Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD."

Transkripsi

1 Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011

2 Daftar Isi 1 Peubah Acak dan Distribusi ILUSTRASI RUANG SAMPEL dan PELUANG PEUBAH ACAK dan FUNGSI DISTRIBUSI DISTRIBUSI DISKRIT DISTRIBUSI KONTINU Peluang dan Ekspektasi Bersyarat EKSPEKTASI FUNGSI PELUANG BERSAMA EKSPEKTASI BERSYARAT Rantai Markov ILUSTRASI DEFINISI PELUANG N-LANGKAH Program MATLAB dan R JENIS KEADAAN LIMIT PELUANG TRANSISI Distribusi Eksponensial dan Proses Poisson ILUSTRASI PEUBAH ACAK EKSPONENSIAL i

3 BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan B) mengenai sasaran adalah 0.4. Pertanyaan yang mungkin adalah Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluang bahwa itu tembakan G? 2. Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, kedua tembakan mengenai sasaran? 3. Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan G mengenai sasaran? Misalkan B kejadian B menembak sasaran Misalkan G kejadian G menembak sasaran Misalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaran Misalkan S kejadian sasaran tertembak P (G T ) P (G T ) P (T ) P (G B c ) P (G B c ) + P (B G c ) (0.4)(0.3) (0.4)(0.3) + (0.7)(0.6) 1

4 P (G S) P (B S) P (G B S) P (S) P (G)P (B) 1 P (G c B c ) (0.4)(0.7) 1 (0.6)(0.3) P (G S) P (G S) P (S) P (G S) 1 P (G c B c ) (0.6)(0.3) (Ilustrasi 2) Sebagai seorang sekretaris, Ega tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada. Misalkan p i adalah peluang bahwa Ega akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat j dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat j, j 1, 2, 3. Pertanyaan yang mungkin adalah Misalkan Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat. Berapa peluang hal itu akan terjadi? 2. Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? Misalkan K j, j 1, 2, 3 adalah kejadian surat berada di kotak surat j. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat 1 tidak mendapatkan surat. Peluang hal itu akan terjadi adalah P (T ) P (T K 1 )P (K 1 ) + P (T K 2 )P (K 2 ) + P (T K 3 )P (K 3 ) (1 p 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3 Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, maka peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1 adalah P (T K 1 )P (K 1 ) P (K 1 T ) P (T K 1 )P (K 1 ) + P (T K 2 )P (K 2 ) + P (T K 3 )P (K 3 ) (1 p 1 )(1/3) (1 p 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3 MA4081 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

5 (Ilustrasi 3) Kuliah Analisis Multivariat, Statistika Matematika, dan Proses Stokastik di MA ITB diikuti oleh 50, 75 dan 100 mahasiswa. Dari jumlah tersebut diketahui bahwa 50, 60 dan 70 persen-nya adalah mahasiswa Angkatan Seperti biasa, mahasiswa akan mungkin mengundurkan diri dari perkuliahan tersebut, dengan kemungkinan yang sama. Seorang mahasiswa mengundurkan diri dan dia adalah mahasiswa Angkatan Berapa peluang bahwa mahasiswa tersebut mengambil kuliah Proses Stokastik? (Ilustrasi 4) Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya orang yang tidak datang dengan peluang sukses (tidak datang) X B(52, 0.05). P (X 2) 1 [P (X 0) + P (X 1)] 1 (0.05) 0 (0.95) 52 52(0.05) 1 (0.95) (Ilustrasi 5) Misalkan X peubah acak berdistribusi Poisson dengan mean λ. Parameter λ berdistribusi eksponensial dengan mean 1. Tunjukkan bahwa P (X n) (1/2) n+1 P (X n) (1/2) n+1 1 n! P (X n λ) e λ dλ e λ λ n e λ dλ n! e 2λ λ n dλ 1 n! 0 e s s n ds MA4081 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

6 1.2 RUANG SAMPEL dan PELUANG Ruang sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer. Peluang Peluang kejadian A adalah P (A) lim n n(a) n Misalkan S adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah P (A) n(a) n(s) Peluang atau ukuran peluang P pada lap-σ A adalah suatu pemetaan dari A terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut: 1. 0 P (A) 1, untuk setiap A A 2. P (S) 1 3. Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asing A 1, A 2,..., ( P i1 A i ) P (A i ) i1 Teorema 1. P (A c ) 1 P (A) 2. Jika A B maka P (A) P (B) 3. P (A B) P (A) + P (B) P (A B) MA4081 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

7 1.3 PEUBAH ACAK dan FUNGSI DISTRIBUSI Peubah Acak Peubah acak tidaklah acak dan bukanlah peubah Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota S ke bilangan real R P.A. Diskrit Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {a i, i 1, 2,... } sedemikian hingga P ( {X a i } ) P (X a i ) 1 i i Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. F X disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {a i, i 1, 2,... } dari bilangan real dan barisan {p i, i 1, 2,... } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga p i 1 dan i F X (x) a i x p i Jika diberikan himpunan terhitung {a i, i 1, 2,... } dan bilangan positif {p i, i 1, 2,... } sdh i p i 1, fungsi peluang p X (x) adalah p X (x) p i P (X a i ), dengan x a i Fungsi distribusi (kumulatif): F (x) P (X x) Sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun MA4081 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

8 (b) lim x F (x) 1 (c) lim x F (x) 0 (d) F fungsi kontinu kanan Catatan: P (a < X b) F (b) F (a) P (X b) P (X < b) P (X < b) P ( { 1 }) lim X b n n lim P ( X b 1 ) n n lim F ( b 1 ) n n P.A. Kontinu Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya F X dapat diturunkan. Fungsi peluang f X adalah turunan dari fungsi distribusi, f X (x) d dx F X(x) atau dengan kata lain F X (x) x f X (t) dt Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Catatan: 1 F X ( ) P (a X b) F X (b) F X (a) P (X a) a a f X (t) dt 0 f X (t) dt b a f X (t) dt MA4081 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

9 Contoh/Latihan: 1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < 3.1 3/5, 3.1 x < 0 F (x) 7/10, 0 x < 1 1, 1 x 2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < x, 0 x < F (x), 1 x < , 2 x < 3 1, x 3 3. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut: p, x , x , x 20p f(x) p, x 3 4p, x 4 0, yang lain Hitung P ( 1.9 X 3), F (2), F (F (3.1)) MA4081 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

10 1.4 DISTRIBUSI DISKRIT (Ilustrasi B-1) Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat dengan kematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi mereka adalah seperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke hari sudahlah merupakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiap orang memiliki peluang untuk dapat bertahan hidup sampai hari esok sebesar α i, dengan i menyatakan orang kei, i 1, 2,.... Jika jumlah pasien IGD pada suatu hari adalah 5 orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2 orang saja yang masih hidup? (Ilustrasi B-2) Misalkan sebuah mesin dari pesawat akan rusak (saat terbang) dengan peluang 1-p, saling bebas antara mesin satu dan yang lain. Misalkan sebuah pesawat akan melakukan penerbangang sukses jika setidaknya 50% mesin bekerja dengan baik (tidak rusak). Untuk p berapa, sebuah pesawat dengan 4 mesin akan lebih disukai (terbang lebih baik) dibandingkan dengan pesawat dengan 2 mesin? Misalkan X menyatakan banyak mesin baik (tidak rusak). bermesin 4: Untuk pesawat P (X 2) P (X 2) + P (X 3) + P (X 4) 6p 2 (1 p) 2 + 4p 3 (1 p) + p 4 sedangkan untuk pesawat bermesin 2: P (X 1) 1 P (X 0) 1 (1 p) 2 Syarat: * lebih besar dari **. Diperoleh p > 2/3. Distribusi Binomial Misalkan S {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan sukses atau gagal dari suatu percobaan. Definisikan X(sukses) 1 dan X(gagal) 0 dan p X (1) P (X 1) p p X (0) P (X 0) 1 p dimana 0 p 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakan peubah acak Bernoulli dengan parameter p. Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, p), dimana p X (k) B(k; n, p) C n k p k (1 p) n k MA4081 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

11 (Ilustrasi P-1) Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter λ 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini? Misalkan X menyatakan banyak kecelakaan. P (X 0) exp( 3) (Ilustrasi P-2) Misalkan X peubah acak Poisson dengan parameter λ. Tunjukkan bahwa P (X i) naik secara monoton sebelum kemudian turun secara monoton untuk i semakin besar. Distribusi Poisson Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang λ λi p X (i) e i! untuk i 0, 1, 2,... dan λ > 0. parameter λ. X disebut peubah acak Poisson dengan Ilustrasi G-1 Ini kisah masa lalu Nurul yang sempat diceritakan sesaat sebelum Nurul menikah. Katanya Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku. Pertanyaan yang mungkin adalah... Berapa peluang bahwa orang yang dinikahi Nurul tidak memiliki hubungan darah? Jika Nurul tidak ingin menikah dengan saudara sedarah, berapa peluang bahwa Nurul akhirnya menikahi orang yang bukan saudara sedarah? (Ilustrasi G-2) Tiga remaja makan disuatu restoran. Untuk menentukan siapa yang akan membayar, mereka sepakat untuk mengundi dengan melantunkan koin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain wajib membayar makanan yang telah dipesan. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan (i) P (X 3) (ii) b. P (X > 4) Peluang sukses (ada yang lantunannya berbeda alias ada yang bayar) adalah 3/4. Dengan demikian X Geo(3/4). P (X 3) (1/4) 2 (3/4) 3/64 P (X > 4) 1 P (X 4) 1/256 MA4081 Pros.Stok. 9 K. Syuhada, PhD.

12 Distribusi Geometrik Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses p. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter p. Fungsi peluangnya adalah p(n) P (X n) (1 p) n 1 p, untuk n 1, 2,... dan p > 0. MA4081 Pros.Stok. 10 K. Syuhada, PhD.

13 1.5 DISTRIBUSI KONTINU Ilustrasi Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil pengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu. Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebut DISTRIBUSI NORMAL. Ketika hasil pengukuran membentuk suatu distribusi normal, ada beberapa hal yang dapat diprediksi. Pertama, mean, median dan modus sama. Kedua, seseorang dapat memperkirakan seberapa jauh (dari mean) hasil pengukuran akan terjadi. Dengan demikian, akan dapat ditentukan skor/nilai mana yang lebih mungkin terjadi dan peluang/proporsi nilai diatas atau dibawah nilai tersebut. Kebanyakan hasil pengukuran perilaku mengikuti distribusi normal. Misalnya, nilai IQ. Meannya 100 dan umumnya IQ seseorang akan berada diantara atau 15 nilai dari mean. Jika psikolog mengetahui mean dan deviasi standar maka akan dapat ditentukan proporsi skor/nilai yang berada disetiap daerah jangkauan (range). Tentu saja, terlepas dari keumuman distribusi normal, terdapat beberapa kasus dengan nilai/hasil pengukuran yang tidak berdistribusi normal. Kenormalan atau ketidaknormalan data sangat penting dalam menentukan uji statistik yang bersesuaian. Distribusi Normal Definisi: Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Normal atau GAUSS dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang f X nya sbb: f X (x) 1 2 π σ exp( (x µ) 2 / 2 σ 2 ), x Diskusi: Ukuran ideal jumlah mahasiswa di kelas TP adalah 60 orang. Namun demikian, Departemen MA ITB mencatat bahwa biasanya hanya 30 persen mahasiswa saja dari total yang terdaftar yang benar-benar hadir dalam perkuliahan. Jika MA ITB memutuskan menerima 180 mahasiswa untuk kelas TP, berapa peluang bahwa lebih dari 60 orang hadir di kelas? Teorema Limit DeMoivre-Laplace Jika S n menyatakan banyaknya sukses yang terjadi pada n percobaan inde- MA4081 Pros.Stok. 11 K. Syuhada, PhD.

14 penden, dengan peluang sukses adalah p, maka untuk setiap a < b, ( ) P a S n np b Φ(b) Φ(a), np(1 p) untuk n. (pendekatan Normal untuk Binomial akan baik jika np(1 p) besar, np(1 p) 10) Distribusi Uniform Definisi: Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi seragam pada selang (a, b) jika fungsi peluang f X nya sbb: f X (x) 1 b a, a x b Contoh/Latihan: 1. Jika X berdistribusi Uniform pada selang (-1,1), tentukan P ( X > 1/2), tentukan fungsi peluang dari X. 2. Misalkan lama (dalam menit) mahasiswa mengikuti kuliah TP adalah peubah acak dengan fungsi peluang seperti gambar dibawah berikut. Tentukan peluang seorang mahasiswa mengikuti kuliah lebih dari 15 menit? antara 20 dan 35 menit? Inverse Transformation Method Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap fungsi distribusi kontinu F, jika kita definisikan peubah acak X sbb: X F 1 (U) maka peubah acak X memiliki fungsi distribusi F. Contoh. Jika F (x) 1 e x maka F 1 (u) adalah nilai x sedemikian hingga atau 1 e x u x log(1 u) MA4081 Pros.Stok. 12 K. Syuhada, PhD.

15 Jadi, jika U adalah peubah acah Uniform(0,1) maka F 1 (U) log(1 U) adalah peubah acak Eksponensial dengan mean 1 (parameter 1). Distribusi Gamma Peubah acak Gamma: Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang sebanyak n kali, maka banyaknya sukses yang diperoleh adalah peubah acak berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p, dimana p adalah peluang sukses. Jika kita memandang banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan sampai diperoleh (dan termasuk) sukses ke-r, maka kita dapatkan peubah acak beristribusi Binomial negatif dengan parameter r dan p. Peubah acak Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif. Dalam hal ini kita pandang peubah acak Binomial negatif ini sebagai waktu yang diberikan untuk sukses ke-r. Definisi: Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang f(x) λα Γ(α) xα 1 e λx, x > 0 dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusi Gamma dengan parameter α dan λ; x Gamma(α, λ). Definisi Fungsi Gamma: Γ(t) 0 x t 1 e x dx Catatan: Γ(t + 1) t Γ(t), t > 0 Diskusi. 1. Jelaskan/Buktikan: Γ(n) (n 1)! n 1, 2,... ( Γ n + 1 ) (2n)! π 2 n! 2 2n 2. Apa yang dapat kita katakan tentang distribusi Gamma jika α 1, α < 1, α > 1? 3. Jika α membesar maka fungsi peluang Gamma nampak seperti fungsi peluang Normal. Berikan ilustrasi pada λ 2 dan α 1/2, 1, 5/2, 5 MA4081 Pros.Stok. 13 K. Syuhada, PhD.

16 BAB 2 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 2.1 EKSPEKTASI Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah E(X) x x p X (x) dan E(X) x f X (x) dx dimana p X dan f X adalah fungsi peluang dari X. Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi mean momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!) Contoh/Latihan: 1. Pengurus dan Anggota HIMATIKA sebanyak 120 orang akan berangkat ke Jakarta dengan menggunakan 3 bis. Ada 36 mahasiswa di bis 1, 40 mahasiswa di bis 2 dan 44 mahasiswa di bis 3. Ketika bis sampai tujuan, seorang mahasiswa dipilih secara acak. Misalkan X menyatakan 1

17 banyaknya mahasiswa di bis dimana seseorang tersebut terpilih. Hitung E(X). (Solusi: ) 2. Jika X P ois(λ), tentukan E(X). (Solusi: λ) 3. Misalkan X adalah peubah acak dengan nilai yang mungkin 1, 0, 1 dan peluang: p( 1) 0.2, p(0) 0.5, p(1) 0.3 Hitung E(X 2 ). (Solusi: 0.5) SIFAT-SIFAT EKSPEKTASI 1. E(g(X)) g(x) f X(x) dx 2. E(a X + b Y ) a E(X) + b E(Y ) 3. E(XY ) E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas. 4. E(X) 0 P (X > x) dx, untuk X > 0 (*) 5. E(X r ) xr f X (x) dx (momen ke-r) 6. E((X µ X ) r ) (x µ X) r f X (x) dx (momen pusat ke-r) 7. E((X µ X ) 2 ) V ar(x) E(X 2 ) (E(X)) 2 Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X. 8. E(e tx ) etx f X (x) dx M X (t) (fungsi pembangkit momen) 9. M X (0) E(X), M X (0) E(X2 ) Contoh/Latihan: 1. Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorang pemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilih acak: y p(y) Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemain sepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilih acak. Berapa nilai harapan banyak pertandingan dimana pemain menciptakan 3 atau lebih gol? MA4081 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

18 Solusi: P (Y 3) 0.4 P ( sukses ) p E(W ) n p 4 (0.4) Misalkan X peubah acak dengan M X (t) sebagai fungsi pembangkit momen. Didefinisikan f(t) ln M X (t). Tunjukkan bahwa f (0) V ar(x) Solusi: saat t 0, f (t) M X(t)/M X (t) f (t) M X (t) M X(t) (M X (t))2 (M X (t)) 2 f (0) M X (0) M X(0) (M X (0))2 (M X (0)) 2 E(X 2 ) (E(X)) 2 V ar(x) dimana M X (0) 1, M X (0) E(X), M X (0) E(X2 ). 3. Diketahui fungsi peluang: f(x) c (4x 2x 2 ), 0 < x < 2 Hitung E(X) dan P (1/2 < X < 3/2) Solusi: 2 0 f(x) dx 2 0 c(4x 2x 2 ) dx 1 Diperoleh c 3/8. E(X) x 3/8 (4x 2x 2 ) dx 1 P (1/2 < X < 3/2) 3/2 1/2 3/8 (4x 2x 2 ) dx 11/16 4. Diketahui X B(n, p). Buktikan: ( ) 1 E p + q(1 qn ) X + 1 (n + 1)p MA4081 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

19 Bukti: E 5. Diketahui: ( ) 1 X + 1 n 1 i + 1 n!(n i)! i! pi q n i n n!(n i)! (i + 1)! p i q n i i0 i0 1 (n + 1)p 1 (n + 1)p n i0 n+1 j1 C n+1 i+1 pi+1 q n i C n+1 j p j q n+1 j 1 [ 1 C n+1 0 p 0 q n+1 0] (n + 1)p 1 ( ) 1 q n+1 (n + 1)p p + q qn+1 (n + 1)p p + q(1 qn ) (n + 1)p f(x) 1 Γ(r) (λ x)r 1 λ exp( λ x) Tentukan E(X k ), k 2, 3 Solusi: X Gamma(r, λ) dengan M X (t) (1 λ t) r. M X(t), M X (t) 6. Misalkan X peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter θ. Tunjukkan bahwa: E ( X n) θ E ( (X + 1) n 1) MA4081 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

20 Bukti: E ( X n) λ i n e λ λ i / i! i0 i n e λ λ i / i! i1 i n 1 e λ λ i / (i 1)! i1 (j + 1) n 1 e λ λ j+1 / j! j0 (j + 1) n 1 e λ λ j / j! j0 λ E ( (X + 1) n 1) 7. Misalkan X menyatakan lama (jam) mhs belajar TP dan fungsi peluang X adalah sbb: f(x) { x 2, 2 x < 3 1, 4 < x < 6 4 (a) Berapa persen mhs menghabiskan waktu lebih dari 150 menit utk belajar TP? (b) Berapa rata-rata lama waktu mhs belajar TP? (c) Jika seorang mhs menghabiskan waktu lebih dari 130 menit, berapa peluang mhs itu selesai belajar kurang dari 4.5 jam? (d) Hitung P (X 2), P (X 3), P (X E(X)), P (X < E(X)) Solusi: (a) P (X > 2.5) 3 (x 2) dx + 6 1/4 dx (b) E(X) 10/3 (c) P (X < 4.5 X > 13/6) P (13/6 < X < 4.5)/P (X > 13/6) (d) P (X E(X)) 0, P (X < E(X)) P (X < 10/3) 1/2 MA4081 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

21 8. Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x) 0, x < 2 0.2, 2 x < 0 0.5, 0 x < , 2.2. x < q, 3 x < q, 4 x < 5.5 1, x 5.5 dan diketahui P (X > 3.3) a. Tentukan fungsi pembangkit momen dari X atau M X (t) b. Gunakan M X (t) untuk menentukan Var(X). Solusi: p( 2) 0.2, p(0) 0.3, p(2.2) 0.1, p(3) q, p(4) q, p(5.5) 0.4 2q a. P (X > 3.3) p(4) + p(5.5) q q 0.25 q 0.15 M X (t) E(e tx ) e tx p(x) e 2t p( 2) + e 0t p(0) + e 2.2t p(2.2) + e 3t p(3) + e 4t p(4) + e 5.5t p(5.5) 0.2 e 2t e 2.2t e 3t e 4t e 5.5t b. M X(t) 0.2 e 2t e 2.2t e 3t e 4t e 5.5t 0.4 e 2t e 2.2t e 3t e 4t e 5.5t M X(0) MA4081 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

22 2.2 FUNGSI PELUANG BERSAMA Ilustrasi. Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter kecelakaan. Banyaknya kecelakaan pada seseorang setiap tahun berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Perusahaan juga menduga bahwa pemegang polis baru akan memiliki parameter kecelakaan yang nilainya adalah peubah acak gamma dengan parameter s dan α. Jika seorang pemegang polis baru mengalami n kecelakan di tahun pertama, kita dapat menentukan peluang bersyarat dari parameter kecelakaannya. Selain itu, kita juga dapat menentukan banyak kecelakaan (yang diharapkan) pada tahun berikutnya. Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama (joint pmf) dari X dan Y adalah p X,Y (x, y) P (X x, Y y) Catatan: 1. Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti 2 peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama 2. {X x, Y y} adalah irisan kejadian {X x} dan {Y y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y bernilai y Proposisi Fungsi peluang bersama p X,Y memenuhi sifat-sifat berikut: 1. p X,Y (x, y) 0, (x, y) 2. (x, y) R 2 : p X,Y (x, y) 0 terhitung 3. x,y p X,Y (x, y) 1 Proposisi Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Maka, p X (x) y p X,Y (x, y), x R MA4081 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

23 dan p Y (y) x p X,Y (x, y), y R adalah fungsi peluang marginal dari X dan fungsi peluang marginal dari Y. Contoh/Latihan: 1. Diberikan data ttg jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumah yang akan dijual sbb (X kamar tidur, Y kamar mandi): X\Y Total Total a. Hitung p X,Y (3, 2) b. Tentukan fungsi peluang bersama dari X dan Y Solusi: X\Y Total Total Misalkan kita punyai 2 komponen elektronik yang identik. Misalkan juga X dan Y adalah waktu hidup (jam, diskrit). Asumsikan fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah p X,Y (x, y) p 2 (1 p) x+y 2, x, y N dimana 0 < p < 1. Tentukan dan identifikasikan fungsi peluang marginal dari X dan Y. Solusi: p X (x) y p X,Y (x, y) p 2 (1 p) x+y 2 y1 p 2 (1 p) x 2 (1 p) y p (1 p) x 1 y1 MA4081 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

24 3. Diantara 8 orang politisi: 2 Golkar, 2 Demokrat, 4 PDIP. Tiga dari 8 politisi ini dipilih secara acak dengan pengembalian. Misalkan X adalah banyaknya Golkar, Y banyaknya Demokrat. Tentukan fungsi peluang bersama X dan Y. Hitung P (X Y ) Solusi: p X,Y (x, y) C 3 x,y,3 x y (1/4) x (1/4) y (1/2) 3 x y, x, y 0, 1, 2, 3 X\Y Total 0 1/8 3/16 3/32 1/64 27/64 1 3/16 3/16 3/ /64 2 3/32 3/ /64 3 1/ /64 Total 27/64 27/64 9/64 1/ Pandang keadaan pada soal 2. Tentukan peluang bahwa (a) kedua komponen elektronik tsb bertahan lebih dari 4 jam? (b) salah satu komponen bertahan setidaknya 2 kali dari komponen yang lain? Solusi: p X,Y (x, y) p 2 (1 p) x+y 2 x>4 y>4 x5 y5 (1 p) 8 P (X 2Y ) + P (Y 2X) 2 P (X 2Y ) 2 p 2 (1 p) x+y 2 y1 x2y 2(1 p) 3 3p + p 2 Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersama dari X dan Y, F X,Y adalah F X,Y (x, y) P (X x, Y y), x, y R Contoh: MA4081 Pros.Stok. 9 K. Syuhada, PhD.

25 Misalkan sebuah titik diambil secara acak dari {(x, y) R 2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1} Misalkan X dan Y menyatakan koordinat x dan y dari titik yang terpilih. Tentukan fungsi distribusi bersama dari X dan Y. Jawab: Kasus 1: x < 0, y < 0 Kasus 2: 0 x < 1, 0 y < 1 Kasus 3: 0 x < 1, y 1 Kasus 4: x 1, 0 y < 1 Kasus 5: x 1, y 1 Proposisi. Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak terdefinisi di ruang sampel yang sama. Untuk semua bilangan riil a, b, c, d dimana a < b dan c < d, P (a < X b, c < Y d) F X,Y (b, d) F X,Y (b, c) F X,Y (a, d)+f X,Y (a, c) Definisi. Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Fungsi non-negatif f X,Y adalah fungsi peluang bersama dari X dan Y untuk semua bilangan riil a, b, c, d dimana a < b dan c < d, P (a X b, c Y d) Catatan: b a d c f X,Y (x, y) dxdy f X,Y (x, y) 2 x y F X,Y (x, y) 2 y x F X,Y (x, y) Proposisi. Suatu fungsi peluang bersama f X,Y (x, y) dari peubah acak X dan Y memenuhi 2 sifat berikut 1. f X,Y (x, y) 0 untuk semua (x, y) R 2 2. f X,Y (x, y) dxdy 1 Proposisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi MA4081 Pros.Stok. 10 K. Syuhada, PhD.

26 peluang bersama f X,Y (x, y). Maka dan f X (x) f Y (y) f X,Y (x, y)dy, x R f X,Y (x, y)dx, y R adalah fungsi peluang marginal dari X dan Y. Contoh/Latihan: 1. Misalkan X dan Y memiliki fungsi peluang bersama (i) f(x, y) c (y 2 x 2 ) e y, y x y, 0 < y < (ii) f(x, y) c x y 2, 0 x 1, 0 y 1 a. Tentukan c b. Tentukan fungsi peluang marginal X dan Y c. Hitung P (Y > 2X) d. Apakah X dan Y saling bebas? Solusi: a. Untuk menentukan c: 1 Jadi c 1/8. y 0 y c (y 2 x 2 ) e y dx dy 8c b. Fungsi peluang marginal: f X (x) 1/4 e x (1 + x ) f Y (y) 1/6 y 3 e y, y 0 c. P (Y > 2X) y/2 0 y c (y 2 x 2 ) e y dx dy d. X dan Y tidak saling bebas. MA4081 Pros.Stok. 11 K. Syuhada, PhD.

27 Catatan: X dan Y saling bebas jika f(x, y) f X (x) f Y (y) 2. Pandang 2 komponen elektronik A dan B dengan masa hidup X dan Y. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah f X,Y (x, y) λ µ exp( λx + µy), x, y > 0 dimana λ > 0, µ > 0 a. Tentukan peluang bahwa kedua komponen berfungsi pada saat t b. Tentukan peluang bahwa komponen A adalah komponen yang pertama kali rusak c. Tentukan peluang bahwa komponen B adalah komponen yang pertama kali rusak Solusi: a. P (X > t, Y > t) t t e (λ+µ)t λ µ e (λ x+µ y) dy dx b. P (X < Y ) 0 x λ λ + µ λ µ e (λ x+µ y) dy dx 3. Ketika kebakaran terjadi dan dilaporkan ke perusahaan asuransi, perusahaan asuransi tersebut segera membuat perkiraan awal X yaitu besar nilai klaim yang akan diberikan. Setelah klaim dihitung secara lengkap, perusahaan harus melunasi pembayaran klaim sebesar Y. Perusahaan menentukan bahwa X dan Y memiliki fungsi peluang bersama f X,Y (x, y) 2 x 2 (x 1) y (2x 1)/(x 1), x > 1, y > 1 a. Tentukan f X (x) b. Jika besar klaim awal yang diberikan adalah 2, tentukan peluang bahwa klaim yang diterima berikutnya adalah antara 1 dan 3. MA4081 Pros.Stok. 12 K. Syuhada, PhD.

28 Solusi: a. f X (x) 1 b. P (1 < Y < 3 X 2) 2 x 2 (x 1) y (2x 1)/(x 1) dy 3 1 8/9 ( fx,y (x, y) f X (x) ) dy X2 MA4081 Pros.Stok. 13 K. Syuhada, PhD.

29 2.3 EKSPEKTASI BERSYARAT Ilustrasi 1. Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu di suatu pabrik adalah empat. Misalkan banyaknya buruh yang terluka/cedera setiap kecelakaan adalah peubah acak yang saling bebas dengan mean dua. Asumsikan bahwa banyaknya buruh yang terluka di setiap kecelakaan saling bebas dengan banyaknya kecelakaan yang terjadi. Berapa banyak orang terluka rata-rata per minggu? Ilustrasi 2. Seorang narapidana terjebak dalam suatu sel penjara yang memiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan dan kembali ke sel dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowongan yang kembali ke sel dalam tempo masing-masing empat dan satu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat? Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Jika p X (x) > 0 maka fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X x (notasi: p Y X (y x)), adalah p Y X (y x) p X,Y (x, y), y R p X (x) Jika p X (x) 0, kita definiskan p Y X (y x) 0 namun tidak dikatakan sebagai fungsi peluang bersyarat. Catatan: Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang! Proposisi. Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Kedua peubah acak ini dikatakan saling bebas (independen) jika dan hanya jika p X,Y (x, y) p X (x) p Y (y) x, y R Contoh/Latihan: 1. Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter kecelakaan. Banyaknya kecelakaan pada seseorang setiap tahun berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Perusahaan juga menduga bahwa pemegang polis baru akan memiliki parameter kecelakaan yang nilainya adalah peubah acak gamma dengan parameter s dan α. Jika seorang pemegang polis baru mengalami n kecelakan di tahun pertama, tentukan peluang bersyarat dari parameter kecelakaannya. Tentukan banyak kecelakaan (yang diharapkan) pada MA4081 Pros.Stok. 14 K. Syuhada, PhD.

30 tahun berikutnya. Solusi: Misalkan N menyatakan banyak kecelakaan per tahun yang berdistribusi Poisson dengan mean λ, dimana Λ berdistribusi Gamma dengan parameter s dan α (Catatan: Λ adalah huruf besar dari λ). P (Λ λ, N n) f Λ N (λ n) P (N n) 1 P (N n) P (N n Λ λ) f Λ(λ) 1 e λ λ n P (N n) n! C λ n+α 1 e (s+1)λ, s α Γ(α) λα 1 e s λ dengan C konstanta. Fungsi peluang f Λ N haruslah berdistribusi Gamma dengan parameter s + 1 dan n + α. Jadi, f Λ N (λ n) (s + 1)n+α Γ(n + α) λn+α 1 e (s+1)λ Banyak kecelakaan yang diharapkan (expected number of accidents), E(Λ N n), adalah nilai harapapan (expected value) dari distribusi Gamma dengan parameter s + 1 dan n + α yaitu (n + α)/(s + 1). 2. Banyaknya orang Z yang datang ke ruang UGD selama sejam memiliki distribusi Poisson dengan parameter λ. Peluang orang yang datang adalah laki-laki adalah p dan peluang perempuan datang adalah q. Misalkan X dan Y berturut-turut adalah banyaknya laki-laki dan perempuan yang datang ke UGD selama sejam. a. Tunjukan bahwa X P OI(pλ) dan Y P OI(qλ) b. Apakah X dan Y saling bebas? Solusi: Peubah acak Z berdistribusi Poisson: f Z (z) e λ λ z, z 0, 1, 2,... z! Untuk Z z, maka kedatangan pasien laki-laki adalah peubah acak Binomial dengan parameter (z, p): f X Z (x z) C z x p x (1 p) z x, x 0, 1,..., z MA4081 Pros.Stok. 15 K. Syuhada, PhD.

31 dan untuk pasien perempuan: f Y Z (y z) Cy z q x (1 q) z y, y 0, 1,..., z Sehingga fungsi peluang bersama X dan Y diberikan Z z: f X,Y Z (x, y z) Cx,y z p x q y, x + y z Untuk mendapatkan fungsi peluang marginal dari X, kita hitung f X (x) z f X,Z (x, z) z f X Z (x z) f Z (z) e pλ (pλ) x x! Jadi, X P OI(pλ). Dengan cara sama, kita peroleh Y P OI(qλ). Selanjutnya, untuk menentukan apakah X dan Y saling bebas kita tunjukkan bahwa f X,Y (x, y) z f X,Y,Z (x, y, z) z f X,Y Z (x, y z) f Z (z) f X (x) f Y (y) Misalkan X berdistribusi Uniform pada selang (0, 1). Misalkan Y X n. Maka F Y (y) P (Y y) P (X n y) P (X y 1/n ) F X (y 1/n ) y 1/n dan fungsi peluang dari Y adalah f Y (y) (1/n) y 1/n 1, 0 y 1 Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f X. Misalkan Y X 2, F Y (y) P (Y y) P (X 2 y) P ( y X y) F X ( y) F X ( y) dan fungsi peluangnya adalah f Y (y) 1 ( 2 f X ( y) f X ( ) y) y MA4081 Pros.Stok. 16 K. Syuhada, PhD.

32 Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak positif saling bebas. Misalkan (i) Z X/Y (ii) Z XY, maka F Z (z) P (Z z) P (X/Y z) P (X zy ) zy f Y (y) dan fungsi peluangnya: f X (x) f Y (y) dx dy zy 0 f Y (y) F X (zy) dy f X (x) dx dy f X/Y (z) 0 y f Y (y) f X (zy) dy Misalkan X dan Y saling bebas dan kita ingin menentukan fungsi distribusi dan fungsi peluang X + Y, F Z (z) P (Z z) P (X + Y z) P (X zy ) z y z y f X (x) f Y (y) dx dy f X (x) dx f Y (y) dy F X (z y) f Y (y) dy, dimana fungsi distribusi F X+Y F Y. Fungsi peluangnya adalah ini disebut konvolusi dari distribusi F X dan f X+Y (z) d dz F X (z y) f Y (y) dy d dz F X(z y) f Y (y) dy f X (z y) f Y (y) dy Tentukan distribusi dari X + Y jika X dan Y peubah acak-peubah acak saling bebas berdistribusi (i) Uniform(0, 1) (ii) Poisson dengan parameter λ i. MA4081 Pros.Stok. 17 K. Syuhada, PhD.

33 Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Jika f X (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X x, E(Y X x) y f X,Y (x, y) f X (x) dy y f Y X (y x) dy Proposisi. Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka atau E(Y ) E(Y X x) f X (x) dx E(Y ) E(E(Y X x)) Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Jika f X (x) > 0 maka variansi bersyarat dari Y diberikan X x adalah variansi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X x, ( (Y ) ) 2 X V ar(y X x) E E(Y X x) x Proposisi. Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Misalkan variansi dari Y hingga. Maka V ar(y ) E(V ar(y X x)) + V ar(e(y X)) Latihan: 1. Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi eluang bersama f(x, y) e x(y+1), 0 x, 0 y e 1 a. Tentukan f Y (y) b. Hitung P (X > 1 Y 1 2 ) c. Hitung E(X Y 1 2 ) MA4081 Pros.Stok. 18 K. Syuhada, PhD.

34 Solusi: P (X > 1 Y 1 2 ) 1 1 e 3/2 e x(y+1) 1/(y + 1) dx x dx 2 e 2. K meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acak berdistribusi Seragam pada selang (20, 20 + (2t)/3). Misalkan Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah? Solusi: Y U(0, 60), X Y y U(20, 20 + (2y)/3). E(X) 60 0 E(X Y y) f Y (y) dy Jika X i Bin(n i, p), tentukan E(X 1 + X 2 X 1 ) 4. Jika X dan Y peubah acak-peubah acak Poisson saling bebas dengan parameter λ x dan λ y, tentukan E(X X + Y n). Bagaimana jika X dan Y berdistribusi Geometrik identik dengan parameter p? Kita ketahui bahwa jika X dan Y saling bebas maka Akibatnya, f X,Y (x, y) f X (x) g Y (y), E(XY ) E(X) E(Y ) Konsekuensi ini juga berlaku untuk setiap fungsi g dan h, E ( g(x)h(y ) ) E ( g(x) ) E ( h(y ) ) Definisi: Kovariansi antara peubah acak X dan Y, dinotasikan Cov(X, Y ), adalah ( (X ) ( ) ) Cov(X, Y ) E E(X) Y E(Y ) MA4081 Pros.Stok. 19 K. Syuhada, PhD.

35 Catatan: Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X, Y ) 0 (implikasi). Sifat-sifat kovariansi Cov(X, Y ) Cov(Y, X) Cov(X, X) V ar(x) Cov(a X, Y ) a Cov(X, Y ) ( n Cov i1 X i, ) m j1 Y j n m i1 j1 Cov(X i, Y j ) Perhatikan bahwa: ( n ) ( n ) n V ar X i Cov X i, X j i1 i1 j1 n n Cov(X i, X j ) i1 i1 j1 n V ar(x i ) + Cov(X i, X j ) i j Korelasi antara peubah acak X dan Y, dinotasikan ρ(x, Y ), didefinisikan sebagai ρ(x, Y ) Cov(X, Y V ar(x) V ar(y ), asalkan V ar(x) dan V ar(y ) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa 1 ρ(x, Y ) 1 Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y. Nilai ρ(x, Y ) yang dekat dengan +1 atau 1 menunjukkan derajat kelinieran yang tinggi. Nilai positif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membesar apabila X membesar. Jika ρ(x, Y ) 0 maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi. Latihan: 1. Tunjukkan bahwa Cov(X, E(Y X)) Cov(X, Y ) MA4081 Pros.Stok. 20 K. Syuhada, PhD.

36 2. Misalkan X peubah acak normal standar dan I (bebas dari X) sdh P (I 1) P (I 0) 1/2. Didefinisikan Y X, jika I 1; Y X, jika I 0 Tunjukkan bahwa Cov(X, Y ) 0 MA4081 Pros.Stok. 21 K. Syuhada, PhD.

37 BAB 3 Rantai Markov 3.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas. Tentu saja peluang besok hujan akan lebih besar dibanding peluang besok akan panas. Begitu pula jika hari ini panas. Besok akan lebih mungkin panas dibandingkan hujan. Jika hari Senin hujan, berapa peluang bahwa hari Selasa akan hujan? Berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan? (Ilustrasi 2) Pada 23 Juni lalu sekitar pukul mobil yang dikemudikan suami saya terperosok masuk lubang di jalan tol lingkar luar Jakarta, kira-kira 2 kilometer dari Pintu Tol Pondok Ranji arah Jakarta. Ban dan gadi-gading roda rusak. Esoknya saya mengajukan klaim asuransi Sinar Mas kepada SiMas Bekasi. Pada 1 Juli saya mendapat jawaban bahwa klaim asuransi ditolak dengan alasan: bagian yang rusak hanya ban dan gading-gading roda. Tak mengenai badan mobil. Padahal, tercantum jelas di dalam pasal-pasal polis asuransi maupun surat penolakan bahwa ban dan gading-gading roda tidak dijamin, kecuali disebabkan oleh Pasal 1 angka 1.1. Isi pasal itu, pertanggungan ini menjamin kerusakan yang secara langsung disebabkan oleh tabrakan, benturan, terbalik, tergelincir atau terperosok. Asuransi Sinar Mas berusaha menghindar dari kewajiban dengan alasan mengada-ada, bahkan mengingkari aturan yang dibuatnya sendiri (Surat Pembaca KOMPAS; 3/08/2010). Andaikan suatu hari saya mengajukan klaim lagi ke Asuransi Sinar Mas, berapa peluang bahwa klaim saya akan diterima? (Ilustrasi 3) Sebagai calon atlet, setiap pagi Swari meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatu olah raga atau sandal jenis crocs jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia 1

38 lewati (Dalam praktiknya, Swari harus bertelanjang kaki jika ternyata sandal crocs yang harus dipakai. Tak lain alasannya karena sang ayah tidak suka apabila Swari memakai sandal crocs). Ketika pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Swari memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Berapa peluang bahwa Swari akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki? MA4081 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

39 3.2 DEFINISI Proses stokastik {X n } adalah Rantai Markov: n 0, 1, 2,... nilai yang mungkin adalah hingga atau terhitung P ( ) X n+1 j X n i, X n 1 i n 1,..., X 1 i 1, X 0 i 0 Pij distribusi bersyarat X n+1, diberikan keadaan lampau (past states) X 0, X 1,..., X n 1 dan keadaan sekarang (present state) X n, hanya bergantung pada keadaan sekarang keadaan (state): i 0, i 1,..., i n 1, i, j P ij peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaan i; P ij 0, i, j 0; P ij 1, i 0, 1,... j0 Matriks peluang transisi P ij adalah sbb: P P 00 P 01 P 02 P 10 P 11 P P i0 P i0 P i0... Contoh/Latihan: 1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β. Matriks peluang transisinya adalah... ( ) α 1 α P β 1 β dengan keadaan-keadaan: 0 hujan 1 tidak hujan MA4081 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

40 2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah... P dengan keadaan-keadaan: 0 (00) hari ini dan kemarin hujan 1 (10) hari ini hujan, kemarin tidak hujan 2 (01) hari ini tidak hujan, kemarin hujan 3 (11) hari ini dan kemarin tidak hujan 3. Tiga item produk A dan tiga item produk B didistribusikan dalam dua buah paket/kotak sedemikian hinga setiap paket terdiri atas tiga item produk. Dikatakan bahwa sistem berada dalam keadaan i, i 0, 1, 2, 3 jika dalam paket pertama terdapat i produk A. Setiap saat (langkah), kita pindahkan satu item produk dari setiap paket dan meletakkan item produk tersebut dari paket 1 ke paket 2 dan sebaliknya. Misalkan X n menggambarkan keadaan dari sistem setelah langkah ke-n. Matriks peluang transisinya adalah... P /9 4/9 4/ /9 4/9 1/ dengan keadaan-keadaan: 0 terdapat 0 produk A di paket pertama 1 terdapat 1 produk A di paket pertama 2 terdapat 2 produk A di paket pertama 3 terdapat 3 produk A di paket pertama 4. Menurut Kemeny, Snell dan Thompson, Tanah Australia diberkahi dengan banyak hal kecuali cuaca yang baik. Mereka tidak pernah memiliki dua hari bercuaca baik secara berturut-turut. Jika mereka mendapatkan MA4081 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

41 hari bercuaca baik maka esok hari akan bersalju atau hujan dengan peluang sama. Jika hari ini mereka mengalami salju atau hujan maka besok akan bercuaca sama dengan peluang separuhnya. Jika terdapat perubahan cuaca dari salju atau hujan, hanya separuh dari waktu besok akan menjadi hari bercuaca baik. Tentukan matriks peluang transisi dari Rantai Markov yang dibentuk dari keadaan-keadaan diatas. P 1/2 1/4 1/4 1/2 0 1/2 1/4 1/4 1/2 dengan keadaan-keadaan: 0 cuaca hujan 1 cuaca baik 2 cuaca salju 5. Sebagai calon atlet, setiap pagi Swari meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatu olah raga atau sandal jenis crocs jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati (Dalam praktiknya, Swari harus bertelanjang kaki jika ternyata sandal crocs yang harus dipakai. Tak lain alasannya karena sang ayah tidak suka apabila Swari memakai sandal crocs). Ketika pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Swari memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Bentuklah suatu Rantai Markov dari proses diatas. P 3/4 1/ /4 1/2 1/ /4 1/2 1/ /4 1/2 1/ /4 3/4 dengan keadaan-keadaan: 0 (4,0) 4 sepatu didepan, 0 dibelakang 1 (3,1) 3 sepatu didepan, 1 dibelakang 2 (2,2) 2 sepatu didepan, 2 dibelakang 3 (1,3) 1 sepatu didepan, 3 dibelakang 4 (0,4) 0 sepatu didepan, 4 dibelakang MA4081 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

42 3.3 PELUANG N-LANGKAH Persamaan Chapman-Kolmogorov Misalkan Pij n menyatakan peluang transisi n-langkah suatu proses di keadaan i akan berada di keadaan j, P n ij P (Y k+n j Y k i), n 0, i, j 0. Persamaan Chapman-Kolmogorov adalah alat untuk menghitung peluang transisi n + m-langkah: P n+m ij k0 P n ikp m kj, untuk semua n, m 0 dan semua i, j. Pik np kj m menyatakan peluang suatu proses dalam keadaan i akan berada di keadaan j dalam n+m transisi, melalui keadaan k dalam n transisi/langkah. Contoh/Latihan: 1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α 0.7; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β 0.4. Matriks peluang transisi 4 langkah adalah... P 4 ( ) 2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah sbb: P Jika hari Senin dan Selasa hujan, berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan? MA4081 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

43 P Peluang hujan pada hari Kamis adalah P P Peluang Transisi Tak Bersyarat Misalkan α i P (X 0 i), i 0, dimana i0 α i 1. Peluang tak bersyarat dapat dihitung dengan mensyaratkan pada keadaan awal, P (X n j) P (X n j X 0 i) P (X 0 i) i0 i0 P n ij α i Contoh/Latihan: 1. Pandang soal yang lalu dengan matriks peluang transisi: P ( ) Jika diketahui α 0 P (X 0 0) 0.4 dan α 1 P (X 0 1) 0.6, maka peluang (tak bersyarat) bahwa hari akan hujan 4 hari lagi adalah... P (X 4 0) 0.4 P P 4 10 (0.4)(0.5749) + (0.6)(0.5668) Seorang pensiunan H menerima 2 (juta rupiah) setiap awal bulan. Banyaknya uang yang diperlukan H untuk dibelanjakan selama sebulan saling bebas dengan banyaknya uang yang dia punya dan sama dengan i dengan peluang P i, i 1, 2, 3, 4, 4 i1 P i 1. Jika H memiliki uang lebih dari 3 di akhir bulan, dia akan memberikan sejumlah uang lebih dari 3 itu kepada orang lain. Jika setelah dia menerima uang diawal bulan H memiliki uang 5, berapa peluang uangnya akan 1 atau kurang setiap saat selama 4 bulan berikut? Keadaan: 1 jumlah uang sebanyak 1 yang H punya di akhir bulan MA4081 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

44 2 jumlah uang sebanyak 2 yang H punya di akhir bulan 3 jumlah uang sebanyak 3 yang H punya di akhir bulan Matriks peluang transisi P P 2 + P 3 + P 4 P 1 0 P 3 + P 4 P 2 P 1 P 4 P 3 P 1 + P 2 Misalkan P i 1/4, i 1, 2, 3, 4. Maka matriks peluang transisinya adalah P 3/4 1/4 0 1/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2 Peluang uangnya akan 1 atau kurang setiap saat selama 4 bulan berikut adalah P /256. MA4081 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

45 3.4 Program MATLAB dan R Contoh: Model penyebaran suatu penyakit adalah sbb: Jumlah populasi adalah N 5, sebagian sakit dan sisanya sehat. Dalam setiap waktu, 2 orang akan dipilih secara acak dari populasi tersebut dan keduanya berinteraksi. Pemilihan orang-orang tersebut dilakukan sdh interaksi antara setiap pasangan adalah sama. Jika satu orang dari suatu pasangan sakit, yang lain sehat, maka penyakit akan disebarkan ke orang yang sehat dengan peluang 0.1. Diluar kondisi tersebut, tidak ada penyakit yang disebarkan. Misalkan X n menyatakan jumlah orang yang sakit dalam populasi diakhir periode ke-n. Bentuklah suatu matriks peluang transisi yang mungkin. Solusi: Keadaan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, yang menyatakan jumlah orang yang sakit. P 00 1, P Cukup jelas. Jika tidak ada/semua orang sakit maka PASTI keadaan berubah ke tidak ada/semua orang sakit. P i,i Ci 1 C1 5 i C (i)(5 i), P ii (i)(5 i), untuk i 1, 2, 3, P Kode MATLAB function transprob; % the function calculate transition probability for a Markov chain % (Question 2 of Quiz 2) % % created by K Syuhada, 12/03/2011 clear clc MA4081 Pros.Stok. 9 K. Syuhada, PhD.

46 m input( m ); % number of states P zeros(m,m); for i 1:m for j 1:m if i j P(i,j) *(i-1)*(5-(i-1)); elseif i+1 j P(i,j) 0.01*(i-1)*(5-(i-1)); else P(i,j) 0; end end end display( matriks peluang transisi: ) display(p) % n-step probability % Chapman-Kolmogorov Equation n input( n ); % number of steps Pn P^n; display( matriks peluang transisi n-langkah: ) display(pn) m 6 matriks peluang transisi: P MA4081 Pros.Stok. 10 K. Syuhada, PhD.

47 n 2 matriks peluang transisi n-langkah: Pn Kode R MA4081 Pros.Stok. 11 K. Syuhada, PhD.

48 3.5 JENIS KEADAAN Keadaan j dikatakan dapat diakses (accessible) dari keadaan i jika P n ij > 0 untuk suatu n 0. Akibatnya, keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika dan hanya jika dimulai dari keadaan i proses akan masuk ke keadaan j. Jika keadaan j tidak dapat diakses dari keadaan i maka peluang masuk ke keadaan j dari keadaan i adalah nol. Catatan: Dua keadaan i dan j yang saling akses satu sama lain dikatakan berkomunikasi (communicate). Notasi: i j. Sifat-sifat: 1. Keadaan i berkomunikasi dengan keadaan i untuk semua i 0 2. Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j maka keadaan j berkomunikasi dengan keadaan i 3. Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j dan keadaan j berkomunikasi dengan keadaan k maka keadaan i berkomunikasi dengan keadaan k Dua keadaan yang berkomunikasi dikatakan berada dalam kelas (class) yang sama. Setiap dua kelas dari keadaan-keadaan dapat identik (identical) atau saling asing (disjoint). Rantai Markov dikatakan tidak dapat direduksi (irreducible) jika hanya terdapat sebuah kelas dan semua keadaan berkomunikasi satu sama lain. Contoh/Latihan: 1. Tentukan kelas keadaan dari rantai Markov dengan peluang transisi berikut: (i) P (ii) P /9 4/9 4/ /9 4/9 1/ MA4081 Pros.Stok. 12 K. Syuhada, PhD.

49 (iii) P /2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2 2. Diketahui matrik peluang transisi: P Apakah rantai Markov dengan peluang transisi diatas tidak dapat direduksi (irreducible)? 3. Apakah yang dapat anda katakan tentang rantai Markov dengan matriks peluang transisi berikut: P MA4081 Pros.Stok. 13 K. Syuhada, PhD.

50 Sifat-sifat KEADAAN - Recurrent dan Transient Untuk setiap keadaan i, misalkan f i peluang bahwa dimulai dari keadaan i proses akan pernah kembali ke keadaan i. Keadaan i dikatakan recurrent jika f i 1. Dikatakan transient jika f i < 1. Jika keadaan i recurrent maka proses akan terus kembali ke keadaan i dengan peluang satu. Dengan definisi rantai Markov, proses akan dimulai lagi ketika kembali ke keadaan i, dan seterusnya, sehingga keadaan i akan dikunjungi lagi. Jika keadaan i recurrent maka dimulai dari keadaan i maka proses akan kembali ke keadaan i terus dan terus sebanyak tak hingga kali. Misalkan keadaan i transient. Setiap kali proses kembali ke keadaan i, terdapat kemungkinan (peluang yang positif) sebesar 1 f i bahwa proses tidak pernah kembali ke keadaan i. Dengan demikian, dimulai dari keadaan i, peluang bahwa proses berada di i sebanyak tepat n periode/kali adalah f n 1 i (1 f i ), n 1. Jika keadaan i transient maka, dimulai dari keadaan i, banyak periode/kali bahwa proses akan berada di keadaan i adalah peubah acak geometrik dengan parameter 1 f i. Keadaan i recurrent jika dan hanya jika, dimulai dari keadaan i, maka banyak periode/kali yang diharapkan (expected number of time periods) bahwa proses akan berada di keadaan i adalah tak hingga Misalkan { 1, Yn i; I n 0, Y n i. Misalkan n0 I n menyatkan banyak periode/kali bahwa proses berada dalam keadaan i, dan ( ) E I n Y 0 i E(I n Y 0 i) n0 n0 P (Y n i Y 0 i) n0 n0 P n ii Proposisi Keadaan i adalah recurrent jika n0 P n ii ; transient jika n0 P n ii < MA4081 Pros.Stok. 14 K. Syuhada, PhD.

Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah

Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah BAB 1 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 1.1 EKSPEKTASI Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah E(X) x x p X (x) dan E(X)

Lebih terperinci

Peubah Acak dan Distribusi

Peubah Acak dan Distribusi BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari

Lebih terperinci

BAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI

BAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI BAB 1 Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas.

Lebih terperinci

BAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI

BAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI BAB 1 Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas.

Lebih terperinci

Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat

Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 9 Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat Ilustrasi 9. Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu di suatu pabrik adalah empat.

Lebih terperinci

BAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI

BAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI BAB 1 Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas.

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4081 (Pengantar)

Lebih terperinci

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4081 (Pengantar)

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4081 (Pengantar)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012 Tentang

Lebih terperinci

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012 Tentang

Lebih terperinci

Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean

Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 7 Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean Ilustrasi 7. Seorang peserta kuis diberi dua buah pertanyaan (P-, P-2), yang harus dijawab dengan

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah:

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012 Tentang

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang

Lebih terperinci

Bab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah

Bab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 8 1 Bab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah Ilustrasi 8.1 Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Insure and Invest! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang AK5161 MatKeu

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012 Tentang

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematik(a)

Pengantar Statistika Matematik(a) Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

/ /16 =

/ /16 = Kuis Selamat Datang MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Tanggal 22 Agustus 2017, Waktu: suka-suka menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. 1. Widya (akan) memenangkan

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK

CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si PROGRAM STUDI STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 2016 Daftar Isi Daftar Isi iv

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak

Lebih terperinci

P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB)

P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB) Diskusi 1 Tanggal 29 Januari 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang suatu kejadian; sifat-sifat peluang (termasuk kejadian-kejadian saling asing dan saling bebas); peluang bersyarat; peluang total; 1. Buktikan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

Kuis 1 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 24 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Kuis 1 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 24 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kuis Selamat Datang MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 23 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit 1. Mahasiswa yang datang ke ruang kuliah mengikuti suatu proses dengan laju kedatangan

Lebih terperinci

P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB)

P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB) Diskusi 1 Tanggal 29 Januari 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang suatu kejadian; sifat-sifat peluang (termasuk kejadian-kejadian saling asing dan saling bebas); peluang bersyarat; peluang total; 1. Buktikan

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematik(a)

Pengantar Statistika Matematik(a) Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Lebih terperinci

MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika

MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika Catatan Kuliah MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA2082

Lebih terperinci

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1 Fungsi distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 3: Rantai Markov Diskrit Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Rantai Markov Rantai Markov Rantai Markov Misalkan sebuah proses stokastik {X t } dengan t = 0, 1, 2,....

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK (not just) Always Listening, Always Understanding disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012

Lebih terperinci

Dengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi

Dengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi Bab 5 Peubah Acak Kontinu 5.1 Pendahuluan Definisi 5.1. Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh S ke R (himpunan bilangan nyata) Peubah acak X bersifat diskret jika F (x) adalah fungsi tangga.

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika

MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika Catatan Kuliah MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA2082

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA

Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA CNH4S3 Analisis Time Series Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Jadwal]: [Materi Analsis Time Series] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang dasar pemodelan time series seperti kestasioneran, identifikasi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. Analisis Data. Orang Cerdas Belajar Statistika. disusun oleh. Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. Analisis Data. Orang Cerdas Belajar Statistika. disusun oleh. Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah Analisis Data Orang Cerdas Belajar Statistika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang Analisis Data A.

Lebih terperinci

Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA

Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA CNH4S3 Analisis Time Series Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Jadwal]: [Materi Analsis Time Series] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang dasar pemodelan time series seperti kestasioneran, identifikasi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183

Lebih terperinci

MA2081 Statistika Dasar

MA2081 Statistika Dasar Catatan Kuliah MA2081 Statistika Dasar Orang Cerdas Belajar Statistika Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MAK6281 Topik

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson

MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson SMART AND STOCHASTIC MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson SMART AND STOCHASTIC Pengantar Seperti sudah disampaikan sebelumnya, analog

Lebih terperinci

STATISTIK PERTEMUAN VI

STATISTIK PERTEMUAN VI STATISTIK PERTEMUAN VI 1. TEORI PENDUKUNG 1.1 Pendahuluan 1. Variabel acak 1.3 Distribusi variabel acak diskrit 1.4 Distribusi variabel acak kontinu 1.5 Distribusi multivariat 1.1 Pendahuluan Definisi

Lebih terperinci

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 8-14) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Mean dan Variansi Fungsi Pembangkit Momen (MGF) 2 Minggu

Lebih terperinci

Minggu 1 Review Peubah Acak dan Fungsi Distribusi. Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting

Minggu 1 Review Peubah Acak dan Fungsi Distribusi. Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting IKG4Q3 Ekonometrik Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Kelas Ekonometrik] CS-36-02 [Jadwal] Senin 10.30-12.30 R.A208A; Selasa 10.30-12.30 R.E302 [Materi Ekonometrik] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang

Lebih terperinci

MA2081 Statistika Dasar

MA2081 Statistika Dasar Catatan Kuliah MA2081 Statistika Dasar Orang Cerdas Belajar Statistika Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MAK6281 Topik

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 4 Proses Po

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 4 Proses Po MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 4 Proses Poisson: Suatu Pengantar Orang Pintar Belajar Stokastik Tentang Kuliah Proses Stokastik Bab 1 : Tentang Peluang Bab 2 : Peluang dan Ekspektasi Bersyarat*

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK (not just) Always Listening, Always Understanding disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

Statistika Farmasi

Statistika Farmasi Bab 3: Distribusi Data Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Distribusi Data Teori dalam statistika berkaitan dengan peluang Konsep dasar peluang tersebut berkaitan dengan peluang distribusi, yaitu

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya

CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si TELKOM UNIVERSITY JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA Ruang Sampel dan Kejadian PEUBAH ACAK (P.A) Fungsi yang memetakan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks

MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks Catatan Kuliah MA48 MODEL RISIKO Enjoy the Risks disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2 Tentang MA48 Model Risiko A. Jadwal kuliah:

Lebih terperinci

A. Distribusi Gabungan

A. Distribusi Gabungan HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah Pokok Bahasan : Statistika Matematika : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua Jika S merupakan

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Distribusi Eksponensial dan Aplikasinya

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Distribusi Eksponensial dan Aplikasinya MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Distribusi Eksponensial dan Aplikasinya Orang Pintar Belajar Stokastik Kuliah ProsStok, untuk apa? Fakultas Ekonomi ITB? Math is the language of economics. If you

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko

Lebih terperinci

MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean

MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean Orang Cerdas Belajar Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Peubah acak kontinu, distribusi dan Tabel normal, penaksiran titik dan selang, uji hipotesis untuk

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: We love Statistics Pengantar Parameter adalah... ...suatu karakteristik dari populasi. Statistik adalah... ...suatu karakteristik dari sampel. Statistik adalah fungsi

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak

Lebih terperinci

(HARAPAN MATEMATIKA) BI5106 Analisis Biostatistik 20 September 2012 Utriweni Mukhaiyar

(HARAPAN MATEMATIKA) BI5106 Analisis Biostatistik 20 September 2012 Utriweni Mukhaiyar 1 EKSPEKTASI (HARAPAN MATEMATIKA) BI5106 Analisis Biostatistik 0 September 01 Utriweni Mukhaiyar Ekspektasi Suatu Peubah Acak Misalkan X peubah acak Ekspektasi dari X EX [ ] xp( X x), jika X peubah acak

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 1: a FMIPA Universitas Islam Indonesia Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik dari sampel Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling Parameter Misalkan

Lebih terperinci

Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R

Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R Bab Peubah Acak. Konsep Dasar Peubah Acak Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R Contoh peubah acak: Jika X adalah peubah acak banyaknya sisi muka yang muncul pada

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks

MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4181 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi

Lebih terperinci

Penelitian Operasional II Rantai Markov RANTAI MARKOV

Penelitian Operasional II Rantai Markov RANTAI MARKOV Penelitian Operasional II Rantai Markov 49 4. RANTAI MARKOV 4. PENDAHULUAN Dalam masalah pengambilan suatu keputusan, seringkali kita diperhadapkan dengan suatu ketidakpastian. Permasalahan ini dapat dimodelkan

Lebih terperinci

A. Distribusi Gabungan

A. Distribusi Gabungan HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah : Statistika Matematika Pertemuan Ke : 5 Pokok Bahasan : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183

Lebih terperinci