Bab III Model Difusi Oksigen di Jaringan dengan Laju Konsumsi Konstan

Transkripsi

1 Ba III Model Difusi Oksigen di Jaringan dengan Laju Konsumsi Konstan Pada a ini, akan diahas penyearan oksigen di pemuluh kapiler dan jaringan, dimana sel-sel di jaringan diasumsikan mengkonsumsi oksigen secara konstan. Berdasarkan fungsi Michaelis-Menten, konsumsi oksigen konstan ini terjadi ketika nilai konsentrasi di jaringan cukup esar, atau sel-sel di jaringan telah mencapai keadaan jenuh (saturated). III. Solusi Keadaan Tunak Darah yang kaya akan oksigen mengalir dari jantung melalui arteri kemudian masuk ke kapiler. Karena telah diasumsikan ahwa darah merupakan cairan yang homogen, maka konsentrasi oksigen di kapiler dalam arah radial adalah konstan. Sehingga untuk daerah kapiler, peredaan konsentrasi hanya terjadi dalam arah aksial. Peredaan konsentrasi ini diseakan oleh adanya aliran darah dari ujung awal kapiler. Dimisalkan konsentrasi oksigen di kapiler pada posisi z adalah c k ( z), dan konsentrasi di ujung awal kapiler ( z = 0) adalah c in. Jaringan per satuan volume mengkonsumsi oksigen dengan laju konstan, misalkan seesar g 0. Perhatikan Gamar 3.. Kita tinjau posisi z = z dan segmen jaringan dengan panjang z. Dalam keadaan tunak, konsumsi oksigen di segmen terseut adalah seesar π( a ) zg 0. Besarnya konsumsi oksigen di jaringan diimangi oleh penyediaan oksigen dari kapiler seanyak u πa [ c k (z ) c k (z + z)], dimana u adalah rata-rata kecepatan darah. Oleh karena itu, di kapiler erlaku huungan: π( a ) zg 0 = u πa [ c k (z ) c k (z + z)]. (3.) π( a )g 0 = u πa [ c k(z + z) c k (z )]. (3.) z

2 Δz z=0 z * z=l Gamar 3.: Silinder Kapiler-Jaringan. Untuk z 0, persamaan konsentrasi untuk daerah kapiler adalah: π( a )g 0 = u πa c k z. (3.3) Untuk daerah jaringan, karena l, kita dapat mengaaikan difusi dalam arah aksial. Dalam kasus konsumsi oksigen konstan dan t, persamaan difusi di jaringan (.6) adalah: ( c 0 = D j r + r ) c g 0. (3.4) r Dinding kapiler, yang menjadi atas antara kapiler dan jaringan diasumsikan tidak memiliki ketahanan perpindahan massa. Akiatnya, nilai konsentrasi oksigen pada r = a sama dengan nilai konsentrasi oksigen di kapiler c k. Oleh karena itu, syarat atas untuk persamaan (3.3) dan (3.4) adalah: c(a, z) = c k ( z), c (, z) = 0, r c k (0) = c in. Masalah di atas dapat dituliskan dalam entuk persamaan tidak erdimensi, dengan penskalaan: c = c in c, r = ar, z = az. Sehingga diperoleh: dan c r + c r r = M, (3.5) π( a )g 0 = u πac in dc k dz, (3.6)

3 3 dimana M = g 0a c ad j, dengan atas: c(, z) = c k (z), ( ) c r a, z = 0, c k (0) =. Solusi masalah syarat atas terseut, untuk daerah kapiler adalah: ( ) c k (z) = N a z, (3.7) dimana N = g 0a u c in. Untuk daerah jaringan diperoleh solusi (lihat Lampiran A): ( ) ( ) c(r, z) = M a ln r r N 4 a z. (3.8) Gamar 3. menunjukkan penyearan konsentrasi dalam arah radial, sedangkan Gamar 3.3 dalam arah aksial. Pada kedua gamar terseut, digunakan nilai M = , N = , dan a =.. z=0 z=0 z=0 0.8 c r Gamar 3.: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial untuk Laju Konsumsi Konstan.

4 kapiler r=4 r= c z Gamar 3.3: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial untuk Laju Konsumsi Konstan. Berdasarkan Gamar 3.3, dapat dinyatakan ahwa nilai konsentrasi oksigen di kapiler turun seanding dengan jarak terhadap inlet. Karena ketersediaan oksigen semakin menurun, maka untuk daerah jaringan pun semakin jauh dari inlet, nilai konsentrasi oksigen semakin kecil. Dalam arah radial, semakin jauh jarak dari dinding kapiler, konsentrasi oksigen di jaringan ernilai semakin kecil. Karena setiap daerah jaringan mengkonsumsi oksigen dengan laju konstan, maka selisih antara konsentrasi di dinding kapiler dan di dinding luar jaringan menunjukkan nilai yang sama untuk semua z. III. Solusi Keadaan Tidak Tunak Untuk keadaan tidak tunak ini, hanya akan ditinjau untuk daerah jaringan. Dengan mengaaikan arah aksial, persamaan difusi untuk daerah jaringan adalah: ( c c t = D j r + r ) c g 0, a r. (3.9) r Ketika t = 0, konsentrasi oksigen di dinding kapiler adalah c a, dan jaringan dalam keadaan setimang. Sehingga untuk kondisi awal di daerah jaringan

5 5 adalah: c( r, 0) = c a g ( 0 D j ln r ) a r a. (3.0) 4 Kemudian di dalam kapiler mengalir darah yang kaya akan oksigen. Misalkan konsentrasi oksigen di dinding kapiler adalah c i, dimana c i > c a. Oleh karena itu, dalam selang waktu tertentu (0 t ε) konsentrasi oksigen di dinding kapiler mengalami kenaikan dari c a menuju c i, diasumsikan kenaikannya linier. Selanjutnya ( t > ε) konsentrasi oksigen di dinding kapiler adalah konstan, yaitu seesar c i. Dalam model matematika, keadaaan di dinding kapiler dapat dituliskan: c i c a t + c ε a, jika 0 t < ε; c(a, t) = c i, jika t ε. Pada r =, tidak terdapat aliran konsentrasi yang menemus dinding jaringan, sehingga: Dengan penskalaan: c () = 0. (3.) r c = c a c, r = ar, t = t a D j, (3.) masalah nilai awal dan syarat atas (3.9)-(3.) menjadi tidak erdimensi, yaitu: c t + c r + c r r c t +, jika 0 t < δ; δ c(, t) = f(t) = ĉ, jika t δ. = M. (3.3) c r (, t) = 0. (3.4) a ( ) lnr c(r, 0) = M r, (3.5) a 4 dimana M = g 0a c ad j, ĉ = c i c a, dan δ = εd j a. Grafik dari c(, t), untuk parameter δ =.6, ĉ =.5 ditunjukkan oleh Gamar 3.4.

6 f(t) t Gamar 3.4: Syarat Batas pada r=. III.. Solusi Analitik Untuk menyelesaikan masalah (3.3)-(3.5), kita tulis c(r, t) dalam entuk: c(r, t) = u(r) + w(r, t). (3.6) Persamaan (3.6) memenuhi: c r c t = u r + w r, = w t, sehingga persamaan (3.3) menjadi u r + u r r w t + w r + w r r = M. (3.7) Oleh karena itu untuk menyelesaikan masalah nilai awal dan syarat atas (3.3)-(3.5), adalah dengan mencari solusi u(r) dan w(r, t) dari masalah:. dengan atas: u r + u r r = M, (3.8) u() =, (3.9) ( ) u r a, t = 0. (3.0)

7 7. w t + w r + w r r dengan syarat atas dan nilai awal: = 0, (3.) w r w(, t) = c(, t) u() = f(t), (3.) ( ) a, t = 0, (3.3) w(r, 0) = c(r, 0) u(r). (3.4) Berdasarkan solusi keadaan tunak, solusi untuk u(r) adalah: ( ) u(r) = M a ln r r. (3.5) 4 Karena u(r) = c(r, 0) maka persamaan (3.4) menjadi w(r, 0) = 0. (3.6) Untuk mencari solusi w(r, t), interval t kita agi menjadi dua agian, yaitu 0 t δ dan t > δ. Untuk 0 t δ, persamaan (3.) eserta nilai awal dan syarat atasnya, akan diselesaikan dengan teorema Duhamel. Untuk itu, perlu dicari terleih dahulu s(r, t), dimana s(r, t) adalah solusi dari persamaan (3.)- (3.4) dengan syarat atas s(, t) =. Menggunakan metode transformasi Laplace, yang secara rinci terdapat pada lampiran E, diperoleh: s(r, t) = π n= ( ) exp α n t α n J (α n a ) G(r, α n ) F(α n ), dimana J merupakan fungsi Bessel orde, α n merupakan akar dari persamaan: Y (α n a )J 0(α n ) + J (α n a )Y 0(α n ) = 0, (3.7)

8 8 dan G(r, α n ) = Y 0 (rα n )J 0 (α n ) J 0 (rα n )Y 0 (α n ), F(α n ) = (α n J 0 (α n )) (α n J (α n a )). Grafik untuk s(r, 0) adalah: s r, r 0.5 Gamar 3.5: Grafik s(r, 0) untuk 40 suku pertama. Maka erdasarkan teorema Duhamel, untuk 0 t δ, erlaku: w(r, t) = ĉ δ w(r, t) = [ t π τ=t τ=0 ) (ĉ s(r, t τ) dτ. δ ( exp α n t ) n= ( J (α n a ) ) ] G(r, α n ). F(α n ) (3.8) Untuk t > δ, kita punya masalah nilai awal dan syarat atas: w t + w r + w r r = 0. (3.9) w r w(, t) = c(, t) u() = ĉ. (3.30) ( ) a, t = 0. (3.3) τ=δ ) (ĉ w(r, 0) = s(r, δ τ) dτ. (3.3) δ τ=0 Menggunakan metode pemisahan variael, diperoleh: w(r, t) = A n exp α n t G(r, α n ) + ĉ, (3.33) n=

9 9 dimana A n = = a (w(r, 0) ĉ )rg(r, α n )dr a rg(r, α n)dr ( a (w(r, 0) ĉ )rg(r, α n )dr ) (πα n J (α n a )) ( J 0 (α n ) J (α n a )). Sehingga c(r, t) = M ( ) ln r r + w(r, t), (3.34) a 4 dengan w(r, t) merupakan persamaan (3.8) dan (3.33). Untuk memverifikasi solusi analitik yang telah diperoleh, masalah (3.3)-(3.5) akan diselesaikan dengan metode numerik. III.. Metode Numerik Untuk menyelesaikan masalah (3.3)-(3.5) digunakan metode eda maju. Domain R = {(r, t) : r, 0 t t a e} dipartisi menjadi n m uah persegi panjang, dengan sisi r = h dan t = k. Nilai c(r, t) diaproksimasi pada titik-titik r i = + ih dan t j = jk, dimana i = 0,,..., n dan j = 0,,..., m. Untuk penyederhanaan c(r i, t j ) dinotasikan dengan c i,j. Aproksimasi untuk c r (r, t), c rr (r, t) dan c t (r, t) adalah: c r c r = h [c(r + h, t) c(r, t) + c(r h, t)] + O(h ). (3.36) c t = h [c(r + h, t) c(r h, t)] + O(h ). (3.35) = [c(r, t + k) c(r, t)] + O(k). (3.37) k Dengan mengaaikan O(k) dan O(h ), persamaan (3.35)-(3.37) disustitusi ke persamaan (3.3), diperoleh: c i,j+ c i,j k + c i+,j c i,j + c i,j+ h + c i+,,j c i,j + c i,j+ hr i,j = M. (3.38)

10 0 Berdasarkan persamaan (3.38), nilai c i,j+ dapat ditentukan dari nilai-nilai c i,j, c i,j dan c i+,j yang telah diketahui. Sehingga untuk i =,..., n dan j = 0,..., m: c i,j+ = c i,j + Å [c i+,j c i,j + c i,j ] + ß r i,j [c i+,j c i,j ] km. (3.39) dimana Å = k h, ß = k h. Nilai c i,0, dengan i = 0,,..., n, dapat diperoleh dari nilai awal yaitu: c i,0 = c(r i, 0). (3.40) Sedangkan c 0,j, dengan j = 0,,..., m diperoleh dari nilai atas pada r =, yaitu: c 0,j = f(t j ). (3.4) Karena c ( ) = 0, maka untuk i = n, dan j = 0,..., m erlaku persamaan: a c i,j+ = c i,j + Å[c i,j c i,j ] km. (3.4) Persamaan (3.39) dan (3.4) akan stail jika dan hanya jika 0 k h. Gamar 3.6 menunjukkan perandingan solusi analitik (garis penuh) dan numerik (garis ) untuk parameter a =, M =. 0 3, δ =.6, ĉ =.5. t=0 t=0.3 numerik analitik.3 numerik analitik.. c. c r r Gamar 3.6: Perandingan Solusi Analitik dan Numerik untuk t = 0 dan t = 0. Selanjutnya, Gamar 3.7 menunjukkan proses penyearan konsentrasi oksigen di jaringan.

11 t=0 t=0.5 t=.6 t=0 t=00 c r Gamar 3.7: Penyearan Konsentrasi Oksigen di Jaringan untuk Laju Konsumsi Konstan. Pada selang waktu dimana konsentrasi oksigen di dinding kapiler meningkat, daerah yang dekat dengan dinding kapiler mengikuti peningkatan terseut. Selanjutnya untuk waktu yang cukup lama, searan konsentrasi oksigen mendekati keadaan tunak.