Bab IV Persamaan Integral Batas

Transkripsi

1 Bab IV Persamaan Integral Batas IV.1 Konvensi simbol ebelum memulai pembahasan, kita akan memperkenalkan sejumlah konvensi simbol yang akan digunakan pada tesis ini. imbol x, y, x 0 akan digunakan untuk menyatakan titik di R sebuah vektor di R. edang lambang subscript x 1, x untuk menyatakan komponen dari titik x = x 1, x ). edangkan simbol u superscript) u i menyatakan tensor di R. IV. Penentuan olusi Fundamental Pada bab 4 sebelumnya telah diperoleh persamaan dasar tokes Nonhomogen persamaan konstitutif ) dari proses deformasi benang viscoelastis menjadi droplet. P + η u = De t ) τ dengan u = u d dan τ = τ d. Melalui persamaan di atas, kita akan menentukan solusi fundamental solusi Green. Persamaan di atas ditulis dalam bentuk P + η u + gδx x 0 ) = 0 4.1) dengan u menyatakan solusi Green, dan x menyatakan titik pengamatan Observation Point) dan x 0 menyatakan titik sumber ource Point), P menyatakan tekanan isotropik, η menunjukkan kekentalan, g menyatakan vektor konstan, dan δ menyatakan fungsi Delta Dirac. Misal solusi Green dari persamaan 4.1) dituliskan dalam bentuk u i x) = 1 4πη G ijx, x 0 )g j 4.) dengan x 0 titik sumber, x titik pengamatan, dan G ij menyatakan fungsi Green, solusi fundamental propagator. Fungsi Green G ij yang kita punyai adalah fungsi Green pada aliran tak berhingga yang dibatasi oleh suatu permukaan. Titik pengamatan Observation Point) x menghampiri titik sumber x 0 sedemikian sehingga semua fungsi Green menghasilkan perilaku singularitas. Melalui teorema Divergensi Gauss yang dikenakan pada persamaan 4.) dan adanya persamaan kekontinuan, maka kita peroleh persamaan i u i = 0 G ij x, x 0 ) = 0 4.3)

2 7 dengan mengintegralkan persamaan 4.3) di luar domain yang dibatasi oleh permukaan, dan melalui teorema Divergensi Gauss diperoleh G ij x, x 0 )n i d = 0 4.4) titik sumber x 0 dapat diletakkan diluar, di dalam di batas domain. Misal kecepatan, tekanan, dan medan tegangan dinyatakan dalam bentuk fungsi Green P x) = 1 4π p jx, x 0 )g j π ij x) = 1 4πη T ijkx, x 0 )g j 4.5) yang mana u, p, T menyatakan tensor kecepatan, vektor tekanan, dan tensor tegangan yang dihubungkan dengan fungsi Green. Telah diasumsikan bahwa fluida tak-newton bersifat incompressible dan ada pengaruh pressure terhadap fluida tak-newton. Dengan demikian tensor tegangan total dapat dinyatakan π ij = P δ ij + τ ij 4.6) dengan ui x) τ ij = η + u ) kx) x k 4.7) Melalui persamaan 4.5)-4.7) diperoleh tensor tegangan yang dinyatakan dalam bentuk fungsi Green T. T ijk x, x 0 ) = δ ik p j x, x 0 ) + Gij x, x 0 ) + G ) kj x, x 0 ) x k 4.8) Masing-masing sisi diturunkan terhadap x i sedemikian sehingga diperoleh T ijk = p j x k + G kj x i 4.9) dan melalui persamaan 4.5) dan persamaan 4.1) 1 p j p j p ) ) j 1 u i + η + u j 4π x j x k 4πη x i x j ) + u k = gδx x x 0 ) k dan diperoleh p j x k + G kj x k melalui persamaan 4.9)-4.10) diperoleh = 4πδ kj δx x 0 ) 4.10) T ijk = T kij = 4πδ kj δx x 0 ) 4.11)

3 8 Kita memanfaatkan teorema Divergensi Gauss pada masing-masing sisi persamaan 4.11) diperoleh 4πδ T jk ijk d = T ijk x x 0 )n i x)dx) = πδ jk 4.1) 0 Pandang persamaan tokes Nonhomogen 4.1). Persamaan 4.1) juga persamaan Poisson. olusi fundamental dari persamaan Poisson sama dengan solusi fundamental dari persamaan Laplace. olusi fundamental dari persamaan Laplace akibatnya jj u i = δx x 0 ) 4.13) u i = 1 lnr) 4.14) π jj u i = 1 π jj lnr) = δx x 0 ) δx x 0 ) = 1 π ln r 4.15) dengan r = x x 0. Untuk menyeimbangkan dimensi dari persamaan 4.1), kita dapat menuliskan vektor tekanan pressure) P P = 1 ln r) g 4.16) π vektor tegangan g = g 1 i + g j) dan r = x 1 + x, akibatnya diperoleh ) P = 1 g 1 x 1 + g x π x 1 + x x 1 + x elanjutnya, persamaan 4.1) dapat ditulis dalam bentuk u = 1 η P gδx x 0)) 4.17) divergensi dari persamaan 4.17), diperoleh u ) = 1 η P + g δx x 0 )) ) P = 0 dengan mengambil Laplace dari persamaan 4.18), diperoleh 4.18) η 4 u P ) + g δx x 0 ) = 0

4 9 dari persamaan kekontinuan diperoleh persamaan biharmonik 4 u = ) dan dari persamaan 4.14)-4.16) ) 1 u = π g ln r ) 1 g π ln r 4.0) akibatnya diperoleh u = 1 πη g I ) lnr) 4.1) Penentuan solusi di atas dapat dilihat pada lampiran. Misal: u = 1 η g I ) H 4.) akibatnya u = ) 1 g I ) H ) 4.3) η dari persamaan 4.0) dan 4.1), diperoleh H = 1 lnr) 4.4) π dengan memberikan operator Laplace pada persamaan 4.3), berlaku persamaan biharmonik Melalui teorema Green kedua, diperoleh 4 H = δ x x 0 ) 4.5) H = 1 8π r lnr) 1) 4.6) dengan mensubstitusi nilai H ke persamaan 4.1), diperoleh persamaan di atas dapat ditulis u = 1 8πη g I ) r lnr) 1) 4.7) u = 1 8πη G ijg j G menyatakan fungsi Green solusi fundamental. G ij r) = 1 δ ik ln r + r ) ir k 4π r 4.8)

5 30 elanjutnya, kita akan menentukan tensor tegangan τ. Telah dijelaskan pada bab sebelumnya ui π ij = P δ ij + η + u ) j 4.9) x j dan pada subbab di atas diperoleh persamaan dari tensor kecepatan dengan r = x 1 + x dan u = 1 8πη )g I ) r ln r 1) P = 1 π x 1 g 1 + x g x 1 + x x 1 + x ) Misal π ij = 1 4π T ijkg j T ijk = 4ππ ik g j ui 4π P δ ij + η + u )) j g j 4.30) x j dengan mensubstitusi persamaan vektor kecepatan u dan vektor tekanan p ke persamaan 4.9), diperoleh persamaan T ijk = 1 π r i r j r k r 4 T ijk merupakan solusi fundamental bagi persamaan IV.3 P + η u + gδx x 0 ) = 0 Persamaan Integral Batas Pada sub bagian ini, kita akan membangun solusi untuk kecepatan dengan membangun persamaan integral batas. Diasumsikan bahwa tensor tegangan tak Newton awal diketahui η jj u l) i i P l) = De j t τ l) ij dalam 4.31) [ τ ij t j ] = 0 kondisi dinamik pada batas 4.3) 1 [ τ ij n j ] = σ + 1 ) n i kondisi dinamik pada 4.33) R 1 R dx i dt = u i kondisi kinematik padac. 4.34) τ ij 0) = Qδ ij tensor tegangan awal 4.35)

6 31 Teknik standar untuk merepresentasikan solusi masalah syarat batas di atas adalah dengan memanfaatkan solusi fundamentalnya. G ijk r) = 1 δ ik ln r + r ) ir k 4.36) 4π r T ijk r) = 1 r i r j r k 4.37) π r 4 Untuk melakukan itu, pertama, kita mentransformasi sistem koordinat Ox 1 x ke dalam sistem koordinat polar. Daerah batas didiskritisasi menjadi beberapa segmen garis. Titik pada batas dinamakan node. Akibatnya dengan mempertahankan orientasi positifnya, kita dapat menuliskan persamaan integral batasnya. jj u i y; x)u i y; x)d [ jj u i i P De j t τ ij ] d 4.38) [ jj u i y; x) i P De j t τ ij ] u i y; x) d 4.39) diperoleh persamaan integral batas c ik u i x) K ijk r)u i y)n j y)d 1 λ = 1 λ i P u i y; x)d De j t τ ij u i y; x)d 4.40) J ik r)κy)n i y)d J ik r) j τ NN ij y)d Integral domain pada persamaan integral di atas diuraikan melalui teorema Divergensi Gauss J ik r) j τ NN ij y)d = τ ij j J ik r)d + J ik r) τ ij r) n j y)) d Karena tensor tegangan tak Newton kontinu pada batas dan memiliki turunan terbatas maka ) τij NN n j = 0, akibatnya c ik u i x) K ijk r)u i y)n j y)d 1 J ik r)κn i y)d 4.41) λ = 1 τ ij r) j Jik NN y)d 4.4) λ Persamaan integral batas 4.4) mengandung dua kasus, yakni

7 3 a. Elemen batas sel internal tidak mengandung titik evaluasi. Elemen ini dinamakan elemen regular. K ijk r)u i y)n j y)d b. Elemen batas sel internal mengandung titik evaluasi. Elemen ini dinamakan elemen singular. J ik r)κn i y)d τ ij r) j J ik y)d Pada kasus pertama jarak antara titik evaluasi x dengan y harus lebih besar dari nol. Penentuan integral batas K ijkr)u i y)n j y)d menggunakan metode Gauss Legendre 1 titik. Berikut pada kasus kedua, jarak antara titik evaluasi x dengan y harus sama dengan nol. Penentuan integral batas J ikκn i d dan integral domain De t j u i y; x)d melalui penentuan solusi eksak.