9. Teori Aproksimasi

Transkripsi

1 44 Hendra Gunawan 9 Teori Aproksimasi Mulai bab ini tema kita adalah aproksimasi fungsi dan interpolasi Diberikan sebuah fungsi f, baik secara utuh ataupun hanya beberapilai di titik-titik tertentu saja, kita ingin memperoleh suatu hampiran untuk f yang mempunyai bentuk tertentu (misalnya supaya lebih mudah dianalisis) dengan kesalahan yang dapat kita kontrol Sebagai contoh, ketika kita hendak menghitung 1 dx, kita hampiri integrannya dengan polinom berderajat n (dengan n cukup besar) Dalam konteks e x2 lain, bila kita hanya mengetahui nilai dari suatu fungsi (yang tidak diketahui) di k buah titik x 1 < x 2 < < x k, maka kita dapat menghampiri fungsi tersebut dengan polinom berderajat k 1 yang menginterpolasi k buah titik tadi 91 Masalah Interpolasi Misalkan V ruang bernorma atas lapangan K (K = R atau C), dan V ruang dual dari V (yang anggotanya adalah semua fungsional linear f : V K) Masalah interpolasi abstrak dapat dirumuskan sebagai berikut Misalkan V n adalah subruang berdimensi n dari V, dengan basis {v 1,, v n } Misalkan L i V, 1 i n, adalah n fungsional linear Diberikan n bilangan c i K, 1 i n, tentukan v V n sedemikian sehingga L i v = c i, 1 i n (1) Pertanyaannya adalah: apakah masalah ini mempunyai solusi? Jika ya, apakah solusinya tunggal? Jika fungsi hasil interpolasi tersebut digunakan sebagai hampiran untuk suatu fungsi u dengan u(x i ) = c i, 1 i n, dapatkah kita menaksir kesalahannya? Definisi 911 apabila Fungsional linear L i, 1 i n, dikatakan bebas linear pada V n a i L i (v) = v V n = a i =, 1 i n Lemma 912 Fungsional linear L i, 1 i n, dikatakan bebas linear pada V n jika dan hanya jika L 1 v 1 L 1 v n det(l i v j ) = det L n v 1 L n v n

2 Pengantar Analisis Fourier dan Teori Aproksimasi 45 Bukti Pernyataan n a i L i (v) = v V n setara dengan n a i L i (v j ) = j {1,, n} Karena itu, L 1,, L n bebas linear pada V n jika dan hanya jika a i L i (v j ) =, 1 j n = a i =, 1 i n Ini berarti bahwa sistem persamaan linear L 1 v 1 L n v 1 L 1 v n L n v n hanya mempunyai solusi trivial a i =, 1 i n Dari pengetahuan aljabar linear elementer kita tahu bahwa ini terjadi jika dan hanya jika det(l i v j ) Teorema 913 Keempat pernyataan berikut ekuivalen: (i) Masalah interpolasi (1) mempunyai solusi tunggal (ii) Fungsional linear L 1,, L n bebas linear pada V n (iii) Satu-satunya elemen v V n yang memenuhi L i v =, 1 i n, adalah v = (iv) Untuk sebarang data {c i } n, terdapat v V n sedemikian sehingga L i v = c i, 1 i n Bukti Dengan menyatakan v := n a j v j, masalah interpolasi (1) setara dengan atau a j L i (v j ) = c i, 1 i n, (2) L 1 v 1 L 1 v n L n v 1 L n v n c 1 c n (3) Karena itu, ekuivalensi keempat pernyataan dalam teorema merupakan akibat dari teorema tentang sistem persamaan linear Ma = c, dengan M matriks n n, a dan c vektor di K n

3 46 Hendra Gunawan Selanjutnya, diberikan u V, dapat kita peroleh interpolan v := n a j v j di V n dengan menyelesaikan masalah yang setara dengan sistem persamaan linear L 1 v 1 L 1 v n L n v 1 L n v n L i v = L i u, 1 i n, (4) L 1 u L n u (5) Berdasarkan teorema di atas, sistem (5) mempunyai solusi tunggal apabila fungsional linear L 1,, L n bebas linear pada V n 92 Beberapa Contoh Contoh 921 Misalkan V := C[a, b], ruang semua fungsi kontinu f : [a, b] R Diberikan n + 1 buah titik x, x 1,, x n dengan a x < x 1 < < x n b, dan n + 1 buah nilai c, c 1,, c n K, kita tertarik untuk mencari suatu polinom berderajat n atau lebih rendah, sebutlah p n, sedemikian sehingga p n (x i ) = c i, i =, 1,, n Masalah ini dikenal sebagai masalah interpolasi Lagrange Catat bila c i adalah nilai dari suatu fungsi f V di titik x i, yakni c i = f(x i ), maka kita sedang mencari p n V n+1, ruang semua polinom berderajat n atau lebih rendah, sedemikian sehingga p n (x i ) = f(x i ), i =, 1,, n Di sini, V n+1 berdimensi n + 1, dengan basis baku v j (x) := x j, j =, 1,, n Fungsional linear yang terkait dengan masalah ini adalah L i v := v(x i ), i =, 1,, n Dalam hal ini, kita mempunyai L v L v 1 L v n L 1 v L 1 v 1 L 1 v n det(l i v j ) = det L n v L n v 1 L n v n det 1 x x n 1 x 1 x n 1 1 x n x n n

4 Pengantar Analisis Fourier dan Teori Aproksimasi 47 Dengan menggunakan operasi baris elementer pada determinan di atas, dapat ditunjukkan bahwa det(l i v j ) = Π k>l (x k x l ) Karena itu, masalah interpolasi Lagrange mempunyai solusi (tunggal) Contoh 922 Misalkan V := C n [, 1], ruang semua fungsi bernilai real yang mempunyai turunan ke-n yang kontinu pada [, 1], dan V n+1 adalah ruang semua polinom berderajat n atau lebih rendah, dengan basis baku v j (x) := x j, j =, 1,, n Diberikan n + 1 buah nilai c, c 1,, c n K, tinjau masalah interpolasi L i u := u (i) () = c i, i =, 1,, n, dengan u () := u dan u (i) menyatakan turunan ke-i dari u, untuk i = 1,, n Dalam hal ini, kita mempunyai L v L v 1 L v n 1 L 1 v L 1 v 1 L 1 v n det(l i v j ) = det det 1, L n v L n v 1 L n v n n! yang nilainya tidak sama dengan Solusi masalah ini tak lain adalah polinom MacLaurin berderajat n (atau lebih rendah) Contoh 923 Misalkan V := L 1 [a, b], ruang semua fungsi bernilai real yang terintegralkan pada [a, b], dan V n+1 adalah ruang semua polinom berderajat n atau lebih rendah, dengan basis baku v j (x) := x j, j =, 1,, n Diberikan n + 1 buah nilai c, c 1,, c n K, tinjau masalah interpolasi L i u := 1 x i u(x) dx = c i, i =, 1,, n Di sini, L i u menyatakan momen ke-i dari u pada [a, b] Karena itu, masalah ini dikenal sebagai masalah momen pada [a, b] Dalam hal ini, kita mempunyai v, v v, v 1 v, v n v 1, v v 1, v 1 v 1, v n det(l i v j ) = det, v n, v v n, v 1 v n, v n dengan v i, v j := b a v i (x)v j (x) dx = b a x i+j dx Determinan ini dikenal sebagai determinan Gram, yang nilainya tidak sama dengan karena v, v 1,, v n bebas linear Dengan demikian, solusi masalah momen pada [a, b] dijamin ada (dan tunggal)

5 48 Hendra Gunawan 93 Soal Latihan 1 Buktikan bahwa masing-masing fungsional L i dalam Contoh bersifat linear 2 Buktikan bahwa pada masalah interpolasi Lagrange, det(x i j ) = Π k>l(x k x l ) x x 3 Untuk k =, 1,, n, definisikan φ k (x) := Π j j k x k x j Tunjukkan bahwa φ k (x i ) = 1 bila i = k dan φ k (x i ) = bila i k Selanjutnya tunjukkan bahwa p n (x) := n k= c kφ k (x) merupakan polinom berderajat n atau lebih rendah yang memenuhi p n (x i ) = c i, i =, 1,, n 4 Buktikan bahwa pada masalah momen, det( v i, v j ) 5 Tentukan polinom p 2 yang berderajat 2 atau lebih rendah sedemikian sehingga 1 x i p 2 (x) dx = i, i =, 1, 2