MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
|
|
- Adi Kusuma
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 DEKOMPOSISI GRAF SIKEL, GRAF RODA, GRAF GIR DAN GRAF PERSAHABATAN Nur Rahmawati Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, Budi Rahajeng, S.Si, M.Si Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, Abstrak Dekomposisi graf G adalah koleksi subgraf tak kosong dari G H i sedemikian hingga H i = E i, untuk suatu subgraf tak kosong E i dari E(G),dimana E i adalah partisi dari E (G). Subgraf H i pada dekomposisi G tidak memuat titik terisolasi. Jika H i adalah sebuah dekomposisi dari G, maka dinotasikan G = H 1 H 2. H t dan G didekomposisikan ke dalam subgraf H 1, H 2,., H t di mana H i = t. Dengan kata lain, jika G = H 1 H 2.. H t adalah dekomposisi graf G. Dekomposisi dari graf sikel C n adalah mk 2 dekomposisi dengan m n,n, m N,m n. Graf roda W n,n 3 merupakan 2K 2 dekomposisi, graf gir G n, n 3 merupakan 3K 2 dekomposisi dan Graf persahabatan F n, n 2 merupakan C 3 dekomposisi. Kata kunci Dekomposisi, graf sikel, graf roda, graf gir, graf persahabatan Abstract A decomposition of a graph G is collection H i of nonempty subgraphs such that H i = E i for some (nonempty) subset E i of E(G),where E i is a partition of E (G). Thus no subgraph H i in a decomposition of G contains isolated vertices. If H i is a decomposition of G, then we write G = H 1 H 2. H t and say G is decomposed into the subgraphs H 1, H 2,., H t where H i = t. Indeed, if G = H 1 H 2.. H t is a decomposition of a graph G. A decomposition of cycle graphc n is mk 2 decomposition with m n,n, m N,m n. Wheels graph W n,n 3 is 2K 2 decomposition, gears graph G n, n 3 is 3K 2 decomposition and friendship graph F n, n 2 is C 3 decomposition. Keywords Decomposition, cycle graph, wheels graph, gears graph, friendship graph 1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf adalah salah satu cabang dari matematika yang pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler pada tahun 1736, sebagai upaya menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg yang tercatat dalam sejarah untuk pertama kali menggunakan graf. Seiring perkembangan jaman dan teknologi, teori graf banyak dijadikan model dalam memecahkan masalah yang ada di kehidupan. Teori graf telah mengalami perkembangan yang begitu bagus. Saat ini banyak sekali rnasalah yang berkaitan dengan graf yang telah dikaji. Salah satunya adalah dekomposisi graf. Salah satunya adalah dekomposisi graf. penerapan dekomposisi graf bukan hanya dalam matematika tetapi telah banyak diterapkan pada berbagai ilmu pengetahuan lain seperti kimia, fisika, biologi dan pengetahuan lain. Banyak permasalahan yang menggunakan penerapan dekomposisi graf seperti jaringan listrik, siklus suatu makhluk hidup dan berbagai permasalahan lainnya. Kemunculan jurnal pertama yang membahas dekomposisi oleh Jacobson, M.S., Truszczynski, M. and Tuza, Zs., Decompositions of regular bipartite graphs (1991) yang membahas tentang dekomposisi isomorfik graf bipartit biasa menjadi pohon dan hutan dan membuktikan bahwa (1) sebuah graf bipartisi 64
2 beraturan-r didekomposisikan menjadi pohon dengan banyak sisi r, (2) setiap graf bipartisi beraturan r didekomposisikan menjadi graf bintang ganda dengan banyak sisi r, dan (3) setiap graf bipartisi beraturan-4 didekomposisikan menjadi lintasan P 4. Penelitian mengenai dekomposisi telah dibahas dalam skripsi Dekomposisi Graf Komplit oleh Rina Munawaroh dari UIN Malang (2009). Pembahasan mengenai dekomposisi graf masih dapat dilanjutkan pada dekomposisi graf yang lain. Berdasarkan hal tersebut, maka penulis mengambil judul skripsi ini, yaitu Dekomposisi Graf Sikel, Graf Roda,Graf Gir dan Graf Persahabatan. 2. KAJIAN PUSTAKA Definisi 1 Sebuah graf G didefinisikan sebagaipasangan terurut dua himpunan, yaitu himpunanhingga tak kosong V(G) yang elemen elemennyadisebut titik dan himpunan berhingga yangmungkin kosong E(G) yang elemen elemennyadisebut sisi sedemikian hingga setiap elemen dalam E(G) merupakan pasangan tak berurutan darititik titik di V(G). V(G) disebut himpunan titikdari graf dan E(G) disebut himpunan sisi dari grafg. sisi pada bagian sikel graf roda. Graf sahabat hanya bisa didapatkan dari graf roda dengan n genap, banyak titik graf persahabatan adalah 2n + 1 sedangkan banyak sisinya adalah 3n. Definisi 7 Graf G dikatakan dapat difaktorkan ke dalam faktorfaktor G 1, G 2,...., G t. jika faktor-faktor tersebut merupakan sisi yang saling lepas untuk setiap pasangan t sisi dan i=1 E G i = E G. Jika G difaktorkan kedalamg 1, G 2,...., G t maka dituliskan dengan G = G 1 G 2.. G t dan disebut sebagai faktorisasi G. Jika terdapat faktorisasi dari graf G sedemikian hingga untuk setiap faktor adalah k-faktor ( k-faktor adalah graf bagian rentang beraturan-k), maka G dikatakan k-faktor. Jika G adalah graf k-faktor, maka G adalah graf beraturan-r untuk bilangan bulat r yang merupakan kelipatan k. Jika graf G dapat difaktorkan kedalam G 1, G 2,...., G t di mana G i = H untuk sebuah graf H untuk setiap bilangan bulat i (1 i t), maka kita katakan bahwa G adalah terfaktorisasi H dan G memiliki faktor yang isomorfik dengan H. Definisi 2 Titik terisolasi (isolated vertex) adalah titik yang tidak satupun berhubungan langsung dengan titik titik yang lainnya. Gambar 2. 1 Graf G Definisi 3 Untuk n 3,Graf sikel ( Cycle Graph) merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua.graf sikel dengan n titik dilambangkan dengan C n.banyak sisi pada sebuah graf sikel yang terdiri dari n buah titik adalah n. Definisi 4 Untuk n 3,Graf RodaW n (Wheels Graph) merupakan graf yang diperoleh dengan cara menambahkan satu titik baru pada graf sikel C n sedemikian hingga setiap titik pada graf sikel C n berhubungan langsung dengan titik baru tersebut. Banyak titik graf roda adalah n + 1, sedangkan banyak sisinya adalah 2n Definisi 5 Untuk n 3,Graf gir (Gears Graph) dilambangkan G n adalah graf roda W n dengan tambahan sebuah titik diantara tiap-tiap pasangan dari titik-titik graf yang berhubungan langsung pada sikel luar. Banyak titik graf gir adalah 2n + 1 sedangkan banyak sisinya adalah 3n. Definisi 6 Untuk n 2, Graf Persahabatan (Friendship Graph) F n adalah graf yang didapat dengan cara menghapus n/2 Bentuk faktorisasi graf komplit Gadalah sebagai berikut Gambar 2. 2 Faktorisasi Graf G Definisi 8 Dekomposisi graf G adalah koleksi subgraf dari G tak kosong H i sedemikian hingga H i = E i, untuk suatu subgraf tak kosong E i dari E(G), dimana E i adalah partisi dari E (G). Subgraf H i pada dekomposisi G tidak memuat titik terisolasi. Jika H i adalah sebuah dekomposisi dari G, maka dinotasikan G = H 1 H 2. H t sama seperti pada faktorisasi dan G didekomposisikan ke dalam subgraf H 1, H 2,., H t di mana H i = t. Dengan kata lain jika G = H 1 H 2. H t adalah dekomposisi dari graf G. Jika H i adalah dekomposisi grafg sedemikian hingga H i = H untuk sebuah graf H dan untuk setiap i, maka G 65
3 dikatakan H dekomposisi. Jika G merupakan graf H- dekomposisi, maka dinotasikan H G sehingga H dapat dikatakan pembagi banyaknya sisi di G dan G merupakan kelipatan dari H dan untuk setiap graf (tak kosong) merupakank 2 dekomposisi. Gambar 2. 3 Graf G Partisi sisi-sisi dari graf Gditunjukkan sebagai berikut Gambar 2. 4 Dekomposisi graf G Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa diperoleh 6 partisi dengan masing-masing partisi terdiri dari 2 sisi. Jika G = H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 maka G dapat didekomposisikan. 3. PEMBAHASAN Sebuah graf G di dekomposisikan ke dalam subgraf H 1, H 2,, H n jika ada dua subgraf H i dan H j yang tidak mempunyai sisi-sisi yang sama dan dimana setiap subgrafnya isomorfis serta penjumlahan semua subgraf Hi adalah graf G. 3.1 Dekomposisi Graf Sikel Misalkan diambil graf sikel C n dengan 3 n 9, kemudian graf sikel C n dipartisi menjadi subgraf H i berupa K 2. Tabel 3.1 dekomposisi dari graf sikel C n Graf Sikel C 3 Dekomposisi H- dekompos isi C 3 = H 1 H 2 H 3 H i = K 2 (3 partisi) C 4 C 4 = H 1 H 2 (2 partisi) H 1 H 2 H H 3 H 4 H 5 H 6 Banyaknya sisi dan titik V H 1 = V H 2 = V H 3 = 2 = E H 3 = 1 V H 1 = V H 2 = 4 = 4 C 4 = H 1 H 2 H i = K 2 V H 1 = V H 2 H 3 H 4 = V H 3 = V H 4 = 2 = E H 3 = E H 4 = 1 C 5 C 5 = H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H i = K 2 V H 1 = V H 2 = V H 3 = V H 4 = V H 5 = 2 = E H 3 = E H 4 = E H 5 = 1 C 6 C 6 = H 1 H 2 H i K 2 V H 1 = V H 2 = 6 C 6 = H 1 H 2 V H 1 = V H 2 H 3 = V H 3 = 4 = E H 3 = 2 C 7 C 7 = H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 H 7 H i = K 2 V H 1 = V H 2 = V H 3 = V H 4 = V H 5 = V H 6 = V H 7 = 2 = E H 3 = E H 4 = E H 5 = E H 6 = E H 7 = 1 V H = V H C 8 C 8 = H 1 H H 3 H 4 = V H 3 = V H 4 = 4 = E H 3 = E H 4 = 2 C 8 = H 1 H 2 H i = 4K 2 V H 1 = V H 2 = 8 = 4 C 9 C 9 = H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 H 7 H 8 H 9 H i = K 2 V H 1 = V H 2 = V H 3 = V H 4 = V H 5 = V H 6 = V H 7 = V H 8 = V H 9 = 2 = E H 3 = E H 4 = E H 5 = E H 6 = E H 7 = E H 8 = E H 9 = 1 C 9 = H 1 H 2 H 3 H i K 2 V H 1 = V H 2 = V H 3 = 6 = E H 3 Berdasarkan Tabel 3.1 maka diperoleh teoremaberikut Teorema 3.1 Misalkan m n, n, m N, m n, graf merupakan mk 2 dekomposisi. sikel C n Bukti Ambil sebarang graf sikel C n dengan n 3 Misal V C n =,,,, v n dan E C n = e 1, e 2, e 3,, e n dimana e 1 = v n, dan e i+1 = v i, v (i+1), i = 1,2,3,, n 1 Kemudian graf sikel C n dipartisi menjadi subgraf H i = E i yang berupa K 2, dimana i jmaka H i H j = 66
4 Misalkan E H i = m dan V H i = 2m, karena E H i = m maka H i dapat didekomposisikan sebanyak m. Karena m n maka ada p N, n = p. m sehinggap = n m Misalkan C n = H 1 H 2 H 3.. H p, dimana p = n m, p N, maka akan dikonstruksi sebanyak psubgraf yang saling lepas. Sehingga menetukan partisi graf sikel C n sebagai berikut. Misal i = 1,2,3,, p 1 H i = e j j = i modp, j = 1,2,3,.., n H p = e k k = 0 modp, k = 1,2,3,.., n Untuk menunjukkan untuk setiap i j maka H i H j =, andaikan H i H j, maka e k H i H j,k N. Hal ini berarti bahwa e k H i dan e k H j. Berdasarkan definisi jika e k H i maka k = i mod p dan e k H j maka k = j mod p, akibatnya i = j kontradiksi dengan yang diketahui yaitu i j. Oleh karena itu diperoleh i j, H i H j =. Untuk setiap i = 1,2,3,, p 1, E H i = m dan C n = H 1 H 2 H 3.. H p maka C n merupakan mk 2 dekomposisi. Misal graf G adalah graf sikel C n,dengan n = 8, C 8 = V C 8, E C 8 dengan E C 8 = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 e 8 }. }. Graf Gdapat digambarkan sebagai berikut e 8 v 8 e 7 e 6 e 5 Karena m n dan m n jika n = 8, maka m = 4 dan p = 2 atau m = 2 dan p = 4 atau m = 1 dan p = 8. Untuk m = 2 dan p = 4 Sehingga G dapat dipartisi sebagai berikut i = 1,2,3, j = 1,2,3,4,5,6,7,8 Maka untuk i = 1, H 1 = e j j = 1 mod 4, maka untuk subgraf dari e j yaitu bilangan 1 dan 5 sehingga H 1 = e 1, e 5 Untuk = 2, H 2 = e j j = 2 mod 4 subgraf dari e j yaitu bilangan 2 dan 6 sehingga, maka untuk H 2 = e 2, e 6 Dengan cara yang sama akan diperoleh H 3 = e 3, e 7 k = 1,2,3,4,5,6,7,8 Untuk H 4 = e k k = 0 mod4,maka untuk subgraf dari e k yaitu bilangan 4 dan 8 sehingga e 1 e 2 e 3 e 4 H 4 = e 4, e 8 Maka E H i = 2, H i = K 2 K 2 dan C 8 = H 1 H 2 H 3 H 4 Karena = 2, maka C 8 didekomposisikan sebanyak 2K 2. Sehingga C 8 merupakan 2K 2 dekomposisi. Untuk m = 4 dan p = 2 Sehingga G dapat dipartisi sebagai berikut i = 1, j = 1,2,3,4,5,6,7,8 Maka untuk H 1 = e j j = 1 mod 2, maka untuk subgraf dari e j yaitu bilangan 1, 3, 5 dan 7 sebagai 1 mod 2 sehingga H 1 = e 1, e 3, e 5, e 7 k = 1,2,3,4,5,6,7,8 Untuk H 2 = e k k = 0 mod2,maka untuk subgraf dari e k yaitu bilangan 2, 4, 6 dan 8 sebagai 0 mod2 sehingga H 2 = e 1, e 3, e 5, e 7 Maka E H i = 4, H i = K 2 K 2 K 2 K 2 dag = H 1 H 2 Karena m = 4, maka G didekomposisikan sebanyak 4K 2,Sehingga C 8 merupakan 4K 2 dekomposisi. Untuk m = 1 dan p = 8 Sehingga G dapat dipartisi sebagai berikut i = 1,2,3,4,5,6,7, j = 1,2,3,4,5,6,7,8 Maka untuk i = 1, H 1 = e j j = 1 mod 8, maka untuk subgraf dari e j yaitu bilangan 1 sehingga H 1 = e 1 Untuk = 2, H 2 = e j j = 2 mod 8 subgraf dari e j yaitu bilangan 2 sehingga, maka untuk H 2 = e 2 Dengan cara yang sama akan diperoleh H 3 = e 3, H 4 = e 4, H 5 = e 5, H 6 = e 6, H 7 = e 7 k = 1,2,3,4,5,6,7,8 Untuk H 8 = e k k = 0 mod8,maka untuk subgraf dari e k yaitu bilangan 8 sehingga H 8 = e 8 Maka E H i = 2, H i = K 2 dan C 8 = H 1 H 2 H 3 H 5 H 6 H 7 H 8 Karena = 1, maka C 8 didekomposisikan sebanyak K 2. Sehingga C 8 merupakan K 2 dekomposisi. Akibat 1 Setiap graf sikel C n dengan n adalah bilangan prima maka graf sikel C n hanya merupakan K 2 dekomposisi. Bukti Berdasarkan definisi untuk setiap graf (tak kosong) yang tidak memuat titik terisolasi merupakan K 2 -dekomposisi maka graf sikel C n merupakan K 2 -dekomposisi. Misalkan n merupakan bilangan prima maka faktor dari n hanya 1 dan n 67
5 Berdasarkan teorema 3.1 Misalkan m n, n, m N,m n maka graf sikel C n merupakan mk 2 dekomposisi. Karena m n maka faktor dari n hanyalah 1 sehingga graf sikel C n hanya merupakan K 2 -dekomposisi Karena faktor dari n hanyalah 1 dan n maka pεn, p n, 1 n, maka p n Sehingga diperoleh C n bukan pk 2 -dekomposisi Dengan demikian C n dengan n prima hanya merupakan K 2 dekomposisi. 3.2 Dekomposisi Graf Roda Misalkan diambil graf roda W n dengan n 3, kemudian graf roda W n dipartisi menjadi subgraf H i berupa K 2. Tabel 3.2 dekomposisi dari graf roda W n Graf Roda W 3 W 4 W 5 W 6 W n Dekomposisi H- dekomposi si W 3 = H 1 H 2 H 3 (3 partisi) W 4 = H 1 H 2 H 3 H 4 (4 partisi) W 5= H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 (5 partisi) W 6 = H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 (6 partisi) W n = H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 H n (n partisi) Banyaknya titik dan sisi V(H1) = V(H2) = V(H3) = 4 = E(H3) = 2 V(H1) = V(H2) = V(H3) = V(H4) = 4 E(H1) = E(H2) = E(H3) = E(H4) = 2 = V H3 = V H4 = V(H5) = 4 E(H1) = E(H2) = E(H3) = E(H4) = E(H5) = 2 V(H1) = V(H2) = V(H3) = V(H4) = V(H5) = V(H6) = 4 E(H1) = E(H2) = E(H3) = E(H4) = E(H5) = E(H6) = 2 = V H3 = V H4 = V H5 = V H6 = = V Hn = 4 = E H3 = E H4 = E H5 = E H6 = = E Hn = 2 Berdasarkan Tabel 3.2 maka diperoleh teoremaberikut Teorema 3.2 Graf roda W n,n 3 merupakan 2K 2 - dekomposisi Bukti Ambil sebarang graf roda W n Misal V W n =,,,.., v n 1, v n, v n +1 E W n = e 1, e 2, e 3, e n,, e 2n 1, e 2n Partisi graf roda W n menjadi subgraf H i = E i yang berupa K 2, dimana i j maka H i H j = Misalkan W n = H 1 H 2 H 3.. H n Partisi graf roda W n sebagai berikut untuk i = 1,2,3,4,, n Subgraf H i = v i, v i+1, v i+2, v n +1, dimana setiap i + 1, i + 2 < n maka i + 1 dan i + 2 dinyatakan sebagai bilangan bulat 1,2,,3,., n mod n. Untuk menunjukkan setiap sugraf saling lepas dimana i j maka H i H j =. Andaikan H i H j, maka e k H i H j,k N. Hal ini berarti bahwa e k H i dan e k H j. Jika e k H i berdasarkan definisi maka e k = v i, v i+1 atau v i+2, v n+1 dan e k H j berdasarkan definisi maka e k = v j, v j +1 atau v j +2, v n+1. Akibatnya v i, v i+1 = v j, v j +1 dan v i+2, v n +1 = v j +2, v n+1 maka = j. Jika i = j maka setiap i + 1, i + 2 < n dinyatakan sebagai bilangan bulat 1,2,,3,., n mod n sehingga tidak ada sisi yang sama pada setiap subgraf. Oleh karena itu diperoleh i j, H i H j = kontradiksi dengan pengandaian. Dengan demikian untuk setiap i = 1,2,3,, n, dan W n = H 1 H 2 H 3.. H n maka W n merupakan 2K 2 - dekomposisi. Diberikan graf roda W 4 ; n = 4 Misal G = W 4 Dapat digambarkan sebagai berikut Titik titik dari G adalah,,,, Untuk i = 1,2,3,4 maka H 1 =,,, H 2 =,,, H 3 =,,, karena i + 2 > n, maka untuk titik yaitu bilangan 5 diambil sebagai 1 mod 4 sehingga H 3 =,,, Dengan cara yang sama maka akan diperoleh H 4 =,,, Sehingga dekomposisi dari G 68
6 Partisi graf gir G n menjadi subgraf H i = E i yang berupa K 2, dimana i j maka H i H j = Karena G = H 1 H 2 H 3 H 4 dimana setiap subgraf H i didekomposisi sebanyak 2 yang berupa K 2. Sehingga W 4 merupakan 2K 2 dekomposisi. 3.3 Dekomposisi Graf Gir Misalkan diambil graf gir G n dengan n 3, kemudian graf gir G n dipartisi menjadi subgraf H i berupa K 2. Tabel 3.3 dekomposisi dari graf gir G n Graf Gir Dekompo sisi Banyak titik dan sisi G 3 G 4 G 5 G 3 = H 1 H 2 H 3 (3 partisi) G 4 = H 1 H 2 H 3 H 4 (4 partisi) G 5 = H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 (5 partisi) G 6 = H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 (6 partisi) H- dekomposi si H i K 2 H i K 2 H i K 2 V(H1) = V(H2 = V(H3) = 6 E(H1) = E(H2) = E(H3) = V(H3) = V(H4) = 6 = E(H3) = E(H4) = V(H5) = 6 = E(H5) H G i K 2 6 = V(H5) = V(H6) = 6 = E H5 = E(H6) G n G n H i K 2 = H 1 H 2 H 3 H = V H5 = V H6 4 = H 5 H 6 = V Hn = 6 H n (n partisi) = E H5 = E H6 = = E Hn Berdasarkan Tabel 3.3 maka diperoleh teoremaberikut Teorema 3.3 Graf gir G n, n 3 merupakan 3K 2 - dekomposisi Bukti Ambil sebarang graf gir G n Misal V G n =,,,.., n 1, n, n +1 E G n = e 1, e 2, e 3,, e 3n 1, e 3n Misalkan G n = H 1 H 2 H 3.. H n partisi graf gir G n sebagai berikut. untuk i = 1,2,3,4,, n, sehingga subgraf H i sebagai berikut H i = i 1, i, i+1, n+1, i+2, i+3, dimana setiap 2i + 1,2i + 2,2i + 3 > 2n maka 2i + 1,2i + 2 dan 2i + 3 dinyatakan sebagai bilangan bulat 1,2,,3,,2n mod 2n, Untuk menunjukkan bahwa pada setiap subgraf H i saling lepas dimana i j maka H i H j =. Andaikan H i H j maka e k H i H j,k N. Hal ini berarti bahwa e k H i dan e k H j. Jika e k H i berdasarkan definisi maka e k = i 1, i atau i+1, n+1 atau i+2, i+3 dan e k H j berdasarkan definisi maka e k = j 1, j atau j +1, n+1 atau j +2, j +3. Akibatnya i 1, i = j 1, j, i+1, n +1 = j +1, n+1 dan i+2, i+3 = j +2, j +3, maka i = j. Jika i = j maka setiap 2i + 1,2i + 2,2i + 3 > 2n dinyatakan sebagai bilangan bulat 1,2,,3,.,2n mod 2n sehingga tidak ada sisi yang sama pada setiap subgraf. Oleh karena itu diperoleh i j, H i H j = kontradiksi dengan pengandaian. untuk setiap i = 1,2,3,, n, dan G n = H 1 H 2 H 3.. H n E H i maka G n merupakan 3K 2 dekomposisi. Diberikan graf gir G 4 ; n = 4 Misal G = G 4 Dapat digambarkan sebagai berikut Titik titik dari G adalah,,,,,,, v 8, v 9 Untuk i = 1,2,3,4 maka H 1 =,,, v 9,, H 2 =,,, v 9,, H 3 =,,, v 9, v 8, v 9 karena 2i + 3 = 2n + 1, maka untuk titik v 9 yaitu bilangan 9 diambil sebagai 1 mod 8 sehingga H 3 =,,, v 9, v 8, Dengan cara yang sama maka akan diperoleh H 4 =, v 8,, v 9,, Sehingga dekomposisi dari G v 8 v 9 69
7 Karena G = H 1 H 2 H 3 H 4 dimana setiap subgraf H i didekomposisi sebanyak 3 yang berupa K 2. Sehingga G 4 merupakan 3K 2 dekomposisi. 3.4 Dekomposisi graf pada graf persahabatanf n Misalkan diambil graf persahabatan F n dengan n 2, kemudian graf persahabatan F n dipartisi menjadi subgraf H i berupa C 3. Grafper sahabat an F 2 F 3 F 4 F 5 Dekomposi si F 2 = H 1 H 2 (2 partisi) F 4 = H 1 H 2 H 3 (3 partisi) F 4 = H 1 H 2 H 3 H 4 (4 partisi) F 5 = H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 (5 partisi) F 6 = H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 (6 partisi) F n = H 1 H 2. H n (n partisi) H- dekomp osisi Banyak titik dan sisi = V(H3) = E(H3) = V(H5) = E(H5) = V H5 = V H6 = E H5 = E H6 = V H5 = V H6 = = V H n = E H5 = E H6 = = E Hn Berdasarkan Tabel 3.3 maka diperoleh teoremaberikut Teorema 3.4 Graf persahabatan t F n, n 2 merupakan C 3 dekomposisi Bukti Ambil sebarang graf s persahabatan F n Misal V F n =,,,.., n 1, n, n +1 E F n = e 1, e 2, e 3, e n,, e 3n 1, e 3n Partisi graf persahabatanf n menjadi subgraf subgraf H i = E i yang berupa C 3, dimana i j maka H i H j = Misalkan F n = H 1 H 2 H 3.. H n. Menentukan partisi graf persahabatan F n sebagai berikut untuk i = 1,2,3,4,, n Subgraf H i =, i, i, i+1, i+1, untuk setiap i = 1,2,3,, n, Untuk menunjukkan bahwa pada setiap subgraf H i saling lepas, dimana i j maka H i H j =. Andaikan H i H j, maka e k H i H j,k N. Hal ini berarti bahwa e k H i dan e k H j. Jika e k H i berdasarkan definisi maka e k =, i, i, i+1, i+1, dan e k H j berdasarkan definisi maka e k =, j, j, j +1, j +1,. Akibatnya, i, i, i+1, i+1, =, j, j, j +1, j +1,, maka i = j kontradiksi dengan yang diketahui yaitu i j. Oleh karena itu diperoleh i j, H i H j =. F n = H 1 H 2 H 3.. H n dan H i berupa C 3 maka F n merupakan C 3 - dekomposisi. Diberikan graf persahabatan t F 6 ; n = 6 Misal F = F 6 Dapat digambarkan sebagai berikut G v 3 Titik titik dari G adalah,,,,,,, v 8, v 9, 0, 1, 2, 3 Untuk i = 1,2,3,4,5,6 maka H 1 =,,,,, H 2 =,,,,, H 3 =,,,,, H 4 =, v 8, v 8, v 9, v 9, H 5 =, 0, 0, 1, 1, H 6 =, 2, 2, 3, 3, Sehingga dekomposisi dari G sebagai berikut H 1 H 2 H 3 e 11 v
8 v 8 v Lasmoko, Tri. Chapter III Faktorisasi Graph Regularhttp//eprints.undip.ac.id/32353/6/M94_ Tri_Lasmoko_chapter_III.pdf Diunduh pada tanggal 7 April H 4 Karena G = H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 dimana setiap subgraf H i berupa C 3. Sehingga F 6 merupakan C 3 dekomposisi. 4 PENUTUP H Kesimpulan Berdasarkan hasil pembahasan pada Bab III, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut 1. Misalkan m n, n, m N, m n, graf sikelc n merupakanmk 2 -dekomposisi 2. Graf roda W n, n 3 merupakan 2K 2 - dekomposisi 3. Graf girg n,n 3merupakan3K 2 - dekomposisi 4. Graf persahabatan F n, n 2merupakanC 3 dekomposisi 4.2 Saran Pada skripsi ini, penulis hanya memfokuskan pada pokok bahasan masalah dekomposisi pada graf roda W n, graf gir G n, dan graf persahabatan F n. Maka dari itu, untuk penulisan skripsi selanjutnya, penulis menyarankan kepada pembaca untuk mengkaji masalah dekomposisi pada graf-graf yang lain. H 6 DAFTAR PUSTAKA Budayasa,Ketut Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya Unesa UniversityPress. Chartrand, Gery and Lesniak, Linda Graphs and Digraphs Second Edition. California a Division of Wadsworth, Inc. Munawaroh, Rina Dekomposisi Graf Komplit. http//lib.uinmalang.ac.id/files/thesis/fullchapter/ pdf. Diunduh pada tanggal 10 Januari Jacobson, M.S., Truszczynski, M. and Tuza, Zs., 1991.Decompositions of regular bipartite graphs, Discrete Mathematics, http//dblp.unitrier.de/db/journals/dm/dm89.html#jacobsontt 91. Diakses pada tanggal 11 Februari Nurainiyah,Lam atun Pelabelan Konsekutif Pada Graf Roda, Graf Sahabat, Graf Prisma dan Graf Buku. Surabaya. Skripsi tidak dipublikasikan. Nugraheni, Liknin. Faktorisasi Pada Graph. http//digilib.unipasby.ac.id/files/disk1/8/gdlhub --likninnugr likninn-i.pdf Diunduh pada tanggal 11 Februari
DIMENSI METRIK PADA GRAF LINTASAN, GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT
DIMENSI METRIK PADA GRAF LINTASAN, GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT Septiana Eka R. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,Universitas Negeri
Lebih terperinciAUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN
AUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN Reni Tri Damayanti Mahasiswa Pascasarjana Jurusan Matematika Universitas Brawijaya Email: si_cerdazzz@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu topik yang menarik untuk
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
MATHunesa (Volume 3 No 3) 014 PEWARNAAN HARMONIS GRAF GARIS, GRAF MIDDLE DAN GRAF CENTRAL DARI KELUARGA GRAF BINTANG GANDA Siti Ma rifatus Sholikha Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciGRAF TOTAL DARI RING KOMUTATIF
GRAF TOTAL DARI RING KOMUTATIF Andika Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 6031 Email: rizalandika90@yahoo.co.id Dwi Juniati Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciGraph. Rembang. Kudus. Brebes Tegal. Demak Semarang. Pemalang. Kendal. Pekalongan Blora. Slawi. Purwodadi. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga
TEORI GRAPH Graph Graph Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar berikut ini sebuah graph yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang
Lebih terperinciGRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA
GRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA Siti Rohmawati 1, Dr.Agung Lukito, M.S. 2 1 Matematika, Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Gedung
Lebih terperinciEDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH
LAPORAN PENELITIAN MANDIRI EDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH Oleh Abdussakir, M.Pd UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI JURUSAN MATEMATIKA MEI 005 EDGE-MAGIC TOTAL
Lebih terperinciPELABELAN SISI AJAIB DAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KIPAS, GRAF TANGGA, GRAF PRISMA, GRAF LINTASAN, GRAF SIKEL, DAN GRAF BUKU
PELABELAN SISI AJAIB DAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KIPAS, GRAF TANGGA, GRAF PRISMA, GRAF LINTASAN, GRAF SIKEL, DAN GRAF BUKU Anina Tikasari, Budi Rahadjeng, S.Si, M.Si., Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciGraf dan Operasi graf
6 Bab II Graf dan Operasi graf Dalam subbab ini akan diberikan konsep dasar, definisi dan notasi pada teori graf yang dipergunakan dalam penulisan disertasi ini. Konsep dasar tersebut ditulis sesuai dengan
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA HASIL OPERASI KORONA DUA BUAH GRAF
JURNAL BUANA MATEMATIKA Vol 7, No 2, Tahun 2017 ISSN 2088-3021 (media cetak) ISSN 2598-8077 (media online) DIMENSI METRIK PADA HASIL OPERASI KORONA DUA BUAH GRAF Silviana Maya P 1, Syarifuddin N Kapita
Lebih terperinciMENJAWAB TEKA-TEKI LANGKAH KUDA PADA BEBERAPA UKURAN PAPAN CATUR DENGAN TEORI GRAPH. Oleh Abdussakir
MENJAWAB TEKA-TEKI LANGKAH KUDA PADA BEBERAPA UKURAN PAPAN CATUR DENGAN TEORI GRAPH Oleh Abdussakir Abstrak Teka-teki langkah kuda yang dimaksud dalam tulisan ini adalah menentukan langkah kuda agar dapat
Lebih terperinciNovri Anggraeni, Dafik CGANT-Universitas Jember Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember novrianggraeni93,
Super (a, d)-h-antimagic Total Covering of Amalgamation Graph K 4 and W 4 Novri Anggraeni, Dafik CGANT-Universitas Jember Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember novrianggraeni93, d.dafik@gmail.com
Lebih terperinciSuper (a, d)-h Total Decomposition of Graf Helm
Super (a, d)-h Total Decomposition of Graf Helm Kholifatur Rosyidah, Dafik CGANT-Universitas Jember Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember ifa kholifatur10077@yahoo.co.id, d.dafik@gmail.com
Lebih terperinciBAB 2. Konsep Dasar. 2.1 Definisi graf
BAB 2 Konsep Dasar 21 Definisi graf Suatu graf G = (V(G), E(G)) didefinisikan sebagai pasangan himpunan 2 titik V(G) dan himpunan sisi E(G) dengan V(G) dan E(G) [ VG ( )] Sebagai contoh, graf G 1 = (V(G
Lebih terperinciBilangan Ramsey untuk Graf Bintang Genap Terhadap Roda Genap
Vol.4, No., 49-53, Januari 08 Bilangan Ramsey untuk Graf Bintang Genap erhadap Roda Genap Hasmawati Abstrak Untuk sebarang graf G dan H, bilangan Ramsey R(G,H) adalah bilangan asli terkecil n sedemikian
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi sampai saat ini terus
1 I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi sampai saat ini terus mengalami kemajuan. Salah satunya adalah cabang ilmu matematika yang sampai saat ini mengalami perkembangan
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 PLANARITAS-1 HASIL KALI LEKSIKOGRAFIK GRAF Novi Dwi Pratiwi (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciPenerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda
Vol. 9, No.2, 114-122, Januari 2013 Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda Hasmawati 1 Abstrak Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai ke
Lebih terperinciLOGIKA DAN ALGORITMA
LOGIKA DAN ALGORITMA DASAR DASAR TEORI GRAF Kelahiran Teori Graf Sejarah Graf : masalah jembatan Königsberg (tahun 736) C A D B Gbr. Masalah Jembatan Königsberg Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
MATHunesa (Volume 3 No 3) 4 PELABELAN CORDIAL DAN E-CORDIAL PADA GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG, DAN GRAF RODA Titik Widyawati Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciGambar 6. Graf lengkap K n
. Jenis-jenis Graf Tertentu Ada beberapa graf khusus yang sering dijumpai. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut. a. Graf Lengkap (Graf Komplit) Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap titiknya
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR. Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2
PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang
Lebih terperinciALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY. Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin
ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin hasma_ba@yahoo.com Abstract Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai
Lebih terperinciBilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) 1 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Ridwan Ardiyansah dan Darmaji Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TAK TERATUR TOTAL PADA GRAF BUNGA
PELABELAN TOTAL TAK TERATUR TOTAL PADA GRAF BUNGA Siti Julaeha*, Ita Luspitasari, dan Esih Sukaesih Abstrak Suatu pelabelan total disebut pelabelan-k total tak teratur total dari jika setiap dua titik
Lebih terperinciPelabelan Product Cordial Graf Gabungan pada Beberapa Graf Sikel dan Shadow Graph Sikel
Pelabelan Product Cordial Graf Gabungan pada Beberapa Graf Sikel dan Ana Mawati*), Robertus Heri Sulistyo Utomo S.Si, M.Si*), Siti Khabibah S.Si, M.Sc*) Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, UNDIP,
Lebih terperinciGRUP AUTOMORFISME GRAF HELM, GRAF HELM TERTUTUP, DAN GRAF BUKU
GRUP AUTOMORFISM GRAF HLM, GRAF HLM TRTUTUP, DAN GRAF BUKU Antoni Nurhidayat 1, Dr. Agung Lukito, M. S. 2 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciSPECTRUM DETOUR GRAF n-partisi KOMPLIT
SPECTRUM DETOUR GRAF n-partisi KOMPLIT Desy Norma Puspita Dewi Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail:phyta_3@yahoo.co.id ABSTRAK Matriks detour dari graf G adalah matriks yang elemen
Lebih terperinciSIFAT SIFAT GRAF YANG MEMUAT SEMUA SIKLUS Nur Rohmah Oktaviani Putri * CHARACTERISTIC OF THE GRAPH THAT CONTAINS ALL CYCLES Nur Rohmah Oktaviani Putri
SIFAT SIFAT GRAF YANG MEMUAT SEMUA SIKLUS Nur Rohmah Oktaviani Putri * Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin CHARACTERISTIC OF THE GRAPH THAT CONTAINS
Lebih terperinciDAN DIAMETER. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonesia
JIMT Vol. 13 No. 2 Desember 2016 (Hal 11-16) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 2450 766X KELAS GRAF RAMSEY MINIMAL R(3K 2, F 5 ) YANG TERBATAS PADA ORDE DAN DIAMETER K. Saleh 1, I W. Sudarsana
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada Tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinciv 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciKAJIAN BILANGAN CLIQUE GRAF GEAR BARBEL
KAJIAN BILANGAN CLIQUE GRAF GEAR BARBEL dan GRAF Muhlishon Darul Ihwan 1,Ana Rahmawati 2, Sumargono 3 Universitas Pesantren Tinggi Darul Ulum (Unipdu) Jombang Kompleks Ponpes Darul Ulum Rejoso Peterongan
Lebih terperinci`BAB II LANDASAN TEORI
`BAB II LANDASAN TEORI Landasan teori yang digunakan sebagai materi pendukung untuk menyelesaikan permasalahan yang dibahas dalam Bab IV adalah teori graf, subgraf, subgraf komplit, graf terhubung, graf
Lebih terperinciHUTAN DAN SIKEL PADA GRAF FUZZY
HUTAN DAN SIKEL PADA GRAF FUZZY Aisyahtin Afidah Arifai 1, Dwi Juniati 2 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 60231 2 Jurusan Matematika, Fakultas
Lebih terperinciJln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos BASIS FOR DETERMINING THE WHEEL GRAPH
PENETUAN BASIS BAGI GRAF RODA Nur Ulfah Dwiyanti Obed 1*), Nurdin 2), Amir Kamal Amir 3) 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin Jln. Perintis Kemerdekaan,
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
MATHunesa (Volume 3 No 3) 014 DEKOMPOSISI BINTANG LINIER GRAPH LOBSTER Mulaikah Matematika,Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, E-mail: iechanabiel@yahoo.com Prof.I
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciIII. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf.
III BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk 00) Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi pewarnaan graf Pewarnaan titik pada
Lebih terperinciFAKTORISASI GRAF BARU YANG DIHASILKAN DARI PEMETAAN TITIK GRAF SIKEL PADA BILANGAN BULAT POSITIF
FAKTORISASI GRAF BARU YANG DIHASILKAN DARI PEMETAAN TITIK GRAF SIKEL PADA BILANGAN BULAT POSITIF Nova Nevisa Auliatul Faizah 1, H. Wahyu H. Irawan 2 1 Mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciKAJIAN MENGENAI SYARAT CUKUP POLYNOMIAL KROMATIK GRAF TERHUBUNG MEMILIKI AKAR-AKAR KOMPLEKS
KAJIAN MENGENAI SYARAT CUKUP POLYNOMIAL KROMATIK GRAF TERHUBUNG MEMILIKI AKAR-AKAR KOMPLEKS STUDY ON SUFFICIENT CONDITION FOR THE CHROMATIC POLYNOMIAL OF CONNECTED GRAPH HAS COMPLEX ROOTS Yuni Dewi Purnama
Lebih terperinciBILANGAN RAINBOW CONNECTION DARI HASIL OPERASI PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN KARTESIUS DUA GRAF
BILANGAN RAINBOW CONNECTION DARI HASIL OPERASI PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN KARTESIUS DUA GRAF Fuad Adi Saputra Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: tee_fu@yahoo.com ABSTRAK
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK GRAF HASIL AMALGAMASI DUA BUAH GRAF TERHUBUNG
BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL AMALGAMASI DUA BUAH GRAF TERHUBUNG CHROMATIC NUMBER OF AMALGAMATION OF TWO CONNECTED GRAPHS Ridwan Ardiyansah (1209 100 057) Pembimbing: Dr. Darmaji, S.Si, MT. Jurusan Matematika
Lebih terperinciBab 2. Landasan Teori. 2.1 Konsep Dasar
Bab 2 Landasan Teori Pada bab ini akan diuraikan konsep dasar dan teori graf yang berhubungan dengan topik penelitian ini, termasuk didalamnya mengenai pelabelan total tak teratur titik dan total vertex
Lebih terperinciPENENTUAN DIMENSI METRIK GRAF HELM
PENENTUAN DIMENSI METRIK GRAF HELM SKRIPSI Oleh : DIAN FIRMAYASARI S NIM : H 111 08 011 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2012 PENENTUAN DIMENSI
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL PADA GRAF HALIN G(2, n), UNTUK n 3
PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF HALIN G(, n), UNTUK n 3 SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH : YUNIZAR BP. 914336 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS 13 DAFTAR
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah Seiring perkembangan zaman, maka perkembangan ilmu pengetahuan berkembang pesat, begitu pula dengan ilmu matematika. Salah satu cabang ilmu matematika yang memiliki
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan. Swiss, Leonhard Euler ( ). Saat itu graf digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Swiss, Leonhard Euler (1707-1783). Saat itu graf digunakan untuk menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg.
Lebih terperinciTOTAL EDGE IRREGULARITY STRENGTH DARI GRAF { }
TOTAL EDGE IRREGULARITY STRENGTH DARI GRAF { } Muardi 1, Qurratul Aini 2, Irwansyah 3 1 Program Studi Matematika, Fakultas MIPA Universitas Mataram [Email: borilwakwaw@gmail.com] 2 Program Studi Matematika,
Lebih terperinciHAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.
HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Lebih terperinciDimensi Metrik dan Dimensi Partisi dari Famili Graf Tangga
Dimensi Metrik Dimensi Partisi dari Famili Graf Tangga Ilham Saifudin 1) 1) Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember Jl Karimata No 49 Jember Kode Pos 68121 Email : 1)
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkembangsaan Swiss pada tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang
Lebih terperincioleh SURYA AJI NUGROHO M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
PELABELAN SELIMUT CYCLE-ANTI AJAIB PADA GRAF DOUBLE CONES, GRAF FRIENDSHIP DAN GRAF GRID P n P 3 oleh SURYA AJI NUGROHO M0109063 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KORONASI BEBERAPA KELAS GRAF DENGAN GRAF LINTASAN
PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KORONASI BEBERAPA KELAS GRAF DENGAN GRAF LINTASAN oleh HARDINA SANDARIRIA M0112041 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciPENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF
PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF 1 Sejarah Singkat dan Beberapa Pengertian Dasar Teori Graf Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui makalah tulisan Leonard Euler seorang ahli matematika dari Swiss. Euler
Lebih terperinciEdge-Magic Total Labeling pada Graph mp 2 (m bilangan asli ganjil) Oleh Abdussakir
Jurnal Saintika (ISSN 1693-640X) Edisis Khusus Dies Natalis UIN Malang, Juni 005. Halaman -7 Edge-Magic Total Labeling pada Graph mp (m bilangan asli ganjil) Oleh Abdussakir Abstrak Pelabelan total sisi
Lebih terperinciAbstract
Analisis Super (a, d)-s 3 Antimagic Total Dekomposisi Graf Helm Konektif untuk Pengembangan Ciphertext Kholifatur Rosyidah 1,, Dafik 1,3, Susi Setiawani 3 1 CGANT- University of Jember Department of Mathematics
Lebih terperinciKONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini
Lebih terperinciBILANGAN TERHUBUNG PELANGI PADA GRAF HASIL AMALGAMASI GRAF PEMBAGI NOL ATAS RING KOMUTATIF
Jurnal LOG!K@, Jilid 7, No 1, 2017, Hal 15-24 ISSN 1978 8568 BILANGAN TERHUBUNG PELANGI PADA GRAF HASIL AMALGAMASI GRAF PEMBAGI NOL ATAS RING KOMUTATIF Budi Harianto Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciKonsep Dasar dan Tinjauan Pustaka
Bab II Konsep Dasar dan Tinjauan Pustaka Pembahasan bilangan Ramsey pada bab-bab berikutnya menggunakan definisi, notasi, dan konsep dasar teori graf yang sesuai dengan rujukan Chartrand dan Lesniak (1996),
Lebih terperinciPELABELAN E-CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF CERMIN
PELABELAN E-CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF CERMIN Ermi Suwarni, 2 Lucia Ratnasari, S.Si, M.Si, 3 Drs. Bayu Surarso, M.Sc.PhD,2,3 Jurusan Matematika FSM UNDIP Jl. Pro. Soedarto, S.H, Tembalang Semarang 54275
Lebih terperinciBILANGAN DOMINASI DAN BILANGAN KEBEBASAN GRAF BIPARTIT KUBIK. Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang
BILANGAN DOMINASI DAN BILANGAN KEBEBASAN GRAF BIPARTIT KUBIK Budi Santoso 1, Djuwandi 2, R Heri Soelistyo U 3 1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedarto, S H, Tembalang, Semarang Abstract
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI SUBGRAF TERINDUKSI PADA GRAF TOTAL ATAS RING KOMUTATIF
Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Sains Tahun 2014 Inovasi Pendidikan Sains dalam Menyongsong Pelaksanaan Kurikulum 2013 Surabaya 18 Januari 2014 DIMENSI PARTISI SUBGRAF TERINDUKSI PADA GRAF TOTAL
Lebih terperinciBILANGAN DOMINASI EKSENTRIK TERHUBUNG pada GRAF
BILANGAN DOMINASI EKSENTRIK TERHUBUNG pada GRAF Tito Sumarsono 1, R. Heri Soelistyo 2, Y.D. Sumanto 3 Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S. H. Tembalang Semarang titosumarsono69@gmail.com
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT GRAF SIKEL DENGAN PELABELAN FUZZY
SIFAT-SIFAT GRAF SIKEL DENGAN PELABELAN FUZZY Nurul Umamah 1 dan Lucia Ratnasari 2 1,2 Jurusan Matematika FSM UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang. Abstract. Fuzzy labeling is a bijection
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Teori Graf 1. Dasar-dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tidak kosong (vertex)
Lebih terperinciSuatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik
BAB II DASAR TEORI 2.1 Teori Dasar Graf 2.1.1 Graf dan Graf Sederhana Suatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tak kosong dan E adalah himpunan sisi. Untuk selanjutnya,
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG GRAPH. Oleh: Baso Intang Sappaile
Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: 97-7882 SEKILAS TENTAN RAPH Oleh: Baso Intang Sappaile Abstrak. Suatu raph terdiri dari suatu himpunan tak
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK JOIN DARI DUA GRAF
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 23 31 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK JOIN DARI DUA GRAF YULI ERITA Program Studi Matematika, Pascasarjana Fakultas
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciMA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun
MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi
Lebih terperinciSPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI KOMPLIT ( ) DENGAN
PROSIDING ISBN : 978 979 6353 3 SPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI OMPLIT ( ) A. DENGAN Oleh Imam Fahcruddin Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF P m P n, K m P n, DAN K m K n
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 14 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF P m P n, K m P n, DAN K m K n MARIZA WENNI Program Studi Matematika,
Lebih terperinciTEORI GRAF UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Selasa, 13 Desember 2016
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER TEORI GRAF ILHAM SAIFUDIN Selasa, 13 Desember 2016 Universitas Muhammadiyah Jember Pendahuluan 1 OUTLINE 2 Definisi Graf
Lebih terperinciOPERASI PADA GRAF FUZZY
OPERASI PADA GRAF FUZZY Budi Setiawan, Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Surabaya 60231 Email: b_diset@yahoo.com,
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 6 No.2 Tahun 2018 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 6 No.2 Tahun 2018 ISSN 2301-9115 BEBERAPA SYARAT GRAF TIDAK BERSAHABAT Salwa Yuliantina (Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Surabaya) E-mail : salwayuliantina@mhs.unesa.ac.id
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 1 6 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT AIDILLA DARMAWAHYUNI, NARWEN Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciDUAL PADA MATROID ABSTRAK KAJIAN TEORI I. PENDAHULUAN. Alvinaria 1, Budi Rahadjeng, S.Si, M.Si. 2,
DUAL PADA MATROID Alvinaria 1, Budi Rahadjeng, SSi, MSi 2, 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 60321 2 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciGraf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP
Graf Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan
Lebih terperinciMIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS
PELABELAN DAN PEMBENTUKAN GRAF MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Meliana Deta Anggraeni 4111409019
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KELAS GRAF ILALANG DAN HASIL KORONASI DUA GRAF
PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KELAS GRAF ILALANG DAN HASIL KORONASI DUA GRAF oleh RISALA ULFATIMAH M0112074 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciGRAF DIVISOR CORDIAL
GRAF DIVISOR CORDIAL Deasy Bunga Agustina 1, YD. Sumanto 2, Bambang Irawanto 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang Decy.bunga@gmail.com ABSTRACT.A
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN
PELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN oleh KHUNTI QONAAH M0111048 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagai
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori graf adalah bagian dari matematika diskrit yang banyak digunakan sebagai alat bantu untuk menggambarkan atau menyatakan suatu persoalan agar lebih mudah
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan himpunan dan beberapa definisi yang berkaitan dengan himpunan, serta konsep dasar dan teori graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Himpunan
Lebih terperinciOleh : Rindi Eka Widyasari NRP Dosen pembimbing : Dr. Darmaji, S.Si., M.T.
Study of Total Chromatic Number of -free and Windmill Graphs Oleh : Rindi Eka Widyasari NRP 1208100024 Dosen pembimbing : Dr. Darmaji, S.Si., M.T. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciBilangan Ramsey untuk Kombinasi Bintang dan Beberapa Graf Tertentu
Bab III Bilangan Ramsey untuk Kombinasi Bintang dan Beberapa Graf Tertentu Kajian penentuan bilangan Ramsey untuk bintang dan bintang telah tuntas, dilakukan Burr dkk. (1973). Penentuan bilangan Ramsey
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Bab I merupakan pendahuluan dari kajian yang akan dilakukan. Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang penulis dalam pemilihan judul kajian. Selain latar belakang, dijelaskan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang peneliti dari Universitas California, pada tahun 1960-an. Logika fuzzy dikembangkan dari
Lebih terperinciDIMENSI METRIK GRAF KIPAS Suhartina 1*), Nurdin 2), Amir Kamal Amir 3) Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos 90245
DIMENSI METRIK GRAF KIPAS Suhartina 1*), Nurdin 2), Amir Kamal Amir 3) 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin Jln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia,
Lebih terperinciSYARAT PERLU UNTUK GRAF RAMSEY (2K 2, C n )-MINIMAL
SYARAT PERLU UNTUK GRAF RAMSEY (2K 2, C n )-MINIMAL Jondesi Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Padang, Kampus UNAND Limau Manis Padang 25163, Indonesia
Lebih terperinciTOTAL VERTEX IRREGULARITY STRENGTH (TVS) DARI GABUNGAN GRAF DUA PARTISI LENGKAP SKRIPSI. Oleh. Muh. Ali Muhsin NIM
TOTAL VERTEX IRREGULARITY STRENGTH (TVS) DARI GABUNGAN GRAF DUA PARTISI LENGKAP SKRIPSI Oleh Muh. Ali Muhsin NIM 060210101195 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS
Lebih terperinciBAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang
BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang dengan pesat. Teori ini sangat berguna untuk mengembangkan model-model terstruktur dalam berbagai keadaan.
Lebih terperinci