BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan suatu ilmu pengetahuan yang sering disebut sebagai induk dari ilmu-ilmu pengetahuan yang lain. Hal ini karena, matematika banyak diterapkan di berbagai disiplin ilmu, seperti : fisika, kimia, ekonomi dan lain-lain. Di antara berbagai disiplin ilmu tersebut, fisika dapat dikatakan mempunyai hubungan yang paling erat, karena hampir di semua permasalahannya dapat dimodelkan ke bentuk persamaan matematika, sehingga permasalahan-permasalahan fisika yang umumnya hanya tertulis secara teoritis akan menjadi lebih sederhana dan lebih mudah dicari penyelesaiannya. Saat ini, telah banyak permasalahan fisika yang telah dimodelkan ke bentuk persamaan matematika, di antaranya yaitu : perpindahan panas, gelombang, aliran listrik dan masih banyak lagi lainnya. Salah satu pemodelan yang diterapkan pada permasalahan perpindahan panas adalah persamaan Laplace. Ketika terjadi konduksi panas pada sebuah benda padat berdimensi dua, jika suhu telah mencapai kondisi stasioner, maka keadaan seperti itulah yang dapat dimodelkan ke persamaan Laplace. Bentuk umum persamaan Laplace dua dimensi adalah 2 f x f y 2 = 0. Dapat dilihat dari persamaan tersebut, bahwa persamaan Laplace tidak bergantung pada besaran waktu, melainkan hanya pada besaran ruang dimensinya. Sama halnya dengan persamaan-persamaan diferensial parsial lainnya, permasalahan dalam bentuk persamaan Laplace biasanya diikuti oleh masalah syarat batas. Permasalahan dalam bentuk persamaan Laplace yang dilengkapi dengan masalah syarat batas memberikan tingkat kesulitan yang berbeda-beda dalam menentukan solusinya sesuai dengan syarat batas yang diberikan. Oleh karena itu, tidak 1

2 2 semua solusi dapat ditentukan secara analitik, sehingga para ilmuwan banyak melakukan penelitian dalam mengembangkan metode numerik untuk mendapatkan pendekatan solusi analitiknya. Beberapa metode numerik yang telah dikembangkan oleh para ilmuwan adalah metode elemen hingga (Finite Elements Method/ FEM), metode beda hingga (Finite Different Method/ FDM) dan metode elemen batas (Boundary Elements Method/ BEM). Berbeda dengan FEM dan FDM yang dapat diklasifikasikan ke dalam metode domain, BEM mengklasifikasi dirinya sebagai metode batas. Demikian karena dalam penerapannya, diskritisasi yang digunakan oleh BEM tidak pada domain melainkan pada batas domainnya. Dari segi popularitas, BEM berada di bawah FEM dan FDM, namun dari segi fleksibitas penggunaannya, BEM dapat dikatakan lebih unggul dibandingkan keduanya. Penghitungan dengan metode elemen batas tidak mudah dilakukan secara manual, karena untuk mendapatkan pendekatan solusi dengan nilai error yang kecil, membutuhkan waktu yang lama dan tingkat ketelitian yang tinggi. Oleh karena itu, para ilmuwan mengembangkan program-program komputer untuk membantu penghitungan dengan metode ini. Di antaranya, dalam buku karangan (Ang, 2007) menggunakan bahasa pemrograman FORTRAN 77 dalam menyelesaikan persamaan Laplace dengan BEM. Selain FORTRAN 77, terdapat bahasa pemrograman lain, yaitu MATLAB yang telah menjadi bahasa pemrograman yang semakin lazim digunakan oleh para ilmuwan matematika. Beberapa uraian yang telah disampaikan penulis inilah, yang melatar belakangi dalam penulisan skripsi mengenai metode elemen batas untuk menyelesaikan permasalahan panas, khususnya dengan bantuan bahasa pemrograman MATLAB Rumusan Masalah Permasalahan yang dapat dirumuskan oleh penulis dalam skripsi ini adalah sebagai berikut : 1. Menentukan solusi umum dari suatu fungsi yang memenuhi persamaan Laplace

3 3 dan dilengkapi dengan syarat batas, menggunakan metode eleman batas. 2. Mengimplementasikan langkah-langkah penyelesaian persamaan Laplace dengan metode elemen batas ke dalam syntax program MATLAB. 3. Mendeskripsikan masalah perpindahan panas ke dalam bentuk persamaan Laplace. 4. Menentukan distribusi suhu dari permasalahan konduksi panas dengan menggunakan metode elemen batas disertai perbandingan solusinya jika menggunakan metode lain Batasan Masalah Permasalahan yang dibahas pada skripsi ini dibatasi pada implementasi metode elemen batas untuk menentukan solusi persamaan Laplace dengan syarat batas diketahui. Sehingga dalam penerapannya di masalah fisika, penulis mengimplementasikan metode elemen batas untuk menentukan distribusi suhu benda berdimensi dua yang berada pada keadaan stasioner Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari penulisan skripsi ini untuk memenuhi syarat kelulusan program Strata-1 (S1) program studi matematika Universitas Gadjah Mada. Selain itu, penulis juga bermaksud untuk memberikan tambahan wawasan kepada pembaca mengenai metode elemen batas yang menjadi salah satu alternatif penyelesaian permasalahan dengan persamaan Laplace. Lebih lanjut, penulis juga memberikan contoh kepada pembaca terkait impelementasi dari metode elemen batas dalam menyelesaikan permasalahan di bidang fisika, khususnya pada permasalahan panas Tinjauan Pustaka Metode Elemen Batas yang menjadi pembahasan utama dalam skripsi ini, mengacu pada buku karangan (Ang, 2007). Pada buku karangan tersebut, diberikan juga penjelasan mengenai persamaan Laplace secara umum. Untuk implementasi

4 4 dari metode elemen batas, yang dikhususkan pada masalah perpindahan panas, penulis menggabungkan beberapa teori mengenai panas dari buku-buku karangan (Haberman, 2003), (Jiji, 2009), (Aryati, 2011) dan (Soedojo, 2000). Selanjutnya, di dalam pembahasan juga diberikan contoh-contoh permasalahan perpindahan panas dengan solusi numerik yang diperoleh dari metode elemen batas. Sebagai pembanding dari solusi tersebut, penulis mencantumkan juga solusi analitik yang diperoleh dari metode separasi variabel serta solusi numerik yang diperoleh dari metode elemen hingga dan metode beda hingga yang telah dijelaskan pada skripsi (Rodhiyah, 2014). Dalam menentukan penyelesaian persamaan Laplace dengan metode elemen batas diperlukan juga beberapa dasar teori. Untuk penjelasan mengenai turunan parsial dan deret Taylor, penulis mengacu pada buku karangan (Taylor, 1983). Sedangkan penjelasan secara ringkas terkait vektor yang digunakan dalam pembahasan, bersumber dari buku karangan (Larson dan Falvo, 2009). Selain yang telah disebutkan, di dalam dasar teori juga diberikan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan erat dengan BEM. Di antaranya yaitu, teorema Green, Teorema Gauss- Green, teorema divergensi Gauss dan fungsi Dirac Delta. Keseluruhan teorema dan definisi tersebut mengacu pada buku karangan (Katsikadelis, 2002) Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai beberapa materi berupa definisi dan teorema yang diperlukan dalam mengkaji metode elemen batas (BEM). Materi-materi yang telah dipelajari tersebut adalah turunan parsial, vektor, teorema Green, fungsi Dirac Delta, persamaan Laplace, metode separasi variabel dan deret Taylor dua variabel. Pembahasan diperoleh dengan mengkaji beberapa materi mengenai BEM yang terdapat pada buku karangan (Ang, 2007). Tahap ini diawali dengan menjelaskan relasi resiprokal antara solusi fundamental persamaan Laplace dengan fungsi

5 5 yang akan dicari solusi numeriknya menggunakan BEM. Setelah itu, dilanjutkan dengan menentukan solusi umum integral batas atas persamaan yang telah diperoleh dari relasi resiprokal sebelumnya. Solusi tersebut kemudian digunakan untuk menentukan nilai dari fungsi dan turunan parsial fungsi terhadap vektor normal pada setiap ruas garis (elemen) hasil diskritisasi batas domain. Selanjutnya, ditentukan nilai dari integral elemen batas yang kemudian digunakan untuk melengkapi langkah penyelesaian persamaan Laplace menggunakan BEM. Selain beberapa hal yang telah dijelaskan, diberikan juga contoh implementasi metode elemen batas pada beberapa masalah perpindahan panas, khususnya pada konduksi panas dimensi dua. Penyelesaian masalah-masalah ini menggunakan BEM dilakukan dengan bantuan program MATLAB. Selanjutnya, disajikan juga solusi analitik dari salah satu masalah sebagai pembanding nilai error antara dua metode elemen batas yang menggunakan jumlah diskritisasi berbeda Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang digunakan penulis dalam skripsi ini adalah sebagai berikut, BAB I : PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini, serta sistematika penulisan. BAB II : DASAR TEORI Bab ini berisi tentang uraian beberapa definisi dan teorema yang menjadi dasar pembahasan pada dua bab selanjutnya. BAB III : METODE ELEMEN BATAS Bab ini menjelaskan mengenai langkah-langkah dalam menentukan penyelesaian persamaan Laplace menggunakan metode elemen batas, serta gambaran secara ringkas mengenai pembuatan syntax metode elemen batas dengan MATLAB

6 6 BAB IV : MASALAH PERPINDAHAN PANAS DAN CONTOH PENYELESAIANNYA DENGAN METODE ELEMEN BATAS Pada bab ini, diuraikan mengenai pemodelan permasalahan panas ke dalam bentuk persamaan matematika, khususnya ke bentuk persamaan Laplace. Selanjutnya, diberikan juga dua contoh masalah konduksi panas dengan syarat batas Dirichlet dan Robin beserta penyelesaiannya menggunakan metode elemen batas. BAB V : KESIMPULAN Bab ini berisi kesimpulan dari seluruh pembahasan mengenai penyelesaian persamaan Laplace dengan metode elemen batas hingga implementasinya terhadap permasalahan konduksi panas. Pada bagian ini, juga disertakan saran yang dapat dipertimbangkan untuk penelitian selanjutnya.