CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK

Transkripsi

1 CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si PROGRAM STUDI STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 2016

2 Daftar Isi Daftar Isi iv 1 Dasar-Dasar Probabilitas Pendahuluan Ruang Sampel dan Kejadian Peluang Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Peubah Acak Kontinu Parameter Distribusi Ekspektasi Variansi Fungsi Pembangkit Momen Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Peluang Bersama Peluang Bersama Distribusi Diskrit Peluang Bersama Distribusi Kontinu ii

3 2.1.3 Kebebasan Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Peluang Bersyarat Distribusi Diskrit Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu Ekspektasi Bersyarat Distribusi Kontinu Conditioning Rules Rantai Markov Diskrit Rantai Markov Rantai Markov Matriks Peluang Transisi Matriks Stokastik Chapman-Komogorov Equations Peluang Transisi Tak Bersyarat Kelas Keadaan dan Limit Peluang Kelas Keadaan Sifat Keadaan Limit Peluang Transisi Distribusi Eksponensial Distribusi Eksponensial Pendahuluan Distribusi Eksponensial Memoryless Property

4 5 Proses Poisson Waktu Antar Kedatangan Waktu Tunggu Proses Poisson Jumlahan Proses Poisson Rantai Markov Waktu Kontinu Pendahuluan Rantai Markov Waktu Kontinu Matriks Laju Transisi Proses Kelahiran-Kematian Peluang Kesetimbangan Proses Kelahiran-Kematian Daftar Pustaka 94

5 Bab 1 Dasar-Dasar Probabilitas 1.1 Pendahuluan Pada Bab ini, akan dipelajari mengenai dasar-dasar probabilitas yang meliputi ruang sampel dan kejadian, konsep peluang, peubah acak diskrit dan kontinu, serta beberapa parameter distribusi. Pada kehidupan nyata, banyak sekali ditemui kejadiankejadian yang sifatnya tidak dapat diprediksi, namun bisa dimodelkan dalam bentuk probabilistik. Dengan demikian, pemahaman mengenai konsep dasar probabilitas sangat penting untuk dikuasai. 1.2 Ruang Sampel dan Kejadian Dalam ilmu statistika, seorang peneliti berfokus pada bagaimana mengumpulkan, mengolah, dan menyajikan suatu informasi. Sebagai contoh, kita dapat mencatat banyaknya kasus kematian yang terjadi per tahun di suatu negara, banyaknya produk yang sukses atau gagal dalam suatu produksi, atau mungkin saja kita tertarik untuk mengetahui banyaknya telur nyamuk yang menetas jika nyamuk diberi makan dengan suatu zat tertentu. Informasi-informasi tersebut terkadang merupakan informasi yang tidak dapat diperdiksi hasilnya, namun dapat dikumpulkan kemungkinankemungkinannya. Ahli statistika menggunakan istilah percobaan untuk menggambarkan suatu proses yang membangkitkan sebuah himpunan data. Dalam proses 1

6 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas pengumpulan data tersebut, terdapat beberapa istilah yang digunakan oleh orangorang di bidang statistika, 1. Percobaan Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. 2. Ruang Sampel Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Contoh: dari pelemparan sebuah dadu diperoleh keluaran S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 3. Kejadian Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Biasa dinotasikan dengan huruf kapital. Contoh: munculnya bilangan genap pada pelemparan sebuah dadu: A = {2, 4, 6}. Contoh lain dari rangkaian percobaan, ruang sampel, dan kejadian adalah pelemparan sebuah koin sebanyak tiga kali. Ilustrasi dari percobaan tersebut ditampilkan pada Gambar 1.1 berikut Gambar 1.1: Keluaran dari Sebuah Koin yang Dilantunkan Tiga Kali Pengantar Proses Stokastik 2

7 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas Berdasarkan Gambar 1.1, maka ruang sampel S adalah S = {MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB, BBM, BBB} Kemudian, kejadian A dapat didefinisikan sebagai kejadian munculnya dua mata dadu muka, maka A = {MMB, MBM, BMM}. Kejadian B dapat didefinisikan sebagai kejadian munculnya mata dadu yang sama untuk ketiga kali pelemparan, maka B = {MMM, BBB}. Jadi, dalam suatu percobaan, dapat didefinisikan beberapa jenis keadaan yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Dari beberapa kejadian tersebut, terdapat beberapa hubungan antar-kejadian. Berikut adalah beberapa jenis hubungan antar-kejadian 1. Gabungan Kejadian Gabungan dari dua kejadian A dan B, disimbolkan dengan A B, adalah kejadian yang terdiri atas semua elemen yang termasuk ke dalam kejadian A atau kejadian B atau berada di keduanya. A B = {a S : a A atau a B} Gambar 1.2: Gabungan Kejadian Contoh: Misalkan A adalah kejadian di mana mahasiswa yang dipilih secara acak dari suatu perguruan tinggi menyukai mata kuliah pemrograman. Misalkan B adalah kejadian di mana mahasiswa menyukai mata kuliah analisis. Maka kejadian A B adalah himpunan semua mahasiswa yang menyukai mata kuliah pemrograman atau analisis atau menyukai keduanya. Pengantar Proses Stokastik 3

8 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas 2. Irisan Kejadian Irisan dari dua kejadian A dan B, disimbolkan dengan A B, adalah kejadian yang terdiri atas semua elemen yang merupakan anggota kejadian A dan B. A B = {a S : a A dan a B} Gambar 1.3: Irisan Kejadian Contoh: Misalkan A kejadian bahwa seorang mahasiswa yang dipilih secara acak di jurusan Statistika adalah seseorang yang mengambil mata kuliah Pengantar Proses Stokastik. Misalkan kejadian B adalah kejadian mahasiswa yang berasal dari Jawa Tengah. Maka kejadian A B adalah kejadian dari semua mahasiswa asal Jawa Tengah yang mengambil mata kuliah Pengantar Proses Stokastik. 3. Saling Asing Kejadian A dan B bersifat mutually exclusive (saling asing) jika A B = φ. 4. Komplemen A c = Ā = {a S : a / A} Pengantar Proses Stokastik 4

9 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas 5. Partisi Ruang Sampel Sebuah himpunan kejadian {A 1, A 2,...} merupakan partisi dari ruang sampel S jika (a) Kejadian-kejadian tersebut bersifat mutually exclusive, A i A j = φ jika i j. (b) i A i = S 1.3 Peluang Peluang kejadian A adalah P (A) = lim n n(a) n n(a) : banyaknya keluaran A n : banyaknya percobaan atau P (A) = n(a) n(s) Pengantar Proses Stokastik 5

10 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas n(a) : banyaknya keluaran A n(s) : banyaknya anggota ruang sampel S Sifat-sifat peluang 1. 0 P (A) 1 2. P (S) = 1 P (φ) = 0 3. Untuk himpunan kejadian A 1, A 2,... yang mutually exclusive, ( ) P A n = P (A n ) n=1 n=1 4. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 5. P (A c ) = 1 P (A) 6. Jika A B maka P (A) P (B) Contoh 1 Misalkan P (A B) = P (A B c ) = 0.6. Hitung P(A)! Jawab: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0.6 P (A B c ) = P (A) + P (B c ) P (A B c ) = 0.6 Jumlahkan kedua persamaan tersebut diperoleh 2P (A) + P (B) + P (B c ) (P (A B) + P (A B c )) = 1.2 2P (A) + 1 P (A) = 1.2 P (A) = 0.2 Note: Pengantar Proses Stokastik 6

11 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas P (B) + P (B c ) = 1 P (A B) + P (A B c ) = P (A) 1.4 Peubah Acak Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota ruang sampel S ke bilangan real. X : S R Contoh: Misalkan dua buah koin dilemparkan. Misalkan X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul, maka X adalah peubah acak yang bernilai 0, 1, dan 2 dengan peluang munculnya P (X = 0) = P (BB) = 1 4 P (X = 1) = P (MB, BM) = 1 2 P (X = 2) = P (MM) = Peubah Acak Diskrit Peubah acak diskrit merupakan peubah acak yang terdefinisi pada barisan terhitung dari bilangan {x i, i = 1, 2,...} sedemikian hingga ( ) P {X = x i } = i i P (X = x i ) = 1 Fungsi peluang p i, jika x = x i p(x) = P (X = x) =. 0, lainnya Pengantar Proses Stokastik 7

12 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas Fungsi distribusi F X (x) = i p(x i ) Distribusi Binomial Misalkan sebuah percobaan yang keluarannya berupa sebuah sukses atau sebuah gagal. Misalkan X = 1 jika hasilnya sukses dan X = 0 jika gagal, maka fungsi peluangnya p(0) = P (X = 0) = 1 p p(1) = P (X = 1) = p di mana p merupakan peluang sukses dan 0 p 1. Maka X merupakan peubah acak Bernoulli. Jika terdapat n percobaan independen dengan keluaran berupa sukses dan gagal dan X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh, maka X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, p) dan fungsi peluangnya ( ) n p(x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1, 2,... x Contoh 2 Misalkan sebuah mesin pesawat akan rusak dalam penerbangannya dengan peluang 1 p, saling bebas antara mesin satu dengan lainnya. Misalkan pesawat akan terbang dengan sukses jika setidaknya 50% mesinnya dapat bekerja dengan baik. Untuk p berapa, sebuah pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin? Peluang bahwa pesawat dengan 4 mesin akan terbang dengan sukses adalah P (X 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) ( ) ( ) ( ) 4 = p 2 (1 p) p 3 4 (1 p) + p 4 (1 p) = 6p 2 (1 p) 2 + 4p 3 (1 p) + p 4 Pengantar Proses Stokastik 8

13 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas Peluang bahwa pesawat dengan 2 mesin akan terbang dengan sukses adalah P (X 1) = P (X = 1) + P (X = 2) ( ) ( ) 2 2 = p(1 p) + p 2 (1 p) = 2p(1 p) + p 2 Maka, peluang pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin adalah 6p 2 (1 p) 2 + 4p 3 (1 p) + p 4 2p(1 p) + p 2 6p(1 p) 2 + 4p 2 (1 p) + p 3 2 p 3p 3 8p 2 + 7p 2 0 (p 1) 2 (3p 2) 0 p 2 3 Distribusi Geometrik Misalkan percobaan-percobaan yang saling bebas, masing-masing memiliki peluang sukses p, dilakukan hingga diperoleh sukses pertama. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mencapai sukses pertama, maka X dikatakan sebagai peubah acak Geometrik dengan parameter p dan fungsi peluangnya P (X = n) = (1 p) n 1 p, n = 1, 2,... Contoh 3 Sebuah koin dilemparkan dengan peluang muncul sisi muka sebesar p, sampai muka pertama muncul. Misalkan N menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan, asumsikan bahwa masing-masing pelemparan yang sukses saling bebas. Tentukan P (N)! Pengantar Proses Stokastik 9

14 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas N merupakan p.a yang menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan sehingga muncul sisi muka yang pertama. Maka P (N = 1) = P (M) = p, P (N = 2) = P (B, M) = (1 p)p, P (N = 3) = P (B, B, M) = (1 p) 2 p,. P (N = n) = P (B, B,..., B, M) = (1 p) n 1 p, n 1 Note: muncul B sebanyak n 1 kali Contoh 4 Tiga mahasiswa akan menghadap dosen pembimbing TA. Untuk menentukan siapa yang akan maju duluan, mereka sepakat mengundi dengan melantunkan koin (mungkin karena sama-sama belum ada kemajuan TA-nya). Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain wajib maju terlebih dahulu ke dosen pembimbing mereka. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan peluang bahwa seseorang akan maju ketika koin dilantunkan tepat tiga kali. Tentukan pula peluang seseorang akan maju setelah koin dilantunkan lebih dari 4 kali. Maka ( X Geo p = 3 ) 4 P (X = 3) = ( 1 3 4) = 3 64 P (X > 4) = 1 P (X 4) Distribusi Poisson Sebuah peubah acak X yang bernilai 0, 1, 2,... dikatakan peubah acak Poisson dengan parameter λ, jika untuk λ > 0, P (X = x) = e λ λx, x = 0, 1, 2,... x! Pengantar Proses Stokastik 10

15 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas Distribusi Poisson menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu selang waktu atau area tertentu. Contoh 5 Pandang sebuah percobaan yang terdiri atas perhitungan banyaknya partikelα yang dilepaskan dalam satu detik oleh satu gram bahan radioaktif. Jika diketahui dari percobaan-percobaan sebelumnya bahwa rata-rata 3.2 partikel-α yang dilepaskan, berapa pendekatan yang baik untuk peluang bahwa tidak lebih dari 2 partikel-α yang akan muncul? Maka X P OI(λ = 3.2) P (X 2) = e (3.2)2 + e + e 1! 2! Peubah Acak Kontinu X merupakan peubah acak kontinu jika terdapat fungsi nonnegatif f(x), terdefinisi untuk semua bilangan real x (, ) sehingga F X (x) = x f X (t)dt atau f X (x) = d dx F X(x) Distribusi Uniform Sebuah peubah acak dikatakan berdistribusi Uniform sepanjang interval (a, b) jika fungsi peluangnya diberikan 1 f X (x) =, a < x < b b a. 0, x lainnya Pengantar Proses Stokastik 11

16 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas Beberapa peubah acak kontinu dalam ilmu fisika, manajemen, dan ilmu biologi biasanya menggunakan pendekatan distribusi Uniform. Sebagai contoh, misalkan kita menghitung banyaknya kejadian yang berdistribusi Poisson, seperti banyaknya panggilan telepon yang masuk ke suatu operator. Jika diketahui tepat satu kejadian yang terjadi pada suatu interval, misal (0, t), maka waktu terjadinya kejadian adalah berdistribusi Uniform pada interval yang telah diberikan di depan. Contoh 6 Kedatangan pelanggan pada suatu toko berdistribusi Poisson. Diketahui bahwa selama periode waktu 30 menit, seorang pelanggan tiba di dalam toko tersebut. Tentukan peluang bahwa pelanggan datang selama 5 menit terakhir dari periode waktu 30 menit. Maka X adalah p.a. yang menyatakan waktu kedatangan pelanggan, X U(0, 30). Contoh 7 P (25 X 30) = 30 Jika X U( 1, 1). Tentukan P ( X > 1 2)! dx = = 1 6 Maka P f X (x) = 1 1 ( 1) = 1 2, 1 < x < 1 ( X > 1 ) ( = P X < 1 ) ( + P X > 1 ) = = 1/2 1 [ 1 2 x 1 2 dx + ] 1/ / dx [ 1 2 x ] 1 1/2 = = 1 2 Distribusi Eksponensial Sebuah peubah acak kontinu yang memiliki fungsi peluang sebagai berikut, Pengantar Proses Stokastik 12

17 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas untuk suatu λ > 0, λe λx, jika x 0 f X (x) = 0, jika x < 0. disebut sebagai peubah acak Eksponensial dengan parameter λ. Contoh: Peubah acak Eksponensial muncul pada pemodelan waktu antar kejadian. Waktu panggilan antar pelanggan pada suatu provider Masa hidup dari suatu alat dan sistem Contoh 8 Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrian di Bank berdistribusi Eksponensial dengan mean 10. Berapa peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani? P (X > 15) = 1 P (X 15) = 1 (1 e 15λ ) = e 15( 1 10) = e 3 2 Distribusi Gamma Sebuah peubah acak kontinu X dengan fungsi peluang f X (x) = 1 Γ(α)β α xα 1 e x β, x 0 untuk suatu β > 0, α > 0 dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter (α, β) Definisi fungsi Gamma: Γ(α) = e x x α 1 dx 0 Pengantar Proses Stokastik 13

18 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas Note: Γ(n) = (n 1)! Γ(n + 1) = nγ(n), n > 0 Peubah acak Gamma merupakan hasil penjumlahan dari peubah acak-peubah acak Eksponensial. Misalkan kita mempunyai api unggun Misalkan waktu untuk masing-masing api unggun terbakar berdistribusi Eksponensial dengan laju β ( β = λ) 1. Misalkan masa hidup masing-masing api unggun saling bebas Waktu sampai api unggun ke-α berhenti terbakar adalah berdistribusi Gamma dengan parameter α dan β. Contoh 9 Tiga buah lampu mempunyai masa hidup X 1, X 2, dan X 3 secara berturutturut berdistribusi Eksponensial dengan mean 200 jam. Misalkan masa hidup sebuah lampu saling bebas dengan masa hidup lampu yang lain. Tentukan distribusi peluang dan ekspektasi waktu sampai ketiga lampu mati. Misalkan Y = X 1 + X 2 + X 3 menyatakan total masa hidup ketiga lampu. Y berdistribusi Gamma dengan parameter α = 3 dan β = 200. Maka 1 x 2 e x Γ(3)200 f Y (y) = 3 200, x 0 0, lainnya dan E(Y ) = αβ = 3(200) = 600 jam. Contoh 10 Apa yang dapat kita katakan tentang disribusi Gamma jika α = 1? Pengantar Proses Stokastik 14

19 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas Misalkan X Gamma(α = 1, β) maka f X (x) = 1 Γ(1) β 1 x1 1 e x β = 1 β e x β ( ) Maka X Eksp λ = 1 β Distribusi Normal X merupakan peubah acak Normal dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang X diberikan f X (x) = 1 σ 1 2π e 2( x µ σ ) 2, < x < Contoh 11 Jumlah (dalam ons) sereal MILO berdistribusi Normal dengan mean 16.5 dan standar deviasi σ. Jika si pengemas MILO disyaratkan harus mengisi minimal 90 % kotak sereal MILO dengan 16 ons atau lebih, berapa nilai maksimal dari σ? P ( Z X N(16.5, σ 2 ) P (X 16) 0.9 ) ( = 1 P σ Z P ) σ ( Z 0.5 ) 0.1 σ Z σ σ Pengantar Proses Stokastik 15

20 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas 1.5 Parameter Distribusi Ekspektasi Distribusi Kontinu Distribusi Diskrit E(X) = x f X (x)dx E(X) = i x i p i Karakteristik ekspektasi: E(g(X)) = g(x)f(x) (untuk distribusi kontinu) E(cX) = ce(x), c konstan E(aX + b) = ae(x) + b E(X 1 + X X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) E(X n ) E(X Y ) = E(X) E(Y ), hanya jika X dan Y saling bebas Contoh 12 Misalkan X menyatakan lama (jam) mahasiswa belajar Pengantar Proses Stokastik dan fungsi peluang X adalah sebagai berikut: x 2, 2 x < 3 f X (x) = 1, 4 < x < 6 4 Berapa rata-rata lama waktu mahasiswa belajar Pengantar Proses Stokastik? Pengantar Proses Stokastik 16

21 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas E(X) = x f(x) dx = = 2 x (0)dx + [ 1 3 x3 x 2 ] x (x 2) dx + [ ] x2 = x (0)dx x ( ) 1 dx Variansi Variansi: V ar(x) = E[(X X) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2 Karakteristik variansi: V ar(cx) = c 2 V ar(x), c konstan V ar(x 1 + X X n ) = n i,j=1 Cov[X i, X j ] V ar(x 1 + X X n ) = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) V ar(x n ), hanya jika X i saling bebas Contoh 13 Tentukan V ar(x) ketika X menyatakan keluara yang mungkin ketika sebuah dadu dilemparkan. Karena P (X = x) = 1 6, x = 1, 2,..., 6, maka E(X) = = 1 6 xp (X = x) x=1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = Pengantar Proses Stokastik 17

22 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas dan 6 E(X 2 ) = x 2 P (X = x) x=1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = (91) Jadi, V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = 91 ( ) = Fungsi Pembangkit Momen Fungsi pembangkit momen M X (t) dari suatu peubah acak X untuk semua nilai t didefinisikan e tx p(x), jika X adl p.a. diskrit M X (t) = E(e tx x ) = e tx f X (x)dx, jika X adl p.a. kontinu Dikatakan fungsi pembangkit momen karena semua momen dari X dapat diperoleh dengan menurunkan fungsi tersebut pada saat t = 0, yaitu Contoh: E(X k ) = M k X(0) = dk dt E(etX ) t=0 Momen Pertama E(X) = M X(0) = d dt E(etX ) t=0 = E(Xe tx ) t=0 Momen Kedua E(X 2 ) = M X(0) = d dt M X(t) = d dt E(XetX ) t=0 = E(X 2 e tx ) t=0 Pengantar Proses Stokastik 18

23 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas Contoh 14 Misalkan X Eksp(λ), maka fungsi pembangkit momen untuk X adalah M X (t) = E(e tx ) = e tx λ e λx dx 0 = λ e (λ t)x dx 0 = λ λ t, untuk t < λ Pengantar Proses Stokastik 19

24 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas DISKUSI 1 1. Misalkan sebuah koin yang mempunyai peluang muncul muka sebesar 0.7, dilantunkan tiga kali. Misalkan X menyatakan banyaknya muka yang muncul pada tiga kali lantunan. Tentukan fungsi massa peluang dari X. 2. Diketahui Tentukan: a. P ( ) X > 1 4 b. Tentukan F X (x) 2x, 0 x 1 2 f X (x) = 3, 2 < x < 3 4 0, x yang lain. 3. Di dalam sebuah kantong terdapat n+m bola, dengan n bola merah dan m bola hitam. Bola-bola tersebut akan diambil dari kantong, satu kali pengambilan setiap waktu dan pengambilan dilakukan tanpa pengembalian. Misalkan X menyatakan banyaknya bola merah yang diambil sebelum bola hitam pertama terambil. Kita akan menentukan E(X). Untuk mendapatkannya, beri nomor untuk bola merah dari 1 sampai n. Sekarang definisikan peubah acak X i, i = 1, 2,..., n dengan 1, jika i bola merah terambil sebelum bola hitam X i = 0, lainnya a. Nyatakan X dalam bentuk X i b. Tentukan E(X) 4. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa 5% dari pemesan tiket tidak datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? Pengantar Proses Stokastik 20

25 BAB 1: Dasar-Dasar Probabilitas 5. Medibank, perusahaan asuransi kesehatan terbesar di Australia, memiliki polis yang menanggung 100% biaya kesehatan hingga maksimal 1 juta dolar/th polis. Diketahui total tagihan kesehatan X/th memiliki fungsi peluang: f X (x) = x(4 x), 0 < x < 3 9 Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, tentukan nilai yang mungkin untuk Y! Tentukan ekspektasi dari Y! Pengantar Proses Stokastik 21

26 Bab 2 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 2.1 Peluang Bersama Peluang Bersama Distribusi Diskrit Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Maka fungsi peluang bersama dari X dan Y p X,Y (x, y) = P (X = x, Y = y) Sifat-sifat fungsi peluang bersama p X,Y (x, y): 1. p X,Y (x, y) 0, (x, y) 2. x,y p X,Y (x, y) = 1 Fungsi Peluang Marginal Fungsi peluang marginal dari X dan Y masing-masing adalah: p X (x) = y p X,Y (x, y), x R 22

27 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat dan p Y (y) = x p X,Y (x, y), y R Contoh 1 Berikut adalah data tentang jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumah yang akan dijual: X\Y Total Total Hitung p X,Y untuk semua nilai X dan Y Penyelesaian: X\Y Total Total Peluang Bersama Distribusi Kontinu Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersama dari X dan Y adalah F X,Y (x, y) = P (X x, Y y) dan fungsi peluang bersamanya adalah f X,Y (x, y) = 2 x y F X,Y (x, y) = 2 y x F X,Y (x, y) Pengantar Proses Stokastik 23

28 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Sifat-sifat fungsi peluang bersama f X,Y (x, y) adalah: 1. f X,Y (x, y) 0, (x, y) R 2 2. f X,Y (x, y) dx dy = 1 Fungsi Peluang Marginal Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y), maka fungsi peluang marginal dari X dan Y masingmasing adalah f X (x) = f X,Y (x, y)dy, x R y dan f Y (y) = f X,Y (x, y)dx, y R x Contoh 2 Misalkan X dan Y mempunyai fungsi peluang bersama f X,Y (x, y) = 3y2 x 3, 0 < y < x < 1. Tentukan fungsi peluang marginal X dan Y. Penyelesaian: a. Fungsi peluang marginal X f X (x) = x 0 [ y 3 = x 3 f X,Y (x, y)dy = ] x 0 = x3 x 3 = 1 x 0 3y 2 x 3 dy Pengantar Proses Stokastik 24

29 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat b. Fungsi peluang marginal Y f Y (y) = 1 y [ 3y 2 = 2x 2 f X,Y (x, y)dx = ] 1 y = 3y2 2 1 y 3y 2 x 3 dx ( ) 3y 2 2y 2 = 3y4 + 3y 2 2y 2 = 3y2 (1 y 2 ) 2y 2 = 3 2 (1 y2 ), 0 < y < Kebebasan Dua kejadian X dan Y saling bebas jika dan hanya jika f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) Contoh 3 Pada Contoh 2, apakah X dan Y saling bebas? Penyelesaian: ( ) 3 f X (x)f Y (y) = 1 2 (1 y2 ) = 3 2 (1 y2 ) f X,Y (x, y) Jadi, X dan Y tidak saling bebas. Pengantar Proses Stokastik 25

30 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 2.2 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Peluang Bersyarat Distribusi Diskrit Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit. Jika p Y (y) > 0, maka fungsi peluang bersyarat X diberikan Y = y adalah p X Y (x y) = P (X = x Y = y) P (X = x, Y = y) = P (Y = y) = p X,Y (x, y) p Y (y) Jika X dan Y saling bebas, maka P (X = x, Y = y) p X Y (x y) = P (Y = y) P (X = x)p (Y = y) = P (Y = y) = P (X = x) Fungsi distribusi bersyarat X diberikan Y = y, untuk semua y sehingga P (Y = y) > 0 adalah F X Y (x y) = P (X x Y = y) = p X Y (a y) a x Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y adalah E[X Y = y] = x = x x P (X = x Y = y) x p X Y (x y) Pengantar Proses Stokastik 26

31 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Law of Total Probability Misalkan {B 1, B 2,..., B n } merupakan himpunan dari kejadian-kejadian yang saling asing ( mutually exclusive ), yaitu partisi-partisi dari ruang sampel S, i B i = S = P ( i B i ) = 1 B i B j = φ, untuk i j = P (B i B j ) = 0 Maka, A = A S = A ( i B i ) = i (A B i ) dan P (A) = n P (A B i ) = i=1 n P (A B i )P (B i ) i=1 Contoh 4 Misalkan p(x, y) diberikan p(1, 1) = 0.5 p(1, 2) = 0.1 p(2, 1) = 0.1 p(2, 2) = 0.3 Hitung peluang bersyarat X diberikan Y = 1. Pertama, kita mempunyai p Y (1) = x p(x, 1) = p(1, 1) + p(2, 1) = 0.6 Pengantar Proses Stokastik 27

32 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Maka, p X Y (1 1) = P (X = 1 Y = 1) = p(1, 1) = p Y (1) = 5 6 p(2, 1) p X Y (2 1) = p Y (1) = 1 6 P (X = 1, Y = 1) P (Y = 1) Contoh 5 Sebuah kantong terdiri atas 4 bola putih dan 3 bola merah, kantong kedua terdiri atas 3 bola putih dan 5 bola merah. Sebuah bola diambil secara acak dari kantong pertama dan dimasukkan ke dalam kantong kedua tanpa terlihat. Berapa peluang bahwa bola yang sekarang diambil dari kantong kedua adalah bola merah? Penyelesaian: Contoh 6 P (M 2 ) = P (M 2 P 1 )P (P 1 ) + P (M 2 M 1 )P (M 1 ) = = = Lala sedang mempersiapkan diri menghadapi seminar TA 2. Sebagai seorang mahasiswa yang selalu penuh perhitungan, Lala mencoba memperkirakan apakah akan mendapat hari yang baik atau hari yang buruk. Jika Lala mendapat hari yang baik, maka para dosen penguji semua akan menghujani Lala dengan pertanyaanpertanyaan (secara independen satu sama lain) dengan peluang 0.2. Jika mendapat hari yang buruk peluangnya membesar menjadi 0.6. Menghujani pertanyaan- Pengantar Proses Stokastik 28

33 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat pertanyaan berarti membantai atau tidak meluluskan. Lala yakin bahwa hari yang baik akan didapatkannya dua kali lebih banyak dibanding hari yang buruk. Pertanyaannya: Berapa peluang Lala akan lulus seminar? Penyelesaian: Misalkan A : kejadian hari yang baik B : kejadian hari yang buruk L : kejadian meluluskan T L : kejadian tidak meluluskan Maka P (T L A) = 0.2 P (L A) = 0.8 P (T L B) = 0.6 P (L B) = 0.4 P (A) = 2P (B) P (T L) = P (T L A)P (A) + P (T L B)P (B) = 0.2(2P (B)) + 0.6P (B) = P (B) P (L) = P (L A)P (A) + P (L B)P (B) = 0.8(2P (B)) + 0.4P (B) = 2P (B) P (L) + P (T L) = 1 2P (B) + P (B) = 1 P (B) = 1 3 = P (A) = 2 3 Maka, peluang Lala akan lulus seminar adalah P (L) = 2P (B) = 2 ( ) 1 3 = 2 3 Pengantar Proses Stokastik 29

34 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu Jika X dan Y mempunyai fungsi peluang bersama f X,Y (x, y), maka fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y = y, terdefinisi y sehingga f Y (y) > 0, adalah f X Y (x y) = f X,Y (x, y) f Y (y) Ekspektasi Bersyarat Distribusi Kontinu Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y adalah E[X Y = y] = x f X Y (x y)dx Contoh 7 Misalkan fungsi peluang bersama X dan Y diberikan 6xy(2 x y), 0 < x < 1, 0 < y < 1 f X,Y (x, y) = 0, lainnya Tentukan ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y, di mana 0 < y < 1. Penyelesaian: Pertama, kita tentukan f X Y (x y) yaitu f X Y (x y) = f X,Y (x, y) f Y (y) 6xy(2 x y) = 1 6xy(2 x y) dx 0 6xy(2 x y) = y(4 3y) 6x(2 x y) = 4 3y Pengantar Proses Stokastik 30

35 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Maka E[X Y = y] = 1 0 x 6x(2 x y) 4 3y = (2 y) y = 5 4y 8 6y dx Conditioning Rules E[X] = E[E[X Y ]] Bukti: E[X] = y = y = y = y = x E[X Y = y]p (Y = y) x P (X = x Y = y)p (Y = y) x x x P (X = x, Y = y) P (Y = y) P (Y = y) x P (X = x, Y = y) x x y P (X = x, Y = y) = x x P (X = x) Contoh 8 Sam akan membaca baik satu bab buku statistika maupun satu bab buku sejarah. Jika banyaknya kesalahan cetak pada satu bab buku statistika berdistribusi Poisson dengan mean 2 dan banyaknya kesalahan cetak pada satu bab buku sejarah juga berdistribusi Poisson dengan mean 5. Asumsikan Sam memiliki peluang yang sama untuk memilih kedua buku tersebut, berapa banyak kesalahan cetak yang diharapkan yang akan Sam temukan? Penyelesaian: Pengantar Proses Stokastik 31

36 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Misalkan X : menyatakan banyaknya kesalahan cetak Y : menyatakan buku yang akan dipilih Misalkan 1, jika Sam memilih buku statistika Y = 2, jika Sam memilih buku sejarah Maka E[X] = E[X Y = 1] P (Y = 1) + E[X Y = 2] P (Y = 2) ( ) ( ) 1 1 = = V ar(x) = E[V ar(x Y )] + V ar(e[x Y ]) Bukti: E[V ar(x Y )] = E [ E[X 2 Y ] (E[X Y ]) 2] = E [ E[X 2 Y ] ] E [ (E[X Y ]) 2] = E[X 2 ] E [ (E[X Y ]) 2] dan V ar(e[x Y ]) = E [ (E[X Y ]) 2] (E [E[X Y ]]) 2 = E [ (E[X Y ]) 2] (E[X]) 2 Jadi, E[V ar(x Y )] + V ar(e[x Y ]) = E[X 2 ] (E[X]) 2. Misalkan E adalah sebarang kejadian dan definisikan peubah acak indikator X oleh 1, jika E terjadi X = 0, jika E tidak terjadi Pengantar Proses Stokastik 32

37 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Maka E[X] = P (E) E[X Y = y] = P (E Y = y), untuk sebarang peubah acak Y Maka, P (E) = E[X] = E[E[X Y = y]] = E [P (E Y = y)] = P (E Y = y)p (Y = y), y jika Y diskrit = P (E Y = y)f Y (y)dy, jika Y kontinu Contoh 9 Di kampung, setiap Minggu pagi Swari meninggalkan rumah untuk lari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan/belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatu olahraga/bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang ia lewati. Ketika Swari pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan/belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang yang sama. Jika dia mempunyai 4 pasang sepatu, akan dihitung berapa peluang Swari akan sering berolahraga dengan bertelanjang kaki. Tentukan ruang sampelnya terlebih dahulu. Penyelesaian: S = {(0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)} Misalkan A : Swari berolahraga dengan bertelanjang kaki D : sepatu ada di pintu depan Pengantar Proses Stokastik 33

38 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat B : sepatu ada di pintu belakang P (A) = P (A D) P (D) + P (A B) P (B) = = 1 5 Pengantar Proses Stokastik 34

39 BAB 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat DISKUSI 2 1. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70 % pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20 % mengasuransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15 % mengasuransikan sports car. Hitung peluang bahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car. 2. Kuliah SMT, PSM, dan PPS di jurusan Statistika UII diikuti oleh 50, 75, dan 100 mahasiswa. Dari jumlah tersebut diketahui bahwa 50, 60, dan 70 persen-nya adalah mahasiswa angkatan Seperti biasa, mahasiswa akan mungkin mengundurkan diri dari perkuliahan tersebut, dengan kemungkinan yang sama. Seorang mahasiswa mengundurkan diri dan dia adalah angkatan Berapa peluang bahwa mahasiswa tersebut mengambil kuliah PPS? 3. JB berada di penjara markas Brimop di Kelapa Dua, Depok. Dia ingin melarikan diri namun hal itu tidak mudah. Fakta yang ada menunjukkan bahwa jika JB hendak keluar dari penjara, dia akan menghadapi 3 pintu. Pintu 1 akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu 2 jam. Pintu 2 membawanya ke lorong dan kembali ke penjara dalam waktu 3 jam. Sedangkan pintu ketigalah yang akan membawa JB bebas. Diasumsikan bahwa JB memilih pintu-pintu 1,2, dan 3 dengan peluang berturut-turut 0.5, 0.3, dan 0.2. Berapa lama waktu rata-rata yang dibutuhkan JB untuk bebas? 4. JB hendak melakukan penipuan. Di tangannya dia menyimpan sebuah koin yang memiliki sisi M dan B dan sebuah koin lain yang ternyata memiliki 2 sisi M. Kepada Zeta calon korbannya, JB mengatakan bahwa dirinyalah sang pemenang apabila muncul M dalam koin yang dimilikinya. JB kemudian memilih koin secara acak dan melantunkannya. Ternyata muncul M. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkan adalah koin M dan B? Misal JB melantunkan koin yang sama untuk kedua kalinya dan muncul M, berapa peluang koin yang dilantunkan adalah koin M dan B? Misal JB melantunkan koin yang sama untuk ketiga kalinya dan muncul B, berapa peluang koin tsb adalah koin M dan B? Pengantar Proses Stokastik 35

40 Bab 3 Rantai Markov Diskrit 3.1 Rantai Markov Rantai Markov Misalkan sebuah proses stokastik {X t } dengan t = 0, 1, 2,.... Nilai yang mungkin dari X t adalah hingga atau terhitung Memiliki peluang transisi atau peluang berpindahnya keadaan i (pada waktu t) ke keadaan j (pada waktu t + 1) adalah P ij yaitu P (X t+1 = j X t = i, X t 1 = i t 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ij Distribusi bersyarat X t+1 diberikan keadaan-keadaan lampau X 0, X 1,..., X t 1 dan keadaan sekarang X t, hanya bergantung pada keadaan sekarang (Sifat Markov) Maka proses stokastik demikian dikenal dengan nama Rantai Markov. 36

41 BAB 3: Rantai Markov Diskrit Matriks Peluang Transisi P ij adalah peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaan i P ij 0, i, j 0; P ij = 1, i = 0, 1,... j=0 Perhatikan P (X t+1 = j X t = i, X t 1 = i t 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P (X t+1 = j X t = i) = P ij disebut peluang transisi satu langkah. Misalkan P menyatakan matriks peluang transisi satu langkah P ij, maka P 00 P 01 P P 10 P 11 P P =... P i0 P i1 P i Atau dapat pula digambarkan sebagai berikut Contoh 1 Jika hari ini hujan, peluang besok hujan adalah α. Jika hari ini tidak hujan, peluang besok hujan adalah β. Misal: Pengantar Proses Stokastik 37

42 BAB 3: Rantai Markov Diskrit 0 : hujan 1 : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah P = ( α β ) 1 α 1 β Contoh 2 Dalam suatu hari, Gary bisa ceria (C), biasa saja (B), atau murung (M). Jika hari ini ceria, maka dia akan C, B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.5, 0.4, 0.1. Jika dia merasa biasa saja hari ini, maka dia akan C, B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.3, 0.4, 0.3. Jika dia merasa murung hari ini, maka dia akan C, B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.2, 0.3, 0.5. Misalkan keadaan 0 = C, keadaan 1 = B, dan keadaan 2 = M, maka matriks peluang transisinya adalah P = Contoh 3 Keadaan pada suatu hari: Jika dua hari terakhir hujan, peluang besok hujan 0.7 Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan, peluang besok hujan 0.5 Jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan, peluang besok hujan 0.4 Jika hari ini dan kemarin tidak hujan, peluang besok hujan 0.2 Misal: 0 : hujan 1 : tidak hujan Pengantar Proses Stokastik 38

43 BAB 3: Rantai Markov Diskrit Maka matriks peluang transisinya adalah P = Matriks Stokastik Perhatikan matriks-matriks berikut: P = , P = Matriks-matriks tersebut memiliki sifat-sifat berikut: Memiliki jumlah baris dan kolom sama, atau matriks bujursangkar Jumlah unsur-unsur di setiap baris adalah satu Tidak selalu memiliki jumlah unsur-unsur di setiap kolom sama dengan satu Nilai setiap unsurnya diantara nol dan satu Matriks dengan sifat-sifat tersebut dikatakan sebagai matriks stokastik. Contoh 4 Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 mempunyai matriks peluang transisi P = dan P (X 0 = 0) = 0.3, P (X 0 = 1) = 0.4, P (X 0 = 2) = 0.3. Hitung P (X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2). Pengantar Proses Stokastik 39

44 BAB 3: Rantai Markov Diskrit Penyelesaian: P (X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2) = P (X 2 = 2 X 1 = 1, X 0 = 0)P (X 1 = 1, X 0 = 0) = P (X 2 = 2 X 1 = 1, X 0 = 0)P (X 1 = 1 X 0 = 0)P (X 0 = 0) = P (X 2 = 2 X 1 = 1)P (X 1 = 1 X 0 = 0)P (X 0 = 0) = 0(0.2)(0.3) = 0 Contoh 5 Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, P = Hitung P (X 2 = 1, X 3 = 1 X 1 = 0) dan P (X 1 = 1, X 2 = 1 X 0 = 0). Penyelesaian: a. P (X 2 = 1, X 3 = 1 X 1 = 0) = P (X 3 = 1 X 2 = 1)P (X 2 = 1 X 1 = 0) = 0.6(0.2) = 0.12 b. P (X 1 = 1, X 2 = 1 X 0 = 0) = P (X 2 = 1 X 1 = 1)P (X 1 = 1 X 0 = 0) = 0.6(0.2) = 0.12 Contoh 6 Pengantar Proses Stokastik 40

45 BAB 3: Rantai Markov Diskrit Suatu matriks stokastik dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 Hitung E(X 2 X 1 = 2) Penyelesaian: P = E(X 2 X 1 = 2) = x 2 P (X 2 = x 2 X 1 = 2) x 2 =0 = 0 + (1) P (X 2 = 1 X 1 = 2) + (2) P (X 2 = 2 X 1 = 2) = 0 Matriks Stokastik n-langkah Pandang matriks stokastik satu-langkah: ( ) P = Selanjutnya, kita dapat menentukan matriks stokastik dua-langkah yaitu matriks yang didefinisikan pada ruang keadaan yang sama namun ruang waktu dua-langkah atau {t, t + 2}. Ingat kembali matriks stokastik satu-langkah P ij = P (X t+1 = j X t = i) Kita dapat menentukan matriks stokastik dua-langkah yaitu P 2 ij = P (X t+2 = j X t = i) Dalam kasus ini ( ) P 2 P00 2 P01 2 = P10 2 P11 2 Pengantar Proses Stokastik 41

46 BAB 3: Rantai Markov Diskrit Kita bisa menggunakan law of total probability yaitu P00 2 = P (X t+2 = 0 X t = 0) = P (X t+2 = 0, X t+1 = 0 X t = 0) + P (X t+2 = 0, X t+1 = 1 X t = 0) = P (X t+2 = 0 X t+1 = 0, X t = 0)P (X t+1 = 0 X t = 0) + P (X t+2 = 0 X t+1 = 1, X t = 0)P (X t+1 = 1 X t = 0) = P (X t+2 = 0 X t+1 = 0)P (X t+1 = 0 X t = 0) + P (X t+2 = 0 X t+1 = 1)P (X t+1 = 1 X t = 0) = P 00 P 00 + P 10 P 01 = P 00 P 00 + P 01 P 10 Penyelesaian tersebut berlaku pula untuk P01, 2 P10 2 dan P11. 2 Atau sama saja dengan mengalikan dua matriks P yaitu P 2 = P.P ( ) ( ) P 00 P 01 P 00 P 01 =. P 10 P 11 P 10 P 11 ( ) P 00 P 00 + P 01 P 10 P 00 P 01 + P 01 P 11 = P 10 P 00 + P 11 P 10 P 10 P 01 + P 11 P 11 Jadi, untuk contoh di atas P00 2 = P 00 P 00 + P 01 P 10 = 0.3(0.3) + 0.7(0.5) = 0.44 atau, matriks stokastik dua-langkahnya adalah ( ) ( ) P = ( ) = Pengantar Proses Stokastik 42

47 BAB 3: Rantai Markov Diskrit Chapman-Komogorov Equations Misalkan P n ij menyatakan peluang bahwa proses pada keadaan i akan berada pada keadaan j setelah n-transisi, P n ij = P (X t+n = j X t = i), n 0, i, j 0 Persamaan Chapman-Kolmogorov memberikan metode untuk menghitung peluang transisi n + m-langkah, yaitu P n+m ij = k=0 P n ik P m kj untuk semua n, m 0, semua i, j Pik n P kj m menyatakan peluang bahwa proses bermula pada keadaan i akan berpindah ke keadaan j dalam n + m transisi melalui keadaan k pada transisi ke-n. P n+m ij = P (X n+m = j X 0 = i) = P (X n+m = j, X n = k X 0 = i) = = k=0 P (X n+m = j X n = k, X 0 = i)p (X n = k X 0 = i) k=0 k=0 P m kj P n ik = k=0 P n ik P m kj Contoh 7 Misalkan pada Contoh 1 diketahui α = 0.7 dan β = 0.4, maka tentukan peluang bahwa akan hujan pada empat hari dari hari ini diberikan bahwa hari ini hujan! [ ] [ ] [ ] P 2 = = [ ] [ ] [ ] P 4 = = Jadi, P00 4 = Pengantar Proses Stokastik 43

48 BAB 3: Rantai Markov Diskrit Contoh 8 Perhatikan Contoh 3, diberikan pada hari Senin dan Selasa hujan, berapa peluang bahwa pada hari Kamis akan hujan? P 2 = = Senin Selasa Rabu Kamis atau 1 0 Peluang bahwa Kamis hujan adalah: P P P P = P P = = Peluang Transisi Tak Bersyarat Peluang transisi Pij n yang sudah kita hitung di atas merupakan peluang bersyarat. Jika kita ingin menghitung peluang transisi tak bersyaratnya yaitu P (X n = j), maka kita bisa menggunakan law of total probability yaitu P (X n = j) = = P (X n = j X 0 = i) P (X 0 = i) i=0 i=0 P n ij α i Pengantar Proses Stokastik 44

49 BAB 3: Rantai Markov Diskrit dengan α i = P (X 0 = i), i 0 adalah peluang tak bersyarat pada keadaan awal atau t = 0, dan α i = 1 i=0 Sebagai contoh, berdasarkan Contoh 7, jika α 0 = 0.4, α 1 = 0.6, maka peluang (tak bersyarat) bahwa akan hujan empat hari setelah kita mempunyai data perubahan cuaca adalah P (X 4 = 0) = P (X 4 = 0 X 0 = 0)P (X 0 = 0) + P (X 4 = 0 X 0 = 1)P (X 0 = 1) = P00 4 α 0 + P10 4 α 1 = 0.4P P10 4 = (0.4)(0.5749) + (0.6)(0.5668) = 0.57 Kebebasan dalam Matriks Stokastik Maka, Misalkan ( ) P = P (X t = 0 X t 1 = 0) = P (X t = 0 X t 1 = 1) Kemudian, dengan law of total probability = 0.4 P (X t = 0) = P (X t = 0 X t 1 = 0)P (X t 1 = 0) + P (X t = 0 X t 1 = 1)P (X t 1 = 1) α = 0.4 α (1 α) Jadi, α = 0.4 Pengantar Proses Stokastik 45

50 BAB 3: Rantai Markov Diskrit Dengan kata lain P (X t = 0 X t 1 = 0) = 0.4 = P (X t = 0) Ini berarti bahwa peubah acak X t saling bebas. Contoh-Contoh Lain 1. Jika pada waktu t, Vanes mengajukan klaim asuransi, maka Vanes akan mengajukan klaim pada waktu t + 1 dengan peluang α; jika Vanes tidak mengajukan klaim asuransi saat ini maka di masa depan Vanes akan mengajukan klaim asuransi dengan peluang β. Matriks peluang transisinya adalah Keadaan: 0 : tidak mengajukan klaim 1 : mengajukan klaim ( ) 1 β β P = 1 α α 2. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES, maka peluang GAGAL pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang GAGAL adalah 0.4. Keadaan-keadaan: 0 (SS) : kemarin S, sekarang S 1 (SG) : kemarin S, sekarang G 2 (GS) : kemarin G, sekarang S 3 (GG) : kemarin G, sekarang G P = Tim sepakbola IKS UII akan memainkan tujuh rangkaian pertandingan. Hasil setiap pertandingan saling bebas. Setiap pertandingan akan dimenangkan oleh tim A dengan peluang α dan oleh tim B dengan peluang 1 α. Misalkan Pengantar Proses Stokastik 46

51 BAB 3: Rantai Markov Diskrit keadaan suatu sistem direpresentasikan oleh pasangan (a, b) di mana a menyatakan banyak pertandingan yang dimenangkan oleh A dan b adalah banyak pertandingan yang dimenangkan B. Bentuklah Rantai Markov untuk masalah tersebut. Catatan: a + b 7 dan rangkaian pertandingan akan berakhir jika a = 4 atau b = Kelas Keadaan dan Limit Peluang Kelas Keadaan Keadaan j dikatakan dapat diakses dari keadaan i jika P n ij > 0 untuk suatu n 0. i j Perhatikan bahwa hal ini mengakibatkan keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika dan hanya jika, dimulai pada keadaan i, proses akan pernah masuk ke keadaan j. Dua keadaan i dan j yang dapat diakses satu sama lain dikatakan dapat berkomunikasi. i j Contoh: Pengantar Proses Stokastik 47

52 BAB 3: Rantai Markov Diskrit ( ) P = 1 0 Apakah keadaan 1 bisa berkomunikasi dengan dirinya sendiri? Solusi: P 11 = 0 P11 2 = P 10 P 01 + P 11 P 11 = 1(0.3) + 0 = 0.3 > 0 Jadi, 1 1 Jenis keadaan: 1. Keadaan i berkomunikasi dengan keadaan i untuk semua i 0 2. Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j, maka keadaan j berkomunikasi dengan keadaan i 3. Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j dan keadaan j berkomunikasi dengan keadaan k, maka keadaan i berkomunikasi dengan keadaan k. Dua keadaan yang saling berkomunikasi dikatakan berada dalam kelas yang sama. Rantai Markov dikatakan tidak dapat direduksi jika hanya terdapat satu kelas keadaan, yaitu jika semua keadaan saling berkomunikasi satu sama lain. Sebuah keadaan yang tidak bisa berpindah ke keadaan yang lain dikatakan sebagai keadaan absorbing. Contoh 9 Tentukan kelas keadaan dari Rantai Markov dengan peluang transisi P = a. 0 1 Pengantar Proses Stokastik 48

53 BAB 3: Rantai Markov Diskrit P 01 = 0 P01 2 = P 00 P 01 + P 01 P 11 + P 02 P 21 = (0.4) = 0.12 > P 10 = 0.5 > Jadi, 0 1 b. 1 2 P 12 = 0.5 > 0 P 21 = 0.4 > 0 Jadi, 1 2 c. 2 3 P 23 = 0.6 > 0 P 32 = 0 P32 2 = P 30 P 02 + P 31 P 12 + P 32 P 22 + P 33 P 32 = (0.5) = 0.1 > 0 Jadi, 2 3 Karena 0 1, 1 2, dan 2 3, maka masing-masing keadaan saling berkomunikasi sehingga kelas keadaannya adalah {0, 1, 2, 3} dan Rantai Markov tersebut tidak dapat direduksi. Contoh 10 Pengantar Proses Stokastik 49

54 BAB 3: Rantai Markov Diskrit Tentukan kelas keadaan dari matriks peluang transisi berikut P = 1/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2 Solusi: Kelas keadaannya: {0} dan {1, 2}. Keadaan {0} bersifat absorbing Sifat Keadaan Keadaan Recurrent dan Transient Untuk setiap keadaan i, misalkan f i peluang bahwa dimulai dari keadaan i proses akan pernah kembali ke keadaan i. Keadaan i dikatakan recurrent jika f i = 1 dan dikatakan transient jika f i < 1. Jika keadaan i recurrent, maka proses akan terus kembali ke keadaan i dengan peluang satu. Dengan definisi Rantai Markov, proses akan dimulai lagi ketika kembali ke keadaan i, dan seterusnya, sehingga keadaan i akan dikunjungi lagi. Jika keadaan i recurrent maka dimulai dari keadaan i maka proses akan kembali ke keadaan i terus dan terus sebanyak tak hingga kali. Misalkan keadaan i transient. Setiap kali proses kembali ke keadaan i terdapat kemungkinan (peluang yang positif) sebesar 1 f i bahwa proses tidak pernah kembali ke keadaan i. Dengan demikian, dimulai dari keadaan i, peluang bahwa proses berada di i sebanyak tepat n periode/kali adalah f n 1 i (1 f i ), n 1. Jika keadaan i transient maka, dimulai dari keadaan i, banyak periode/kali bahwa proses akan berada di keadaan i adalah peubah acak geometri dengan parameter 1 f i Keadaan i recurrent jika dan hanya jika, dimulai dari keadaan i, maka banyak periode/kali yang diharapkan (expected number of time periods) bahwa proses akan berada di keadaan i adalah tak hingga. Pengantar Proses Stokastik 50

55 BAB 3: Rantai Markov Diskrit Misalkan 1, X n = i I n = 0, X n i Misalkan I n menyatakan banyak periode/kali bahwa proses berada dalam keadaan i, dan n=0 [ ] E I n X 0 = i = n=0 = = E[I n X 0 = i] n=0 P (X n = i X 0 = i) n=0 n=0 P n ii Proposisi Keadaan i adalah Contoh 11 Recurrent jika n=1 Transient jika n=1 P n ii = P n ii < Misalkan Rantai Markov yang terdiri atas keadaan-keadaan 0, 1, 2, 3 mempunyai matriks peluang transisi 0 0 1/2 1/2 P = Tentukan keadaan mana yang transient dan mana yang recurrent. Solusi: Semua keadaan saling berkomunikasi dan semua keadaan bersifat recurrent Contoh 12 Pengantar Proses Stokastik 51

56 BAB 3: Rantai Markov Diskrit Matriks peluang transisi 1/2 1/ /2 1/ P = 0 0 1/2 1/ /2 1/2 0 1/4 1/ /2 Tentukan kelas keadaan dan sifat-sifatnya Solusi: Rantai Markov tersebut terdiri atas tiga kelas yaitu {0, 1}, {2, 3}, dan {4}. Sifat-sifatnya: Kelas {0, 1} dan {2, 3} bersifat recurrent Kelas {4} bersifat transient Limit Peluang Transisi Misalkan matriks peluang transisi pada Rantai Markov adalah ( ) P = Maka matriks peluang transisi 4 dan 8 langkahnya adalah ( ) P = ( ) P = Perhatikan bahwa matriks P 8 hampir identik dengan matriks P 4. Selain itu, setiap baris dari P 8 memiliki unsur yang identik. Pada kenyataannya, sepertinya P n ij konvergen ke suatu nilai, untuk n, yang sama untuk semua i. Dengan kata lain, terdapat limit peluang bahwa proses akan berada di keadaan j setelah sekian Pengantar Proses Stokastik 52

57 BAB 3: Rantai Markov Diskrit langkah (transisi). Nilai limit ini saling bebas dengan nilai pada keadaan awal. Jika waktu kembali yang pertama dari keadaan i hanya dapat berupa kelipatan dari integer d > 1, keadaan tersebut disebut periodik. periode 1 disebut aperiodik. Keadaan yang memiliki Jika keadaan i recurrent, maka keadaan tersebut akan dikatakan positive recurrent jika, dimulai dari keadaan i, waktu harapan hingga proses kembali ke i adalah hingga. Pada Rantai Markov yang memiliki keadaan hingga, semua keadaan recurrent adalah positive recurrent. Suatu keadaan yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik. Teorema Untuk Rantai Markov yang ergodik dan tidak dapat direduksi, ada dan saling bebas dari i. Misalkan lim P ij n n π j = lim P n n ij, j 0, maka π j adalah solusi nonnegatif tunggal dari π j = i=0 π i P n ij, j 0, dengan π j = 1. j=0 Catatan: Perhatikan bahwa P (X n+1 = j) = = P (X n+1 = j X n = i) P (X n = i) i=0 P ij P (X n = i) i=0 Misalkan n dan asumsikan kita bisa menambahkan limit di dalam per- Pengantar Proses Stokastik 53

58 BAB 3: Rantai Markov Diskrit samaan, maka π j = P ij π i i=0 Limit peluang π j adalah peluang jangka panjang (long-run proportion of time) bahwa suatu proses akan berada di keadaan j. Jika Rantai Markov tidak dapat direduksi, maka terdapat solusi untuk π j = lim P ij, n j 0,, dengan π j = 1, jika dan hanya jika Rantai Markov bersifat n j positive recurrent. Jika solusinya ada, maka solusi tersebut tunggal dan π j adalah proporsi jangka panjang bahwa Rantai Markov berada dalam keadaan j. Jika Rantai Markov aperiodik, maka π j adalah limit peluang bahwa rantai akan berada di keadaan j. Contoh 13 Jika hari ini hujan, peluang besok hujan adalah α. Jika hari ini tidak hujan, peluang besok hujan adalah β. Misal: 0 : hujan 1 : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah P = ( α dan kita mempunyai persamaan-persamaan β ) 1 α 1 β π 0 = απ 0 + βπ 1 π 1 = (1 α)π 0 + (1 β)π 1 π 0 + π 1 = 1 Maka diperoleh peluang hujan dan tidak hujan dalam jangka panjang adalah π 0 = β 1 + β α Pengantar Proses Stokastik 54

59 BAB 3: Rantai Markov Diskrit dan π 1 = 1 α 1 + β α Contoh 14 Misalkan keadaan mood Gary disajikan dalam matriks peluang transisi P = Berapa peluang jangka panjang untuk masing-masing keadaan? Kita mempunyai persamaan: dan diperoleh solusinya yaitu π 0 + π 1 + π 2 = 1 π 0 = 0.5π π π 2 π 1 = 0.4π π π 2 π 2 = 0.1π π π 2 π 0 = 21 62, π 1 = 23 62, π 2 = Contoh 15 Pandang suatu populasi yang besar dari sekumpulan individu, setiap individu memiliki sepasang gen tertentu, di mana gen setiap individu diklasifikasikan menjadi tipe A atau tipe a. Asumsikan bahwa proporsi individu yang pasangan gennya adalah AA, aa, atau Aa berturut-turut adalah p 0, q 0, dan r 0 (dengan p 0 + q 0 + r 0 = 1). Ketika dua individu dikawinkan, masing-masing berkontribusi satu dari gen mereka, terpilih secara acak, kepada keturunan yang dihasilkan. Asumsikan bahwa perkawinan terjadi secara acak, di mana setiap individu punya kesempatan yang sama untuk dikawinkan dengan individu yang lain, tentukan proporsi individu pada generasi selanjutnya yang gennya adalah AA, aa, atau Aa (sebut sebagai p, q, dan r). Pengantar Proses Stokastik 55