Mursyidah Pratiwi, Yuni Yulida*, Faisal Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat *

Transkripsi

1 Jurnal Matematika Murni an Terapan εpsilon ANALISIS MODEL PREDATOR-PREY TERHADAP EFEK PERPINDAHAN PREDASI PADA SPESIES PREY YANG BERJUMLAH BESAR DENGAN ADANYA PERTAHANAN KELOMPOK Mursyiah Pratiwi, Yuni Yulia*, Faisal Program Stui Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat * ABSTRAK Moel interaksi preasi merupakan moel preator prey, engan spesies preator berinteraksi engan spesies prey alam peristiwa makan memakan, engan konisi satu spesies populasi preator memangsa satu spesies populasi prey i ua habitat yang berbea. Dua habitat yang berbea i sini artinya populasi prey memiliki tempat hiup (habitat), misalnya lokasi 1 an lokasi. Prey mampu bermigrasi iantara ua habitat yang berbea tersebut, karena suatu konisi seperti perubahan musim sehingga preator iperbolehkan untuk memilih memangsa prey i habitat yang satu ataupun yang lain, tetapi spesies prey i masing-masing habitat memiliki kemampuan pertahanan kelompok. Pertahanan kelompok prey akan lebih efektif jika jumlah populasinya besar, sehingga preator akan tertarik terhaap habitat imana spesies prey berjumlah seikit. Berasarkan keaaan tersebut, artikel ini akan menjelaskan kembali alam bentuk moel matematika, menentukan kestabilan titik ekuilibrium paa moel an menganalisa terjainya Bifurkasi Hopf. Hasil yang iperoleh paa moel efek perpinahan preasi memiliki titik ekuilibrium salah satu iantaranya mengalami Bifurkasi Hopf. Kata kunci: Preator-prey, titik ekuilibrium, kestabilan,bifurkasi hopf 1. PENDAHULUAN Menurut B. S Bhatt, 1999, alam lingkungan preator-prey, preator lebih memilih mencari makan seniri paa suatu habitat alam waktu tertentu an apat pula mengubah pilihannya untuk mencari makan ke habitat yang lain. Fenomena perubahan ini isebut engan perpinahan yang melibatkan interaksi antara satu spesies preator engan satu spesies prey i ua habitat yang berbea, engan tingkat konversi ari prey ke preator sebagai parameter bifurkasi. Ketika spesies prey engan jumlah relatif kecil ibaningkan engan jumlah spesies preator maka pertahanan kelompok prey terhaap gangguan preator juga semakin kecil, begitu pula sebaliknya. Pertahanan kelompok ini merupakan istilah yang igunakan untuk menggambarkan fenomena imana preasi menurun atau bahkan icegah sama sekali engan kemampuan populasi spesies prey untuk lebih membela iri ketika jumlah mereka lebih besar ibaningkan jumlah spesies preator. Artikel ini mengkaji kembali Moel yang telah ipaparkan oleh Bhatt, B. (1999). Dari Moel efek perpinahan preasi akan ijelaskan pembentukan Moel, selanjutnya ianalisa kestabilan i sekitar titik ekuilibrium an menganalisa apakah terjai Bifurkasi paa moel tersebut.. METODE PENELITIAN Penelitian ini ilakukan engan cara stui literatur. Aapun langkah-langkah yang ilakukan aalah 9

2 Jurnal Matematika Murni an Terapan εpsilon 1) Menjelaskan pembentukan Moel, ) Menentukan titik ekuilibrium, 3) Melinierisasi Moel i sekitar titik ekulibrium, 4) Menentukan matrik Jacobian an nilai eigen untuk menentukan kestabilan an 5) Menganalisa Bifurkasi paa Moel 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Moel Efek Perpinahan preasi Moel efek perpinahan preasi engan aanya pertahanan kelompok ari prey (x 1 ) paa habitat 1 an prey (x ) paa habitat, mengaaptasi fungsi mekanisme efek perpinahan preasi paa tulisan Mumay Tansky (1978), yaitu Untuk interaksi preator terhaap prey (x 1 ) maupun terhaap prey (x ), fungsi efek perpinahan preasinya aalah: x1 n x1 n x n 1 +xn f(x 1, x ) 1 1+ x 1 x n x n 1 +xn an g(x 1, x ) 1 (1) 1+ x x1 n alam kasus ini igunakan n1, artinya efek ari pertahanan prey masih seerhana sehingga untuk n1 iperoleh moel sebagai berikut: x 1 α t 1x 1 ε 1 x 1 + ε ρ 1 x β 1x y x x 1 +x y x 1 +x t α x ε x + ε 1 ρ 1 x 1 β x 1 y () μ + δ 1β 1 x + δ β x 1 y t x 1 +x x 1 +x engan (x 1 ) an (x ) merupakan populasi prey i habitat 1 an i habitat, seangkan y merupakan populasi preator yang iperbolehkan untuk memilih memangsa (x 1 ) ataupun (x ). Paa populasi prey terseia makanan berlimpah, sehingga tiak terjai kompetisi antar prey tetapi populasi prey i ua habitat iperbolehkan untuk saling berpinah, an populasi prey memiliki pertahanan kelompok yang kuat ketika jumlah populasinya lebih banyak. α i Laju pertumbuhan prey i habitat i tanpa aanya preator, imana i. ε i Pertahanan kelompok ketika perpinahan prey i habitat i, imana i. ρ ij Peluang suksesnya perpinahan prey ari habitat i ke j atau sebaliknya. β i Interaksi antar preator prey i habitat i, imana i. δ i Laju konversi preator ketika memangsa prey i habitat i, imana i. μ Tingkat kematian preator. Semua parameter yang igunakan alam memoelkan sistem efek perpinahan preasi bernilai positif. 3. Titik Ekuilibrium Moel Efek Perpinahan Preasi Berasarkan Perko, L. 1991, titik ekuilibrium paa moel apat itentukan jika memenuhi konisi x 1 0, x y 0, an 0. Sehingga paa moel efek t t t perpinahan preasi apat iperoleh ua titik ekuilibrium yaitu: i. E 1 (0,0,0), engan artian sistem tiak memuat preator maupun prey (populasi punah). 30

3 Jurnal Matematika Murni an Terapan εpsilon μx (x +1), μ(x +1), (α 1 ε 1 )x +ε ρ 1 (x +1) (δ 1 β 1 +δ β x ) (δ 1 β 1 +δ β x ) ii. E untuk mewakili populasi β 1 preator memangsa prey i habitat 1 an μx (x +1), μ(x +1), (α ε )+ε 1 ρ 1 x (x +1) (δ 1 β 1 +δ β x ) (δ 1 β 1 +δ β x ) E untuk mewakili populasi x β preator memangsa prey i habitat. Karena alam sistem hanya terapat satu populasi preator maka nilai y i ua konisi tersebut harus isamakan, sehingga titik ekuilibrium E menjai: E μx (x +1), μ(x +1), (δ 1 β 1 +δ β x ) (δ 1 β 1 +δ β x ) (α 1 ε 1 )x +ε ρ 1 (x +1) β 1 (α ε )+ε 1 ρ 1 x (x +1). x β 3.3 Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Paa Moel Efek Perpinahan Preasi i. Menentukan jenis kestabilan i titik E 1 (0,0,0), yaitu engan cara perturbasi engan memisalkan x 1 x 1 + u, x x + v, an y y + w, an isubsitusi ke sistem persamaan (3.) engan u, v, w merupakan parameter yang sangat kecil an apat iabaikan, sehingga iperoleh matriks Jacobian sebagai berikut: (α 1 ε 1 ) ε ρ 1 0 J(E 1 ) ε 1 ρ 1 (α ε ) 0 (3) 0 0 μ Persamaan karakteristik ari matriks Jacobian aalah: ((α 1 ε 1 ) λ)((α ε ) λ)( μ λ) (ε ρ 1 )(ε 1 ρ 1 )( μ λ) 0 (4) moel efek perpinahan preasi i titik ekuilibrium E 1 stabil asimtotik jika memenuhi konisi α 1 < ε 1, α < ε, an (α 1 ε 1 )(α ε ) > (ε ρ 1 )(ε 1 ρ 1 ). ii. Menentukan kestabilan i titik ekuilibrium E engan menggunakan linierisasi sistem iperoleh matriks Jacobian sebagai berikut: A x 1 A C x J(E ) x E E F (5) x 1 G H 0 Persamaan karakteristik ari matriks Jacobian (5) aalah: (A λ)(e λ)( λ) x 1 A F G x E C H + x 1 A x E λ x x 1 x x 1 ((A λ)f H (E λ)c G 0 (6) engan A 1 (x +1) ((α 1 ε 1 )x + (α 1 ε 1 ) + ε ρ 1 ), C (δ 1 β 1 +δ β x ) E (α ε )x +(α ε )+ε 1 ρ 1 x, F β μx (x +1) (δ 1 β 1 +δ β x ) G 1 (x +1) (δ + δ ) (α x ε ) + ε 1 ρ 1 x δ 1 (α 1 ε 1 )x + ε ρ 1, H 1 (x +1) δ 1 (α 1 ε 1 )x + ε ρ 1 (μx + μ) δ μ (α ε ) + ε 1 ρ 1 x Persamaan (6) apat iseerhanakan engan: a 0 λ 3 + a 1 λ + a λ + a 3 0 (7) engan a 0 1, a 1 (A + E ), a (F H + C G ), 31

4 Jurnal Matematika Murni an Terapan εpsilon a 3 x 1 A F G + x E C H + A F H + E C G x x 1 Jika memenuhi konisi α 1 < ε 1, α < ε, an (α 1 ε 1 )(α ε ) > (ε ρ 1 )(ε 1 ρ 1 ) maka A < 0, C > 0, E < 0, F > 0, G > 0, H > 0 sehingga a 1, a, an a 3 bernilai positif, a 1 a > a 3. Berasarkan kriteria Routh-Hurwitz (Gantmacher, 1959) kestabilan paa titik ekuilibrium ini stabil asimtotik. 3.4 Analisa Bifurkasi Kuznetsov, Y.A memaparkan berbagai analisa Bifurkasi, salah satunya bifurkasi Hopf. Analisis Bifurkasi Hopf paa Sistem persamaan () engan mengambil δ sebagai parameter Bifurkasi. Titik ekuilibrium E merupakan titik ekuilibrium nonhiperbolik jika a 1 a a 3, sehingga persamaan karakteristik (7) memiliki sepasang akar imajiner murni jika an hanya jika untuk nilai δ δ engan kata lain terapat δ seemikian sehingga mengakibatkan a 1 a a 3. Oleh karena itu hanya aa satu nilai δ yang mengalami Bifurkasi Hopf. Jai persamaan karakteristik (3.7) untuk δ δ : a 0 λ 3 + a 1 λ + a λ + a 3 0 Dengan a 0 1 an a 1 a a 3, sehingga iperoleh: λ 3 + a 1 λ + a λ + a 1 a 0 (λ + a )(λ + a 1 ) 0 (8) Akar-akar karakteristinya: λ 1 i a, λ i a, an λ 3 a 1 (9) bentuk akar-akar karakteristik secara umum: λ 1 δ u δ + iv(δ ),λ δ u δ iv(δ ),an λ 3 δ a 1 (δ ) (10) Bifurkasi Hopf terjai jika syarat tranversal terpenuhi yaitu: Re λ 1 0 (11) δ δ δ an analisa terjainya Bifurkasi Hopf paa moel efek perpiahan preasi ini, engan menyeliiki sepasang akar-akar karakteristik yang bernilai imajiner, sebagai berikut a) Untuk λ 1 δ u δ + iv(δ ), Nilai λ 1 δ isubstitusi ke persamaan (8) an menentukan laju perubahan terhaap δ serta mensubsitusi u(δ ) 0 untuk menapatkan titik Bifurkasi sehingga iperoleh: R δ u δ S δ v δ + T δ 0 S δ u δ + R δ v δ + U δ 0 (1) engan, R 3v + a δ, S a 1 δ v, T a v 1 + a 3,an U a v (13) Diferensial total f(λ δ, δ ) iperoleh engan mengeliminasi sistem persamaan (1) sehingga iperoleh: u δ Re λ 1 (SU+RT) δ δ δ (R +S ) Jika SU + RT 0 paa konisi δ δ (14) 3

5 Dari persamaan (13) iperoleh: SU + RT (a 1 δ a 3a 3 )v + a δ a 3 Jurnal Matematika Murni an Terapan εpsilon (15) engan a 1 a 1 0, a δ a an a δ 3 a 3 δ selanjutnya subsitusi nilai a 1 an a ke persamaan (15) iperoleh: SU + RT (A + E ) (F H ) + (C G ) (v + F H + C G ) (16) δ δ b) Untuk λ δ u δ iv(δ ), Persamaan λ δ isubstitusi ke persamaan (8) engan u(δ ) 0 an menentukan laju perubahan terhaap δ sehingga iperoleh: R δ u δ + S δ v δ + T δ 0 S δ u δ R δ v δ U δ 0 (17) engan, R 3v + a δ, S a 1 δ v, T a v 1 + a 3, an U a v (18) Diferensial total f(λ δ, δ ) iperoleh engan mengeliminasi sistem persamaan (17) sehingga iperoleh: u δ Re λ 1 (SU+RT) δ (R δ δ +S ) Jika SU + RT 0 paa konisi δ δ Dari persamaan (18) iperoleh: SU + RT (a 1 δ a + 3a 3 )v + a δ a 3 (19) (0) engan a 1 a 1 0, a δ a an a δ 3 a 3 δ selanjutnya subsitusi nilai a 1 an a ke persamaan (0) iperoleh: SU + RT (A + E ) (F H ) + (C G ) ( 5v + F H + C G ) δ δ Persamaan (14) yang merupakan syarat transversal terjainya Bifurkasi Hopf akan terbukti jika memenuhi konisi sebagai berikut: i. (A + E ) 0 ii. β x H + β δ 1 G 0 maka, 1 δ 1 iii. (δ 1 β 1 +δ β x ) 0 engan iv. v + x β 1 δ1 G β H, δ1 β μx (δ 1 β 1 +δ β x ) H + x β 1δ 1 β δ Persamaan (19) yang merupakan syarat transversal terjainya Bifurkasi Hopf akan terbukti jika memenuhi konisi sebagai berikut: i. (A + E ) 0 ii. β x H + β δ 1 G 0 maka, 1 δ 1 x β 1 δ1 G β δ1 H, (δ 1 β 1 +δ β x ) G 0 33

6 iii. (δ 1 β 1 +δ β x ) 0 engan iv. 5v + x β 1δ 1 β δ Jai titik ekuilibrium E mengalami Bifurkasi Hopf. 4 KESIMPULAN DAN SARAN Jurnal Matematika Murni an Terapan εpsilon β μx (δ 1 β 1 +δ β x ) H + (δ 1 β 1 +δ β x ) G 0 Kesimpulan yang iperoleh ari penelitian ini aalah sebagai berikut: 1. Moel efek perpinahan preasi apat ituliskan sebagai berikut: x 1 t α 1x 1 ε 1 x 1 + ε ρ 1 x β 1x x y x 1 +x y x 1 +x t α x ε x + ε 1 ρ 1 x 1 β x 1 y μ + δ 1β 1 x + δ β x 1 y t x 1 +x x 1 +x. Titik ekuilibrium Moel efek perpinahan preasi yaitu: E 1 (0,0,0) an μx (x + 1) E (δ 1 β 1 + δ β x ), μ(x + 1) (δ 1 β 1 + δ β x ), (α 1 ε 1 )x + ε ρ 1 (x + 1) (α ε ) + ε 1 ρ 1 x (x + 1) β 1 x β 3. Analisa kestabilan lokal i titik ekuilibrium E 1 bersifat stabil asimtotik, seangkan E akan stabil 4. Analisa Bifurkasi Hopf engan δ sebagai parameter Bifurkasi Hopf terjai i titik ekuilibrium E engan terpenuhinya syarat transversal yaitu: i. Untuk λ 1 δ u δ + iv(δ ): Re λ 1 (a 1a 3a 3 )v 1 +a a 3 δ δ δ (4a 1 6a )v 1 +a 4 +9v 1 ii. Untuk λ 1 δ u δ iv(δ ): Re λ 1 (a 1a +3a 3 )v +a a 3 δ δ δ (6a 4a 1 )v +a 4 +9v 5. Peneliti selanjutnya iharapkan apat membuat simulasi moel untuk kestabilan keua titik ekuilibrium an terjainya Bifurkasi Hopf. 5. DAFTAR PUSTAKA Bhatt, B, S. Q, J, A, Khan. an R, P, Jaju Switching effect of preation on large size prey species exhibiting group efense Journal of Differential Equations an Control Processer. Neva. Gantmacher, F. R The Theory Of Matrices. Chelsea Publishing Company. New York. Khan,Q, J, A. Bhatt, B, S. an R, P, Jaju Switching Moel with Two Habitats an a Preator Involving Group Defence. Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 5: 1-3. Kuznetsov, Y.A Element of Applie Bifurcation Theory. Secon Eition.Springer Verlag. New York. USA. 34

7 Jurnal Matematika Murni an Terapan εpsilon Perko, L Differential Equations an Dynamical Systems. Texts in Applie Mathematics Vol 7. Springer Verlag. New York. USA. Rakhmawaty, Y.,Yulia,Y.,Faisal Moel Mangsa Pemangsa engan Mangsa yang Terinfeksi. Prosiing Seminar Nasional Matematika Dan Terapannya I. Hal Program Stui Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat. Tansky, Mumay Switching Effect In Prey-Preator System. Kyoto Jepang. 35