PENYELESAIAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA TAK LINEAR DENGAN METODE LINEARISASI RANI QORYSTIA PUJIWACHYUNI G

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA TAK LINEAR DENGAN METODE LINEARISASI RANI QORYSTIA PUJIWACHYUNI G5057 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 009

2 ABSTRACT RANI QORYSTIA PUJIWACHYUNI. The Solutio of Noliear Volterra Itegral Equatio usig Liearizatio Method. Supervised by JAHARUDDIN ad ALI KUSNANTO. May atural pheomea ca be eplaied by mathematical models. Oe of those models is i the form of Volterra itegral equatio, which is usually oliear. Aalitically, a oliear form is difficult to solve. Therefore, this research is aimed to discuss solutio of Volterra itegral equatio usig liearizatio method. Liearizatio is doe to oliear itegrad with Taylor series epasio. Accordig to this liearizatio, a umerical solutio of Volterra itegral equatio is obtaied usig MATLAB 7.0. software. Validity of this method is tested by comparig the approimate with the eact solutio. The result of this research shows that the umerical solutio agree with the eact solutio quite well.

3 ABSTRAK RANI QORYSTIA PUJIWACHYUNI. Peyelesaia Persamaa Itegral Volterra Tak Liear dega Metode Liearisasi. Dibimbig oleh JAHARUDDIN da ALI KUSNANTO. Bayak feomea yag terjadi di alam dapat dijelaska dega model matematika. Salah satu model matematika tersebut diyataka dalam betuk persamaa itegral Volterra. Betuk persamaa itegral Volterra yag dihasilka biasaya dalam betuk tak liear. Secara aalitik masalah tak liear ii sagat sulit diselesaika. Oleh karea itu, dalam tulisa ii dibahas peyelesaia itegral Volterra dega metode liearisasi. Liearisasi dilakuka terhadap fugsi tak liear yag mucul dalam itegrad dega megguaka uraia deret Taylor. Berdasarka liearisasi yag dilakuka ii, diperoleh suatu persamaa umerik yag diselesaika dega megguaka software MATLAB Validitas dari metode ii, diberika dega membadigka hampira dega peyelesaia eksakya. Hasil dari peelitia ii meujukka peyelesaia umerik medekati peyelesaia eksak dega cukup baik.

4 PENYELESAIAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA TAK LINEAR DENGAN METODE LINEARISASI Skripsi Sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Oleh : RANI QORYSTIA PUJIWACHYUNI G5057 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 009

5 Judul : Peyelesaia Persama Itegral Volterra Tak Liear dega Metode Liearisasi Nama : Rai Qorystia Pujiwachyui NIM : G5057 Meyetujui, Pembimbig I Pembimbig II Dr. Jaharuddi, M.S. NIP Drs. Ali Kusato, M.Si. NIP Megetahui, Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Dr. Drh. Hasim, DEA NIP Taggal Lulus :

6 KATA PENGANTAR Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SWT atas segala rahmat da karuia-nya serta shalawat da salam kepada Nabi Muhammad SAW sehigga karya ilmiah ii dapat diselesaika. Karya ilmiah ii merupaka syarat utuk meyelesaiaka studi pada Departeme Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Istitut Pertaia Bogor. Peyusua karya ilmiah ii juga tidak lepas dari batua berbagai pihak. Utuk itu peulis megucapka terima kasih yag sebesar-besarya kepada:. Bapak Dr. Jaharuddi, M.S. selaku dose pembimbig I (atas semua ilmu, kesabara, motivasi, da batuaya selama peulisa skripsi ii).. Bapak Drs. Ali Kusato, M.Si. selaku dose pembimbig II (atas semua ilmu, sara, da motivasiya). 3. Bapak Drs. Siswadi, M.Si. dose peguji (atas semua ilmu da saraya).. Seluruh dose terutama Pak Budi, Bu Ida, da Pak Agah (atas ilmuya). 5. Bu Susi, Bu Ade, Pak Yoo, Mas Boo, Mas Heri, da Mas Dei. 6. Keluargaku tersayag : Ibuda Rt.Siti Magudari da Ayahada Ima Sudirma (yag selalu medoaka, memberi kasih sayag, asihat serta dukuga), Adika, Arief, Bayu, da Dyah. 7. Neek (Alm.) Hj. Iroh, keluarga besar Kerato Kasepuha Cirebo, da keluarga besar (Alm.) Siti Solehah di Cirebo. 8. Keluarga besar Giyato: Bapak, Ibu, Arifi Bayu Admaja (yag selalu memberi kasih sayag serta dukuga yag tiada terkira), Adida Wawa, Cahyo, da Ria. 9. Tema-tema matematika : Hapsari, Lisda da Sapto (selaku pembahas) Oby, Idha, Djawa, Mocco, Vera, Vio, Ilie, Riyu, Djawa, Eyyi, Jae, Idha, Ocoy, Vita, Luri, Hik, Okta, Yusep, Bima, Nike, Fachri, Siti, Mega, Nyoma, Ricke, Gita, Rita, Ridwa, Waro, Awie, Tia, Eko, Die, terutama utuk Putrato Hadi ( yag bayak membatu sehigga tulisa ii dapat diselesaika). 0. Tema kosa Podok Putri Rahmah: Cila, Etta, Zhe, Icha, Putri, Aida, Eva, Agita (atas motivasi da kebersamaaya).. Sahabatku tersayag : Hery.P, Lisa, CJ (Wista, Echie, Joelee, Yeie, Nhe), Icha, Redoy, Rai, I.A R.Stefai, Rii, mas Paulus.. Kakak-kakak matematika 0 da : ka Kafi, t Achie,ka Sawa, ka Dia, ka Great, ka Adji, ka Mahur, ka Fariz, ka Lia, ka Die, da laiya (atas batua da dukugaya). 3. Adik-adik mahasiswa matematika agkata 3: Wira, Sofy, Suci, Ne, Kabil, Eri, dkk.. Adik-adik mahasiswa matematika agkata da Juga pihak-pihak lai yag telah membatu peyusua skripsi ii, yag tidak dapat disebutka satu per satu. Peulis meyadari bahwa dalam tulisa ii masih terdapat kekuraga da jauh dari kesempuraa, oleh karea itu peulis megharapka kritik da sara yag membagu dari Pembaca. Semoga tulisa ii dapat bermafaat. Bogor, Jui 009 Rai Qorystia P

7 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Jakarta Timur pada taggal 9 April 987 dari pasaga Ima Sudirma da Rt.Siti Magudari. Peulis merupaka aak pertama dari lima bersaudara. Pada tahu 005 peulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Seleksi Peerimaa Mahasiswa Baru IPB. Tahu 006 peulis memilih Program Studi Mayor Matematika, Departeme Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam. Pada tahu 006 peulis mejadi staf pegajar matematika pada Lembaga Bimbiga Belajar Eacta da Bimbiga Belajar GUMATIKA. Tahu 007 mejadi asiste tutorial BUD Pegatar Matematika da mejadi asiste tutorial BUD Kalkulus, pembahas Try Out Pegatar Matematika da Kalkulus I, asiste mata kuliah Kalkulus II serta tahu 008 mejadi asiste Pemrograma Tak Liear. Tahu 007 sampai sekarag peulis aktif mejadi staf pegajar Lembaga Bimbiga Belajar Kliik Pedidika MIPA. Selama megikuti perkuliaha, peulis aktif dalam kegiata kemahasiswaa, diataraya pada tahu mejabat sebagai staf Sosial, Iformasi, da Komuikasi GUMATIKA IPB, pembawa acara Try Out SPMB se-bogor 007, aggota Tim Khusus Matematika Ria 007, pembawa acara Ramah Tamah Civitas Matematika 007, pembawa acara Olympiade matematika majalah ORBIT 007, pembawa acara Matematika Ria 008, koordiator acara Welcome Ceremoy Matematics pada tahu 008, pembawa acara Kompetisi Matematika Nalaria Realistik se-idoesia 009, serta megikuti kepaitiaa dari beberapa kegiata selama retag waktu Pada tahu 008 peulis mejadi ketua Program Kreativitas Mahasiswa dega judul Peerapa Model Trasportasi Padat dalam Meetuka Biaya da Waktu Distribusi yag Efisie yag lolos didaai DIKTI da mejadi fialis PIMNAS 009, serta mejadi peserta Olimpiade Matematika Nasioal Tigkat Mahasiswa se-idoesia 008.

8 DAFTAR ISI Halama DAFTAR TABEL... viii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN Latar Belakag... Tujua... Sistematika Peulisa... LANDASAN TEORI Persamaa Differesial... Persamaa Itegral... Uraia Deret Taylor... Metode Iterasi Picard PEMBAHASAN... Aalisis Metode... Kasus Pertama... Kasus Kedua...5 Aplikasi da Hasil Numerik...6 Cotoh... 7 Cotoh Cotoh...9 KESIMPULAN DAN SARAN... DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 3 vii

9 DAFTAR TABEL Halama Peyelesaia umerik cotoh... 7 Tigkat kesalaha metode liearisasi cotoh Peyelesaia umerik, eksak da tigkat kesalaha cotoh 3 dega h= Tigkat kesalaha metode liearisasi cotoh Peyelesaia umerik cotoh dega h=0., h=0.0 da h= Tigkat kesalaha metode liearisasi cotoh... 0 DAFTAR GAMBAR Halama Grafik peyelesaia eksak da hampira metode iterasi Picard... 3 Grafik peyelesaia eksak da hampira cotoh dega h= Grafik peyelesaia eksak da hampira cotoh dega h= Grafik peyelesaia eksak da hampira cotoh dega h= Grafik peyelesaia eksak da hampira cotoh dega h= Grafik peyelesaia eksak da hampira cotoh dega h= DAFTAR LAMPIRAN Halama Peurua Persamaa pada Cotoh... Peurua Persamaa pada Cotoh Peurua Persamaa pada Cotoh... 7 Syta da Hasil Komputasi Program MATLAB utuk Cotoh Syta da Hasil Komputasi Program MATLAB utuk Cotoh Syta da Hasil Komputasi Program MATLAB utuk Cotoh... viii

10 I PENDAHULUAN. Latar Belakag Bayak feomea yag terjadi di alam dapat dijelaska dega suatu model matematika. Model matematika tersebut umumya diyataka dalam betuk persamaa differesial. Betuk persamaa differesial yag dihasilka biasaya dalam betuk tak liear. Secara aalitik masalah tak liear ii sulit diselesaika, bahka secara umerik dihadapka pada perhituga yag rumit. Tetapi dalam beberapa feomea, model matematika dapat diyataka dalam betuk persamaa itegral, yaitu suatu persamaa dimaa variabel yag igi diketahui termuat dalam itegrad persamaa itegral tersebut. Model matematika yag diyataka dalam persamaa matematika serig mucul dalam permasalaha dibidag fisika, tekik, ekoomi, biologi, da laiya. Studi literatur seperti dalam (Golberg 978) meyebutka beberapa cotoh model matematika atara lai adalah model utuk meetuka: laju pertumbuha peduduk, proses peyariga asap rokok, itesitas radiasi yag ditrasfer, da laiya. Dalam beberapa kasus persamaaa matematika yag mucul berupa suatu persamaa itegral. Terdapat beberapa betuk persamaa itegral. Jerri (985) megklasifikasi persamaa itegral ke dalam dua betuk berdasarka batas pegitegrala pada itegral yag mucul dalam persamaa, yaitu persamaa itegral Volterra da persamaa itegral Fredholm. Golberg (978) telah memberika beberapa metode umerik utuk meyelesaika persamaa itegral Fredholm da Volterra, diataraya metode quadratur da metode Galerki. Pembahasa megeai persamaa itegral Volterra telah bayak dilakuka seperti dalam (Babolia da Davari 005) yag meyelesaika persamaa itegral Volterra dega metode dekomposisi Adomia. Saberi da Heidari (006) meyelesaika persamaa itegral Volterra megguaka metode quadratik. Dalam delapa tahu terakhir, para peeliti memfokuska pada peyelesaia persamaa itegral Volterra secara umerik, seperti pegguaa metode implicitly liear collocatio da metode Hermitte-type collocatio. Dalam tulisa ii aka dibahas peyelesaia persamaa itegral Volterra dega metode liearisasi. Liearisasi aka dilakuka terhadap fugsi tak liear yag mucul dalam itegrad dega megguaka uraia deret Taylor. Perbadiga peyelesaia eksak da peyelesaia umerik aka dilakuka terhadap suatu cotoh kasus yag diberika dalam tulisa ii.. Tujua Berdasarka latar belakag di atas, maka tujua karya ilmiah ii adalah: a. Meliearka betuk tak liear yag mucul pada persamaa itegral Volterra dega megguaka uraia deret Taylor. b. Megkostruksi da meyelesaika suatu persamaa umerik utuk persamaa itegral yag telah diliearka. c. Megkaji cotoh kasus da membadigka peyelesaia eksak da umerik dari cotoh kasus tersebut..3 Sistematika Peulisa Karya ilmiah ii terdiri atas lima bab. Bab pertama merupaka uraia megeai latar belakag da tujua. Bab kedua berupa ladasa teori, berisi beberapa istilah da metode liearisasi utuk meyelesaika persamaa itegral tak liear yag diguaka dalam pembahasa. Bab ketiga berupa pembahasa yag berisi aalisis metode yag aka diguaka meyelesaika persamaa itegral Volterra tak liear. Dalam bab ii juga dibahas aplikasi berupa cotoh kasus da hasil umerik. Validitas metode ii juga diperlihatka pada bab ii. Bab terakhir pada tulisa ii berisi kesimpula dari keseluruha peulisa.

11 II LANDASAN TEORI Utuk memahami metode liearisasi utuk persamaa itegral Volterra tak liear yag diguaka dalam karya tulis ii, diperluka beberapa kosep berikut ii. Kosep persamaa differesial da metode iterasi Picard disarika dari pustaka (Kreyszig 988). Deret Taylor utuk fugsi beberapa variabel disarika dari pustaka (Hadali da Pamutjak 98).. Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka suatu persamaa yag memuat turua dari fugsi satu atau lebih variabel terhadap satu atau lebih variabel bebas. Jika turua fugsi tersebut haya tergatug pada satu variabel bebas, maka persamaa differesial tersebut dikataka persamaa differesial biasa. Jika turua fugsi tersebut bergatug pada lebih dari satu variabel bebas, maka persamaa differesial tersebut dikataka persamaa differesial parsial. Suatu masalah utuk meyelesaika persamaa differesial yag diberika ilai awal disebut masalah ilai awal. Sedagka suatu masalah persamaa differesial yag diberi ilai batas disebut masalah ilai batas. Terdapat tiga tekik peyelesaia persamaa differesial biasa, yaitu itegrasi lagsug, pemisaha variabel, da faktor itegrasi. Dalam karya ilmiah ii diguaka tekik faktor itegrasi yag biasaya diguaka utuk meyelesaika persamaa differesial orde satu yag tak homoge. Betuk umum dari persamaa differesial biasa yag dapat diselesaika dega tekik faktor itegrasi adalah sebagai berikut. ' y + p( ) y = F( ). () Peyelesaia dari persamaa () diyataka dalam betuk berikut. ( )( ( ) ) () y () = ep pd () F ()ep pd () + C. Persamaa Itegral Betuk umum persamaa itegral, sebagaimaa diberika oleh Jerri (985) adalah sebagai berikut. b( ) hy ( ) ( ) = f( ) + Ktyt (,, ( )) dt (3) a Apabila b()=, da h()=, maka persamaa (3) mejadi : y( ) = f ( ) + K(, t, y( t)) dt () a Persamaa () disebut persamaa itegral Volterra tak liear. Persamaa () selajutya aka ditijau pada tulisa ii. Utuk megubah betuk persamaa itegral Volterra tak liear mejadi betuk liear, maka diguaka uraia deret Taylor. Jika, betuk liear persamaa itegral Volterra () dituruka terhadap, maka diperoleh suatu persamaa differesial biasa orde satu. Jika diberika suatu ilai awal, maka diperoleh suatu masalah ilai awal. Salah satu cara umerik yag diguaka utuk meyelesaika masalah ilai awal tersebut adalah metode iterasi Picard..3 Uraia Deret Taylor Deret Taylor merupaka peyajia khusus deret pagkat dari suatu fugsi. Deret pagkat dapat diguaka utuk megitegralka fugsi yag tidak mempuyai atiturua elemeter, meyelesaika persamaa differesial, da meghampiri fugsi dega poliom. Betuk umum uraia deret Taylor dari suatu fugsi f() di sekitar =a adalah ( ) f ( a) f ( ) = ( a). = 0! Utuk fugsi tiga peubah F(,y,z) yag mempuyai turua parsial sampai pada orde ke (+) da kotiu pada daerah asalya. Betuk umum uraia deret Taylor fugsi F(,y,z) di sekitar titik (a,b,c) adalah : Fa (, b, c) F (, y, z) = Fa (, bc, ) + ( a) Fabc (,, ) Fabc (,, ) + ( y b) + ( z c) Fa (, b, c) y z Fa (, b, c) ( a) Fa (, b, c) ( y b)! y Fa (, b, c) + ( z c) z Dalam tulisa ii aka diguaka betuk liear fugsi F(,y,z) dega megguaka dua suku dari deret Taylor fugsi F(,y,z).

12 . Metode iterasi Picard Metode iterasi Picard merupaka suatu metode utuk meghasilka suatu peyelesaia secara umerik pada suatu masalah ilai awal. Misalka diberika masalah ilai awal berikut. dy = f (, y), (5) d dega syarat awal y ( 0) = y0. Peyelesaia hampira dari masalah ilai awal (5) adalah: y ( ) y f( s, y ( s)) ds = Utuk bilaga asli, maka diperoleh barisa peyelesaia hampira y ( ), y ( ), y ( ),, ( ) 3 y, Barisa peyelesaia hampira tersebut aka koverge ke suatu fugsi yag meujukka peyelesaia dari masalah ilai awal (5). Utuk lebih jelasya perhatika cotoh berikut s, y = + ds = + y3 = + s+ s ds = + + +, y = + s+ s + s + s ds = , da seterusya. Perbadiga grafik peyelesaia eksak da hampira dega metode iterasi Picard pada masalah ilai awal (6) diberika pada Gambar. hampira eksak, Cotoh. Perhatika masalah ilai awal berikut. fy (, ) = + y, (6) dega ilai awal y (0) = 0. Peyelesaia eksak persamaa (6) adalah y ( ) = ta( ). Peyelesaia masalah ilai awal persamaa (6) dega megguaka metode iterasi Picard adalah sebagai berikut. ( y ( )) y = + s ds 0 = + y (s) ds, 0 (7) Persamaa (7) dega ilai awal yag diberika aka diperoleh iterasi Picard dari persamaa (6) sebagai berikut. y 0 = 0, 0, 0 y = + ds = Gambar. Grafik peyelesaia eksak da hampira metode iterasi Picard. Gambar meujukka bahwa peyelesaia hampira dega metode iterasi Picard sagat dekat dega peyelesaia eksak. Dalam tulisa ii aka diguaka metode iterasi Picard utuk meetuka peyelesaia umerik dari masalah yag dibahas.

13 III PEMBAHASAN 3. Aalisis Metode Perhatika persamaa itegral Volterra berikut. y ( ) = f( ) + λ Ktyt (,, ( )) dt, (8) a dega y() merupaka fugsi yag aka ditetuka, a suatu kostata, f() fugsi sembarag yag diketahui da terdefiisi pada R, da K(,t,y(t)) suatu fugsi yag betukya tak liear da bergatug pada variabel, t, da fugsi y(t). Berdasarka betuk fugsi K(,t,y(t)), maka berikut ii aka diaalisis dua kasus. 3.. Kasus pertama Fugsi K(,t,y(t)) terdefiisi pada [ ab., ] Selag [ ab, ] dibagi mejadi selag bagia, yaitu [ i, i + ), i=0,,,3,...,-. Uraia deret Taylor fugsi K(,t,y(t)) di sekitar titik (, t, y) dega y ( ) = y adalah sebagai berikut: Ktyt (,, ()) = K (, t, y) K(, t, y) + ( ) (9) K (, t, y) + ( t t) t K(, t, y) + ( y y ). y Jika persamaa (9) disubstitusika ke persamaa (8) diperoleh : K (, t, y) K (, t, y) + ( ) y () = f() + λ K (, t, y) dt + ( t t) a t K (, t, y) + ( y y ) y (0) atau K+ ( ) J+ ( t t) Q y () = f() + λ dt. + ( y y) Z a () dega K = K (, t, y), K (, t, y) J =, K (, t, y) Q =, () t K (, t, y) Z =. y Karea dalam itegrad pada persamaa (), t merupaka variabel bebas, y variabel tak bebas, da sebuah parameter, maka persamaa () dapat ditulis y () = f() + λ Z ytdt () [ ( ) ] ( ) + λ Q t t dt. a a + λ K + J Z y dt a (3) Jika itegral pada persamaa (3) disederhaaka, maka diperoleh betuk liear persamaa itegral Volterra sebagai berikut. K + ( ) J y ( ) = f( ) + λ ( a) Zy λ + Q ( t) ( a t) () λ Z yt ( ) dt ; + a + Kemudia, jika kedua ruas pada persamaa () dituruka terhadap, maka diperoleh y'( ) = f '( ) + λ K + λ ( a) J λz y + λq( ) (5) + λ Z y( )

14 atau K+ ( a) J y '( ) λzy ( ) = f'( ) + λ. yz + Q ( ) (6) Persamaa (6) merupaka persamaa differesial biasa orde satu dega peyelesaia aalitik dalam betuk. y ( ) = y ( ) + f( ) + λz ep( λz) ft ( )ep( λztdt ) K + ( ) + ( a) + J λz Z + ( t + ) Q λz + ep( λz( )) K + ( a+ ) J λz f( ) Z + ( t + ) Q Z (7) Dega demikia utuk = + diperoleh : y ( ) = y ( ) + f( ) atau λz ep( λz ) f( t)ep( λz t) dt + K+ ( + ) + ( + a) + J λz Z + ( + t+ ) Q λz + ep( λz ( + )) K+ ( a+ ) J λz f( ) Z + ( t+ ) Q Z + y = y + f + λz ep( λz ) f( t)ep( λzt) dt (8) K+ ( + ) + ( + a) + J λz Z + ( + t+ ) Q λz + ep( λz( + )) K+ ( a+ ) J+ ( t+ ) Q f( ) Z λz Z (9) dega y = y( ), da f = f( ). Persamaa (9) merupaka pedekata peyelesaia persamaa itegral Volterra (8). Utuk memudahka dalam perhituga, misalka 0 = a, t = da selag [ ab, ] dibagi dega pajag selag bagia = +. Jadi persamaa (9) dapat ditulis : + y = y + f + λz ep( λz ) f( t)ep( λz t) dt K+ + ( + 0) + J λz Z + + ( ) Q λz K+ ( 0 + ) J λz ep( λz ) + f( Z ) + Q Z (0) Jika diasumsika selag [ abdibagi, ] sama pajag dega pajag selag bagia = h, maka = 0 + h, sehigga persamaa (0) mejadi seperti berikut. + y = y + f + λz ep( λz ) f( t)ep( λz t) dt K + ( + ) h+ J + ( h+ ) Q Z λz λz K + ( h+ ) J λz + ep( λzh ) f( ) Z + ) Q Z () Aplikasi ke dalam perhituga umerik membutuhka ilai f(), λ, K, J, Q, Z da h. Hasilya berupa fugsi y=y(). 3.. Kasus kedua Misalka K(,t,y(t)) memiliki titik sigular di, maka formulasi yag dituruka di atas tidak berlaku. Dalam kasus ii, misalka fugsi K(,t,y(t)) didekati dega uraia deret Taylor di sekitar titik ( +, t+, y) dega y ( ) = y, sebagai berikut: K(, t, y( t)) = K( +, t+, y) K( +, t+, y) + ( + ) K( +, t+, y) + ( t t+ ) t () K( +, t+, y) + ( y y ) y

15 Jika persamaa () disubstitusi ke dalam persamaa (8), kemudia dilakuka peyederhaaa seperti yag dilakuka pada peurua persamaa (), maka diperoleh persamaa berikut. [ ] y () = f() + λ K + + ( + ) J + Z+ y ( a) λ + Q + ( t + ) ( a t + ) (3) + λz yt ( ) dt ; + + a dega K+ = K( +, t+, y), K( +, t+, y) J + =, K( +, t+, y) Q + =, () t K( +, t+, y) Z+ =, y Persamaa (3) merupaka persamaa differesial biasa orde satu. Jika kedua ruas persamaa (3) dituruka, maka diperoleh peyelesaia aalitik yag serupa dega persamaa (6) seperti berikut. y ( ) = y ( ) + f( ) + λz ep( λz ) + + f( t)ep( λz t) dt + + ( + a) K + + J + + λz + Z+ + ( t+ + ) Q + λz+ + ep( λz ( )) K+ + ( + a+ ) J+ f( ) ; Z+ λz+ + ( t+ + ) Q+ Z+ (5) Persamaa (5) merupaka pedekata peyelesaia persamaa itegral Volterra (5) dega y = y( ) da f = f( ). Utuk memudahka dalam perhituga, misalka 0 = a, t+ = + da selag [ ab, ] dibagi, dega pajag selag bagia =, diperoleh: + y ( ) = y + f + λz ep( λz ) f( t)ep( λz t) dt + K+ + ( + ) J Z + Q + λz+ + ep( λz ) λz+ + K+ + ( 0 + ) J+ f( ) Z+ λz+ + ( ) Q+ Z (6) Jika diasumsika selag [ abdibagi, ] sama pajag dega pajag selag bagia = h, maka = 0 + h, sehigga persamaa (6) mejadi : y = y + f + λz ep( λz ) f ( t) ep( λz t) dt + ( + ) h K + J λz + Z + + λz + Q + K + ( ) h + ep( λz+ h) + J Z f ( ) λz + + Q+ Z + (7) Aplikasi ke dalam perhituga umerik membutuhka ilai f(), λ, K +, J +, Q +, Z + da h. Hasilya berupa fugsi y=y(). Utuk memahami kedua kasus yag diberika di atas, maka berikut ii dibahas beberapa cotoh aplikasi. 3. Aplikasi da Hasil Numerik Dalam bagia ii aka dibahas tiga cotoh kasus. Cotoh yag kedua da keempat mejelaska kasus pertama dari metode ii. Sedagka cotoh kasus yag ketiga mejelaska kasus kedua dari metode ii.

16 Cotoh. Tijau persamaa itegral Volterra berikut pada selag [0,]. y ( ) = ep( ) (ep( ) ) y( tdt ) + (8) Peyelesaia eksak dari persamaa itegral (8) adalah y ( ) = ep( ) (9) Berikut ii aka ditetuka peyelesaia hampira persamaa itegral (8) dega megguaka metode yag diuraika di atas. Oleh karea itu, misalka 0 K(, t, y) = y ( t) f( ) = ep( ) (ep( ) ) (30) λ = Dega demikia persamaa (5) memberika betuk liear persamaa itegral Volterra dari persamaa (8) sebagai berikut. y ( ) = ep( ) (ep( ) ) y + y ytdt ( ) ; 0 + (3) Kemudia persamaa (7) memberika persamaa berikut. y y y+ = + ep( + ) (ep( + ) ) + ep( yh)( ep( ) ep( ) )) + y ep( y ) (ep( t) (ep( t) ))ep( y t) dt (3) Persamaa (3) aka diguaka utuk meetuka hampira peyelesaia persamaa (8). Dega megguaka software MATLAB aka ditetuka peyelesaia y() utuk ilai h yag berbeda. Utuk ilai h=0., h=0.0 da h=0.0 da beberapa ilai pada [0,], diperoleh ilai y() seperti diberika dalam Tabel. Tabel. Peyelesaia umerik cotoh h=0. h=0.0 h= Berikut ii diberika grafik peyelesaia eksak da hampira peyelesaia persamaa (8) dega ilai h yag berbeda, yaki utuk h=0., h=0.0, da h=0.00. Gambar. Grafik peyelesaia eksak da hampira cotoh dega h=0. Gambar 3. Grafik peyelesaia eksak da hampira cotoh dega h=0.0

17 Tabel meujukka bahwa semaki kecil h, peyelesaia hampira semaki medekati peyelesaia eksak, dega kesalaha medekati 0. Gambar. Grafik peyelesaia eksak da hampira cotoh dega h=0.00 Gambar, 3, da memperlihatka bahwa hampira peyelesaia eksak aka cukup baik utuk h yag semaki kecil. Kesalaha yag ditimbulka utuk pemiliha h yag berbedabeda dapat dilihat pada Tabel. Tabel. Tigkat kesalaha metode liearisasi cotoh h=0. h=0.0 h= Cotoh 3. Tijau persamaa itegral Volterra Hammerstei berikut pada selag [0,]. 5 3 y () = + + y() tdt (33) 0 Titik sigular dari persamaa itegral (33) adalah 0 = 0. Peyelesaia eksak dari persamaa itegral (33) adalah y ( ) = + (3) Berikut ii aka ditetuka peyelesaia hampira dari persamaa itegral (33) dega megguaka metode yag diuraika di atas. Oleh karea itu, misalka K(, t, y) = y ( t) 5 3 f ( ) = + +, (35) λ = Dega demikia persamaa (3) memberika betuk persamaa itegral Volterra liear dari persamaa (33) sebagai berikut. 5 3 y + y ( ) = + + [ + ] y + ytdt ( ) ; (36) Kemudia persamaa (7) memberika persamaa berikut. + ( + ) h + 5 t y y y y( ) = ( + ) ep( y ) (( + t + )ep( t)) dt (37) y y + ep( )( ( ) + ) ( ) h 5 h Persamaa (37) aka diguaka utuk meetuka peyelesaia umerik persamaa (33). Dega megguaka software MATLAB aka ditetuka peyelesaia y() utuk ilai h=0., da beberapa ilai pada [0,].. Perhituga MATLAB utuk peyelesaia eksak, peyelesaia umerik serta tigkat kesalahaya dega ilai h=0. diberika dalam Tabel 3.

18 Tabel 3. Peyelesaia umerik, eksak da tigkat kesalaha cotoh 3 dega h=0. Solusi Solusi Tigkat aalitik umerik kesalaha Dalam Tabel berikut diberika tigkat kesalaha utuk beberapa ilai h yag berbeda, yaki utuk h=0., h=0.0, da h=0.00. Tabel. Tigkat kesalaha metode liearisasi cotoh 3. X tigkat kesalaha h=0. h=0.0 h= Berdasarka Tabel diperoleh bahwa semaki kecil ilai h, maka peyelesaia hampira dega metode ii semaki medekati peyelesaia eksakya. Cotoh. Tijau persamaa itegral Volterra berikut pada selag [0,]. y ( ) = ep( ) + ep( ) y( tdt ) + (38) 0 Peyelesaia eksak dari persamaa itegral (38) adalah y ( ) = ep( ) (39) Berikut ii aka ditetuka peyelesaia hampira dari persamaa itegral (38) dega megguaka metode yag diuraika di atas. Oleh karea itu, misalka K(, t, y) = y ( t) f ( ) = ep( ) + ep( ) (0) λ = Dega demikia persamaa (0) memberika persamaa berikut. y y+ = + ep( ( + )) + ep( ( + )) + + [ ] + y ep( y ) ep( t) + ep( t) dt y + ep( yh ) ep( ) ep( ) () Persamaa () aka diguaka utuk meetuka hampira peyelesaia persamaa (38). Dega megguaka software MATLAB aka ditetuka peyelesaia y() utuk ilai h yag berbeda. Utuk ilai h=0., h=0.0 da h=0.0 da beberapa ilai pada [0,] diperoleh ilai y() seperti diberika dalam Tabel 5. Tabel 5. Peyelesaia umerik dari cotoh dega h=0., h=0.0, da h=0.00. h=0. h=0.0 h=

19 Berikut ii diberika grafik peyelesaia eksak da hampira persamaa (38) yaki utuk h=0. da h= umerik -- aalitik Gambar 5. Grafik peyelesaia eksak da hampira cotoh dega h=0.. umerik -- aalitik Dari Gambar 5 da 6 terlihat bahwa peyelesaia hampira medekati peyelesaia eksak dega sagat baik. Kesalaha yag ditimbulka utuk pemiliha h yag berbeda-beda dapat dilihat pada Tabel 6. Tabel 6. Tigkat kesalaha metode liearisasi cotoh Tigkat Kesalaha h=0. h=0.0 h= Tabel 6 meujukka bahwa semaki kecil h, peyelesaia hampira semaki medekati peyelesaia eksak, dega kesalaha medekati Gambar 6. Grafik peyelesaia eksak da hampira cotoh dega h=0.0.

20 V KESIMPULAN DAN SARAN Metode liearisasi diguaka utuk mecari peyelesaia umerik dega tigkat keakurata yag tiggi dalam medekati peyelesaia eksak. Dalam tulisa ii ditijau persamaa itegral Volterra yag betukya tak liear da meyelesaikaya dega megguaka metode liearisasi. Metode liearisasi yag diguaka dalam tulisa ii memafaatka uraia deret Taylor da itegrad pada persamaa itegral Volterra higga orde pertama. Berdasarka betuk itegrad, ditijau dua kasus, yaitu kasus dimaa itegradya terdefiisi pada selag itegralya, da kasus kedua dimaa itegradya memiliki titik sigular di dalam selag itegralya. Dari kedua kasus ii diperoleh suatu peyelesaia umerik yag bergatug kepada ukura lagkah atau lebar selag bagia. Berdasarka cotoh kasus yag dibahas dalam tulisa ii, peyelesaia umerik aka medekati peyelesaia eksak dega hampira yag cukup baik, bahka dega tigkat kesalaha yag sagat kecil utuk ukura lagkah yag kecil. Ii memberika kesimpula bahwa metode ii cocok diguaka utuk meyelesaika persamaa itegral Volterra tak liear. Berdasarka hasil ii, metode yag diberika disii direkomedasika utuk diguaka dalam peyelesaia berbagai masalah tak liear.

21 DAFTAR PUSTAKA Babolia,E, A. Davari Numerical implemetatio of Adomia decompositio method for liear Voltera itegral equatios of the secod kid, Appli. Math. Comput. 65, 3-7. Bruer, H. 99. Implicity liear collocatio methods for oliear Volterra Equatio. Applied Numerical Mathematics, Daraia, A.Ebadia ad Oskoi Liearizatio Method For Solvig Noliear Itegral Equatio. Math. Prob. Eg., 006, - 0. Diogo,T, S. McKee ad T.Tag. 99. A Hermite-type collocatio method for solvig of a itegral equatio with a certai weakly sigular kerel. IMA Joural of Numeric Aalysis, Farlow, S.J.99. A Itroductio to Differetial Equatios ad Their Applicatio. Uited States: McGraw-Hills. It.Editio. Golberg, M. A Solutio Methods for Itegral Equatios: A Survey of Numerical Methods for Itegral Equatios, Pleum Press, New York, -58. Hadali, D, R.J. Pamutjak. 98. Kalkulus Peubah Bayak. Jakarta: ITB. Jerri, A. J Itroductio to Itegral Equatios with Applicatios, Marcel Dekker Ic., New York. Kreyzisg, E Advaced Egieerig Mathematics. Sith Editio, Joh Wiley ad Sos. Nadjafi,S, M. Heidari A quadrature method with variable step for solvig liear Voltera itegral equatios of the secod kid, Appl. Math. Comput. article i press.

22 LAMPIRAN

23 Lampira. Peurua Persamaa pada Cotoh Diketahui : f( ) = ep( ) ep( ) K, t, y = y ( ) ( ) λ = yag memberika betuk: J(, t, y ) = 0 Q(, t, y ) = 0 Z (, t, y ) = y Berdasarka persamaa () diperoleh: y ( ) = ep( ) ( ep( ) ) + y y( y) ( 0) y ytdt ( ) + 0 atau y ( ) = ep( ) ( ep( ) ) y + y ytdt ( ) 0 Dari persamaa (0) diperoleh: + y ( ) = y + ep( + ) ( ep( + ) ) + y ep( y + ) ep( t) ( ep( t) ) ep( ytdt ) atau y y ep( yh) ep( ) (ep( ) ) y ( + ) + ( ) y ( ) = y + ep( ) ep( ) + y ep( y ) ep( t) ep( t) ep( ytdt ) atau y y + ep( yh ) ep( ) + (ep( ) ) y ( ) ep( ) ( ep( ) ) ep( ) ep( ) y y = yh + (ep( ) ) + + y ep( y ) ep( t) ep( t) ep( y t) dt ( ). +

24 Lampira. Peurua Persamaa pada Cotoh 3 Diketahui : 5 3 f( ) = y K(, t, y) = λ = yag memberika betuk: y J(, t, y) = + Q(, t, y ) = 0 y Z(, t, y ) = + Berdasarka persamaa (3) diperoleh: 5 3 y y y y y( ) = ( + )( ) y ( ) ( 0) ( ) + y t dt atau 5 3 y + y y ( ) = ( ) + ytdt ( ) atau 5 3 y + y y ( ) = + + ( + ) + ytdt ( ) Dari persamaa (7) diperoleh: y y + + y y + y + = y ep( y) f( t)ep( t) dt ( ) h y + y + y y y ep h + ( ) h+ + + y + y atau y y + y y + y+ = y ep( y) f( t)ep( t) dt ( ) h y + + ep ( ) + + y y y + y 5 3 h h

25 atau y y y + ( + ) h y+ = y ep( y) f( t)ep( t) dt y y h + ep + ( ) 5 3 h atau + y ( + ) h + 5 y y y+ = y + ep( y) f( t)ep( t) dt atau y y + ep + ( ) h 5 h y ( + ) h + 5 y y + = y ep( y ) f( t)ep( t) dt y y h + ep + ( ) 5 h

26 Lampira 3. Peurua Persamaa pada Cotoh Diketahui : f ( ) = ep( ) + ep( ) K, t, y = y ( ) λ = yag memberika betuk : J, t, y = 0 ( ) ( ) ( ) Q, t, y = 0 Z, t, y = y Berdasarka persamaa (0) diperoleh peurua persamaa (3) seperti berikut: + y ( ) = y + ep( + ) + ep( + ) + yep( y + ) ep( t) ep( t) ep( ytdt ) + atau y y ep( yh) ep( ) ep( ) y y ( ) = y + ep( ) + ep( ) + y ep( y ) ep( t) + ep( t) ep( ytdt ) atau y y + ep( yh ) ep( ) ep( ) y y ( ) = + ep( ) + ep( ) + y ep( y ) ep( t) + ep( t) ep( ytdt ) y + ep( yh ) ep( ) ep( ).

27 Lampira. Syta da Hasil Komputasi Program MATLAB utuk Cotoh Persamaa Itegral Volterra Berikut ii diperlihatka script perhituga program MATLAB utuk mecari perbadiga solusi umerik da aalitik persamaa itegral Volterra dari cotoh. clc h=0.; =0:h:; y0=; y=[]; =ma(size()) y()=y0; z0=; z=[]; z()=z0; z=ep(); for i=:- y(i+)=y(i)/+ep((i+))-(/)*(ep(*(i+))-)+ep(*y(i)*h)*... ((y(i)/)-ep((i))+(/)*(ep(*(i))-))+*y(i)*ep(*y(i)*(i+))... *quad(f,(i),(i+)); ed y z plot(,y,'bo',,z,'--r') clc h=0.0; =0:h:; y0=; y=[]; =ma(size()) y()=y0; z0=; z=[]; z()=z0; z=ep(); for i=:- F=@(t)(ep(t)-(/).*(ep(.*t)-)).*ep(-.*y(i).*t); y(i+)=y(i)/+ep((i+))-(/)*(ep(*(i+))-)+ep(*y(i)*h)*... ((y(i)/)-ep((i))+(/)*(ep(*(i))-))+*y(i)*ep(*y(i)*(i+))... *quad(f,(i),(i+)); ed y z plot(,y,'bo',,z,'--r')

28 clc h=0.00; =0:h:; y0=; y=[]; =ma(size()) y()=y0; z0=; z=[]; z()=z0; z=ep(); for i=:- y(i+)=y(i)/+ep((i+))-(/)*(ep(*(i+))-)+ep(*y(i)*h)*... ((y(i)/)-ep((i))+(/)*(ep(*(i))-))+*y(i)*ep(*y(i)*(i+))... *quad(f,(i),(i+)); ed y z plot(,y,'bo',,z,'--r') Hasil umerik peyelesaia persamaa itegral Volterra dari cotoh dega perhituga megguaka program MATLAB adalah sebagai berikut. X h=0. h=0.0 h= Hasil aalitik peyelesaia persamaa itegral Volterra dari cotoh adalah sebagai berikut. X h=

29 Lampira 5. Syta da Hasil Komputasi Program MATLAB utuk Cotoh 3 Persamaa Itegral Volterra Berikut ii diperlihatka script perhituga program MATLAB utuk perbadiga solusi umerik da aalitik persamaa itegral Volterra dari cotoh 3 utuk h=0.. clc h=0.; =0:h:; y0=; y=[]; =ma(size()) y()=y0; 0=0; z0=; z=[]; z()=z0; for i=:- f(i)=-(i).^/0+5.*((i).^)/6+3/8; f(i+)=-(i+).^/0+5.*((i+).^)/6+3/8; k(i+)=(y(i).^)/(.*((i+))); j(i+)=-(y(i).^)/(.*((i+).^)); z(i+)=y(i)/(i+); F=@(t)((-((t.^)/0)+(5.*(t.^)/6)+(3/8)).*ep(-z(i+).*t)); y(i+)=y(i)+f(i+)+(z(i+).*ep(y(i)).*quad(f,(i),(i+)))... -((/z(i+)).*(k(i+)+((((i+).*h)+(/z(i+))).*j(i+))))... +ep(z(i+).*h).*(((/z(i+)).*(k(i+)+((((i-).*h+/z(i+))).*j(i+))))-f(i)); z(i+)=((i+).^)+(/); r(i)=y(i)-z(i); ed y z r Hasil umerik peyelesaia persamaa itegral Volterra dari cotoh 3 dega perhituga megguaka program MATLAB adalah sebagai berikut. Aalitik Numerik Tigkat kesalaha

30 Lampira 6. Syta da Hasil Komputasi Program MATLAB utuk Cotoh Persamaa Itegral Volterra Berikut ii diperlihatka script perhituga program MATLAB utuk perbadiga solusi umerik da aalitik persamaa itegral Volterra dari cotoh utuk h=0.. clc h=0.; =0:h:; y0=; y=[]; =ma(size()) y()=y0; z=ep(-); for i=:- y(i+)=y(i)/+ep(-(i+))+ep(-*(i+))/+*y(i)*ep(*y(i)*(i+))*quad(f,(i),(i+))... +ep(*y(i)*h)*(y(i)/-ep(-(i))-ep(-*(i))/); ed y z plot(,y,'ob',,z,'--r') Hasil umerik peyelesaia persamaa itegral Volterra dari cotoh dega perhituga megguaka program MATLAB adalah sebagai berikut. X Solusi umerik Solusi Aalitik Tigkat Kesalaha