MA2081 Statistika Dasar

Transkripsi

1 Catatan Kuliah MA2081 Statistika Dasar Orang Cerdas Belajar Statistika Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung

2 Tentang MAK6281 Topik Statistika IV Jadwal kuliah: Senin, 13-; Rabu, 9- Silabus: - Statistika deskriptif - Peluang - Peubah acak dan fungsi peluang/distribusi - Distribusi diskrit dan kontinu - Distribusi sampel - Statistika inferensi: selang kepercayaan - Statistika inferensi: uji hipotesis - Analisis variansi - Analisis regresi dan korelasi Buku teks: Ronald Walpole, Raymond Myers, Sharon Myers, Keying Ye, 2007, Probability and Statistics for Engineers and Scienctists. Penilaian: - Ujian 2 kali (75%); UTS - 9 Maret 2015, Pukul Kehadiran/PR/Tugas (15%) - Praktikum (10%) 2

3 Bab 1 - Statistika Deskriptif Silabus: Jenis data, ukuran pusat/lokasi, ukuran penyebaran, koefisien variasi, observasi luar, data kelompok, distribusi frekuensi, grafik Statistika adalah ilmu yang digunakan untuk mengumpulkan, mengorganisasi, melakukan inferensi dan menafsirkan data. Secara singkat, statistika adalah ilmu/pekerjaan untuk meyimpulkan tentang suatu fenomena pada populasi menggunakan sampel. Kajian awal dan utama dalam analisis data adalah statistika deskriptif. Kita dapat menghitung berbagai statistik dan membuat grafik serta memberikan interpretasi. Kesimpulan yang diberikan dalam statistika deskriptif bersifat subyektif; walau demikian, kesimpulan yang salah akan terlihat. Tujuan yang ingin dicapai dalam memahami statistika deskriptif, secara detil, adalah 1. membedakan jenis data dan memahami data 2. menghitung dan memaknai ukuran lokasi/pusat 3. membedakan variansi dan koefisien variasi 4. mengamati observasi luar 5. memahami data kelompok 6. menentukan distribusi frekuensi 7. membuat dan menafsirkan grafik Data, Jenis Data, Memahami Data Data adalah hasil observasi tunggal (datum) yang didapat baik secara langsung (observasi/survey, praktikum) ataupun tidak langsung (buku, koran, internet). Data merupakan sumber utama analisis data. Pengumpulan, pengorganisasian dan pengolahan data merupakan pekerjaan statistika yang menuntut kerapian dan detil. 3

4 Dalam praktiknya, data yang kita kumpulkan dapat dikelompokkan menjadi data kategorik atau data numerik. Hal ini merujuk pada sifat data yang memiliki label (kategorik) atau memiliki nilai (numerik). Data dapat pula dibedakan menjadi jenis data berikut: nominal (jenis kelamin, golongan darah) ordinal (tingkat kecemasan, tingkat nyeri) rasio/interval (denyut nadi, tekanan darah, nilai ujian) Latihan: Perhatikan kalimat-kalimat berikut. Tentukan jenis datanya (nominal, ordinal, rasio/interval). (a) dr. KS, SpD. mengatakan bahwa penyakit Noor sudah kronis, bukan akut (b) Wanda dan Windi berdebat tentang harga mobil yang kiranya layak untuk mobil yang hendak mereka beli (c) Apakah anda lahir pada bulan September? Diskusi: Perhatikan data jarak tempuh (dalam meter) ke sekolah dari beberapa siswa di suatu daerah. Table 1: Data jarak tempuh ke sekolah dari beberapa siswa. Siswa- Jarak Siswa- Jarak Siswa- Jarak Siswa- Jarak Apakah analisis data rasio/interval akan lebih kaya dibandingkan dengan data nominal/ordinal? Apa yang bisa kita katakan tentang data tersebut? Dapatkah data numerik diubah menjadi data kategorik? 4

5 Diskusi: Data peserta ujian di beberapa sekolah di suatu kecamatan tercatat dalam diagram batang dan daun sebagai berikut. Untuk membaca data, kita perhatikan kolom disebelah kiri garis yang menyatakan angka puluhan dan angka-angka disebelah kanan garis yang menyatakan angka satuan. Sebagai contoh, 3 5 berarti jumlah peserta ujian di sekolahg tertentu adalah 35 orang Apakah data dalam bentuk diagram batang dan daun cukup informatif? Dapatkah data numerik tersebut diubah menjadi data kategorik? Ukuran Pusat/Lokasi dan Penyebaran Setelah data dikumpulkan dan diorganisasikan, kita dapat memberikan tafsiran sederhana melalui ukuran atau statistik. Beberapa ukuran yang dikenal antara lain mean dan variansi/deviasi standar yang menyatakan nilai tengah dan simpangan data. Ukuran atau statistik yang melekat pada data dapat dibagi menjadi Ukuran pusat/lokasi: mean (aritmetik), median, modus Ukuran penyebaran: jangkauan, variansi/deviasi standar, kuartil Misalkan data sampel adalah x 1, x 2,..., x n, dimana x i menyatakan titik sampel ke-i. Mean (aritmetik) didefinisikan sebagai x = n x i i=1 n. 5

6 Sifat-sifat mean (a) Untuk suatu konstanta k, n k x i = i=1 (b) Jika y i = x i + k maka ȳ = x + k. Buktikan! (c) Jika y i = k x i maka ȳ =. Median atau median sampel seringkali dikatakan sebagai nilai tengah. Dengan demikian, menghitung median haruslah dilakukan pada data yang sudah diurutkan. Definisi median adalah (a) Observasi ke-((n + 1)/2), (n ganjil), atau (b) Nilai tengah dari observasi ke-(n/2) dan ke-((n/2) + 1), (n genap) Diskusi: Bagaimana (perbandingan) nilai mean dan median untuk data yang (i) simetrik, (ii) menceng ke kanan, (iii) menceng ke kiri? Modus atau Mode adalah ukuran pusat yang menyatakan nilai observasi yang paling sering muncul. Menentukan modus dapat dilakukan pada data tanpa diurutkan (meskipun lebih mudah apabila diurutkan lebih dahulu). Latihan: 1. Tentukan ukuran lokasi/pusat dari contoh data diatas 2. Diketahui suatu data tentang jumlah saudara (kandung, angkat, tiri) dari 20 orang siswa sekolah menengah. Apabila setiap titik data ditambah tiga maka nilai mean dan jangkauan menjadi... Ukuran penyebaran menyatakan seberapa jauh data menyebar dari mean. Misalkan kita memiliki dua data sampel. Kedua sampel memiliki mean yang sama, namun mungkin saja memiliki penyebaran data yang berbeda. Beberapa ukuran penyebaran yang dikenal antara lain: 6

7 1. Jangkauan (Range): R = x maks x min 2. Variansi atau variansi sampel: s 2 = n (x i x) 2 i=1 n 1 Catatan: Deviasi standar atau simpangan baku adalah akar kuadrat dari variansi. 3. Kuartil: Umumnya kita kenal kuartil pertama dan ketiga, dinotasikan dengan K 1 dan K 3. Apa yang dapat kita katakan tentang kuartil kedua atau K 2? 4. Kuantil atau persentil:... Sifat-sifat variansi: Diketahui data sampel x 1,..., x n memiliki variansi s 2 x. Jika data sampel (a) y i = x i + k, (b) y i = k x i, untuk suatu konstanta k, maka s 2 y =... Variansi versus Koefisien Variasi: Kita dapat menghitung suatu ukuran yang mengaitkan ukuran penyebaran (deviasi standar) dengan ukuran lokasi (mean), yaitu koefisien variasi (coefficient of variation atau CV): CV = 100% (s/ x) 7

8 yang tidak dipengaruhi unit ukuran yang dipakai. CV bermanfaat untuk membandingkan variabilitas beberapa sampel yang berbeda relatif terhadap nilai mean-nya. Dapat pula kita membanding CV dari beberapa variabel. Latihan: Data pada tabel berikut menyatakan berbagai faktor yang mempengaruhi masalah pada sistem jantung dan peredaran darah anak. Tentukan CV dan berikan interpretasinya. Table 2: Faktor risiko kardiovaskular pada anak. n mean s CV(%) Tinggi (cm) Berat (kg) Tekanan darah (mm Hg) Kolesterol (mg/dl) Mengamati Observasi Luar Observasi luar atau pencilan atau outlier adalah nilai/observasi yang menyimpang dari nilai-nilai/observasi yang lain. Observasi luar dapat ditentukan/dihitung dengan melihat apakah ada nilai/observasi yang LEBIH BESAR dari K (K 3 K 1 ) atau LEBIH KECIL dari K (K 3 K 1 ), dengan K 1 dan K 3 adalah kuartil pertama dan ketiga seperti telah dijelaskan sebelumnya. Dalam praktiknya, observasi luar dapat menyatakan sesuatu yang baik/jelek. Misalnya, seseorang dengan tingkat kecerdasan (IQ) yang sangat tinggi (jauh diatas rata-rata alias observasi luar) adalah baik. Seringkali observasi luar diabaikan dalam 8

9 analisis data meskipun sesungguhnya cara ini tidaklah tepat. Mendeteksi observasi luar adalah sesuatu yang sangat menantang dalam statistika. Diskusi: Sekelompok observasi x 1,..., x n memiliki observasi luar x j untuk suatu j. Dapatkah kita membandingkan mean dengan dan tanpa observasi luar? Mungkinkah terdapat lebih dari satu observasi luar? Data Kelompok Pandang data sampel dengan 275 observasi. Ukuran sampel tersebut terlalu besar sehingga menampilkan data apa adanya menjadi tidak efisien. Dengan demikian, data sampel dapat dikelompokkan. Pengelompokan ini dapat pula terjadi (harus dilakukan) karena tingkat keakuratan data yang diambil tidak dapat diperoleh dengan baik. Pengelompokan data memberikan masalah: Berapa banyak kelompok atau interval kelas (class intervals) yang ingin kita buat? Berapa lebar interval (interval width)? Salah satu formula yang bisa kita pakai adalah Formula Sturges, dimana banyaknya interval kelas adalah k = 1 + (3.322 log 10 n), dimana n adalah besar sampel. Lebar intervalnya: w = R/k, dengan R adalah jangkauan. Untuk contoh data sampel dengan 275 observasi, kita peroleh: k 8, w = (63 18)/8 = Dengan demikian, lebar kelas interval adalah 5 atau 10. Diketahui obervasi terkecil dan terbesar, berturut-turut, adalah 18 dan 63. Jadi, kelas interval yang bisa dibuat 9

10 adalah: Memahami Grafik Tampilan visual (baca: grafik) dari data merupakan salah satu cara untuk memahami dan menginterpretasi data. Grafik bersifat menarik, memudahkan dalam membentuk pola, dan prediktif. Beberapa tampilan visualn untuk data adalah diagram pencar (scatter diagram), diagram bar/batang (bar chart), diagram batang dan daun (stem-and-leaf plot), histogram, box-plot. Diagram pencar merupakan bentuk grafik yang sederhana namun cukup informatif. Diagram ini berupa titik-titik yang menggambarkan nilai observasi. Pola atau kecenderungan data dapat dilihat dengan melihat grafik ini. Diagram batang dan daun memiliki ke-khas-an berupa tampilan nilai utama/pertama (batang) dan nilai satuan/kedua (daun). Diagram ini membantu kita untuk menghitung kuantil/persentil data dengan mudah. 10

11 Bab 2 - Peluang Silabus: Ruang sampel dan kejadian, konsep peluang, peluang bersyarat, Teorema Bayes. Setelah kita mempelajari analisis data secara deskriptif, maka kajian berikutnya adalah melakukan perhitungan secara probabilistik. Hal ini berkaitan dengan konsep distribusi frekuensi relatif yang telah dibahas sebelumnya. Analisis data secara probabilistik memerlukan pemahaman tentang hal-hal yang belum terjadi atau yang bersifat percobaan. Secara khusus, kita akan membangun ruang sampel dan mendefinisikan kejadian. Tujuan yang ingin dicapai dalam mempelajari peluang adalah: 1. Mendefinisikan ruang sampel dan kejadian 2. Menghitung peluang suatu kejadian 3. Mengkaji konsep dan menghitung peluang bersyarat 4. Memanfaatkan Teorema Bayes untuk menghitung peluang bersyarat suatu kejadian Ilustrasi Sebagai pengantar, perhatikan ilustrasi-ilustrasi berikut. Pemahaman peluang memerlukan pengetahuan tentang cara menyusun atau kombinasi/permutasi. Secara khusus, kita dituntut untuk dapat membangun pertanyaan peluang. Ilustrasi-1. Tanti baru saja mengikuti tes mata. Ia masih teringat beberapa huruf yang muncul: A-E-M-R-S. Kini, Tanti mencoba menyusun kata-kata yang mungkin dari huruf-huruf tersebut. Ilustrasi-2. Hanin bermaksud menyumbangkan darahnya di suatu tempat donor. Hanin terlebih dahulu harus dicek golongan darahnya. 11

12 Golongan darah yang mungkin untuk Hanin adalah... Rupanya Hanin tidak sendirian. Ada Hana dan Hanan disana yang memiliki maksud yang sama dengan Hanin. Jika seorang diantara mereka dipilih secara acak menjadi pendonor, berapa peluang orang yang terpilih adalah Hana? Jika, diantara mereka bertiga, Hanan terpilih menjadi pendonor, berapa peluang golongan darah Hanan adalah B? Ilustrasi-3. B dan G pergi berburu dengan cara menembak. Pada waktu yang disepakati, B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan B) mengenai sasaran adalah 0.4. Berapa peluang sebuah tembakan mengenai sasaran? Berapa peluang sasaran tertembak? Ilustrasi-4. Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku Konsep Peluang Ruang sampel, S, adalah himpunan semua hasil mungkin dari suatu percobaan. Kejadian, E, adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian, P (E), adalah rasio dari banyaknya titik kejadian dan ruang sampel, atau P (E) = n(e) n(s), dimana n(e) dan n(s), berturut-turut, adalah banyaknya titik kejadian dan ruang sampel. 12

13 Peluang suatu kejadian haruslah memenuhi aksioma dan sifat-sifat berikut: 1. 0 P (E) 1 2. P ({}) = 0 3. P (S) = 1 4. Untuk kejadian A dan B, P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 5. Jika kejadian A dan B saling asing maka P (A B) = 0 6. Kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika P (A B) = P (A) P (B) Definisi peluang yang lain merujuk pada frekuensi relatif. Misalkan suatu percobaan dengan ruang sampel S diulang-ulang. Misalkan n(e) banyaknya kejadian E yang terjadi selama n pengulangan. Peluang kejadian E adalah P (E) = lim n n(e) n Latihan: 1. Dalam suatu rapat yang terdiri dari 20 orang, setiap orang berjabatan tangan dengan orang lain diakhir rapat. Ada berapa banyak jumlah salaman yang terjadi? 2. Sebuah lift bergerak dari lantai dasar berisi 8 orang (tidak termasuk operator lift) dan orang-orang tersebut akan keluar hingga lift mencapai lantai paling tinggi yaitu lantai 6. Dalam berapa cara sang operator dapat mengenali orangorang yang keluar dari lift jika semuanya nampak mirip bagi sang operator? 13

14 Bagaimana jika 8 orang tersebut terdiri atas 5 pria dan 3 wanita dan sang operator membedakan pria dan wanita? 3. Lima orang siswa meletakkan tasnya masing-masing ketika memasuki perpustakaan. Kemudian, ketika mereka keluar dari perpustakaan mereka mengambil tasnya secara acak tanpa memperhatikan apakah tas yang diambil adalah benar-benar miliknya. Apakah ruang sampel percobaan diatas? 4. Setiap pagi Swarna meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swarna pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah Swarna memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika pulang, Swarna akan masuk lewat pintu atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan pelung sama. Jika dia memiliki 4 pasang sepatu olah raga, akan dihitung berapa peluang Swarna akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki. Pertanyaan awal, tentukan ruang sampelnya! 5. Bapak Kepala Sekolah mengundang guru-guru yang memiliki setidaknya satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran. Seorang guru yang bernama Pak Jaim memiliki dua anak. Kita akan menghitung peluang bahwa kedua anak Pak Jaim adalah laki-laki, diberikan bahwa Pak Jaim diundang ke acara syukuran tersebut. Pertanyaan awal adalah apa ruang sampel percobaan diatas? Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes Ilustrasi-1. Pandang Ilustrasi-3 diatas. Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluang bahwa itu tembakan G? Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, kedua tembakan mengenai sasaran? Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan G mengenai sasaran? 14

15 Ilustrasi-2. Seorang praktikan, Ega, tahu bahwa sebuah lembar kerja praktikum akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat lab yang ada. Misalkan p i adalah peluang bahwa Ega akan menemukan lembar kerja praktikum setelah mengecek kotak surat lab i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat lab i, i = 1, 2, 3. Misalkan Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat. Berapa peluang hal itu akan terjadi? Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? Peluang kejadian A, apabila kejadian B telah terjadi, adalah peluang bersyarat P (A B) yaitu: P (A B) = P (A B, P (B) asalkan P (B) > 0. Jelas bahwa jika kejadian A dan B saling bebas maka P (A B) = P (A). Perhatikan bahwa konsep peluang bersyarat dapat digunakan untuk menghitung peluang total: P (B) = P (B A)P (A) + P (B A c )P (A c ) Latihan: 1. Laila memiliki 2 buah koin; satu koin baik (memiliki sisi M dan B) dan satu koin tidak baik (memiliki dua sisi M). Sebuah koin dipilih secara acak, kemudian dilantunkan. Berapa peluang muncul M? 2. Laila memiliki 2 buah koin; satu koin baik (memiliki sisi M dan B) dan satu koin tidak baik (memiliki dua sisi M). Sebuah koin dipilih secara acak, kemudian dilantunkan. Muncul M. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkan adalah koin baik? 15

16 TEOREMA BAYES: Misalkan {B 1, B 2,..., B n } adalah partisi dari ruang sampel dan misalkan A adalah kejadian yang terobservasi. Peluang kejadian B j diberikan A adalah P (B j A) = P (A B j) P (A) P (A B j ) P (B j ) = n i=1 P (A B i) P (B i ) Latihan: Tes darah di suatu laboratorium akan 95% efektif dalam mendeteksi suatu penyakit tertentu jika penyakit itu ada. Namun demikian, tes tersebut juga memberikan hasil positif yang salah pada 1% orang sehat yang dites. Jika 0.5% dari populasi mengidap penyakit tertentu tersebut, tentukan peluang bahwa seseorang menderita penyakit itu jika hasil tes positif? 16

17 Bab 3 - Peubah Acak dan Fungsi Peluang Silabus: Konsep peubah acak, fungsi peluang, fungsi distribusi, peluang pada nilai peubah acak. Ilustrasi. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? Apa yang dapat anda katakan tentang soal peluang pada ilustrasi diatas? Mungkinkah kita mendefinisikan suatu kejadian? ruang sampel? Perlukah cara lain untuk memahami peluang suatu kejadian? Peubah acak Apa yang dapat kita katakan tentang peubah acak? Peubah acak tidaklah acak dan bukanlah peubah Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota S ke bilangan real R Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {a i, i = 1, 2,... } sedemikian hingga P ( i { X = a i } ) = i ) P (X = a i = 1 Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. Jika diberikan himpunan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dan bilangan positif {p i, i = 1, 2,... } sedemikian hingga i p i = 1, fungsi peluang p X (x) adalah p X (x) = p i = P (X = a i ), dengan x = a i. 17

18 F X disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dari bilangan real dan barisan {p i, i = 1, 2,... } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga p i = 1 dan F X (x) = p i. i a i x Fungsi distribusi (kumulatif), F (x) = P (X x), memiliki sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun (b) lim F (x) = 1 x (c) lim F (x) = 0 x (d) F fungsi kontinu kanan Catatan: P (a < X b) = F (b) F (a) P (X b) P (X < b) P (X < b) = P ( { lim X b 1 n n}) = lim P ( X b 1 ) n n = lim F ( b 1 ) n n Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya F X dapat diturunkan. peluang f X adalah turunan dari fungsi distribusi, Fungsi f X (x) = d x dx F X(x) atau dengan kata lain F X (x) = f X (t) dt. Peubah acak dengan sifat diatas dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Catatan: 1 = F X ( ) = f X(t) dt P (a X b) = F X (b) F X (a) = b a f X(t) dt P (X = a) = a a f X(t) dt = 0 18

19 Latihan: 1. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut: p, x = , x = , x = 20p f(x) = p, x = 3 4p, x = 4 0, x yang lain Hitung P ( 1.9 X 3), F (2), F (F (3.1)) 2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < 3.1 3/5, 3.1 x < 0 F (x) = 7/10, 0 x < 1 1, 1 x 3. Diketahui fungsi peluang dari peubah acak kontinu: f(x) = c e 2x, x > 0, Hitung (i) c, (ii) P (X > 2) 4. Suatu peubah acak X memiliki fungsi peluang f(x) = k (1 x 2 ), untuk 1 < x < 1. Tentukan F X (x). 19

20 Ekspektasi Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah E(X) = x x p X (x) dan E(X) = x f X (x) dx dimana p X dan f X adalah fungsi peluang dari X. Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi = mean = momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!) Contoh: 1. Rombongan mahasiswa sebanyak 120 orang akan berangkat ke Jogja dengan menggunakan 3 bis. Ada 36 mahasiswa di bis 1, 40 mahasiswa di bis 2 dan 44 mahasiswa di bis 3. Ketika bis sampai tujuan, seorang mahasiswa dipilih secara acak. Misalkan X menyatakan banyaknya mahasiswa di bis dimana seseorang tersebut terpilih. Hitung E(X). (Solusi: ) 2. Misalkan X adalah peubah acak dengan nilai yang mungkin 1, 0, 1 dan peluang: p( 1) = 0.2, p(0) = 0.5, p(1) = 0.3 Hitung E(X 2 ). (Solusi: 0.5) 20

21 Sifat-sifat ekspektasi: 1. E(g(X)) = g(x) f X(x) dx 2. E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y ) 3. E(XY ) = E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas. 4. E(X) = 0 P (X > x) dx, untuk X > 0 (*) 5. E(X r ) = xr f X (x) dx (momen ke-r) 6. E((X µ X ) r ) = (x µ X) r f X (x) dx (momen pusat ke-r) 7. E((X µ X ) 2 ) = V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X. 21

22 Bab 4 - Distribusi Diskrit dan Kontinu Silabus: Distribusi peubah acak, distribusi diskrit, distribusi kontinu. Peubah acak merupakan alat yang dapat digunakan untuk mempelajari konsep pada tingkat lanjut. Salah satu karakteristik utama peubah acak adalah memiliki distribusi. Distribusi diskrit adalah fenomena yang digambarkan oleh peubah acak diskrit melalui fungsi peluang/distribusi. Beberapa distribusi diskrit yang dikenal adalah binomial, Poisson dan geometrik. Distribusi uniform, eksponensial dan normal adalah contoh-contoh distribusi kontinu. Distribusi Binomial Misalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan sukses atau gagal dari suatu percobaan. Definisikan X(sukses) = 1 dan X(gagal) = 0 dan p X (1) = P (X = 1) = θ; p X (0) = P (X = 0) = 1 θ, dimana 0 θ 1 adalah peluang diperoleh sukses. peubah acak Bernoulli dengan parameter θ. Peubah acak X dikatakan Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, θ), dinotasikan X B(n, θ). Fungsi peluangnya adalah f(x) = p X (x) = C n x θ x (1 θ) n x Latihan: 1. Misalkan X B(5, 0.2). Hitung: (i) P (0 < X 1) (ii) P (X 1) 2. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu 22

23 untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? 3. Misalkan X peubah acak Binomial yang menyatakan banyak orang yang datang ke toko dan membeli barang. Diketahui nilai parameter sukses adalah 0.6. Jika 10 orang masuk toko, berapa peluang terjadinya maksimal sebuah sukses? 4. Tentukan mean dan variansi peubah acak Binomial dengan parameter (n, θ) 5. Suatu hasil produksi (misalkan sebuah TV) akan rusak dengan peluang 0.1. Hasil produksi saling bebas. Jika terdapat 3 hasil produksi (3 buah TV), berapa peluang bahwa paling banyak 1 TV rusak? 6. Empat buah koin dilantunkan. Asumsikan bahwa hasil lantunan saling bebas. Hitung peluang akan muncul 2 Muka dan 2 Belakang? Distribusi Poisson Distribusi diskrit lain yang cukup dikenal adalah distribusi Poisson. Umumnya distribusi ini terlihat pada fenomena banyaknya telfon yang masuk pada suatu hari, banyaknya kendaraan yang lewat di jalanan pada periode waktu tertentu dsb. Perhatian kita adalah pada banyaknya sukses pada periode tertentu. Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang λ λi f(i) = p X (i) = e i!, untuk i = 0, 1, 2,... dan λ > 0. Peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ. Latihan 1. Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini? 23

24 2. Misalkan X peubah acak Poisson dengan parameter λ. Tunjukkan bahwa P (X = i) naik secara monoton sebelum kemudian turun secara monoton untuk i semakin besar. Apa yang anda ketahui tentang pendekatan Poisson untuk Binomial? Misalkan X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, θ), P (X = x) = C n x θ x (1 θ) n x and misalkan λ = nθ. Maka, P (X = x) = = = n! x! (n x)! θx (1 θ) n x ( ) n! λ x ( 1 λ ) n x x! (n x)! n n n(n 1) (n i + 1) λ x (1 λ/n) n n x x! (1 λ/n) x =... λ λx e x! Petunjuk: Untuk n besar dan λ moderat (karena θ cukup kecil), ( 1 λ n) n n(n 1) (n i + 1) n x ( 1 λ n) x Latihan: 1. Misalkan peluang sebuah produk susu akan tercemar melamin adalah 0.1. Tentukan peluang bahwa paling banyak 1 produk susu yang tercemar dari sampel sebanyak 10 produk susu! (0.7361, ) 24

25 2. Misalkan X B(n, θ) dan Y P OI(λ). Cari hubungan antara f(k + 1) dan f(k) untuk kedua peubah acak. Distribusi Geometrik Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses α. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter α. Fungsi peluangnya adalah f X (n) = p(n) = P (X = n) = (1 α) n 1 α, untuk n = 1, 2,... dan α > 0. Misalkan Y peubah acak yang menyatakan kegagalan yang sudah dialami sebelum mendapatkan sukses yang pertama; diketahui peluang mendapatkan sukses adalah α. Fungsi peluang untuk Y adalah f Y (k) = (1 α) k α, k = 0, 1, 2,... Diskusi: Apa yang dapat anda katakan tentang mean dan variansi untuk kedua peubah acak X dan Y tersebut? Apakah nilai mean lebih besar daripada variansi? Latihan: 1. Hitung momen pertama dan kedua untuk peubah acak Geometrik dengan parameter α 25

26 2. Tiga remaja makan disuatu restoran. Untuk menentukan siapa yang akan membayar, mereka sepakat untuk mengundi dengan melantunkan koin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain wajib membayar makanan yang telah dipesan. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan: (i) P (X = 3) (ii) P (X > 4) 26

27 Bab 5 - Distribusi Sampel Silabus: Definisi populasi dan sampel, distribusi X dan S 2. Ketika kita bekerja dengan statistika, maka pemahaman tentang populasi dan sampel menjadi penting. Seperti kita ketahui, pekerjaan statistika adalah melakukan inferensi tentang populasi dengan menggunakan sampel. Populasi adalah... Sampel adalah... Sampel acak adalah... Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n. berturut-turut, adalah Mean dan variansi sampel, X = 1 n n i=1 X i dan S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2. i=1 Misalkan sampel acak tersebut diambil dari X yang berdistribusi normal dengan parameter (µ, σ 2 ) maka X dan S 2. Teorema Limit Pusat Jika X mean dari sampel acak berukuran n dari populasi dengan mean µ dan variansi σ 2, maka Z = X µ σ/ n N(0, 1). Contoh-1. Sebuah perusahaan produsen lampu memberikan klaim bahwa lampulampu yang diproduksi memiliki masa hidup berdistribusi normal dengan mean

28 (jam) dan deviasi standar 40 (jam). Misalkan diambil sampel berukuran 16. Hitung peluang bahwa sampel acak lampu-lampu tersebut memiliki masa hidup (average life) kurang dari 775 (jam). Contoh-2. Perjalanan 2 kampus Ganes dan Jtnanger dengan bis ditempuh selama 28 menit dengan deviasi standar 5 menit. Pada suatu waktu, dilakukan perjalanan selama 40 kali. Berapa peluang waktu perjalanannya lebih dari 30 menit? Contoh-3. Dua eksperimen yang saling bebas dilakukan pada pengecatan sebuah produk; 18 spesimen masing-masing dicat dengan cat jenis A dan B, lalu lama waktu pengeringan dicatat. Diketahui deviasi standar populasi adalah 1. Asumsikan bahwa mean waktu pengeringan kedua tipe cat adalah sama. P ( X A X B > 1). Tentukan peluang Latihan: hal Catatan: Pendekatan normal untuk distribusi binomial Teorema: Misalkan S 2 variansi sampel dari sampel acak berukuran n berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ 2, maka (n 1)S 2 σ 2 χ 2 n 1, dengan χ 2 n 1 adalah distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan ν = n 1. Contoh. Batere merk Energiver diklaim memiliki masa hidup 3 tahun dengan deviasi standar 1 tahun. Pada sampel berukuran 5, diperoleh data masa hidup sebagai berikut: 1.9, 2.4, 3.0, 3.5, 4.2. Apakah data ini meyakinkan perusahaan batere tersebut bahwa deviasi standar masa hidup batere 1 tahun? Asumsikan masa hidup bateri berdistribusi normal. 28

29 Bab 6 - Inferensi Statistik: Penaksiran Titik dan Selang Silabus: Distribusi t, selang kepercayaan untuk mean dan variansi. Penaksiran titik dan Selang kepercayaan Penaksiran titik (point estimate) merupakan langkah awal dalam inferensi statistik untuk suatu parameter. Pada sampel acak berdistribusi normal dengan parameter µ dan σ 2, maka penaksiran titik untuk kedua parameter tersebut, berturut-turut, adalah X dan S 2. Penaksir X dan penaksir S 2 bersifat tak bias (unbiased). Penaksiran titik seringkali tidak memberikan keleluasaan untuk menafsirkan nilai parameter. Untuk itu, diberikan penaksiran selang untuk parameter pada tingkat kepercayaan tertentu. Perhatikan sampel acak normal berukuran n. Kita ketahui bahwa mean sampel X berdistribusi normal dengan mean µ X = µ dan deviasi standar σ X = σ/ n. Kita ingin menentukan selang kepercayaan untuk µ, jika σ diketahui. Misalkan z α adalah nilai-z sehingga P (Z < z α ). Jadi, P ( z α/2 < Z = X ) µ σ/ n < z α/2 = 1 α. Dengan manipulasi aljabar, kita peroleh 100(1 α)%-selang kepercayaan untuk µ, : x z α/2 σ n < µ < x + z α/2 σ n. Contoh. Konsentrasi suatu besi (zinc) di 36 lokasi pada sungai K adalah 2.6 gr/ml. Tentukan selang kepercayaan untuk mean konsentrasi besi pada tingkat α = 1%, 5%. Asumsikan bahwa deviasi standar populasi adalah 0.3 gr/ml. Catatan: Dapatkah kita menentukan ukuran sampel n agar selang kepercayaan yang kita buat tidak akan melampaui suatu galat e tertentu? Apabila asumsi σ diketahui tidak dapat dipenuhi, bagaimana kita dapat menentukan selang kepercayaan? 29

30 Distribusi t Misalkan kita punyai sampel acak berukuran n berdistribusi normal. Asumsikan σ diketahui tidak dapat dipenuhi. Pandang peubah acak T = X µ S/ n atau T = Z/ V/ν, dengan Z peubah acak normal standar dan V peubah acak chikuadrat dengan derajat kebebasan ν. Peubah acak T berdistribusi t atau Student-t, dengan derajat kebebasan ν = n 1, dan memiliki fungsi peluang f(t) = Γ((ν + 1)/2) Γ(ν/2) πν ( 1 + t2 ν ) (ν+1)/2, < t. Latihan: 1. Hitung P ( t < T < t 0.05 ) 2. Tentukan k sehingga P (k < T < 1.761) = 0.045; diketahui n = 15 Selang Kepercayaan Untuk σ Tidak Diketahui Misalkan T berdistribusi Student-t dengan derajat kebebasan n 1. Analog dengan Z, kita punyai P ( t α/2 < T < t α/2 ) = 1 α. Karena T = µ, jika σ tidak diketahui: X µ S/, kita dapat menentukan 100(1 α)%-selang kepercayaan untuk n s s x t α/2 < µ < x + t n α/2. n Contoh. Isi dari tujuh kontainer barang (yang sejenis) adalah 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, 9.6. Tentukan 95%-selang kepercayaan unutk mean isi kontainer. Asumsikan data berdistribusi normal namun σ tidak diketahui. 30

31 Diskusi: Misalkan ukuran sampel dari suatu sampel acak cukup besar, asumsi normalitas tidak dapat dipenuhi dan σ tidak diketahui. kepercayaan untuk µ? Dapatkan kita menentukan selang 31