk. Teorema.3.5 Ruag baga M dar ruag metrk legkap X adalah legkap jka da haya jka M adalah tertutup dalam X. Bukt : Dketahu M adalah legkap. Megguaka teorema.3.4, utuk setap M ada barsa dalam M da. Karea adalah barsa Cauchy megguaka teorema.3. da M legkap, koverge dalam M, da lmtya tuggal megguaka teorema.3.. Oleh karea tu bahwa M adalah tertutup. M. Terbukt

46 Sebalkya dketahu M tertutup da barsa Cauchy dalam M. Kemuda X, yag megakbatka M megguaka teorema.3.4., da M sebab M M karea M tertutup. Akbatya utuk sebarag barsa Cauchy koverge dalam M. Jad terbukt M legkap. Teorema berkut aka meujukka art petg barsa koverge dalam kataya dega fugs kotu. Teorema.3.6 Dketahu ruag-ruag metrk X, d da Y, d Fugs T : X Y kotu d ttk X jka da haya jka berakbat T T. Bukt : Dasumska T kotu d. Kemuda dber sebarag ε >, ada δ > sehgga apabla d, < δ maka d T, T < ε Dketahu. Kemuda ada N dmaa utuk semua > N berlaku Oleh karea tu, utuk semua d, < δ > N, d T, T < ε Megguaka defs berart T T.

47 Sebalkya, dasumska jka maka T T Aka dbuktka T kotu d. Adaka T tdak kotu, maka ada ε > dmaa utuk setap δ > utuk yag memeuh d, < δ tetap T, T ε d Khususya, utuk δ terdapat maka berlaku d, Ddapat dega jelas < tetap T, T ε d tetap T tdak koverge ke T. Tmbul kotradks dega T T. Jad terbukt T kotu d. Berkut aka djelaska cotoh-cotoh ruag metrk legkap da ruag metrk tdak legkap. Utuk membuktka kelegkapa ruag metrk X, d dlakuka dega megambl sebarag barsa Cauchy dalam X da dtujukka bahwa koverge ke suatu X. Perumusa umumya sebaga berkut: Dbetuk eleme utuk dguaka sebaga lmt Dbuktka dalam X. Dbuktka dar metrk yag ddefska.

48 Cotoh.3.5 Ruag Eucld R adalah legkap. Bukt : Dketahu R merupaka ruag Eucld maka dapat ddefska d, y j ξ η ξ, ξ,, da η, η,, L ξ dmaa ξ j da y η j m m dtuls ξ, L ξ m sehgga berlaku, j j y L η R m. Dambl sebarag barsa Cauchy dalam R. Karea Cauchy maka utuk setap ε > ada N m, r j m m r ξ ξ < ε d j j, utuk semua m, r > N. Dega megkuadratka, maka ddapat utuk m, r > N da j, L, m r ξ ξ < ε I meujukka utuk setap m r j j da ξ j ξ j < ε j, ξ,,l merupaka barsa j ξ j Cauchy blaga real. Meurut Teorema.3.3, maka m j ξ ξ utuk m. j Megguaka buah lmt, dapat ddefska ξ,, L ξ. Dega jelas R. Dar utuk r berlaku d m, ε,

49 utuk semua m > N. I meujukka bahwa adalah lmt dar da terbukt kelegkapa dar R karea m dambl sebarag barsa Cauchy. m Cotoh.3.6 Ruag fugs [ a b] Bukt : Ambl sebarag m C, adalah legkap. barsa Cauchy dalam [ a b] dmaa utuk semua m, > N berlaku Dmaa J [ a, b] d m, sup m t t < ε * t J. Akbatya utuk sebarag t t J, C,. Maka utuk ε >, ada N m t t < ε utuk semua m, > N. I meujukka bahwa t,,l barsa t Cauchy dalam R. Karea R legkap maka m t utuk m. Dega t cara dapat dkatka setap t J dega tepat satu blaga real t. Hal medefska suatu fugs pada J. Selajutya aka dtujukka [ b] C a, da m. Dar * da ddapat sup m t J t t ε utuk m > N. Akbatya utuk setap t J berlaku, m t t ε

50 utuk m N. Ketaksamaa terakhr datas meujukka bahwa koverge meuju pada [ b] dtemuka δ > sehgga [ a b] m a,. Karea kotu berart jka dberka ε > dapat m t p ε m m bla m t p < δ utuk semua t, p, da dketahu koverge berart jka dber ε > ada N Ν, utuk semua m N berlaku t t ε m, utuk semua t [ a, b]. Jad utuk semua t t [ a, b],, t t t t t m m t t t t t m m < ε. Jad t t < ε bla t t p p t t p p t < δ t. I meujukka bahwa kotu pada [ a, b]. Akbatya, karea m kotu pada J da barsa m koverge, maka lmt kotu pada J. Jad C[ a, b] m. Maka terbukt ruag fugs C [ a, b] adalah legkap. da Berkut aka dberka ruag metrk tdak legkap Cotoh.3.7 Dketahu Q hmpua semua blaga rasoal. Barsa hampra utuk ; yatu,4l,4l,44l,44l,44; L koverge ke, tetap Q. Jad Q tdak legkap. Cotoh.3.8 Hmpua semua fugs kotu X pada [,] I da

51 , utuk setap, y C[,] d, y t y t dt Maka ruag metrk X adalah tdak legkap. Bukt : Dadaka X legkap. Aka dbuktka dega cotoh peyagkal. Gambar.3. Gambar.3. Fugs pada gambar.3. adalah barsa Cauchy karea d m, adalah m daerah segtga pada gambar.3., da dberka ε > d m, < ε dmaa m, > Aka dtujukka barsa Cauchy tdak koverge, ε Dketahu m t, utuk t,, m t, utuk t [ a m,], t m t utuk t, am am

52 dega a m. Utuk setap X berlaku m m d m, t t dt t am t dt t dt am t a m dt Karea fugs yag dtegralka tdak egatf, jad d m, da berakbat masg-masg dar tegral d ruas kaa medekat ol, maka ddapat m t, utuk t,, m t, utuk t,. Tetap tdak mugk utuk fugs kotu. Akbatya m tdak koverge karea m C[,]. Jad terbukt X tdak legkap. D. Ruag Topolog Defs.4. Dberka hmpua X /. X Koleks τ dsebut topolog pada X jka memeuh : / τ da X τ jka U τ da V τ maka U V τ jka U α τ utuk setap α I, maka { U :α α I } τ ; I adalah sebarag hmpua deks. U

53 Aggota τ dsebut hmpua terbuka. Defs.4. Ruag topolog adalah pasaga X,τ adalah topolog pada X., dega X adalah suatu hmpua da τ Cotoh.4. { a, b, c, d e} da {, X,{ a},{ c, d},{ a, c, d},{ b, c, d, e } X, X karea : / τ da X τ τ ruag topolog pada / jka U τ da V τ maka U V τ jka U α τ utuk setap I U U : I τ α, maka { α α } Semetara tu {, X,{}{ a, c, d},{ a, c, d},{ b, c, d } τ buka ruag topolog pada X / karea ada salah satu aksoma yag tdak terpeuh yatu : jka U τ da V τ maka V / τ V { b, c, d} τ maka U V { b} / τ U yatu utuk { c, d} τ U da Defs.4.3 Dketahu X,τ da,τ Y ruag topolog. Fugs f : X Y kotu d a X utuk setap persektara V dar f a terdapat persektara U dar a

54 sehgga f U V. Fugs f : X Y dkataka kotu jka f kotu d setap ttk aggota X. Defs.4.4 Dketahu X,τ da,τ Y ruag topolog. Fugs f : X Y dkataka homeomorfsma apabla f bjektf, f kotu, da f kotu. Ruag topolog X,τ da,τ Y dkataka homeomorfk jka terdapat homeomorfsma f : X Y. Sfat dar suatu hmpua yag dawetka oleh sebarag homeomorfsma dsebut sfat topolog topologcal property. Cotoh.4.3 Dambl XY dega τ sebarag topolog pada X. Dbetuk fugs f : X Y adalah fugs dettas. Karea f fugs dettas maka f bjektf, f kotu, da f kotu. Jad fugs f X Y : merupaka homeomorfsma

55 BAB III TEOREMA TITIK TETAP BANACH Salah satu betuk peerapa matematka adalah utuk meyelesaka suatu persamaa. Namu sebelum memecahka masalah persamaa, perlu dketahu terlebh dahulu apakah persamaa tersebut mempuya peyelesaa atau tdak. Berkut aka dberka fugs f dega varabel, f kotu pada terval tertutup [ b] maka persamaa f a, da jka f a da f b memlk tada yag berbeda, mempuya sedktya satu peyelesaa d dalam terval [ a, b]. Utuk meyelesaaka persamaa d atas dperluka Teorema Eksstes atau teorema yag mejam adaya suatu peyelesaa, serg dyataka dalam betuk prsp ttk tetap fed pot prcples. Sebaga cotoh, dperhatka persamaa f. Persamaa dtuls dalam betuk α f dega parameter postf α. Jka α f dyataka sebaga F dperoleh persamaa F...* Ttk dalam persamaa * dkeal sebaga ttk tetap. Oleh karea tu persamaa tersebut mempuya sedktya satu peyelesaa d dalam terval [ a, b]. Ide awal lahrya kosep ttk tetap, dmula kra-kra tahu 5 sebelum Maseh, d Mesopotama. Pertama kal mucul adalah masalah problem/p, yatu:

56 P a N Sebaga cotoh, jka a 4 maka. Setelah muculya masalah, kemuda drumuska masalah ttk tetap fed pot problem/fpp sebaga berkut : a FPP a Masalah ttk tetap d atas dselesaka dega successve substtuto/ss yag meghaslka appromate soluto/as. SS Aggap AS a, utuk,,,... Kemuda drumuska FPP yag lebh abstrak, yatu: f Ttk dalam persamaa d atas dkeal sebaga ttk tetap. Pada bab aka djelaska megea teorema ttk tetap Baach Baach Fed Pot Theorem. Sebelumya aka dbahas pegerta fugs kotraks cotracto mappg, kods Lpschtz Lpschtz codto, da ttk tetap fed pot dalam suatu ruag metrk. Selajutya aka dcar syarat cukup suatu fugs dar ruag metrk ke drya sedr mempuya ttk tetap.

57 . Ttk Tetap Fed Pot Pada subbab aka dbahas megea defs ttk tetap fed pot dalam suatu ruag metrk. Sebelumya aka dbahas pegerta fugs kotraks cotracto mappg da kods Lpschtz Lpschtz codto. Defs 3.. Dketahu X, d ruag metrk. Fugs F : X X dsebut fugs kotraks cotracto mappg pada X jka terdapat blaga real α dega α < sehgga d F, F α. d,, utuk setap, X. Cotoh 3.. Dberka fugs f : R R dega defs f 3 merupaka fugs kotraks pada R karea terdapat blaga real α dega α < sehgga f f y 3 y 3 y y y, yatuα. 3 3 Cotoh 3.. Dberka fugs f : R R dega defs f 5 buka fugs kotraks pada R karea f f y 5 5y 5 5y 5 y. Maka tdak ada < α < yag memeuh f f y α y.

58 Defs 3.. Dketahu X, d ruag metrk Fugs F : X X dkataka memeuh kods Lpschtz Lpschtz codto apabla terdapat blaga real postf α sehgga berlaku d F, F α. d, ; utuk setap, X. Fugs F demka dsebut Lpschtza da blaga real α dsebut kostata Lpschtz. Cotoh 3..3 Dberka fugs f : X X, X [,] dega defs f adalah fugs yag memeuh kods Lpschtz Lpschtz codto, yatu f y y y y y karea [,] f maks{, } maka utuk da y dalam [,]. f f y y dega kostata Lpschtz α. X berlaku Dar Defs 3.. da Defs 3.. terlhat bahwa setap fugs kotraks past memeuh kods Lpschtz dega kostata Lpschtz α <. Lema 3.. Dketahu X, d ruag metrk Jka F : X X fugs kotraks pada X maka F kotu pada X.

59 Bukt : Dberka ε > da sebarag ttk pada X. Jka d F, F < utuk setap X α, maka ε Jka α /, dambl. ε δ da sebarag ttk d X dega α d δ maka d F, F α. d, < α. ε., Jad F kotu d. Karea pegambla sebarag, maka terbukt bahwa F kotu pada X. ε α Selajutya dberka pegerta ttk tetap. Defs 3..4 Dketahu d X, ruag metrk, fugs F : X X da X. Ttk X dsebut sebaga ttk tetap fed pot dar fugs F jka berlaku F. Cotoh 3..4 Dberka A [, ] R da fugs f : A A dega atura 3 f, utuk setap A. Dperoleh bahwa da merupaka ttk tetap dar fugs f sebab A da f serta A da f. Tetap buka ttk tetap f sebab f. 8

60 Cotoh 3..5 Dberka A, R da fugs g : A A dega atura g, 3 utuk setap A. Fugs g tdak mempuya ttk tetap. Dadaka fugs g mempuya ttk tetap, sebut, berart g Dega kata la berlaku : Jad dperoleh ttk tetap fugs g adalah. Karea /, maka g tdak mempuya ttk tetap. Cotoh 3..6 Dketahu [, X dega fugs T : X X ddefska T. Aka dtujukka T adalah fugs kotraks sebaga berkut: y T T y y y y

61 y y y y y y y y y y y y y y karea [, X maka da y sehgga y < y > y > y < < y Karea < < y Maka T adalah fugs kotraks. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

62 Aka dcar ttk tetap utuk fugs T. T p p p p p p p p p p p p p p p p da p karea [, p maka p Uj la p merupaka ttk tetap utuk fugs T T 4 Jad terbukt bahwa p merupaka ttk tetap fugs T.

63 Cotoh 3..7 Dketahu X R, fugs f : R R dega defs f, y, y tdak mempuya ttk tetap. Bukt : Msalka f mempuya ttk tetap y f, y, y, y, y, R da y y Karea tdak terdapat da y yag memeuh maka f tdak mempuya ttk tetap. Cotoh 3..8 Dketahu X R, fugs, y, y f mempuya ttk tetap yatu: f, y, y, y, y da y y f : R R dega defs da y y Jad ttk tetap fugs d atas adalah,,,,, da, a. Dketahu A y {, R, y } R.

64 b. Dalam A, fugs f mempuya haya satu ttk tetap yatu, c. Dketahu B y {, R y } R Dalam B, fugs f tdak memlk ttk tetap.. Teorema berkut meyataka sfat ttk tetap yag dmlk oleh fugs kotu pada terval tertutup terbatas dalam R. Teorema 3.. Setap fugs kotu f [ a, b] [ a, b] yatu terdapat ttk [ a, b] Bukt : : mempuya palg sedkt satu ttk tetap, sehgga f. Dketahu f : [ a, b] [ a, b] kotu da f [ a, b], utuk setap [ a, b]. Jka f a a atau f b b maka terbukt f mempuya ttk tetap. Dpadag f a > a da f b < b. Dbetuk fugs g [ a, b] R : dega defs g f, utuk setap [ a, b]. Dperoleh g a a f a < da g b b f b >. Karea g a < < g b da g kotu maka meurut Teorema Nla Tegah Itermedate Value Theorem terdapat ttk [ a, b] Akbatya g f atau f. sehgga g.

65 Cotoh 3..9 Dketahu X [,3], ddefska fugs : [,3] [,3] f dega f 5. Maka meurut Teorema 3.. terjam bahwa f mempuya palg sedkt satu ttk tetap. Aka dcar ttk tetap fugs f yatu [,3] memeuh : f C C 5 C C 5 C C 5 C C C C 6 C 3 C C 3 atau C Uj la C merupaka ttk tetap utuk fugs f 5 f 3 53 f 5 f 3 3 f C yag Jad terbukt bahwa C da C 3 merupaka ttk tetap fugs f.. Teorema Ttk Tetap Baach Baach Fed Pot Theorem Berkut aka dberka Teorema Ttk Tetap Baach, bukt, beberapa cotoh serta tjauaya d dalam Ruag Topolog. Teorema memberka

66 syarat cukup suatu fugs dar suatu ruag metrk ke drya sedr mempuya ttk tetap. Teorema 3.. Teorema Ttk Tetap Baach Dberka X, d ruag metrk legkap. Setap fugs kotraks F : X X mempuya sebuah ttk tetap yag tuggal. Bukt : Karea F fugs kotraks pada X maka terdapat α R dega α sehgga d F, F α. d,, utuk setap, X. Meurut Lemma 3.., F kotu pada X. Utuk meetuka ttk tetap fugs F dguaka metode substtus beruruta successve substtuto dplh sebarag ttk X, selajutya dbetuk barsa Jad berlaku F dega F, N F F F F. 3 3 F F F F F 3 F F F M F F F F Secara duktf dperoleh F, utuk setap N. Notas F d s berart komposs fugs sebayak kal.

67 Aka dtujukka merupaka barsa Cauchy dalam X, utuk setap N ddapat dega α < : d, d F, F α d, α. d F, F. α d, α. d F, F α d, α. d F, F M α d,. Dega megguaka pertdaksamaa segtga dperoleh utuk setap m ;, m N : d m, d, d, K d, m m m m m m α d, α d, K α d, m m α α α K α d,, megguaka deret geometr m m α α d, α m α < d, α Betuk terakhr koverge ke utuk m dapat dbuat d m, sekecl mugk dega megambl la m cukup besar Hal megakbatka { } merupaka barsa Cauchy da oleh karea tu { } koverge ke suatu Kekotua F pada X megakbatka X sebab X ruag metrk legkap.

68 lm lm F F F lm. Jad F atau merupaka ttk tetap fugs F. Selajutya aka dbuktka bahwa ttk tersebut tuggal. Dadaka F y y, utuk suatu y X da y maka berlaku F, F y α. d, d, y d y. Karea α < da d, y maka haruslah d, y Jad y, dega kata la ttk tuggal. Cotoh 3.. Dalam Teorema Ttk Tetap Baach kelegkapa mejad hal yag utama. Apakah ruag metrk tak legkap memeuh krtera Teorema Ttk Tetap Baach? Tdak, sebaga cotoh peyagkal dambl ruag metrk tdak legkap X dega fugs f : X X dega defs f, jelas 5 yatu,] merupaka fugs kotraks pada X. Aka dbuktka tdak terdapat ttk tetap dalam ruag metrk tersebut. Adaka terdapat ttk tetap f p p 5 p p 4 5 p p X

69 Jad terbukt ruag metrk tdak legkap tdak memeuh krtera Teorema Ttk Tetap Baach. Cotoh 3.. Dalam Teorema Ttk Tetap Baach, utuk y maka d T, T y < α d, y. Dambl cotoh dalam ruag metrk [, X dega defs T. Aka dtujukka bahwa T adalah fugs kotraks da tdak memlk ttk tetap. Bukt: Aka dtujukka T fugs kotraks T T y y y y y y y y y y y y y y y y y < α y

70 Dega α, y X maka da y sehgga karea [, y < y > y < y maka < y Jad T fugs kotraks. Aka dtujukka T tdak memlk ttk tetap Dadaka T memlk ttk tetap T p p p p p...* p Tdak ada p yag memeuh *, jad T tdak memlk ttk tetap. Berkut aka dberka cotoh megea art geometr dar fugs kotraks da ttk tetap.

71 Cotoh 3..3 Dketahu sebarag fugs f : X X fugs kotraks jka utuk semua, F α, F dmaa α <. Pertdaksamaa dsebut kods Lpschtz dega kostata Lpschtz α dar fugs F, da F dsebut sebaga Lpschtza pada X. Peryataa d atas dapat dtuls sebaga : F F α Secara geometrs F F berart grade fugs F. Jka dgambar pada grafk maka F terbatas dega la mutlak α <. Pada umumya, jka F terdferesal dega F α utuk semua. Akbatya fugs terdferesal F pada X adalah fugs kotraks jka da haya jka F α < utuk semua. Secara sederhaa Teorema Ttk Tetap Baach dapat djelaska secara geometr dalam gambar d bawah.

72 Gambar 3.. Cotoh 3..4 Dketahu fugs F : X X dega defs F. Cukup jelas bahwa F adalah fugs kotraks, oleh karea tu mempuya ttk tetap tuggal. Secara geometrk, la adalah ttk potog grafk fugs dega gars y sebaga maa dapat dlhat pada gambar berkut :

73 Jka dbetuk barsa { } F M F F 3 F 3 4 F Gambar 3.. dega da F, aka ddapat :

74 Barsa { } koverge ke, sebab lm lm lm.l lm l Berkut aka dberka pembahasa megea akbat dar Teorema Ttk Tetap Baach Baach Fed Pot Theorem. Akbat 3.. Msalka I [ a b] R, da f : I I fugs terdferesal d setap ttk dalam I dega f k, <k<, utuk setap I maka terdapat dega tuggal ttk I sehgga f. Bukt : Dketahu f terdferesal d setap ttk dalam I da f k, <k<, utuk setap I. Teorema Nla Rata-Rata Lagrage Lagrage s Mea Value Theorem megakbatka f b f a b a k f b f a k b a, utuk setap a, b I. Dega kata la f merupaka fugs kotraks. Karea R legkap, meurut Teorema 3.. d atas terbukt terdapat dega tuggal I sehgga f.

75 Akbat 3.. Pada Teorema 3.., barsa tetap tuggal X dar F. dega sebarag X koverge ke ttk Terkat dega tgkat atau laju koverges dar barsa hampra ttk tetap tersebut, perkraa kesalaha Error Estmate adalah perkraa awal Pror Estmate yatu d m α, d,...* α m da perkraa akhr Posteror Estmate yatu α d m, d m, m α...** Bukt : m α Dar bukt Teorema 3.. dperoleh d m, d, K > m α Dega megambl dperoleh *. Selajutya, dar * dega megambl m, y da y dperoleh d α y, d y, y. α Dplh y m, berakbat y F y m da dperoleh **. Batas kesalaha awal Pror Error Boud dapat dguaka pada awal perhtuga jumlah lagkah yag dperluka utuk mecapa akuras yag dberka.

76 Semetara Batas kesalaha akhr Posteror Error Boud dapat dguaka pada tahap pertegaha atau pada akhr dar suatu perhtuga. Perhtuga tersebut sekurag-kuragya aka memlk akuras sama dega * atau bahka lebh bak. Dalam Teorema selajutya aka dbahas teorema yag meyataka bahwa jka fugs komposs ttk tetap tuggal utuk fugs F. m F mempuya sebuah ttk tetap maka juga merupaka Teorema 3.. Dberka d Jka fugs X, ruag metrk legkap da fugs F : X X. m F mempuya sebuah ttk tetap tuggal utuk suatu m N maka juga merupaka ttk tetap tuggal utuk fugs F. Bukt : - Utuk m, jelas. - Utuk m> Karea merupaka ttk tetap utuk fugs m F maka F m. m m Jad F F F F F. Jad F adalah sebuah ttk tetap utuk m F da karea ttk tetap m F tuggal maka berakbat F. Karea setap ttk tetap utuk F juga merupaka ttk tetap utuk m F maka merupaka ttk tetap tuggal utuk F.

77 Dar Teorema 3.. da Teorema 3.. dapat dturuka akbat berkut : Akbat 3..3 Dberka d X, ruag metrk legkap da fugs F : X X. Jka m F merupaka suatu fugs kotraks utuk suatu m N maka F mempuya sebuah ttk tetap yag tuggal. Bukt : Dketahu m F merupaka suatu fugs kotraks utuk suatu m N, meurut Teorema 3.. Teorema Ttk Tetap Baach maka m F mempuya ttk tetap yag tuggal. Karea m F mempuya ttk tetap yag tuggal meurut Teorema 3.. maka F mempuya sebuah ttk tetap yag tuggal. Sergkal terjad bahwa fugs F buka merupaka fugs kotraks pada seluruh ruag metrk X tetap haya pada hmpua baga Y dar X. Teorema berkut memberka pembatasa doma fugs pada ruag metrkya. Teorema 3..3 Dberka d X, ruag metrk legkap da fugs F : X X. Jka F adalah fugs kotraks pada sebuah bola tertutup { X d, r}, > Y r da berlaku d, F < r maka barsa α yag ddefska dega F utuk setap N koverge ke suatu Y. Ds merupaka ttk tetap tuggal fugs F pada Y.

78 Bukt : Aka dtujukka bahwa utuk setap m, m sebagamaa berada d Y. m α Dar bukt Teorema Ttk Tetap Baach dperoleh d m, d,. α Dambl m da meukar peraa dega m ddapat d, m d,. α d maka dperoleh d, m d, < r. α Karea, d, F Jad m Y utuk setap m. Karea m da Y tertutup dperoleh Y. Peegasa dar teorema merupaka akbat lagsug dar bukt teorema ttk tetap Baach. Cotoh 3..5 Padag R sebaga ruag metrk dega metrk basa Usual Metrc yatu metrk Eucld da fugs F : R R ddefska sebaga berkut : F a a a a b, utuk setap b. R Dega megguaka pertdaksamaa Cauchy Schwarz hal 9 dperoleh d F, F y a a a a d, y Dtjau harus : a Jka a a a < maka berakbat F merupaka fugs kotraks. Msalya, dberka fugs F : R R dega atura sebaga berkut :

79 * F, utuk setap R atau * F, utuk setap R Dar s, < atau * F merupaka fugs kotraks. Karea R legkap maka meurut Teorema 3.. terjam bahwa terdapat dega tuggal ttk tetap R α α α sedemka hgga berlaku * * α α α α α F F Selajutya aka dcar ttk tetap tersebut * α α α α F α α α α α α Dperoleh sstem persamaa α α α α yag memberka 84 α da 9 α Jad 9 84 α adalah ttk tetap tuggal fugs * F pada R. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

80 * Uj la α merupaka ttk tetap utuk fugs F * F Jad terbukt bahwa α merupaka ttk tetap fugs * F Defs 3.. Dberka X, d ruag metrk Ruag X dkataka mempuya sfat ttk tetap Fed Pot Property jka setap fugs kotu F : X X mempuya ttk tetap, yatu terdapat X sehgga F. Berkut aka dbcaraka secara sgkat sfat ttk tetap dalam ruag topolog. Sepert halya kekompakka Compactess da keterhubuga Coectedess teryata sfat ttk tetap juga merupaka suatu sfat topolog, yatu dawetka oleh setap homeomorfsma pada ruag topolog tersebut. Teorema 3..4 Sfat ttk tetap merupaka suatu sfat topolog.

81 Bukt : Msalya dketahu X,τ merupaka sebuah ruag topolog yag mempuya sfat ttk tetap da msalka Y,τ ruag topolog yag homeomorfk dega,τ X. Jad terdapat homeomorfsma φ : X Y. Aka dtujukka Y,τ mempuya sfat ttk tetap. Dambl sebarag fugs kotu f : Y Y. Karea φ suatu homeomorfsma maka φ da φ kotu meurut defs homeomorfsma. Hal berakbat komposs fugs-fugs kotu φ o f oφ : X X juga kotu. Dketahu,τ φ f oφ X mempuya sfat ttk tetap, berart terdapat X sehgga o. Dperhatka bahwa Sehgga dperoleh: f oφ φ oφ o f oφ sebab φ o φ, yatu fugs dettas f φ φ oφ o f oφ φ φ f φ φ o o Sebut φ y, utuk suatu y Y. Jad fugs kotu f mempuya ttk tetap, yatu y. Jad ruag topolog Y,τ mempuya sfat ttk tetap.

82 BAB IV PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP BANACH Teorema Ttk Tetap Baach mempuya peraa petg dalam berbaga bdag matematka terapa dataraya utuk metode teras dalam peyelesaa sstem persamaa lear, yatu memberka syarat cukup utuk koverges da batas kesalahaya. Dalam kalkulus, ttk tetap merupaka ttk potog suatu kurva dega gars y, semetara d dalam aljabar lear, ttk tetap mucul sebaga vektor ege yag berkorespodes dega la ege λ. Pada lmu komputer, teor Ttk Tetap berpera dalam mejam bahwa objek-objek yag terdefs secara rekursf tdak membetuk loop yag tak terhgga. Sedagka dalam lmu ekoom, ttk tetap dpaka dalam meetuka kesetmbaga pasar. D s aka dbahas satu peerapa Ttk Tetap Baach yatu dalam bdag persamaa dferesal. Beberapa aplkas yag cukup meark dar Teorema Ttk Tetap Baach adalah berhubuga dega Ruag Fugs. Teorema Ttk Tetap Baach memberka jama eksstes da ketuggala utuk peyelesaa persamaa dferesal.

83 4.. Peerapa Teorema Ttk Tetap Baach Pada Peyelesaa Persamaa Dferesal Orde Satu dy f, y. d Pada Subbab aka dbahas peerapa Teorema Ttk Tetap Baach utuk membuktka Teorema Eksstes da Ketuggala dar peyelesaa suatu persamaa dferesal. Msalka D hmpua dalam R da fugs f : D R kotu, aka dseldk pecara peyelesaa dar persamaa dferesal orde satu dy f, y d d dalam D dega megguaka Teorema Ttk Tetap Baach. Defs 4.. Msalka P, y sebuah ttk d dalam D. Sebuah fugs y ϕ adalah peyelesaa dar Masalah Nla Awal Ital Value Problem dy d y f, y y jka da haya jka ϕ f, ϕ utuk dalam suatu terval I { h h} awal y ϕ. da jka ϕ memeuh syarat Aka dtujukka bahwa jka f memeuh beberapa kods tertetu, peyelesaa dar masalah la awal tersebut ada da tuggal. Dega

84 megguaka Teorema Ttk Tetap Baach maka peyelesaa tersebut selalu dapat dcar dega tekk teras. Defs 4.. Dketahu X ruag metrk, f : X R da g : X R adalah fugs kotu terbatas pada X. Ddefska jarak f da g sebaga d f, g sup f g X Teorema 4.. Dketahu X ruag metrk da CX ruag metrk dar fugs kotu terbatas pada X serta f barsa fugs dega CX f, utuk setap. Barsa f koverge ke fugs f dalam CX jka da haya jka barsa f koverge seragam ke fugs f pada X. Bukt: Msalka dketahu barsa f koverge ke fugs f dalam CX maka d f, f utuk. Dega kata la utuk setap ε > terdapat N sehgga f f ε, utuk setap da utuk setap X, sehgga sup f f ε, utuk semua, yatu X f koverge seragam ke fugs f pada X.

85 Msalka dketahu f koverge seragam ke fugs f pada X berart utuk setap ε > terdapat N sehgga f f ε, utuk setap da utuk setap X maka sup f f ε, utuk semua. X Dega kata la d f, f jka fugs f dalam CX., yatu barsa f koverge ke Berkut dberka krtera Cauchy utuk kekovergea seragam fugs Teorema 4.. Dketahu f adalah barsa fugs dalam E, aka koverge seragam dalam E jka da haya jka utuk setap ε > terdapat N dmaa m, N, E berlaku Bukt : f f ε...* Dketahu f koverge seragam dalam E, da dketahu f merupaka fugs lmt. Terdapat N dmaa Oleh karea tu N, E berlaku ε f f m, f f f f f f m m ε Jka m, N, E.

86 Dketahu kods Cauchy terpeuh. Barsa { f } yag koverge, la lmt dar setap adalah f da barsa { } dbuktka barsa { f } yag koverge tersebut seragam. f koverge dalam E ke f. Aka Ambl ε > da plh N yag memeuh kods *, aggap tetap da m. Karea f m f utuk m, maka f m f ε, utuk setap m N da E. Selajutya aka dberka teorema yag bergua dalam pembukta Teorema Eksstes da Ketuggala peyelesaa persamaa dferesal. Teorema 4..3 Jka X sebarag ruag metrk maka ruag metrk CX legkap. Bukt: Dketahu { } f adalah barsa Cauchy dalam CX. I berart utuk setap ε > terdapat blaga asl N sehgga d f, f < ε utuk setap m, N Meurut m Teorema 4.. terdapat fugs f dega doma X sehgga { f } adalah koverge seragam ke f. Jad f kotu yag berart f terbatas sebab terdapat sehgga f f <, utuk semua X da f terbatas. Dega Demka f CX da karea f f seragam pada X, maka dperoleh d f, f m utuk.

87 Lemma 4.. Dketahu fugs f : D R kotu, ddefska fugs kotu ϕ pada { h h} I ke R dega ϕ y utuk suatu, y D. Fugs ϕ merupaka peyelesaa dar persamaa dferesal dy d f, y f, ϕ pada I jka da haya jka ϕ memeuh persamaa tegral f y f, ϕ d. Bukt : dy Dega megtegralka f, ϕ d atara da dega syarat d y y, selajutya Teorema Fudametal Kalkulus memberka persamaa tegral yag dberka yatu : dy d d dy dy f f f, y d f y f y f, y d f y f, ϕ d

88 Teorema 4..4 Teorema Eksstes da Ketuggala Dberka segempat S {, y h y y k},, f, y M utuk suatu M>. Fugs f : S R kotu da memeuh Kods Lpschtz terhadap y, dambl tetap, yatu f, y f, y α y y, utuk semua, y da, y S. Jka Mh k da α h < maka terdapat dega tuggal fugs terdferesal kotu ϕ pada I { h h} dy d f, ϕ. yag memeuh ϕ y, da -a,b a,b R t -a,-b a,-b Gambar 4.. Bukt : Meurut Lemma 4.. cukup dcar peyelesaa dar persamaa tegral ϕ y f t, ϕ t dt dega ϕ y k, utuk setap I.

89 Msalka CI adalah ruag metrk dar fugs kotu terbatas pada I da E CI dmaa berlaku ϕ y k, utuk setap I. Jka { } ϕ barsa fugs pada E yag koverge ke fugs ϕ C maka I ketaksamaa ϕ y ϕ ϕ ϕ y meujukka bahwa ϕ juga berada d E. Sehgga E adalah hmpua baga tertutup dar C I da meurut Teorema.3.5, E merupaka ruag metrk legkap. Ddefska fugs F pada E dega atura F ϕ ψ dmaa ψ y f t, ϕ t dt, ϕ E. Dperoleh : ϕ y f t, t dt M < Mh k ϕ, utuk setap sehgga F ϕ ψ berada d E da fugs F memetaka ruag metrk E ke drya sedr. Sekarag aka dtujukka bahwa F adalah fugs kotraks. Msalka ϕ E dega ψ F da ψ F maka,ϕ ϕ ψ ψ f t, ϕ t dt f t, ϕ t dt ϕ { f t, ϕ t f t, t } ϕ dt α ϕ t ϕ t dt α supϕ t ϕ t. t I αh. d ϕ ϕ,

90 Oleh karea tu ψ, ψ αh. d ϕ ϕ d, α h <, Terbukt bahwa F adalah fugs kotraks da selajutya dega megguaka Teorema Ttk Tetap Baach dperoleh bahwa fugs F mempuya ttk tetap tuggal. Dega kata la persamaa tegral ϕ y f t, ϕ t dt mempuya sebuah peyelesaa tuggal. Teorema serg kal dsebut sebaga Teorema Eksstes da Ketuggala Pcard. Teorema dapat dguaka utuk medapatka barsa pedekata d yag koverge ke peyelesaa dar ϕ f, ϕ, ϕ y d Proses hampra dmula dega fugs kosta ϕ y. Selajutya, ϕ y f t, y dt ϕ y f t, ϕ t dt M ϕ y f t, ϕ t dt Tekk hampra dkeal dega Metode Hampra Beruruta Successve Appromato Method. Berkut aka dberka beberapa cotoh peerapa Teorema Eksstes da Ketuggala Pcard.

91 Cotoh 4.. dϕ Aka dselesaka masalah la awal ϕ, ϕ d Dega tekk d atas ddapat barsa : ϕ ϕ dt ϕ M t dt t t ϕ t K dt K.3. K! Jelas tampak bahwa { ϕ } koverge ke peyelesaa tersebut karea ϕ merupaka polomal MacLaur dar ϕ e masalah la awal e. Lemma 4.. Test M-Weerstrass Dketahu a merupaka barsa dar fugs k S R ke m R da M merupaka barsa blaga real sehgga a a S sup M utuk semua a S. Jka Bukt : M koverge maka a koverge seragam dalam S. Utuk setap S, barsa a koverge seragam karea

92 < < M a a Kemuda aka djumlahka. Dmsalka a f. Maka utuk setap S, k k k k k M a a a a f. Haslya tdak tergatug pada. Kemuda lm lm k k k k k M a f Oleh karea tu, suku-suku aka koverge seragam ke f. Cotoh 4.. Aka dselesaka masalah la awal f f, [ ],, f Pertama masalah la awal dubah ke persamaa tegral. f dt t f t dt t f, dega [ ], C f. Ddefska fugs T dalam [ ], C yag memetaka f mejad f T dega atura dt t f f T. Peyelesaa dar persamaa tegral adalah ttk tetap dar T. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

93 Meurut Teorema Ttk Tetap Baach, aka dbuktka bahwa T fugs kotraks. g T f T dt t g t f dt t g t f dt g f d,, g f d dt, g f d Maka, g T f T d, g f d Jad T adalah fugs kotraks. Meurut Teorema Eksstes da Ketuggala, terdapat ttk tetap f yag tuggal yag merupaka peyelesaa persamaa dferesal tersebut. Lebh lajut utuk sebarag barsa fugs f da f f T aka koverge ke f dalam [ ], C. Sebaga cotoh dambl f fugs kosta satu yatu f. Maka, dt f T f 3 6 dt f T f dt f T f PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

94 Secara umum dega megguaka duks matematka aka ddapat 3! 4! 5! f L! Tampak bahwa barsa terdr dar jumlah parsal suatu barsa tak hgga. Suku baru yag dtambahka pada lagkah ke- adalah!, yag maa memlk orma maksmum sup pada [, ]!!! Oleh karea tu deret kuasa aka koverge seragam dalam [, ] Test M-Weerstrass. Aka ddapatka. meurut f k k! k e I meujukka d atas, e merupaka peyelesaa tuggal dar persamaa tegral Jelas bahwa e e e da e yag berart bear bahwa f e memeuh masalah la awal tersebut. Terakhr aka dperkealka secara sgkat megea perluasa peyelesaa persamaa dferesal, yag atya dapat djadka baha skrps seterusya. Jka f terdefs dalam hmpua terbuka D dalam R da M, M dar Teorema Eksstes da Ketuggala Pcard mecakup utuk semua D, maka peyelesaa ϕ dapat dbetuk beberapa seg empat d dalam D. Pada pembukta

BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real.

BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real. BAB 5 BARIAN DAN DERET KOMPLEK ecara eses, pembahasa tetag barsa da deret komlpeks sama dega barsa da deret real. 5. Barsa Barsa merupaka sebuah fugs dega doma berupa hmpua blaga asl N. ebuah barsa kompleks

Lebih terperinci

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER TUGAS ATA KULIAH TEORI RING LANJUT ODUL NOETHER Da Aresta Yuwagsh (/364/PPA/03489) Sebelumya, telah dketahu bahwa sebaga rg dega eleme satua memeuh sfat rata ak utuk deal-deal d. Apabla dpadag sebaga modul,

Lebih terperinci

KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.

KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat. KALKULUS LANJUT Pertemua ke-4 Rey Ra Marlaa, S.S.,M.Stat. Plot Mater Notas Jumlah & Sgma Itegral Tetu Jumlah Rema Pedahulua Luas Notas Jumlah & Sgma Purcell, et all. (page 226,2003): Sebuah fugs yag daerah

Lebih terperinci

NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS

NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS NORM VEKTOR DN NORM MTRIK umaag Muhtar Gozal UNIVERIT PENDIDIKN INDONEI. Pedahulua Jka kta membcaraka topk ruag vektor maka cotoh sederhaa yag dapat kta ambl adalah ruag Eucld R. D ruag kta medefska pajag

Lebih terperinci

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Ruag Baach Sumaag Muhtar Gozal UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Satu kose etg d kulah Aalss ugsoal adalah teor ruag Baach. Pada baga aka drevu defs, cotoh-cotoh, serta sfat-sfat etg ruag Baach. Kta aka

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS

SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Bulet Ilmah Mat. Stat. da Terapaya (Bmaster) Volume 03, No. 2(204), hal 35 42. SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Suhard, Helm, Yudar INTISARI Fugs terbatas merupaka fugs yag memlk batas atas da batas

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema II. LANDAAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teoremateorema ag medukug utuk pembahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorema tersebut dtulska sebaga berkut.. Teorema Proeks Teorema

Lebih terperinci

BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU

BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SAU Pada baga sebelumya, kta telah membahas peerapa metoda Ruge-Kutta orde 4 utuk meyelesaka masalah la awal dar persamaa dferesal basa orde. Pada bab, kta aka melakuka

Lebih terperinci

I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu

I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu METODE FUNGS QUAS-FED SATU ARAMETER UNTUK MENYEESAKAN MASAAH ROGRAM NTEGER TAK NEAR Ra Hardyat (M4) ABSTRAK Dalam kehdupa sehar-har serg djumpa masalah optmas yag membutuhka hasl teger Masalah tersebut

Lebih terperinci

PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM

PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM 1 Megetahu perhtuga persamaa regres ler Meggambarka persamaa regres ler ke dalam dagram pecar TEORI PENUNJANG Persamaa Regres adalah persamaa matematka

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai

BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai BAB LANDASAN TEORI. Kosep Dasar Aalss Regres Aalss regres regressso aalyss merupaka suatu tekk utuk membagu persamaa da megguaka persamaa tersebut utuk membuat perkraa predcto. Dega demka, aalss regres

Lebih terperinci

PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan

PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan Aalsa Numerk Baha Matrkulas PENDAHULUAN Metode umerk merupaka suatu tekk atau cara utuk megaalsa da meyelesaka masalah masalah d dalam bdag rekayasa tekk da sa dega megguaka operas perhtuga matematk Masalah-masalah

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu.

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu. BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa yag varabel bebasya ( berpagkat palg tgg satu. Utuk regres ler sederhaa, regres ler haya melbatka dua varabel ( da. Persamaa regresya dapat dtulska

Lebih terperinci

BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah

BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah BAB III INEGRAL RIEMANN-SIELJES. Pedahulua Pada Bab, telah dsggug bahwa ukura meghtug merupaka salah satu pedekata utuk membetuk proses ttk. Berkata dega masalah perhtuga, ada hal meark yag perlu amat,

Lebih terperinci

BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI

BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI BB 6 PRINSIP INKLUSI DN EKSKLUSI Pada baga aka ddskuska topk berkutya yatu eumeras yag damaka Prsp Iklus da Eksklus. Kosep dalam bab merupaka perluasa de dalam Dagram Ve beserta oepras rsa da gabuga, amu

Lebih terperinci

MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA

MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA Masalah Norm Mmum (Karat) MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA Karat da Dhorva Urwatul Wutsqa Jurusa Peddka Matematka FMIPA Uverstas Neger Yogakarta Abstract I ths paper, wll be dscussed

Lebih terperinci

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI MINGGU KE-0 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI Hubuga atar koverges Hrark atar koverges dyataka dalam teorema berkut. Teorema Msalka X da X, X, X 3,... adalah varabel radom yag ddefska pada ruag probabltas yag

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa merupaka baga regres yag mecakup hubuga ler satu peubah acak tak bebas dega satu peubah bebas. Hubuga ler da dar satu populas dsebut gars regres

Lebih terperinci

INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS SKRIPSI

INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS SKRIPSI INTGRAL LBSGU PADA FUNGSI TRBATAS SKRIPSI Dajuka Kepada Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Neger Yogyakarta utuk memeuh sebaga persyarata gua memperoleh gelar Sarjaa Sas Dsusu Oleh : Fauzah

Lebih terperinci

SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN

SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Program Stud S1 Tekk Iformatka Fakultas Iformatka, Telkom Uversty SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Matematka Dskrt (MUG2A3) Halama 1 dar 6 Soal 1 Tetukalah eleme-eleme dar hmpua berkut! 2 x x adalah blaga real

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk menganalisis aproksimasi fungsi dengan metode

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk menganalisis aproksimasi fungsi dengan metode II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses peelta utuk megaalss aproksmas fugs dega metode mmum orm pada ruag hlbert C[ab] (Stud kasus: fugs rasoal) peuls megguaka defs teorema da kosep dasar sebaga berkut:.. Aproksmas

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu BAB II LADASA TEORI Dalam pegambla sampel dar suatu populas, dperluka suatu tekk pegambla sampel yag tepat sesua dega keadaa populas tersebut. Sehgga sampel yag dperoleh adalah sampel yag dapat mewakl

Lebih terperinci

MATEMATIKA INTEGRAL RIEMANN

MATEMATIKA INTEGRAL RIEMANN MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Ses NGAN INTEGRAL RIEMANN A. NOTASI SIGMA a. Defs Notas Sgma Sgma (Σ) adalah otas matematka megguaka smbol yag mewakl pejumlaha da beberapa suku yag memlk

Lebih terperinci

Extra 4 Pengantar Teori Modul

Extra 4 Pengantar Teori Modul Extra 4 Pegatar Teor odul Apabla selama dkealka suatu kosep aljabar megea ruag vektor, maka modul merupaka perumuma dar ruag vektor. Pada modul, syarat skalar dperumum mejad eleme pada suatu rg da buka

Lebih terperinci

BAB 2. Tinjauan Teoritis

BAB 2. Tinjauan Teoritis BAB Tjaua Teorts.1 Regres Lear Sederhaa Regres lear adalah alat statstk yag dperguaka utuk megetahu pegaruh atara satu atau beberapa varabel terhadap satu buah varabel. Varabel yag mempegaruh serg dsebut

Lebih terperinci

BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam

BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL 3. Pegerta Masalah regres vers dega betuk lear dapat djumpa dalam berbaga bdag kehdupa, dataraya dalam bdag ekoom, kesehata, fska, kma

Lebih terperinci

BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP

BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP Msal dguaka kode ler C[, k, d] dega matrks pembagu G da matrks cek partas H. Sebuah blok formas x = x 1 x 2 x k, x = 0 atau 1, yag aka dkrm terlebh

Lebih terperinci

Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu

Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu KORELASI 1 D dua kta tdak dapat hdup sedr, tetap memerluka hubuga dega orag la. Hubuga tu pada umumya dlakuka dega maksud tertetu sepert medapat kergaa pajak, memperoleh kredt, memjam uag, serta mta pertologa/batua

Lebih terperinci

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK MODUL 4 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK. Pedahulua Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu persoala, bak megea sampel atau pu

Lebih terperinci

ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS

ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS LGORITM MENENTUKN HIMPUNN TERBESR DRI SUTU MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Rata Novtasar Program Stud Matematka FMIP UNDIP JlProfSoedarto SH Semarag 575 bstract Ths research dscussed about how to obtaed

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Dalam pemodela program ler, semua parameter yag dguaka dalam model dasumska dapat dketahu secara past. Parameter-parameter terdr dar koefse batasa ( ) a, la kuattas batasa

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teorema-teorema

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teorema-teorema II. LANDASAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teorea-teorea ag edukug utuk pebahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorea tersebut dtulska sebaga berkut... Teorea Proeks Teorea proeks

Lebih terperinci

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 11-19, Aprl 004, ISSN : 1410-8518 TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM Sudaro Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstrak Sstem yag dbetuk

Lebih terperinci

* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES

* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES * PENYAJIAN DATA Secara umum, ada dua cara peyaja data, yatu : 1. Tabel atau daftar. Grafk atau dagram Macam-macam daftar yag dkeal : a. Daftar bars kolom b. Daftar kotges c. Daftar dstrbus frekues Sedagka

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Sampa saat, model Regres da model Aalss Varas telah dpadag sebaga dua hal ag tdak berkata. Meskpu merupaka pedekata ag umum dalam meeragka kedua cara pada taraf permulaa,

Lebih terperinci

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL A-12 Sswato 1, Ar Suparwato 2, M Ady Rudhto 3 1 Mahasswa S3 Matematka FMIPA UGM da Staff Pegajar FMIPA UNS Surakarta,

Lebih terperinci

On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals

On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals JMP : Volume 4 Nomor, Ju 202, hal. 3-39 O A Geeralzed Köthe-Toepltz Duals Sumardoo, Supama 2, da Soepara Darmawaa 3 PPPPTK Matematka, smrd2007@gmal.com 2 Mathematcs Departmet, Gadah Mada Uverst, supama@ugm.ac.d

Lebih terperinci

Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc &

Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc & Notas Sgma Fadjar Shadq, M.App.Sc (fadjar_pg@yahoo.com & www.fadjarpg.wordpress.com Notas sgma memag jarag djumpa dalam kehdupa sehar-har, tetap otas tersebut aka bayak djumpa pada baga matematka yag la,

Lebih terperinci

Orbit Fraktal Himpunan Julia

Orbit Fraktal Himpunan Julia Vol. 3, No., 6-7, Jauar 7 Orbt Fraktal Hmpua Jula Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa Abstrak Makalah membahas kumpula ttk-ttk yag berada dalam daerah hmpua Jula d ruag kompleks da memperlhatka sebuah algortma

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam. pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1).

BAB II LANDASAN TEORI. merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam. pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1). BAB II LANDASAN EORI.. Model Matematka Model Matematka merupaka represetas matematka yag dhaslka dar pemodela Matematka. Pemodela Matematka merupaka suatu proses merepresetaska da mejelaska permasalaha

Lebih terperinci

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI I PENDAHULUAN 11 Latar Belakag Peelta yag dlakuka oleh Va der Pol pada sebuah tabug trode tertutup, yatu sebuah alat yag dguaka utuk megedalka arus lstrk dalam suatu srkut pada trasmtter da recever meghaslka

Lebih terperinci

S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih

S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih S2 MP Oleh ; N. Setyagsh MATERI PERTEMUAN 1-3 (1)Pedahulua pera statstka dalam peelta ; (2)Peyaja data : dalam betuk (a) tabel da (b) dagram; (3) ukura tedes setaral da ukura peympaga (4)dstrbus ormal

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel BAB I PENDAHULUAN 1.1 Statstka Deskrptf da Statstka Iferesal Dewasa d berbaga bdag lmu da kehdupa utuk memaham/megetahu sesuatu dperluka dat Sebaga cotoh utuk megetahu berapa bayak rakyat Idoesa yag memerluka

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 1 Pegerta Regres Istlah regres pertama kal dperkealka oleh Fracs Galto Meurut Galto, aalss regres berkeaa dega stud ketergatuga dar suatu varabel yag dsebut tak bebas depedet varable,

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO w PADA BEBERAPA GRAF EULER

PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO w PADA BEBERAPA GRAF EULER PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO PADA BEBERAPA GRAF EULER Isa 1, Luca Ratasar, R. Heru Tjahjaa 3 1,,3 Jurusa Matematka, Fakultas Sas da Matematka, Uverstas Dpoegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalag,

Lebih terperinci

POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA

POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA MODUL KULIAH ILMU UKUR TANAH POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA Pegerta : peetua azmuth awal da akhr, peetuat kesalaha peutup sudut,koreks sudut, kesalaha lear da koreks lear kearah sumbu X da Y, Peetua

Lebih terperinci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari: 5 Mamum Lkelhood Estmato Defs Fugs Lkelhood Msalka X, X,, X adalah eubah acak d dega fugs massa eluag ( ; θ, dega θ dasumska skalar da tdak dketahu, maka rosedur fugs lkelhood daat dtulska sebaga berkut

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis regresi adalah suatu proses memperkirakan secara sistematis tentang apa yang paling

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis regresi adalah suatu proses memperkirakan secara sistematis tentang apa yang paling BAB LANDASAN TEORI Kosep Dasar Aalss Regres Aalss regres adalah suatu proses memperkraka secara sstemats tetag apa yag palg mugk terjad dmasa yag aka datag berdasarka formas yag sekarag dmlk agar memperkecl

Lebih terperinci

EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL LEBESGUE SKRIPSI OLEH ANING ROYATUL KHURIYAH NIM

EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL LEBESGUE SKRIPSI OLEH ANING ROYATUL KHURIYAH NIM EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL LEBESGUE SKRIPSI OLEH ANING ROYATUL KHURIYAH NIM. 0960036 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

Lebih terperinci

PRAKTIKUM 5 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel

PRAKTIKUM 5 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel Praktkum 5 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel PRAKTIKUM 5 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel Tujua : Mempelajar metode Secat dega modfkas tabel utuk peelesaa

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Pedahulua Sebelum membahas megea prosedur peguja hpotess, terlebh dahulu aka djelaska beberapa teor da metode yag meujag utuk mempermudah pembahasa. Adapu teor da metode tersebut

Lebih terperinci

ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF

ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF KELOMPOK A I GUSTI BAGUS HADI WIDHINUGRAHA (0860500) NI PUTU SINTYA DEWI (0860507) LUH GEDE PUTRI SUARDANI (0860508) I PUTU INDRA MAHENDRA PRIYADI (0860500)

Lebih terperinci

2.2.3 Ukuran Dispersi

2.2.3 Ukuran Dispersi 3 Ukura Dspers Yag aka dbahas ds adalah smpaga baku da varas karea dua ukura dspers yag palg serg dguaka Hubuga atara smpaga baku dega varas adalah Varas = Kuadrat dar Smpaga baku otas yag umum dguaka

Lebih terperinci

REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL

REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL Rzky Maulaa Nugraha Tekk Iformatka Isttut Tekolog Badug Blok Sumurwed I RT/RW 4/, Haurgeuls, Idramayu, 4564 e-mal: laa_cfre@yahoo.com ABSTRAK

Lebih terperinci

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran Kurkulum 013/006 matematka K e l a s XI STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN Tujua Pembelajara Setelah mempelajar mater, kamu dharapka memlk kemampua berkut. 1. Dapat meetuka rata-rata data tuggal da data berkelompok..

Lebih terperinci

BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI

BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI Tujua utama aalss regres adalah mecar ada tdakya hubuga ler atara dua varabel: Varabel bebas (X), yatu varabel yag mempegaruh Varabel terkat (Y), yatu varabel yag dpegaruh

Lebih terperinci

BAB IX PENGGUNAAN STATISTIK DALAM SIMULASI

BAB IX PENGGUNAAN STATISTIK DALAM SIMULASI BAB IX PENGGUNAAN STATISTIK DALAM SIMULASI 9.1. Dstrbus Kotu Dstrbus memlk sfat kotu dmaa data yag damat berjala secara kesambuga da tdak terputus. Maksudya adalah bahwa data yag damat tersebut tergatug

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Aljabar Max-Plus adalah himpunan { } himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Aljabar Max-Plus adalah himpunan { } himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Aljabar Max-Plus 1. Pegerta Aljabar Max-Plus Aljabar Max-Plus adalah hmpua { } dega hmpua semua blaga real yag dlegkap dega operas maksmum, dotaska dega da operas pejumlaha yag

Lebih terperinci

Edge Anti-Magic Total Labeling dari

Edge Anti-Magic Total Labeling dari Edge At-Magc Total Labelg dar Charul Imro da Suhud Wahyud Jurusa Matematka Isttut Tekolog Sepuluh Nopember Surabaya mro-ts@matematka.ts.ac.d, suhud@matematka.ts.ac.d C Abstract We wll fd edge at-magc total

Lebih terperinci

BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA

BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA A. Ukura Gejala Pusat Ukura pemusata adalah suatu ukura yag meujukka d maa suatu data memusat atau suatu kumpula pegamata memusat (megelompok). Ukura pemusata data adalah

Lebih terperinci

PRAKTIKUM 7 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel

PRAKTIKUM 7 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel Praktkum 7 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel PRAKTIKUM 7 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel Tujua : Mempelajar metode Secat dega modfkas tabel utuk peelesaa

Lebih terperinci

TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas TEKNIK SAMPLING Hazmra Yozza Izzat Rahm HG Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Adalas Defs Suatu cotoh gerombol adalah suatu cotoh acak sederhaa dmaa setap ut pearka cotoh adalah kelompok atau gerombol dar

Lebih terperinci

BAB III ISI. x 2. 2πσ

BAB III ISI. x 2. 2πσ BAB III ISI 4. Keadata Normal Multvarat da Sfat-sfatya Keadata ormal multvarat meruaka geeralsas dar keadata ormal uvarat utuk dmes. f ( x) [( x )/ ] / = e x π x = ( x )( ) ( x ). < < (-) (-) Betuk (-)

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP Lusa Tr Lstyowat Krstaa Waya M Fatekurohma Jurusa Matematka FMIPA Uerstas Jember e-mal: krstaa_waya@yahoocom da m_fatkur@yahoocom Abstract:

Lebih terperinci

IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB

IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB Semar Nasoal Tekolog 007 (SNT 007) ISSN : 978 9777 IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB Krsawat STMIK AMIKOM Yogyakarta e-mal : krsa@amkom.ac.d

Lebih terperinci

Mean untuk Data Tunggal. Definisi. Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1, x2, x3,, xn, maka mean sampel didefinisiskan : n Xi.

Mean untuk Data Tunggal. Definisi. Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1, x2, x3,, xn, maka mean sampel didefinisiskan : n Xi. Mea utuk Data Tuggal Des. Jka suatu sampel berukura dega aggota x1, x, x3,, x, maka mea sampel ddesska : 1... N 1 Mea utuk Data Kelompok Des Mea dar data yag dkelompoka adalah : x x 1 1 1 dega : x = ttk

Lebih terperinci

BAB I PENGINTEGRALAN KOMPLEKS

BAB I PENGINTEGRALAN KOMPLEKS BAB I PENGINTEGRALAN OMPLES . Itegral Gars Sebelum membcaraka tegral gars terlebh dahulu aka dbahas kurva kurva mulus ltasa da retas suatu ltasa. Ltasa urva legkuga d bdag datar dapat dataka dalam betuk

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bab bers defs-defs da sfat-sfat yag petg yag berhubuga dega modul. Hal-hal tersebut dperlua dalam pembahasa megea modul jetf pada Bab III. 2.1. Modul Mata ulah Aljabar Ler membahas

Lebih terperinci

; θ ) dengan parameter θ,

; θ ) dengan parameter θ, Vol. 4. No. 3, 5-59, Desember 00, ISSN : 40-858 APLIKASI METODE BESARAN PIVOTAL DALAM PENENTUAN SELANG KEYAKINAN TAKSIRAN PARAMETER POPULASI. Agus Rusgyoo Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstraks Dberka populas

Lebih terperinci

Penarikan Contoh Acak Sederhana (Simple Random Sampling)

Penarikan Contoh Acak Sederhana (Simple Random Sampling) Pearka Cotoh Acak Sederhaa (Smple Radom Samplg) Defs Jka sebuah cotoh berukura dambl dar suatu populas sedemka rupa sehgga setap cotoh berukura ag mugk memlk peluag sama utuk terambl, maka prosedur tu

Lebih terperinci

Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN

Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN Peelta Operasoal II Teor Permaa 7 2 TEORI PERMAINAN 2 Pegatar 2 Krtera Tekk Permaa : () Terdapat persaga kepetga datara pelaku (2) Setap pema memlk stateg, bak terbatas maupu tak terbatas (3) Far Game

Lebih terperinci

BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA

BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3. Pegkodea Matrks Ketetaggaa Matrks ketetaggaa A adaah matrks smetr, sehgga, dega memh semua eeme pada dagoa utama da eeme-eeme dbawah dagoa utama, maka aka

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang akan terjadi pada masa yang akan datang dengan waktu yang relative lama.

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang akan terjadi pada masa yang akan datang dengan waktu yang relative lama. BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pegerta Peramala Peramala ( forecastg ) adalah kegata memperkraka atau mempredkska apa yag aka terjad pada masa yag aka datag dega waktu yag relatve lama. Sedagka ramala adalah

Lebih terperinci

Regresi Linier Sederhana Definisi Pengaruh

Regresi Linier Sederhana Definisi Pengaruh Regres Ler Sederhaa Dah Idra Baga Bostatstka da Kepeduduka Fakultas Kesehata Masyarakat Uverstas Arlagga Defs Pegaruh Jka terdapat varabel, msalka da yag data-dataya dplot sepert gambar dbawah 3 Defs Pegaruh

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bab aka mejelaska megea ladasa teor yag dpaka oleh peuls dalam peelta. Bab dbag mejad beberapa baga, yag masg masg aka mejelaska Prcpal Compoet Aalyss (PCA), Egeface, Klusterg K-Meas,

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN. Tempat penelitian ini dilaksanakan di SMP Negeri 4 Tilamuta Kabupaten

BAB III METODE PENELITIAN. Tempat penelitian ini dilaksanakan di SMP Negeri 4 Tilamuta Kabupaten BAB III METODE PENELITIAN 3. Tempat da Waktu Peelta 3.. Tempat Tempat peelta dlaksaaka d SMP Neger 4 Tlamuta Kabupate Boalemo pada sswa kelas VIII. 3.. Waktu Peelta dlaksaaka dalam waktu 3 bula yatu dar

Lebih terperinci

SUM BER BELA JAR Menerap kan aturan konsep statistika dalam pemecah an masalah INDIKATOR MATERI TUGAS

SUM BER BELA JAR Menerap kan aturan konsep statistika dalam pemecah an masalah INDIKATOR MATERI TUGAS C. Pembelajara 3 1. Slabus N o STANDA R KOMPE TENSI KOMPE TENSI DASAR INDIKATOR MATERI TUGAS BUKTI BELAJAR KON TEN INDIKA TOR WAK TU SUM BER BELA JAR Meerap ka atura kosep statstka dalam pemecah a masalah

Lebih terperinci

FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani

FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani FMDAM (2) Chartas Fbra Techque for Order Preferece by Smlarty to Ideal Soluto () ddasarka pada kosep dmaa alteratf terplh yag terbak tdak haya memlk jarak terpedek dar solus deal postf, amu juga memlk

Lebih terperinci

ANALISIS REGRESI. Model regresi linier sederhana merupakan sebuah model yang hanya terdiri dari satu peubah terikat dan satu peubah penjelas:

ANALISIS REGRESI. Model regresi linier sederhana merupakan sebuah model yang hanya terdiri dari satu peubah terikat dan satu peubah penjelas: ANALISIS REGRESI Pedahulua Aalss regres berkata dega stud megea ketergatuga satu peubah (peubah terkat) terhadap satu atau lebh peubah laya (peubah pejelas). Jka Y dumpamaka sebaga peubah terkat da X1,X,...,X

Lebih terperinci

IDEAL DALAM ALJABAR LINTASAN LEAVITT

IDEAL DALAM ALJABAR LINTASAN LEAVITT Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 IDAL DALAM ALJABAR LINTASAN LAVITT Ida Kura Walyat Program Stud Peddka Matematka Jurusa Peddka MIPA FKIP Uverstas Kharu

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN TEORITIS. Statistik merupakan cara cara tertentu yang digunakan dalam mengumpulkan,

BAB II TINJAUAN TEORITIS. Statistik merupakan cara cara tertentu yang digunakan dalam mengumpulkan, BAB II TINJAUAN TEORITIS.1 Kosep Dasar Statstka Statstk merupaka cara cara tertetu yag dguaka dalam megumpulka, meyusu atau megatur, meyajka, megaalsa da member terpretas terhadap sekumpula data, sehgga

Lebih terperinci

PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN

PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN Idah Vltr, Harso, Haposa Srat Mahassa Program S Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORITIS. yang akan terjadi pada masa yang akan datang dengan waktu yang relatif lama.

BAB 2 LANDASAN TEORITIS. yang akan terjadi pada masa yang akan datang dengan waktu yang relatif lama. BAB 2 LANDASAN TEORITIS 2.1 Pegerta Peramala Peramala ( forecastg ) adalah kegata memperkraka atau mempredkska apa yag aka terjad pada masa yag aka datag dega waktu yag relatf lama. Sedagka ramala adalah

Lebih terperinci

PRINSIP INKLUSI- EKSKLUSI INCLUSION- EXCLUSION PRINCIPLE

PRINSIP INKLUSI- EKSKLUSI INCLUSION- EXCLUSION PRINCIPLE RISI IKLUSI- EKSKLUSI ICLUSIO- EXCLUSIO RICILE rsp Iklus-Eksklus Ada berapa aggota dalam gabuga dua hmpua hgga? A A = A A - A A Cotoh Ada berapa blaga bulat postf lebh kecl atau sama dega 00 yag habs dbag

Lebih terperinci

III. METODE PENELITIAN. yang hidup dan berguna bagi masyarakat, maupun bagi peneliti sendiri

III. METODE PENELITIAN. yang hidup dan berguna bagi masyarakat, maupun bagi peneliti sendiri III. METODE PEELITIA A. Metodolog Peelta Metodolog peelta adalah cara yag dlakuka secara sstemats megkut atura-atura, recaaka oleh para peeltutuk memecahka permasalaha yag hdup da bergua bag masyarakat,

Lebih terperinci

BAB 1 ERROR PERHITUNGAN NUMERIK

BAB 1 ERROR PERHITUNGAN NUMERIK BAB ERROR PERHITUNGAN NUMERIK A. Tujua a. Memaham galat da hampra b. Mampu meghtug galat da hampra c. Mampu membuat program utuk meelesaka perhtuga galat da hampra dega Matlab B. Peragkat da Mater a. Software

Lebih terperinci

Volume 1, Nomor 2, Desember 2007

Volume 1, Nomor 2, Desember 2007 Volume, Nomor, Desember 007 Barekeg, Desember 007. hal.-7 Vol.. No. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EKPONENSIAL PADA LOKASI TERBATAS (Estmatg Parameter Dstrbuto Expoetal At Fte Locato MOZART W TALAKUA, JEFRI

Lebih terperinci

REGRESI LINIER SEDERHANA

REGRESI LINIER SEDERHANA MODUL REGRESI LINIER SEDERHANA Dsusu oleh : I MADE YULIARA Jurusa Fska Fakultas Matematka Da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Udayaa Tahu 016 Kata Pegatar Puj syukur saya ucapka ke hadapa Tuha Yag Maha Kuasa

Lebih terperinci

KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH. Ariyanto* ABSTRACT

KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH. Ariyanto* ABSTRACT Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH Aryato* ABSTRACT The propertes of ompatess Baah spaes ths paper s a geeralzato of a ompat uderstadg the system o the real

Lebih terperinci

INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFISIEN VARIASI DARI DISTRIBUSI LOGNORMAL I. Pebriyani 1*, Bustami 2, S. Sugiarto 2

INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFISIEN VARIASI DARI DISTRIBUSI LOGNORMAL I. Pebriyani 1*, Bustami 2, S. Sugiarto 2 INTERVAL KEPERCAAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFIIEN VARIAI DARI DITRIBUI LOGNORMAL I. Pebrya * Bustam. ugarto Mahasswa Program Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas

Lebih terperinci

Integrasi 1. Metode Integral Reimann Metode Integral Trapezoida Metode Integral Simpson. Integrasi 1

Integrasi 1. Metode Integral Reimann Metode Integral Trapezoida Metode Integral Simpson. Integrasi 1 Itegras Metode Itegral Rema Metode Itegral Trapezoda Metode Itegral Smpso Itegras Permasalaa Itegras Pertuga tegral adala pertuga dasar yag dguaka dalam kalkulus, dalam bayak keperlua. Itegral secara det

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN TEORITIS. regresi berkenaan dengan studi ketergantungan antara dua atau lebih variabel yaitu

BAB 2 TINJAUAN TEORITIS. regresi berkenaan dengan studi ketergantungan antara dua atau lebih variabel yaitu BAB TINJAUAN TEORITIS. Pegerta Aalsa Regres Istlah regres pertama kal dperkealka oleh Fracs Galto. Meurutya, aalss regres berkeaa dega stud ketergatuga atara dua atau lebh varabel yatu varabel yag meeragka

Lebih terperinci

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Pegatar Teor Pegkodea (Codg Theory) KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Dose Pegampu : Al Sutjaa DISUSUN OLEH: Nama : M Zak Ryato Nm : /5679/PA/8944 Program Stud : Matematka JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA

Lebih terperinci

Selesaikan persamaan kuadrat ini dengan bentuk kuadrat lengkap, diperoleh

Selesaikan persamaan kuadrat ini dengan bentuk kuadrat lengkap, diperoleh Blaga Kompleks Feomea blaga kompleks arlah dua buah blaga ag jumlaha da haslkala juga Msalka blaga ag dcar adalah da w, dega kods + w = da w = Dar kods + w = dperoleh w = Gatka ke w =, dperoleh ( ) =,

Lebih terperinci

STATISTIKA. A. Tabel Langkah untuk mengelompokkan data ke dalam tabel distribusi frekuensi data berkelompok/berinterval: a. Rentang/Jangkauan (J)

STATISTIKA. A. Tabel Langkah untuk mengelompokkan data ke dalam tabel distribusi frekuensi data berkelompok/berinterval: a. Rentang/Jangkauan (J) STATISTIKA A. Tabel Lagkah utuk megelompokka data ke dalam tabel dstrbus frekues data berkelompok/berterval: a. Retag/Jagkaua (J) J X maks X m b. Bayak kelas (k) Megguaka atura Sturgess, yatu k,. log c.

Lebih terperinci

STATISTIK. Ukuran Gejala Pusat Ukuran Letak Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi Momen, Kemiringan, dan Kurtosis

STATISTIK. Ukuran Gejala Pusat Ukuran Letak Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi Momen, Kemiringan, dan Kurtosis STATISTIK Ukura Gejala Pusat Ukura Letak Ukura Smpaga, Dspers da Varas Mome, Kemrga, da Kurtoss Notas Varabel dyataka dega huruf besar Nla dar varabel dyataka dega huruf kecl basaya dtuls Tmes New Roma

Lebih terperinci

b) Untuk data berfrekuensi fixi Data (Xi)

b) Untuk data berfrekuensi fixi Data (Xi) B. Meghtug ukura pemusata, ukura letak da ukura peyebara data serta peafsraya A. Ukura Pemusata Data Msalka kumpula data berkut meujukka hasl pegukura tgg bada dar orag sswa. 0 cm 30 cm 5 cm 5 cm 35 cm

Lebih terperinci

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Codg Theory KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Muhamad Zak Ryato NIM: 2/56792/PA/8944 E-mal: zak@malugmacd http://zakmathwebd Dose Pembmbg: Drs Al Sutjaa, MSc Pedahulua Salah satu bahasa yag palg petg pada lear

Lebih terperinci

TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD

TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Eka Mer Krst ), Arsma Ada ), Sgt Sugarto ) ekamer_tross@ymal.com ) Mahasswa Program S Matematka FMIPA-UR

Lebih terperinci

INTERPOLASI. FTI-Universitas Yarsi

INTERPOLASI. FTI-Universitas Yarsi BAB VI INTERPOLASI FTI-Uverstas Yars Pedahulua Bla dketahu taulas ttk-ttk (y seaga erkut (yag dalam hal rumus ugs y ( tdak dketahu secara eksplst: Htug taksra la y utuk 3.8! FTI-Uverstas Yars Persoala

Lebih terperinci