MA5181 PROSES STOKASTIK

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MA5181 PROSES STOKASTIK"

Transkripsi

1 Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013

2 Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah: Selasa; ; R. Seminar I.2 Selasa; ; R. Seminar II.3 B. Materi kuliah: Peluang, peubah acak dan distribusi Peluang/Ekspektasi bersyarat Distribusi eksponensial Proses Poisson Proses Renewal Rantai Markov C. Buku teks: Sheldon Ross, 1996, Stochastic Processes, 2nd ed., Wiley. Taylor dan Karlin, 1998, An Introduction to Stochastic Modelling, 3rd ed., Academic Press. E. Penilaian: Ujian 1,2,3 (90%: 25 September 2013 (30% 30 Oktober 2013 (30% 5 Desember 2013 (30% Kuis (10% MA5181 Pros.Stok. i K. Syuhada, PhD.

3 Daftar Isi 1 Peluang, Peubah Acak dan Distribusi Pengantar Peluang Peubah acak dan distribusi More on distribution function Ekspektasi Bersyarat Distribusi Bersama Ekspektasi Bersyarat Distribusi Eksponensial Peubah Acak Eksponensial Sifat Tanpa Memori Sifat Momen Sifat Distribusi Statistik Terurut Aplikasi Proses Poisson Waktu Antar Kedatangan dan Waktu Tunggu Mengapa Proses Poisson? Definisi Proses Poisson Jumlahan Proses Poisson Saling Bebas Thinning dari Proses Poisson Proses Poisson Tak Homogen Proses Renewal Tentang Proses Poisson Distribusi T n, S n dan N t Ilustrasi Distribusi N t Proses Renewal ii

4 6 Matriks Stokastik dan Rantai Markov Matriks stokastik Matriks stokastik n-langkah Lebih jauh tentang matriks stokastik Perkalian matriks Kebebasan dalam matriks stokastik Perkalian n matriks Limit peluang Unsur P ij dan sifat keadaan Waktu dalam matriks stokastik Matriks stokastik dari matriks stokastik Rantai Markov MA5181 Pros.Stok. iii K. Syuhada, PhD.

5 BAB 1 Peluang, Peubah Acak dan Distribusi 1.1 Pengantar Proses stokastik adalah salah satu cabang ilmu statistika. Secara teoritis, suatu proses stokastik {Y t } adalah koleksi peubah acak dengan t menyatakan indeks waktu. Oleh karenanya, pemahaman mengenai peubah acak dan peluang suatu peubah acak bernilai tertentu sangatlah penting. Perhatikan ilustrasi berikut: Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Dapatkah kita mendefinisikan/membangun suatu peubah acak? Bagaimana jika informasi yang kita miliki adalah Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?. Dapatkah kita mendefinisikan/membangun suatu peubah acak? 1.2 Peluang Peluang adalah suatu konsep berpikir, bukan sekadar angka (walaupun wujudnya adalah angka diantara nol dan satu. Peluang berkaitan dengan menyatakan alasan atas suatu kejadian. Peluang, secara implisit, mengajak kita untuk mempersiapkan diri menghadapi kejadian yang tidak terjadi (yang memiliki peluang kecil. 1

6 Contoh-1: Setiap hari Laila pergi ke kampus dan berharap perkuliahan terjadi (untuk setiap mata kuliah Laila sudah memiliki dugaan peluang terjadinya perkuliahan tersebut. Jika suatu hari Laila tidak pergi ke kampus, akankah sebuah perkuliahan benar-benar tidak terjadi? Contoh-2: Ini kisah masa lalu Tiani yang sempat diceritakan sesaat sebelum Tiani menikah. Katanya Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku. Adakah sosok seperti Tiani? Contoh-3: Arya telah memesan sekaligus membayar tiket suatu penerbangan. Tentu saja Arya yakin bahwa dia akan mendapatkan kursi saat datang dan memasuki pesawat nanti. Mungkinkah Arya tidak mendapatkan kursi? Untuk membuat peluang lebih berwujud, maka diciptakan cara menghitung peluang. Secara khusus, kita akan menghitung peluang suatu kejadian atau (dan ini yang utama peluang suatu peubah acak. Contoh-4: Direktur perusahaan mengundang para karyawan yang memiliki setidaknya satu anak laki-laki (L ke acara syukuran khitanan. Seorang karyawan memiliki dua anak. Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki? Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki, diberikan bahwa karyawan tersebut diundang ke acara syukuran? Jawab: Misalkan L kejadian memiliki anak laki-laki; LK kejadian memiliki dua anak laki-laki; U kejadian diundang ke acara syukuran. Jadi, dan P (LK = P (LK U = P (LK U P (U = P ({{LL} {LL, LLc, L c L}} P ({LL, LL c, L c L} P ({LL} = P ({LL, LL c, L c L} = (1/4/(3/4 = 1/3. MA5181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

7 Seringkali dibutuhkan nilai (awal peluang suatu kejadian, untuk kemudian dapat dihitung peluang kejadian berikutnya. Menentukan nilai awal peluang merupakan masalah yang menarik dan menantang (challenging. Contoh-5: Sebagai seorang sekretaris, Dien tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada dengan peluang sama. Misalkan p i adalah peluang bahwa Dien akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat i, i = 1, 2, 3. Misalkan Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat. Berapa peluang kejadian itu akan terjadi? Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? Jawab: Misalkan K i, i = 1, 2, 3 adalah kejadian surat berada di kotak surat i. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat 1 dan tidak mendapatkan surat. Peluang kejadian itu akan terjadi adalah P (T = P (T K 1 P (K 1 + P (T K 2 P (K 2 + P (T K 3 P (K 3 = (1 p 1 (1/3 + 1/3 + 1/3 Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, maka peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1 adalah P (T K 1 P (K 1 P (K 1 T = P (T K 1 P (K 1 + P (T K 2 P (K 2 + P (T K 3 P (K 3 (1 p 1 (1/3 = (1 p 1 (1/3 + 1/3 + 1/3 Catatan: Dalam hal ini, p i adalah peluang awal suatu kejadian. Dengan peluang awal ini maka nilai peluang yang kita cari akan lebih bermakna. Contoh-6: Pada contoh maskapai penerbangan, berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? Jawab: Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya pemesan tiket yang datang, maka P (X 50 = Pembahasan utama pada perkuliahan ini adalah peluang suatu peubah acak termasuk karakteristik utamanya yaitu distribusi peubah acak. MA5181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

8 1.3 Peubah acak dan distribusi Peubah acak (p.a. adalah alat untuk memudahkan kita dalam menyederhanakan hitungan peluang; peubah acak membuat kita bekerja dalam bilangan riil. Secara teoritis, peubah acak adalah fungsi yang memetakan ruang sampel ke bilangan riil. Catatan: Peubah acak berbeda dengan peubah! Contoh, misalkan suatu ruang sampel S = {00, 01, 10, 11}. sebagai peubah acak yang menyatakan banyaknya 1, Definisikan X X : 00 S 0, X : 01 S 1, dst. Jadi, nilai yang mungkin untuk X adalah {0, 1, 2} Pada contoh maskapai penerbangan, kita dapat membangun peubah acak secara lebih terarah setelah mengetahui tujuan yang ingin kita capai. Dalam hal ini, kita ingin menghitung peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang. Peubah acak yang dapat didefinisikan adalah X yang menyatakan banyaknya pemesan tiket yang datang. Dapat pula peubah acak X yang menyatakan banyaknya pemesan tiket yang tidak datang. Peubah acak berkaitan dengan distribusi atau, secara khusus, fungsi distribusi (kumulatif atau f.d. Melalui f.d., peubah acak akan makin memiliki makna dan aplikatif. Contoh, suatu peubah acak menyatakan banyaknya pemesan tiket yang datang. Peubah acak tersebut mengikuti distribusi binomial dengan parameter tertentu. Kita dapat memahami perilaku peubah acak (secara probabilistik tersebut melalui f.d. Misalkan X suatu peubah acak; F.d. untuk X adalah F X (x = F (x = P (X x dengan sifat-sifat: (a F fungsi tidak turun (b lim x F (x = 1 (c lim x F (x = 0 (d F fungsi kontinu kanan MA5181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

9 Contoh-1: Suatu peubah acak diskrit X memiliki nilai yang mungkin {0, 1, 2} dengan peluang di titik-titik tersebut, P (X = x = f(x, berturut-turut, adalah f(0 = 1/4; f(1 = 1/2; f(2 = 1/4. Tentukan fungsi distribusinya. Contoh-2: Diketahui fungsi peluang suatu peubah acak kontinu adalah f(x = λ e λx, x > 0. Fungsi distribusi yang bersesuaian adalah... Jawab: F (x = x 0 f(t dt = x 0 λ e λt dt = Contoh-3: Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < x, 0 x < F (x =, 1 x < , 2 x < 3 1, x More on distribution function Pandang suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi distribusi F (x dan fungsi peluang f(x. Salah satu keunggulan fungsi distribusi dibandingkan fungsi peluang adalah fakta bahwa 0 F (x 1, sedangkan f(x 0. Distribusi apapun yang melekat pada X akan memiliki fungsi distribusi yang selalu bernilai diantara nol dan satu. Akibatnya, kita dapat membentuk peubah acak baru (menurut konsep Transformasi Peluang yaitu U = F X (X = F (X MA5181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

10 dengan fungsi distribusi F U (u = P (U u = P (F X (X u = P (X F 1 X (u = F X (F 1 X (u = u, atau dengan kata lain, U = F X (X = F (X U(0, 1. Catatan: Kita tahu bahwa jika X berdistribusi Uniform pada selang [0, 1] atau U(0, 1 maka F (x = x. Keunggulan diatas juga bermanfaat dalam simulasi stokastik. Contoh, misalkan kita ingin membangkitkan data dari suatu distribusi dengan F (x = 1 e λx. Bagaimana kita dapat melakukannya? Jawab: - Bangkitkan data dari peubah acak U U(0, 1 - Tentukan invers dari fungsi distribusi atau F 1 (x - Hitung F 1 (u (metode ini dikenal dengan nama Invers Transformation Method. Fungsi Distribusi dan Copula Misalkan kita punyai peubah acak X dan Y dengan fungsi distribusi, berturutturut, adalah F X dan G Y. Bagaimana kita dapat menentukan H(x, y? Salah satu teknik yang dapat dilakukan untuk mendapatkan fungsi distribusi bersama adalah menggunakan formula Keluarga Farlie-Morgenstern: { ( ( } H(x, y = F (x G(y 1 + α 1 F (x 1 G(y untuk α 1. MA5181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

11 Contoh: Untuk X dan Y dengan marginal U(0, 1, kita peroleh, H(x, y = x 2 y + y 2 x x 2 y 2, 0 x 1, 0 y 1, jika α = 1, dan jika α = 1. F (x, y = 2 x y x 2 y y 2 x + x 2 y 2, 0 x 1, 0 y 1, Bagaimana jika X dan Y memiliki distribusi marginal yang berbeda dan bukan U(0, 1? Teorema Sklar (Tse, 2009, hal.367: Misalkan H fungsi distribusi bersama dengan fungsi distribusi marginal (margin F dan G. Terdapat suatu Copula untuk semua (x, y sedemikian hingga H(x, y = P (X x, Y y = C(P (X x, P (Y y = C(F (x, G(y = C(u, v, dengan U = F (X, V = G(Y. Catatan: - Copula merupakan fungsi distribusi - Contoh Copula: C(u, v = (u θ + v θ 1 1 θ atau Clayton Copula - Keluarga F-M adalah salah satu bentuk Copula MA5181 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

12 BAB 2 Ekspektasi Bersyarat Peluang bersyarat dan ekspektasi bersyarat berperan penting dalam memahami atau menentukan aplikasi teori peluang (applied probability. Hal ini didasarkan pada fakta bahwa peluang suatu peubah acak (atau kejadian sering bergantung nilai peubah acak (atau kejadian yang lalu. 2.1 Distribusi Bersama Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak dengan fungsi distribusi berturutturut F X dan F Y. Kita dapat membangun fungsi distribusi dan fungsi peluang bersama dari kedua peubah acak tersebut dari informasi distribusi marginal dan sifat kebebasan. Distribusi bersama untuk dua atau lebih peubah acak sangat membantu dalam membangun model yang lebih rumit. Hubungan antara distribusi marginal dan distribusi bersama adalah sebagai berikut: distribusi marginal mungkin dapat membangun distribusi bersama; dengan distribusi bersama kita dapat menentukan distribusi marginal. Contoh-1: Misalkan kita punyai 2 komponen elektronik yang identik. Misalkan juga X dan Y adalah waktu hidup (jam, diskrit. Asumsikan fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah f X,Y (x, y = p 2 (1 p x+y 2, x, y N, dengan 0 < p < 1. Tentukan fungsi peluang marginal dari X dan Y. Jawab: f X (x = y f X,Y (x, y 1

13 yang bernilai sama dengan p 2 (1 p x+y 2 y=1 = p 2 (1 p x 2 (1 p y y=1 = p (1 p x 1, x N Contoh-2: Pandang 2 komponen elektronik A dan B dengan masa hidup X dan Y. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah f X,Y (x, y = λ µ exp( λx + µy, x, y > 0 dimana λ > 0, µ > 0. Tentukan peluang bahwa kedua komponen berfungsi pada saat t. Tentukan peluang bahwa komponen A adalah komponen yang pertama kali rusak Jawab: P (X > t, Y > t = t = t = e (λ+µt λ µ e (λ x+µ y dy dx P (X < Y = 0 = = λ λ + µ x λ µ e (λ x+µ y dy dx Contoh-3: Misalkan X P OI(λ dan Y P OI(θ, asumsikan kedua peubah acak saling bebas. Tentukan distribusi X + Y. Tentukan distribusi bersyarat X, diberikan X + Y = n. Jawab: X + Y P OI(λ + θ X X + Y = n MA5181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

14 2.2 Ekspektasi Bersyarat Ekspektasi Peubah Acak Misalkan dipunyai suatu peubah acak X. Apa yang dapat kita pahami tentang mean dari X atau E(X? Misalkan kita mempunyai data berukuran n, dapatkah kita menghitung mean data? Perlukah kita mengetahui distribusi data? Secara teoritis, perhitungan E(X akan melibatkan fungsi peluang. Dapatkah kita memanfaatkan fungsi distribusi untuk menentukan E(X? Sifat-sifat ekspektasi: 1. E(a X + b Y = a E(X + b E(Y 2. E(g(X = g(x f X(x dx 3. E(XY = E(X E(Y, jika X dan Y saling bebas. 4. E(X = 0 P (X > x dx, untuk X > 0 (* 5. E((X µ X r = (x µ X r f X (x dx (momen pusat ke-r 6. E(e tx = etx f X (x dx = M X (t (fungsi pembangkit momen 7. E(s X = sx f X (x dx = P X (s (fungsi pembangkit peluang Contoh-1: Rombongan mahasiswa sebanyak 120 orang akan berangkat ke Jogja dengan menggunakan 3 bis. Ada 36 mahasiswa di bis 1, 40 mahasiswa di bis 2 dan 44 mahasiswa di bis 3. Ketika bis sampai tujuan, seorang mahasiswa dipilih secara acak. Misalkan X menyatakan banyaknya mahasiswa di bis dimana seseorang tersebut terpilih. Hitung E(X. Contoh-2: Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorang pemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilih acak: y f(y Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemain sepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilih acak. Berapa nilai harapan atau ekspektasi banyak pertandingan dimana pemain menciptakan 3 atau lebih gol? MA5181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

15 Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi = mean = momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? Contoh-3: Jika X memiliki fungsi peluang f(x = tentukan E(X. 1, < x <, π (1 + x 2 Contoh-4: Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi 0, x < 2 0.2, 2 x < 0 0.5, 0 x < 2.2 F (x = 0.6, 2.2. x < q, 3 x < q, 4 x < 5.5 1, x 5.5 dan diketahui P (X > 3.3 = Tentukan E(X melalui fungsi pembangkit momen M X (t. Contoh-10: Misalkan X peubah acak dengan M X (t sebagai fungsi pembangkit momen. Didefinisikan f(t = ln M X (t. Tunjukkan bahwa f (0 = V ar(x Ekspektasi Bersyarat Ilustrasi - Seorang narapidana berada dalam suatu sel penjara yang memiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya keluar penjara dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowongan yang kembali ke penjara dalam waktu masing-masing empat dan satu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of days yang dibutuhkan untuk dia agar selamat alias keluar dari penjara? MA5181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

16 Jawab: - Peubah acak: X yang menyatakan waktu yang dibutuhkan agar selamat - Distribusi apakah yang melekat pada X? - Dapatkah kita menghitung E(X? Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y. Jika f X (x > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, E(Y X = x = y f X,Y (x, y f X (x dy = y f Y X (y x dy. Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y. Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka atau E(Y = E(Y X = x f X (x dx E(Y = E(E(Y X = x Contoh-5: Pandang narapidana di sel penjara. Lama (waktu untuk sang napi keluar dari penjara bergantung pada pintu keluar yang dipilih; peubah acak yang menyatakan pintu yang dipilih adalah I. E(X = E(X I = 1P (I = 1 + E(X I = 2P (I = 2 + E(X I = 3P (I = 3 = E(X I = 1(0.5 + E(X I = 2(0.3 + E(X I = 3(0.2 = (2(0.5 + (4 + E(X(0.3 + (1 + E(X(0.2 = Contoh-6: Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f(x, y = e x(y+1, 0 x, 0 y e 1 (a Hitung P ( X > 1 Y = 1 2 (b Hitung E ( X Y = 1 2 MA5181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

17 Jawab: P E ( X > 1 Y = 1 = 2 1 ( X Y = 1 = 2 e x(y+1 1/(y + 1 dx = e 3 2 x dx = e 3/2 Contoh-7: Febri meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acak berdistribusi Uniform pada selang (20, 20 + (2t/3. Misalkan Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah? Contoh-8: Masih tentang narapidana di sel penjara. Jika napi memilih pintu-pintu yang belum digunakannya secara acak, berapa lama waktu yang dibutuhkannya untuk keluar dari penjara? Contoh-9: Seorang peserta kuis diberi dua buah pertanyaan (P 1, P 2, yang harus dijawab dengan urutan yang ditentukan oleh peserta kuis sendiri. Jika dia menjawab P i, i = 1, 2, terlebih dahulu maka dia dibolehkan menjawab pertanyaan P j, j i apabila dia menjawab P i dengan BENAR. Tentu saja jika dia menjawab SALAH maka dia tidak dapat melanjutkan menjawab pertanyaan berikutnya. Peserta kuis akan mendapatkan uang tunai sebesar Rp i jika dia menjawab P i dengan benar (dia mendapatkan uang sebesar Rp 1 + Rp 2 jika menjawab BENAR untuk kedua pertanyaan. Jika peluang dia tahu jawaban pertanyaan P i adalah q i, pertanyaan mana yang harus dia jawab pertama kali agar dia dapat memaksimalkan uang tunai yang dapat diraih (expected winnings? MA5181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

18 BAB 3 Distribusi Eksponensial Salah satu distribusi kontinu yang menarik untuk dipelajari dalam model stokastik adalah distribusi eksponensial. Umumnya, distribusi ini cocok untuk digunakan dalam memahami fenomena antrean atau waktu tunggu. Tahukah anda bahwa distribusi eksponensial adalah kasus khusus dari distribusi Gamma? Pernahkah anda mendengar sifat tanpa memory atau memoryless property pada distribusi eksponensial? 3.1 Peubah Acak Eksponensial Peubah acak eksponensial didefinisikan sebagai peubah acak dengan fungsi distribusi F (x = 1 exp( θx, x 0, dengan parameter θ > 0. Dapat pula dikatakan bahwa peubah acak eksponensial adalah peubah acak yang berdistribusi eksponensial. Notasi: X exp(θ. Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai analog (kontinu dari distribusi geometrik. Kita ketahui bahwa distribusi geometrik memodelkan banyaknya percobaan yang dibutuhkan oleh suatu proses diskrit untuk mengubah keadaan. Sedangkan distribusi eksponensial menjelaskan waktu untuk proses kontinu untuk mengubah keadaan (lihat Tabel berikut. 3.2 Sifat Tanpa Memori Sifat tanpa memori (memoryless property pada suatu peubah acak X adalah sifat dimana peluang X lebih dari s + t dengan syarat/diberikan X lebih dari 1

19 Table 3.1: Percobaan Bernoulli vs Proses Poisson. Percobaan Bernoulli Proses Poisson Banyak sukses Distribusi Binomial Distribusi Poisson Waktu utk sukses I Distribusi Geometrik Distribusi Eksponensial t sama dengan peluang X lebih dari s, atau P ( X > s + t X > t = P ( X > s. Perhatikan bahwa atau, P ( X > s + t X > t = P ( X > s + t, X > t P ( X > t = P ( X > s + t P ( X > t = P ( X > s, P ( X > s + t = P ( X > s P ( X > t. Contoh-1: Misalkan X menyatakan waktu tunggu seseorang mendapatkan sesuatu. Peluang orang tsb menunggu lebih dari 7 tahun setelah dia menunggu lebih dari 5 tahun sama dengan peluang dia menunggu lebih dari 2 tahun, atau, P (X > X > 5 = P (X > 2. [orang itu tidak lagi mengingat bahwa dia telah menunggu selama 5 tahun - itu sebabnya dikatakan sifat tanpa memori] Sifat tanpa memori hanya dipenuhi oleh peubah acak eksponensial, P ( X > s + t = 1 P ( X < s + t = 1 F X (s + t = 1 ( 1 exp( θs θt = exp( θs θt = exp( θs exp( θt = P ( X > s P ( X > t. MA5181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

20 Sifat tanpa memori ini tidak dipenuhi oleh distribusi lain. Sebagai contoh, misalkan X U(0, 1, maka P ( X > s + t = 1 P ( X < s + t = 1 F X (s + t = 1 (s + t (1 s(1 t = (1 F X (s (1 F X (t = P ( X > s P ( X > t. Contoh-2: Bagaimana dengan distribusi geometrik? Dapatkah anda menunjukkan bahwa distribusi ini juga memiliki sifat tanpa memori? 3.3 Sifat Momen Seperti sebelumnya, sifat momen merupakan karakteristik penting peubah acak eksponensial. Misalkan X exp(θ. Dapat kita tunjukkan bahwa dan E(X = 1 θ E(X 2 = Contoh-3: Tentukan E(X u X > u, untuk suatu u (gunakan sifat tanpa memori. 3.4 Sifat Distribusi Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi eksponensial. Misalkan Y = n X i, i=n MA5181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

21 maka distribusi dari Y dapat ditentukan dengan teknik fungsi pembangkit momen, M Y (t = E(exp(tY = E(exp(t[X X n ] = Jadi, Y..., dengan mean dan variansi... Catatan: X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang Notasi: f X (x = θα Γ(α xα 1 exp( θ x. X Gamma(α, θ. Fungsi pembangkit momen atau f.p.m: M X (t = ( 1 t θ α. Distribusi X 1 + X 2 dan Peluang P (X 1 < X 2 Distribusi X 1 +X 2 dapat ditentukan dengan teknik fungsi distribusi. Misalkan Y = X 1 + X 2, P (Y y = P (X 1 + X 2 y = P (X 1 y x 2 = = y y x2 0 y 0 0 θ exp( θx 1 θ exp( θ x 2 dx 1 dx 2 F X1 (y x 2 f X2 (x 2 dx 2 Fungsi peluang dari X 1 + X 2 adalah f X1 +X 2 (y = = y 0 y 0 f X1 (y x 2 f X2 (x 2 dx 2 θ exp( θ(y x 2 θ exp( θx 2 dx 2 = θ 2 y exp( θ y = θ 2 (2 1! y2 1 exp( θ y MA5181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

22 Pandang dua buah peubah acak eksponensial X 1 dan X 2 yang saling bebas dengan parameter θ 1 dan θ 2, maka P (X 1 < X 2 = f X1,X 2 (x 1, x 2 dx 2 dx 1 = 0 = = θ 1 θ 1 + θ Statistik Terurut x 1 θ 1 exp( θ 1 x 1 θ 2 exp( θ 2 x 2 dx 2 dx 1 Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari distribusi eksponensial dengan parameter θ. Misalkan X (k statistik terurut ke-k. Fungsi peluang untuk statistik terurut ke-k adalah: f X(k (x = C n k 1,1,n k (F X (x k 1 f X (x (1 F X (x n k. Sebagai contoh, misalkan diketahui sampel acak berukuran 2 dari distribusi eksponensial dengan parameter θ. Fungsi peluang untuk statistik terurut terkecil atau X (1 adalah f X(1 (x = C 2 0,1,1 (1 exp( θx 1 1 θ exp( θx (exp( θx 2 1 = 2 θ exp ( 2θx Contoh-4: Jika X 1 dan X 2 peubah acak-peubah acak eksponensial yang saling bebas, tentukan distribusi (i Y = min(x 1, X 2 (ii Z = max(x 1, X 2. Contoh-5: Jika X 1 dan X 2 peubah acak-peubah acak kontinu non negatif yang saling bebas, hitung P (X 1 < X 2 min(x 1, X 2 = t MA5181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

23 Jawab: P (X 1 < X 2 min(x 1, X 2 = t = P (X 1 < X 2, min(x 1, X 2 = t P (min(x 1, X 2 = t P (X 1 = t, X 2 > t = P (X 1 = t, X 2 > t + P (X 2 = t, X 1 > t f X1 (t(1 F X2 (t = f X1 (t(1 F X2 (t + f X2 (t(1 F X1 (t Jika X 1 dan X 2 berdistribusi identik, katakan eksponensial dengan parameter θ, maka P (X 1 < X 2 min(x 1, X 2 = t f X1 (t(1 F X2 (t = f X1 (t(1 F X2 (t + f X2 (t(1 F X1 (t = Contoh-6: Ini tentang rekor [Baru-baru ini dalam Olimpiade London, Ye Shiwen, 16 tahun, memecahkan rekor dunia untuk renang 400m gaya ganti perseorangan dalam waktu 4 menit detik dari sebelumnya 4 menit detik yang dicetak oleh Stephanie Rice]. Misalkan X 1, X 2,... p.a. kontinu yang bersifat i.i.d. Suatu rekor X n terjadi pada waktu n(n > 0 jika X n > max(x 1,..., X n 1 [perlukah syarat X 0 =?]. Jika N n menyatakan total banyaknya rekor yang terjadi sampai waktu ke-n, hitung E(N k n untuk k = 1, Aplikasi Seperti telah disampaikan diawal, fenomena antrean atau waktu tunggu cukup tepat digambarkan oleh distribusi eksponensial. Misalkan pada suatu antrean toko dimana 2 penjaga toko masing-masing sedang melayani seorang pelanggan, sebut A dan B. Mungkinkah A keluar lebih dulu dari toko? Mungkinkah B? Bagaimana kita dapat memanfaatkan peubah acak eksponensial? Contoh-7: Disebuah toko ada 2 petugas jaga. Tiga orang: Fer, Fir dan Fur datang ke MA5181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

24 toko bersamaan. Fer dan Fir langsung mendatangi petugas toko, sedangkan Fur menunggu (baca: antre. 1. Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan untuk setiap petugas adalah tepat (tidak acak 10 menit? Jawab: Fer tidak mungkin masih berada di toko apabila Fir (dan Fur sudah selesai dilayani. Jadi peluangnya adalah Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan adalah i dengan peluang 1/3, i = 1, 2, 3? Jawab: 1/27 P (S F er > S F ir + S F ur = P (S F ir = 1P (S F ur = 1P (S F er = 3 = (1/3(1/3(1/3 = 1/27 3. Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan berdistribusi eksponensial dengan mean 1/µ? Jawab: 1/4 Apa saja yang akan terjadi pada Fer? (1 Fer adalah orang pertama yang keluar dari toko, dengan peluang 1/2 (2 Fer adalah orang terakhir yang keluar dari toko, dengan peluang 1/4 (3 Fer BUKAN orang terakhir yang keluar dari toko, dengan peluang 1/4 Contoh-8: Misalkan Itta memasuki sebuah Bank yang memiliki seorang teller. Itta melihat ada 5 nasabah di Bank, 1 orang sedang dilayani dan 4 orang yang lain antri. Itta pun antri. Jika waktu layanan berdistribusi dengan parameter µ, berapa lama waktu (expected amount of time yang dihabiskan Ita di Bank? Jawab: Misalkan T lama waktu Ita di Bank. E(T I = E(S I + 5 E(S i = 6/µ i=1 MA5181 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

25 Contoh-9: Misalkan X p.a eksponensial dengan parameter λ. (i Hitung E(X X < c (ii Hitung (i dengan identitas berikut Jawab: E(X = E(X X < cp (X < c + E(X X > cp (X > c E(X X < c = = = c 0 c 0 c = 1 λ x f X (x X < c dx x f X(x P (X < c dx 0 x f X(x dx c 0 f X(x dx c exp( λ c 1 exp( λ c Contoh-10: Mesin 1 (M1 sedang bekerja. Mesin 2 (M2 akan dipasang untuk dipakai pada waktu t dari sekarang. Jika masa hidup Mesin i berdistribusi eksponensial dengan mean λ i, i = 1, 2, berapa peluang M1 adalah mesin pertama yang akan rusak (tidak dapat dipakai lagi? MA5181 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

26 BAB 4 Proses Poisson Seperti sudah disampaikan sebelumnya, analog dengan percobaan Bernoulli, percobaan atau proses Poisson akan mengkaji (i banyak sukses dalam suatu periode waktu, dan (ii waktu (kontinu yang dibutuhkan untuk mendapatkan sukses yang pertama. Distribusi yang terlibat dalam (i adalah distribusi Poisson, sedangkan distribusi yang berkaitan dengan (ii adalah distribusi eksponensial. Sebagai gambaran untuk melihat proses Poisson, perhatikan ilustrasiilustrasi berikut. Ilustrasi-1: Para nasabah datang ke suatu tempat layanan dengan dua meja layanan. Nasabah yang datang akan menuju meja 1, meja 2, lalu pulang. Misalkan waktu layanan setiap meja adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ 1 dan µ 2. Waktu yang dihabiskan nasabah di tempat layanan adalah... Ilustrasi-2: Para nasabah datang ke suatu tempat layanan dengan dua meja layanan. Ketika nasabah baru datang, setiap nasabah yang ada harus segera meninggalkan tempat layanan tersebut. Nasabah yang datang akan menuju meja 1, meja 2, lalu pulang. Jika waktu layanan setiap meja adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ 1 dan µ 2. Tentukan proporsi nasabah yang selesai di meja 2. Ilustrasi-3: Para nasabah datang ke suatu tempat layanan, dengan dua meja layanan, mengikuti proses Poisson dengan laju λ. Ketika nasabah baru datang, setiap nasabah yang ada harus segera meninggalkan tempat layanan tersebut. Nasabah yang datang akan menuju meja 1, meja 2, lalu pulang. Jika waktu layanan setiap meja adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ 1 dan µ 2. Tentukan proporsi nasabah yang selesai di meja 2. 1

27 4.1 Waktu Antar Kedatangan dan Waktu Tunggu Waktu Antar Kedatangan Misalkan T 1 menyatakan waktu dari kejadian/kedatangan pertama. Untuk n > 1, misalkan T n menyatakan waktu tersisa antara kejadian ke-(n 1 dam kejadian ke-n. Barisan {T n, n = 1, 2,...} adalah barisan waktu antar kejadian (interarrival times. Untuk menentukan distribusi dari T n, perhatikan bahwa kejadian {T 1 > t} terjadi jika dan hanya jika tidak ada kejadian dari proses Poisson yang terjadi pada interval [0, t], sehingga P (T 1 > t = P (N t = 0 = e λt Jadi T 1 berdistribusi eksponensial dengan mean 1/λ. Perhatikan juga bahwa sedangkan P (T 2 > t = E ( P (T 2 > t T 1, P (T 2 > t T 1 = s = P (tidak ada kejadian pada (s, s + t] T 1 = s = P (tidak ada kejadian pada (s, s + t] = e λt Dengan demikian, T 2 juga peubah acak eksponensial dengan mean 1/λ, dan T 2 saling bebas dengan T 1. Demikian seterusnya untuk T 3, T 4,..., T n yang juga berdistribusi eksponensial dan peubah acak-peubah acak tersebut saling bebas. Waktu Tunggu Statistik lain yang kita perhatikan berikut adalah S n yaitu waktu kedatangan kejadian ke-n atau waktu tunggu (waiting time hingga kejadian ke-n, S n = T T n, n 1 yang berdistribusi... (distribusi Erlang? MA5181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

28 Contoh-1: Misalkan turis-turis datang ke suatu pulau mengikuti proses Poisson dengan parameter λ = 1 per hari. Berapa waktu yang diharapkan hingga turis kesepuluh datang? Berapa peluang waktu yang dibutuhkan (elapsed time antara turis kesepuluh dan kesebelas datang melebihi 2 hari? Jawab: E(S 10 = E(T T 10 = E(T E(T 10 = 10 (1/λ = 10 P (T 11 > 2 = e 2λ = e 2 Contoh-2: Misalkan T K menyatakan waktu yang dibutuhkan (elapsed time untuk klaimklaim asuransi diproses; T 1 menyatakan waktu yang dibutuhkan hingga klaim pertama diproses. Diketahui T 1, T 2,... saling bebas dan berdistribusi dengan fungsi peluang f(t = 0.1 e 0.1 t, t > 0 dengan t diukur dalam setengah-jam. Hitung peluang bahwa setidaknya sebuah klaim akan diproses pada 5 jam kedepan. Berapa peluang bahwa setidaknya 3 klaim diproses dalam 5 jam? Jawab: P (T 1 10 = 1 P (T > 10 = 1 e 1 Selanjutnya, N 10 P OI(10 (1/10 = P OI(1. Jadi, P (N 10 3 = 1 P (N 10 = 0 P (N 10 = 1 P (N 10 = 2 = 1 e 1 (1/1! e 1 (1 2 /2! e 1 = 4.2 Mengapa Proses Poisson? Ilustrasi dan kajian tentang peubah acak waktu antar kedatangan serta waktu tunggu diatas telah menggiring kita untuk memahami lebih jauh tentang proses Poisson dan alasan mengapa proses ini penting. Proses Poisson (PP adalah proses menghitung (counting process untuk banyaknya kejadian yang terjadi hingga suatu waktu tertentu Proses ini sering disebut proses lompatan (jump process karena keadaan akan berpindah ke yang lebih tinggi setiap kali kejadian terjadi MA5181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

29 Proses Menghitung Suatu proses stokastik {N t, t 0} adalah proses menghitung (counting process jika N t merupakan total banyaknya kejadian (events yang terjadi sampai waktu t. Sebagai contoh, (i banyaknya orang yang masuk ke suatu restoran pada waktu/sampai waktu t, (ii banyaknya gol yang diciptakan pemain, dan (iii banyaknya klaim asuransi yang masuk. Proses menghitung {N t, t 0} haruslah memenuhi kriteria berikut: N t 0 N t bernilai integer Jika s < t maka N s N t Untuk s < t, N t N s adalah banyaknya kejadian pada interval (s, t] Dua sifat penting yang melekat pada proses menghitung adalah sebagai berikut. Pertama, kenaikan independen (independent increments. Suatu proses menghitung {N t } memiliki independent increments jika banyak kejadian yang terjadi pada [s, t], yaitu N t N s, saling bebas dengan banyak kejadian sampai waktu s. Dengan kata lain, banyak kejadian yang terjadi pada selang waktu yang saling asing adalah saling bebas. Kedua, kenaikan stasioner (stationary increments. Suatu proses menghitung {N t } memiliki stationary increments jikadistribusi banyak kejadian pada setiap selang hanya bergantung pada panjang selang. 4.3 Definisi Proses Poisson Definisi -1 Proses menghitung {N t, t 0} adalah proses Poisson dengan laju λ(> 0, jika N 0 = 0 Proses memiliki kenaikan independen Banyaknya kejadian di sebarang interval dengan panjang t berdistribusi Poisson dengan mean λt. Untuk setiap s, t 0 P ( {N s+t N s = n} λt (λtn = e, n = 0, 1, 2,... n! MA5181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

30 Definisi -2 Proses menghitung {N t, t 0} adalah proses Poisson dengan laju λ(> 0, jika N 0 = 0 Proses memiliki kenaikan stasioner dan independen P ( {N h = 1} = λh + o(h P ( {N h 2} = o(h Diskusi: Tunjukkan bahwa kedua definisi proses Poisson diatas identik. 4.4 Jumlahan Proses Poisson Saling Bebas Pandang dua proses Poisson {N 1 (t} dan {N 2 (t} yang saling bebas dengan parameter, berturut-turut, λ 1 dan λ 2. Kita mendapatkan N(t = N 1 (t + N 2 (t, yang juga merupakan proses Poisson dengan parameter λ 1 + λ 2. Contoh-3: Mahasiswa-mahasiswa MA ITB akan datang ke Gedung Matematika melewati pintu Tamansari atau pintu DayangSumbi. Kedatangan mahasiswa melalui kedua pintu tersebut, berturut-turut, mengikuti proses Poisson dengan parameter λ 1 = 1/2, λ 2 = 3/2 per menit. Berapa peluang tidak ada mahasiswa yang datang padang selang waktu 3 menit? Hitung mean waktu antara kedatangan mahasiswa-mahasiswa. Berapa peluang seorang mahasiswa benar-benar datang melalui pintu DayangSumbi? Jawab: N T S P OI(1/2, N DS P OI(3/2 dan N T S + N DS = N T P OI(2. Karena λ = 2 = 1/2 + 3/2, maka T 1 exp(2, P (T 1 > 3 = e 6 E(T k = 1/2 P (T DS < T T S = MA5181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

31 Contoh-4: Penjualan tiket pertandingan semifinal AFF 2010 mengikuti tiga proses Poisson sbb: penjualan tiket harga sebenarnya: 2/jam penjualan tiket harga diskon (harga tembak kali...: 4/jam penjualan tiket VIP: 0.3/jam Hitung: (a waktu harapan hingga penjualan tiket berikutnya, (b waktu harapan hingga penjualan tiket VIP berikutnya, (c peluang bahwa penjualan tiket setelah tiket harga sebenarnya adalah tiket harga sebenarnya yang lain, (d peluang bahwa tiket VIP akan dijual/terjual pada 30 menit kedepan, (e peluang bahwa setidaknya 2 dari 3 tiket yang dijual berikutnya adalah tiket diskon Contoh-5: Di suatu terminal bis, Bis A dan Bis B datang saling bebas mengikuti proses Poisson. Ada sebuah bis A datang setiap 12 menit dan sebuah bis B setiap 8 menit. Misalkan Yun untuk melakukan observasi terhadap bis-bis tersebut. Berapa peluang bahwa tepat 2 bis A akan datang pada 24 menit pertama dan tepat 3 bis B datang pada 36 menit pertama? Hitung mean waktu tunggu (expected waiting time hingga sebuah bis datang. Berapa peluang bahwa diperlukan waktu setidaknya 20 menit untuk 2 bis B datang? Jawab: N A adalah PP dengan λ = 1/12 N B adalah PP dengan λ = 1/8 ( ( P (N A (24 = 2, N B (36 = 3 = e /2! e /3! Diketahui: T A (1 exp(1/12, T B (1 exp(1/8. Jadi, Catatan: T = min(t A (1, T B (1 exp(5/24 E(T = 24/5 P (T B (1 + T B (2 20 = 3.5 e 2.5 S = T B (1 + T B (2 Ga(2, 1/8 MA5181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

32 4.5 Thinning dari Proses Poisson Diketahui suatu proses Poisson {N t } dengan parameter λ. Misalkan setiap kali terdapat suatu kejadian, kejadian tersebut dapat diklasifikasi ke Tipe I dengan peluang p atau Tipe II dengan peluang 1 p, yang saling bebas untuk seluruh kejadian. Jika N 1 (t dan N 2 (t berturut-turut adalah kejadian tipe I dan II pada selang [0, t] maka {N 1 (t} adalah proses Poisson dengan parameter λp {N 2 (t} adalah proses Poisson dengan parameter λ(1 p Kedua proses saling bebas Contoh-6: 1. Sebuah perusahaan asuransi memiliki dua jenis polis yaitu polis K dan M. Pengajuan klaim yang datang mengikuti proses Poisson dengan parameter 9 (per hari. Pemilihan klaim secara acak menunjukkan bahwa peluang polis jenis K terpilih adalah 1/3. Hitung peluang bahwa klaimklaim polis jenis K (atau M yang diajukan pada suatu hari kurang dari 2. Berapa peluang bahwa total klaim yang diajukan pada suatu hari kurang dari 2? 2. Sejalan dengan soal sebelumnya, ternyata 2/3 klaim dari polis jenis K memiliki besar klaim lebih dari 10jt. Sementara itu, hanya 2/9 dari polis M. Tentukan nilai harapan banyaknya klaim yang bernilai lebih dari 10jt. Berapa peluang bahwa pada suatu hari klaim yang bernilai lebih dari 10jt kurang dari 2? 3. Ike datang ke halte bis transjakarta pukul 8.15 pagi. Informasi yang ada sbb: - hingga pukul 9, bis akan datang mengikuti proses Poisson dengan parameter 1 (per 30 menit - mulai pukul 9, bis akan datang mengikuti proses Poisson dengan parameter 2 (per 30 menit Berapa waktu tunggu yang diharapkan (expected waiting time Ike hingga sebuah bis datang? MA5181 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

33 4.6 Proses Poisson Tak Homogen Proses menghitung {N t } dikatakan proses Poisson tak homogen dengan fungsi intesitas λ t jika 1. N 0 = 0 2. memiliki independent increments 3. ( P N t+h N t = 1 = λ t h + o(h dan ( P N t+h N t 2 = o(h Contoh-7: 1. Para pembeli datang ke toko Ilfimart mengikuti proses Poisson dengan parameter/laju yang naik secara linier dari 6/jam pada pukul 13 hingga 9/jam pada pukul 14. Tentukan peluang ada tepat 2 pembeli datang antara pukul 13 dan Perusahaan asuransi AAA mendapatkan kenyataan bahwa banyaknya kecelakaan meningkat pada tengah malam hingga siang hari (pukul 12 dan turun hingga tengah malam berikutnya. Misalkan banyaknya kecelakaan dapat dimodelkan menurut proses Poisson tak homogen dengan intensitas λ t = 1/6 (12 t 2 /1152, dimana t jumlah jam setelah tengah malam. Hitung banyaknya kecelakaan setiap hari yang diharapkan. Berapa peluang bahwa akan ada tepat 1 kecelakaan antara pukul 6 pagi dan 6 malam? MA5181 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

34 BAB 5 Proses Renewal 5.1 Tentang Proses Poisson Proses Poisson yang kita kenal selama ini berkonsentrasi pada 2 hal. Pertama, banyaknya kedatangan (arrivals atau kejadian hingga waktu ke-t (berdistribusi Poisson; kedua, waktu antar-kedatangan kejadian ke-(n 1 dan ke-n (berdistribusi eksponensial. Kedua hal ini setara baik dalam pemahaman (intuitif maupun sifat distribusinya. Perhatikan bahwa misalkan T 1 PEUBAH ACAK menyatakan waktu antarkedatangan dari tidak ada kejadian ke kejadian pertama; kita dapat memandang juga sebagai suatu KEJADIAN yaitu {T 1 > t} yang terjadi j.h.j tidak ada kejadian dari proses Poisson pada interval [0, t], sehingga P (T 1 > t = e λ t λ t (λ t0 = e 0! = P (N t = 0, dimana N t p.a. yang menyatakan banyaknya kedatangan atau kejadian. Diskusi: Mungkinkah T 1 berdistribusi lain (bukan eksponensial; bahkan distribusi diskrit? Secara umum, mungkinkah barisan p.a. {T n } saling bebas dan berdistribusi identik bukan eksponensial? 5.2 Distribusi T n, S n dan N t Ilustrasi (Ilustrasi-1 Misalkan T 1 p.a. banyaknya percobaan untuk mendapatkan sukses pertama; dengan kata lain T 1 berdistribusi geometrik. Apakah distribusi 1

35 dari S n = T 1 +T 2 + +T n, p.a. yang menyatakan banyaknya percobaan (baca: waktu untuk mendapatkan n sukses? (Ilustrasi-2 Misalkan distribusi antar-kedatangan adalah Poisson dengan mean λ; P (T n = i = e λ λi, i = 0, 1, 2,... i! Tentukan P (N t = n, dimana N t = maks{n : S n t}. (Ilustrasi-3 Diketahui U 1, U 2,... peubah acak yang saling bebas berdistribusi U(0, 1. Misalkan N = min{n : U 1 + U U n > 1}. Hitung E(N. (Ilustrasi-4 Wind(ra bekerja tidak tetap (kadang-kadang dapat kerjaan, lebih sering sih jadi pengacara. Rata-rata, Winda bekerja selama tiga bulan (untuk setiap pekerjaan yang dia terima. Jika waktu antar-pekerjaan yang Winda dapatkan berdistribusi eksponensial dengan mean dua, pada rate berapa Winda akan mendapat pekerjaan baru? Distribusi N t Kita mulai dengan memperhatikan pertanyaan berikut: mungkinkah banyaknya renewal N t dapat tak hingga pada waktu yang hingga?. Dengan kata lain, dapatkah kita tunjukkan bahwa N t = maks{n : S n t} valid atau berlaku? Catatan: S n adalah waktu untuk mendapatkan kedatangan atau kejadian atau renewal ke-n. Distribusi dari N t dapat ditentukan sbb: P (N t = n = P (N t n P (N t n + 1 = P (S n t P (S n+1 t = F Sn (t F Sn+1 (t dimana F f.d. dari T i, i 1; F n adalah distribusi dari S n. Sementara itu, MA5181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

36 mean N t adalah E(N t = n = P (N t n = = n=1 P (S n t n=1 F Sn (t = m t. n=1 Diskusi: Bagaimana jika E(N t = 2? E(N t = 2 t? Dapatkah informasi ini membantu kita untuk dapat menentukan distribusi N t? Bagaimana perilaku N t untuk t?* t Contoh/Latihan: Telpon seluler de Ika selalu terisi pulsa 100rb. Jika pulsa habis, Ika langsung mengisinya (kayaknya si Ika bandar pulsa ya. Pulsa 100rb Ika akan dapat dipakai (baca: memiliki masa hidup [dalam hari] mengikuti distribusi Uniform pada selang [3, 6]. Pada setiap berapa hari Ika harus mengisi pulsa? Ternyata Ika bukan bandar pulsa, maksudnya saat pulsa Ika habis, Ika harus ke warung dan beli pulsa. Waktu yang dihabiskan Ika untuk mendapatkan pulsa baru adalah p.a. berdistribusi U(0, 1. Jadi, setiap berapa hari Ika harus mengisi pulsa? 5.3 Proses Renewal Definisi Suatu proses menghitung {N t, t 0} adalah Proses Renewal jika barisan p.a. tak negatif {T 1, T 2,...} saling bebas dan berdistribusi identik. Contoh/Latihan: Misalkan para nasabah bank akan datang ke sebuah mesin ATM mengikuti proses Poisson dengan parameter/laju λ. Namun nasabah-nasabah itu akan masuk ke ruang mesin ATM apabila mesin tersebut kosong (bukan kosong duitnya, tapi tidak ada yang memakai! saat mereka datang. Jadi, kalau mesin ATM sedang dipakai seseorang maka nasabah baru yang datang akan pulang (daripada menunggu. Jika waktu yang dihabiskan nasabah di mesin ATM berdistribusi F, maka... MA5181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

37 1. Apakah situasi ini dapat diterima? Dengan kata lain, mungkinkah nasabah datang mengikuti proses Poisson namun kemudian pulang jika mesin ATM sedang dipakai nasabah lain? Perlukah kita melihat kedatangan sebagai proses Poisson? 2. Dapatkah kita mengabaikan proses kedatangan nasabah dan hanya berkonsentrasi pada waktu yang dihabiskan nasabah di mesin ATM? 3. Lanjutan dari butir 2, misalkan nasabah B datang dan menunggu hingga waktu s; jika s > t (t adalah waktu yang dihabiskan nasabah A di mesin ATM maka nasabah B pulang. Jika s < t berapa waktu yang dihabiskan nasabah B di mesin ATM? 4. Kembali ke situasi awal dimana kedatangan nasabah mengikuti proses Poisson. Misalkan para nasabah bersedia antre. Diketahui seorang nasabah sedang memakai mesin ATM. Ketika Vina datang, sudah ada 2 orang lain yang sedang antre. Berapa mean waktu yang dihabiskan Vina di mesin ATM? Teorema Renewal Elementer Misalkan proses renewal {N t } dengan T n menyatakan waktu antar-kedatangan kejadian ke-(n 1 dan ke-n. Misalkan m t = E(N t dan µ = E(T n. Untuk t, m t t 1 µ. (Petunjuk: lihat *, perilaku N t t untuk t Teorema Limit Pusat untuk Proses Renewal Misalkan {N t } proses renewal dengan mean dan variansi T n, berturut-turut, adalah µ dan σ, lim P t ( N t t/µ t σ2 /µ < x = 1 x 3 2 π e x2 /2 dx. Dengan kata lain, untuk t besar, N t akan (mendekati distribusi normal dengan mean t/µ dan variansi tσ 2 /µ 3. MA5181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

38 BAB 6 Matriks Stokastik dan Rantai Markov 6.1 Matriks stokastik Perhatikan matriks-matriks berikut: P = ( , P = , yang memiliki sifat-sifat (i memiliki jumlah baris dan kolom sama atau matriks bujursangkar, (ii jumlah unsur-unsur di setiap baris adalah satu, (iii tidak selalu memiliki jumlah unsur-unsur di setiap kolom sama dengan satu, (iv nilai setiap unsurnya diantara nol dan satu. Matriks dengan sifat-sifat diatas dikatakan sebagai matriks stokastik atau matriks peluang transisi, dimana setiap unsur matriks P ij adalah peluang berpindahnya keadaan i (pada waktu t ke keadaan j (pada waktu t + 1; disebut juga peluang transisi. Keadaan-keadaan i dan j adalah anggota dari ruang keadaan S t (analog dengan ruang sampel yang bernilai integer (dan hingga; ruang keadaan juga mendefinisikan peubah acak, sebut X t. Kita tahu bahwa 0 P ij 1; berpindahnya keadaan i ke j memberikan indikasi bahwa P ij adalah peluang bersyarat. 1

39 Latihan: 1. Suatu matriks stokastik dengan ruang keadaan {0, 1, 2}, P = Diketahui P (X 0 = 0 = 0.3, P (X 0 = 1 = 0.4, P (X 0 = 2 = 0.3. Hitung P (X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2 2. Diketahui matriks peluang transisi untuk ruang keadaan {0, 1, 2} sbb: P = Hitung P (X 2 = 1, X 3 = 1 X 1 = 0 dan P (X 1 = 1, X 2 = 1 X 0 = 0 3. Suatu matriks stokastik yang didefinisikan pada ruang keadaan {0, 1, 2}, P = 0 1/3 2/3 0 1/5 4/ Hitung E(X 3 X 2 = 1 Matriks stokastik yang didefinisikan diatas lebih tepat dikatakan sebagai matriks peluang transisi satu langkah, karena unsur matriks P ij berada pada ruang waktu {t, t + 1}; keadaan berpindah satu-langkah ke keadaan berikutnya. 6.2 Matriks stokastik n-langkah Pandang matriks stokastik satu-langkah: ( 1/3 2/3 P =. 0 1 Kita ingin menentukan matriks stokastik dua-langkah. Artinya, matriks yang didefinisikan pada ruang keadaan yang sama namun ruang waktu {t, t + 2}. Jadi, jika sebelumnya kita mempunyai P ij = P 1 ij = P (X t+1 = j X t = i, MA5181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

40 sekarang kita ingin mendapatkan P 2 ij = P (X t+2 = j X t = i. Perhatikan bahwa, untuk mendapatkan peluang transisi yang menyatakan berpindahnya keadaan 0 (pada waktu t ke keadaan 0 pada waktu t + 2 atau P 2 00, misalnya, kita mungkin mendapatkannya melalui peluang total, P 2 00 = P (X t+2 = 0 X t = 0 = P (X t+2 = 0, X t+1 = 0 X t = 0 + P (X t+2 = 0, X t+1 = 1 X t = 0 = P (X t+2 = 0 X t+1 = 0, X t = 0P (X t+1 = 0 X t = 0 + P (X t+2 = 0 X t+1 = 1, X t = 0P (X t+1 = 1 X t = 0 = P (X t+2 = 0 X t+1 = 0P (X t+1 = 0 X t = 0 + P (X t+2 = 0 X t+1 = 1P (X t+1 = 1 X t = 0 = P 00 P 00 + P 10 P 01. Begitu pula dengan P 2 01, P 2 10 dan P 2 11, yang dapat melewati keadaan 0 atau 1 pada waktu t + 1. Persamaan Chapman-Kolmogorov Misalkan Pij n menyatakan peluang transisi n-langkah suatu proses di keadaan i akan berada di keadaan j, P n ij = P (X t+n = j X t = i, n 0, i, j 0. Persamaan Chapman-Kolmogorov adalah alat untuk menghitung peluang transisi n + m-langkah: P n+m ij = k=0 P n ikp m kj, untuk semua n, m 0 dan semua i, j. Pik np kj m menyatakan peluang suatu proses dalam keadaan i akan berada di keadaan j dalam n+m transisi, melalui keadaan k dalam n transisi/langkah. Peluang Transisi Tak Bersyarat Peluang transisi Pij, 2 atau secara umum Pij, n yang telah kita hitung diatas adalah peluang bersyarat. Kini, apabila ingin dihitung P (X t+n = j atau P (X n = j, kita gunakan konsep peluang total, P (X n = j = P (X n = j X 0 = i P (X 0 = i = i=0 i=0 P n ij α i, MA5181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

41 dengan α i = P (X 0 = i, i 0 adalah peluang tak bersyarat pada keadaan awal atau t = 0. Catatan: i=0 α i = Lebih jauh tentang matriks stokastik Perkalian matriks Misalkan kita memiliki matriks stokastik P. (lagi terhadap matriks tersebut? Misalkan ( P00 P P = 01. P 10 P 11 Apa yang dapat kita lakukan Kita ingin menghitung perkalian matriks P P = P 2, ( ( P00 P P P = 01 P00 P 01 P 10 P 11 P 10 P 11 ( P 2 = 00 + P 01 P 10 P 00 P 01 + P 01 P 11 P 10 P 00 + P 11 P 10 P 10 P 01 + P Kebebasan dalam matriks stokastik Misalkan ( P = , Apakah yang dapat kita katakan tentang matriks dengan setiap unsur pada suatu baris sama dengan unsur pada baris lain di kolom yang sama? Perhatikan bahwa, P (X t = 0 X t 1 = 0 = P (X t = 0 X t 1 = 1 = 0.7 dan kita tahu melalui peluang total P (X t = 0 = P (X t = 0 X t 1 = 0P (X t 1 = 0 + P (X t = 0 X t 1 = 1P (X t 1 = 1 α = 0.7 α (1 α, MA5181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

42 sehingga diperoleh α = 0.7. Dengan kata lain, P (X t = 0 X t 1 = 0 = 0.7 = P (X t = 0. Artinya, barisan peubah acak X t saling bebas Perkalian n matriks Misalkan ( 1 α α P = β 1 β, dimana 0 < α, β < 1. Jika α = 1 β maka unsur-unsur di setiap baris sama. Dengan kata lain, X 1, X 2,... merupakan peubah acak yang bersifat i.i.d. dengan P (X n = 0 = β dan P (X n = 1 = α. Jika α 1 β maka distribusi peluang X n bergantung keluaran dari X n 1. Kita ingin menentukan P n sebagai berikut: ( ( β α α α P n = 1 + (1 α βn α+β β α α+β β β Misalkan ( β α A = β α dan ( α α B = β β Kita dapat menuliskan: P n = (α + β 1 [A + (1 α β n B] dan menunjukkan bahwa AP = A, BP = (1 α β n B MA5181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

43 Kemudian, dengan induksi matematika kita tunjukkan P 1 = P, dan P n P = P n Limit peluang Misalkan ( 1 α α P = β 1 β. Karena 0 < α, β < 1, maka 1 α β < 1. Akibatnya, 1 α β n 0, untuk n dan lim P = n ( β α+β β α+β α α+β α α+β. Misalkan matriks stokastiks P berukuran 2 2, ( P00 P P = 01 ; P 10 P 11 matriks tersebut memiliki limit peluang yang direpresentasikan dalam matriks π, ( π0 π =. π 1 Kita ingin menentukan P T π dan menyelesaikan persamaan matriks P T π = π, MA5181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

44 dimana jumlah unsur matriks π haruslah sama dengan 1. Untuk ( 1 α α P = β 1 β, diperoleh: π = ( π0 π 1 = ( β α+β α α+β Unsur P ij dan sifat keadaan Pandang matriks stokastik ( P00 P P = 01, P 10 P 11 dimana P ij dapat bernilai nol atau satu atau diantaranya. Jika P ij > 0, artinya keadaan j dapat dicapai (diakses dari keadaan i, atau i j. Jika i juga dapat diakses dari j, dikatakan maka kedua keadaan dikatakan berkomunikasi, i j. Diskusi Adakah hubungan antara sifat komunikasi dua keadaan dengan kebebasan dalam matriks stokastik? Bagaimana jika kita mempunya matriks stokastik identitas P = ( ? Apa yang dapat kita katakan tentang keadaan j? MA5181 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah:

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson

MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson SMART AND STOCHASTIC MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson SMART AND STOCHASTIC Pengantar Seperti sudah disampaikan sebelumnya, analog

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK (not just) Always Listening, Always Understanding disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK (not just) Always Listening, Always Understanding disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 4 Proses Po

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 4 Proses Po MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 4 Proses Poisson: Suatu Pengantar Orang Pintar Belajar Stokastik Tentang Kuliah Proses Stokastik Bab 1 : Tentang Peluang Bab 2 : Peluang dan Ekspektasi Bersyarat*

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah

Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah BAB 1 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 1.1 EKSPEKTASI Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah E(X) x x p X (x) dan E(X)

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3 Proses Renewal

MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3 Proses Renewal MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3 (not just) Always Listening, Always Understanding MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3 Soal Solusi Ujian Toko kue KP-Khusus Pria (ini toko apaan sih?) buka pukul 8 pagi. Pelanggan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 5: Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Waktu Antar Kedatangan Waktu Antar Kedatangan Misalkan T 1 menyatakan waktu dari kejadian/kedatangan pertama. Misalkan

Lebih terperinci

Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean

Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 7 Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean Ilustrasi 7. Seorang peserta kuis diberi dua buah pertanyaan (P-, P-2), yang harus dijawab dengan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Insure and Invest! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang AK5161 MatKeu

Lebih terperinci

Peubah Acak dan Distribusi

Peubah Acak dan Distribusi BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012 Tentang

Lebih terperinci

P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB)

P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB) Diskusi 1 Tanggal 29 Januari 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang suatu kejadian; sifat-sifat peluang (termasuk kejadian-kejadian saling asing dan saling bebas); peluang bersyarat; peluang total; 1. Buktikan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012 Tentang

Lebih terperinci

P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB)

P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB) Diskusi 1 Tanggal 29 Januari 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang suatu kejadian; sifat-sifat peluang (termasuk kejadian-kejadian saling asing dan saling bebas); peluang bersyarat; peluang total; 1. Buktikan

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 4: Distribusi Eksponensial Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Distribusi Eksponensial Pendahuluan Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai

Lebih terperinci

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012 Tentang

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012 Tentang

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 4: Distribusi Eksponensial Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Distribusi Eksponensial Pendahuluan Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat

Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 9 Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat Ilustrasi 9. Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu di suatu pabrik adalah empat.

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Distribusi Eksponensial dan Aplikasinya

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Distribusi Eksponensial dan Aplikasinya MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Distribusi Eksponensial dan Aplikasinya Orang Pintar Belajar Stokastik Kuliah ProsStok, untuk apa? Fakultas Ekonomi ITB? Math is the language of economics. If you

Lebih terperinci

/ /16 =

/ /16 = Kuis Selamat Datang MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Tanggal 22 Agustus 2017, Waktu: suka-suka menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. 1. Widya (akan) memenangkan

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematik(a)

Pengantar Statistika Matematik(a) Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematik(a)

Pengantar Statistika Matematik(a) Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Kuis 1 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 24 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Kuis 1 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 24 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kuis Selamat Datang MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 23 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit 1. Mahasiswa yang datang ke ruang kuliah mengikuti suatu proses dengan laju kedatangan

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4081 (Pengantar)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Rantai Markov Waktu Kontinu Pendahuluan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Bab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah

Bab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 8 1 Bab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah Ilustrasi 8.1 Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter

Lebih terperinci

4. Misalkan peubah acak X memiliki fungsi distribusi:

4. Misalkan peubah acak X memiliki fungsi distribusi: Diskusi 1 Tanggal 19 Februari 2014, Waktu: suka-suka menit 1. Enam laki-laki dan 5 perempuan melamar suatu pekerjaan di PT KhrshFin. Empat dari mereka terpilih secara acak untuk diwawancarai. Misalkan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik : Dasar-dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Diskusi 1. Misalkan sebuah koin yang mempunyai peluang muncul muka sebesar.7, dilantunkan tiga kali. Misalkan X menyatakan banyaknya

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4081 (Pengantar)

Lebih terperinci

IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson

IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson Non Homogen IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si TELKOM UNIVERSITY JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Non Homogen Proses Menghitung Proses stokastik

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK

CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si PROGRAM STUDI STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 2016 Daftar Isi Daftar Isi iv

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 3: Rantai Markov Diskrit Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Rantai Markov Rantai Markov Rantai Markov Misalkan sebuah proses stokastik {X t } dengan t = 0, 1, 2,....

Lebih terperinci

BAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI

BAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI BAB 1 Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas.

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4081 (Pengantar)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar

Lebih terperinci

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1 Fungsi distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko

Lebih terperinci

MA6281 Topik Lanjut dalam Statistika ANALISIS DATA DENGAN COPULA Dependency is not necessarily bad

MA6281 Topik Lanjut dalam Statistika ANALISIS DATA DENGAN COPULA Dependency is not necessarily bad Catatan Kuliah MA6281 Topik Lanjut dalam Statistika ANALISIS DATA DENGAN COPULA Dependency is not necessarily bad disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut

Lebih terperinci

Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA

Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA CNH4S3 Analisis Time Series Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Jadwal]: [Materi Analsis Time Series] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang dasar pemodelan time series seperti kestasioneran, identifikasi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183

Lebih terperinci

Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA

Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA CNH4S3 Analisis Time Series Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Jadwal]: [Materi Analsis Time Series] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang dasar pemodelan time series seperti kestasioneran, identifikasi

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks

MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4181 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Minggu 1 Review Peubah Acak dan Fungsi Distribusi. Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting

Minggu 1 Review Peubah Acak dan Fungsi Distribusi. Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting IKG4Q3 Ekonometrik Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Kelas Ekonometrik] CS-36-02 [Jadwal] Senin 10.30-12.30 R.A208A; Selasa 10.30-12.30 R.E302 [Materi Ekonometrik] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang

Lebih terperinci

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 8-14) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Mean dan Variansi Fungsi Pembangkit Momen (MGF) 2 Minggu

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

STK 203 TEORI STATISTIKA I

STK 203 TEORI STATISTIKA I STK 203 TEORI STATISTIKA I V. SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 1 Sebaran Fungsi Peubah Acak Dalam banyak kasus untuk melakukan inferensi terhadap suatu parameter kita lebih banyak

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Diskusi 1: Dasar-dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 215 Latihan 1 Dasar-dasar Probabilitas Latihan 1 1. Diketahui Tentukan: a. P ( ) X > 1 4 b. Tentukan F (x) 2. Diketahui

Lebih terperinci

PROSES POISSON MAJEMUK DAN PENERAPANNYA PADA PENENTUAN EKSPEKTASI JUMLAH PENJUALAN SAHAM PT SRI REJEKI ISMAN TBK

PROSES POISSON MAJEMUK DAN PENERAPANNYA PADA PENENTUAN EKSPEKTASI JUMLAH PENJUALAN SAHAM PT SRI REJEKI ISMAN TBK PROSES POISSON MAJEMUK DAN PENERAPANNYA PADA PENENTUAN EKSPEKTASI JUMLAH PENJUALAN SAHAM PT SRI REJEKI ISMAN TBK Ririn Dwi Utami, Respatiwulan, dan Siswanto Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak.

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak

Lebih terperinci

PROSES POISSON MAJEMUK. 1. Pendahuluan

PROSES POISSON MAJEMUK. 1. Pendahuluan PROSES POISSON MAJEMUK Chris Risen, Respatiwulan, Pangadi Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Proses Poisson merupakan proses menghitung {; t 0} yang digunakan untuk menentukan jumlah kejadian

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik : Dasar-dasar Probabilitas, Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia April 13, 2017 1. Misalkan sebuah koin yang mempunyai peluang muncul muka sebesar 0.7, dilantunkan

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: We love Statistics Pengantar Parameter adalah... ...suatu karakteristik dari populasi. Statistik adalah... ...suatu karakteristik dari sampel. Statistik adalah fungsi

Lebih terperinci

BAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI

BAB 1. Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI BAB 1 Rantai Markov 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas.

Lebih terperinci