MODEL PERTUMBUHAN POPULASI BERDASARKAN KELOMPOK UMUR. Dwi Lestari Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta. Abstrak

Transkripsi

1 Moel Pertuuhan Poulasi... Dwi estari MODE PERTUMBUHAN POPUASI BERDASARKAN KEOMPOK UMUR Dwi estari Universitas Aha Dahlan, Yogyakarta Astrak Penelitian ateatika ala iang eografi an ekologi sangatlah enting. Salah satu enelitian i iang terseut aalah tentang ertuuhan oulasi. Paer ini akan eahas tentang oel ertuuhan oulasi erasarkan kelook uur. Moel oulasi erasar kelook uur eruakan oel untuk ereiksi julah oulasi i waktu yang akan atang erasarkan kelook uur. Moel ini erentuk kontinu atas waktu an iskret atas kelook uur. Moel ini ikeangkan ari oel ertuuhan oulasi erasarkan kelook uur engan ukuran waktu iskret an ukuran uur iskret. Dala hal ini akan iahas oel kontinu atas waktu an iskret atas uur sehingga ieroleh oel erua siste ersaaan iferensial serta oel aat ituliskan ala entuk atriks. Peruahan oulasi yang eliuti increasing, ecreasing, an asyitoticaly stationary aat ilihat ari nilai eigen ari atriks yang terentuk. Selain itu aat ilihat stale age structure nya. Kata kunci : oel oulasi, kelook uur age-structure, stale age structure. PENDAHUUAN Dala kehiuan, kita tiak leas ari ilu ateatika. Beeraa iang yang isa ielajari i ateatika aalah analisis, statistika, aljaar, an ateatika teraan. Mateatika teraan eruakan salah satu iang yang sangat enarik untuk ielajari. Dala ateatika teraan ielajari konse-konse ateatika an eneraannya ala kehiuan nyata. Salah satu contoh yang ielajari ala ateatika teraan aalah eoelan ateatika. Moel ateatika eruakan reresentasi asalah kehiuan nyata yang iawa ke ala entuk siol-siol ateatika. Seangkan eoelan ateatika aalah roses eawa asalah kehiuan nyata ke ala entuk siol-siol ateatika elalui langkah-langkah yang sisteatis. Masalah yang ernah ijuai ala iang keenuukan, yakni asalah ertuuhan oulasi. Teraat oel ateatika untuk enyelesaikan asalah ertuuhan oulasi, seagai contoh yakni oel logistik. Moel logistik iteukan oleh Verhulst aa tahun 830. Moel ini eruakan oel 45

2 Vol. 5, No., Juni 009: oulasi engan asusi tiak erasarkan usia. Non-Age Structure Poulation Moels. Dala aer ini akan iahas oel ertuuhan oulasi erasarkan usia. Moel yang iahas i sini eruakan oel erentuk kontinu atas waktu an iskret atas kelook uur. Paa oel yang erentuk iskret, setia kelook uur enggaarkan interval waktu yang saa. Interval waktu ini saa engan interval aa entuk siste ersaaan iferensi. Hal ini eruakan suatu eatasan oel. Uur eeraa oulasi hewan tiak isa itentukan secara asti, isalnya oulasi serangga. Aa eat kelook erkeangan oulasi serangga, yakni telur, larva, ua, an ewasa, engan interval waktu yang eraca-aca Ketika uur aat itentukan engan interval waktu yang saa, aka untuk ketelitian yang leih esar isa igunakan interval waktu yang leih kecil. Oleh karena itu, eentukan oel kontinu engan ersaaan iferensial akan eerikan enekatan yang leih aik. Moel ini sangat enting untuk ielajari karena untuk engetahui anyaknya oulasi khususnya erasarkan usia i eeraa waktu yang akan atang. Beeraa faktor yang eengaruhi eruahan oulasi aalah keaaan geografis, keterseiaan akanan, interaksi antar oulasi an seagainya. Peahasan oel ini iulai ari asusi oel, nilai eigen, vektor eigen an stale age structure-nya ASUMSI MODE Tiak aa oel ateatika yang enar atau salah, yang aa aalah oeloel yang iuat aalah sesuai atau tiak sesuai untuk enggaarkan asalah nyata. Paa roses eentukan oel erlu aanya eentukan asusi-asusi. Hal ini ertujuan untuk enyeerhanakan oel. Seakin seerhana seuah oel, seakin jauh ari keaaan nyata, an erlaku sealiknya. Asusi yang ierikan aa oel ini aalah. Moel erentuk kontinu atas waktu an iskret atas kelook uur.. Moel eahas satu jenis oulasi etina. Karena kita hanya enghitung eruahan oulasi etina an engangga oulasi jantan tiak eeri engaruh secara langsung kecuali inseinasi. 46

3 Moel Pertuuhan Poulasi... Dwi estari 3. Iniviu aat ertahan hiu ari tahun ertaa ke tahun erikutnya. 4. Moel erentuk eterinistik karena kita eertiangkan anggota oulasi tertentu. Oleh karena itu, akan itentukan x t, x t,... x n t engan x 0, x 0,.. x n 0 iketahui. Moel ini erentuk linear karena seua eruahan iasusikan roorsional engan ukuran oulasi. NIAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Misalkan oulasi iagi keala n kelook an oulasi n kelook aa waktu t aalah x t, x t,...,x n t. Keuian aalah kelook re-rerouctive, kelook rerouctive an r kelook ost-rerouctive sehingga r = n. Misalkan,,..., aalah laju kelahiran aa kelook uur rerouctive an,,..., n aalah laju keatian n kelook uur. Selanjutnya, i aalah laju aya tahan hiu enuju keewasaan ari kelook uur i ke kelook uur i, engan i =,,...,n- an n = 0. aju eruahan oulasi kelook uur ertaa itentukan oleh:. laju kelahiran aa kelook rerouctive. laju keatian aa kelook ertaa 3. laju aya tahan hiu ari kelook ertaa ke kelook erikutnya. aju eruahan oulasi setia kelook uur yang lain itentukan oleh:. laju aya tahan hiu ari kelook seelunya. laju keatian aa setia kelook 3. laju aya tahan hiu ari setia kelook ke kelook erikutnya. Berasarkan uraian i atas, kita eroleh siste ersaaan iferensial untuk oel linear kontinu terhaa waktu, seagai erikut. x t x t = x x x, i = i xi i i xi, i =,3,,n Siste aat ituliskan ala entuk atriks erikut. X = BX... t 47

4 Vol. 5, No., Juni 009: engan B aalah atriks n x n yang euat:. eleen iagonal,,..., n n,. eleen su iagonal utaa,,, n- 3. eleen aris ertaa, kolo ke saai aalah,,, 4. nol untuk yang lain. Oleh karena itu, aat ituliskan seagai X = YΛY X...3 t iana Λ aalah atriks iagonal engan eleen iagonal eruakan nilai eigen ari atriks B an Y aalah atriks engan kolonya eruakan vektor eigen ari atriks B. Penyelesaian 3, yakni Λt X t = Ye Y X Solusi ini ergantung aa nilai eigen an vektor eigen ari B. Khususnya nilai eigen yang agian realnya eunyai nilai aling esar. Nilai eigen teresar eunyai eran enting untuk enentukan ertuuhan oulasi asytotic saat t enekati. Seanyak r nilai eigen ari B ierikan oleh j j, j =,,..., n...5 an nilai eigen lainnya aalah akar ari ψ { 3 3 } = 0 6 Jika eruakan nilai aling kecil ari i i, untuk i =,,..., aka [ ] < 0 ψ, ψ > Sehingga aa aling seikit satu nilai eigen real yang leih esar ari. Selanjutnya kita aat enuliskan 6 seagai erikut. 48

5 Moel Pertuuhan Poulasi... Dwi estari 49 φ =...8 Jelas ahwa 0 ' < φ untuk ertaah ari enuju. Jai, φ eruakan fungsi onoton turun. Oleh karena itu, = φ...9 hanya eunyai satu akar real yang leih esar ari, lihat gaar isal inotasikan. Seua akar yang lain, yakni koleks atau real negatif an kurang ari. Jika 0 < φ aka ernilai ositif, yakni jika { < } Diasusikan ahwa < j j, untuk j =,..., r.... Gaar. Grafik φ φ

6 Vol. 5, No., Juni 009: Jika 0 ienuhi, aka seua kelook uur ari oulasi akhirnya tuuh secara eksonensial. Misalkan u, u,..., u n aalah vektor eigen yang ersesuaian engan nilai eigen ari B sehingga ieroleh, u... u = u, sehingga Karena i- u i- = i i u i, untuk i =,3,,n... u u = n n 3 3 n n un = n...3 i i i > 0 untuk i =,,3,,n...4 aka vektor eigen X yang erkoresonensi engan eunyai eleen yang seuanya ositif, yakni X n n 3 3 n n = M n...5 Jika iail searang nilai eigen lain yakni koleks atau real negatif aka akan eerikan vektor eigen yang ersesuaian juga koleks an real negatif. Oleh karena itu, hanya nilai eigen yang eerikan vektor eigen engan eleen ositif. STABE AGE STRUCTURE Moel ertuuhan oulasi erasarkan kelook uur yang ieroleh erua siste ersaaan iferensial. Sekarang akan iahas engenai stale age structure-nya. Poulasi ikatakan eiliki stale age structure jika x t : x t : : xn t = x0 : x0 : : xn 0 Atau x t = f t x 0 atau X t = f t X i i 50

7 Moel Pertuuhan Poulasi... Dwi estari sehingga Atau X = t f ' t X 0 X f ' t = X t...7 t f t f ' t f ' t BX t = X 0 BX 0 = X t...8 f t f t Oleh karena itu f ' t f t harus eruakan konstanta an saa engan nilai eigen ari B yang eerikan vektor eigen ositif, sehingga f ' t = f t, X0 = X 9 Dengan engintegralkan ersaaan ertaa 9 an enggunakan nilai awal f0=, ieroleh f t t = e...0 Oleh karena itu, stale age structure hanya ierikan oleh X an jika aa awalnya oulasi eiliki stale age structure, ini akan erlanjut untuk setia waktu. Selain itu, jika > 0, oulasi setia kelook uur akan tuuh secara eksonensial. Jika < 0, oulasi erkurang secara eksonensial. Contoh. Berikut ierikan contoh tentang asalah ertuuhan oulasi serangga engan ata erikut, nilai ==r=; =0.0; =0.05 = =0.00 =0.03; = 0.04; x 0 = 0 x 0 = 5 x 3 0 = 40 aka aat ientuk atriks B, yakni B =

8 Vol. 5, No., Juni 009: Dengan enggunakan MATAB ihitung saai iterasi kelia yakni t = 5, ieroleh grafik ertuuhan aa gaar xt Gaar. Grafik ertuuhan oulasi t Gaar enunjukkan untuk nilai t yang eesar ternyata nilai xt enekati nol. artinya oulasinya enurun untuk waktu t yang eesar. SIMPUAN Moel ertuuhan oulasi erasarkan kelook uur eruakan oel untk ereiksi anyaknya oulasi i waktu yang akan atang khususnya ilihat erasarkan kelook uur. Moel yang iahas erentuk kontinu atas waktu an iskret atas kelook uur. Moel yang ieroleh erua siste ersaan iferensial yang isa ituliskan ala entuk atriks. Untuk engaati eruahan oulasi isa ilihat ari nilai eigen atriks aa entuk oel. Nilai eigen yang iaksu eruakan nilai eigen oinan. Vektor eigen yang ersesuaian eiliki eleen ositif. Untuk stale age structure-nya, jika > 0, oulasi setia kelook uur akan tuuh secara eksonensial. Jika < 0, oulasi erkurang secara eksonensial. Untuk eneraan leih lanjut, eahasan ini isa igunakan untuk eelajari oel enyearan enyakit erasarkan kelook uur. 5

9 Moel Pertuuhan Poulasi... Dwi estari DAFTAR PUSTAKA Anton, H an Rorres Eleentary inear Algera, Alications Version,9 th e. New York: John Wiley & Sons.Inc Geral J. Porter an Davi R. Hill. 996.Interactive inear Algera A aoratory Course Using MathCa. New York: Sringer-Verlag. Golerg, Jack. 99. Matrix Theory with Alications. New York: McGraw-Hill,Inc. Hogen, eslie Hanook of inear Algera. New York: Taylor & Francis Grou. Kaur, J.N Matheatical Moel in Biology an Meicine. New Delhi: EWP. 53