Grup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari

Transkripsi

1 Grup Permutasi dan Grup Siklis Winita Sulandari

2 Grup Permutasi Suatu Permutasi dari suatu himpunan berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan sebagai suatu pemetaan bijektif dari himpunan S pada dirinya sendiri.

3 Definisi Fungsi Suatu fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan yang memetakan setiap elemen A ke tepat satu elemen B, ditulis: f : A B Jika f memetakan a A ke b B, ditulis f(a) = b A f B a f(a) b

4 Fungsi satu-satu dan onto. Fungsi f : A B dikatakan satu-satu, jhj, jika f(a)=f(b), maka a=b.. Fungsi f : A B dikatakan onto, jhj, untuk setiap b B, ada a A sedemikian sehingga b = f(a) A f B A f onto B

5 Fungsi Komposisi Jika f dan g adalah fungsi-fungsi dengan f : A B dan g : B C, maka ada fungsi dari A ke C. Fungsi dari A ke C adalah fungsi komposisi yang terdiri dari f diikuti g, ditulis: (g f)(a) = g(f(a)) = c, dengan a A dan c C. gambar: A f B g C a f (a ) c g(f(a)) ( g f )(a) 5

6 Definisi Permutasi Suatu permutasi pada A adalah fungsi dari A ke A yang sekaligus satu-satu dan onto, ditulis f : A A onto 6

7 7 Contoh Diberikan A = {,,,, 5 }. f adalah permutasi yang digambarkan sebagai: atau f ditulis dalam notasi baku sebagai berikut : f 5 5 A A f

8 Dari: f 5 5 dapat diartikan bahwa: f() = f() = f() = 5 f() = f(5) = 8

9 Komposisi Permutasi (Teorema) Jika f dan g permutasi-permutasi pada A, maka f g juga permutasi pada A. ( f g : A A ) onto 9

10 0 Contoh Misalkan dan Maka f g = sehingga (f g)() = f(g()) = f() = 5 (f g)(5) = f(g(5)) = f() =, dsb. Jadi f g = 5 5 f 5 5 g

11 GRUP SIMETRIK Diberikan A adalah himpunan berhingga {,,,,n}. Grup semua permutasi untuk A disebut grup simetrik pada n huruf, dan ditunjukkan dengan S n. Perhatikan bahwa S n mempunyai n! = n(n-)(n-) ()()().

12 Teorema.. Karakteristik atau orde dari grup S n adalah n!.

13 Contoh: Diberikan himpunan A = {,,}. Contoh grup simetri A(S) = S, order A(S)! = 6 elemen. Didaftar permutasi-permutasi untuk A sbb:,,, o

14 Dapat ditunjukkan α 0 α α β β β α 0 α 0 α α β β β α α α α 0 β β β α α α 0 α β β β β β β β α 0 α α β β β β α α 0 α β β β β α α α 0

15 Perhatikan bahwa grup simetrik tersebut di atas tidaklah komutatif (contoh grup berhingga yang tidak komutatif) Jadi S mempunyai tingkat (order) minimal untuk sembarang grup yang tidak komutatif. 5

16 Soal latihan. f dan g Hitunglah komposisi sebagai berikut: a) f g b) g f c) f - d) g - e) f g - f) (f g) -

17 . f dan g Hitung a) f g b) g - f - c) (g f ) - d) f g e) f g

18 Perkalian Langsung Apabila terdapat dua buah grup G dan G maka dapat dibentuk grup baru dari kedua grup tersebut produk Cartesius dari dua himpunan A dan B yang dinyatakan dengan AxB = {(a i, b i ) / a i A, b i B}.

19 Teorema.5. Bila G dan H dua buah grup maka produk Cartesius G x H dengan operasi : ( g i, h i ) (g j, h j ) = (g i g j, h i h j ) untuk setiap (g i, h i ) dan (g j, h j ) G x H maka G x H merupakan grup dan disebut perkalian langsung (direct product) dari G dan H.

20 Perhatikan operasi dalam grup Contoh: Dalam perkalian langsung Z x Z karena Z merupakan grup terhadap operasi + maka operasi dalam Z x Z berlaku sama. Misalkan (a,b) dan (c,d) unsur dalam Z x Z maka (a,b)(c,d) = (a + c,b + d) Z x Z.

21 Contoh : Misal grup ( Z, + ) dan grup permutasi (S,) Z x S = { (,i), (,i), (,i), (,( )),(,( )),(,( ))} sedang operasi unsur-unsurnya sebagai berikut: Misal, (, i) ( (,( )) = ( +, i ( )) = (, ( ))

22 Apabila G dan H dua grup berhingga, maka orde dari G x H yaitu G x H = G.H

23 Latihan soal. Bila grup G mempunyai unsur identitas i dan grup H mempunyai unsur identitas e buktikan {( g i, e) / g i G } dan { (i, h i ) h i H } merupakan subgrup dari G x H. Tuliskan semua unsur dari grup S x Z dan tentukan subgrup yang mungkin dalam S x Z.

24 Latihan soal. Hitunglah perkalian unsur-unsur sebagai berikut a. ((),)((),) dalam S x Z 5 b. (,)(-,5) dalam Q x Q* dimana Q* adalah himpunan bilangan rasional tanpa unsur nol.

25 GRUP SIKLIS Himpunan dengan anggota-anggota berbentuk a i, i a 0,,,,,n 0 a n e, dan a a a a dengan, jika i membentuk suatu grup siklik, a sebagai elemen pembangun atau penghasil atau generator, biasa ditulis G = <a>. i i j j a a ij ijn, jika i j j n n 5

26 GRUP SIKLIS Definisi.6. Suatu grup G dan suatu unsur g G, jika grup G dapat dinyatakan sebagai G = { g n / n Z }, maka g dikatakan pembangun dari grup G dan grup G disebut grup siklis, biasanya dinotasikan G = <g>

27 Perlu diingat... definisi grup siklis G = { g n / n Z } digunakan operasi perkalian, tetapi apabila grup G dengan operasi penjumlahan, maka definisi grup siklis menjadi G = { n g / n Z } = <g >

28 Contoh:. Misalnya untuk n = 6, grup itu ialah G = { e, a, a, a, a, a 5 } Grup semacam ini biasa dinyatakan dengan C 6, yaitu grup siklis berorder 6, ( G = 6 ) Grup siklis berorde n dinyatakan dengan C n.. Himpunan bilangan-bilangan bulat modulo n dengan operasi penjumlahan modulo n merupakan suatu grup siklis. 8

29 Misalkan G = Z 6 = { 0,,,,, 5 }, adalah grup siklik dengan elemen pembangunnya, G = <>, sebab: 0 = 0, =, =, =, =, 5 = 5. dapat juga dibangun oleh 5, G = <5>, sebab: 5 0 = 0, 5 = 5, 5 = =, 5 = =, 5 = =, 5 5 = =. Apakah masih ada unsur pembangun lainnya? 9

30 . (Z,+) adalah grup siklis dengan unsur pembangun dan -.. Z merupakan subgrup siklis yang dibangun oleh, sehingga Z = <>

31 5. Himpunan operasi simetri dari bangun kitiran ini terdiri dari rotasi dengan titik pusat O, dengan sudut rotasi 90 o, 80 o, 70 o, dan 60 o O Jika (O,90 o )=S, maka (O,80 o )=S, (O,70 o )=S, dan (O,60 o )=I Jadi G = { I, S, S, S } merupakan grup siklis dengan pembangun S, G = <S>, dan order G sama dengan Tentukan order dan invers dari S, S, dan S.

32 6. Perhatikan segi-5 beraturan dengan pusat O dan 5 O o 7 sudut-sudut rotasi 7 o, o, 6 o, 88 o, dan 60 o. Jika (O,7 o )=S, maka (O, o )=S, (O,6 o )=S, (O,88 o )=S, dan (O,60 o )=I Sehingga { I, S, S, S, S } merupakan suatu grup siklis dengan order 5. Tampak pula, bahwa S = 5, S = 5, S = 5, S = 5 Disamping S, maka S, S, dan S dapat menjadi pembangun.

33 Orde dari grup siklis Bila G grup siklis dibangun oleh unsur g, maka orde G adalah sama dengan orde dari unsur pembangunnya yaitu ( g )

34 Lemma.6. Bila G suatu grup, g G maka H = { g n / n Z } merupakan subgrup terkecil dalam G yang dibangun oleh unsur g Lemma.6. Setiap grup siklis G = <g> adalah grup abel

35 Lemma.6.5 Subgrup dari grup siklis adalah siklis Lemma.6.7 Dua grup siklis dengan orde yang sama akan berkorespondensi -

36 Contoh Z =<> = <-> dan Z subgrupdari Z dengan Z = <> = <->. jika didefinisikan f: Z Z n Z, berlaku f(n) = n Z,

37 maka f bersifat pada, karena bila diambil sebarang x Z haruslah x = m, untuk suatu m Z. Ini berarti ada m Z sedemikian hingga f(m) = x = m atau f pemetaan pada. f juga pemetaan -, karena bila diambil unsur f(n) = f(m) maka diperoleh n = m atau n=m. Mengingat f pemetaan pada dan -, maka f korespondensi -.

38 Lemma.6.8 Bila G suatu grup sebarang, g G dan misalkan n, m Z sehingga g n = dan juga g m =, maka g d = di mana d = (m, n). Khususnya bila g s = untuk suatu s Z, maka orde dari g membagi s. Dalam hal ini d = (m,n) dimaksudkan d merupakan pembagi persekutuan terbesar dari m dan n

39 Lemma.6.9 Misalkan G = < g > dengan n unsur, dan misalkan h = g s, s Z adalah unsur dalam G, maka h akan membangun subgrup siklis H dalam G yang berorde n/d, di mana d membagi persekutuan terbesar dari n dan s atau d = (n, s ).

40 Contoh Grup (Z,+) adalah grup siklis dan Z =<>=<5> =<7>=<> misal diambil Z, karena = (,) maka H=<>={0,,6,9} subgrup dari Z dengan orde / = misal diambil Z, karena = (,) maka H=<>={0,,8} subgrup dari Z dengan orde / = Bagaimana dengan 5? H=<5>= Z FPB dari dan

41 Menentukan unsur pembangun Apabila g membangun grup siklis berhingga G berorde n, maka pembangun lainnya dari G adalah unsur-unsur berbentuk g s, di mana s relatif prim dengan n, atau (s,n) =.

42 Contoh Tentukan semua subgrup yg mungkin dari Z 8 Diperoleh: Unsur pembangun Z 8 adalah,5,7, Subgrup dengan orde terbesar dibangun oleh unsur, dengan orde 8/ =9, sehingga <> = {0,,,6,8,0,,,6}

43 Selanjutnya mencari semua subgrup dalam <> Menentukan unsur pembangun dari <>, berupa h dg h relatif prim dg orde <>, yaitu 9. diperoleh h =,,,5,7,8 sehingga <>=<>=<0>=<>=<6> Unsur yg tdk membangun <> adalah 6 dan, sehingga <6> = {0,6,} =<> subgrup dr <>