ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan
|
|
- Harjanti Kartawijaya
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 (Semester I Tahun ) Analysis and Geometry Group, FMIPA-ITB hgunawan@math.itb.ac.id. August 8, 2011
2
3 Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang dimaksud dengan pernyataan atau kalimat matematika. Setiap pernyataan dapat bernilai benar atau salah, tetapi tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Sebagai contoh, = 2 merupakan sebuah pernyataan yang benar. Pernyataan seperti n + 1 = 2 merupakan sebuah kalimat terbuka, yang kebenarannya bergantung pada nilai n. Bila n = 1, maka pernyataan tersebut benar; tetapi bila n 1, maka pernyataan tersebut salah.
4 Matematika sarat dengan kalimat atau pernyataan yang berkaitan antara satu dan lainnya. Dua pernyataan P dan Q dikatakan setara apabila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama (yakni, jika P benar, maka Q benar; dan sebaliknya, jika P salah, maka Q juga salah). Dalam hal P dan Q setara, kita sering menulis P jika dan hanya jika Q. Sebagai contoh, n + 1 = 2 jika dan hanya jika n = 1.
5 Terdapat beberapa cara membentuk sebuah pernyataan baru dari pernyataan yang diberikan, yaitu dengan menggunakan kaitan logis. Jika P adalah suatu pernyataan, maka tidak P adalah pernyataan baru yang merupakan negasi dari P. Jika P benar, maka negasinya salah; dan jika P salah, maka negasinya benar.
6 Diberikan dua buah pernyataan P dan Q, kita dapat membentuk konjungsi dari P dan Q, yaitu P dan Q, yang bernilai benar jika P dan Q keduanya benar, dan bernilai salah selain itu. Kita juga dapat membentuk disjungsi dari P dan Q, yaitu P atau Q, yang bernilai benar jika setidaknya satu di antara P dan Q benar.
7 Tabel kebenaran untuk konjungsi dan disjungsi dari P dan Q diberikan di bawah ini. P Q P dan Q P atau Q B B B B B S S B S B S B S S S S
8 Selain konjungsi dan disjungsi, kita dapat pula mempunyai sebuah implikasi jika P, maka Q, yang sering dilambangkan sebagai P Q. Di sini P merupakan syarat cukup bagi Q, sementara Q merupakan syarat perlu bagi P. Dalam implikasi ini P disebut sebagai hipotesis, sementara Q disebut sebagai kesimpulan. Berdasarkan konsensus, pernyataan jika P, maka Q bernilai salah jika P benar dan Q salah, dan bernilai benar selain itu.
9 Tabel kebenaran untuk implikasi jika P, maka Q diberikan di bawah ini. P Q P Q B B B B S S S B B S S B Dalam hal jika P, maka Q benar dan jika Q, maka P benar, kita katakan P jika dan hanya jika Q, yakni, P setara dengan Q.
10 Contoh 1 Implikasi jika n = 1, maka n 2 = n bernilai benar, karena ketika P benar, Q juga benar. (Ketika n = 0, kita dapatkan P salah dan Q benar; namun ini tidak menjadikan implikasi di atas salah.)
11 Soal Latihan 1 Mungkinkah P dan tidak P benar? Bagaimana dengan P atau tidak P? 2 Implikasi jika tidak Q, maka tidak P merupakan kontraposisi dari jika P, maka Q. Periksa kesetaraan kedua implikasi ini dengan menggunakan tabel kebenaran. 3 Implikasi jika Q, maka P merupakan konvers dari jika P, maka Q. Berikan sebuah contoh implikasi yang benar tetapi konversnya salah. 4 Buatlah tabel kebenaran untuk P dan tidak Q dan bandingkan dengan tabel kebenaran untuk jika P, maka Q. Apa kesimpulan anda?
12 Dalam matematika sering kali kita berurusan dengan pernyataan yang mengandung frase untuk setiap, untuk semua, untuk suatu, terdapat, dan sejenisnya. Untuk setiap, untuk semua, atau frase yang setara dengannya, merupakan kuantor universal; sedangkan untuk suatu, terdapat, atau yang setara dengannya, merupakan kuantor eksistensial. Catat bahwa dalam matematika, untuk suatu berarti terdapat setidaknya satu (bisa satu saja, bisa juga lebih). Berikut adalah beberapa contoh pernyataan berkuantor.
13 Contoh 2 (i) Setiap bilangan asli n memenuhi pertaksamaan n 2 > n. (ii) Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah dari beberapa bilangan kuadrat. (Bilangan kuadrat adalah 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, dan seterusnya.) (iii) Terdapat bilangan asli yang genap dan ganjil sekaligus.
14 Negasi dari pernyataan untuk setiap n berlaku P adalah terdapat n yang tidak memenuhi P. Sebagai contoh, negasi dari setiap bilangan asli n memenuhi n 2 > n adalah terdapat bilangan asli n yang tidak memenuhi n 2 > n. (Tentu dalam hal ini negasinyalah yang benar.) Cukup sering kita menyimpulkan bahwa suatu pernyataan salah setelah memeriksa bahwa negasinya benar, atau sebaliknya.
15 Perhatikan bahwa pernyataan setiap bilangan asli n memenuhi n 2 > n dapat ditulis ulang sebagai implikasi jika n adalah bilangan asli, maka n 2 > n. Jadi, selain melalui negasinya, kita dapat pula memeriksa kebenaran suatu pernyataan berkuantor universal sebagai sebuah implikasi.
16 Soal Latihan 1 Tentukan negasi dari pernyataan pada Contoh 2(ii) dan (iii). 2 Tulis ulang pernyataan pada Contoh 2(ii) sebagai sebuah implikasi.
17 Bukti (Bhs. Ing. proof ) merupakan sesuatu yang membedakan matematika dari ilmu lainnya seperti fisika atau kimia yang berpijak pada eksperimen. Dalam matematika, eksperimen juga penting tetapi bukti lebih esensial. Pernyataan seperti setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4 tidak dapat disimpulkan benar melalui eksperimen dengan bilangan-bilangan kuadrat, karena terdapat tak terhingga banyaknya bilangan kuadrat (kita takkan pernah selesai dengan mereka). Eksperimen dapat menghasilkan suatu dugaan, namun kita perlu bukti untuk meyakinkan bahwa pernyataan itu memang benar adanya.
18 Untuk dapat membuktikan pernyataan seperti di atas perlu banyak latihan. Dihadapkan pada sebuah pernyataan, langkah pertama yang perlu dilakukan adalah memahami maksud pernyataan tersebut: apa yang diketahui (hipotesis) dan apa yang harus dibuktikan (kesimpulan).
19 Kadang kita harus mengetahui konteks yang terkait dengan pernyataan tersebut. Sebagai contoh, dalam pernyataan setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4, kita berurusan dengan bilangan asli (1, 2, 3,... ). Selain itu, pernyataan di atas juga mengandung kuantor setiap, yang memerlukan aksi tertentu dalam pembuktiannya kelak.
20 Sebelum kita membahas bagaimana membuktikan suatu pernyataan berkuantor seperti di atas, marilah kita pelajari bagaimana membuktikan pernyataan tanpa kuantor yang berbentuk konjungsi, disjungsi, atau implikasi. Untuk membuktikan bahwa P dan Q benar, tentunya kita harus membuktikan bahwa P benar dan juga Q benar. Sementara itu, untuk membuktikan bahwa P atau Q benar, kita dapat memulainya dengan memisalkan P salah dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa Q benar. (Jika P benar, maka P atau Q benar, sehingga tidak ada yang harus dilakukan.)
21 Untuk membuktikan bahwa implikasi jika P, maka Q benar, kita mulai dengan memisalkan bahwa P benar dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa Q juga benar. (Jika P salah, maka P Q otomatis benar, sehingga tidak ada yang harus dilakukan.) Implikasi ini dapat pula dibuktikan melalui kontraposisinya, yaitu jika tidak Q, maka tidak P.
22 Cara lainnya adalah dengan metode pembuktian tak langsung, yaitu dengan memisalkan P benar dan Q salah, dan kemudian berusaha mendapatkan suatu kontradiksi, sesuatu yang senantiasa salah. Yang dimaksud dengan kontradiksi adalah konjungsi R dan tidak R, untuk suatu pernyataan R. Sebagai contoh, n genap dan ganjil (tidak genap) sekaligus merupakan suatu kontradiksi.
23 Contoh 3 Buktikan jika n memenuhi n 2 = n, maka n = 0 atau n = 1. (Di sini kita berhadapan dengan sebuah implikasi dengan hipotesis n memenuhi n 2 = n dan kesimpulan berupa suatu disjungsi n = 0 atau n = 1.)
24 Bukti Misalkan n memenuhi n 2 = n (yaitu, hipotesis benar). Akan ditunjukkan bahwa n = 0 atau n = 1 (yaitu, kesimpulan benar). Untuk itu, misalkan n = 0 salah, yakni n 0. Tugas kita sekarang adalah menunjukkan bahwa n = 1. Untuk itu, perhatikan bahwa n 2 = n setara dengan n(n 1) = 0. Karena n 0, maka mestilah n 1 = 0. Jadi mestilah n = 1.
25 Sekarang kita akan membahas bagaimana membuktikan suatu pernyataan berkuantor. Secara umum, untuk membuktikan pernyataan terdapat n sehingga P, kita harus mendapatkan n (entah bagaimana caranya) yang membuat P benar. Sebagai contoh, pernyataan terdapat bilangan asli n sehingga n 2 n terbukti benar setelah kita menemukan bilangan n = 1 yang memenuhi n 2 n.
26 Sementara itu, untuk membuktikan pernyataan untuk setiap n berlaku P, kita harus memulainya dengan mengambil n sembarang (tentunya dalam konteks yang sesuai), dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa P berlaku untuk n. Cara lainnya adalah dengan menuliskan pernyataan berkuantor ini sebagai sebuah implikasi, baru kemudian kita membuktikannya.
27 Contoh 4 Buktikan bahwa setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4. Bukti. Ambil sebarang bilangan kuadrat, sebutlah n 2. Ada dua kemungkinan tentang n, yaitu n genap atau n ganjil. Jika n genap, sebutlah n = 2k, maka n 2 = 4k 2. Dalam hal ini n 2 mempunyai sisa 0 ketika dibagi dengan 4. Sementara itu, jika n ganjil, sebutlah n = 2k + 1, maka n 2 = 4k 2 + 4k + 1. Dalam hal ini n 2 akan mempunyai sisa 1 ketika dibagi dengan 4. Jadi, berapa pun n, n 2 akan mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4.
28 Soal Latihan 1 Buktikan jika n 2 ganjil, maka n ganjil. 2 Buktikan jika m 2 + n 2 = 0, maka m = 0 dan n = 0.
29 Himpunan adalah suatu koleksi objek, dan objek dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan itu. Jika x merupakan anggota himpunan H, maka kita katakan x di H dan kita tuliskan x H. Jika y bukan anggota H, maka kita tuliskan y / H.
30 Cara yang paling sederhana untuk menyatakan sebuah himpunan adalah dengan mendaftarkan anggotanya. Sebagai contoh, kita menuliskan A = {0, 1, 2, e, π} untuk menyatakan himpunan yang anggotanya adalah bilangan 0, 1, 2, e, π. Serupa dengan itu, B = {Bagong, Gareng, Petruk, Semar} menyatakan himpunan dengan anggota Bagong, Gareng, Petruk, dan Semar.
31 Cara penulisan di atas tentunya tidak cocok digunakan untuk menyatakan himpunan yang mempunyai tak hingga banyaknya anggota. Himpunan demikian biasanya dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki secara khusus oleh anggotanya. Sebagai contoh, C = {x : x real, x > 0} menyatakan himpunan semua bilangan real positif. Serupa dengan itu, D = {y : y menghormati Semar} menyatakan himpunan semua orang yang menghormati Semar.
32 Selanjutnya kita gunakan notasi untuk menyatakan himpunan kosong, yakni himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sebagai contoh, himpunan bilangan asli n yang genap dan ganjil sekaligus merupakan himpunan kosong; yakni {n : n bilangan asli yang genap dan ganjil sekaligus} =.
33 Misalkan H dan G adalah dua buah himpunan. Kita sebut G himpunan bagian dari H dan kita tuliskan G H apabila setiap anggota G merupakan anggota H. (Jadi, bila diberikan dua buah himpunan H dan G, dan kita diminta untuk membuktikan bahwa G H, maka yang harus kita lakukan adalah mengambil x G sembarang dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa x H.)
34 Catat bahwa G = H jika dan hanya jika G H dan H G. Jika G H dan G H, maka G disebut sebagai himpunan bagian sejati dari H, ditulis G H. Sebagai contoh, jika A adalah himpunan semua bilangan bulat yang habis dibagi 10 dan B adalah himpunan semua bilangan yang habis dibagi 2, maka A B.
35 Soal Latihan 1 Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat mendefinisikan irisan dari A dan B, yaitu A B = {x : x A dan x B}. Buktikan bahwa A B = A jika dan hanya jika A B. 2 Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat mendefinisikan gabungan dari A dan B, yaitu A B = {x : x A atau x B}. Buktikan bahwa untuk tiga himpunan A, B, dan C sembarang berlaku 1 A (B C) = (A B) (A C). 2 A (B C) = (A B) (A C).
36 Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B, ditulis f : A B a b adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap a A dengan tepat sebuah b B; dalam hal ini kita menulis f (a) = b dan menyebut b sebagai peta atau nilai f di a. Himpunan A disebut sebagai domain atau daerah asal f, dan himpunan f (A) := {b B : b = f (a) untuk suatu a A} disebut sebagai daerah nilai f.
37 Fungsi f : A B dikatakan onto atau pada B apabila f (A) = B. Fungsi f dikatakan satu-satu apabila f (a) = f (a ) mengakibatkan a = a. Jika f : A B dan H A, maka f terdefinisi pada H dan himpunan f (H) := {b B : b = f (a) untuk suatu a H} disebut sebagai peta dari H di bawah f. Jika G B, maka himpunan f 1 (G) := {a A : f (a) G} disebut sebagai prapeta dari G di bawah f. Grafik fungsi f : A B adalah himpunan {(a, f (a)) : a A} yang secara umum merupakan himpunan bagian dari A B := {(a, b) : a A, b B}.
38 Soal Latihan 1 Buktikan bahwa f : R R dengan f (x) = x 3 merupakan fungsi satu-satu dan pada R. [Gunakan pengetahuan tentang bentuk aljabar.] 2 Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen, ditulis A B, apabila terdapat fungsi satu-satu f dari A pada B. Buktikan bahwa (i) A A; (ii) A B jika dan hanya jika B A; dan (iii) jika A B dan B C, maka A C. 3 Diketahui f : A B dan H 1, H 2 A. Buktikan bahwa (i) f (H 1 H 2 ) f (H 1 ) f (H 2 ) dan (ii) f (H 1 H 2 ) f (H 1 ) f (H 2 ). Apakah kesamaan berlaku?
PENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 9-10 METODE KONTRADIKSI & METODE KONTRAPOSISI (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Metode Pembuktian Lainnya Pada bab-bab sebelumnya kita telah
Lebih terperinciNAMA LAMBANG KATA PERNYATAAN LOGIKANYA PENGHUBUNG
LOGIKA MATEMATIKA A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar dan salah). 1. Gadis itu cantik. 2. Bersihkan lantai itu. 3. Pernyataan/kalimat
Lebih terperinciPernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
LOGIKA MATEMATIKA 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r dan seterusnya.
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciLogika. Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si.
Logika Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si. Logika Matematika Kalimat Terbuka dan Tertutup Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh: Semoga kamu
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan Matematika & Analisis Real Matematika berurusan dengan gagasan, yang mungkin merupakan abstraksi atau sari dari sesuatu yang terdapat
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5 KUANTOR II: METODE MEMILIH (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Masih Berurusan dengan Kuantor Sekarang kita akan membahas metode memilih,
Lebih terperinci1 INDUKSI MATEMATIKA
1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua
Lebih terperinciJadi penting itu baik, tapi jadi baik jauh lebih penting
LOGIKA MATEMATIKA Logika Matematika - Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka - Pernyataan Majemuk - Konvers, Invers, dan Kontraposisi - Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial - Ingkaran dari
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Lebih terperinciI. PERNYATAAN DAN NEGASINYA
1 I. PERNYATAAN DAN NEGASINYA A. Pernyataan. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus keduanya. Benar atau salahnya suatu pernyataan dapat ditunjukkan
Lebih terperinciLogika Matematika. Logika Matematika. Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah. September 26, 2012
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah September 26, 2012 yang diharapkan Dasar: Menggunakan logika matematika. Indikator Esensial: 1 Mengidentifikasi suatu tautologi 2 Menentukan ingkaran suatu pernyataan
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3 DEFINISI DAN PERISTILAHAN MATEMATIKA (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Ingat PROPOSISI Ini? Proposisi. Jika segitiga siku-siku XYZ dengan
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Assalamu alaikum Wr. Wb.
KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Matematika tidak dapat terlepas dalam kehidupan manusia sehari-hari, baik saat mempelajari matematika itu sendiri maupun mata kuliah lainnya. Mata kuliah Pengantar
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 6 KUANTOR III: INDUKSI (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Pernyataan Berkuantor Universal (1) Pada bab sebelumnya kita telah membahas metode
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciLOGIKA. Arum Handini Primandari
LOGIKA Arum Handini Primandari LOGIKA MATEMATIKA KALIMAT TERBUKA DAN TERTUTUP Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh: Apakah kamu tahu pencipta lagu PPAP? Semoga ujian
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. d. 6 + a > -4 e. 7 adalah faktor dari 63. c. 4 x 6 2. Tentukan variabel dan himpunan penyelesaian dari: a.
LOGIKA MATEMATIKA A. Definisi 1). Pernyataan Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Air laut rasanya asin, adalah bilangan prima, urabaya
Lebih terperinciBAB 6 LOGIKA MATEMATIKA
A 6 LOGIKA MATEMATIKA A RINGKAAN MATERI 1. Pengertian Logika adalah suatu metode yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran (bentuk pemikiran yang masuk akal). Pernyataan adalah kalimat yang hanya
Lebih terperinciuntuk mempelajari matematika lebih lanjut. Untuk menunjang kemampuankemampuan tersebut diharapkan Anda dapat menguasai beberapa kompetensi khusus
ix S Tinjauan Mata Kuliah elamat bertemu, selamat belajar, dan selamat berdiskusi dalam mata kuliah Matematika Dasar 1. Mata kuliah PEMA4102/Matematika Dasar 1 dengan bobot 3 sks ini sering pula dinamakan
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.
BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) LOGIKA MATEMATIKA Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana 37 Logika Matematika Kompetensi
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA (Pendalaman Materi SMA)
LOGIKA MATEMATIKA (Pendalaman Materi SMA) Disampaikan Pada MGMP Matematika SMA Provinsi Bengkulu Tahun Ajaran 2007/2008 Oleh: Supama Widyaiswara LPMP Bengkulu DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT
Lebih terperinciRPKPS MATA KULIAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM
RPKPS MATA KULIAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM 1 Judul, Kode, SKS Pengantar Logika Matematika Dan Himpunan, MMM 1201, 3 SKS 2 Silabus Semesta Pembicaraan, Kalimat Deklaratif, Ingkaran
Lebih terperinciBAB I LOGIKA MATEMATIKA
BAB I LOGIKA MATEMATIKA A. Ringkasan Materi 1. Pernyataan dan Bukan Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut
Lebih terperinciModul Matematika X Semester 2 Logika Matematika
Modul Matematika X Semester 2 Logika Matematika Oleh : Markus Yuniarto, S.Si Tahun Pelajaran 2014 2015 SMA Santa Angela Jl. Merdeka No. 24 Bandung LOGIKA MATEMATIKA A. Standar Kompetensi : Menggunakan
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA I. PENDAHULUAN
LOGIKA MATEMATIKA I. PENDAHULUAN Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan
Lebih terperinciKRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I
KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Sekolah : SMA/MA... Kelas : X Semester : I (SATU) KKM
Lebih terperinciContoh : 1..Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n adalah bilangan ganjil, maka n 2 adalah bilangan ganjil! Jawab :
PEMBUKTIAN LANGSUNG Untuk menunjukan pernyataan (p=>q) benar dapat dilakukan dengan menggunakan premis p untuk mendapatkan konklusi q. Metode pembuktian yang termasuk bukti langsung antara lain modus ponens,
Lebih terperinciPENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca.
PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca. Karena hampir semua rumus dan hukum yang berlaku tidak tercipta
Lebih terperinciTeori Himpunan Elementer
Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT. Logika
MATEMATIKA DISKRIT Logika SILABUS KULIAH 1. Logika 2. Himpunan 3. Matriks, Relasi dan Fungsi 4. Induksi Matematika 5. Algoritma dan Bilangan Bulat 6. Aljabar Boolean 7. Graf 8. Pohon REFERENSI Rinaldi
Lebih terperinciMata Kuliah : Peng. Logika Matematika dan Himpunan Hari/tanggal : Rabu, 31 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S.
Mata Kuliah : Peng. Logika Matematika dan Himpunan Hari/tanggal : Rabu, 31 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S. 1. Tentukan jenis kalimat berikut. Kalimat tidak lengkap,
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMK... Mata Pelajaran : Matematika Kelas : XI Program Keahlian : Akuntansi dan Penjualan
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMK... Mata Pelajaran : Matematika Kelas : XI Program Keahlian : Akuntansi dan Penjualan Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator Alokasi Waktu
Lebih terperinciLogika Matematika. Logika Matematika. Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah. September 26, 2012
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah September 26, 2012 Cara menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu dengan membagi beberapa bagian (kolom). Nilai kebenarannya
Lebih terperinciModul ke: Logika Matematika. Proposisi & Kuantor. Fakultas FASILKOM BAGUS PRIAMBODO. Program Studi SISTEM INFORMASI.
Modul ke: 5 Logika Matematika Proposisi & Kuantor Fakultas FASILKOM BAGUS PRIAMBODO Program Studi SISTEM INFORMASI http://www.mercubuana.ac.id Materi Pembelajaran Kalkulus Proposisi Konjungsi Disjungsi
Lebih terperinciBAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang
Lebih terperinciKUANTIFIER Drs. C. Jacob, M.Pd Dalam Bagian 1 kita menentukan kalimat. P(x): x 2 5x + 6 = 0. Untuk setiap x, x 2 5x + 6 = 0.
KUANTIFIER Drs. C. Jacob, M.Pd Email: cjacob@upi.edu Dalam Bagian 1 kita menentukan kalimat x 2 5x + 6 = 0 perlu diperhatikan dalam suatu konteks khusus agar menjadi suatu pernyataan. Apabila suatu kalimat
Lebih terperinciPENALARAN DALAM MATEMATIKA
PENALARAN DALAM MATEMATIKA A. PENDAHULUAN Siswa belajar dimulai dari mengamati contoh-contoh atau fenomena Dari informasi-informasi yang diperoleh secara khusus siswa mencoba melakukan generalisasi secara
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan Intro: Apa itu Matematika? Matematika adalah.. 2 Archimedes & Lingkaran Archimedes mempelajari lingkaran. Ia berhasil membuktikan
Lebih terperinciRUMUS-RUMUS TAUTOLOGI. (Minggu ke-5 dan 6)
RUMUS-RUMUS TAUTOLOGI (Minggu ke-5 dan 6) 1 1 Rumus-rumus tautologi Rumus 1.1 (Komutatif) 1. p q q p 2. p q q p Bukti: p q p q q p T T T T T F F F F T F F F F F F 2 Rumus 1.2 (Distributif) 1. p (q r) (p
Lebih terperinciDaftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 26, 2011 Diberikan sejumlah terhingga bilangan a 1,..., a N, kita dapat menghitung jumlah a 1 + + a N. Namun,
Lebih terperinciINGKARAN DARI PERNYATAAN
HAND-OUT Student Name : Subject : Matematika Wajib Grade/Class : / Toic : Logika Matematika Date : Teacher(s) : Mr. Daniel Kristanto Semester : 2 Parent s Signature : LOGIKA MATEMATIKA Kalimat logika matematika
Lebih terperinciCBT Psikotes CBT UN SMA IPA SBMPTN. FPM Matematika. Tes Buta Warna
GENTA GROUP in PLAY STORE CBT UN SMA IPA Aplikasi CBT UN SMA IPA android dapat di download di play store dengan kata kunci genta group atau gunakan qr-code di bawah. CBT Psikotes Aplikasi CBT Psikotes
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. Tabel kebenarannya sbb : p ~ p B S S B
LOGIKA MATEMATIKA A. Pernyataan, kalimat terbuka, dan ingkaran pernyataan. 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. a. Hasil kali
Lebih terperinciPengantar Analisis Real
Modul Pengantar Analisis Real Dr Endang Cahya, MA, MSi P PENDAHULUAN ada Modul ini disajikan beberapa topik pengantar mata kuliah Analisis Real, yang terbagi dalam beberapa kegiatan belajar yang harus
Lebih terperinciPEMBAHASAN. Teorema 1. Tidak ada bilangan asli N yang lebih besar dari semua bilangan bulat lainnya.
PEMAHAAN 1. Pengertian Kontradiksi Kontradiksi adalah dua pernyataan yang bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari setiap komponen-komponennya. 2. Pembuktian dengan Kontradiksi Kontradiksi merupakan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan Fungsi kontinu Limit fungsi dan limit barisan Prapeta himpunan buka 4.2 Sifat-Sifat Fungsi
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. Oleh : Siardizal, S.Pd., M.Kom
LOGIKA MATEMATIKA Oleh : iardizal,.pd., M.Kom elamat datang di CD berprogram Menu Utama Info Guru Diskripsi Materi Pelajaran LOGIKA MATEMATIKA Kompetensi Dasar Materi Latihan oal 2 elamat datang di CD
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi
MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian
Lebih terperinciDefinisi : predikat (first order) adalah suatu Kata (simbol) yg jika di berikan pada kalimat terbuka, dapat berubah menjadi kalimat tertutup.
LOGIKA MATEMATIKA Definisi : predikat (first order) adalah suatu Kata (simbol) yg jika di berikan pada kalimat terbuka, dapat berubah menjadi kalimat tertutup. Beberapa hal yang digunakan dalam logika
Lebih terperinciRUMUS LOGIKA MATEMATIKA DAN TABEL KEBENARAN
RUMUS LOGIKA MATEMATIKA DAN TABEL KEBENARAN Updated by Admin of Bahan Belajar Logika matematika merupakan salah satu materi pelajaran matematika dan cabang logika yang mengandung kajian matematis logika.
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen
NAMA SEKOLAH : MATA PELAJARAN : Matematika KELAS : XI STANDAR KOMPETENSI : Menerapkan logika matematka dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor KODE KOMPETENSI
Lebih terperinciUnit 6 PENALARAN MATEMATIKA. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan. Selamat belajar, semoga Anda sukses.
Unit 6 PENALARAN MATEMATIKA Clara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan D alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan baik di bidang aritmatika, aljabar, geometri dan pengukuran,
Lebih terperinciPertemuan 3 METODE PEMBUKTIAN
Pertemuan 3 METODE PEMBUKTIAN Metode Pembuktian Petunjuk umum dalam pembuktian Langkah-langkah untuk melakukan pembuktian adalah sebagai berikut: 1. Tulislah teorema yang akan dibuktikan 2. Tandailah permulaan
Lebih terperinciPERTEMUAN Logika Matematika
1-1 PERTEMUAN 1 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit ( 3 SKS) Nama Dosen Pengampu : Dr. Suparman E-mail : matdis@netcourrier.com HP : 081328201198 Judul Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran : 1. Logika Matematika
Lebih terperinciTELAAH BAHAN BELAJAR MANDIRI Oleh Sufyani P. Hasil Telaah
TELAAH BAHAN BELAJAR MANDIRI Oleh Sufyani P Nama Matakuliah: Logika Matematika. SKS : 2 Semester : 7 Penulis : Drs. Mujono, M.Pd. I. Tinjauan matakuliah: tidak ada Hasil Telaah II. Sajian Materi: a. Relevansi
Lebih terperinci1.3 Pembuktian Tautologi dan Kontradiksi. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi
1.3 Pembuktian 1.3.1 Tautologi dan Kontradiksi Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi yang membentuknya disebut toutologi, sedangkan proposisi yang selalu bernilai salah
Lebih terperinci6. LOGIKA MATEMATIKA
6. LOGIKA MATEMATIKA A. Negasi (Ingkaran) Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p p ~ p B S S B B. Operator Logika 1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan
Lebih terperinciK13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika Persiapan UTS Semester Ganjil Doc. Name: RK13AR11MATWJB01UTS doc. Version : 2016-09 halaman 1 01. Negasi dari pernyataan Semua siswa hormat kepada guru adalah.
Lebih terperinciRENCANA PROGRAM KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) DAN BUKU DIKTAT PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN. Budi Surodjo
RENCANA PROGRAM KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) DAN BUKU DIKTAT PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN Budi Surodjo Jurusan Matematika Fakultas Matematikan dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. a. Apa sajakah hukum-hukum logika dalam matematika? b. Apa itu preposisi bersyarat?
BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Secara etimologi, istilah Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga ilmu pengetahuan. Dalam arti
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA Menuju TKD 2014
LOGIKA MATEMATIKA Menuju TKD 2014 A. PERNYATAAN MAJEMUK Jenis-jenis pernyataan majemuk: 1. Konjungsi (^ = dan ) A: Hari ini Jowoki kampanye B: Hari ini Jowoki Umroh Konjungsi (A ^ B): Hari ini Jowoki kampanye
Lebih terperinciI. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)
I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,
Lebih terperinciBAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT
BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT. Pendahuluan Well-Ordering Principle Jika S himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat positif yang tidak kosong, maka S memiliki sebuah unsur terkecil. Unsur
Lebih terperinciMODUL LOGIKA MATEMATIKA
PERENCANAAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA MODUL LOGIKA MATEMATIKA AUTHOR: Navel Mangelep UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA & ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA KATA PENGANTAR Salah satu penunjang
Lebih terperinci1. Memahami pengertian proposisi dan predikat. 3. Memahami penggunaan penghubung dan tabel kebenaran
Modul 1 Logika Matematika Pendahuluan Pada Modul ini akan dibahas materi yang berkaitan dengan logika proposisi dan logika predikat, serta berbagai macam manipulasi didalamnya. Tujuan Instruksional Umum
Lebih terperinciHomepage : ekopujiyanto.wordpress.com HP :
Kuliah ke-2: Sistem Bilangan Real Homepage : ekopujiyanto.wordpress.com E-mail : ekop2003@yahoo.com eko@uns.ac.id HP : 081 2278 3991 Materi Kuliah ke-2 Sistem Bilangan Real Sifat-sifat Relasi Urutan Garis
Lebih terperinciHIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI
Kegiatan Belajar Mengajar 4 HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI Zainuddin Akina Kegiatan belajar mengajar 4 ini akan membahas tentang himpunan, relasi, dan fungsi.. Kegiatan belajar mengajar 4 ini mencakup 3 pokok
Lebih terperinciBAHAN AJAR LOGIKA MATEMATIKA
1 BAHAN AJAR LOGIKA MATEMATIKA DI SUSUN OLEH : DRS. ABD. SALAM,MM KELAS X BM & PAR SMK NEGERI 1 SURABAYA LOGIKA MATEMATIKA Standar Kompetensi : Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang
Lebih terperinciKata Pengantar. Terima kasih atas kesediaan Bapak atau Ibu guru yang menggunakan buku Matematika Aplikasi SMA Kelas X XII. Hormat kami, Tim Penyusun
Kata Pengantar Perjalanan panjang proses penilaian buku Matematika SMA oleh Pusat Perbukuan dan Badan Standar Nasional Pendidikan (BSNP) Departemen Pendidikan Nasional telah usai bersamaan dengan diterbitkannya
Lebih terperinciBAB III KUANTOR kuantor, 1. Kuantor Universal 3. Kuantor Eksistensial
BAB III KUANTOR Untuk mengubah kalimat tebuka menjadi kalimat deklaratif, selain dengan jalan mengganti variabel dengan konstanta, dapat juga dilakukan dengan menggunakan kuantor, yaitu dengan menggunakan
Lebih terperinciMatematika Industri I
LOGIKA MATEMATIKA TIP FTP - UB Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi)
MATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi) Antonius Cahya Prihandoko Universitas Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 1 / 20
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,
Lebih terperinciLogika Pembuktian. Matematika Informatika 3 Onggo
Logika Pembuktian Matematika Informatika 3 Onggo Wr @OnggoWr Metode Pembuktian 1. Metode Pembuktian Langsung (Direct Proof) 2. Metode Pembuktian Tak-Langsung (Indirect Proof) a. Proof by Contrapositive
Lebih terperincimatematika LIMIT ALJABAR K e l a s A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 6/1 matematika K e l a s XI LIMIT ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat mendeskripsikan konsep it fungsi aljabar dengan
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Lebih terperinciLOGIKA Matematika Industri I
LOGIKA TIP FTP UB Pokok Bahasan Pengertian Logika Pernyataan Matematika Nilai Kebenaran Operasi Uner Operasi Biner Tabel kebenaran Pernyataan Tautologi, Kontradiksi dan Kontingen Pernyataan-pernyataan
Lebih terperinciKALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciDaftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 29, 2011 Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai
Lebih terperinciUnit 5 PENALARAN/LOGIKA MATEMATIKA. Wahyudi. Pendahuluan
Unit 5 PENALARAN/LOGIKA MATEMATIKA Wahyudi Pendahuluan D alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan. Penalaran matematika menjadi pedoman atau tuntunan sah atau tidaknya
Lebih terperinciKATA PENGANTAR UCAPAN TERIMA KASIH ABSTRAK DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR BAGAN
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR...i UCAPAN TERIMA KASIH...ii ABSTRAK.iii DAFTAR ISI.iv DAFTAR TABEL.vi DAFTAR BAGAN ix DAFTAR GAMBAR...x DAFTAR LAMPIRAN.xi BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang Masalah..
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciBAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi juga dapat diterapkan
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI. f : x y
. Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada
Lebih terperinciHIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma
HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Lebih terperinciMETODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
1 1 Program Studi Pend Matematika FKIP UM Ponorogo October 29, 2011 Jenis Pernyataan dalam Matematika Denisi (Denition) Kesepakatan mengenai pegertian suatu istilah. Teorema (Theorem) Pernyataan yang dapat
Lebih terperinciDE-ALGEBRAS, E-LOGIC DAN E-SET THEORY. Denik Agustito
DE-ALGEBRAS, E-LOGIC DAN E-SE HEORY Denik Agustito Pendidikan Matematika, Universitas Sarjanawiyata amansiswa Email: denikagustito@yahoocoid ABSRAK Dalam logika biasa, disjungsi yang digunakan dalam beberapa
Lebih terperinciPERNYATAAN MAJEMUK & NILAI KEBENARAN
PERNYATAAN MAJEMUK & NILAI KEBENARAN 1. Pernyataan Majemuk Perhatikan pernyataan hari ini hujan dan aku berjalan-jalan. Pernyataan tersebut terdiri dari dua pernyataan pokok/tunggal (prime sentence), yaitu
Lebih terperinciNEGASI KALIMAT DAN KALIMAT MAJEMUK (Minggu ke-3)
NEGASI KALIMAT DAN KALIMAT MAJEMUK (Minggu ke-3) 1 1 Kata Penghubung Kalimat 1. Konjungsi: menggunakan kata penghubung: dan 2. Disjungsi: menggunakan kata penghubung: atau 3. Implikasi: menggunakan kata
Lebih terperinciPusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 1
2. ALJABAR LOGIKA 2.1 Pernyataan / Proposisi Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya. Contoh 1 : P = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki
Lebih terperinciSUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2017 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IX LOGIKA MATEMATIKA
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2017 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IX LOGIKA MATEMATIKA Dr. Djadir, M.Pd. Dr. Ilham Minggi, M.Si Ja faruddin,s.pd.,m.pd. Ahmad Zaki, S.Si.,M.Si Sahlan Sidjara,
Lebih terperinci