ESTIMATOR DERET FOURIER UNTUK ESTIMASI KURVA REGRESI NONPARAMETRIK BIRESPON

Transkripsi

1 ESTIMATOR DERET FOURIER UNTU ESTIMASI URVA REGRESI NONPARAMETRI BIRESPON Agusii Tipea* Absac : I he las decade Fouie seies esimao i opaameic egessio oe espose a lo o aeio om eseaches because o is lexibili. I his pape will be developed i Fouie seies esimao i opaameic egessio o wo esposes Biespo. Daa ae give i pais j j j =... ad j j j =.... The elaioship bewee j j j ad j ollowig opaameic egessio model Biespo: j = j + j ad j = j + j Fom o egessio cuves ad ae ukow ad assumed o be coaied wihi he space o coiuous ucios. Radom eo j muuall idepede wih mea zeo ad vaiace ad j also muuall idepede wih mea zeo ad vaiace. Radom eo j ad j ae coelaed wih he Co j j =. Regessio cuve ad especivel wee appoached b a coiuous ad dieeiable ucio: d j = j k cos k j Ad d j = cos k k j k j k k k =... k k =... ae paamees ha ae ukow i he Fouie seies model. Esimaed opaameic egessio cuve Biespo ad obaied om he complee opimizaio Pealized Weighed Leas Squae PLST: " " w [ ] d [ ] d Compleio o his om o opimizaio PLST Fouie seies esimao ha ca be peseed i he om: ˆ. Fouie seies esimao i opaameic egessio Biespo is biased ˆ B ˆ o opaameic egessio cuve Alhough biased bu his esimao is a liea esimao which is ve suppoive i buildig saisical ieece o opaameic egessio cuve Biespo. e wods: Fouie seies esimao Nopaameic Regessio Biespo Pealized Weighed Leas Squae. * Pogam Sudi Maemaika Fakulas Sais da Tekik Uivesias Jedeal Soedima Puwokeo 6 Magisa No. 8 Th. XXV Jui 3 ISSN 5-95

2 Esimao Dee Fouie uuk Esimasi uva Regesi Nopaameik Biespo PENDAHULUAN Dibeika model egesi opaameik sau espo j = j + ε j j [ab] j =. Beuk kuva egesi diasumsika idak dikeahui da emua di dalam suau uag ugsi eeu sepei m uag Sobolev W [ ] a b uag ugsi-ugsi koiu π uag Hilbe uag Eopi da ag laia. Pegambila asumsi ii egaug pada sia smooh ag dimiliki oleh ugsi ag polaa idak dikeahui esebu Budiaaa ; 999. Eo adom ε j diasumsika bedisibusi idepede dega mea ol da vaiasi σ. Pesoala dalam egesi opaameik adalah bagaimaa medapaka beuk esimao uuk kuva egesi. Dalam egesi opaameik umuma beuk esimao opaameik dipeoleh dega megguaka pedekaa ugsi keluaga misala dee ohogoal Eubak988 Waveles Aoiadis e al. eel Eubak988 da Splie Budiaaa 6. Bedasaka padaga eoi esimasi pedekaa ugsi keluaga umuma suli medapaka ladasa dasa Saisika ag diguaka dalam pedekaa ugsi keluaga esebu Budiaaa ; ; 5. Wahba 99 Wag 998 da Budiaaa idak lagi megguaka pedekaa ugsi keluaga eapi megguaka opimasi Pealized ag meggabugka Goodess o i da peal. Esimao egesi opaameik dipeoleh dai meelesaika opimasi : Mi { R + H J } uuk suau uag ugsi H. uaias R da J beuu-uu meaaka goodess o i da ukua kemulusa ugsi peal. Paamee peghalus badwih megool aaa R da J. elompok egesi opaameik ag seig megguaka pedekaa pealized ii adalah Splie. aea kelebihaa ii bebeapa kelompok egesi lai sepei Dee Fouie juga mulai meguaka pedekaa pealized eapi masih megkombiasikaa dega pedekaa ugsi keluaga Bilodeau 99; Tipea da Budiaaa 6. Esimao Dee Fouie dalam egesi opaameik sau espo dalam bebeapa ahu eakhi baak medapa pehaia dai bebeapa peelii egesi opaameik. Esimao Dee Fouie ii umuma diguaka apabila daa ag diselidiki polaa idak dikeahui da ada keceduga pola musima Tipea da Budiaaa 6 da Bilodeau 99. Dalam esimao Dee Fouie kuva egesi opaameik sau espo diasumsika idak dikeahui da emua di dalam uag ugsi koiu!π. Eo adom ε j diasumsika bedisibusi omal idepede dega mea ol da vaiasi σ. aea koiu pada ieval π maka dapa dihampii oleh ugsi dimaa i = meupaka paameepaamee model Bilodeau 99. Bedasaka model Dee Fouie ii Bilodeau 99 membeika esimao Dee Foie uuk kuva egesi opaameik sau espo bebeuk : F ˆ ˆ ˆ ˆ i cos i = dega i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ... dipeoleh dai pesamaa : ˆ = X X G X dimaa G maiks diagoal da X suau maiks koeisie. Selajua Tipea da Budiaaa 6 meaaka bahwa apabila eo adom dai Magisa No. 8 Th. XXV Jui 3 ISSN

3 Esimao Dee Fouie uuk Esimasi uva Regesi Nopaameik Biespo model egesi opaameik sau espo bedisibusi omal maka esimao Dee Fouie da ag dibeika oleh Bilodeau 99 mempuai sia i. meupaka esimao bias uuk kuva egesi opaameik. ii. meupaka kelas esimao liea dalam obsevasi da iii. da masig-masig bedisibusi omal. Dalam bebeapa pesoala pakis seig dijumpai model egesi ag memiliki espo lebih dai sau Biespo pola kuva egesia idak jelas da idak dikeahui sea ada idikasi musima. Secaa eoiis esimao Dee Fouie dalam egesi opaameik Biespo meupaka geealisasi dai esimao Dee Fouie dalam egesi opaameik sau espo. Peeliia ag meagku esimao Dee Fouie dalam egesi opaameik Biespo belum baak dikembagka oleh paa peelii. Dalam ulisa ii aka dibeika beuk esimao Dee Fouie dalam egesi opaameik Biespo da sia-sia ag dimiliki oleh esimao esebu. REGRESI NOPARAMETRI BIRESPON DAN STRUTUR MATRIS VARIANCE-COVARIAN Dibeika daa bepasaga j j j = da j j j = Hubuga aaa j j j da j diasumsika megikui model egesi opaameik dega dua espo Biespo : j = j + j j = j = j + j j =. Beuk kuva egesi da idak dikeahui da diasumsika emua didalam uag ugsi koiu!π dimaa:!π ={g ; g koiu pada ieval π }. Eo adom j j = salig idepede dega mea ol da vaiasi da eo adom j j = juga salig idepede dega mea ol da vaiasi. Eo adom j j = da j j = salig bekoelasi dega Co j j =.Suku maiks vaiace-covaiace dai eo diulis: W =. Misalka dibeika kuaias da koelasi Pada sisi lai vaiasi dapa disajika mejadi : maka covaiasi dapa diulis mejadi = =. da beuu-uu dapa disajika mejadi : da. Dega demikia maiks vaiace-covaiace W 8 Magisa No. 8 Th. XXV Jui 3 ISSN 5-95

4 9 Magisa No. 8 Th. XXV Jui 3 ISSN 5-95 Esimao Dee Fouie uuk Esimasi uva Regesi Nopaameik Biespo W = Maiks W dapa pula disajika W = x x I J J I dega maiks I da I beuu-uu meaaka maiks Ideias beukua x da x sea maiks x J. Bedasaka maiks vaiace-covaiace W ii aka dieuka beuk esimao Dee Fouie Bivaiae dalam egesi opaameik Biespo. ESTIMATOR DERET FOURIER BIVARIATE DALAM REGRESI NONPARAMETRI BIRESPON Pesamaa egesi opaameik Biespo dapa diaaka dalam beuk maiks: 3 aea kuva egesi!π da

5 Esimao Dee Fouie uuk Esimasi uva Regesi Nopaameik Biespo!π maka da beuu-uu dapa dihampii oleh ugsi koiu da dieesiabel d da d aiu : j = d j j = da j = d j j = dega d j = j k cos k j da d j = j k cos k j 5 k Pesamaa egesi opaameik Biespo 3 dapa diulis mejadi: k k cos k k k cos k k k cos k k k cos k k k cos k k k cos k k 6 uaias-kuaias k k... k k... meupaka paamee-paamee ag idak dikeahui di dalam model Dee Fouie da 5. Esimasi kuva egesi opaameik Biespo da dipeoleh dai meelesaika opimasi Pealized Leas Squae Tebobo PLST : Veko ' adalah veko beukua x da k k k... k k veko beukua k xk =.Veko ' meupaka veko beukua da veko beukua x k =. maiks bobo beukua ag egaug pada da da bekaia dega pesamaa. Paamee da meupaka paamee peghalus badwih. Dai Pesamaa 7 diuaika kompoe Goodess o i : G G ' W 8 Peal : Magisa No. 8 Th. XXV Jui 3 ISSN 5-95

6 Esimao Dee Fouie uuk Esimasi uva Regesi Nopaameik Biespo P P P d + d 9 dega: Peama aka diuaika kompoe Goodess o i. Model egesi opaameik Biespo pada Pesamaa 6 dapa disajika dalam beuk : B dega da B cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos Goodess o i pada Pesamaa 8 dapa diaaka mejadi : G B ' W B.. Selajua aka diuuka Peal dai Pesamaa 9. Peama diuuka elebih dahulu peal suku peama dai Pesamaa 9 sebagai beiku : Magisa No. 8 Th. XXV Jui 3 ISSN 5-95

7 Esimao Dee Fouie uuk Esimasi uva Regesi Nopaameik Biespo d k co s k d d k d Uuk meelesaika iegal ii elebih dahulu dieuka kuaias dai : d d c o s k k k d d k cos k d d k d d k si k k k k k cos k Pesamaa eakhi membeika : k d k k cos k d k k k k k j j d cos cos k k cos j k k j k j k k cos k d k k cos k j cos j j d. Uuk meelesaika k k j pesamaa ii peama dihiug ilai Iegal suku peama dai Pesamaa sebagai beiku : co s k k k k d k k cos k d k k k cos k d k k k k d k c o s k k k k k si k k k. Selajua dihiug ilai Iegal suku kedua dai Pesamaa sebagai beiku: k cos j cos k j k k j j d k j k j cosk cos j d k j kj k j cos k cos j d. Selajua dipeoleh : cosk cos j d k j c o s k j d c o s k j d cos cos k j k j d si k j si si k j k j k j.akibaa: k cos j cos k j k k j j d k j k j cos k cos j d k j kj ak a j =. Hasil ii membeika ilai Peal suku peama dai Pesamaa 9 : k j d k k k. Lagkah selajua adalah meuuka Peal suku kedua dai Pesamaa 9. Dega caa ag seupa dega caa pehiuga Peal pada suku peama dipeoleh ilai Peal dai suku kedua pada Pesamaa 9 : d k k 3. k Magisa No. 8 Th. XXV Jui 3 ISSN 5-95

8 Esimao Dee Fouie uuk Esimasi uva Regesi Nopaameik Biespo Bedasaka Pesamaa da 3 maka Peal pada Pesamaa 9 dapa diulis mejadi : P = k k k k k k = + = D + D I D = I D = * D * dimaa : I D D* Diag D D I D da D Diag.... Dega mempehaika Pesamaa da Pesamaa maka opimasi PLST pada Pesamaa 7 dapa diaaka mejadi : Mi G P = Mi B ' W B * D* Mi W B W B W B * D* Mi W B W B W B * D * Magisa No. 8 Th. XXV Jui 3 ISSN

9 Esimao Dee Fouie uuk Esimasi uva Regesi Nopaameik Biespo Dega sediki pejabaa da megguaka deivai pasial dipeoleh pesamaa omal : B W B W B * D*. Esimao uuk dibeika oleh : ˆ B W B * D * B W N N dega N= +. Esimao Dee Fouie uuk kuva egesi opaameik Biespo dibeika oleh ˆ : ˆ ˆ B ˆ. = H 5 dega B B W B * D* B W N N H = B B W B * D* B W N N SIFAT-SIFAT ESTIMATOR DERET FOURIER BIVARIATE Pesamaa 5 membeika esimao Dee Fouie uuk kuva egesi opaameik Biespo ag pada dasaa dapa diaaka sebagai kombiasi liea dai obsevasi espo aiu : = H = H. Pesamaa ii mempelihaka bahwa esimao Dee Fouie uuk kuva egesi opaameik Biespo egolog kelas esimao liea. Esimao liea dalam Saisika Ieesi khususa eoi esimasi saga disukai kaea sia liea ii aka membeika kemudaha dalam medapaka ieesi uuk kuva egesi opaameik Biespo. Walaupu esimao Dee Fouie ii egolog esimao liea eapi esimao Dee Fouie ii besia bias. Hal ii dapa diujuka sebagai beiku. Dai Pesamaa ˆ ˆ 5 dipeoleh : E E ˆ E = H E = H E H = =. E H Magisa No. 8 Th. XXV Jui 3 ISSN 5-95

10 Esimao Dee Fouie uuk Esimasi uva Regesi Nopaameik Biespo REFERENSI Aoiadis A. Bigo J. ad Spaias T. Wavele Esimaos i Nopaameic Regessio : A Compaaive Simulaio Sud Joual o Saisical Sowae Bilodeau M. 99 Fouie Smoohe ad Addiive Models The Caadia Joual o Saisics Budiaaa I. N. 999 Esimao Splie Tebobo Dalam Regesi Semipaameik Majalah Ilmu Pegeahua da Tekologi IPTES 3-9. Budiaaa I. N. Opimasi da Poeksi Dalam Regesi Nopaameik Splie Majalah Bekala Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam BMIPA Uivesias Gadjah Mada 35-. Budiaaa I. N. Regesi Nopaameik da Semipaameik Sea Pekembagaa Makalah Pembicaa Uama pada Semia Nasioal Alumi Pasca Sajaa Maemaika Uivesias Gadjah Mada Yogakaa. Budiaaa I. N. Esimao Tipe Pealized Likelihood Jual Naual FMIPA Uibaw Edisi husus Budiaaa I. N. 5 Model eluaga Splie Poliomial Tucaed Dalam Regesi Semipaameik Makalah Semia Nasioal Maemaika Juusa Maemaika Uivesias Dipoegoo Semaag. Budiaaa I. N. 6 Model Splie Dega os Opimal Jual Ilmu Dasa FMIPA Uivesias Jembe EubakR.L.988 Splie Smoohig ad Nopaameic Regessio Mecel Dekke New Yok. Tipea A. ad Budiaaa I N. 6 Fouie Esimao i Nopaameic Regessio Ieaioal Coeece O Naual Scieces ad Applied Naual Sciees Ahmad Dahla Uivesi Yogakaa. Wahba G.99 Splie Models Fo Obsevasio Daa SIAM Peslvaia. Wag Y. 998 Splie Smoohig Models Wih Coelaed Eos Joual o he Ameica Saisical Associaio Magisa No. 8 Th. XXV Jui 3 ISSN