Analisis Riil II: Diferensiasi

Transkripsi

1

2 Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga x I,0 < x c < δ f(x) f(c) L x c < ε. (1) Dalam hal ini, kita katakan bahwa f dapat diturunkan di c atau f mempunyai turunan di c, dan kita tulis f (c) untuk L (kadang-kadang juga dipakai notasi Df atau df dx untuk menyatakan fungsi turunan). Dengan kata lain, turunan dari f di c diberikan oleh f f(x) f(c) (c) = lim, (2) x c x c asalkan limitnya ada.

3 Contoh Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers 1 Jika f(x) = x 2 untuk x R, maka untuk setiap c R berlaku f f(x) f(c) x 2 c 2 (c) = lim = lim x c x c x c x c = lim x c (x +c) = 2c. Dalam hal ini, fungsi f terdefinisi pada R dan f (x) = 2x untuk setiap x R. 2 Jika h(x) = x, x R, maka untuk x 0 berlaku h(x) h(0) x 0 = x { 1, x > 0, x = 1, x < 0. h(x) h(0) Dengan demikian lim x 0 x 0 tidak ada, sehingga fungsi h(x) = x tidak dapat diturunkan di x = 0.

4 Teorema (1) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Teorema (Kekontinuan fungsi yang mempunyai turunan) Jika f : I R mempunyai turunan di c I, maka f kontinu di c. Bukti. Untuk setiap x I, x c, berlaku ( ) f(x) f(c) f(x) f(c) = (x c). x c Karena f (c) ada, maka dengan menggunakan Teorema Perkalian Limit (lihat lagi) diperoleh ( ) f(x) f(c) ( ) lim(f(x) f(c)) = lim lim x c x c x c (x c) = f (c) 0 = 0. x c Perhatikan bahwa dari hubungan di atas dapat disimpulkan bahwa lim x c f(x) = f(c). Dengan demikian f kontinu di c (terbukti).

5 Teorema (2) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Teorema (Aturan dasar turunan) Misalkan I R sebuah interval, c I, dan f,g : I R adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan di c. Maka: (a) Jika α R, maka αf mempunyai turunan di c, dan (αf) (c) = αf (c). (3) (b) Fungsi f +g mempunyai turunan di c, dan (f +g) (c) = f (c)+g (c). (4) (c) (Aturan perkalian) Fungsi fg mempunyai turunan di c, dan (fg) (c) = f (c)g(c)+f(c)g (c). (5) (d) (Aturan pembagian) Jika g(c) 0, maka fungsi f/g mempunyai turunan di c, dan (f ) (c) = f (c)g(c) f(c)g (c) g (g(c)) 2. (6)

6 Akibat Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Akibat Jika f 1,f 2,...,f n adalah fungsi-fungsi dari interval I ke R yang mempunyai turunan di c R, maka: (a) Fungsi f 1 +f f n mempunyai turunan di c, dan (f 1 +f f n ) (c) = f 1(c)+f 2(c)+...+f n(c). (7) (b) Fungsi f 1 f 2...f n mempunyai turunan di c, dan (f 1 f 2...f n ) (c) = f 1 (c)f 2(c)...f n (c)+f 1 (c)f 2 (c)...f n(c) +...+f 1 (c)f 2 (c)...f n (c). (8)

7 Beberapa kasus khusus Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Jika f 1 = f 2 =... = f n = f, maka (8) menjadi (f n ) (c) = n(f(c)) n 1 f (c). (9) Jika pada (9) kita ambil f(x) = x, maka kita peroleh turunan dari g(x) = x n, yaitu g (x) = nx n 1, n N. (10)

8 Aturan Rantai Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Teorema (Aturan Rantai) Misalkan I,J adalah interval-interval di R, g : I R dan f : J R adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga f(j) I, dan c J. Jika f dapat diturunkan di c dan g dapat diturunkan di f(c), maka fungsi komposisi g f dapat diturunkan di c, dan Bukti. (g f) (c) = g (f(c)) f (c). (11)

9 Aturan Rantai (lanjutan bukti) Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers

10 Contoh Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers 1 Jika f : I R dapat diturunkan pada I dan g(y) = y n untuk y R, n N, maka g (y) = ny n 1 [lihat pers. (10)]. Dengan menggunakan Aturan Rantai, diperoleh (f n ) (x) = (g(f(x))) (x) = (g f) (x) = g (f(x)) f (x) = n(f(x)) n 1 f (x), untuk semua x I, sebagaimana yang juga sudah ditunjukkan di (9). 2 (untuk contoh lain, silakan baca di buku)

11 Teorema (1) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Teorema (Turunan fungsi invers di suatu titik) Misalkan I R adalah interval dan fungsi f : I R monoton sejati dan kontinu pada I. Misalkan J = f(i) dan g : J R monoton sejati dan merupakan fungsi invers kontinu dari f. Jika f mempunyai turunan di c I dan f (c) 0, maka g dapat diturunkan di d = f(c), dan Bukti. g (d) = 1 f (c) = 1 f (g(d)). (12)

12 Teorema (1) [lanjutan bukti] Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers

13 Teorema (2) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Teorema (Turunan fungsi invers pada suatu interval) Misalkan I R adalah interval dan fungsi f : I R monoton sejati pada I. Misalkan J = f(i) dan g : J R merupakan fungsi invers dari f. Jika f mempunyai turunan pada I dan f (x) 0 untuk x I, maka g dapat diturunkan pada J, dan g = 1 f g. (13) Bukti. Karena f mempunyai turunan pada I, maka dari Teorema Kekontinuan Fungsi yang Mempunyai Turunan (lihat lagi), f kontinu pada I. Dengan demikian, menurut Teorema Invers Kontinu (lihat lagi), fungsi invers g kontinu pada J. Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema Turunan Fungsi Invers di Suatu Titik, persamaan (13) dipenuhi.

14 Contoh (1) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Fungsi f : R R yang didefinisikan dengan f(x) = x 5 +4x +3 adalah fungsi kontinu dan naik sejati pada R (justifikasi!). Lebih lanjut, f (x) = 5x untuk setiap x R (persisnya f (x) = 5x 4 +4>0 untuk setiap x R). Oleh karena itu, menurut Teorema Turunan Fungsi Invers di Suatu Titik, fungsi invers g = f 1 mempunyai turunan di setiap y = f(x) R. Jika kita ambil c = 1, maka f(1) = 8. Dengan demikian kita peroleh (f 1 ) (8) = 1/f (1) = 1/9.

15 Contoh (1) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Fungsi f : R R yang didefinisikan dengan f(x) = x 5 +4x +3 adalah fungsi kontinu dan naik sejati pada R (justifikasi!). Lebih lanjut, f (x) = 5x untuk setiap x R (persisnya f (x) = 5x 4 +4>0 untuk setiap x R). Oleh karena itu, menurut Teorema Turunan Fungsi Invers di Suatu Titik, fungsi invers g = f 1 mempunyai turunan di setiap y = f(x) R. Jika kita ambil c = 1, maka f(1) = 8. Dengan demikian kita peroleh (f 1 ) (8) = 1/f (1) = 1/9.

16 Contoh (2) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Misalkan n N bilangan genap, I = [0, ), dan f(x) = x n untuk x I. Dapat ditunjukkan bahwa f naik sejati dan kontinu pada I (tunjukkan!), sehingga fungsi invers g(y) = y 1/n untuk y J = [0, ) juga naik sejati dan kontinu pada I (menurut teorema yang mana?). Lebih lanjut, kita mempunyai f (x) = nx n 1 untuk setiap x I. Oleh karena itu, jika y > 0, maka g (y) ada, dan g (y) = 1 f (g(y)) = 1 n(g(y)) n 1 = 1 n(y 1/n ) n 1 = 1 ny (n 1)/n. Jadi dapat disimpulkan bahwa g (y) = y(1/n) 1 n untuk y > 0. Akan tetapi, g tidak dapat diturunkan di y = 0.

17 Contoh (2) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Misalkan n N bilangan genap, I = [0, ), dan f(x) = x n untuk x I. Dapat ditunjukkan bahwa f naik sejati dan kontinu pada I (tunjukkan!), sehingga fungsi invers g(y) = y 1/n untuk y J = [0, ) juga naik sejati dan kontinu pada I (menurut teorema yang mana?). Lebih lanjut, kita mempunyai f (x) = nx n 1 untuk setiap x I. Oleh karena itu, jika y > 0, maka g (y) ada, dan g (y) = 1 f (g(y)) = 1 n(g(y)) n 1 = 1 n(y 1/n ) n 1 = 1 ny (n 1)/n. Jadi dapat disimpulkan bahwa g (y) = y(1/n) 1 n untuk y > 0. Akan tetapi, g tidak dapat diturunkan di y = 0.

18 Definisi Turunan Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Definisi (Maksimum dan minimum relatif) Fungsi f : I R R dikatakan mempunyai maksimum relatif [minimum relatif] di c I jika terdapat lingkungan V = V δ (c) dari c sehingga f(c) f(x) [f(c) f(x)] untuk semua x V I. Lebih lanjut, kita katakan bahwa fungsi f mempunyai ekstrim relatif di c I jika f mempunyai maksimum relatif atau minimum relatif di c.

19 Teorema Ekstrim Dalam Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Teorema Ekstrim Dalam Misalkan c adalah titik dalam dari interval I (yaitu, terdapat lingkungan V = V δ (c) dari c sehingga V I) dan f : I R mempunyai ekstrim relatif di c. Jika f (c) ada, maka f (c) = 0. Bukti. (untuk kasus f yang mempunyai maksimum relatif di c) Andaikan f (c) > 0. Dengan demikian terdapat lingkungan V δ (c) I sedemikian sehingga f(x) f(c) x c Jika x V δ (c), x > c, maka diperoleh > 0 untuk x V δ (c),x c. f(x) f(c) = (x c) f(x) f(c) > 0. x c Namun hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif di c. Jadi pengandaian f (c) > 0 salah.

20 Teorema Ekstrim Dalam (lanjutan bukti) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Sekarang andaikan f (c) < 0, maka terdapat lingkungan V δ (c) I sedemikian sehingga f(x) f(c) x c Jika x V δ (c), x < c, maka diperoleh < 0 untuk x V δ (c),x c. f(x) f(c) = (x c) f(x) f(c) x c > 0. Hal ini juga kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif di c. Jadi pengandaian f (c) < 0 juga salah. Jadi haruslah f (c) = 0. Dengan cara serupa, buktikan untuk kasus f yang mempunyai minimum relatif di c!

21 Akibat Turunan Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Akibat Jika f : I R kontinu pada interval I dan f mempunyai ekstrim relatif di c I, maka berlaku salah satu: f (c) tidak ada atau f (c) = 0. Contoh: Fungsi f(x) = x pada I = [ 1,1] mempunyai minimum relatif di x = 0, tetapi tidak mempunyai turunan di x = 0.

22 Teorema Rolle Turunan Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Teorema Rolle Jika f kontinu pada interval tutup I = [a,b] dan mempunyai turunan pada interval buka (a,b) dengan f(a) = f(b) = 0, maka terdapat sedikitnya satu titik c (a, b) sedemikian sehingga f (c) = 0. Bukti. Jika f fungsi nol pada I, maka sebarang c (a,b) memenuhi kesimpulan dari teorema. Oleh karena itu sekarang kita anggap f bukan fungsi nol pada I. Dengan menggantikan f dengan f, jika perlu, maka kita dapat mengasumsikan bahwa nilai f ada yang positif. Karena f kontinu pada interval tutup I = [a,b] (yang juga terbatas), maka berdasarkan Teorema Maksimum-Minimum (lihat lagi), fungsi f mencapai nilai sup{f(x) : x I} > 0 di suatu titik c I.

23 Teorema Rolle (lanjutan bukti) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Karena f(a) = f(b) = 0, maka titik c haruslah berada dalam (a,b). Oleh karena itu f (c) ada. Dengan demikian, dari Teorema Ekstrim Dalam, kita dapat simpulkan bahwa f (c) = 0. (Lihat gambar di bawah.)

24 Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan (akibat Teorema Rolle) (TNR) Jika f fungsi kontinu pada interval tutup I = [a,b] dan mempunyai turunan pada interval buka (a, b), maka terdapat sedikitnya satu titik c (a,b) sehingga f(b) f(a) = f (c)(b a). Bukti. Pandang fungsi ϕ yang didefinisikan pada I dengan ϕ(x) = f(x) f(a) f(b) f(a) (x a), b a yang merupakan selisih fungsi f dengan fungsi yang grafiknya adalah ruas garis yang menghubungkan titik (a,f(a)) dan (b,f(b)) [lihat gambar di belakang].

25 (lanjutan bukti) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Perhatikan bahwa hipotesis dari Teorema Rolle dipenuhi oleh ϕ, karena ϕ kontinu pada [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Oleh karena itu terdapat c (a,b) sedemikian sehingga 0 = ϕ (c) = f (c) f(b) f(a). b a Dengan demikian f(b) f(a) = f (c)(b a).

26 (lanjutan bukti) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Perhatikan bahwa hipotesis dari Teorema Rolle dipenuhi oleh ϕ, karena ϕ kontinu pada [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Oleh karena itu terdapat c (a,b) sedemikian sehingga 0 = ϕ (c) = f (c) f(b) f(a). b a Dengan demikian f(b) f(a) = f (c)(b a).

27 Beberapa Implikasi TNR (1) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Silakan dipelajari bukti dari beberapa implikasi TNR berikut! Teorema (Kriteria turunan untuk fungsi konstan) Jika f kontinu pada interval tutup I = [a,b], mempunyai turunan pada interval buka (a,b), dan f (x) = 0 untuk setiap x (a,b), maka f fungsi konstan pada I. Akibat Jika f dan g fungsi kontinu pada I = [a,b], mempunyai turunan pada (a,b), dan f (x) = g (x) untuk setiap x (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga f = g +C pada I.

28 Beberapa Implikasi dari TNR (2) Teorema (Kriteria turunan untuk kemonotan) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Jika f : I R mempunyai turunan pada I, maka berlaku: (i) f naik pada I f (x) 0 x I. (ii) f turun pada I f (x) 0 x I. Teorema (Uji turunan pertama untuk nilai ekstrim) Misalkan f kontinu pada I = [a,b], c titik dalam dari I, dan f mempunyai turunan pada (a,c) dan c,b. Maka berlaku: (i) Jika terdapat lingkungan (c δ,c +δ) I sedemikian sehingga f (x) 0 untuk c δ < x < c dan f (x) 0 untuk c < x < c +δ, maka f mempunyai maksimum relatif di c. (ii) Jika terdapat lingkungan (c δ,c +δ) I sedemikian sehingga f (x) 0 untuk c δ < x < c dan f (x) 0 untuk c < x < c +δ, maka f mempunyai minimum relatif di c.

29 Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Aplikasi Teorema Rolle: lokasi akar suatu fungsi Misalkan fungsi g adalah turunan dari fungsi f. Maka di antara dua akar sebarang dari fungsi f, terdapat paling sedikit satu akar dari fungsi g. Contoh: Misalkan f(x) = sinx, sehingga g(x) = f (x) = cosx. Dengan demikian di antara dua akar sebarang dari sin x, terdapat paling sedikit satu akar dari cosx. Di lain pihak, g (x) = sinx = f(x). Jadi di antara dua akar sebarang dari cosx, terdapat paling sedikit satu akar dari sinx. Oleh karena itu, kita simpulkan bahwa akar-akar dari sin x dan cos x saling bertautan.

30 Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Aplikasi TNR: aproksimasi perhitungan dan estimasi error Misalkan ingin dihitung nilai dari 105. Kita gunakan TNR dengan f(x) = x, a = 100, dan b = 105, sehingga diperoleh = 2(, untuk suatu c (100,105). c) Karena 10 < c < 105 < 121 = 11, kita peroleh 5 2(11) < < 5 2(10) 10,2272< 105 < 10,2500. Aproksimasi di atas dapat dibuat lebih baik dengan menggunakan hubungan c < 105 < 10,2500, yaitu c < 10,2500, sehingga kita peroleh 0,2439 = 5 2(10,2500) < Jadi aproksimasi yang diperoleh sekarang untuk 105 adalah 10,2439< 105 < 10,2500.

31 Ketaksamaan Turunan Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Salah satu aplikasi penting dari TNR adalah untuk memperoleh bentuk-bentuk ketaksamaan tertentu. Contoh: Fungsi f(x) = e x mempunyai turunan f (x) = e x untuk setiap x R. Jadi f (x) > 1 untuk x > 0 dan f (x) < 1 untuk x < 0. Dari hubungan ini, kita akan tunjukkan ketaksamaan e x 1+x, x R, (14) dengan bagian kesamaannya diperoleh jika dan hanya jika x = 0. Kita tinjau per kasus. Untuk x = 0, bagian kesamaan dari (14) otomatis berlaku dimana kedua ruas bernilai 1. Untuk x > 0, dengan menggunakan TNR untuk fungsi f(x) = e x pada interval [0, x], kita peroleh e x e 0 = e c (x 0), untuk suatu c (0,x). (15)

32 Ketaksamaan (...sambungan) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Karena e 0 = 1 dan e c > 1, maka pers. (15) menjadi e x 1 > x e x > 1+x, untuk x > 0. (16) Untuk x < 0, dengan menggunakan argumen yang sama dengan kasus di atas (untuk x > 0), maka akan kita peroleh e x > 1+x untuk x < 0 (silakan dicoba!). Jadi ketaksamaan (14) berlaku untuk semua x R dengan bagian kesamaannya diperoleh untuk x = 0. Silakan dipelajari contoh-contoh ketaksamaan lain di buku!

33 Sifat Nilai Antara dari Turunan Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Lema Misalkan I R sebuah interval, f : I R, c I, dan asumsikan bahwa f mempunyai turunan di c. Maka berlaku: (a) Jika f (c) > 0, maka terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga f(x) > f(c) untuk x I dengan c < x < c +δ. (b) Jika f (c) < 0, maka terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga f(x) > f(c) untuk x I dengan c δ < x < c. Silakan pelajari buktinya di buku!

34 Sifat Nilai Antara dari Turunan Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Teorema Darboux Jika f dapat diturunkan pada I = [a,b] dan k bilangan antara f (a) dan f (b), maka terdapat paling sedikit satu titik c (a,b) sedemikian sehingga f (c) = k. Bukti. Misalkan f (a) < k < f (b). Definisikan g pada I dengan g(x) = kx f(x) untuk x I. Karena g kontinu (justifikasi!), maka ia mempunyai maksimum pada I (justifikasi!). Karena g (a) = k f (a) > 0, maka dari Lema sebelumnya [kasus (a)] dapat disimpulkan bahwa maksimum g tidak terjadi di x = a. Kemudian karena g (b) = k f (b) < 0, maka dari Lema sebelumnya [kasus (b)] dapat disimpulkan bahwa maksimum g tidak terjadi di x = b. Oleh karena itu, g mencapai maksimum di suatu titik c (a,b). Dari Teorema Ekstrim Dalam, berlaku 0 = g (c) = k f (c). Jadi, f (c) = k.

35 Bentuk Tak-Tentu Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Misalkan A = lim x c f(x) dan B = lim x c g(x). Kasus (i): B 0. Kasus (ii): A 0,B = 0. (kerjakan Latihan 6.3 no. 2) f(x) lim f(x) lim x c g(x) = x c lim g(x) = A B. x c f(x) lim = ± (jika ada). x c g(x) Kasus (iii): A = B = 0. Kasus ini belum didiskusikan sebelumnya. Limit hasil bagi f/g dikatakan tak-tentu (untuk kasus ini disimbolkan dengan 0/0). Bentuk tak-tentu lainnya: /,0,0 0,1, 0,.

36 Teorema-Teorema Pendahuluan (1) Teorema Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Misalkan f dan g terdefinisi pada [a,b], f(a) = g(a) = 0, dan g(x) 0 untuk a < x < b. Jika f dan g mempunyai turunan di a dan jika g (a) 0, maka limit dari f/g di a (dari kanan) ada dan nilainya sama dengan f (a)/g (a). Jadi f(x) lim x a + g(x) = f (a) g (a). Bukti. Karena f(a) = g(a) = 0, maka dapat ditulis f(x) g(x) = f(x) f(a) f(x) f(a) g(x) g(a) = x a g(x) g(a) x a, x (a,b). Dengan menggunakan Teorema Pembagian Limit, kita peroleh f(x) f(a) lim f(x) lim x a + g(x) = x a + x a = f (a) g(x) g(a) g lim (a). x a + x a

37 Teorema-Teorema Pendahuluan (2) Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Contoh: Peringatan x 2 +x lim x 0 sin2x = cos(2 0) = 1 2. Hipotesis f(a) = g(a) = 0 sangat penting di sini. Sebagai contoh, jika f(x) = x +17 dan g(x) = 2x +3 untuk x R, maka f(x) lim x 0 g(x) = 17 3, tetapi f (0) g (0) = 1 2. Untuk menentukan limit dimana f dan g tidak mempunyai turunan di a, kita membutuhkan sebuah teorema yang merupakan versi yang lebih umum dari (diformulasikan oleh Cauchy).

38 Teorema-Teorema Pendahuluan (3) Cauchy Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Misalkan f dan g kontinu pada [a,b], mempunyai turunan pada (a,b), dan g (x) 0 untuk setiap x (a,b). Maka terdapat c (a,b) sedemikian sehingga f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). Bukti. Perhatikan bahwa g(a) g(b) (mengapa?). Untuk x [a, b], definisikan h(x) = f(b) f(a) g(b) g(a) (g(x) g(a)) (f(x) f(a)). Dengan demikian, h kontinu pada [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan h(a) = h(b) = 0. Jadi, menurut Teorema Rolle, terdapat c (a,b) sehingga 0 = h (c) = f(b) f(a) g(b) g(a) g (c) f (c). Karena g (c) 0, maka dengan membagi persamaan di atas dengan g (c), kita peroleh hasil yang diinginkan.

39 I Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Teorema ( I) [untuk kasus limit kanan] Misalkan a < b, f dan g mempunyai turunan pada (a,b) sedemikian sehingga g (x) 0 untuk setiap x (a,b), dan lim x a +f(x) = 0 = lim x a +g(x). f (x) f(x) Jika lim x a + g = L R, maka lim (x) x a + g(x) = L. f (x) f(x) Jika lim x a + g = L {, }, maka lim (x) x a + g(x) = L. Bukti.

40 I (...lanjutan bukti) Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya

41 I (...lanjutan bukti) Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Untuk kasus limit kiri, dikerjakan serupa. Hasil untuk kasus limit dua-pihak dapat diperoleh jika limit kanan dan limit kiri ada dan sama.

42 Contoh Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya sinx L cosx (a) lim = lim x 0 + x x 0 + 1/2 x = lim x 0 +2 x cosx = 0. (b) lim x 0 1 cosx x 2 (c) lim x 0 e x 1 x x 2 L = lim x 0 sinx 2x L = lim x 0 e x 1 2x ln x L 1/x (d) lim = lim x 1 x 1 x 1 1 = 1. L = lim x 0 cosx 2 = 1 2. L = lim x 0 e x 2 = 1 2.

43 Contoh Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya sinx L cosx (a) lim = lim x 0 + x x 0 + 1/2 x = lim x 0 +2 x cosx = 0. (b) lim x 0 1 cosx x 2 L = lim x 0 sinx 2x L = lim x 0 cosx 2 = 1 2. (c) lim x 0 e x 1 x x 2 L = lim x 0 e x 1 2x L = lim x 0 e x 2 = 1 2. (d) lim x 1 ln x x 1 L 1/x = lim x 1 1 = 1.

44 II Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Teorema ( II) [untuk kasus limit kanan] Misalkan a < b, f dan g mempunyai turunan pada (a,b) sedemikian sehingga g (x) 0 untuk setiap x (a,b), lim x a +f(x) = ±, dan lim x a +g(x) = ±. f (x) f(x) Jika lim x a + g = L R, maka lim (x) x a + g(x) = L. f (x) f(x) Jika lim x a + g = L {, }, maka lim (x) x a + g(x) = L. Bukti. (silakan dipelajari buktinya di buku!)

45 Contoh Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya ln x L 1/x (a) lim = lim x x x 1 = 0. x 2 L 2x L 2 (b) lim = lim = lim x e x x e x x e x = 0. ln(sinx) L cosx/sinx (c) lim = lim x 0 + ln x x 0 + 1/x [ x ] = lim x 0 + sinx cosx = 1. x sinx (d) lim x x +sinx = lim 1 sinx x x 1+ sinx x = = 1.

46 Contoh Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya ln x (a) lim x x L 1/x = lim x 1 = 0. x 2 L 2x L 2 (b) lim = lim = lim x e x x e x x e x = 0. (c) lim x 0 + ln(sinx) ln x L = lim x 0 + cosx/sinx 1/x [ x ] = lim x 0 + sinx cosx = 1. x sinx (d) lim x x +sinx = lim 1 sinx x x 1+ sinx x = = 1.

47 Bentuk Tak-Tentu Lainnya (1) Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Bentuk tak-tentu seperti 0,0 0,1, 0, dapat direduksi ke bentuk tak-tentu sebelumnya (0/0 atau / ) dengan manipulasi aljabar dan penggunaan fungsi logaritma dan eksponensial. Contoh: Hitunglah limit berikut. ( 1 (a) lim x 0 + x 1 ), (0,π/2), sinx (b) lim x (1+1/x)x, (1, ). (a) Misalkan ingin dihitung lim x 0 + ( 1 x 1 sinx ), x (0,π/2). Perhatikan bahwa limit di atas mempunyai bentuk tak-tentu. Bentuk ini dapat direduksi ke bentuk 0/0 sehingga kemudian dapat digunakan aturan L Hospital I sebagai berikut. ( ) 1 1 sinx x L cosx 1

48 Bentuk Tak-Tentu Lainnya (2) Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya (b) Misalkan ingin dihitung lim x ( 1+ 1 x) x, x (1, ). Limit di atas mempunyai bentuk tak-tentu 1. Perhatikan bahwa ( 1+ 1 ) x = e xln(1+ x) 1. x Lebih lanjut, kita mempunyai ( lim xln 1+ 1 ) = lim x x x L = lim x ln ( 1+ 1 x 1 x ( 1+ 1 x ) ) 1 ( x 2 ) x 2 = lim x Karena y e y kontinu di y = 1, kita simpulkan bahwa lim x ( 1+ 1 x) x = e x = 1.

49 Turunan Tingkat Tinggi Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Jika f : I R mempunyai turunan pada I, kita peroleh fungsi f : I R. Fungsi f disebut turunan pertama dari f. Jika f mempunyai turunan, kita tulis f sebagai turunan dari f. Fungsi f disebut turunan kedua dari f. Dengan cara yang sama, kita peroleh f, f, dst. Demi kemudahan notasi, kita tulis f (n) untuk menyatakan turunan ke-n dari f (biasanya notasi seperti ini digunakan untuk turunan ke-4, ke-5, dst, yaitu untuk n = 4,5,...).

50 Definisi Turunan Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Definisi (Polinom Taylor ke-n) Misalkan fungsi f mempunyai turunan ke-n di titik x 0. Kita definisikan polinom Taylor ke-n untuk f di x 0 sebagai P n (x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. (35) n! Perhatikan bahwa P n (x 0 ) = f(x 0 ) dan P (k) n (x 0 ) = f (k) (x 0 ) untuk k = 1,...,n. Karena itu masuk akal untuk mengaproksimasi f(x) dengan P n (x) untuk x di sekitar x 0. Namun untuk mengukur kualitas dari aproksimasi tersebut, perlu informasi dari sisa R n = f P n. Teorema berikut memberikan informasi demikian.

51 Turunan Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Misalkan n N, I = [a,b], dan f : I R sedemikian sehingga f dan turunannya f,f,...,f (n) kontinu pada I dan f (n+1) ada pada (a,b). Jika x 0 I, maka untuk sebarang x I terdapat titik c di antara x dan x 0 sedemikian sehingga f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + f (n+1) (c) n! (n+1)! (x x 0) n+1. (36) Pers. (36) dapat ditulis sebagai f(x) = P n(x)+r n(x), dimana P n(x) diberikan oleh pers. (35) dan R n(x) adalah sisa yang diberikan oleh R n(x) = f (n+1) (c) (n+1)! (x x0)n+1, (37) untuk suatu c di antara x dan x 0. Formula untuk R n di atas disebut bentuk Lagrange (atau bentuk turunan) dari sisa.

52 (bukti) Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Bukti. Misalkan J menyatakan interval tutup dengan titik-titik ujung x 0 dan x. Kita definisikan fungsi F pada J dengan F(t) = f(x) f(t) (x t)f (t) Perhatikan bahwa F (t) = (x t)n f (n+1) (t). n! (x t)n f (n) (t), t J. n! Sekarang definisikan fungsi G pada J dengan ( ) x t n+1 G(t) = F(t) F(x 0 ), t J. x x 0

53 (lanjutan bukti) Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Dapat diperiksa bahwa G kontinu pada J, mempunyai turunan pada J \{x 0,x}, dan G(x 0 ) = G(x) = 0. Dengan demikian, menurut Teorema Rolle, terdapat c di antara x 0 dan x sedemikian sehingga 0 = G (c) = F (x c) n (c)+(n+1) (x x 0 ) n+1f(x 0). Dari sini kita peroleh F(x 0 ) = f (n+1) (c) (n+1)! (x x 0) (n+1), yang sesuai dengan hasil yang diinginkan.

54 Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Estimasi error dalam mengaproksimasi sebuah fungsi (1) Suku sisa R n pada dapat digunakan untuk mengestimasi error dalam mengaproksimasi sebuah fungsi dengan polinom Taylornya P n. Ada dua skenario yang akan muncul: (i) Jika nilai n ditetapkan, maka ketelitian aproksimasi tersebut dapat ditentukan, atau (ii) Jika ketelitian aproksimasi ditetapkan, maka nilai n dapat ditentukan. Contoh berikut akan mengilustrasikan skenario (i) [silakan lihat contoh untuk skenario (ii) di buku]. Contoh: Gunakan dengan n = 2 untuk mengaproksimasi 3 1+x,x > 1.

55 Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Estimasi error dalam mengaproksimasi sebuah fungsi (2) Jawab. Kita ambil fungsi f(x) = (1+x) 1/3, titik x 0 = 0, dan n = 2. Jadi pers. (36) pada teorema Taylor untuk kasus ini menjadi (periksa!) f(x) = x 1 9 x2 +R 2 (x). dimana R 2 (x) = 5 81 (1+c) 8/3 x 3 untuk suatu titik c di antara 0 dan x. Sebagai contoh, jika x = 0,3, kita peroleh aproksimasi P 2 (0,3) = 1,09 untuk 3 1,3. Lebih jauh, karena dalam kasus ini c > 0, maka (1+c) 8/3 < 1 dan oleh karena itu errornya paling besar adalah R 2 (0,3) < 5 81 ( 3 10 ) 3 = < 0, Jadi, diperoleh 3 1,3 1,09 < 0,5 10 2, yaitu diperoleh ketelitian sampai dua tempat desimal.

56 Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Penurunan Beberapa Bentuk Ketaksamaan Contoh: Tunjukkan bahwa e π > π e. Bukti. Dengan menggunakan teorema Taylor, dapat ditunjukkan bahwa e x > 1+x untuk x > 0 (justifikasi!). Kemudian karena π > e, kita mempunyai x = π/e 1 > 0, sehingga e (π/e) 1 > 1+(π/e 1) = π/e. Hal ini mengakibatkan e (π/e) > (π/e)e = π. Jadi kita peroleh e π > π e.

57 Ilustrasi Turunan Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton

58 Metode Newton (-Raphson) Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Teorema (Metode Newton) Misalkan I = [a,b] dan f : I R dapat diturunkan dua kali pada I. Andaikan f(a)f(b) < 0 dan terdapat konstanta m dan M sehingga f (x) m > 0 dan f (x) M untuk x I dan misalkan K = M/2m. Maka terdapat subinterval I yang memuat akar r dari persamaan f(x) = 0 sedemikian sehingga untuk sebarang x 1 I, barisan (x n ) yang didefinisikan dengan x n+1 = x n f(x n) f (x n ) ada di I dan (x n ) konvergen ke r. Lebih lanjut, untuk setiap n N, (38) x n+1 r K x n r 2 untuk setiap n N. (39) Silakan pelajari buktinya di buku!

59 Contoh Turunan Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Kita akan gunakan metode Newton untuk mengaproksimasi 2. Kita ambil f(x) = x 2 2 untuk x R sehingga untuk mencari nilai 2 dapat dilakukan dengan mencari akar positif dari persamaan f(x) = 0. Karena f (x) = 2x, rumus iterasi adalah x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x2 n 2 2x n = 1 2 (x n + 2xn ). Jika kita pilih x 1 = 1 sebagai tebakan awal, kita peroleh berturut-turut x 2 = 1,5, x 3 = 1, , x 4 = 1, , dan x 5 = 1, , yaitu akurat sampai 11 tempat desimal.

60 Catatan Turunan Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton (a) Misalkan e n = x n r adalah error dalam mengaproksimasi r. Dengan demikian ketaksamaan (39) dapat ditulis menjadi Ke n+1 Ke n 2. Akibatnya, jika Ke n < 10 m, maka Ke n+1 < 10 2m. Jadi jumlah angka signifikan pada Ke n menjadi dua kali lipat. Berdasarkan kenyatan ini, barisan yang dibangkitkan oleh metode Newton dikatakan konvergen secara kuadratik. (b) Jika tebakan awal x 1 yang dipilih buruk, atau fungsi f mempunyai asimtot datar y = 0, barisan (x n ) di pers. (38) bisa jadi tidak konvergen ke r (lihat gambar berikut). (a) x n (b) x n berosilasi antara x 1 dan x 2