MATERI PEMBEKALAN PESERTA OLIMPIADE NASIONAL MATEMATIKA PERGURUAN TINGGI BIDANG ALJABAR

Transkripsi

1 MATERI PEMBEKALAN PESERTA OLIMPIADE NASIONAL MATEMATIKA PERGURUAN TINGGI BIDANG ALJABAR Oleh: AGUS MAMAN ABADI JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 0 Disampaika dalam Pembekala Peserta Olimpiade Nasioal Matematika Pergurua Tiggi di Uiversitas Islam Idoesia pada 9 Maret 0 i

2 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL DAFTAR ISI ABSTRAK i ii iii BAB I PENDAHULUAN Latar Belakag Masalah Tujua Mafaat BAB II MATERI ALJABAR (GRUP DAN RING) Grup da sifat-sifatya Subgrup da Sifat-sifatya Grup Siklik da Sifat-sifatya 4 Teorema Lagrage 5 4 Subgrup Normal da Grup Faktor 6 5 Homomorpisma Grup da Sifat-sifatya 8 6 Teorema Utama Isomorpisma Grup 0 Rig da Sifat-sifatya Subrig da Sifat-sifatya 5 Ideal da Sifat-sifatya 6 Rig Faktor da Sifat-sifatya 7 4 Homomorpisma Rig da Sifat-sifatya 7 5 Rig Poliomial 8 DAFTAR PUSTAKA 8 ii

3 ABSTRAK Kegiata Olimpiade Nasioal Matematika Pergurua Tiggi dilaksaaka setiap tahu Kegiata ii diikuti oleh mahasiswa dari pergurua tiggi di Idoesia Berdasarka pegalama peulis, mahasiswa megalami kesulita dalam megerjaka soal-soal olimpiade asioal matematika Pergurua Tiggi, karea mahasiswa yag ikut belum semuaya memperoleh materi yag diujika Hal ii karea mahasiswa yag ikut ada yag berasal dari semester awal yag belum megambil mata kuliah yag diujika di olimpiade Tujua pembekala ii adalah agar mahasiswa mampu mempersiapka diri secara maksimal dalam megikuti olimpiade asioal matematika pergurua tiggi Materi olimpiade matematika ii meliputi aalisis, aljabar liear, struktur aljabar, aalisis kompleks, kombiatorik da matematika terapa Soal utuk masig-masig materi terdiri dari dua jeis, bagia pertama berupa jawaba sigkat da bagia kedua utuk jawaba uraia Pada tulisa ii aka diberika materi bidag struktur aljabar yag meliputi teori grup da teori rig Harapaya setelah mempelajari materi ii, mahasiswa mempuyai kepercayaa diri da siap utuk megikuti seleksi olimpiade asioal matematika pergurua tiggi tigkat provisi iii

4 BAB I PENDAHULUAN Latar Belakag Masalah Kegiata Olimpiade Nasioal Matematika Pergurua Tiggi dilaksaaka setiap tahu Kegiata ii diikuti oleh mahasiswa dari pergurua tiggi di Idoesia Seleksi dilakuka dalam beberapa tahap Seleksi awal dilakuka oleh masig-masig pergurua tiggi Mahasiswa yag berhasil dalam seleksi awal tersebut aka dibia oleh pergurua tiggi yag bersagkuta utuk mempersiapka diri dalam seleksi tigkat provisi Mahasiswa yag lolos seleksi tigkat provisi aka megikuti seleksi tigkat asioal Kemudia mahasiswa yag lolos seleksi tigkat asioal aka dibia utuk megikuti olimpiade matematika tigkat iterasioal Berdasarka pegalama peulis, mahasiswa megalami kesulita dalam megerjaka soalsoal olimpiade asioal matematika Pergurua Tiggi, karea mahasiswa yag ikut belum semuaya memperoleh materi yag diujika Hal ii karea mahasiswa yag ikut ada yag berasal dari semester awal yag belum megambil mata kuliah yag diujika di olimpiade Oleh karea itu perlu diadaka pembekala materi olimpiade asioal matematika pergurua tiggi utuk calo peserta olimpiade Materi olimpiade matematika ii meliputi aalisis, aljabar liear, struktur aljabar, aalisis kompleks, kombiatorik da matematika terapa Soal utuk masig-masig materi terdiri dari dua jeis, bagia pertama berupa jawaba sigkat da bagia kedua utuk jawaba uraia Tujua Tujua pembekala ii adalah agar mahasiswa mampu mempersiapka diri secara maksimal dalam megikuti olimpiade asioal matematika pergurua tiggi Pada tulisa ii aka diberika materi bidag struktur aljabar yag meliputi teori grup da teori rig Mafaat Harapaya setelah mempelajari materi ii, mahasiswa mempuyai kepercayaa diri da siap utuk megikuti seleksi olimpiade asioal matematika pergurua tiggi tigkat provisi

5 BAB II MATERI ALJABAR (GRUP DAN RING) Grup da sifat-sifatya Di dalam subbab ii aka diperkealka suatu struktur aljabar yag melibatka satu operasi bier Defiisi Misalka G adalah himpua tidak kosog da * adalah suatu operasi bier pada G Himpua G yag dilegkapi dega operasi bier *, ditulis (G, *), disebut grup jika memeuhi semua aksioma berikut ii: G Utuk semua abc,, G a*( b* c) = ( a* b)* c (asosiatif) G Ada eleme e Gsedemikia sehigga utuk semua a G, a* e= e* a = a G Utuk setiap a G, ada b G sedemikia sehigga a* b= b* a = e Eleme e yag memeuhi G disebut eleme idetitas da eleme b yag memeuhi G disebut ivers dari a da diotasika dega a Jika grup (G,*) memeuhi utuk setiap ab, G a* b= b* a, maka (G,*) disebut grup komutatif Cotoh Himpua bilaga bulat B yag dilegkapi dega operasi pejumlaha aritmetik adalah grup Misalka adalah bilaga bulat positif > da adalah himpua semua kelas-kelas bilaga bulat modulo Didefiisika operasi setiap [ a],[ b], maka (, + ) adalah grup komutatif Teorema Jika (G,*) suatu grup, maka berlaku: + pada sebagai [ a] + [ b] = [ a+ b] utuk ( a ) a = utuk setiap a G ( a* b) = b * a utuk setiap ab, G Utuk setiap abc,, G, jika a* c= b* c atau c* a= c* b, maka a= b 4 Utuk setiap ab, G, persamaa a* x= b da y* a = b mempuyai solusi tuggal di G utuk x da y Defiisi Misalka (G, *) suatu grup da a G Order dari a, ditulis ( a), adalah bilaga bulat positif terkecil sedemikia sehigga dikataka order a adalah takhigga a = e Jika tidak ada bilaga yag demikia, maka

6 Teorema Misalka (G, *) suatu grup da a G dega ( a) = Jika m a = e utuk suatu bilaga bulat positif m, maka membagi m t Utuk setiap bilaga bulat positif t, berlaku ( a ) = (, t) Subgrup da Sifat-sifatya Defiisi Misalka (G, *) suatu grup da S suatu himpua bagia tidak kosog dari G (S, *) disebut subgrup dari (G,*) jika (S,*) juga grup Cotoh Himpua {[0]}, N = { [0], [], S = { [0], [], [4]} da 6 subgrup-subgrup dari 6 Selajutya suatu grup (G,*) ditulis G saja da a*b ditulis ab Teorema Misalka G suatu grup da S suatu himpua bagia tidak kosog dari G S subgrup dari G jika da haya jika utuk setiap ab, S, ab S Akibat 4 Misalka G suatu grup da S suatu himpua bagia tidak kosog dari G da berhigga S subgrup dari G jika da haya jika utuk setiap ab, S, ab S Misalka G suatu grup da Z( G) = { b G ab = ba, a G}, maka ZG ( ) disebut ceter dari G Teorema 5 Misalka G suatu grup, maka ZG ( ) merupaka subgrup komutatif dari G Defiisi 4 Misalka G suatu grup da S suatu himpua bagia dari G Didefiisika N = { H Hsubgrup dari G da S H} da subgrup yag dibagu oleh S, ditulis < S >, adalah irisa semua subgrup yag memuat S yaitu disebut himpua pembagu dari G < S >= H H N Jika grup G = < S >, maka S Teorema 6 Misalka S himpua bagia tidak kosog dari grup G, maka e < S>= { s s s s Se, = ±, i=,,,, =,,,} e e i i Akibat 7 Misalka G suatu grup da a G, maka < a>= { a Z} Defiisi 5 Misalka H da K himpua bagia tidak kosog dari grup G, pergadaa H da K didefiisika sebagai HK = { hk h H, k K} Teorema 8 Jika H da K subgrup-subgrup dari grup G, maka HK subgrup dari G jika da haya jika HK = KH Akibat 9 Jika H da K subgrup-subgrup dari grup komutatif G, maka HK subgrup dari G

7 Teorema 0 Jika H da K subgrup-subgrup dari grup G, maka HK subgrup dari G jika da haya jika HK =< H K > Grup Siklik da sifat-sifatya Defiisi 6 Suatu grup G disebut grup siklik jika ada a G sedemikia sehigga G =< a > dega < a >= { a } Cotoh (i) (, + ) adalah grup siklik dega geeratorya (ii) (, + ) adalah grup siklik dega geeratorya [] Teorema Jika < a > grup siklik order, maka < a>= { eaa,,,, a } Akibat JIka < a > grup siklik higga, maka ( a) = < a > Akibat Suatu grup G adalah grup siklik jika da haya jika ada eleme a G sedemikia sehigga ( a) = G Teorema 4 Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik Akibat 5 Misalka G =< a> suatu grup siklik order m, m >, da H subgrup sejati dari G, maka H k = a utuk suatu bilaga bulat k dega k membagi m da k > Teorema 6 Misalka G suatu grup siklik order m, maka utuk setiap pembagi positif d dari m, ada dega tuggal subgrup G berorder d Berdasarka Teorema 6, misalka G suatu grup siklik order m, maka jika d pembagi positif dari m, ada dega tuggal subgrup G berorder d yaitu H m/ d =< a > Latiha Tujukka bahwa grup ( Q, + ) tidak siklik JIka G grup dega G = m, >, m >, tujukka bahwa G mempuyai subgrup otrivial Jika G grup siklik takhigga, tujukka bahwa G mempuyai tepat dua geerator 4 JIka G =< a>grup siklik order, tujukka bahwa gcd(k,) = dega k adalah bilaga bulat positif 5 Tetuka semua subgrup dari grup siklik G =< a > order 0 k a geerator utuk G jika da haya jika 4

8 6 Jika G grup siklik order, tujukka bahwa bayakya geerator dari G adalah φ ( ) dega φ adalah fugsi Euler Teorema Lagrage Defiisi 7 Misalka H adalah subgrup dari grup G da a G Himpua ah = { ah h H} da Ha = { ha h H} berturut-turut disebut koset kiri da kaa dari H dalam G JIka G grup komutatif, maka ah = { ah h H} = { ha h H} = Ha, tetapi jika G tidak komutatif, maka ah belum tetu sama dega Ha Cotoh 4 Diberika grup simetris S da subgrup dari S, H = { e,(),() } da H { e } 5 =,(), maka dapat ditujukka bahwa utuk setiap a S berlaku ah = Ha Tetapi ada () S sedemikia sehigga () H H() Teorema 7 Misalka H adalah subgrup dari grup G da ab, G, maka (i) ah (ii) Ha = bh jika da haya jika = Hb jika da haya jika b a ab H H Teorema 8 Jika H subgrup dari grup G, maka utuk setiap ab, G ah = bh atau ah bh = φ Akibat 9 Jika H subgrup dari grup G, maka { ah a G} membetuk partisi pada G Teorema 0 Jika H subgrup dari grup G, maka ada korespodesi - atara eleme-eleme H dega eleme-eleme dari ah maupu Ha Akibat Jika H subgrup dari grup G, maka utuk semua a G, H = ah = Ha Defiisi 8 Misalka H adalah subgrup dari grup G Idek dari H dalam G didefiisika sebgai bayakya koset kiri (kaa) yag berbeda dari H dalam G da ditulis [G:H] Teorema (Teorema Lagrage) Misalka H adalah subgrup dari grup higga G, maka order dari H membagi order G da G = [ G: H] H Akibat JIka G grup higga order, maka order setiap eleme a G membagi da a = e Teorema 4 (Teorem Fermat) Misalka p adalah bilaga prima da a adalah bilaga bulat p sedemikia sehigga p tidak membagi a, maka p membagi a

9 Teorema 5 Jika H da K adalah subgrup-subgrup higga dari grup G, maka HK = H K H K Akibat 6 Jika H da K adalah subgrup-subgrup higga dari grup G dega Jika H da K adalah subgrup-subgrup higga dari grup G, maka H K = {} e, maka HK = H K Latiha Jika H subgrup dari grup G, tujukka bahwa utuk semua a G, ah = H jika da haya jika a H Jika G grup order p, p prima, maka tujukka bahwa order eleme G selai e adalah p Jika G grup dega G >, tujukka bahwa G haya mempuyai subgrup trivial jika da haya jika order G prima 4 Tujukka bahwa jika G grup order p, p prima, maka G memuat eleme berorder p 5 Jika G grup higga komutatif yag memuat dua eleme yag berbeda berorder dua, tujukka bahwa order G kelipata empat 6 Buktika bahwa jika G grup order pq dega p da q prima, maka setiap subgrup sejati dari G adalah siklik 7 Jika H da K subgrup dari grup higga G dega H > G da K > G, buktika bahwa H K > 8 Buktika bahwa Jika G grup order pq, p da q prima, p > q, maka G mempuyai palig bayak satu subgrup order p 9 Jika G grup order kurag dari 00 da G mempuyai subgrup order 5 da 5, tetuka order G 0 Jika G grup order 5 da H da K subgrup dari G beruturt-turut order 5 da 7, maka buktika bahwa G = HK 4 Subgrup Normal da grup faktor Defiisi 9 Misalka G suatu grup Subgrup H dari G disebut subgrup ormal dari G jika ah = Ha utuk setiap a G Cotoh 5 Diberika grup simetris S da subgrup dari S, H = { e,(),() } da H { e } 6 =,(), maka dapat ditujukka bahwa utuk setiap a S berlaku ah = Ha Tetapi ada () S

10 sedemikia sehigga () H H() Jadi H adalah subgrup ormal dari S tetapi H buka subgrup ormal dari S Teorema 7 Misalka H subgrup dari grup G H subgrup ormal dari G jika da haya jika utuk semua a G, aha H Teorema 8 Jika H da K subgrup ormal dari grup G, maka (i) H K subgrup ormal dari G (ii) HK = KH subgrup ormal dari G (iii) H K = HK Misalka H subgrup ormal dari grup G da G { ah a G} G dega ah * bh = abh utuk setiap ah, bh G H = Didefiisika operasi * pada H, maka operasi * well-defied H Teorema 9 Misalka H subgrup ormal dari grup G da G { ah a G H = }, maka ( G,* H ) suatu grup Defiisi 0 Misalka G grup da H subgrup ormal dari G, maka grup G H disebut grup faktor dari G oleh H Cotoh 6 Diberika grup simetris S Berdasarka Cotoh 5, H { e,(),() } = adalah subgrup ormal dari S Selajutya S = 6, H =, sehigga meurut Teorema Lagrage, S H 6 [ S : H] S,() H = = = = Jadi { H H} Defiisi Misalka G suatu grup Grup G dikataka simple jika G {} e da subgrup ormal dari G hayalah G da {e} Cotoh 7 Misalka G grup order p, p prima, maka subgrup dari G hayalah G da {e} sehigga G simple Jadi setiap grup order prima adalah simple Teorema 0 Jika H subgrup ormal dari maka A, 5da H memuat sikel pajag, maka H = A 7

11 Teorema Jika H subgrup ormal dari maka A, 5da H memuat suatu pergadaa dari dua trasposisi-trasposisi yag salig asig, maka H = A Teorema Jika 5, maka grup A adalah simple Latiha Misalka H subgrup dari grup G Jika x H utuk setiap x G, buktika bahwa H subgrup ormal dari G da G H komutatif Misalka H subgrup dari grup G Jika [ G: H ] =, buktika bahwa H subgrup ormal dari G Misalka G suatu grup sedemikia sehigga setiap subgrup siklik dari G adalah subgrup ormal dari G, buktika bahwa setiap subgrup dari G adalah subgrup ormal dari G 4 Misalka H subgrup sejati dari grup G sedemikia sehigga utuk setiap xy, G\ H, xy H, buktika bahwa H subgrup ormal dari G 5 Misalka H subgrup dari grup G da jika utuk setiap ab, G, ab H berakibat ba H, buktika bahwa H subgrup ormal dari G 6 Buktika bahwa jika H da K sugrup ormal dari grup G da H K = {} e, maka hk = kh utuk setiap h Hk, K 7 Misalka H subgrup dari grup G Didefiisika relasi ρ H pada G dega = {(, ) } Buktika bahwa jika H ρ H ab G G a b H ormal dari G ρ relasi kogruesi, maka H subgrup 8 Misalka G grup da H subgrup dari G dega H ZG ( ) Tujukka bahwa jika G H siklik, maka G= ZG ( ) yaitu G komutatif 9 Apakah setiap subgrup komutatif dari grup G merupaka subgrup ormal dari G? 0 Apakah setiap grup G order p, p prima, adalah komutatif atau memuat subgrup ormal? 5 Homomorpisma grup da sifat-sifatya Defiisi Misalka ( G,*) da ( G,* ) adalah grup-grup da f adalah fugsi dari G ke G Fugsi f disebut homomorpisma grup dari G ke G jika utuk setiap ab, Gberlaku f( a* b) = f( a)* f( b) 8

12 Jika f homomorpisma grup dari G ke G da ijektif, maka f disebut moomorpisma Jika f homomorpisma grup dari G ke G da surjektif, maka f disebut epimorpisma da jika f homomorpisma grup dari G ke G da bijektif, maka f disebut isomorpisma Jika f isomorpisma grup dari G ke G, maka G dikataka isomorpis dega G da ditulis G G Cotoh 8 Misalka ( G,*) da ( G,* ) adalah grup-grup da f adalah fugsi dari G ke G dega f( a) e = utuk setiap a G dega e eleme idetitas dari G, maka f suatu homomorpisma grup da disebut homomorpisma trivial Jika ( G,*) suatu grup da f adalah fugsi dari G ke G dega f( a) = a utuk setiap a G, maka f suatu homomorpisma grup Teorema Jika f adalah homomorpisma dari grup G ke grup G, maka berlaku (i) f() e = e dega e da e berturut-turut eleme idetitas dari G da G (ii) f( a ) = f( a) utuk setiap a G (iii) Jika H subgrup dari G, maka f( H) = { f( h) h H} adalah subgrup dari G (iv) Jika H subgrup dari G, maka f H g G f g H ( ) = { ( ) } adalah subgrup dari G (v) Jika H subgrup ormal dari G, maka f H g G f g H ( ) = { ( ) } adalah subgrup ormal dari G (vi) Jika G komutatif, maka f( G ) juga komutatif (vii) Jika a G dega ( a) =, maka ( f( a)) membagi Defiisi Misalka f adalah homomorpisma dari grup G ke grup G da e eleme idetitas dari G, kerel dari f, ditulis Ker ( f ), didefiisika sebagai Ker ( f) = { g G f( g) = e} Teorema 4 Misalka f adalah homomorpisma dari grup G ke grup G Homomorpisma f ijektif jika da haya jika Ker ( f) = { e} Teorema 5 Jika f adalah homomorpisma dari grup G ke grup G, Ker ( f ) subgrup ormal dari G Teorema 6 Misalka f adalah isomorpisma dari grup G ke grup G, maka berlaku (i) f : G G adalah isomorpisma grup (ii) G komutatif jika da haya jika G komutatif 9

13 (iii) Utuk setiap a G, ( a) = ( f( a)) (iv) G siklik jika da haya jika G siklik Teorema 7 Setiap grup siklik higga order isomorpis dega (, + ) da setiap grup siklik takhigga isomorpis dega (, + ) Latiha 4 Misalka f adalah epimorpisma dari grup G ke grup G Buktika bahwa jika H subgrup ormal dari G, maka f( H ) subgrup ormal dari G Misalka G da H grup higga dega gcd( G, H ) =, tujukka bahwa satu-satuya homomorpisma dari G ke H adalah homomorpisma trivial Tujukka bahwa ( Q, + ) tidak isomorpis dega ( Q/ Z, + ) 4 Tujukka bahwa ( Q, + ) tidak isomorpis dega (, + ) 5 Tetuka semua homomorpisma grup dari 6 ke 4 6 Tetuka semua homomorpisma grup dari 8 ke 7 Tetuka semua homomorpisma grup dari 0 ke 0 8 Buktika bahwa jika G grup siklik da f adalah epimorpisma dari grup G ke grup G, maka G siklik 9 Jika f, g adalah epimorpisma dari grup G ke grup G dega Ker ( f) = Ker ( g), apakah f = g? 0 Jika f adalah epimorpisma dari suatu grup siklik order 8 ke suatu grup siklik order 4, tetuka Ker ( f ) 6 Teorema utama isomorpisma grup Teorema 8 Misalka f adalah epimorpisma dari grup G ke grup G da H subgrup ormal dari G dega H Ker( f) da g homomorpisma atural dari G ke G/ H, maka ada dega tuggal epimorpisma h dari G/ H ke G sedemikia sehigga f jika da haya jika h= Ker( f) 0 = h g Kemudia h ijektif Teorema 9 (Teorema Isomorpisma Pertama) Misalka f adalah homomorpisma dari grup G ke grup G, maka f( G ) subgrup dari G da G/ Ker( f) f( G) Teorema 40 Misalka f adalah epimorpisma dari grup G ke grup G, maka berlaku

14 (i) Jika G siklik, maka G siklik (ii) Jika G komutatif, maka G komutatif (iii) Jika G memuat eleme order da G berhigga, maka G memuat eleme order Teorema 4 (Teorema Isomorpisma Kedua) Misalka H da K subgrup dari grup G da K ormal, maka H /( H K) ( HK) / K Teorema 4 (Teorema Isomorpisma Ketiga) Misalka M da N subgrup ormal dari grup G da N M, maka ( G/ N)/( M / N) G/ M Teorema 4 (Teorema Cauchy) Jika p prima da p membagi order grup G, maka G memuat eleme berorder p Teorema 44 Misalka G suatu grup berorder pq dega p da q prima da p > q Jika q tidak membagi p, maka G siklik Latiha 5 Buktika bahwa suatu grup order 5 adalah siklik Buktika bahwa suatu grup order 4 mempuyai subgrup ormal order Buktika bahwa suatu grup order 99 mempuyai subgrup ormal taktrivial Utuk omor 4-7 Misalka G suatu grup da H suatu subgrup dari G da N subgrup ormal dari G Misalka HN = { h h H, N} Buktika bahwa: 4 H N subgrup ormal dari H 5 HN subgrup dari G 6 N HN da N subgrup ormal dari HN 7 HN / N H /( H N) 8 Jika G suatu grup da N subgrup ormal dari G da a G dega ( a) = <, buktika bahwa order Na G / N membagi order a 9 Jika f adalah epimorpisma dari grup G ke grup G da N subgrup ormal dari G, tujukka bahwa f( N ) subgrup ormal dari G Rig da sifat-sifatya Pada bagia, kita sudah megeal tetag grup da sifat-sifatya Pada grup didefiisika satu operasi bier Selajutya dalam bagia ii aka diberika kosep dasar suatu struktur aljabar yag melibatya dua operasi bier yaitu rig

15 Defiisi Misalka R adalah himpua tidak kosog Pada R didefiisika dua operasi bier + (pejumlaha) da (perkalia) Selajutya (R, +,) disebut rig jika memeuhi I, II da III berikut ii I (R, +) ada grup komutatif II (R, ) adalah semigrup III Berlaku hukum distributif kiri da kaa yaitu utuk setiap abc,, R (i) a( b + c) = ab + ac (distributif kiri) (ii) ( a + b) c = ac + bc (distributif kaa) Cotoh Misalka B adalah himpua semua bilaga bulat da operasi + da berturut-turut adalah operasi pejumlaha da perkalia aritmetik, maka (B, +,) adalah rig Misalka B = {0,, } adalah himpua kelas-kelas bilaga bulat modulo da + da x adalah operasi pejumlaha da perkalia modulo, maka (B, +, x ) adalah rig Defiisi Jika (R, +, ) adalah rig, maka eleme idetitas terhadap operasi + disebut eleme ol da diotasika dega z Jika ada eleme u sedemikia sehigga u z da u adalah eleme idetitas terhadap operasi, maka u disebut eleme kesatua Jika rig R mempuyai eleme kesatua, maka rig R disebut rig dega eleme kesatua 4 Jika u, a R da ada a R sedemikia sehigga aa = a a= u, maka a disebut uit 5 Jika rig R komutatif terhadap operasi perkalia, maka R disebut rig komutatif Defiisi Misalka a da b eleme-eleme takol dari rig R sedemikia sehigga ab = z, maka a disebut pembagi ol kiri da b disebut pembagi ol kaa Jika a pembagi ol kiri da pembagi ol kaa, maka a disebut pembagi ol Suatu rig komutatif dega eleme kesatua da tidak memuat pembagi ol disebut daerah itegral (itegral domai) Suatu rig komutatif dega eleme kesatua da setiap eleme yag tidak ol mempuyai ivers terhadap perkalia disebut lapaga (field) Cotoh Himpua bilaga bulat terhadap operasi pejumlaha (+) da perkalia () aritmetik adalah daerah itegral

16 Misalka himpua berturut-turut,, adalah himpua bilaga real, rasioal da kompleks da didefiisika operatios pejumlaha (+) da perkalia () aritmetik, maka adalah,, lapaga? Himpua 4 = {0,,,} terhadap operasi ( + 4 ) da perkalia ( 4 ) modulo 4 adalah rig yag buka daerah itegral 4 Himpua 5 = {0,,,,4} terhadap operasi ( + 5 ) da operasi ( 5 ) modulo 5 adalah lapaga 5 Himpua Zp = {0,,,, p } terhadap operasi ( + )da operasi ( ) modulo p adalah lapaga jika da haya jika p bilaga prima a b 6 Himpua M= abcd,,, terhadap operasi (+) da perkalia (x) matriks c d adalah rig Teorema Jika R adalah rig, maka utuk setiap abc,, Rperyataa berikut dipeuhi: az = za = z a( b) = ( a) b = ( ab) ( a)( b) = ab 4 ( a+ b) = ( a) + ( b) 5 a( b c) = ab ac 6 ( a b) c = ac bc 7 ( ua ) = awhere u is uity Teorema Misalka R adalah rig Rig R tidak mempuyai pembagi ol jika da haya jika hukum kaselasi berlaku di R Teorema Daerah itegral yag berhigga adalah lapaga Defiisi 4 Diberika rig R da a R, m adalah bilaga bulat positif Didefiisika: ma = a + a+ a+ + a m

17 ma = ( a) + ( a) + + ( a ) = ( ma) 0a = z m Teorema 4 Jika R adalah rig da m, adalah bilaga-bilaga bulat, maka: ( m + ) a = ma + a m( a + b) = ma + mb m( a) = ( m) a = ( ma) Defiisi 5 Diberika rig R da a R, m adalah bilaga bulat positif, didefiisika: a m = aaa a m Jika a R da a = a, maka a disebut eleme idempotet dari R Jika a R da ada bilaga bulat positif sehigga a dari R = z, maka a disebut eleme ilpotet Defiisi 6 Diberika rig R JIka ada bilaga bulat positif terkecil sehigga a = z utuk setiap a R, maka disebut karakteristik (characteristic) dari rig R Jika tidak ada bilaga yag demikia, maka karakteristik dari rig R dikata 0 atau takhigga Cotoh Karakteristik dari rig,,, adalah 0 Karakteristik dari rig adalah 0 Karakteristik dari rig adalah Teorema 5 Jika R adalah daerah itegral, maka karakteristik dari R adalah 0 atau bilaga prima Teorema 6 Jika R adalah daerah itegral berhigga, maka karakteristik dari R adalah bilaga prima Latiha Tetuka karakteristik dari rig berikut ii 4

18 Misalka R adalah rig komutatif dega eleme kesatua da mempuyai karakteristik 4 Sederhaaka betuk ( a+ b) utuk setiap ab, R 8 Misalka R adalah rig komutatif dega eleme kesatua da mempuyai karakteristik Sederhaaka betuk ( a+ b) utuk setiap ab, R 9 Misalka R adalah rig komutatif dega eleme kesatua da mempuyai karakteristik p dega p adalah prima Sederhaaka betuk ( a+ b) p utuk setiap ab, R 0 Jika R adalah daerah itegral order m, maka karakteristik R membagi m Jika F lapaga order 8, tetuka karakteristik dari F Jika F lapaga order, tetuka karakteristik dari F Jika F lapaga order p dega p prima, tetuka karakteristik dari F 4 Tetuka semua eleme ilpotet dari daerah itegral R 5 Tetuka semua eleme idempotet dari daerah itegral R 6 Tetuka semua eleme ilpotet sekaligus idempotet dari daerah itegral R 7 Diberika rig R dega eleme kesatua u da a R Misalka a = z utuk suatu bilaga bulat positif, buktika bahwa u amempuyai ivers terhadap perkalia di R (petujuk: jabarka ( )( ) u a + a+ a + + a ) Subrig da sifat-sifatya Defiisi 7 Diberika rig ( R, +,) da S ( S, +,) juga rig φ, S R Himpua S disebut subrig dari R jika Cotoh 4 Rig adalah subrig dari,, ad Rig subrig dari da Rig subrig dari Teorema 7 Diberika rig ( R, +,), S haya jika utuk setiap ab, Sberlaku (i) a b S, (ii) ab S Teorema 8: Jika S da T adalah subrig dari R, maka S φ da S R Himpua S subrig dari R jika da 5 T juga subrig dari R

19 Latiha Tetuka semua subrig dari 5 Tetuka semua subrig dari 7 Ideal da Sifat-sifatya Defiisi 8 MIsalka R adalah rig Suatu himpua tidak kosog I R dikataka ideal kiri (kaa) dari R jika ab, I, r R a b I, ra I ( a b I, ar I ) Selajutya suatu himpua tidak kosog I Cotoh 5 R disebut ideal jika I ideal kiri da ideal kaa dari R a b a b Diberika rig M( ) = abcd,,, Himpua I = abcd,,, c d c d a 0 adalah ideal dari M ( ) da I = a buka ideal dari 0 0 M ( ) Teorema 9 Misalka R suatu rig Jika A da B ideal-ideal dari R, maka A B da A+ B= { a+ b a Ab, B} juga ideal-ideal dari R Teorema 0 Misalka R suatu rig komutatif dega eleme kesatua u Rig R merupaka lapaga jika da haya jika R tidak mempuyai ideal sejati Teorema Misalka R suatu rig da { I α α Λ} adalah koleksi tak kosog ideal kiri (kaa) dari R, maka I α Λ α ideal kiri (kaa) dari R Teorema Jika R rig dega eleme kesatua da A ideal yag memuat uit, maka A = R Defiisi 9 Misalka R suatu rig Suatu ideal I R, disebut ideal maksimal dari R jika ada ideal lai A dari R sedemikia higga I A R, maka I = A atau A= R Dega kata lai, ideal I dari R dikataka ideal maksimal jika tidak ada ideal sejati dari R yag memuat I Defiisi 0 Misalka R suatu rig komutatif Suatu ideal I dari R dega I ideal prima jika utuk setiap ab I berakibat a I atau b I R dikataka Cotoh 6 Misalka p adalah bilaga prima, maka p adalah ideal maksimal da ideal prima dari Selajutya {0} ideal prima dari tetapi buka ideal maksimal dari 6

20 Rig Faktor da sifat-sifatya Misalka R suatu rig da I suatu ideal dari R, didefiisika himpua R { I a a R} I = + da didefiisika dua operasi (+) da () pada R yaitu utuk setiap ( I + a),( I + b) R I I ( I + a) + ( I + b) = I + ( a+ b) ( I + a)( I + b) = I + a Dapat ditujukka bahwa ( R, +,) adalah suatu rig I Teorema Misalka R suatu rig komutatif dega eleme kesatua da I ideal dari R Rig R I merupaka lapaga jika da haya jika I ideal maksimal Teorema 4 Misalka R suatu rig komutatif dega eleme kesatua da I ideal dari R Rig R I merupaka daerah itegral jika da haya jika I ideal prima Teorema 5 Jika R suatu rig komutatif dega eleme kesatua da I ideal maksimal dari R, maka I ideal prima dari R 4 Homomorpisma rig da sifat-sifatya Diberika rig R, R Misalka f : R R adalah suatu fugsi dari R ke R Fugsi f dikataka homomorpisma rig jika utuk setiap ab, R berlaku f( a+ b) = f( a) + f( b) f( a ) b= f( a) f( b) Suatu homomorpisma rig yag ijektif disebut moomorpisma rig Suatu homomorpisma rig yag surjektif disebut epimorpisma rig da suatu homomorpisma rig yag ijektif da surjektif disebut isomorpisma rig Teorema 6 Misalka f : R R adalah suatu homomorpisma rig, maka peryataaperyataa berikut berlaku f( z ) = z dega z, z berturut-turut eleme ol dari R da R f( a) = f( a), a R f( R ) = { f( a) a R} adalah subrig dari R 4 JIka R komutatif, maka f( R) = { f( a) a R} juga komutatif 7

21 5 Jika R mempuyai eleme kesatua u da f( R) = { f( a) a R} = R, maka R mempuyai eleme kesatua yaitu f( u ) 6 Jika R mempuyai eleme kesatua u da f( R) = { f( a) a R} = R da a suatu uit, maka f( a ) uit di R da f a ( ) f( a ) = Defiisi Misalka f : R R adalah suatu homomorpisma rig Didefiisika kerel dari f, ditulis Ker f, sebagai Ker f = { a R f ( a) = z} Teorema 7 Jika f : R R adalah suatu homomorpisma rig, maka Ker f adalah ideal dari R Teorema 8 Misalka f : R R adalah suatu homomorpisma rig, maka Ker f = { z} jika da haya jika f ijektif Teorema 9 (Teorema isomorpisma pertama) Jika f : R R adalah suatu homomorpisma R rig da I = Ker f, maka f( R ) I Teorema 0 (Teorema isomorpisma kedua) Misalka A subrig dari rig R da B ideal dari R, maka A + B subrig dari R da B ideal dari A + B da A+ B A B A B Teorema (Teorema isomorpisma ketiga) Jika A da B ideal-ideal dari R dega A B, maka R R A B B A 5 Rig Poliomial Misalka R suatu rig Didefiisika ( a0, a, a,) sebagai barisa takhigga dega ai Ri, = 0,,, da ada bilaga bulat takegatif (bergatug pada ( a0, a, a,) ) sedemikia sehigga utuk semua bilaga bulat { 0 i } k a, k = z Selajutya didefiisika Rx [ ] = ( a, a, a,) a Ri, = 0,,, Eleme-eleme dari Rx [ ] disebut poliomialpoliomial atas R Didefiisika operasi pejumlaha da pergadaa pada Rxsebagai [ ] berikut: Utuk setiap ( a0, a, a,), ( b0, b, b,) pada Rx, [ ] 8

22 ( a0, a, a,) + ( b0, b, b,) = ( a0 + b0, a+ b, a + b,) ( a0, a, a,) ( b0, b, b,) = ( c0, c, c,) dega c i = ab for i = 0,,, i j i j j= 0 Cek bahwa ( Rx, [ ] +, ) adalah rig dega ( zzz,,,) adalah eleme ol dari Rx [ ] da ivers terhadap pejumlaha dari ( a0, a, a,) adalah ( a0, a, a,) Selajutya rig Rx [ ] disebut rig poliomial atas R Defiisika f: R Rx [ ] dega f( a) = ( azzz,,,,) utuk setiap a R Dapat ditujukka bahwa f suatu moomorpisma dari R ke Rx, [ ] sehigga R dikataka tersisipka (embedded) dalam Rx [ ] da kita dapat memadag R sebagai subrig dari Rx [ ] Jadi selajutya kita tidak membedaka atara a da ( azzz,,,,) Misalka ( azzz,,,,) diyataka dega a = ax 0 ( zazz,,,,) diyataka dega ax = ax ( zzaz,,,,) diyataka dega ax maka ( a, a, a,, a, z,) = ( a, zz,,) + ( za,, z,) + + ( zz,,, a, z,) 0 0 = a ax ax ax sebagai poliomil atas R Simbol x disebut idetermiate atas R da eleme-eleme a0, a, a,, a dari R disebut koefisie-koefisie dari a ax ax ax Alasa dua poliomial a + ax+ ax + + ax da 0 b bx bx b x m m sama jika da haya jika = m da ai = bi, i = 0,,,, adalah bahwa dua barisa ( a0, a, a,, a, z,) ( b, b, b,, b, z,) sama jika da haya jika = m da a = b, i = 0,,, da 0 m i i Coba dicek bahwa: 9

23 Jika rig R komutatif, maka Rx [ ] juga komutatif Jika rig R mempuyai eleme kesatua u, maka Rx [ ] juga mempuyai eleme kesatua yaitu ( uzz,,,) Jika rig R daerah itegral, maka Rxjuga [ ] daerah itegral Defiisi Misalka R adalah suatu rig Jika f x = a + ax+ ax + + ax a z ( ) 0, adalah poliomial di Rx, [ ] maka disebut derajat (degree) dari f(x), ditulis deg f(x), da disebut koefisie pemimpi (leadig coefficiet) dari f(x) Jika R mempuyai eleme kesatua u da a = u, maka f(x) disebut poliomial moik Catata: poliomial z Rx [ ] tidak mempuyai derajat Teorema Diberika rig poliomial Rx [ ] da f( x), gx ( ) Rx [ ] (i) Jika f( x) gx ( ) z, maka deg ( ( ) ( )) f x gx deg f( x) + deg gx ( ) (ii)jika f( x) + gx ( ) z, maka deg ( f( x) + gx ( )) max{deg f( x),deg gx ( )} Catata: Jika R daerah itegral, maka deg ( f( x) gx ( )) = deg f( x) + deg gx ( ) a Pertayaa: Jika F lapaga, apakah F[x] juga lapaga? Guaka Teorema 7 utuk melihat apakah semua eleme derajat satu atau lebih dari F[x] mempuyai ivers terhadap perkalia Cotoh 7 Diberika rig poliomial 6 [ x] da f( x) [] [] = + x, gx ( ) [] [] = + x serta hx ( ) [5] [4] = + x, maka f( xgx ) ( ) [] [] x [ x] = + + da f( x) + hx ( ) = [6] + [6] x = [0] Selajutya, d eg f( xgx ) ( ) = < = d eg f( x) + d eg gx ( ) da deg( f( x) + hx ( )) tak didefiisika Latiha Jika I ideal dari rig R, tujukka bahwa Ix [ ] juga ideal dari R[x] Jika R daerah itegral, buktika bahwa R da R[x] mempuyai karakteristik sama 0

24 Jika F lapaga, tetuka semua eleme dari F[x] yag mempuyai ivers terhadap perkalia 4 Jika F lapaga dega delapa eleme, berapa bayak eleme dari F[x] yag mempuyai ivers terhadap perkalia? Teorema Misalka R rig komutatif dega eleme kesatua u da f( x), gx ( ) Rx [ ] dega koefisie pemimpi dari gx ( ) suatu uit di R, maka ada dega tuggal poliomial qx ( ), rx ( ) Rx [ ] sedemikia sehigga f( x) = qxgx ( ) ( ) + rx ( ) dega rx ( ) = z atau deg rx ( ) < deg gx ( ) Poliomial qx ( ), rx ( ) dalam Teorema 7 berturut-turut disebut hasil bagi da sisa pembagia f(x) oleh g(x) Cotoh 8 Misalka f( x) x x x 4 = da gx ( ) = + x+ x [ x], Carilah poliomial qx ( ), rx ( ) [ x] sedemikia sehigga f( x) = qxgx ( ) ( ) + rx ( ) dega rx ( ) = z atau deg rx ( ) < deg gx ( ) Defiisi Misalka R suatu rig komutatif dega eleme kesatua u da f x = a + ax+ ax + + ax Rx Didefiisika utuk semua r R, ( ) 0 [ ] f r = a + ar+ ar + + ar ( ) 0 Jika f() r = z, maka r disebut akar dari f(x) Defisi 4 Misalka R suatu rig komutatif dega eleme kesatua u da f( x), gx ( ) Rx [ ] sedemikia sehigga gx ( ) z Poliomial g(x) dikataka membagi f(x) atau g(x) faktor dari f(x), ditulis gx ( ) f( x ), jika ada poliomial qx ( ) Rx [ ] sedemikia sehigga f( x) = qxgx ( ) ( ) Teorema 4 (Teorema Sisa) Misalka R suatu rig komutatif dega eleme kesatua u Utuk f( x) Rx [ ] da a R, ada poliomial qx ( ) Rx [ ] sedemikia sehigga f( x) = ( x aqx ) ( ) + f( a)

25 Akibat 5 (Teorema faktorisasi): Misalka R suatu rig komutatif dega eleme kesatua u Utuk f( x) Rx [ ] da a R, x a membagi f( x) jika da haya jika a akar dari f( x ) Teorema 6 Misalka R daerah itegral da f( x) Rx [ ] dega f( x) poliomial takol derajat, maka f( x) mempuyai palig bayak akar di R Cotoh 9 Diberika f x = + x+ x g x = + x+ x x, maka ( ) [] [], ( ) [] [] 4[ ] f([0]) = [], f([]) = [], f([]) = [], f([]) = [] g([0]) = [], g([]) = [], g([]) = [0], g([]) = [0] f( x) = ( x [0])( x+ []) + [], f( x) = ( x [])( x+ []) + [] gx ( ) = ( x []) x+ [], gx ( ) = ( x [])( x+ []) + [0], gx ( ) = ( x [])( x+ []) + [0] Latiha 4 Di dalam rig [ x] 8, tujukka bahwa [] + [] x uit Apakah + 5x suatu uit di Z[x]? Di dalam rig [ x] 8, buktika bahwa: (a) [4] + [] x+ [4] x suatu pembagi ol (b) []x suatu eleme ilpotet (c ) [] + [4] x da [] + [4]x uit 4 Misalka f( x) [] [] x [] x x 4 = da gx= + x+ x x, tetuka ( ) [] [ ] 5[ ] poliomial qx ( ), rx ( ) 5[ x] sehigga f( x) = qxgx ( ) ( ) + rx ( ) Dega rx ( ) = z atau deg rx ( ) < deg gx ( ) Misalka R suatu rig da f( x) Rx [ ] Suatu poliomial takol da buka uit f( x ) disebut ireducibel (irreducible) di Rx [ ] jika f( x) = gxhx ( ) ( ) berakibat gx ( ) uit atau hx ( ) uit

26 di Rx [ ] Suatu poliomial f( x) disebut reducibel (reducible) di Rx [ ] jika f( x ) tidak ireducibel di Rx [ ] Poliomial takol f x a ax ax ax ( ) = di [ ] Rx disebut poliomial primitif (primitive polyomial) jika FPB(a 0, a,, a ) suatu uit di R Ctoh 0 Poliomial f x ( ) x = + irreducible di [ x] tetapi reducible di [ x] Apakah poliomial gx ( ) x = irreducible di [ x]? Apakah poliomial gx ( ) x = irreducible di [ x]? 4 Jika F lapaga, maka poliomial g( x) = ax + b Fx [ ] dega a z irreducible Teorema 7 (Eisestei s irreducibility criterio) (Malik, DS, etal, 997) Misalka D suatu UFD da Q(D) suatu lapaga kuose dari D Misalka f x a ax ax ax ( ) = suatu poliomial tak kosta di D[x] Adaika D memuat eleme prima p sedemikia sehigga (i) p a, i = 0,,,, i (ii) p a (iii) p a 0 maka f(x) irreducible di Q(D)[x] Cotoh Verifikasi ireducibilitas dari poliomial-poliomial berikut ii 5 4 f( x) = x + 5x 0x + 0x+ 0 irreducible atas Q sebab ada bilaga prima 5 sedemikia sehigga 5 0, 5 0, 5 0, 5 5, 5,5 0, maka berdasarka kriteria ireducibilitas Eisestei, 5 4 f( x) = x + 5x 0x + 0x+ 0 irreducible atas Q

27 Akibat 8 (Malik, DS, etal, 997) Misalka D suatu UFD da f x a ax ax ax ( ) = suatu poliomial primitif tak kosta di D[x] Misalka D memuat eleme prima p sedemikia sehigga (i) p a, i = 0,,,, i (ii) p a (iii) p a 0 maka f(x) irreducible pada D[x] Cotoh 5 f( x) = x + 5x + 0x+ 5 irreducible di Z[x] sebab Z adalah UFD da cotet dari f( x ) adalah, maka f( x ) poliomial primitif tak kosta di Z[x], da 5 5, 5 0, 5 0, 5 5, 5,5 5, sehigga dega Akibat 77, f( x ) irreducible di Z[x] Akibat 9 (Malik, DS, etal, 997) Misalka ( ) = poliomial tak f x a ax ax ax kosta di Z[x] Jika ada bilaga prima p sedemikia sehigga (i) p a, i = 0,,,, i (ii) p a (iii) p a 0 maka f(x) irreducible di Q[x] Teorema 0 (Malik, DS, etal, 997) Misalka F suatu lapaga Jika f( x) di F[x] da deg ( f( x )) atau, maka f( x ) ireducibel atas F jika da haya jika f( x) tidak mempuyai akar di F Cotoh Guaka Teorema 79 utuk megecek ireducibilitas poliomial dalam Cotoh 74 4

28 Misalka f( x) = x + x+ [] [ x] dega f([0]) = [] [0]; f([]) = [] [0], maka dega Teorema 79, f( x ) ireducibel atas Apakah poliomial f( x) = x + [ x] + [] [ x] ireducibel atas? Teorema (Gallia, etal, 00) Diberika f( x) [ x] Jika f( x ) ireducibel atas Q, maka f( x) ireducibel atas Z Teorema (Gallia, etal, 00) Misalka p suatu bilaga prima da f( x) [ x] dega deg ( f( x )) Misalka f ( x) [ x] ditetuka dari f( x ) dega meuliska semua p koefisie dari f( x ) dalam modulo p Jika f ( x ) ireducibel atas Z p da deg f ( x ) = deg f( x ), maka f( x ) ireducibel atas Q Cotoh 4 Diberika poliomial da misalka ( ) [] [] 5 f( x) = x x+ Qx [ ], maka 7 ( ) f( x) 0x 7x 4 = + di [ x] f x = x x+ di [ x] Ambil bilaga prima da betuk f x = x + x+ di [ x] Selajutya f([0]) = [], f([]) = [], f([]) = [], maka f ( x) tidak puya akar di, sehigga f ( x ) ireducibel di [ x] Deg f ( x ) = deg f ( x ), dega Teorema 7, f( x ) = 4 f( x ) ireducibel di [ x] Karea 4 adalah uit di [ x], maka f( x ) ireducibel di [ x] Misalka f( x) = x x + x+ 9 [ x], maka f ( x) = x + x + di Z da f ([0]) = [], f ([]) = [], maka f ( x ) ireducibel atas Z, dega Teorema 7, f( x ) ireducibel atas Q Teorema (Malik, DS, etal, 997) Poliomial cyclotomic p p x f( x) = + x+ x + + x = x ireducibel di Z[x] dega p prima 5

29 Latiha 5 Selidiki ireducibilitas dari poliomial-poliomial berikut ii f x = x + x ( ) [] [ ] f x x x x ( ) = + [] + [6] [ ] f x x x x ( ) = [ ] 4 f x x x x x 4 ( ) = [ ] 5 f x x x x x ( ) = + 4 [ ] Diberika rig komutatif R da px ( ) Rx [ ] Didefiisika I { p( x) f( x) f( x) R[ x] } = Mudah dicek bahwa I adalah ideal dari Rx [ ] da ideal I disebut ideal yag dibagu oleh px ( ), diotasika dega I= px ( ) Cotoh 5 Jika R suatu rig komutatif dega eleme kesatua u, maka ideal dair R[x] yag dibagu oleh u adalah I = u = { u f( x) f( x) R[ x] } { } = f( x) f( x) Rx [ ] = Rx [ ] Teorema 4 (Gallia, etal, 00) Misalka F suatu lapaga da px ( ) Fx [ ] px ( ) adalah ideal maximal di Fx [ ] jika da haya jika px ( ) ireducibel atas F Teorema 5 (Gallia, etal, 00) Jika F suatu lapaga da px ( ) suatu poliomial ireducibel atas F, maka Fx [ ] px ( ) suatu lapaga Jika p adalah bilaga prima, suatu lapaga higga dega p eleme adalah 6 p Lagkah-lagah kostruksi lapaga higga dega p eleme dega p bilaga prima da > : Ambil lapaga higga p Cari poliomial ireducibel px ( ) di [ x ] dega deg px ( ) = p[ x] Betuk lapaga higga = { f( x) + p( x) f( x) p[ x] } p px ( )

30 Lapaga higga [ x p ] px ( ) mempuyai p eleme Cotoh 6 Betuk lapaga higga dega delapa eleme Jawab: 8=, p =, = Ambil lapaga higga = { } [0],[] Cari poliomial ireducibel px ( ) di [ x] dega deg px ( ) = Kita ambil px ( ) = x + x+ [], da px ( ) tidak mempuyai akar di sehigga px ( ) ireducibel di [ x] Betuk lapaga higga [ x] = { f( x) + x + x+ [] f( x) [ x] } x + x+ [] Maka [ x] = {( ax + ax + a0) + x + x+ [] a0, a, a } x + x+ [] [ x] x + x+ [] { = [0] + x + x+ [],[] + x + x+ [], x+ x + x+ [], x+ [] + x + x+ [], x x x x x x x x x x x x x x [], + [] [], [], + + [] [] } Utuk meyederhaaka otasi, ax + ax+ a + x + x+ ditulis dega 0 ax + ax+ a 0 Jadi [ x] = {[0],[], xx, + [], x + x+ [] x x x x x x, + [], +, + + [] } Betuk lapaga higga dega sembila eleme jawab: 9=, p =, = Ambil lapaga higga = { } [0],[],[] Cari poliomial ireducibel px ( ) di [ x] dega deg px ( ) = Kita ambil px ( ) = x + [], da px ( ) tidak mempuyai akar di sehigga px ( ) ireducibel di [ x] Betuk lapaga higga [ x] = { f( x) + x + [] f( x) [ x] } x + [] 7

31 Maka [ x] = {( ax + a0) + x + [] a0, a } x + [] [ x] x + [] { = [0],[],[], xx, + [], x+ [],[] x,[] x+ [],[] x+ [] } Latiha 6 Legkapi tabel pejumlaha da perkalia dari lapaga higga Cotoh 70 bagia Betuk lapaga higga dega 4 eleme Betuk lapaga higga dega 6 eleme 4 Betuk lapaga higga dega 5 eleme 5 Betuk lapaga higga dega 7 eleme 6 Betuk lapaga higga dega eleme 7 Betuk lapaga higga dega 64 eleme Daftar Pustaka Adkis, WA ad Weitraub, SH 99 Algebra: A Approach via Module Theory Paris: Spriger- Verlag Fraleigh, JB 989 A First Course i Abstract Algebra Fourth Editio Caada: Addiso-Wesley Publishig Compay Gallia, JA 990 Cotemporary Abstract Algebra Secod Editio Toroto: DC Heath ad Compay Herstei, IN 975 Topics i Algebra Secod Editio Sigapore: Joh Wiley & Sos Herstei, IN996 Abstract Algebra Third Editio Upper Saddle River: Pretice-Hall It Ic Lag, S 99 Algebra Third Editio New York: Addiso-Wesley Publishig Compay Malik, DS, Mordeso, JM, Se, MK 997 Fudametals of Abstract Algebra New York: McGraw-Hill Compaies, Ic Raisghaia, MD ad Aggarwal, RS 980 Moder Algebra Ram Nagar: S Chad & Compay Ltd Sukirma 006 Aljabar Abstrak Lajut: Teori Gelaggag Yogyakarta: Haggar Kreator 8