Matriks & Operasi Matriks (2) Pertemuan 5 Aljabar Linear & Matriks

Transkripsi

1 Matriks & Operasi Matriks () Pertemuan 5 Aljaar Linear & Matriks

2 Sifat-sifat Operasi Matriks Perkalian antara dua matriks tidak mengikuti hukum komutatif, artinya AB tidak sama dengan BA (dengan asumsi ahwa operasi perkalian AB dan BA dapat dilakukan) Misal: Terlihat ahwa AB BA

3 Dengan asumsi ahwa syarat ukuran matriks terpenuhi, maka erikut ini adalah sifat-sifat operasi matriks A, B,dan C. Dengan a dan adalah searang konstanta: A + B = B + A (komutatif pd penjumlahan) A + (B + C) = (A + B) + C (asosiatif pd penjumlahan) A(BC) = (AB)C (asosiatif pd perkalian) A(B+C) = AB + AC (B+C)A = BA + CA A(B C) = AB AC (B C)A = BA CA a(b + C) = ab + ac a(b C) = ab ac (a + )C = ac + C (a )C = ac C a(c) = (a)c a(bc) = (ab)c = B(aC)

4 Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Ukurannya isa searang. Misal: Matriks nol mempunyai sifat identitas agi penjumlahan yaitu: [A] + [0] = [0] + [A] = [A]

5 Sifat-sifat Matriks Nol A + 0 = 0 + A = A A A = 0 0 A = -A A0 = 0 dan 0A = 0 Buktikan sendiri ya.

6 Cancellation Tidak Berlaku Dalam aritmatika iasa AB = AC dapat disederhanakan menjadi B = C Bagaimana dengan aritmatika pada matriks? Apakah erlaku juga? Perhatikan matriks A, B, dan C. Perhatikan juga hasil kali AD. Diperoleh AD = matriks nol. Dalam aritmatika iasa, AD = 0 erarti ahwa A atau D atau keduanya nol. Bagaimana dengan aritmatika pada matriks? Apakah erlaku juga? Perhatikan matriks A dan D.

7 Matriks Identitas (I) Matriks identitas adalah matriks ujursangkar dengan semua elemennya pada posisi diagonal utama sama dengan, dan nol untuk semua elemen matriks yang lain. Notasinya: I n, artinya matriks identitas erorde atau erukuran n x n Contoh:

8 Perkalian Dengan Matriks Identitas Jika A adalah matriks m x n, maka A I n = A dan I m A = A Bandingkan dengan angka pada perkalian ilangan real iasa (ukan matriks). Contoh:

9 Matriks Invertile Jika A adalah matriks ujursangkar dan B adalah juga matriks ujursangkar dengan ukuran yang sama, sehingga diperoleh huungan AB = BA = I, maka dikatakan A adalah invertile dan B diseut seagai invers dari matriks A. Jika seuah matriks tidak mempunyai invers, maka matriks ts diseut matriks singular. Contoh: Matriks A erikut mempunyai invers yaitu matriks B. Buktikan ya.

10 Matriks Singular Contoh matriks singular Misalkan invers matriks A adalah matriks B erikut: Kalikan A dan B. Apakah mungkin dari hasil perkalian ts diperoleh matriks identitas I? Bagaimana jika matriks A adalah matriks lain dimana semua elemen dalam salah satu arisnya sama dengan nol?

11 Penjelasan: Dengan mengalikan B dan A diperoleh: BA Terlihat ahwa kolom ke-tiga dari matriks BA semua elemennya ernilai nol; sehingga tidak mungkin dari hasil perkalian A dan B diperoleh matriks identitas I, hal ini erarti ahwa tidak ada matriks B yang dapat memuat BA menjadi I A tidak mempunyai invers

12 Jika A adalah matriks lain dimana semua elemen dalam salah satu arisnya sama dengan nol, maka dengan cara yang analog: AB Terlihat ahwa aris ke-tiga dari matriks AB semua elemennya ernilai nol; hal ini erarti ahwa tidak ada matriks B yang dapat memuat AB menjadi matriks identitas I A tidak mempunyai invers

13 Invers Matriks x Matriks A ukuran x erikut adalah invertile jika ad c 0 dan inversnya dapat diperoleh dengan formula:

14 Sifat-sifat Matriks Identitas A A - = A - A = I (AB) - = B - A - Contoh:

15 Sifat-sifat Perpangkatan Matriks A 0 = I A n = AAA A (kalikan A seanyak n faktor); n > 0 A -n = (A - ) n = A - A - A - (kalikan A - seanyak n faktor) A r A s = A r+s (A r ) s = A rs (A - ) - = A (A n ) - = (A - ) n untuk n = 0,,, (ka) - = (/k) A - dengan k adalah skalar 0

16 Contoh ) ( A A A A A

17 Sifat-sifat Transpose (A T ) T = A (A+B) T = A T + B T (A B) T = A T B T (ka) T = ka T (AB) T = B T A T (A T ) = (A ) T Contoh:

18 Polinomial Matriks Jika A adalah matriks ujursangkar ukuran m x m dan jika adalah searang polinomial, maka dengan I adalah matriks identitas ukuran m x m Contoh: Jika matriks A adalah s dan maka temukan p(a)

19 Your Homeworks. Jika. Jika A 5 B Maka: a) Buktikan ahwa (A r ) s = A rs dengan r = dan s = ) Buktikan ahwa (AB) T = B T A T 4 Maka uktikan ahwa (B + C) A = BA + CA

20 Referensi Aljaar Linier Elementer, Howard Anton alih ahasa Pantur Silaan dkk, Penerit Erlangga, 984. Elementary Linear Algera with Applications 9th Edition, Howard Anton, John Wiley & Sons, 005. AljaarLinier, Yuliant Siaroni,00