Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Perambatan Gelombang
|
|
- Sugiarto Yuwono
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Perambatan Gelombang Moh. Ivan Azis September 13, 2011 Abstrak Metode Elemen Batas untuk masalah perambatan gelombang akustik (harmonis) berhasil diturunkan pada tulisan ini. Sistem yang diperhatikan terpakai untuk media yang anisotropik. Daftar Isi 1 Pendahuluan 1 2 Masalah Nilai Batas 2 3 Solusi fundamental 2 4 Persamaan integral batas 3 5 Diskritisasi 4 6 Hasil numerik 7 7 Konklusi 10 1 Pendahuluan Tulisan ini mendiskusikan pembentukan MEB untuk solusi numerik masalah nilai batas yang dibangun oleh persamaan berbentuk λ ij 2 ϕ + k 2 ϕ = 0, untuk i, j = 1, 2 (1) x i x j Dipublikasikan pada Jurnal Fisika FUSI Jurusan Fisika FMIPA Unhas, Vol. 6, Nomor 8, 2002, Halaman Dosen Jurusan Matematika Fak. MIPA Unhas, Makassar Indonesia. mohivanazis@ hotmail.com 1
2 dimana kofisien λ ij dan k konstan, dan matriks kofisien [λ ij ] merupakan matriks bilangan real definit positif dan simetris. Juga, pada (1) penjumlahan untuk index yang berulang (jumlahan dari 1 sampai 2) diberlakukan, sehingga secara eksplisit (1) dapat dituliskan sebagai 2 ϕ 2 ϕ 2 ϕ λ λ x λ 22 + k 2 ϕ = 0 1 x 1 x 2 x 2 2 Bila λ 11 = λ 22 = 1 dan λ 12 = 0 maka persamaan (1) adalah persamaan Helmholtz yang merupakan persamaan pembangun untuk model perambatan gelombang harmonis waktu (time-harmonic waves) dalam media isotropik, yaitu gelombang kontinyu pada suatu frekuensi tetap, dimana ϕ melambangkan potensial kecepatan (velocity potential) dan k adalah bilangan gelombang (wave number) (lihat misalnya Wu [4]). 2 Masalah Nilai Batas Dengan merujuk pada sistim kordinat Cartesian Ox 1 x 2 solusi dari (1) dicari dimana solusi tersebut valid dalam daerah Ω di R 2 dengan batas Γ yang terdiri dari sejumlah berhingga kurva mulus bagian demi bagian. Pada Γ salah satu dari ϕ(x) atau P (x) = λ ij ϕ(x) x i n j (x) diberikan, dimana x = (x 1, x 2 ), n = (n 1, n 2 ) melambangkan vektor normal satuan mengarah ke luar di batas Γ. Metode solusi yang dipakai akan bekerja dengan cara menurunkan suatu persamaan integral batas, yang relevan untuk persamaan differensial (1), darimana nilai numerik ϕ dan P dapat ditentukan untuk semua titik dalam daerah Ω. 3 Solusi fundamental Persamaan integral batas yang disebutkan pada Pasal 2 melibatkan suatu fungsi solusi fundamental ϕ yang didefinisikan sebagai λ ij 2 ϕ + k 2 ϕ = δ(x ξ) (2) x i x j dimana ξ = (ξ 1, ξ 2 ) dan δ adalah fungsi delta Dirac. Solusi fundamental ϕ ini dapat dituliskan sebagai berikut (lihat Azis [2] untuk penurunan ϕ ) ( ) ık ϕ (x, ξ) = R 4 H(2) 0 (ωr) (3) 2
3 dimana R melambangkan bagian real dari bilangan (kompleks) argumen ı = 1 K = ρ/d D = [λ 11 + λ 12 (ρ + ρ) + λ 22 ρρ]/2 ω = k / D R = (x 1 + ρx 2 ξ 1 ρξ 2 ) 2 + ( ρx 2 ρξ 2 ) 2 ρ dan ρ berturut-turut merupakan bagian real dan imajiner positif dari akar kompleks ρ dari persamaan kuadrat λ λ 12 ρ + λ 22 ρ 2 = 0 dan H (2) 0 adalah fungsi Hankel jenis kedua orde nol, serta tanda bar (.) melambangkan operasi konjugat untuk bilangan kompleks. Selain ϕ kita juga memerlukan fungsi P, yang didefinisikan sebagai P ϕ (x, ξ) (x, ξ) λ ij n j (x) x i untuk evaluasi persamaan integral batas tersebut di atas. Fungsi P ini dapat dituliskan sebagai ( ) ıkω P R = R λ ij n j H (2) 1 (ωr) (4) 4 x i dimana H (2) 1 adalah fungsi Hankel jenis kedua orde satu, dan R x i R x 1 = 1 R (x 1 + ρx 2 ξ 1 ρξ 2 ) R x 2 = 1 R [ ρ(x 1 + ρx 2 ξ 1 ρξ 2 ) + ρ( ρx 2 ρξ 2 )] diberikan oleh Perlu dicatat bahwa P memiliki titik singular pada x = ξ. 4 Persamaan integral batas Bila (1) diperkalikan dengan ϕ lalu diintegralkan, maka 2 ϕ λ ij ϕ dω + k 2 ϕϕ dω = 0 (5) x i x j Ω Dengan menggunakan Teorema Divergensi Gauss pada integral pertama dalam persamaan (5) kita akan memperoleh ϕ λ ij n j ϕ ϕ ϕ dγ λ ij dω + k 2 ϕϕ dω = 0 (6) Γ x i Ω x i x j Ω Ω 3
4 Penggunaan Teorema Divergensi Gauss sekali lagi pada integral kedua dalam persamaan (6) akan menghasilkan ( ) ϕ λ ij n j ϕ ϕ ) ϕ λ ij n j dγ + (λ 2 ϕ ij + k 2 ϕ ϕ dω = 0 x i x i x i x j Γ atau ) (λ 2 ϕ ij + k 2 ϕ ϕ dω = (P ϕ P ϕ) dγ (7) Ω x i x j Γ Sebagai salah satu sifat dari fungsi delta Dirac, persamaan berikut berlaku ϕ(x) δ(x ξ) dω(x) = η(ξ) ϕ(ξ) (8) Ω dimana η = 1 bila ξ berada pada batas domain Γ dan Γ mempunyai kemiringan yang 2 berubah secara kontinyu pada ξ, η = 1 bila ξ berada di dalam domain Ω, η = 0 bila ξ berada di luar domain Ω. Substitusi persamaan (2) ke dalam persamaan (7) dan penggunaan persamaan (8) memberikan η(ξ) ϕ(ξ) = [P (x, ξ) ϕ(x) P (x) ϕ (x, ξ)] dγ(x) (9) Γ Persamaan (9) dapat digunakan untuk menentukan solusi ϕ dan P di setiap titik x di batas Γ dan di dalam domain Ω. Dan kalkulasi solusi ini sepenuhnya hanya memerlukan kalkulasi integral batas pada ruas kanan persamaan (9). Tetapi secara umum integral batas ini tidak mudah dikalkulasi secara analitik, karena bentuk geometri dari Γ tidak beraturan atau kelakuan dari fungsi ϕ dan P sangat bervariasi. Untuk itu, nilai integral batas ini lalu diapproksimasi dengan cara memenggal-menggal batas domain Γ menjadi segmen-segmen kecil berupa garis lurus dan kelakuan dari fungsi ϕ dan P pada setiap segmen juga didekati dengan mengasumsikan bahwa fungsi-fungsi ini konstan, atau bervariasi secara linear, kuadratik dan seterusnya. Lalu integral dihitung untuk setiap segmen dan kemudian menjumlahkannya. Dengan kata lain batas domain Γ diapproksimasi oleh suatu poligon yang jumlah sisinya diambil sebanyak mungkin sehingga nilai pendekatan akurat dapat diperoleh. 5 Diskritisasi Misalkan batas domain Γ didekati oleh suatu poligon dengan sejumlah J sisi, sehingga Γ terdiri atas segmen-segmen garis lurus Γ j [, q j ], j = 1, 2,..., J dimana dan q j adalah titik-titik ujung awal dan akhir dari segmen Γ j, maka persamaan (9) dapat ditulis sebagai η(ξ) ϕ(ξ) = Ω Γ j [P (x, ξ) ϕ(x) P (x) ϕ (x, ξ)] dγ(x) (10) Selanjutnya, bila kita mengasumsikan bahwa pada setiap segmen Γ j nilai ϕ dan P konstan, dan masing-masing diwakili oleh nilainya pada titik-tengah q j = ( +q j )/2 4
5 dari segmen tertentu Γ j, maka persamaan (10) dapat ditulis sebagai [ ] qj η(ξ) ϕ(ξ) = ϕ(q j ) P (x, ξ) dγ(x) P (q j ) ϕ (x, ξ) dγ(x) (11) Hasil penelitian telah menunjukkan bahwa pengambilan nilai ϕ dan P pada titik-tengah q j untuk setiap segmen Γ j menghasilkan keakuratan maksimal. Sebagaimana disebutkan pada Pasal 2, pada suatu segmen Γ j hanya salah satu dari ϕ dan P diketahui. Bila nilai ϕ(q j ) diberikan maka nilai P (q j ) menjadi unknown di Γ j. Sebaliknya, bila pada segmen Γ j nilai P (q j ) diberikan maka nilai ϕ(q j ) menjadi unknown. Untuk penentuan nilai unknown di batas domain Γ, hanya ada dua kemungkinan pengambilan posisi titik ξ, yakni diletakkan di batas domain Γ (yang mengimplikasikan bahwa η = 1 ) atau di luar domain Ω (mengimplikasikan η = 0). Kita tidak dapat 2 meletakkan ξ di dalam domain Ω (untuk mana η = 1) untuk penentuan nilai unknown di batas domain Γ, kecuali bila kita mempunyai informasi tambahan mengenai nilai ϕ di titik dalam ξ ini. Sementara itu, peletakan titik ξ di luar domain Ω akan menghindari titik singular dari P di x = ξ dan hal ini tentu akan memiliki advantage untuk hasil evaluasi integral. Dan telah ada beberapa kajian di dalam beberapa paper yang telah terpublish, yang memakai analisis peletakan titik ξ di luar domain Ω. Umumnya kajian-kajian ini telah berhasil menentukan jarak ideal dari titik ξ ke batas domain Γ untuk tingkat keakuratan yang cukup bagus. Namun penentuan jarak optimal ini masih sebatas cara coba-coba (trial and error), dan belum dilandasi oleh dan belum dibuktikan keabsahannya secara analitik matematik. Untuk itu, pada tulisan ini kita akan memposisikan titik ξ pada batas domain Γ. Sehingga untuk penentuan nilai unknown di batas domain Γ, nilai ϕ(ξ) pada ruas kiri (11) akan mengambil nilai ϕ(q l ) dan η(ξ) = 1. Persamaan (11) kemudian dapat 2 dituliskan sebagai 1 2 ϕ(q l) = [ ϕ(q j ) P (x, q l ) dγ(x) P (q j ) ϕ (x, q l ) dγ(x) untuk l = 1, 2,..., J. Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks ] (12) 1 2 ϕ l + Ĥ lj ϕ j = G lj P j (13) dimana ϕ j = ϕ(q j ), P j = P (q j ), dan Ĥ lj = G lj = P (x, q l ) dγ(x) (14) ϕ (x, q l ) dγ(x) (15) Evaluasi integral pada persamaan (14) dan (15) dapat dilakukan secara analitik maupun numerik. Tentunya evaluasi analitik (eksak) akan memberikan hasil yang 5
6 lebih memuaskan (akurat) daripada evaluasi numerik (pendekatan). Namun perlu diperhatikan bahwa untuk j = l selang integral dalam (14) memuat titik singular q l dari integran P (x, q l ). Untuk itu nilai prinsipal Cauchy (Cauchy principal value) dari integral ini biasanya diambil untuk evaluasi analitik. Di lain hal, dangan evaluasi numerik dari kedua integral ini, strategi pemilihan metode kuadratur (pengintegralan numerik) sangatlah penting, sebab terdapat beberapa metode kuadratur yang melibatkan dan ada pula yang tidak melibatkan (misalnya aturan trapezoidal) kalkulasi nilai fungsi integran pada titik tengah dari selang integral. Dan metode kuadratur yang terakhir inilah yang dikehendaki. Pada tulisan ini, untuk hasil numerik dari setiap contoh masalah yang akan dibicarakan pada Pasal 6, evaluasi integral dilakukan secara numerik dengan menggunakan aturan trapezoidal termodifikasi enam titik (lihat Abramowitz and Stegun [1]). Nilai fungsi-fungsi Hankel H (2) 0 dan H (2) 1 yang terlibat dalam solusi fundamental ϕ dan P dihitung dengan menggunakan pendekatan polinomial fungsinya (lihat Abramowitz and Stegun [1]). Lebih kompak, persamaan (13) dapat ditulis sebagai H lj ϕ j = G lj P j (16) dimana { Ĥlj bila l j H lj = Ĥ lj 1 bila l = j 2 Persamaan matriks (16) dapat diurutkan ulang dengan meletakkan unknown di ruas kiri dan known-nya di ruas kanan, dalam bentuk AX = B (17) dimana X adalah vektor unknown ϕ dan/atau P. Persamaan ini merupakan suatu sistem persamaan aljabar linear dengan J persamaan dan J unknown. Penyelesian sistem persamaan aljabar linear (17) dapat dilakukan dengan berbagai metode, antara lain dengan metode eliminasi Gauss. Namun, pada tulisan ini, untuk hasil numerik dari setiap contoh masalah yang akan dibicarakan pada Pasal 6, solusi sistem persamaan aljabar linear (17) ditentukan dengan menggunakan metode gradien konjugat (lihat Coleman [3]), yang secara empiris telah diketahui lebih stabil ketimbang metode eliminasi Gauss. Solusi dari persamaan (17) ini dapat ditentukan untuk unknown ϕ dan P di batas domain Γ. Sekali nilai ϕ dan P pada batas domain Γ telah diketahui, maka kita bisa menentukan nilai ϕ dan P pada sebarang titik dalam ξ dengan menggunakan persamaan (11), yakni [ ] qj ϕ(ξ) = ϕ(q j ) P (x, ξ) dγ(x) P (q j ) ϕ (x, ξ) dγ(x) (18) 6
7 Selain itu dapat pula ditentukan nilai turunan ϕ/ ξ 1 dan ϕ/ ξ 2 melalui persamaan berikut [ ϕ P ] (x, ξ) qj ϕ (x, ξ) (ξ) = ϕ(q ξ j ) dγ(x) P (q 1 ξ j ) dγ(x) (19) 1 ξ 1 ϕ ξ 2 (ξ) = [ ϕ(q j ) 6 Hasil numerik P (x, ξ) ξ 2 dγ(x) P (q j ) ϕ (x, ξ) ξ 2 dγ(x) Pada pasal ini beberapa contoh masalah nilai batas yang dibangun oleh persamaan (1) akan diselesaikan secara numerik. Contoh 1 : Masalah Uji Perhatikan solusi analitik untuk (1) berikut ] (20) ϕ = sin βx 2 (21) dimana β = k/ λ 22. (lihat Gambar 1) Geometri medium dan syarat batas dari masalahnya adalah P, yang dapat dihitung dari (21), diketahui pada AB, BC dan CD, ϕ, seperti diberikan oleh (21), diketahui pada AD. Kofisien λ ij dan k 2 adalah λ 11 = 1, λ 12 = 0.5, λ 22 = 0.5, k 2 = 0.5. Tabel 1 memperlihatkan perbandingan antara solusi MEB dan solusi analitik. Dapat diamati bahwa solusi MEB konvergen ke solusi analitik sejalan dengan meningkatnya jumlah segmen dari 80, 160 dan 320. Hasil ini sesuai dengan yang diharapkan, dengan alasan bahwa semakin kecil selang integral yang digunakan maka semakin akurat pendekatan integrasi numerik yang akan diperoleh. Contoh 2 Perhatikan masalah nilai batas seperti diperlihatkan dalam Gambar 2. Kofisien λ ij dan k 2 adalah λ 11 = 0.5, λ 12 = 0.2, λ 22 = 0.3, k 2 = 0.1. Tidak tersedia solusi analitik sederhana untuk contoh masalah ini. Justifikasi solusi MEB dilakukan dengan cara mengamati kekonvergenannya. Tabel 2 memperlihatkan solusi MEB dengan menggunakan 160, 320, 640 dan 1000 segmen. Dari tabel ini dapat diamati bahwa solusi MEB ini konvergen ke suatu solusi tertentu dengan penambahan jumlah segmen. 7
8 x 2 D(0, 1) C(1, 1) x 1 A(0, 0) B(1, 0) Gambar 1: Geometri dari masalah uji Tabel 1: Solusi MEB dan analitik untuk Contoh 1 Posisi MEB Analitik (x 1, x 2 ) ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 2 ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 2 80 segmen (.5,.1) (.5,.3) (.5,.5) (.5,.7) (.5,.9) segmen (.5,.1) (.5,.3) (.5,.5) (.5,.7) (.5,.9) segmen (.5,.1) (.5,.3) (.5,.5) (.5,.7) (.5,.9)
9 x 2 D(0, 1) P = 1 C(1, 1) P = 0 P = 0 x 1 A(0, 0) ϕ = 0 B(1, 0) Gambar 2: Geometri untuk Contoh 2 Tabel 2: Solusi MEB untuk Contoh 2 Posisi 160 segmen 320 segmen (x 1, x 2 ) ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 2 ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 2 (.5,.1) (.5,.3) (.5,.5) (.5,.7) (.5,.9) Posisi 640 segmen 1000 segmen (x 1, x 2 ) ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 2 ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 2 (.5,.1) (.5,.3) (.5,.5) (.5,.7) (.5,.9)
10 7 Konklusi Suatu MEB untuk solusi masalah nilai batas untuk model perambatan gelombang dalam suatu medium anisotropik telah ditemukan. MEB ini secara umum cukup mudah untuk diimplementasikan untuk memperoleh solusi numerik untuk masalah tertentu. Hasil numerik yang diperoleh dengan menggunakan MEB ini mengindikasikan bahwa MEB ini dapat menghasilkan solusi numerik yang cukup akurat. Evaluasi integral secara analitik, penerapan proses refinement untuk penyelesaian sistim persamaan aljabar linear, dan strategi peletakan titik ξ di luar domain Ω akan memberikan hasil yang lebih akurat. References [1] Abramowitz, M. and Stegun, A. Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York, [2] Azis, M. I. (2001). On the boundary integral equation method for the solution of some problems for inhomogeneous media (PhD Thesis), Department of Applied Mathematics, University of Adelaide. [3] Coleman, C. J. University of Wollonggong, Australia. [4] Wu, T. W. (editor) Boundary Element Acoustics Fundamentals and Computer Codes, Wessex Institute of Technology Press, Southampton, Boston,
Model Perpindahan dan Penyebaran Pollutan
Model Perpindahan dan Penyebaran Pollutan Moh. Ivan Azis Abstrak Metode Elemen Batas diturunkan untuk penentuan solusi masalah nilai batas yang membangun model Model Perpindahan dan Penyebaran Pollutan.
Lebih terperinciMetode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi-Konveksi dalam Media Anisotropik
Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi-Konveksi dalam Media Anisotropik Moh. Ivan Azis September 13, 2011 Daftar Isi 1 Pendahuluan 1 2 Masalah nilai batas 1 3 Persamaan integral batas 2 4 Hasil
Lebih terperinciMetode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi Panas
Metode Elemen Batas MEB) untuk Model Konduksi Panas Moh. Ivan Azis October 14, 011 Abstrak Metode Elemen Batas untuk masalah konduksi panas pada media ortotropik berhasil ditemukan pada tulisan ini. Solusi
Lebih terperinciMETODE ELEMEN BATAS UNTUK MASALAH TRANSPORT
METODE ELEMEN BATAS UNTUK MASALAH TRANSPORT Agusman Sahari. 1 1 Jurusan Matematika FMIPA UNTAD Kampus Bumi Tadulako Tondo Palu Abstrak Dalam paper ini mendeskripsikan tentang solusi masalah transport polutan
Lebih terperinciSolusi Persamaan Helmholtz untuk Material Komposit
Vol. 13, No. 1, 39-45, Juli 2016 Solusi Persamaan Helmholtz untuk Material Komposit Jeffry Kusuma Abstrak Propagasi gelombang pada material homogen telah banyak dibahas dan didiskusikan oleh banyak ahli.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan suatu ilmu pengetahuan yang sering disebut sebagai induk dari ilmu-ilmu pengetahuan yang lain. Hal ini karena, matematika banyak diterapkan
Lebih terperinciMETODE ELEMEN BATAS (MEB) UNTUK SOLUSI NUMERIK MASALAH STATIK DARI MATERIAL ELASTIS ISOTROPIK TAK-HOMOGEN
METODE ELEMEN BATAS (MEB) UNTUK SOLUSI NUMERIK MASALAH STATIK DARI MATERIAL ELASTIS ISOTROPIK TAK-HOMOGEN Mohammad Ivan Azis ) ABSTRACT A boundary element method is derived for the solution of static boundary
Lebih terperinciSuatu Metode Numerik Untuk Komputasi Perembesan Air Ke Dalam Tanah Pada Sistim Irigasi
Suatu Metode Numerik Untuk Komputasi Perembesan Air Ke Dalam Tanah Pada Sistim Irigasi Moh. Ivan Azis Abstrak Suatu metode numerik ditemukan untuk menghitung kandungan air dalam tanah pada suatu sistim
Lebih terperinciFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.
INTEGRASI NUMERIK TANPA ERROR UNTUK FUNGSI-FUNGSI TERTENTU Irma Silpia 1, Syamsudhuha, Musraini M. 1 Mahasiswi Jurusan Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciBAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA
BAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA 3.1 Deskripsi Masalah Permasalahan yang dibahas di dalam Tugas Akhir ini adalah mengenai aliran fluida yang mengalir keluar melalui sebuah celah
Lebih terperinciMetode elemen batas untuk menyelesaikan masalah perpindahan panas
Metode elemen batas untuk menyelesaikan masalah perpindahan panas Imam Solekhudin 1 Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, imams@ugm.ac.id Abstrak. Permasalahan perpindahan panas keadaan stasioner dimodelkan
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA
PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA oleh FIQIH SOFIANA M0109030 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciBab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas
Bab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas II.1 II.1.1 Kalkulus Dasar Teorema Gradien Misal menyatakan domain pada ruang dimensi dua dan menyatakan batas i x + j 2 2 x 2 + 2 2 elanjutnya, penentuan integral
Lebih terperinciPEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK. Nurul Ain Farhana 1, Imran M. 2 ABSTRACT
PEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK Nurul Ain Farhana, Imran M Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang sudah lama dipelajari dan berkembang pesat. Perkembangan ilmu matematika tidak terlepas dari perkembangan
Lebih terperinciDistribusi Medan Akustik dalam Domain Interior dengan Metode Elemen Batas (Boundary Element Method)
Distribusi Medan Akustik dalam Domain Interior dengan Metode Elemen Batas (Boundary Element Method) Tetti Novalina Manik dan Nurma Sari Abstrak: Dalam analisis akustik, kasus yang paling umum adalah menentukan
Lebih terperinciPENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE
PENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE Viska Noviantri Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus University Jln. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah,
Lebih terperinciBab 2. Landasan Teori. 2.1 Persamaan Air Dangkal Linier (Linier Shallow Water Equation)
Bab 2 Landasan Teori Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai Persamaan Air Dangkal linier (Linear Shallow Water Equation), metode beda hingga, metode ekspansi asimtotik biasa, dan metode ekspansi asimtotik
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Air merupakan kebutuhan penting bagi pertumbuhan tanaman. Namun, pada saat musim kemarau tiba atau di daerah dengan intensitas hujan rendah, ketersediaan air
Lebih terperinciBab 4 DINDING SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG
Bab 4 DINDING SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai dasar laut sinusoidal sebagai reflektor gelombang. Persamaan yang digunakan untuk memodelkan masalah dasar
Lebih terperinciMETODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK ABSTRACT
METODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK Risvi Ayu Imtihana 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciFORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU ABSTRACT
FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU Syofia Deswita 1, Syamsudhuha 2, Agusni 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciBab IV Persamaan Integral Batas
Bab IV Persamaan Integral Batas IV.1 Konvensi simbol ebelum memulai pembahasan, kita akan memperkenalkan sejumlah konvensi simbol yang akan digunakan pada tesis ini. imbol x, y, x 0 akan digunakan untuk
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai.
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrikpabrik dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk
Lebih terperinciSOLUSI NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DAN HELMHOLTZ DENGAN MENGGUNAKAN METODE ELEMEN BATAS
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DAN HELMHOLTZ DENGAN MENGGUNAKAN METODE ELEMEN BATAS NUMERICAL SOLUTION OF LAPLACE AND HELMHOLTZ EQUATION BY BOUNDARY ELEMENT METHOD Cicilia Tiranda Dr. Jeffry Kusuma Dr.
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciIdentifikasi Parameter Akustik Permukaan Sumber dengan Metode Elemen Batas
Identifikasi Parameter Akustik Permukaan Sumber dengan Metode Elemen Batas Tetti Novalina Manik dan Simon Sadok Siregar Abstrak: Penentuan medan suara yang terjadi akibat radiasi sumber atau akibat hamburan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan suatu ilmu pengetahuan yang sering disebut sebagai induk dari ilmu-ilmu pengetahuan yang lain. Hal ini karena, matematika banyak diterapkan
Lebih terperinciMETODE PENELITIAN Sumber Data
13 METODE PENELITIAN Sumber Data Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan hasil simulasi melalui pembangkitan dari komputer. Untuk membangkitkan data, digunakan desain model persamaan struktural
Lebih terperinciBab V Prosedur Numerik
Bab V Prosedur Numerik Pada bab ini, metode numerik digunakan untuk menghitung medan kecepatan, yakni dengan menghitung batas dan domain integral. Tensor tegangan tak Newton melalui persamaan Maxwell Linear
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT. Masnida Esra Elisabet ABSTRACT
MODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT Masnida Esra Elisabet Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Kampus
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Didunia nyata banyak soal matematika yang harus dimodelkan terlebih dahulu untuk mempermudah mencari solusinya. Di antara model-model tersebut dapat berbentuk sistem
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT
PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinci1.1 Latar Belakang dan Identifikasi Masalah
BAB I PENDAHULUAN Seiring dengan pertumbuhan kebutuhan dan intensifikasi penggunaan air, masalah kualitas air menjadi faktor yang penting dalam pengembangan sumberdaya air di berbagai belahan bumi. Walaupun
Lebih terperinciDAFTAR ISI. KATA PENGANTAR. DAFTAR TABEL. DAFTAR GAMBAR.
ABSTRAK Masalah dalam akustik dapat berupa masalah langsung (direct) maupun tidak langsung (invers). Dikatakan masalah direct apabila tekanan akustik pada sembarang titik di medan akustik (untuk masalah
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciBab I. Bilangan Kompleks
Bab I Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan suatu ilmu pengetahuan yang sering disebut sebagai induk dari ilmu-ilmu pengetahuan yang lain. Di antara beberapa disiplin ilmu, fisika
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. 2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak
BAB II DASAR TEORI Ada beberapa teori yang berkaitan dengan konsep-konsep umum mengenai aliran fluida. Beberapa akan dibahas pada bab ini. Diantaranya adalah hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum.
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciMETODE BEDA HINGGA PADA KESTABILAN PERSAMA- AN DIFUSI KOMPLEKS DIMENSI SATU
PROSIDING ISSN: 50-656 METODE BEDA HINGGA PADA KESTABILAN PERSAMA- AN DIFUSI KOMPLEKS DIMENSI SATU Danar Ardian Pramana, M.Sc 1) 1) DIV TeknikInformatikaPoliteknikHarapanBersama danar_ardian@ymail.com
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciMODIFIKASI APROKSIMASI TAYLOR DAN PENERAPANNYA
MODIFIKASI APROKSIMASI TAYLOR DAN PENERAPANNYA Irpan Riski M 1, Musraini M 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciTeori kendali. Oleh: Ari suparwanto
Teori kendali Oleh: Ari suparwanto Minggu Ke-1 Permasalahan oleh : Ari Suparwanto Permasalahan Diberikan sistem dan sinyal referensi. Masalah kendali adalah menentukan sinyal kendali sehingga output sistem
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
Lebih terperinciSimulasi Perpindahan Panas pada Lapisan Tengah Pelat Menggunakan Metode Elemen Hingga
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.2, (2015) 2337-3520 (2301-928X Print) A-13 Simulasi Perpindahan Panas pada Lapisan Tengah Pelat Menggunakan Metode Elemen Hingga Vimala Rachmawati dan Kamiran Jurusan
Lebih terperinciDASAR SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG
h Bab 3 DASAR SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG 3.1 Persamaan Gelombang untuk Dasar Sinusoidal Dasar laut berbentuk sinusoidal adalah salah satu bentuk dasar laut tak rata yang berupa fungsi sinus
Lebih terperinciTeori Dasar Gelombang Gravitasi
Bab 2 Teori Dasar Gelombang Gravitasi 2.1 Gravitasi terlinearisasi Gravitasi terlinearisasi merupakan pendekatan yang memadai ketika metrik ruang waktu, g ab, terdeviasi sedikit dari metrik datar, η ab
Lebih terperinciPEMBENTUKAN POLINOMIAL ORTOGONAL MENGGUNAKAN PERSAMAAN INTEGRAL NONLINEAR. Susilawati 1 ABSTRACT
PEMBENTUKAN POLINOMIAL ORTOGONAL MENGGUNAKAN PERSAMAAN INTEGRAL NONLINEAR Susilawati 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciSRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Lebih terperinci1 BAB 4 ANALISIS DAN BAHASAN
1 BAB 4 ANALISIS DAN BAHASAN Pada bab ini akan dibahas pengaruh dasar laut tak rata terhadap perambatan gelombang permukaan secara analitik. Pengaruh dasar tak rata ini akan ditinjau melalui simpangan
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA ABSTRACT
MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA Kristiani Panjaitan 1, Syamsudhuha 2, Leli Deswita 2 1 Mahasiswi Program
Lebih terperinciBAB V PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR
A V PERAMATAN GELOMANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR 5.. Pendahuluan erkas (beam) optik yang merambat pada medium linier mempunyai kecenderungan untuk menyebar karena adanya efek difraksi; lihat Gambar
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
Lebih terperinciPENERAPAN TRANSFORMASI SHANK PADA METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
PENERAPAN TRANSFORMASI SHANK PADA METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Muliana 1, Syamsudhuha 2, Musraini 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ini dibahas teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentang Persamaan Nonlinier, Metode Newton, Aturan Trapesium, Rata-rata Aritmatik dan
Lebih terperinciSOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU ABSTRACT
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU Vanny Octary 1 Endang Lily 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciPersamaan Poisson. Fisika Komputasi. Irwan Ary Dharmawan
(Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Fisika Komputasi Jurusan Fisika Universitas Padjadjaran http://phys.unpad.ac.id/jurusan/staff/dharmawan email : dharmawan@phys.unpad.ac.id
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk pesamaan
Lebih terperinciFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.
METODE SIMPSON-LIKE TERKOREKSI Ilis Suryani, M. Imran, Asmara Karma Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II )
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II ) D. FAKTORISASI MATRIKS D2 2. METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN SPL D3 3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN D4 4. POWER METHOD Beserta contoh soal untuk setiap subbab 2
Lebih terperinciBeberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert
Vol 12, No 2, 153-159, Januari 2016 Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert Firman Abstrak Misalkan adalah operator linier dengan adalah ruang Hilbert Pada operator linier dikenal istilah
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciAplikasi Aljabar Lanjar pada Metode Numerik
Aplikasi Aljabar Lanjar pada Metode Numerik IF223 Aljabar Geometri Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Informatika, STEI-ITB Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri Apa itu Metode Numerik? Numerik: berhubungan
Lebih terperinciPEMBAHASAN. (29) Dalam (Grosen 1992), kondisi kinematik (19) dan kondisi dinamik (20) dapat dinyatakan dalam sistem Hamiltonian berikut : = (30)
5 η = η di z = η (9) z x x z x x Dalam (Grosen 99) kondisi kinematik (9) kondisi dinamik () dapat dinyatakan dalam sistem Hamiltonian : δ H t = () δη δ H ηt = δ Dengan mengenalkan variabel baru u = x maka
Lebih terperinciKELUARGA METODE LAGUERRE DAN KELAKUAN DINAMIKNYA DALAM MENENTUKAN AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR. Een Susilawati 1 ABSTRACT
KELUARGA METODE LAGUERRE DAN KELAKUAN DINAMIKNYA DALAM MENENTUKAN AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR Een Susilawati 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciGERSHGORIN DISK FRAGMENT UNTUK MENENTUKAN DAERAH LETAK NILAI EIGEN PADA SUATU MATRIKS. Anggy S. Mandasary 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT
GERSHGORIN DISK FRAGMENT UNTUK MENENTUKAN DAERAH LETAK NILAI EIGEN PADA SUATU MATRIKS Anggy S. Mandasary 1, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciPerbandingan Model Black Scholes dan Brennan Schwartz untuk Menentukan Harga American Option
J. Math. and Its Appl. ISSN: 829-605X Vol. 4, No., May 2007, 47 58 Perbandingan Model Black Scholes dan Brennan Schwartz untuk Menentukan Harga American Option Endah Rokhmati MP, Lukman Hanafi, Supriati
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA ( ) ( ) ( ) Asalkan limit ini ada dan bukan atau. Jika limit ini memang ada, dikatakan ( ) ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah Asalkan limit ini ada dan bukan. Jika limit ini memang
Lebih terperinciMETODE ITERASI BARU BEBAS DERIVATIF UNTUK MENEMUKAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
METODE ITERASI BARU BEBAS DERIVATIF UNTUK MENEMUKAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR Eka Ceria 1, Agusni, Zulkarnain 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI DAN METODE SOR UNTUK MENDAPATKAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Merintan Afrina S ABSTRACT
PERBANDINGAN METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI DAN METODE SOR UNTUK MENDAPATKAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Merintan Afrina S Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciSOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 103 108 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT RASITA ANAS Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB 4 ANALISIS DAN BAHASAN
BAB 4 ANALISIS DAN BAHASAN 4.1 Model LWR Pada skripsi ini, model yang akan digunakan untuk memodelkan kepadatan lalu lintas secara makroskopik adalah model LWR yang dikembangkan oleh Lighthill dan William
Lebih terperinciGENERALISASI METODE GAUSS-SEIDEL UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ABSTRACT
GENERALISASI METODE GAUSS-SEIDEL UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Andri Ramadhan 1, Syamsudhuha 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan
Lebih terperinciMETODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI DENGAN MENGGUNAKAN EKSPANSI NEUMANN ABSTRACT
METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI DENGAN MENGGUNAKAN EKSPANSI NEUMANN Juanita Adrika, Syamsudhuha 2, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinci1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Lebih terperinciPENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN NONLINIER SATU VARIABEL DENGAN METODE ITERASI BARU HASIL DARI EKSPANSI TAYLOR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 93 98 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN NONLINIER SATU VARIABEL DENGAN METODE ITERASI BARU HASIL DARI EKSPANSI TAYLOR
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciPerbandingan Skema Numerik Metode Finite Difference dan Spectral
Jurnal Ilmiah Teknologi dan Informasia ASIA (JITIKA) Vol.10, No.2, Agustus 2016 ISSN: 0852-730X Perbandingan Skema Numerik Metode Finite Difference dan Spectral Lukman Hakim 1, Azwar Riza Habibi 2 STMIK
Lebih terperinciTEOREMA TITIK TETAP BANACH UNTUK MENDAPATKAN SYARAT KEKONVERGENAN METODE JACOBY
La Ode Muhammd Umar Reky Rahmad R, et al.// Paradigma, Vol. 17 No. 1, April 2013, hlm. 51-60 TEOREMA TITIK TETAP BANACH UNTUK MENDAPATKAN SYARAT KEKONVERGENAN METODE JACOBY La Ode Muhammad Umar Reky Rahmad
Lebih terperinciSolusi Numerik Persamaan Gelombang Dua Dimensi Menggunakan Metode Alternating Direction Implicit
Vol. 11, No. 2, 105-114, Januari 2015 Solusi Numerik Persamaan Gelombang Dua Dimensi Menggunakan Metode Alternating Direction Implicit Rezki Setiawan Bachrun *,Khaeruddin **,Andi Galsan Mahie *** Abstrak
Lebih terperinciBAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN
BAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN 4.1. Asimtotik Orde-2 Berdasarkan hasil simulasi pada Helmers dan Mangku (2007) kasus kernel seragam, aproksimasi asimtotik orde pertama pada ragam dan bias, gagal memprediksikan
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciMETODE ITERASI KSOR UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ABSTRACT
METODE ITERASI KSOR UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Adek Putri Syafriani, Syamsudhuha 2, Zulkarnain 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Berkembangnya jaman yang semakin maju dan modern turut dipengaruhi oleh perkembangan ilmu pengetahuan yang dimiliki manusia. Hal tersebut dapat dilihat secara nyata
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR. Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI
MODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Persoalan yang melibatkan model matematika sering kali muncul dalam
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Komputasi 2.1.1. Metode Analitik dan metode Numerik Persoalan yang melibatkan model matematika sering kali muncul dalam berbagai ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika,
Lebih terperinciSKEMA NUMERIK UNTUK MEMPEROLEH SOLUSI TAKSIRAN DARI KELAS PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM NONLINEAR JENIS KEDUA. Vanny Restu Aji 1 ABSTRACT
SKEMA NUMERIK UNTUK MEMPEROLEH SOLUSI TAKSIRAN DARI KELAS PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM NONLINEAR JENIS KEDUA Vanny Restu Aji 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciTEKNIK ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
TEKNIK ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Koko Saputra 1, Supriadi Putra 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Lebih terperinciUJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS I
PETUNJUK UJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS I DR. IR. ISTIARTO, M.ENG. KAMIS, 8 JUNI 017 OPEN BOOK 150 MENIT 1. Saudara tidak boleh menggunakan komputer untuk mengerjakan soal ujian ini.. Tuliskan urutan/cara/formula
Lebih terperinciAPLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN KOMPLEKS PADA MATRIKS
Jurnal UJMC, Volume, Nomor, Hal 36-40 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X APLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN KOMPLEKS PADA MATRIKS Novita Eka Chandra dan Wiwin Kusniati Universitas
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB TINJAUAN PUSTAKA.1 Model Aliran Dua-Fase Nonekulibrium pada Media Berpori Penelitian ini merupakan kajian ulang terhadap penelitian yang telah dilakukan oleh Juanes (008), dalam tulisannya yang berjudul
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada
Lebih terperinci