Bab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas

Transkripsi

1 Bab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas II.1 II.1.1 Kalkulus Dasar Teorema Gradien Misal menyatakan domain pada ruang dimensi dua dan menyatakan batas i x + j 2 2 x elanjutnya, penentuan integral domain F d = atau nf d i F ) x + j F d = in x + jn y ) F d II.1.2 Teorema Divergensi Misal menyatakan domain pada ruang dimensi dua dan menyatakan batas Gd = G nd atau juga atau Gx x + G ) y d F Gd = F Gd + FG nd ) F G x x + G F y d = + Gx F x + G ) y d F G x n x + G y n y ) d yang mana n menyatakan unit vektor normal pada batas di domain

2 7 II.1.3 Teorema Green Teorema Green Pertama u 2 v + u v ) d = Teorema Green Kedua u 2 v v 2 u ) d = u v nd u v ) v u d II.1.4 Turunan Berarah umbu Detivatif D u fx, y) dari fungsi fx, y) pada sumbu unit vektor u D u fx, y) = fx, y) u II.2 Fungsi Interpolasi Proses transformasi dari sistem koordinat global x ke sistem koordinat lokal ξ dinyatakan dengan ξ = 1 untuk node di sebelah kiri dan ξ = 1 untuk node di sebelah kanan. ξ = 2x x i + x i+1 ) h i 2.1) dengan h i = x i+1 x i. Koordinat ξ dinamakan koordinat normal. Persamaan 1.2) memenuhi transformasi antara titik xx i x x i+1 ) dan titik ξ 1 x 1). Fungsi interpolasi untuk elemen linear pada sistem koordinat normal. φ 1 = 1 1 ξ) 2 φ 2 = ξ) 2 II.3 Elemen Batas Diberikan suatu domain di ruang dimensi dua dengan batas. Batas didiskritisasi menjadi Nb segmen j, j = 1, 2,..., Nb. Garis lurus yang menghubungkan dua titik partisi dinamakan elemen batas. Titik-titik partisi dinamakan titik ekstrim. Domain dihampiri oleh batas = Nb j=1 j.

3 8 Pada masing-masing titik ekstrim dilengkapi dengan nilai u yang belum diketahui dan q nilai yang telah diketahui. Titik-titik ini dinamakan dengan nodes. Tiga tipe nodes,yakni: Konstan elemen memiliki mid-nodes, yang mana pada setiap elemen memiliki mid-point. Linear elemen memiliki nodes ekstrim Quadratic elemen memiliki mid nodes dan ekstrim nodes II.4 Dasar Persamaan Integral Batas Definisi 1 [olusi Fundamental] Misal u adalah fungsi skalar dengan daerah domain, sedangkan x 0 suatu titik di. Fungsi u disebut solusi fundamental dari persamaan Poisson, jika u memenuhi u = δx x 0 ) pada {x 0 } 2.2) dengan δ ξ δx x 0 ) adalah fungsi Delta Dirac yang terkonsentrasi di titik x 0. olusi fundamental untuk persamaan Poisson ini diberikan dan diperoleh solusi fundamental 0; x x 0 δx, x 0 ) =, x = x 0 D 0; x x 0 δx, x 0 ) = 1; x = x 0 u x, x 0 ) = 1 2π log x x 0 2.3) elanjutnya, kita menuliskan u sebagai solusi fundamental dari persamaan di atas.

4 9 Melalui Identitas green kedua u 2 u u 2 u ) d = u u ) u u d 2.4) Melalui persamaan Poisson dan solusi fundamentalnya, diperoleh uδx x 0 )d = u u d u u d bu d 2.5) Dari persamaan integral 2.6) dan syarat batas 2.2)-2.4) diperoleh persamaan integral batas c i u i x 0 ) u x; x 0 )qd + ux; x 0 )q d + bu x; x 0 )d = 0 2.6) Integral garis di atas hanya dilakukan pada variabel x. Persamaan 2.6) di atas adalah persamaan integral batas untuk persamaan Poisson di R 2. Berdasarkan persamaan integral batas di atas nilai u di domain dapat diketahui melalui u di batas dan solusi fundamental u di domain melalui data u, u ) di batas. II.5 Persamaan Integral Batas Teorema [Persamaan Integral Batas] Misal u adalah solusi untuk persamaan Poisson dan u 1 ). Jika x maka persamaan integral batas berikut terpenuhi cx)ux) = [ u y; x) u ] y) uy) u y; x) d y + bu d 2.7) dengan 1, x ; cx)ux) = 1/2, x dan mulus di x; θ/2π, x dan patah di x dengan sudut θ.

5 10 Bukti Misal x. Pertama, kita membuat lingkaran kecil Bx 0, ɛ) yang berpusat pada titik x 0 dan berjari-jari ɛ. Tulis = Bx 0, ɛ). Jelas bahwa jika ɛ 0 maka =. Melalui pendefinisian seperti di atas, kita mendapatkan x menjadi titik dalam dari. Akibatnya, kita dapat menuliskan ux) = [ u y; x) u ] x) ux) u y; x) elanjutnya, akan diselidiki nilai Cauchy integral ini untuk ɛ 0. d 2.8) Tulis = Bx, ɛ) dan = Bx, ɛ) = 1 2 dengan 1 = Bx 0, ɛ). Perhatikan integral pertama persamaan 2.8) di atas. Integral tersebut dapat ditulis sebagai u y; x) u y) d = uku pertama dari integral ini u y; x) u y) d + u x; x 0 ) u x) d untuk ɛ 0, sedangkan suku keduanya menjadi lim u x; x 0 ) u x) d = 0 ɛ u y; x) u x) u x; x 0 ) u x) d ekarang, perhatikan kembali integral kedua persamaan 2.8) di atas. Integral kedua ini dapat ditulis sebagai ux) u x; x 0) d = ux) u x; x 0) d + ux) 2 u x; x 0) d uku pertama dari integral di atas ux) u x; x 0) d ux) u x; x 0) d

6 11 untuk ɛ 0, sedangkan suku keduanya menjadi jika kurva yang mulus di titik x. lim ux) u ɛ 0 2 x; x 0) d = ux 0) 2 Namun jika terjadi patahan pada titik x 0 diperoleh dengan besar patahan sebesar θ lim ux) u ɛ 0 2 x; x 2π θ) 0) d = ux 0 ) 2π elanjutnya dengan memindahkanya ke ruas kiri, memberikan [ θ 2π ux 0) = u x; x 0 ) u ] x) ux) u x; x 0) d II.6 Integral Domain Melalui persamaan integral batas 2.9) terdapat integral domain bu d Pada masalah yang lebih sederhana, fungsi b dipandang sebagai fungsi konstan, fungsi linear atau fungsi harmonik. Dengan demikian bu d = 0 Misal v x, x 0 ) menyatakan fungsi type Galerkin sedemikian sehingga 2 v = u. Melalui teorema Green kedua, diperoleh b 2 v v 2 b ) d = b v ) b v d 2.9) yang mana B i = b v ) b v d 2.10) Telah diketahui solusi fundamental u = 1 2π ) 2 v = 1 r r r v r log r, akibatnya = 1 2π log r

7 12 Dengan demikian v = r2 8π 1 log r) Jika kita asumsikan sumber dari panjang Q i dipusatkan pada titik interior i, maka b = Q i δi) Untuk tak berhingga titik sumber pada domain berlaku persamaan integral batas c i u i + uq d + B i + Q i u i = u qd yang mana B i menyatakan persaman integral garis dan berfungsi sebagai titik pusat.