BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf

Transkripsi

1 BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan dalam penelitian ini. Akan dijelaskan pula beberapa terologi serta notasi-notasi yang akan digunakan pada pembahasan berikutnya. 2.1 Definisi Graf Secara umum graf mempresentasikan model matematika terhadap sejumlah objek dalam bentuk simpul/titik (vertex) dan hubungan antara objek-objek tersebut dalam bentuk garis/sisi (edge). Sederhananya, graf dapat digambarkan sebagai kumpulan titik yang dihubungkan dengan garis. Secara matematika graf didefinisikan sebagai pasangan tak berurut yang terdiri dari dua himpunan berikut: 1. Himpunan berhingga tak kosong V = {v 0, v 1,, v m }, dinotasikan dengan V (G). Elemen-elemen dari himpunan V ini disebut verteks atau titik dari graf G. 2. Himpunan sisi yang dinotasikan dengan E(G), yaitu pasangan tak berurut dari elemen-elemen V (G) dalam bentuk E = {(v 0, v 1 ); (v 1, v 2 ); ; (v m 1, v m )}. Elemen-elemen dari himpunan E ini disebut edge atau sisi dari graf G. Sebuah graf G dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E dinotasikan dengan G(V, E). Banyaknya elemen di V disebut order dari G, dinotasikan dengan V dan banyaknya elemen di E disebut size dari G, dinotasikan dengan E. Berdasarkan definisi, dapat diketahui bahwa himpunan V tidak bisa kosong sedangkan himpunan E bisa saja kosong. Artinya, suatu graf dimungkinkan untuk tidak mempunyai sisi sama sekali, tetapi harus mempunyai setidaknya sebuah titik.

2 9 Suatu graf dengan size 0 dinamakan graf kosong (null graph) sedangkan graf dengan order 1 tanpa sebuah sisi sama sekali dinamakan graf trivial. Contoh 2.1 Berikut adalah graf G(V, E) dengan himpunan titik V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } dan himpunan sisi E = {v 1 v 2, v 2 v 3, v 3 v 4, v 4 v 5, v 3 v 5, v 5 v 1 }. Representasi graf tersebut diperlihatkan pada gambar berikut. Gambar 2.1. Contoh representasi graf G(V, E) Graf G(V, E) pada gambar 2.1 mempunyai 5 titik dan 6 sisi sehingga order dari G adalah V = 5 dan size dari G adalah E = 6. Apabila diketahui sisi e = (u, v) termuat dalam graf G, maka titik-titik u dan v disebut sebagai titik ujung dari sisi e. Titik u merupakan titik awal dan titik v merupakan titik akhir dalam graf G. Titik u dan v dikatakan bertemu dengan sisi e dan sebaliknya sisi e dikatakan bertemu dengan titik u dan v. Derajat dari sebuah titik u, dinotasikan dengan deg(u) adalah banyaknya sisi-sisi yang bertemu dengan titik u. Suatu sisi (u, v) dapat juga dinotasikan dengan u v, yaitu sisi yang menghubungkan titik u dan titik v. Sisi-sisi yang mempunyai titik ujung sama dinamakan sisi ganda (parallel edges atau multiple edges) dan suatu sisi yang menghubungkan sebuah titik ke dirinya sendiri dinamakan loop.

3 10 Andaikan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan (walk) yang menghubungkan titik u dan titik v di G dengan panjang m adalah sebuah barisan m sisi dengan bentuk {u = v 0, v 1 }, {v 1, v 2 },, {v m 1), v m = v} Jalan yang menghubungkan titik u dan titik v dengan panjang m ini dinotasikan dengan u = v 0 v 1 v 2 v m = v yang selanjutnya disingkat dengan penulisan u m v. Sebuah jalan yang menghubungkan u dan v dikatakan terbuka apabila u v dan dikatakan tertutup apabila u = v. Sebuah jalan tanpa perulangan titik kecuali mungkin titik-titik ujungnya disebut dengan lintasan (path). Titik awal dan titik akhir dari suatu lintasan bisa saja merupakan titik yang sama, lintasan yang demikian disebut lintasan tertutup (close path) dan merupakan sebuah lingkaran (cycle). Suatu lingkaran-s (s-cycle) adalah lingkaran dengan panjang s dan dinotasikan dengan C s. Jarak (distance) dari titik u menuju titik v, dinotasikan dengan d(u, v) adalah panjang dari jalan terpendek yang menghubungkan titik u dan v. Adapun diameter dari suatu graf G merupakan maksimum jarak yang dapat ditemukan antara titik-titik pada graf G. Dengan menggunakan graf pada gambar 2.1 akan dijelaskan beberapa terologi tersebut di atas. a. Barisan sisi v 1 v 2 v 1 v 5 v 4 adalah sebuah jalan tetapi bukan lintasan karena ada perulangan titik v 1. Karena titik awal dan titik akhirnya berbeda, jalan ini disebut jalan terbuka. b. Barisan sisi v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 adalah sebuah lintasan terbuka. c. Barisan sisi v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 1 adalah sebuah lintasan tertutup dan disebut juga dengan lingkaran. Lingkaran ini dapat juga disebut dengan lingkaran-5 yaitu lingkaran dengan panjang 5.

4 11 d. Jarak d(v 1, v 5 ) adalah jarak dengan panjang ganjil dan jarak d(v 1, v 3 ) adalah jarak dengan panjang genap. e. Jarak maksimum dari graf G adalah 2, yaitu antara d(v 1, v 3 ), d(v 1, v 4 ), d(v 2, v 4 ), ataupun d(v 2, v 5 ). Maka diameter graf G adalah Matriks Adjacency Matriks adjacency (matriks ketetanggaan) adalah (0, 1)-matriks, yaitu sebuah matriks yang hanya memuat elemen 0 atau 1. Matriks ini digunakan untuk menyatakan graf G atas n titik. Matriks adjacency dari sebuah graf G atas n titik v 1, v 2,, v n adalah sebuah matriks bujursangkar A = [a ij ] dengan ordo n yang setiap elemennya didefinsikan dengan ketentuan berikut: { 1, jika {vi, vj} E(G) a ij = 0, jika {vi, vj} / E(G) Berdasarkan definisi dapat diketahui bahwa a ij = a ji untuk semua 1 i, j n. Hal ini berakibat matriks ketetanggaan A(G) dari graf G merupakan sebuah matriks simetrik. Contoh 2.2 Graf G(V, E) pada gambar 2.1 dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks adjacency A(G) = [a ij ] sebagai berikut: A(G) = Pada contoh 2.2 terlihat bahwa setiap baris atau kolom ke- i = 1, 2, 3, 4, 5 dari matriks adjacency A(G) bersesuaian dengan titik v i dengan i = 1, 2, 3, 4, 5. Elemen a 12 = 1 menyatakan bahwa terdapat sisi yang menghubungkan titik v 1 dengan titik v 2, yakni sisi {1, 2} dan elemen a 13 = 0 menyatakan bahwa tidak terdapat sisi yang menghubungkan titik v 1 dengan titik v 3. Banyaknya kemunculan

5 12 angka 1 pada baris pertama dari A(G) menyatakan derajat dari titik v 1. Teorema 2.1 Andaikan G adalah sebuah graf dan A = (a ij ) adalah sebuah matriks adjacency dari G. Misalkan a k ij adalah elemen (i, j) dari matriks A k. Maka a k ij menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik j. Bukti. Pembuktian dilakukan dengan menggunakan induksi atas k. Asumsikan bahwa elemen a k ij dari A k menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik j. Apabila k = 1, maka elemen a 1 ij = a ij dari A menyatakan banyaknya jalan dengan panjang 1 yang menghubungkan titik i dengan titik j. Karena A k+1 = A k A, maka a k+1 ij = n a k il a lj l=1 untuk l = 1, 2,, n. Berdasarkan prinsip perkalian, ekspresi a k il a lj adalah banyaknya jalan dengan panjang k +1 yang melalui titik v l. Sehingga oleh prinsip penjumlahan, a k+1 ij adalah banyaknya jalan dengan panjang k + 1 yang menghubungkan titik i dengan titik j. 2.3 Matriks Tak Negatif Matriks tak negatif A merupakan suatu matriks dengan a ij 0, artinya setiap elemen-elemen a ij dari matriks A memuat bilangan bulat tak negatif. Sebaliknya jika setiap elemen-elemen dari matriks A memuat bilangan bulat positif, yaitu a ij > 0 maka matriks tersebut disebut matriks positif. Berikut diberikan dua buah matriks N =

6 M = Matriks N adalah matriks tak negatif dan matriks M adalah matriks positif. 2.4 Graf Terhubung Sebuah graf G dikatakan terhubung (connected graph) apabila untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan yang menghubungkan u dan v, sebaliknya graf G dikatakan tidak terhubung apabila tidak terdapat jalan yang menghubungkan titik u ke titik v. Dua titik terhubung pada suatu graf bersifat refleksif, artinya apabila u dan v adalah dua titik yang terhubung maka terdapat jalan yang menghubungkan u dengan v dan dengan bergerak mundur akan diperoleh sebuah jalan yang menghubungkan v dengan u. Maka dua titik terhubung pada suatu graf juga bersifat simetrik. Gambar 2.2. Graf terhubung dan tidak terhubung Gambar 2.2 menunjukkan bahwa (a) adalah graf terhubung karena terdapat jalan yang menghubungkan satu titik ke titik lainnya, sedangkan (b) adalah graf tidak terhubung karena tidak terdapat jalan yang menghungkan titik v 1, v 2 dan v 3 ke titik v 4 dan v 5. Berikut akan diperlihatkan sebuah cara untuk mengetahui keter-

7 14 hubungan dari suatu graf. Teorema 2.2 Andaikan G adalah sebuah graf atas n titik dengan matriks ketetanggaan A. Graf G adalah terhubung jika dan hanya jika matriks A + A A n 1 mempunyai elemen yang semuanya bernilai positif. Bukti. Andaikan G adalah sebuah graf terhubung dan misalkan B = A + A A n 1. Telah diketahui bahwa G mempunyai n titik dan pada suatu lintasan tidak terdapat titik berulang kecuali u = v. Apabila u v, maka terdapat suatu lintasan dengan panjang kurang dari n yang menghubungkan u dengan v. Hal ini mengakibatkan untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda, terdapat sebuah bilangan bulat positif k dengan 1 k n 1 sehingga elemen a k ij > 0. Artinya, semua elemen di luar elemen diagonal dari matriks B adalah positif. Apabila u = v, maka terdapat sebuah lingkaran dengan panjang 2 yang memuat titik u sehingga elemen a 2 uu > 0 untuk semua u = 1, 2,, n. Maka diagonal dari matriks B adalah positif sehingga dapat disimpulkan bahwa semua elemen dari matriks B = A + A A n 1 adalah positif. Akibatnya, untuk setiap pasangan titik u dan v terdapat sebuah bilangan positif k dengan 1 k n 1 sehingga a k ij > 0. Hal ini menyatakan bahwa untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat sebuah jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik u dan v, artinya G adalah sebuah graf terhubung. Berikut adalah proposisi yang menjelaskan beberapa sifat dari jalan yang menghubungkan titik u dan titik v yang dirujuk dari Harleni (2014). Proposisi 2.1 Misalkan G adalah suatu graf yang memuat titik u dan v. Setiap jalan u t v dapat dikembangkan menjadi sebuah jalan u t+2m v, untuk sebarang bilangan bulat positif m. Bukti. Misalkan titik u dan v termuat dalam graf G dan misalkan W : u = v 0 v 1 v 2 v t 1 v t = v merupakan jalan u t v di G. Maka jalan

8 15 W yang dimulai dari titik u berpindah ke titik v sepanjang jalan W kemudian berpindah m kali mengelilingi lingkaran v v t 1 v merupakan sebuah jalan u t+2m v. Proposisi 2.2 Misalkan G adalah suatu graf yang memuat titik u,v dan w. Terdapat jalan u t w dan jalan v t w di G jika dan hanya jika terdapat jalan u 2t v di G. Bukti. Andaikan terdapat jalan u t w dan jalan v t w di G. Maka dapat dinyatakan bahwa jalan yang dimulai dari u yang berpindah ke w sepanjang jalan u t w kemudian berpindah ke v sepanjang jalan v t w, merupakan jalan u 2t v. Asumsikan bahwa W : u = v 0 v1 v2 v 2t 1 v 2t = v merupakan jalan u 2t v di G. Jika w = v t, maka terdapat u t w dan jalan v t w di G. Syahmarani dan Suwilo (2012) juga memberikan Lemma mengenai graf terhubung sebagai berikut. Lemma 2.1 Andaikan G adalah graf terhubung maka setiap titik v di G terletak pada suatu lingkaran. Bukti. Ambil sebarang titik v di G. Karena G terhubung, maka terdapat suatu sisi yang menghubungkan titik v ke suatu titik u. Akibatnya, akan diperoleh suatu lintasan tertutup di G yang dibentuk oleh sisi dari titik u ke titik v dan lintasan dari titik v ke titik u di G. Oleh definisi, diketahui bahwa lintasan tertutup merupakan suatu lingkaran. Karena titik v adalah sebarang titik di G, maka setiap titik v di G terletak pada suatu lingkaran. 2.5 Primitifitas Graf Suatu graf terhubung G dikatakan primitif apabila terdapat sebuah bilangan positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan u k v. Sebuah graf G adalah graf primitif jika dan hanya jika graf G terhubung dan memuat paling sedikit sebuah lingkaran dengan panjang ganjil.

9 16 Graf G(V, E) yang ditunjukkan pada gambar 2.1 sebelumnya adalah salah satu contoh graf primitif. Berikut akan diperlihatkan graf primitif dan tidak primitif. Gambar 2.3. Graf primitif dan tidak primitif Gambar 2.3 memperlihatkan bahwa (a) merupakan graf primitif karena graf tersebut memuat lingkaran v 1 v 2 v 3 v 1 dengan panjang 3, sehingga syarat memuat paling sedikit sebuah lingkaran dengan panjang ganjil telah dipenuhi. Gambar (b) merupakan graf tidak primitif karena tidak memuat lingkaran ganjil sama sekali. Primitifitas suatu graf juga dapat dilihat melalui representasi matriksnya. Sebuah matriks persegi non negatif A dikatakan primitif apabila terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga A k > 0. Berikut adalah representasi matriks dari graf primitif pada gambar 2.3 bagian (a) A = A 2 =

10 17 Karena terdapat k = 2 sedemikian hingga setiap elemen-elemen pada A 2 memuat bilangan bulat positif, maka diketahui bahwa untuk matriks A dari graf tersebut, terdapat A 2 > 0. Sehingga terbukti bahwa graf tersebut adalah graf primitif. 2.6 Scrambling Index Scrambling index dari graf primitif G, dinotasikan dengan k(g) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda, terdapat sebuah titik w dengan sifat terdapat u k w dan v k w. Adapun untuk dua titik u dan v yang berbeda, scrambling index lokal dari u dan v adalah bilangan bulat positif k u,v (G) yang didefinisikan sebagai berikut: k u,v (G) = w V {k : u k w dan v k w} Dari definisi scrambling index k(g) dan scrambling index lokal k u,v (G) diperoleh hubungan k(g) k u,v (G). Karena G adalah graf terhubung, maka untuk setiap bilangan bulat l k u,v (G) dapat ditemukan sebuah titik w sehingga terdapat u l w l dan v w. Hal ini mengakibatkan nilai dari k(g) yang juga disebut dengan scrambling index global adalah maksimum dari nilai-nilai scrambling index lokal k u,v (G) yang didefinisikan sebagai berikut: k(g) = max u v {k u,v(g)} Contoh 2.3 Dengan menggunakan graf G(V, E) pada gambar 2.1, nilai scrambling index dari graf tersebut dapat ditentukan. Terlebih dahulu ditentukan nilainilai scrambling index lokal-nya sebagai berikut: k u,v (G) = k u,w (G) = k u,x (G) = k u,y (G) = k v,w (G) = k v,x (G) = {4, 4, 3, 3, 2} = 2 {5, 1, 3, 1, 2} = 1 {5, 3, 2, 3, 2} = 2 {4, 3, 2, 1, 3} = 1 {3, 4, 3, 2, 2} = 2 {3, 5, 2, 3, 2} = 2

11 18 k v,y (G) = k w,x (G) = k w,y (G) = k x,y (G) = {1, 4, 2, 3, 3} = 1 {1, 3, 3, 3, 3} = 1 {1, 3, 4, 2, 5} = 1 {1, 2, 3, 4, 5} = 1 Maka scrambling index dari graf tersebut adalah maksimum dari semua scrambling index lokal yang diperoleh, yaitu k(g) = max{2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1} = 2. Karena graf dapat dinyatakan dalam bentuk matriks adjacency, nilai scrambling index dapat pula ditentukan dari matriks primitif. Scrambling index dari matriks primitif A, dinotasikan dengan k(a) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua baris pada A k terdapat sedikitnya satu elemen positif pada posisi kolom yang sama. Dengan mempresentasikan graf G(V, E) pada gambar 2.1 dalam bentuk matriks adjacency A sebagai berikut, nilai scrambling index graf tersebut juga dapat diketahui A = A 2 = Dapat dilihat bahwa pada matriks A 2 terdapat sebuah kolom (kolom ke-5) yang semua barisnya memuat elemen positif. Artinya, untuk setiap dua baris pada A k untuk k = 2 terdapat sedikitnya satu elemen positif pada posisi kolom yang

12 19 sama telah dipenuhi. Sehingga diketahui nilai scrambling index dari graf tersebut adalah Scrambling Index dari Lingkaran Ganjil Gao dan Shao (2013) dalam penelitiannya mengemukakan tentang scrambling index dari lingkaran ganjil. Scrambling index dari sebuah lingkaran atas n titik ganjil C n : v 1 v 2... v n 1 v n v 1 didefinisikan sebagai berikut: Lemma 2.2 Andaikan C n k(c n ) = (n 1) 2 adalah sebuah lingkaran atas n titik ganjil, maka Bukti. Jalan dengan panjang genap terpendek yang menghubungkan v n dengan v n 1 adalah jalan W vn,v n 1 : v n v 1 v 2... v n 1 dengan panjang n 1. Hal ini berakibat K vn,v n 1 (C n ) = (n 1) 2 sehingga k(g) (n 1) 2. Gambar 2.4. Lingkaran dengan panjang ganjil Untuk dua titik v i dan v j yang berbeda, telah diperlihatkan bahwa terdapat jalan yang menghubungkan v i dan v j dengan panjang genap t n 1. Hal ini berakibat untuk dua titik v i dan v j yang berbeda terdapat sebuah jalan yang menghubungkan v i dan v j dengan panjang tepat n 1. Sehingga diperoleh k(c n ) (n 1) 2. Maka terbukti k(c n ) = (n 1) 2.