Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Transkripsi

1 Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

2 Tentang MA4181 (Pengantar) Proses Stokastik A. Jadwal kuliah: Selasa; 11-; R.9138 Kamis; 9-; R.9224 B. Silabus: Peubah acak dan distribusi Peluang bersyarat dan ekspektasi bersyarat Rantai Markov Distribusi eksponensial dan proses Poisson Topik khusus: Model AR, ARCH, dan INAR C. Buku teks: Sheldon Ross, 2010, Introduction to Probability Models, 10th ed. Karlin dan Taylor, 1998, An Introduction to Stochastic Modelling, 3rd ed. D. Penilaian: Ujian 1,2,3: 30 September 2014 (30%) 28 Oktober 2014 (30%) 2 Desember 2014 (30%) Kuis (10%) MA4181 Pros.Stok. i K. Syuhada, PhD.

3 Daftar Isi 1 Peluang dan Peubah Acak Pendahuluan Ruang Sampel dan Peluang Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Distribusi Diskrit Distribusi Kontinu Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Fungsi Peluang Bersama Ekspektasi Ekspektasi Bersyarat Rantai Markov Ilustrasi Definisi Peluang n-langkah Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi Distribusi Eksponensial Ilustrasi Peubah Acak Eksponensial Jumlah P.A Eksponensial dan Statistik Terurut Aplikasi P.A Eksponensial dalam Antrian ii

4 BAB 1 Peluang dan Peubah Acak Silabus: Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi (cumulative ddistribution function), distribusi diskrit (binomial, Poisson, geometrik), distribusi kontinu (normal, seragam/uniform, eksponensial). Tujuan: 1. Memahami definisi dan menentukan peubah acak (p.a) 2. Menghitung fungsi peluang (f.p) dan fungsi distribusi (f.d); f.p ke f.d; f.d ke f.p 3. Menghitung peluang suatu p.a dari distribusi diskrit atau kontinu 1.1 Pendahuluan Apa Proses Stokastik? Proses? Stokastik? Proses = runtunan perubahan (peristiwa) dl perkembangan sesuatu, rangkaian tindakan, pembuatan, atau pengolahan yg menghasilkan produk (KBBI, 2008) Stokastik = mempunyai unsur peluang atau kebolehjadian (KBBI, 2008) Definisi: Proses stokastik {Y t } adalah koleksi peubah acak dengan t menyatakan indeks waktu 1

5 (Contoh 1) Di perusahaan asuransi digunakan sistem Bonus Malus untuk menentukan besar premi. Setiap pemegang polis berada dalam suatu keadaan (state) dan premi tahunan merupakan fungsi dari keadaan ini. Keadaan pemegang polis berubah dari tahun ke tahun dengan memperhatikan banyak klaim yang telah dilakukan. Pemegang polis biasanya akan menurunkan status keadaan jika dia tidak memiliki klaim pada tahun sebelumnya dan akan menaikkan status keadaan jika memiliki setidaknya satu klaim. Untuk sistem Bonus Malus, misalkan s i (k) menyatakan keadaan pemegang polis berikut dari sebelumnya berada di keadaan i dan telah mengajukan k klaim. Jika banyak klaim yang dibuat adalah peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter θ, maka keadaan pemegang polis akan membentuk Rantai Markov dengan peluang transisi P ij. Berikut adalah contoh Sistem Bonus Malus dengan 4 keadaan: Keadaan apabila... Keadaan 0 klaim 1 klaim 2 klaim 3 klaim (Contoh 2) Dua orang pasien, A dan B, membutuhkan ginjal. Jika dia tidak mendapatkan ginjal baru, maka A akan meninggal setelah suatu waktu yang berdistribusi exponensial dengan parameter µ A. Begitu juga dengan B, akan meninggal setelah suatu waktu yang berdistribusi eksponensial dengan parameter µ B. Ginjal akan tersedia menurut proses Poisson dengan parameter λ. Telah ditentukan bahwa ginjal pertama yang datang diberikan ke pasien A (atau ke pasien B jika B masih hidup dan A meninggal saat itu) lalu ke pasien B (jika masih hidup). Berapa peluang B mendapat ginjal baru? (Contoh 3a) Model Autoregressive atau AR orde satu: Y t = α Y t 1 + ε t dimana ε t diasumsikan saling bebas dan berdistribusi identik. Model AR(1) dapat digunakan untuk memodelkan jumlah produksi, harga aset dsb. Perhatikan bahwa memprediksi Y n+1 merupakan salah satu bagian penting dari pemodelan stokastik/deret waktu. Prediksi terbaik untuk Y n+1 adalah E(Y n+1 Y n, α) MA4181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

6 (Contoh 3b) Model Autoregressive Conditional Heteroscedastic atau ARCH dan Model Stochacti Volatility atau SV: dimana atau Y t = σ t + ε t σ t = α 0 + α 1 Y 2 t 1, ln σ t = γ + δ ln σ t 1 + η t, Model ARCH dan/atau SV sangat tepat untuk memodelkan imbal hasil (return) saham. (Contoh 4) Model Integer-Valued Autoregressive atau INAR orde satu: dimana Y t = α Y t 1 + ε t, α Y t 1 = W W Yt 1, dengan W i Bin(1, α), dan ε t P OI(λ). Model INAR(1) menggambarkan bahwa banyaknya pasien yang berada di IGD pada waktu t merupakan jumlah dari banyaknya pasien yang bertahan hidup dengan peluang α ditambah banyaknya pasien yang datang pada waktu (t 1, t] 1.2 Ruang Sampel dan Peluang Ilustrasi 1. Seorang agen asuransi menawarkan asuransi kesehatan kepada calon nasabah. Nasabah dapat memilih tepat 2 jenis asuransi dari pilihan A, B, C atau tidak memilih sama sekali. Proporsi nasabah memilih jenis asuransi A, B dan C, berturut-turut, adalah 1/4, 1/3 dan 5/12. Hitung peluang seorang nasabah memilih untuk tidak memilih jenis asuransi. 2. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70% pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20% mengasuransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15% mengasuransikan sports car. Hitung peluang bahwa MA4181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

7 seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car. Ruang sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer. Peluang Peluang kejadian A adalah P (A) = lim n n(a) n Misalkan S adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah P (A) = n(a) n(s) Peluang atau ukuran peluang P pada lap-σ A adalah suatu pemetaan dari A terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut: 1. 0 P (A) 1, untuk setiap A A 2. P (S) = 1 3. Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asing A 1, A 2,..., ( P i=1 A i ) = P (A i ) i=1 Teorema 1. P (A c ) = 1 P (A) 2. Jika A B maka P (A) P (B) 3. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) MA4181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

8 1.3 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Ilustrasi 1. Maskapai penerbangan Serigala Air mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? 2. Misalkan X peubah acak berdistribusi Poisson dengan mean λ. Parameter λ berdistribusi eksponensial dengan mean 1. Tunjukkan bahwa P (X = n) = (1/2) n+1 Peubah Acak Peubah acak tidaklah acak dan bukanlah peubah Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota S ke bilangan real R Peubah Acak Diskrit Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {a i, i = 1, 2,... } sedemikian hingga P ( {X = a i } ) = P (X = a i ) = 1 i i Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. F X disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dari bilangan real dan barisan {p i, i = 1, 2,... } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga p i = 1 dan i F X (x) = a i x p i MA4181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

9 Jika diberikan himpunan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dan bilangan positif {p i, i = 1, 2,... } sdh i p i = 1, fungsi peluang p X (x) adalah p X (x) = p i = P (X = a i ), dengan x = a i Fungsi distribusi (kumulatif): Sifat-sifat: F (x) = P (X x) (a) F fungsi tidak turun (b) lim x F (x) = 1 (c) lim x F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan Catatan: P (a < X b) = F (b) F (a) P (X b) P (X < b) P (X < b) = P ( { 1 }) lim X b n n = lim P ( X b 1 ) n n = lim F ( b 1 ) n n Peubah Acak Kontinu Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya F X dapat diturunkan. Fungsi peluang f X adalah turunan dari fungsi distribusi, f X (x) = d dx F X(x) atau dengan kata lain F X (x) = x f X (t) dt Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak MA4181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

10 kontinu. Catatan: 1 = F X ( ) = P (a X b) = F X (b) F X (a) = P (X = a) = a a f X (t) dt = 0 f X (t) dt b a f X (t) dt Latihan: 1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < 3.1 3/5, 3.1 x < 0 F (x) = 7/10, 0 x < 1 1, 1 x 2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < x, 0 x < F (x) =, 1 x < , 2 x < 3 1, x 3 3. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut: p, x = , x = , x = 20p f(x) = p, x = 3 4p, x = 4 0, yang lain Hitung P ( 1.9 X 3), F (2), F (F (3.1)) 1.4 Distribusi Diskrit (Ilustrasi B-1) Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat dengan kematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi mereka adalah seperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke hari sudahlah merupakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiap orang memiliki peluang untuk dapat MA4181 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

11 bertahan hidup sampai hari esok sebesar α i, dengan i menyatakan orang kei, i = 1, 2,.... Jika jumlah pasien IGD pada suatu hari adalah 5 orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2 orang saja yang masih hidup? (Ilustrasi B-2) Misalkan sebuah mesin dari pesawat akan rusak (saat terbang) dengan peluang 1-p, saling bebas antara mesin satu dan yang lain. Misalkan sebuah pesawat akan melakukan penerbangang sukses jika setidaknya 50% mesin bekerja dengan baik (tidak rusak). Untuk p berapa, sebuah pesawat dengan 4 mesin akan lebih disukai (terbang lebih baik) dibandingkan dengan pesawat dengan 2 mesin? Misalkan X menyatakan banyak mesin baik (tidak rusak). bermesin 4: Untuk pesawat P (X 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 6p 2 (1 p) 2 + 4p 3 (1 p) + p 4 sedangkan untuk pesawat bermesin 2: P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 (1 p) 2 Syarat: * lebih besar dari **. Diperoleh p > 2/3. Distribusi Binomial Misalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan sukses atau gagal dari suatu percobaan. Definisikan X(sukses) = 1 dan X(gagal) = 0 dan p X (1) = P (X = 1) = p p X (0) = P (X = 0) = 1 p dimana 0 p 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakan peubah acak Bernoulli dengan parameter p. Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, p), dimana p X (k) = B(k; n, p) = C n k p k (1 p) n k (Ilustrasi P-1) Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini? Misalkan X menyatakan banyak kecelakaan. P (X = 0) = exp( 3) MA4181 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

12 (Ilustrasi P-2) Misalkan X peubah acak Poisson dengan parameter λ. Tunjukkan bahwa P (X = i) naik secara monoton sebelum kemudian turun secara monoton untuk i semakin besar. Distribusi Poisson Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang λ λi p X (i) = e i! untuk i = 0, 1, 2,... dan λ > 0. parameter λ. X disebut peubah acak Poisson dengan (Ilustrasi G-1) Ini kisah masa lalu Nurul yang sempat diceritakan sesaat sebelum Nurul menikah. Katanya Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku. Pertanyaan yang mungkin adalah... Berapa peluang bahwa orang yang dinikahi Nurul tidak memiliki hubungan darah? Jika Nurul tidak ingin menikah dengan saudara sedarah, berapa peluang bahwa Nurul akhirnya menikahi orang yang bukan saudara sedarah? (Ilustrasi G-2) Tiga remaja makan disuatu restoran. Untuk menentukan siapa yang akan membayar, mereka sepakat untuk mengundi dengan melantunkan koin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain wajib membayar makanan yang telah dipesan. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan (i) P (X = 3) (ii) P (X > 4) Peluang sukses (ada yang lantunannya berbeda alias ada yang bayar) adalah 3/4. Dengan demikian X Geo(3/4). P (X = 3) = (1/4) 2 (3/4) = 3/64 P (X > 4) = 1 P (X 4) = 1/256 Distribusi Geometrik Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses p. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk MA4181 Pros.Stok. 9 K. Syuhada, PhD.

13 mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter p. Fungsi peluangnya adalah p(n) = P (X = n) = (1 p) n 1 p, untuk n = 1, 2,... dan p > Distribusi Kontinu (silakan belajar sendiri) MA4181 Pros.Stok. 10 K. Syuhada, PhD.

14 BAB 2 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Silabus: Fungsi peluang bersama, fungsi peluang marginal, peluang bersyarat, ekspektasi, ekspektasi bersyarat, kovariansi, korelasi. Tujuan: 1. Menentukan fungsi peluang bersama dan fungsi peluang marginal 2. Menghitung peluang bersyarat dan menghitung ekspektasi bersyarat 3. Memahami dan menghitung ekspektasi melalui ekspektasi bersyarat 4. Memahami konsep kovariansi dan korelasi 2.1 Fungsi Peluang Bersama Ilustrasi. Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter kecelakaan. Banyaknya kecelakaan pada seseorang setiap tahun berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Perusahaan juga menduga bahwa pemegang polis baru akan memiliki parameter kecelakaan yang nilainya adalah peubah acak gamma dengan parameter s dan α. Jika seorang pemegang polis baru mengalami n kecelakan di tahun pertama, kita dapat menentukan peluang bersyarat (yang artinya juga menentukan peluang bersama) dari parameter kecelakaannya. Selain itu, kita juga dapat menentukan banyak kecelakaan (yang diharapkan) pada tahun berikutnya. Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah p X,Y (x, y) = P (X = x, Y = y) 1

15 Catatan: 1. Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti dua peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama 2. {X = x, Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y bernilai y Fungsi peluang bersama p X,Y memenuhi sifat-sifat berikut: 1. p X,Y (x, y) 0, (x, y) 2. (x, y) R 2 : p X,Y (x, y) 0 terhitung 3. x,y p X,Y (x, y) = 1 Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Maka, p X (x) = y p X,Y (x, y), x R dan p Y (y) = x p X,Y (x, y), y R adalah fungsi peluang marginal dari X dan fungsi peluang marginal dari Y. Latihan: 1. Diberikan data ttg jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumah yang akan dijual sbb (X kamar tidur, Y kamar mandi): X\Y Total Total a. Hitung p X,Y (3, 2) b. Tentukan fungsi peluang bersama dari X dan Y 2. Misalkan kita punyai 2 komponen elektronik yang identik. Misalkan juga X dan Y adalah waktu hidup (jam, diskrit). Asumsikan fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah p X,Y (x, y) = p 2 (1 p) x+y 2, x, y N dimana 0 < p < 1. Tentukan dan identifikasikan fungsi peluang marginal dari X dan Y. MA4181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

16 3. Pandang keadaan pada soal 2. Tentukan peluang bahwa (a) kedua komponen elektronik tsb bertahan lebih dari 4 jam? (b) salah satu komponen bertahan setidaknya 2 kali dari komponen yang lain? Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersama dari X dan Y, F X,Y adalah F X,Y (x, y) = P (X x, Y y), x, y R Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak terdefinisi di ruang sampel yang sama. Untuk semua bilangan riil a, b, c, d dimana a < b dan c < d, atau P (a < X b, c < Y d) = F X,Y (b, d) F X,Y (b, c) F X,Y (a, d)+f X,Y (a, c) P (a X b, c Y d) = dengan b a d c f X,Y (x, y) dxdy f X,Y (x, y) = 2 x y F X,Y (x, y) = 2 y x F X,Y (x, y). Suatu fungsi peluang bersama f X,Y (x, y) dari peubah acak X dan Y memenuhi 2 sifat berikut 1. f X,Y (x, y) 0 untuk semua (x, y) R 2 2. f X,Y (x, y) dxdy = 1 Latihan: 1. Misalkan X dan Y memiliki fungsi peluang bersama f(x, y) = c (y 2 x 2 ) e y, y x y, 0 < y < a. Tentukan c b. Tentukan fungsi peluang marginal X dan Y c. Hitung P (Y > 2X) d. Apakah X dan Y saling bebas? 2. Pandang 2 komponen elektronik A dan B dengan masa hidup X dan Y. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah f X,Y (x, y) = λ µ exp( λx + µy), x, y > 0 MA4181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

17 dimana λ > 0, µ > 0 a. Tentukan peluang bahwa kedua komponen berfungsi pada saat t b. Tentukan peluang bahwa komponen A adalah komponen yang pertama kali rusak c. Tentukan peluang bahwa komponen B adalah komponen yang pertama kali rusak 3. Ketika kebakaran terjadi dan dilaporkan ke perusahaan asuransi, perusahaan asuransi tersebut segera membuat perkiraan awal X yaitu besar nilai klaim yang akan diberikan. Setelah klaim dihitung secara lengkap, perusahaan harus melunasi pembayaran klaim sebesar Y. Perusahaan menentukan bahwa X dan Y memiliki fungsi peluang bersama f X,Y (x, y) = 2 x 2 (x 1) y (2x 1)/(x 1), x > 1, y > 1 a. Tentukan f X (x) b. Jika besar klaim awal yang diberikan adalah 2, tentukan peluang bahwa klaim yang diterima berikutnya adalah antara 1 dan 3. Fungsi Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Jika p X (x) > 0 maka fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x (notasi: p Y X (y x)), adalah p Y X (y x) = p X,Y (x, y), y R p X (x) Jika p X (x) = 0, kita definiskan p Y X (y x) = 0 namun tidak dikatakan sebagai fungsi peluang bersyarat. Catatan: Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang! Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Kedua peubah acak ini dikatakan saling bebas (independen) jika dan hanya jika p X,Y (x, y) = p X (x) p Y (y) x, y R Latihan: 1. Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter kecelakaan. Banyaknya kecelakaan pada seseorang setiap tahun berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Perusahaan juga menduga bahwa pemegang polis baru akan memiliki parameter kecelakaan yang nilainya adalah peubah acak gamma dengan MA4181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

18 parameter s dan α. Jika seorang pemegang polis baru mengalami n kecelakan di tahun pertama, tentukan peluang bersyarat dari parameter kecelakaannya. Tentukan banyak kecelakaan (yang diharapkan) pada tahun berikutnya. 2. Banyaknya orang Z yang datang ke ruang UGD selama sejam memiliki distribusi Poisson dengan parameter λ. Peluang orang yang datang adalah laki-laki adalah p dan peluang perempuan datang adalah q. Misalkan X dan Y berturut-turut adalah banyaknya laki-laki dan perempuan yang datang ke UGD selama sejam. a. Tunjukan bahwa X P OI(pλ) dan Y P OI(qλ) b. Apakah X dan Y saling bebas? 2.2 Ekspektasi Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah E(X) = x x p X (x) dan E(X) = x f X (x) dx dimana p X dan f X adalah fungsi peluang dari X. Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi = mean = momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!) Sifat-sifat ekspektasi: 1. E(g(X)) = g(x) f X(x) dx 2. E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y ) 3. E(XY ) = E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas. 4. E(X) = 0 P (X > x) dx, untuk X > 0 (*) MA4181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

19 5. E(X r ) = xr f X (x) dx (momen ke-r) 6. E((X µ X ) r ) = (x µ X) r f X (x) dx (momen pusat ke-r) 7. E((X µ X ) 2 ) = V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X. 8. E(e tx ) = etx f X (x) dx = M X (t) (fungsi pembangkit momen) 9. M X (0) = E(X), M X (0) = E(X2 ) Latihan: 1. Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorang pemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilih acak: y p(y) Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemain sepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilih acak. Berapa nilai harapan banyak pertandingan dimana pemain menciptakan 3 atau lebih gol? 2. Misalkan X peubah acak dengan M X (t) sebagai fungsi pembangkit momen. Didefinisikan f(t) = ln M X (t). Tunjukkan bahwa f (0) = V ar(x) 3. Diketahui: f(x) = 1 Γ(r) (λ x)r 1 λ exp( λ x) Tentukan E(X k ), k = 2, 3 4. Misalkan X peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter θ. Tunjukkan bahwa: E ( X n) = θ E ( (X + 1) n 1) MA4181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

20 5. Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x) = 0, x < 2 0.2, 2 x < 0 0.5, 0 x < , 2.2. x < q, 3 x < q, 4 x < 5.5 1, x 5.5 dan diketahui P (X > 3.3) = a. Tentukan fungsi pembangkit momen dari X atau M X (t) b. Gunakan M X (t) untuk menentukan E(X). 2.3 Ekspektasi Bersyarat Ilustrasi 1. Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu di suatu pabrik adalah empat. Misalkan banyaknya buruh yang terluka/cedera setiap kecelakaan adalah peubah acak yang saling bebas dengan mean dua. Asumsikan bahwa banyaknya buruh yang terluka di setiap kecelakaan saling bebas dengan banyaknya kecelakaan yang terjadi. Berapa banyak orang terluka rata-rata per minggu? Ilustrasi 2. Seorang narapidana terjebak dalam suatu sel penjara yang memiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan dan kembali ke sel dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowongan yang kembali ke sel dalam tempo masing-masing empat dan satu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat? Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Jika f X (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, E(Y X = x) = y f X,Y (x, y) f X (x) dy = y f Y X (y x) dy MA4181 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

21 Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka atau E(Y ) = E(Y X = x) f X (x) dx E(Y ) = E(E(Y X = x)) Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Jika f X (x) > 0 maka variansi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah variansi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, ( (Y ) ) 2 X V ar(y X = x) = E E(Y X = x) = x Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Misalkan variansi dari Y hingga. Maka V ar(y ) = E(V ar(y X = x)) + V ar(e(y X)) Latihan: 1. Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f(x, y) = e x(y+1), 0 x, 0 y e 1 a. Tentukan f Y (y) b. Hitung P (X > 1 Y = 1 2 ) c. Hitung E(X Y = 1 2 ) 2. K meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acak berdistribusi Seragam pada selang (20, 20 + (2t)/3). Misalkan Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah? 3. Jika X i Bin(n i, p), tentukan E(X 1 + X 2 X 1 ) 4. Jika X dan Y peubah acak-peubah acak Poisson saling bebas dengan parameter λ x dan λ y, tentukan E(X X + Y = n). Bagaimana jika X dan Y berdistribusi Geometrik identik dengan parameter p? MA4181 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

22 Kita ketahui bahwa jika X dan Y saling bebas maka Akibatnya, f X,Y (x, y) = f X (x) g Y (y), E(XY ) = E(X) E(Y ) Konsekuensi ini juga berlaku untuk setiap fungsi g dan h, E ( g(x)h(y ) ) = E ( g(x) ) E ( h(y ) ) Kovariansi antara peubah acak X dan Y, dinotasikan Cov(X, Y ), adalah ( (X ) ( ) ) Cov(X, Y ) = E E(X) Y E(Y ) Catatan: Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X, Y ) = 0 (implikasi). Sifat-sifat kovariansi Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) Cov(X, X) = V ar(x) Cov(a X, Y ) = a Cov(X, Y ) ( n Cov i=1 X i, ) m j=1 Y j = n m i=1 j=1 Cov(X i, Y j ) Perhatikan bahwa: ( n ) ( n ) n V ar X i = Cov X i, X j i=1 i=1 j=1 n n = Cov(X i, X j ) = i=1 i=1 j=1 n V ar(x i ) + Cov(X i, X j ) i j Korelasi antara peubah acak X dan Y, dinotasikan ρ(x, Y ), didefinisikan sebagai ρ(x, Y ) = Cov(X, Y V ar(x) V ar(y ), MA4181 Pros.Stok. 9 K. Syuhada, PhD.

23 asalkan V ar(x) dan V ar(y ) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa 1 ρ(x, Y ) 1 Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y. Nilai ρ(x, Y ) yang dekat dengan +1 atau 1 menunjukkan derajat kelinieran yang tinggi. Nilai positif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membesar apabila X membesar. Jika ρ(x, Y ) = 0 maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi. Latihan: 1. Tunjukkan bahwa Cov(X, E(Y X)) = Cov(X, Y ) 2. Misalkan X peubah acak normal standar dan I (bebas dari X) sdh P (I = 1) = P (I = 0) = 1/2. Didefinisikan Y = X, jika I = 1; Y = X, jika I = 0 Tunjukkan bahwa Cov(X, Y ) = 0 MA4181 Pros.Stok. 10 K. Syuhada, PhD.

24 BAB 3 Rantai Markov Silabus: Definisi rantai Markov, sifat Markov, peluang transisi n-langkah, persamaan Chapman-Kolmogorov, jenis keadaan, recurrent dan transient, limit peluang transisi (kestasioneran). Tujuan: 1. Mempelajari model rantai Markov 2. Menghitung peluang transisi n-langkah 3. Menerapkan persamaan Chapman-Kolmogorov 4. Menentukan keadaan yang dapat diakses dan berkomunikasi 5. Menentukan keadaan-keadaan recurrent dan transient 6. Menghitung peluang transisi untuk jangka panjang 3.1 Ilustrasi (Ilustrasi 1) Perilaku bunuh diri kini kian menjadi-jadi. Hesti (nama sebenarnya) adalah sebuah contoh. Dia pernah melakukan percobaan bunuh diri, namun gagal. Menurut pakar, kalau pada suatu waktu seseorang melakukan percobaan bunuh diri maka besar kemungkinan dia akan melakukannya lagi di masa mendatang. Jika seseorang belum pernah melakukan percobaan bunuh diri, di masa mendatang orang tersebut akan mungkin melakukan percobaan bunuh diri. Deskripsikan fenomena diatas sebagai model peluang (probability model). 1

25 (Ilustrasi 2) Loyalitas konsumen terhadap suatu merek barang. Wilkie (1994) mendefinisikan brand loyalty as a favorable attitude toward and consistent purchase of a particular brand. Lyong (1998): brand loyalty is a function of a brands relative frequency of purchase in both time-independent and time-dependent situations. Seorang konsumen pembeli merek barang A diharapkan akan terus membeli barang A. Mungkinkah ini terjadi? Apakah model statistika yang dapat dengan tepat (atau mendekati tepat) merinci peluang terjadinya hal ini? Apakah model ini membantu dalam strategi pemasaran suatu barang? (Ilustrasi 3) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas. Tentu saja peluang besok hujan akan lebih besar dibanding peluang besok akan panas. Begitu pula jika hari ini panas. Besok akan lebih mungkin panas dibandingkan hujan. Jika hari Senin hujan, berapa peluang bahwa hari Selasa akan hujan? Berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan? (Ilustrasi 4) Sebagai calon atlet, setiap pagi Swari meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Swari memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Berapa peluang bahwa Swari akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki? 3.2 Definisi Proses stokastik {X n } adalah Rantai Markov: n = 0, 1, 2,... nilai yang mungkin adalah hingga atau terhitung P ( X n+1 = j X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = Pij ( ) distribusi bersyarat X n+1, diberikan keadaan-keadaan lampau (past states) X 0, X 1,..., X n 1 dan keadaan sekarang (present state) X n, hanya bergantung pada keadaan sekarang ( Sifat Markov ) keadaan-keadaan (states): i 0, i 1,..., i n 1, i, j MA4181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

26 P ij peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaan i; P ij 0, i, j 0; P ij = 1, i = 0, 1,... j=0 Matriks peluang transisi P ij adalah P = Perhatikan (*): P 00 P 01 P 02 P 10 P 11 P P i0 P i0 P i0... P ( X n+1 = j X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ( X n+1 = j X n = i ) = P ij, yang disebut sebagai peluang transisi 1-langkah atau one-step transition probability. Peluang bersama P ( X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) dapat dihitung dengan sifat peluang bersyarat berikut. P ( X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ( X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) P ( X n = i X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ( X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) P ( Xn = i X n 1 = i n 1 ) = = p i0 P in 1,i n Latihan: 1. Jika, pada waktu t, Rez mengajukan klaim asuransi, maka Rez akan mengajukan klaim pada waktu t + 1 dengan peluang α; jika Rez tidak mengajukan klaim asuransi saat ini maka di masa depan Rez akan mengajukan klaim asuransi dengan peluang β. Matriks peluang transisinya MA4181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

27 adalah... P = ( 1 β β 1 α α ) dengan keadaan-keadaan: 0 tidak mengajukan klaim 1 mengajukan klaim 2. Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 memiliki matriks peluang transisi: P = dan P (X 0 = 0) = 0.3, P (X 0 = 1) = 0.4, P (X 0 = 2) = 0.3. Hitung P (X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2) 3. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah Tiga item produk A dan tiga item produk B didistribusikan dalam dua buah paket/kotak sedemikian hinga setiap paket terdiri atas tiga item produk. Dikatakan bahwa sistem berada dalam keadaan i, i = 0, 1, 2, 3 jika dalam paket pertama terdapat i produk A. Setiap saat (langkah), kita pindahkan satu item produk dari setiap paket dan meletakkan item produk tersebut dari paket 1 ke paket 2 dan sebaliknya. Misalkan X n menggambarkan keadaan dari sistem setelah langkah ke-n. Matriks peluang transisinya adalah Menurut Kemeny, Snell dan Thompson, Tanah Australia diberkahi dengan banyak hal kecuali cuaca yang baik. Mereka tidak pernah memiliki dua hari bercuaca baik secara berturut-turut. Jika mereka mendapatkan hari bercuaca baik maka esok hari akan bersalju atau hujan dengan peluang sama. Jika hari ini mereka mengalami salju atau hujan maka besok akan bercuaca sama dengan peluang separuhnya. Jika terdapat perubahan cuaca dari salju atau hujan, hanya separuh dari waktu besok MA4181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

28 akan menjadi hari bercuaca baik. Tentukan matriks peluang transisi dari Rantai Markov yang dibentuk dari keadaan-keadaan diatas. 6. Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 memiliki matriks peluang transisi: P = Hitung dan P (X 2 = 1, X 3 = 1 X 1 = 0) P (X 1 = 1, X 2 = 1 X 0 = 0) 7. Sebagai calon atlet, setiap pagi Swari meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki. Ketika pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Swari memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Bentuklah suatu Rantai Markov dari proses diatas. 3.3 Peluang n-langkah Persamaan Chapman-Kolmogorov Misalkan Pij n menyatakan peluang transisi n-langkah suatu proses di keadaan i akan berada di keadaan j, P n ij = P (Y k+n = j Y k = i), n 0, i, j 0. Persamaan Chapman-Kolmogorov adalah alat untuk menghitung peluang transisi n + m-langkah: P n+m ij = k=0 P n ikp m kj, (Buktikan!) untuk semua n, m 0 dan semua i, j. Pik np kj m menyatakan peluang suatu proses dalam keadaan i akan berada di keadaan j dalam n+m transisi, melalui keadaan k dalam n transisi/langkah. MA4181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

29 Latihan: 1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α = 0.7; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β = 0.4. Matriks peluang transisi 4 langkah adalah Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah sbb: P = Jika hari Senin dan Selasa hujan, berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan? Peluang Transisi Tak Bersyarat Misalkan α i = P (X 0 = i), i 0, dimana i=0 α i = 1. Peluang tak bersyarat dapat dihitung dengan mensyaratkan pada keadaan awal, P (X n = j) = P (X n = j X 0 = i) P (X 0 = i) = i=0 i=0 P n ij α i Latihan: 1. Pandang soal yang lalu dengan matriks peluang transisi: P = ( ) Jika diketahui α 0 = P (X 0 = 0) = 0.4 dan α 1 = P (X 0 = 1) = 0.6, maka peluang (tak bersyarat) bahwa hari akan hujan 4 hari lagi adalah... P (X 4 = 0) = 0.4 P P 4 10 = (0.4)(0.5749) + (0.6)(0.5668) = 0.57 MA4181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

30 2. Seorang pensiunan H menerima 2 (juta rupiah) setiap awal bulan. Banyaknya uang yang diperlukan H untuk dibelanjakan selama sebulan saling bebas dengan banyaknya uang yang dia punya dan sama dengan i dengan peluang P i, i = 1, 2, 3, 4, 4 i=1 P i = 1. Jika H memiliki uang lebih dari 3 di akhir bulan, dia akan memberikan sejumlah uang lebih dari 3 itu kepada orang lain. Jika setelah dia menerima uang diawal bulan H memiliki uang 5, berapa peluang uangnya akan 1 atau kurang setiap saat selama 4 bulan berikut? Keadaan: 1 jumlah uang sebanyak 1 yang H punya di akhir bulan 2 jumlah uang sebanyak 2 yang H punya di akhir bulan 3 jumlah uang sebanyak 3 yang H punya di akhir bulan Matriks peluang transisi P = P 2 + P 3 + P 4 P 1 0 P 3 + P 4 P 2 P 1 P 4 P 3 P 1 + P 2 Misalkan P i = 1/4, i = 1, 2, 3, 4. Maka matriks peluang transisinya adalah P = 3/4 1/4 0 1/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2 Peluang uangnya akan 1 atau kurang setiap saat selama 4 bulan berikut adalah P 4 31 = 201/ Jenis Keadaan Keadaan j dikatakan dapat diakses (accessible) dari keadaan i jika P n ij > 0 untuk suatu n 0. Akibatnya, keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika dan hanya jika dimulai dari keadaan i proses akan masuk ke keadaan j. Jika keadaan j tidak dapat diakses dari keadaan i maka peluang masuk ke keadaan j dari keadaan i adalah nol. Catatan: Dua keadaan i dan j yang saling akses satu sama lain dikatakan berkomunikasi (communicate). Notasi: i j. MA4181 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

31 Sifat-sifat: 1. Keadaan i berkomunikasi dengan keadaan i untuk semua i 0 2. Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j maka keadaan j berkomunikasi dengan keadaan i 3. Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j dan keadaan j berkomunikasi dengan keadaan k maka keadaan i berkomunikasi dengan keadaan k Dua keadaan yang berkomunikasi dikatakan berada dalam kelas (class) yang sama. Setiap dua kelas dari keadaan-keadaan dapat identik (identical) atau saling asing (disjoint). Rantai Markov dikatakan tidak dapat direduksi (irreducible) jika hanya terdapat sebuah kelas dan semua keadaan berkomunikasi satu sama lain. Latihan: 1. Tentukan kelas keadaan dari rantai Markov dengan peluang transisi berikut: (i) P = (ii) P = (iii) P = /9 4/9 4/ /9 4/9 1/ /2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2 2. Diketahui matrik peluang transisi: P = MA4181 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

32 Apakah rantai Markov dengan peluang transisi diatas tidak dapat direduksi (irreducible)? 3. Apakah yang dapat anda katakan tentang rantai Markov dengan matriks peluang transisi berikut: P = Sifat Keadaan Recurrent dan Transient Untuk setiap keadaan i, misalkan f i peluang bahwa dimulai dari keadaan i proses akan pernah kembali ke keadaan i. Keadaan i dikatakan recurrent jika f i = 1. Dikatakan transient jika f i < 1. Jika keadaan i recurrent maka proses akan terus kembali ke keadaan i dengan peluang satu. Dengan definisi rantai Markov, proses akan dimulai lagi ketika kembali ke keadaan i, dan seterusnya, sehingga keadaan i akan dikunjungi lagi. Jika keadaan i recurrent maka dimulai dari keadaan i maka proses akan kembali ke keadaan i terus dan terus sebanyak tak hingga kali. Misalkan keadaan i transient. Setiap kali proses kembali ke keadaan i, terdapat kemungkinan (peluang yang positif) sebesar 1 f i bahwa proses tidak pernah kembali ke keadaan i. Dengan demikian, dimulai dari keadaan i, peluang bahwa proses berada di i sebanyak tepat n periode/kali adalah f n 1 i (1 f i ), n 1. Jika keadaan i transient maka, dimulai dari keadaan i, banyak periode/kali bahwa proses akan berada di keadaan i adalah peubah acak geometrik dengan parameter 1 f i. Keadaan i recurrent jika dan hanya jika, dimulai dari keadaan i, maka banyak periode/kali yang diharapkan (expected number of time periods) bahwa proses akan berada di keadaan i adalah tak hingga MA4181 Pros.Stok. 9 K. Syuhada, PhD.

33 Misalkan { 1, Yn = i; I n = 0, Y n i. Misalkan n=0 I n menyatkan banyak periode/kali bahwa proses berada dalam keadaan i, dan ( ) E I n Y 0 = i = E(I n Y 0 = i) n=0 = = n=0 P (Y n = i Y 0 = i) n=0 n=0 P n ii Proposisi Keadaan i adalah recurrent jika n=0 P n ii = ; transient jika n=0 P n ii < Catatan: Pada rantai Markov dengan keadaan hingga, tidak semua keadaan bersifat transient (Mengapa?) Jika keadaan i recurrent dan keadaan i berkomunikasi (communicate) dengan keadaan j maka keadaan j recurrent (Bagaimana jika keadaan i transient?) Semua keadaan pada rantai Markov (hingga) yang tidak dapat direduksi adalah recurrent (PENTING!) Latihan: 1. Misalkan rantai Markov dengan keadaan 0,1,2,3 memiliki matriks peluang transisi: P = MA4181 Pros.Stok. 10 K. Syuhada, PhD.

34 Tentukan keadaan mana yang recurrent dan keadaan mana yang transient! 2. Bagaimana dengan rantai Markov dengan matriks peluang transisi: P = ? 3. Misalkan rantai Markov dengan keadaan 0,1,2,3 memiliki matriks peluang transisi: P = Tentukan keadaan mana yang recurrent dan keadaan mana yang transient! 4. Model penyebaran penyakit memiliki matriks peluang transisi sebagai berikut: P = Tentukan sifat keadaan dari rantai Markov diatas. 3.5 Limit Peluang Transisi Misalkan matriks peluang transisi pada rantai Markov dengan dua keadaan adalah ( ) P =, dan matriks peluang transisi 4 dan 8 langkahnya: MA4181 Pros.Stok. 11 K. Syuhada, PhD.

35 ( ) P 4 =, ( ) P 8 =, dst. Matriks P 8 hampir identik dengan P 4 (benar-benar identik dengan P 10 ). Selain itu, setiap baris dari P 8 memiliki unsur yang identik. Nampaknya, Pij n konvergen ke suatu nilai, untuk n, yang sama untuk semua i. Dengan kata lain, terdapat limit peluang (limiting probability) bahwa proses akan berada di keadaan j setelah sekian/banyak langkah/transisi. Nilai limit ini saling bebas dengan nilai pada keadaan awal. Perhatikan 2 sifat keadaan berikut: Keadaan i dikatakan memiliki periode d jika Pii n = 0 untuk n yang tidak dapat dibagi oleh d (d suatu integer). Contoh, suatu proses dimulai dari keadaan i akan kembali ke i pada waktu 2, 4, 6, 8,..., maka keadaan i memiliki periode 2. Suatu keadaan yang memiliki periode 1 disebut aperiodik. Jika keadaan i memiliki periode d dan keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j maka keadaan j juga memiliki periode d. Jika keadaan i recurrent, maka keadaan tersebut akan dikatakan positive recurrent jika, dimulai dari keadaan i, waktu harapan hingga proses kembali ke i adalah hingga. Pada rantai Markove yang memiliki keadaan hingga, semua keadaan yang recurrent adalah positive recurrent. Suatu keadaan yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik. Teorema Untuk rantai Markov yang ergodik dan tidak dapat direduksi, lim P ij n n ada dan saling bebas dari i. Misalkan π j = lim n P n ij, j 0, maka π j adalah solusi nonnegatif tunggal dari π j = i=0 π i P n ij, j 0, dengan j=0 π j = 1. MA4181 Pros.Stok. 12 K. Syuhada, PhD.

36 Catatan: Perhatikan bahwa P (X n+1 = j) = P (X n+1 = j X n = i) P (X n = i) = i=0 P ij P (X n = i) i=0 Limit peluang π j adalah peluang jangka panjang (long-run proportion of time) bahwa suatu proses akan berada di keadaan j Jika rantai Markov tidak dapat direduksi, maka terdapat solusi untuk π j = i π i P ij, j 0, dengan j π j = 1, JIKA dan HANYA JIKA rantai Markov bersifat positive recurrent. Jika solusinya ada maka solusi tersebut tunggal dan π j adalah proporsi jangka panjang bahwa rantai Markov berada dalam keadaan j. Jika rantai Markov aperiodik maka π j adalah limit peluang bahwa rantai akan berada di keadaan j. Latihan: 1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β. Jika 0 adalah keadaan hujan dan 1 adalah keadaan tidak hujan maka peluang hujan dan tidak hujan untuk jangka adalah... Matriks peluang transisi: ( α 1 α P = β 1 β ), dan kita punyai persamaan-persamaan: π 0 = α π 0 + β π 1 π 1 = (1 α) π 0 + (1 β) π 1 π 0 + π 1 = 1 Kita peroleh peluang hujan dan tidak hujan pada jangka panjang: π 0 = β 1 + β α MA4181 Pros.Stok. 13 K. Syuhada, PhD.

37 dan π 1 = 1 α 1 + β α 2. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES maka peluang SUKSES pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang SUKSES adalah 0.5. Hitung peluang percobaan sukses untuk jangka panjang. 3. Pandang pelantunan-pelantunan sebuah koin (dengan peluang muncul MUKA adalah θ) yang saling bebas. Berapa banyak lantunan dibutuhkan yang diharapkan (expected number of tosses needed) agar pola HT HT muncul? (Perhatikan catatan dibawah) Catatan: Peluang jangka panjang π j, j 0, disebut juga peluang stasioner (stationary probability). Jika keadaan awal dipilih berdasarkan peluang π j, j 0, maka peluang akan menjadi keadaan j pada setiap waktu n adalah sama dengan π j. Untuk keadaan j, definisikan m jj yaitu banyak transisi yang diharapkan (expected number of transitions) hingga suatu rantai Markov, dimulai dari keadaan j akan kembali ke keadaan tersebut: π j = 1 m jj MA4181 Pros.Stok. 14 K. Syuhada, PhD.

38 BAB 4 Distribusi Eksponensial Silabus: Distribusi eksponensial, sifat tanpa memory (memoryless property), jumlah p.a eksponensial, statistik terurut eksponensial, antrean. Tujuan: 1. Mempelajari distribusi eksponensial 2. Mempelajari dan menggunakan sifat tanpa memori 3. Memahami dan menggunakan sifat jumlah p.a eksponensial 4. Menghitung statistik terurut eksponensial 5. Mempelajari aplikasi distribusi eksponensial dalam antrean 6. Mengenal proses Poisson 4.1 Ilustrasi Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai analog (kontinu) dari distribusi geometrik. Kita ketahui bahwa distribusi geometrik memodelkan banyaknya percobaan yang dibutuhkan oleh suatu proses diskrit untuk mengubah keadaan. Sedangkan distribusi eksponensial menjelaskan waktu untuk proses kontinu untuk mengubah keadaan (lihat Tabel 4.1). Asumsi laju konstan dalam praktiknya jarang dipenuhi. Misalnya, laju adanya telepon masuk akan berbeda setiap waktu dalam suatu hari. Namun, jika kita perhatikan selang waktu pada saat laju konstan, maka distribusi eksponensial 1

39 Table 4.1: Percobaan Bernoulli vs Proses Poisson. Percobaan Bernoulli Proses Poisson Bnyk sukses Distribusi Binomial Distribusi Poisson Wkt utk sukses I Distribusi Geometrik Distribusi Eksponensial dapat dikatakan model yang cukup baik untuk melihat waktu saat telepon masuk akan terjadi lagi. Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller yang sibuk melayani nasabah. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang K yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabah sebelumnya. Jika waktu melayani dari teler ke-i adalah peubah acak ekspoensial dengan parameter θ i, hitung E(T ), dimana T adalah waktu yang dihabiskan K di Bank. 4.2 Peubah Acak Eksponensial Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f(x) = θ e θx, x 0. Peubah acak tersebut disebut peubah acak eksponensial dan distribusinya disebut distribusi eksponensial. Sifat distribusi dan momennya antara lain: 1. Fungsi distribusi: F (x) = 2. Ekspektasi: E(X) = 3. Fungsi pembangkit momen atau f.p.m: M(t) = Data berdistribusi eksponensial (contoh: Y exp(1/3)) dapat dibangkitkan menggunakan kode berikut: y = exprnd(3,10,1); hist(y) Membangkitkan data dapat pula menggunakan teknik simulasi stokastik yang sederhana yaitu Invers Transformation Method. Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap fungsi distribusi kontinu F, jika kita definisikan peubah acak X sbb: X = F 1 (U) MA4181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

40 maka peubah acak X memiliki fungsi distribusi F. Contoh. Jika F (x) = 1 e x maka F 1 (u) adalah nilai x sedemikian hingga atau 1 e x = u x = log(1 u) Jadi, jika U adalah peubah acah Uniform(0,1) maka F 1 (U) = log(1 U) adalah peubah acak Eksponensial dengan mean 1 (parameter 1). Sifat Tanpa Memori Misalkan X peubah acak. Sifat tanpa memori (memoryless property) pada X adalah sifat dimana peluang X lebih dari s + t dengan syarat/diberikan X lebih dari t sama dengan peluang X lebih dari s, atau P ( X > s + t X > t ) = P ( X > s ) Contoh: Misalkan X menyatakan waktu tunggu seseorang mendapatkan kebahagiaan. Peluang orang tsb menunggu lebih dari 7 tahun setelah dia menunggu lebih dari 5 tahun sama dengan peluang dia menunggu lebih dari 2 tahun. Orang itu tidak lagi mengingat bahwa dia telah menunggu selama 5 tahun. Itu sebabnya dikatakan sifat tanpa memori. Perhatikan: Akibatnya: P ( X > s + t X > t ) = P ( X > s + t, X > t ) P ( X > t ) = P ( X > s + t ) P ( X > t ) = P ( X > s ) P ( X > s + t ) = P ( X > s ) P ( X > t ) MA4181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

41 yang dipenuhi HANYA oleh X berdistribusi Eksponensial dengan parameter θ. Buktinya sbb: Misalkan X Exp(θ), maka P ( X > s + t ) = 1 P ( X < s + t ) = 1 F X (s + t) = 1 ( 1 exp( θ s θ t) ) = exp( θ s θ t) = exp( θ s) exp( θ t) = P ( X > s ) P ( X > t ) Sifat tanpa memori ini tidak dipenuhi oleh distribusi lain. Sebagai contoh, misalkan X U(0, 1), maka P ( X > s + t ) = 1 P ( X < s + t ) = 1 F X (s + t) = 1 (s + t) (1 s)(1 t) = (1 F X (s)) (1 F X (t)) = P ( X > s ) P ( X > t ) Contoh/Latihan: 1. Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrean di Bank derdistribusi eksponensial dengan mean 10. Peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani adalah... Sedangkan peluang seseorang menunggu lebih dari 15 menit setelah dia menunggu lebih dari 10 menit adalah Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller A dan B yang sibuk melayani nasabah Uvi dan Ivi. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang, Ovi, yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabahnya. Diketahui waktu layanan (service time) teler A dan B berturut-turut adalah peubah acak eksponensial dengan parameter θ 1 dan θ 2. Misalkan θ 1 = θ 2 = θ. Berapa peluang bahwa Ovi adalah nasabah terakhir yang akan meninggalkan Bank? 3. Banyaknya uang yang terlibat dalam kecelakaan adalah peubah acak eksponensial dengan mean Banyaknya uang yang dibayar oleh perusahaan asuransi tergantung apakah klaim pemegang polis lebih dari 400. Tentukan nilai harapan dan variansi banyak uang yang dibayar perusahaan asuransi pada setiap kecelakaan. MA4181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

42 Teller A Teller B S A ~ Exp( 1 ) S B ~ Exp( 2 ) Figure 4.1: Antrian di Bank dengan 2 teller 4. Misalkan masa hidup (lifetime) sebuah lampu, sebelum akhirnya mati/terbakar, adalah p.a eksponensial dengan mean 10 (jam). Misalkan Ani memasuki ruangan dan mendapatkan lampu mati/terbakar. Jika Ani ingin bekerja di ruangan itu selama 5 jam, berapa peluang bahwa Ani dapat menyelesaikan pekerjaannya sebelum lampu mati/terbakar/padam? Fungsi Laju Kegagalan Sifat tanpa memori dapat juga diilustrasikan dengan fungsi LG atau laju kegagalan (failure/hazard rate function) dari distribusi eksponensial. Misalkan peubah acak X memiliki fungsi peluang f dan fungsi distribusi F. Fungsi LG didefinisikan r(t) = f(t) 1 F (t), dimana jika sesuatu memiliki waktu hidup X dan telah bertahan selama waktu t maka laju r(t) akan mengukur peluang sesuatu itu tidak dapat bertahan pada waktu tambahan dt. Dengan kata lain P ( X (t, t + dt) X > t ) f(t) dt 1 F (t) atau peluang bersyarat bahwa sesuatu (dengan umur t) akan gagal. MA4181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.