BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial

Transkripsi

1 BAB Konsep Dasar

2 BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial

3 BAB Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial. Norm Denisi.. (Norm vektor) Norm vektor adalah pemetaan dari suatu fungsi terhadap setiap x IR N yang disimbolkan dengan jjxjj sedemikian hingga memenuhi sifat-sifat dibawah ini. jjxjj > untuk x =, atau jjxjj =, untuk x =. jjxjj = jjxjj. jjx + yjj jjxjj + jjyjj 9

4 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL Contoh jjxjj = jjxjj = jjxjj p = nx jx i j i= X n i= X n i= jjxjj = max jx i j in jx i j (Norm Euclid) jx i j p p Denisi.. (Norm matrik) Norm matrik adalah pemetaan dari suatu fungsi terhadap setiap x IR NN yang disimbolkan dengan jjajj sedemikian hingga memenuhi sifat-sifat dibawah ini. jjajj > untuk A =, atau jjajj =, untuk A =. jjajj = jjajj. jja + Bjj jjajj + jjbjj 4. jjabjj jjajjjjbjj Contoh jjajj F = n X i= nx j= ja i jj (Norm F robenius) jjajj v = max x= jjaxj v jjxjj v Denisi.. (Ruang Linier (RL)) Himpunan F dikatakan suatu ruang linier bila operasi penjumlahan dan perkalian terdenisi didalamnya sehingga f g F dan f + g F untuk 8f g F.

5 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL Denisi..4 (Ruang Linier Norm (RLN)) F dikatakan ruang linier norm bila F adalah merupakan RL dan terdapat fungsi norm sehingga. jjfjj > untuk f =, atau jjfjj =, untuk f =. jjfjj = jjfjj. jjf + gjj jjfjj + jjgjj untuk semua f g F. Konsep Masalah dalam Aproksimasi Misal f F dan f = P maka masalah dalam aproksimasi sebenarnya adalah menentukan p P sedemikian hingga jjf ; p jj jjf ; pjj 8p P kemudian p dikatakan suatu aproksimasi terbaik terhadap f. Hal ini dapat digambarkan dalam diagram Venn berikut ini p p* f F P Gambar.: Diagram aproksimasi Beberapa fungsi aproksimasi p(x) untuk menghampiri fungsi f(x) dalam F = C[a b] adalah sebagai berikut

6 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL P = fp : p(x) = a + a x + + a n x n; g P = fp : p(x) = P n r= a r r a r < r C[a b]g P = fp : p(x) = P n a rx r P n b rx r g P = fp : p(x) = P n r= re rx g: Sedangkan dalam F = IR N adalah P = fp : p(x) = P n r= a r r a r IR N r IR N g Teorema.. (Teorema Weirstrass) Misal f terdenisi dan terdifrensialkan pada interval [a b] maka terdapat polinomial p(x) yang juga terdenisi dan terdifrensialkan pada interval tersebut sedemikian hingga untuk nilai > berlaku jjf(x) ; p(x)jj < dan 8x [a b] Contoh F = C[a b] dan f F, tunjukkan bahwa berikut dibawah ini merupakan RLN jjfjj p = Z b a jf(x)j p dx jjfjj = max jf(x)j axb p p

7 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL. Solusi Iteratif Untuk Sistem Linier Ax = b Suatu sistem linier dapat digambarkan sebagai a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b (.). a nn x + a n x + + a nn x n = b n : Bila A merupakan matrik yang memuat koesien variabel x x : : : x n maka sistem linier itu dapat direduksi sistem Ax = b. Ada banyak metoda yang dapat digunakan dalam menyelesaikan sistem ini. Diantaranya metoda langsung dan metoda iteratif. Namun demikian sesuai dengan perkembangan hardware dan software komputer solusi dengan metoda iteratif ini menjadi sangat populer dan terus dikembangkan. Metoda langsung memanfaakan konsep invers dalam matrik sehingga sistem Ax = b dapat diselesaikan melalui A ; Ax = A ; b x = A ; b Teknik ini dipandang tidak esien dan efektif, bahkan dimungkinkan suatu sistem tidak dapat diselesaikan karena proses kalkulasi panjang yang harus dikerjakan, yaitu berkenaan dengan penghitungan invers matrik A. Metoda iteratif menguraikan matrik A ini kedalam unsur matrik yang lebih sederhana dan mudah dihitung oleh komputer. Misal A=D-L-U, dimana D

8 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 4 adalah matrik diagonal, L adalah negatif matrik segitiga bawah satu tahap dibawah diagonal utama dan U adalah negatif matrik segiatiga atas satu tahap diatas diagonal utama maka sistem diatas dapat dinyatakan sebagai berikut (D ; L ; U)x = b (.) Dx ; (L + U)x = b Dx = (L + U)x + b x = D ; (L + U)x + D ; b x = D ; (L + U)x + D ; b: Misal J = D ; (L + U) maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai x j+ = Jx j + D ; b: (.) Metoda ini disebut metoda Jacobi. Untuk meningkatkan kecepatan tingkat konvergensi dari metoda Jacobi, ditetapkanlah suatu koesien redaman! < sebagai faktor akselerasi terhadap metoda ini sedemikian hingga dapat disajikan dengan bentuk dibawah ini x j+ = ( ;!)I +!J x j +!D ; b: (.4) Metoda ini disebut metoda Jacobi teredam (damped Jacobi). Bentuk lain dari penyederhanaan (.) adalah sebagai berikut (D ; L)x ; Ux = b (D ; L)x = Ux + b x = (D ; L) ; Ux + (D ; L) ; b Misal G = (D ; L) ; U maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai x j+ = Gx j + (D ; L) ; b (.5)

9 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 5 Metoda ini disebut metoda Gauss-Seidel. Metoda-metoda iteratif ini dihitung berdasarkan suatu nilai awal yang dalam hal ini x, kemudian dengan rumusan itu dilanjutkan perhitungan untuk x x : : : sehingga diperoleh deret fx i g n i=. Deret ini akan konvergen terhadap nilai eksak x. Dapat dilihat disini bahwa proses penghitungan secara berulang terjadi sehingga dinamakan model solusi iteratif. Untuk menghentikan proses pengulangan ini, hasilnya harus dikonrmasikan dengan toleransi yang dalam hal ini dapat ditentukan dari nilai dibawah ini = jjb ; Axjj = jjb ; Axjj = jjb ; Axjj.4 Fungsi-Fungsi Aproksimasi.4. Interpolasi dan Polinomial Lagrange Polinomial Taylor yang sementara ini sudah cukup baik melakukan interpolasi terhadap suatu fungsi masih memiliki kelemahan diantaranya kekurangakuratan melakukan suatu aproksimasi. Hal ini disebabkan polinomial ini melakukan aproksimasi hanya berdasarkan satu titik tertentu. Dengan demikian interpolasi yang paling akurat hanya terjadi disekitar titik itu. Oleh karena itu diperlukan eksplorasi terhadap polinomial lainnya, polinomial Lagrange misalnya. Polinomial ini mengembangkan interpolasi terhadap suatu fungsi dibeberapa titik terhubung, sehingga interpolasinya berdasarkan titik-titik yang telah ditentukan terlebih dahulu pada fungsi itu. Semakin dekat jarak penentuan titik yang

10 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL satu dengan titik yang lainnya semakin akurat aproksimasinya. Dengan kata lain tingkat akurasinya ditentukan oleh kedekatan antara titik-titik (grid) pada fungsi tadi. Teorema.4. (Polinomial Langrange ke-n) Jika x x x : : : adalah bilangan berbeda dan f adalah suatu fungsi yang terdenisi pada titik-titik ini, maka ada dengan tungggal suatu polinomial p(x) berderajad paling besar n yang memenuhi sifat-sifat berikut f(x) = p(x) dimana dan p k (x) = f(x )L n (x) + + f(x n )L n n (x) = L n k (x) = ny i= i=k (x ; x i ) (x k ; x i ) nx k= f(x k )L n k (x) untuk k=,,, : : :, n Dalam hal ini L n k (x) dapat ditulis dngan L k (x) bila dianggap rancu dengan pengertian derajad n. Polinomial Lagrange ini memenuhi sifat sebagai berikut: L n k (x i ) = 8 >< >: jika i = k jika i = k Contoh Gunakan titik-titik x = x = :5 dan x = 4 untuk menentukan interpolasi polinomial kedua terhadap f(x) = =x.

11 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL Solusi L (x) = L (x) = L (x) = (x ; :5)(x ; 4) = (x ; :5)x + ( ; :5)( ; 4) (x ; )(x ; 4) (;4x + 4)x ; = (:5 ; )(:5 ; 4) (x ; )(x ; :5) (x ; 4:5)x + 5 = (4 ; )(4 ; :5) jika f(x ) = f() = :5 f(x ) = f(:5) = :4 f(x ) = f(4) = :5, maka didapat p (x) = X k= f(x k )L k (x) = :5((x ; :5)x + ) + :4 = (:5x ; :45)x + :5 (;4x + 4)x ; (x ; 4:5)x :5 Interpolasi oleh p (x) terhadap f(x) dapat digambarkan dibawah ini f(x).5 p(x) Gambar.: Interpolasi polinomial Lagrange p (x) terhadap f(x).4. Difrensi Terpisah Difrensi terpisah menyempurnakan interpolasi polinomial Lagrange dengan mengekspresikan bentuk p n (x) dalam p n (x) = a + a (x ; x ) + a (x ; x )(x ; x ) + : : : +a n (x ; x )(x ; x ) : : : (x ; x n; ) (.)

12 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 8 dimana a a : : : a n adalah konstanta. Selanjutnya bila kita tentukan x = x maka persamaan (.) menjadi p n (x ) = a = f(x ) f[x ] (.) dan x = x maka p n (x ) = a + a (x ; x ) = f(x ) p n (x ) = f(x ) + a (x ; x ) = f(x ) sehingga dengan demikian dapat dikatakan dan sehingga difrensi terpisah ke k a = f(x ) ; f(x ) x ; x f[x x ] (.8) f[x i x i+ ] = f[x i+] ; f[x i ] x i+ ; x i (.9) f[x i x i+ x i+ ] = f[x i+ x i+ ] ; f[x i x i+ ] x i+ ; x i (.) f[x i x i+ : : : x i+k ] = f[x i+ x i+ : : : x i+k ] ; f[x i x i+ : : : x i+(k;) ] x i+k ; x i : (.) Dan terakhir persamaan (.) menjadi p n (x) = f[x ] + f[x x ](x ; x ) + f[x x x ](x ; x )(x ; x ) + : : : +f[x x : : : x n ](x ; x )(x ; x ) : : : (x ; x n; ) (.)

13 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 9 Selanjuntya untuk x = x + sh x = x i + (s ; i)h atau h = x ; x i s ; i i = : : : n maka p n (x) = p n (x + sh) = f[x ] + shf[x x ] + s(s ; )h f[x x x ] + + s(s ; ) : : : = (s ; (n ; ))h n f[x x : : : x n ] (.) nx k= s(s ; ) : : : (s ; k + )h k f[x x : : : x k ] (.4) Bukti Pada suku kedua dari persamaan (.) h dapat diganti dengan h = x;x, pada suku ketiga h dapat diganti dengan h h = keempat, kelima dan seterusnya. Sekarang kita nyatakan (.4) dalam ekspresi p n (x) = p n (x + sh) = nx B s k x;x s x;x s; C A k!h k f[x x : : : x k ] s begitu juga suku dimana s k C A = s(s ; ) : : : (s ; k + ) k!

14 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL Dan diperkenalkan difrensi langkah maju sebagai berikut sehingga 4f(x n ) = f(x n+ ) ; f(x n ) f[x x ] = f(x ) ; f(x n ) x ; x = h 4 f(x ) f[x x x ] = f[x x ] ; f[x x ] = x ; x h [ h 4 f(x ) ; h 4 f(x )] = h 4 f(x ) Substitusikan ini kedalam persamaan maka diperoleh bentuk f[x : : : x k ] = k!h k 4k f(x ) (.5) p n (x) = p n (x + sh) = nx B s k p n (x) = p n (x + sh) = P n k= C A k!h k f[x x : : : x k ] s k C A 4 k f(x ): Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Maju Newton (NFDD). Untuk mempermudah dapat disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah maju sebagaimana tabel.. Selanjutnya bila urutan itu dibalik yaitu x n x n; x n; : : : x, maka p n (x) dapat dinyatakan dalam p n (x) = a + a (x ; x n ) + a (x ; x n )(x ; x n; ) + : : : +a n (x ; x n )(x ; x n; ) : : : (x ; x ) (.) dimana a a : : : a n adalah konstanta.

15 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL x f(x) D. T. I D. T. II D. T. III x f[x ] f[x x ] x f[x ] f[x x x ] = f [x x ];f [x x ] x ;x f[x x ] f[x x x x ] = f [x x x ];f [x x x ] x ;x x f[x ] f[x x x ] = f [x x ];f [x x ] x ;x f[x x ] f[x x x x 4 ] = f [x x x 4 ];f [x x x ] x 4 ;x x f[x ] f[x x x 4 ] = f [x x 4 ];f [x x ] x 4 ;x f[x x 4 ] f[x x x 4 x 5 ] = f [x x 4 x 5 ];f [x x x 4 ] x 5 ;x x 4 f[x 4 ] f[x x 4 x 5 ] = f [x 4 x 5 ];f [x x 4 ] x 5 ;x f[x 4 x 5 ] x 5 f[x 5 ] Tabel.: Difrensi terpisah langkah maju. Misal kita tentukan x = x n maka persamaan (.) menjadi p n (x n ) = a = f(x n ) f[x n ] (.) dan untuk x = x n; maka p n (x n; ) = a + a (x n; ; x n ) = f(x n; ) p n (x n; ) = f(x n ) + a (x n; ; x n ) = f(x n; ) sehingga a = f(x n;) ; f(x n ) x n; ; x n = f(x n) ; f(x n; ) x n ; x n; f[x n x n; ]: (.8) Dengan demikian persamaan (.) menjadi p n (x) = f[x n ] + f[x n x n; ](x ; x n ) + f[x n x n; x n; ](x ; x n )(x ; x n; ) + : : : +f[x n x n; : : : x ](x ; x n )(x ; x n; ) : : : (x ; x ) (.9)

16 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL Selanjutnya untuk maka x = x n + sh x = x n;i + (s + i)h atau h = x ; x n;i i = : : : n ; s + i p n (x) = p n (x n + sh) = f[x n ] + shf[x n x n; ] + s(s + )h f[x n x n; x n; ] + + s(s + ) : : : = (s + (n ; ))h n f[x n x n; : : : x ] (.) nx k= s(s + ) : : : (s + k ; )h k f[x n x n; : : : x ] Bukti Pada suku kedua dari persamaan (.) h dapat diganti dengan h = x n;x n; pada suku ketiga h dapat diganti dengan h h = juga suku keempat, kelima dan seterusnya. Sehingga kita memiliki ekspresi p n (x) = p n (x + sh) = nx k= B (;) ;s k x n ;x n; s x;x n; s+ C A k!h k f[x n x n; : : : x ] s, begitu dimana s k C k s(s ; ) : : : (s ; k + ) A = (;) k! Diperkenalkan juga bentuk difrensi langkah mundur 5f(x n ) = f(x n ) ; f(x n; ) n 5 k f(x n ) = 5(5 k; f(x n )) k

17 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL maka dan akhirnya f[x n x n; ] = f(x n) ; f(x n; ) x n ; x n; = h 5 f(x n) f[x n x n; x n; ] = f[x n x n; ] ; f[x n; x n; ] x n ; x n; = h 5 f(x n ) f[x n x n; : : : x ] = k!h k 5k f(x n ) (.) Substitusikan ini kedalam persamaan p n (x) = p n (x + sh) = maka diperoleh bentuk nx k= B (;) ;s P n p n (x) = p n (x B + sh) = ;s (;)k k C A k!h k f[x n x n; : : : x ] k C A 5 k f(x n ): Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Mundur Newton (NBDD). Dalam hal ini dapat pula disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah mudur sebagai berikut:

18 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 4 x f(x) D. T. I D. T. II D. T. III x f[x ] f[x x ] x f[x ] f[x x x ] = f [x x ];f [x x ] x ;x f[x x ] f[x x x x ] = f [x x x ];f [x x x ] x ;x x f[x ] f[x x x ] = f [x x ];f [x x ] x ;x f[x x ] f[x 4 x x x ] = f [x x x ];f [x 4 x x ] x ;x 4 x f[x ] f[x 4 x x ] = f [x x ];f [x 4 x ] x ;x 4 f[x 4 x ] f[x 5 x 4 x x ] = f [x 4 x x ];f [x 5 x 4 x ] x ;x 5 x 4 f[x 4 ] f[x 5 x 4 x ] = f [x 4 x ];f [x 5 x 4 ] x ;x 5 f[x 5 x 4 ] x 5 f[x 5 ] Tabel.: Difrensi terpisah langkah mundur. Contoh Suatu data diberikan dalam tabel berikut ini Tentukan interpolasi difrensi x f(x) terpisal langkah maju p 4 terhadap data tersebut dan tentukan nilai aproksimasi dari f(:5).

19 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 5 Solusi Dengan menggunakan difrensi terpisah langkah maju didapatkan tabel berikut ini i x i f[x i ] FDD I FDD II FDD III FDD IV Sehingga formulasi dari NFDD adalah sebagai berikut p 4 (x) = :59 ; :485(x ; :) ; :89(x ; :)(x ; :) + :5884 :(x ; :)(x ; :)(x ; :) + :85(x ; :)(x ; :)(x ; :)(x ; :9) Selanjutnya dapat ditentukan f(:5) p 4 (:5) = :58 Gambar dibawah ini menunjukkan bagaimana p 4 (x) menginterpolasi data f(x) p4(x) Gambar.: Approksimasi NFDD p 4 (x)

20 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL.4. Interpolasi Splin Kubik Denisi.4. Fungsi f terdenisi pada interval [a b] dan diberikan himpunan titik x x : : : x n dimana a = x < x < < x n = b, maka interpolasi splin kubik S untuk f adalah suatu fungsi yang memenuhi beberapa sarat berikut ini. S(x) adalah fungsi polinomial kubik, dinotasikan dengan S j (x), yang terdenisi pada subinterval [x j x j+ ] untuk masing-masing j = : : : n ;. S(x j ) = f(x j ) untuk setiap j = : : : n. S j+ (x j+ ) = S j (x j+ ) untuk setiap j = : : : n ; 4. S j+(x j+ ) = S j(x j+ ) untuk setiap j = : : : n ; 5. S j+(x j+ ) = S j (x j+ ) untuk setiap j = : : : n ;. dan satu diantara sarat batas berikut terpenuhi (a) S (x ) = S (x n ) = (sarat batas bebas atau alami) (b) S (x ) = f (x ) dan S (x n ) = f (x n ) (sarat batas terikat) Selanjutnya jika sarat batas bebas yang terjadi maka splin ini dinamakan Splin Alami, dan sebaliknya bila sarat batas terikat yang terjadi maka disebut Splin Terikat. Splin Kubik Alami Untuk membangun splin kubik ini pertama kali kita tulis interpolasi plonomial kubik S j (x) = a j + b j (x ; x j ) + c j (x ; x j ) + d j (x ; x j ) j = : : : n ; (.)

21 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL Untuk x = x j, maka S j (x j ) = a j = f(x j ) (.) dan untuk x = x j+ maka a j+ = S j+ (x j+ ) = S j (x j+ ) = a j + b j (x j+ ; x j ) + c j (x j+ ; x j ) + d j (x j+ ; x j ) j = : : : n ;. Bila h j = x j+ ; x j a j+ = a j + b j h j + c j h j + d j h j j = : : : n ; (.4) Sekarang didenisikan b n = S n(x) dan turunan pertama (.) adalah S j(x) = b j + c j (x ; x j ) + d j (x ; x j ) sehingga b j+ = S j+ (x j+) = S j (x j+) (lihat poin5 : pada denisi) = b j + c j h j + d j h j j = : : : n ; : (.5) Sekarang permisalkan c = S n (x), dan turunan kedua dari (.) adalah S j (x) = c j + d j (x ; x j ) sehingga c j+ = c j + d j h j d j = (c j+ ; c j ) h j (.) Substitusikan persamaan ini ke (.4)dan (.5) didapat a j+ = a j + b j h j + c j h j + (c j+ ; c j )h j h j = a j + b j h j + h j (c j + c j+ ) (.)

22 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 8 dan b j+ = b j + c j h j + (c j+ ; c j )h j h j = b j + h j (c j + c j+ ) (.8) Ekspresikan persamaan (.) dalam b j dan kemudian reduksi indeknya satu kali b j = h j (a j+ ; a j ) ; h j (c j + c j+ ): (.9) b j; = h j; (a j ; a j; ) ; h j; (c j; + c j ): (.) Reduksi juga indek dari persamaan (.8) satu kali b j = b j; + h j; (c j; + c j ) (.) Substitusikan (.9) dan (.) ke (.) h j (a j+ ; a j ) ; h j (c j + c j+ ) = h j; (a j ; a j; ) ; h j; (c j; + c j ) Kelompokkan seluruh variabel c keruas kiri + h j; (c j; + c j ): h j; (c j; + c j ) ; h j; (c j; + c j ) ; h j (c j + c j+ ) = ; h j (a j+ ; a j ) + h j; (a j ; a j; ) ;h j; (c j; + c j ) + h j; (c j; + c j ) + h j (c j + c j+ ) = h j (a j+ ; a j ) ; h j; (a j ; a j; ) Dengan demikian diperoleh bentuk indek berurut dari koesien c h j; c j; + (h j; + h j )c j + h j c j+ = h j (a j+ ; a j ) ; h j; (a j ; a j; ) (.) dimana j = : : : n ;.

23 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 9 Splin kubik alami memenuhi kondisi S (x ) = S (x n ) =, dengan demikian masing-masing j dapat diformulasikan sebagai berikut j =! c = j =! h c + (h + h )c + h c = h (a ; a ) ; h (a ; a ) j =! h c + (h + h )c + h c = h (a ; a ) ; h (a ; a ). j = n ;! h n; c n; + (h n; + h n; )c n; + h n; c n = h n; (a n ; a n; ) ; h n; (a n; ; a n; ) j = n! c n = : Persamaan ini terdiri dari n persamaan dan n variable c j yang akan dicari, dengan kata lain menyelesaikan persamaan ini adalah sama dengan menyelesaikan suatu sistem linier Ax = b, dimana A = 4 h (h + h ) h h (h + h ) h h n; (h n; + h n; ) h n; 5

24 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 4 dan b = 4 (a h ; a ) ; (a h ; a ) (a h ; a ) ; (a h ; a ). h n; (a n ; a n; ) ; h n; (a n; ; a n; ) 5 x = 4 c c c. c n; c n 5 Matrik A adalah matrik yang elemennya mendominasi diagonal sejajar dengan diagonak utama (strictly diagonally dominant), diluar itu nilainya nol. Hal ini membantu dalam melakukan kalkulasi untuk x. Dengan menggunakan metoda iteratif, sistem linier itu dapat diselesaikan dengan mudah. Algoritma splin kubik alami INPUT n x x : : : x n a = f(x ) : : : a n = f(x n ). OUTPUT a j b j c j d j untuk j = : : : n ; (Catatan : S j (x j ) = a j + b j (x ; x j ) + c j (x ; x j ) + d j (x ; x j ) untuk x j x x j+ :) Step for i = : : : n ; dan Set h i = x i+ ; x i : Step for i = : : : n ; dan Set i = h i (a i+ ; a i ) ; h i; (a i ; a i; ) Step Set l = (Langkah,4,5 dan sebagian dari adalah algoritma untuk menyelesaikan sistem linier tridiagonal Ax = b) = z = : Step 4 for i = : : : n ;

25 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 4 set l i = (x i+ ; x i; ) ; h i; i; i = h i =l i z i = ( i ; h i; z i; )=l i : Step 5 Set l n = z n = c n = : Step for j = n ; n ; : : : set c j = z j ; j c j+ b j = (a j+ ; a j )=h j ; h j (c j+ + c j )= d j = (c j+ ; c j )=(h j ): Step OUTPUT(a j b j c j d j untuk j = : : : n ; ) STOP. Contoh Tentukan interpolasi splin kubik pada data berikut ini x j a j = f(x j ) Solusi Polinomial kubik dalam hal ini adalah S j (x j ) = a j + b j (x ; x j ) + c j (x ; x j ) + d j (x ; x j ) dimana j = : : : n ;. Karena n = maka j =, dengan asumsi j =!

26 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 4 c = dan j =! c = sehingga A = 4 h (h + h ) h h (h + h ) h 5 dan b = 4 h (a ; a ) ; h (a ; a ) h (a ; a ) ; h (a ; a ) 5 x = 4 c c c c 5 Dengan memasukkan nilai h j dan a j dapatlah diperoleh matrik dan vektor sebagai berikut A = dan b = 4 ;9 5

27 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 4 Dengan menyelesaikan sistem itu diperoleh vektor x sebagai berikut x = 4 c c c c 5 = 4 :4 ;: Sedang b j dan d j dapat dihitung dengan menggunakan rumus (.9) dan (.). Hasil selengkapnya dapat dilihat dalam tabel berikut 5 x j a j b j c j d j ; ; Grak dibawah ini menunjukkan interpolasi splin kubik terhadap suatu data '*'. 5 4 S(x) Gambar.4: Approksimasi spline kubik S (x)

28 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 44.5 Solusi Iteratif Integral Terbatas Teknik numeris untuk menghitung integral tertentu yang dikenal sebagai Integrasi Numeris dibutuhkan untuk menyelesaikan atau menghitung nilai integral dimana fungsi yang diintegralkan tidak mempunyai antiturunan yang eksplisit atau fungsi yang antiturunannya tidak mudah ditentukan. Suatu metoda yang cukup dasar sekali adalah metoda numeris kuadratur. Metoda ini menggunakan rumus jumlah P n i= a if(x i ) untuk menghitung nilai approksimasi terhadap R b a f(x)dx. Interpolasi fungsi approksimasi metoda ini didasarkan atas pemilihan dan pengembangan interpolasi polinomial Lagrange karena polinomial ini dianggap merupakan fungsi approksimasi yang terbaik p. Prosedur penurunannya diawali dengan menentukan himpunan titik-titik berbeda x : : : x n dari interval [a b], selanjutnya mengintegralkan polinomial Lagrange dan suku kesalahan pemenggalannya dalam interval [a b]. P n (x) = nx i= f(x i )L i (x) Z b a f(x)dx = = Z b a nx i= nx i= f(x i )L i (x)dx + a i f(x i ) + (n + )! Z b a Z b a ny ny i= i= (x ; x i ) f n+ ((x)) (n + )! dx (x ; x i )f n+ ((x))dx dimana (x) [a b] untuk setiap x dan Z b a i = L i (x)dx untuk setiap i = : : : n: a Dengan demikian secara umum formula kuadratur numeris itu adalah Z b a f(x)dx nx i= a i f(x i )

29 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 45 dengan kesalahan E(f) = Z b (n + )! a ny i= (x ; x i )f (n+) ((x))dx: Metoda ini dipandang terlampau sederhana dan tidak cukup akurat untuk mengatasi permasalahan yang lebih komplek. Bila kita cermati formulasi kesalahannya maka rumusan ini digeneralisasi dari pengembangan aproksimasi deret Taylor yang belum diekpansi, sedangkan disadari bahwa akurasi deret Taylor yang belum terekspansi level akurasinya rendah dan penetapan fungsi aproksimasinya hanya berdasarkan pada pengambilan satu titik sampel. Metoda lain yang dipandang lebih akurat adalah aturan Trapesium dan Simpson. Aturan ini dikembangkan dari perluasan interpolasi polinomial Lagrange kesatu dan kedua pada himpunan titik-titik sampel. Misal kita notasikan x = a x = b h = b ; a dan polinomial Lagrange linier P (x) = (x ; x ) (x ; x ) f(x ) + (x ; x ) (x ; x ) f(x ): maka Z b a f(x)dx = Z x (x ; x ) x (x ; x ) f(x ) + (x ; x ) (x ; x ) f(x ) dx + Z x x f ((x))(x ; x )(x ; x )dx: (.) Jika (x ; x )(x ; x ) tidak berubah tanda dalam interval [x x ] maka teorema nilai "weighted mean" untuk integral dapat diterapkan dalam suku kesalahannya sehingga diperoleh Z x Z x f ((x))(x ; x )(x ; x )dx = f () (x ; x )(x ; x )dx x x = f x () ; (x + x ) x + x x x = ; h f (): x x

30 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 4 Sebagai konsukwensinya (.) akan menjadi Z b a f(x)dx = (x ; x ) (x ; x ) f(x ) + (x ; x ) (x ; x ) f(x ) = x ; x [f(x ) + f(x )] ; h f (): x ; h x f () Dengan demikian untuk h = x ; x kita mendapatkan rumus berikut ini Aturan Trapesium R b a f(x)dx = h [f(x ) + f(x )] ; h f () (.4) Rumus ini disebut aturan Trapesium karena jika f adalah susatu fungsi posi- R b tif, maka f(x)dx dapat diapproksimasikan dengan luas dari trapesium seba- a gaimana digambarkan dalam Gambar.5. y f P_ a=x_ b=x_ x Gambar.5: Aturan Trapesium. Bila kita perhatikan rumus diatas, dapatlah disimpulkan bahwa aturan Trapesium itu akan memberikan solusi eksak terhadap sebarang fungsi yang turunan keduanya adalah sama dengan nol (sebarang polinomial berorder satu atau kurang), karena suku kesalahan trapesium ini meliputi f. Dengan kata lain aturan Trapesium dikatakan berorder satu, dan suku kesalahan pemenggalannya adalah suatu fungsi O(h ). Dari sisi ini kita dapat mengatakan bahwa aturan Trapesium

31 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 4 juga tidak cukup akurat untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang sangat komplek memandang rendahnya order dari aturan ini sehingga tetap dibutuhkan aturan lainnya. Salah satu metoda yang cukup terkenal adalah aturan Simpson. Aturan Simpson didapat dari mengintegralkan polinomial Lagrange kedua dalam batas [a b] dengan beberapa titik x = a x = b dan x = a + h, untuk h = (b;a), lihat Gambar.. Polinomial Lagrange kedua disajikan dalam Sehingga P (x) = (x ; x )(x ; x ) (x ; x )(x ; x ) f(x ) + (x ; x )(x ; x ) (x ; x )(x ; x ) f(x ) + (x ; x )(x ; x ) (x ; x )(x ; x ) f(x ) Z b a f(x)dx = (x ; x )(x ; x ) (x ; x )(x ; x ) f(x ) + (x ; x )(x ; x ) (x ; x )(x ; x ) f(x ) + (x ; x )(x ; x ) (x ; x )(x ; x ) f(x ) dx + Z x (x ; x )(x ; x )(x ; x ) f () ((x))dx: x y f P_ a=x_ x_ b=x_ x Gambar.: Aturan Simpson. Sebagaimana aturan Trapesium, penentuan orde aturan Simpson juga dapat dilihat dari suku kesalahannya. Suku kesalahan rumus ini hanya sampai pada suku kesalahan O(h 4 ) yaitu hanya meliputi f () sehingga aturan Simpson yang

32 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 48 diturunkan dari interpolasi Lagrange hanya berorder dua. Versi yang lebih baik dari aturan Simpson order dua ini adalah aturan yang diturunkan dari ekspansi polinomial Taylor ketiga f terhadap x. Misalkan masing-masing x [a b] ada bilangan (x) (x x ) maka ekspansi Taylor f(x) = f(x ) + f (x )(x ; x ) + f (x ) + f (4) ((x)) (x ; x ) 4 4 (x ; x ) + f (x ) (x ; x ) dan Z x x f(x)dx = f(x )(x ; x ) + f (x ) (x ; x ) + f (x ) (x ; x ) + f x (x ) (x ; x ) 4 4 x Z + x f (4) ((x))(x ; x ) 4 dx (.5) 4 x Karena (x ; x ) 4 tidak pernah bernilai negatif pada interval [x x ], maka teori nilai "Weighted Mean" untuk integral akan menjadi 4 Z x untuk sebarang (x x ). f (4) ((x))(x ; x ) 4 dx = f (4) ( ) x 4 Z x x (x ; x ) 4 dx = f (4) ( ) (x ; x ) 5 x Sementara kita tahu bahwa h = x ; x = x ; x, sehingga x (x ; x ) ; (x ; x ) = (x ; x ) 4 ; (x ; x ) 4 = (x ; x ) ; (x ; x ) = h dan (x ; x ) 5 ; (x ; x ) 5 = h 5 Sebagai konsukwensinya persamaan (.5) dapat ditulis sebagai Z x x f(x)dx = hf(x ) + h f (x ) + h 5 f (4) ( ) (.)

33 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 49 Disisi lain kita memiliki ekspresi f(x + h) = f(x ) + f (x )h + f (x )h + f (x )h + 4 f (4) ( )h 4 f(x ; h) = f(x ) + f (x )h ; f (x )h + f (x )h ; 4 f (4) ( ; )h 4 dimana x ;h < ; < x < < x +h. Dan bila kita jumlahkan kedua ekspansi Taylor ini f(x + h) + f(x ; h) = f(x ) + f (x )h + 4 [f (4) ( +) + f (4) ( ; +)]h 4 Sederhanakan untuk f (x ) didapat f (x ) = h [f(x ; h) ; f(x ) + f(x + h)] ; h 4 [f (4) ( ) +f (4) ( ; +)]: (.) Teorema nilai tengah mengatakan bahwa untuk f (4) C[x ; h x + h] maka f (4) () = [f (4) ( +) + f (4) ( ; +)]: Dengan demikian kita dapat menulis (.) sebagai f (x ) = h [f(x ; h) ; f(x ) + f(x + h)] ; h f (4) () (.8) untuk sebarang (x ; h x + h). Pada akhirnya (.) dapat ditulis dengan mengganti f (x ) dengan persamaan (.8) adalah f(x)dx = hf(x ) + h x h [f(x ) ; f(x ) + f(x )] ; h [f (4) ( ) + h5 f (4) ( ) Z x = h [f(x ) + 4f(x ) + f(x )] ; h 5 f (4) ( ) ; 5 f (4) ( )

34 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 5 Dan ingat sekali lagi bahwa kita dapat mengganti ekspresi dan dengan (x x ) sehingga aturan Simpson secara umum adalah Aturan Simpson R x x f(x)dx = h [f(x ) + 4f(x ) + f(x )] ; h5 9 f (4) () (.9) Secara denitif perbincangan order itu dapat ditafsirkan sebagai barometer keakuratan suatu teknik approksimasi. Semakin tinggi order itu berarti semakin luas ekspansi suku kesalahannya, akibatnya kesalahan pemenggalan semakin kecil. Sebagaimana dijelaskan dalam Burden dan Faires denisi derajad keakuratan dapat dijelaskan sebagai berikut: Denisi.5. (Derajad keakuratan atau presesi) Derajad keakuratan atau presesi dari formulasi kuadratur adalah bilangan bulat positif terbesar n sedemikian hingga formula itu eksak untuk x k, dimana k = : : : n (99 : 89). Dengan denisi (.5.) ini ditambah kenyataan besarnya order pada masingmasing aturan, maka aturan Trapesium dan Simpson masing-masing mempunyai derajad presesi satu dan tiga. Maka dapatlah disimpulkan bahwa aturan Simpson akan lebih cepat konvergen dibandingkan aturan Trapesium. Artinya aturan Simpson dimungkinkan lebih akurat pendekatannya dalam menghitung nilai integral untuk jumlah iterasi yang sama dari kedua aturan tersebut.

35 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 5 Latihan Tutorial. Buktikan bahwa jjfjj = max axb jf(x)j merupakan norm pada C[a b].. Jika A IR NN A = A T dan A denit positif matrik, yakni x T Ax > untuk seberang vektor x, maka buktikan bahwa jjxjj A = (x T Ax) merupakan norm pada IR N. Mana diantara berikut ini merupakan norm. (a) dalam IR (b) dalam IR N jjxjj = maxfjx j + jx j jx j + jx jg. jjajj = max x j P n k= a kx k; j. 4. Nyatakan teorema aproksimasi Weirstrass untuk f C[a b]. Selanjutnya tunjukkan bahwa untuk jjgjj p = ( R b a w(x)jg(x)jp dx ) p dimana p, dan diberikan >, maka 9N = N() dan polinomial p N (x) sedemikian hingga jjf ; p N jj K p untuk sebarang konstanta K > 5. Gunakan interpolasi polinomial Lagrange derajad satu, dua dan tiga untuk menentukan nilai aproksimasi dari masing-masing dibawah ini (a) tentukan nilai dari f(8:4) bila diketahui f(8:) = :944 f(8:) = :549 f(8:) = 8:555 dan f(8:) = 8:89. (b) tentukan nilai dari f(:5) bila diketahui f(:) = ;:49958 f(:) = ;:8988 f(:) = :95 dan f(:4) = :48444.

36 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 5 (c) tentukan nilai daricos :5 bila diketahui cos :98 = : cos : = :4 cos :8 = :9 dan cos :8 = :94.. Tentukan fungsi aproksimasi Lagrange untuk menginterpolasi fungsi berikut (a) f(x) = e x cos x x = x = : x = : (b) f(x) = sin ln x x = : x = :4 x = : (c) f(x) = cos x + sin x x = x = :5 x = :5 x = : (d) f(x) = e x cos x x = x = : x = :. Suatu data disajikan dalam tabel dibawah ini maka tentukan x f(x) (a) nilai dari f(:5) dengan menggunakan NFDD (b) nilai dari f(:5) dengan menggunakan NBDD 8. Polinomial berderajad empat p(x) memenuhi sifat 4 4 p() = 4 4 p() =, dan 4 p() = dimana 4p(x) = p(x + ) ; p(x). Hitung 4 p(). 9. Perbincangan aproksimasi lebih luas banyak dikaitkan dengan interpolasi terhadap suatu fungsi f dengan fungsi aproksimasi p. Selanjutnya akurasi interpolasi itu diukur dari kedekatan antara f dan p, secara matematis ditulis dengan jjf ; pjj (dibaca : norm(f-p)). Sebutkan denisi norm ini, baik vektor ataupun matrik. Kemudian dengan pemahaman akan norm ini sebutkan apa sebenarnya inti permasalahan (konsep masalah) dalam aproksimasi itu. Jika kita memilih fungsi aproksimasi p tentunya kita pilih

37 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 5 fungsi yang terbaik. Dalam hal ini ada beberapa fungsi aproksimasi yang dapat digunakan untuk menginterpolasi fungsi f itu, sebutkan namanama fungsi aproksimasi tersebut. Salah satu fungsi aproksimasi yang eksibel adalah splin kubik. Dengan data dibawah ini tentukan fungsi aproksimasi splin kubik untuk menginterpolasi data f(x j ) dimana x j =. x j a j = f(x j ) 9. Gunakan splin kubik untuk menginterpolasi fungsi-fungsi berikut ini (a) f(x) = x ln x dan tentukan f(8:4) dan f (8:4) (b) f(x) = sin(e x ; ) dan tentukan f(:9) dan f (:9) (c) f(x) = x cos x ; x + x ; dan tentukan f(:5) dan f (:5). Splin kubik alami S pada interval [ ] didenisikan sebagai S(x) = 8 >< >: S (x) = + x ; x jika x < S (x) = a + b(x ; ) + c(x ; ) + d(x ; ) jika x < tentukan nilai dari a b c dan d.. Berikut ini disajikan konstruksi automobile, gunakan splin kubik untuk menginterplosi permukaan atas automobile tersebut.. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan dan jarak tertentu pada saat tertentu t, sebagaimana digambarkan dalam tabel berikut. Selanjutnya

38 BAB. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 54 x_ x_ x_ x_ x_4 x_5... x_n Gambar.: Konstruksi automobile Waktu (jam) 5 8 Jarak (km) Kecepatan (a) gunakan splin kubik untuk mempridiksikan jarakyang ditempuh mobil dan kecepatan pada saat mobile melaju selama jam. (b) Tentukan kecepatan maksimum dari laju mobil tersebut.