MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK

Transkripsi

1 Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012

2 Tentang MA4081 Pengantar Proses Stokastik A. Jadwal kuliah: Selasa; ; R.9231 Kamis; ; R.9307 B. Silabus: Peluang, peubah acak dan distribusi (2 minggu) Peluang dan ekspektasi bersyarat (1 minggu) Rantai Markov (4 minggu) Distribusi Eksponensial (3 minggu) Proses Poisson (2 minggu) C. Buku teks: Sheldon Ross, 2010, Introduction to Probability Models, 10th ed., Academic Press. Taylor dan Karlin, 1998, An Introduction to Stochastic Modelling, 3rd ed., Academic Press. E. Penilaian: Ujian 1,2,3 (90%): 18 September 2012 (20%) 18 Oktober 2012 (35%) 4 Desember 2012 (35%) Kuis/PR/Kehadiran (10%) MA5181 Pros.Stok. i K. Syuhada, PhD.

3 Matriks kegiatan perkuliahan Table 1: Materi kuliah MA5181 Proses Stokastik. Minggu- Materi Keterangan 1 Pengantar Penjelasan kuliah 2 Peluang, peubah acak dan distribusi 3 Peluang dan ekspektasi bersyarat 4 Ujian 1 18 September Rantai Markov* 8 Ujian 2 18 Oktober Distribusi Eksponensial* Proses Poisson* 15 Ujian 3 4 Desember 2012 MA5181 Pros.Stok. ii K. Syuhada, PhD.

4 Daftar Isi 1 Peluang, Peubah Acak dan Distribusi Peluang Peubah acak dan distribusi Ekspektasi bersyarat Rantai Markov Ilustrasi Definisi Peluang n-langkah Jenis Keadaan Limit Peluang Transisi Distribusi Eksponensial dan Aplikasinya Pengantar Peubah Acak Eksponensial Jumlah P.A Eksponensial, Min Maks Peubah Acak dan Statistik Terurut Aplikasi P.A Eksponensial dalam Antrean iii

5 BAB 1 Peluang, Peubah Acak dan Distribusi 1.1 Peluang Peluang adalah suatu konsep berpikir, bukan sekadar angka (walaupun wujudnya adalah angka diantara nol dan satu). Peluang berkaitan dengan menyatakan alasan atas suatu kejadian. Peluang, secara implisit, mengajak kita untuk mempersiapkan diri menghadapi kejadian yang tidak terjadi (yang memiliki peluang kecil). Contoh: Setiap hari Laila pergi ke kampus dan berharap perkuliahan terjadi (untuk setiap mata kuliah Laila sudah memiliki dugaan peluang terjadinya perkuliahan tersebut). Jika suatu hari Laila tidak pergi ke kampus, akankah sebuah perkuliahan benar-benar tidak terjadi? Contoh: Ini kisah masa lalu Tiani yang sempat diceritakan sesaat sebelum Tiani menikah. Katanya Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku. Adakah sosok seperti Tiani? Untuk membuat peluang lebih berwujud, maka diciptakan cara menghitung peluang. Secara khusus, kita akan menghitung peluang suatu kejadian. Peluang terdefinisi pada suatu ruang sampel. 1

6 Catatan: Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer. Peluang kejadian A adalah P (A) = lim n n(a) n P (A) = n(a) n(s) Contoh: Direktur perusahaan mengundang para karyawan yang memiliki setidaknya satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran khitanan. Seorang karyawan memiliki dua anak. Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki, diberikan bahwa karyawan tersebut diundang ke acara syukuran? Solusi: Misalkan L kejadian memiliki anak laki-laki; LK kejadian memiliki dua anak laki-laki; U kejadian diundang ke acara syukuran. Jadi, P (LK U) = P (LK U) P (U) = P ({{LL} {LL, LLc, L c L}}) P ({LL, LL c, L c L}) P ({LL}) = P ({LL, LL c, L c L}) = (1/4)/(3/4) = 1/3 Seringkali dibutuhkan nilai (awal) peluang suatu kejadian, untuk kemudian dapat dihitung peluang kejadian berikutnya. Menentukan nilai awal peluang merupakan masalah yang menarik dan menantang (challenging). Contoh: Sebagai seorang sekretaris, Dien tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada dengan peluang sama. Misalkan p i adalah peluang bahwa Dien akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat i, MA5181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

7 i = 1, 2, 3. Misalkan Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat. Berapa peluang kejadian itu akan terjadi? Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? Solusi: Misalkan K i, i = 1, 2, 3 adalah kejadian surat berada di kotak surat i. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat 1 dan tidak mendapatkan surat. Peluang kejadian itu akan terjadi adalah P (T ) = P (T K 1 )P (K 1 ) + P (T K 2 )P (K 2 ) + P (T K 3 )P (K 3 ) = (1 p 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3 Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, maka peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1 adalah P (T K 1 )P (K 1 ) P (K 1 T ) = P (T K 1 )P (K 1 ) + P (T K 2 )P (K 2 ) + P (T K 3 )P (K 3 ) (1 p 1 )(1/3) = (1 p 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3 Contoh: B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan B) mengenai sasaran adalah 0.4. Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluang bahwa itu tembakan G? Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, kedua tembakan mengenai sasaran? Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan G mengenai sasaran? Solusi: Misalkan B kejadian B menembak sasaran. Misalkan G kejadian G menembak sasaran. Misalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaran. Misalkan S kejadian sasaran tertembak P (G T ) = P (G T ) P (T ) P (G B c ) = P (G B c ) + P (B G c ) (0.4)(0.3) = (0.4)(0.3) + (0.7)(0.6) MA5181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

8 P (G S) P (B S) P (G B S) = P (S) P (G)P (B) = 1 P (G c B c ) = (0.4)(0.7) 1 (0.6)(0.3) P (G S) P (G S) = P (S) P (G S) = 1 P (G c B c ) 0.4 = 1 (0.6)(0.3) 1.2 Peubah acak dan distribusi Peubah acak (p.a.) adalah alat untuk memudahkan kita dalam menyederhanakan hitungan peluang; p.a. membuat kita bekerja dalam bilangan riil. Catatan: Peubah acak berbeda dengan peubah! P.a. berkaitan dengan distribusi atau, secara khusus, fungsi distribusi (kumulatif) (f.d.). Melalui f.d., p.a. akan makin memiliki makna dan aplikatif. Contoh, suatu p.a. menyatakan waktu tunggu seorang lulusan mendapat pekerjaan. P.a. tersebut mengikuti distribusi eksponensial. Kita dapat memahami perilaku p.a. (secara probabilistik) tersebut melalui f.d. Misalkan X suatu p.a.; F.d. untuk X adalah F X (x) = F (x) = P (X x) dengan sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun (b) lim x F (x) = 1 (c) lim x F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan Catatan: Jika X p.a. diskrit, P (a < X b) = F (b) F (a) MA5181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

9 P (X b) P (X < b) P (X < b) = P ( { 1 }) lim X b n n = lim P ( X b 1 ) n n = lim F ( b 1 ) n n Contoh: Tentukan fungsi peluang dari f.d. berikut: 0, x < x, 0 x < F (x) =, 1 x < , 2 x < 3 1, x 3 Solusi: Misalkan X p.a dengan f.d. F X (x). Kita dapat membentuk p.a. baru (menurut konsep Transformasi Peluang) yaitu dengan f.d. U = F X (X) Unif(0, 1), F U (u) = P (U u) = P (F X (X) u) = P (X F 1 X (u)) = F X (F 1 X (u)) = u. Contoh: Jika X berdistribusi Uniform pada selang (-1,1), tentukan (a) P ( X > 1/2) (b) fungsi peluang dari X. Solusi: Contoh: Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu MA5181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

10 untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? Solusi: Contoh: Misalkan X p.a. berdistribusi Poisson dengan mean λ. Parameter λ berdistribusi eksponensial dengan mean 1. Tunjukkan bahwa Solusi: P (X = n) = (1/2) n+1 Misalkan X peubah acak dengan f.d. F dapat diturunkan. Fungsi peluang (f.p.) f adalah turunan dari f.d., f X (x) = d dx F X(x) atau, dengan kata lain, F X (x) = x f X (t) dt Jika X p.a. sedemikian hingga f.p.-nya ada (turunan dari f.d.) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Catatan: 1 = F X ( ) = P (a X b) = F X (b) F X (a) = P (X = a) = a a f X (t) dt = 0 f X (t) dt b a f X (t) dt Salah satu contoh distribusi kontinu adalah distribusi eksponensial dengan parameter θ yang memiliki f.d. F (x) = 1 e θx, x 0, Seperti apakah bentuk data berdistribusi eksponensial? Untuk membangkitkan datanya, contoh X exp(1/3), serta bentuk distribusinya (dalam histogram) kita gunakan kode berikut: x = exprnd(3,10,1); hist(x) MA5181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

11 Kita dapat pula membangkitkan data dengan menggunakan teknik simulasi stokastik yaitu Invers Transformation Method. Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap f.d. kontinu F, jika kita definisikan peubah acak X sbb: X = F 1 (U) maka peubah acak X memiliki f.d. F. Contoh: Jika F (x) = 1 e x maka F 1 (u) adalah nilai x sedemikian hingga atau 1 e x = u x = log(1 u) Jadi, jika U adalah p.a. Uniform(0,1) maka F 1 (U) = log(1 U) adalah p.a. eksponensial dengan mean 1 (parameter 1). 1.3 Ekspektasi bersyarat Distribusi Bersama Misalkan X dan Y p.a. dengan f.d. berturut-turut F X dan F Y. Kita dapat membangun f.d. dan f.p. bersama dari kedua peubah acak tersebut dari informasi distribusi marginal dan sifat kebebasan. Distribusi bersama untuk dua atau lebih p.a. sangat membantu dalam membangun model yang lebih rumit. Hubungan antara f.d. marginal dan f.d. bersama adalah sebagai berikut: f.d. marginal mungkin dapat membangun f.d. bersama; dengan f.d. bersama kita dapat menentukan f.d. marginal. Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah p X,Y (x, y) = P ({X = x, Y = y}) Perhatikan bahwa (i) kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti dua p.a. tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama, (ii) {X = x, Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y bernilai y. MA5181 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

12 Proposisi Misalkan X dan Y p.a. diskrit yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Maka, p X (x) = y p X,Y (x, y), x R dan p Y (y) = x p X,Y (x, y), y R adalah f.p. marginal dari X dan f.p. marginal dari Y. Contoh: Diberikan data ttg jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumah yang akan dijual sbb (X kamar tidur, Y kamar mandi): X\Y Total Total a. Hitung p X,Y (3, 2) b. Tentukan f.p. bersama dari X dan Y Solusi: Contoh: Misalkan kita punyai 2 komponen elektronik yang identik. Misalkan juga X dan Y adalah waktu hidup (jam, diskrit). Asumsikan f.p. bersama dari X dan Y adalah p X,Y (x, y) = p 2 (1 p) x+y 2, x, y N dimana 0 < p < 1. Tentukan f.p. marginal dari X dan Y. Solusi: Contoh: Perhatikan soal diatas. Tentukan peluang bahwa kedua komponen elektronik tsb bertahan lebih dari 4 jam. Tentukan peluang bahwa salah satu komponen bertahan setidaknya 2 kali dari komponen yang lain. Solusi: Contoh: Pandang 2 komponen elektronik A dan B dengan masa hidup X dan Y. Fungsi MA5181 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

13 peluang bersama dari X dan Y adalah f X,Y (x, y) = λ µ exp( λx + µy), x, y > 0 dimana λ > 0, µ > 0. Tentukan peluang bahwa kedua komponen berfungsi pada saat t. Tentukan peluang bahwa komponen A adalah komponen yang pertama kali rusak Solusi: Ekspektasi Bersyarat Ilustrasi - Seorang narapidana terjebak dalam suatu sel penjara yang memiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan dan kembali ke sel dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowongan yang kembali ke sel dalam waktu masing-masing empat dan satu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat? Definisi: Misalkan X dan Y adalah p.a. kontinu dengan f.p. bersama f X,Y (x, y). Jika f X (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, E(Y X = x) = y f X,Y (x, y) f X (x) dy = y f Y X (y x) dy Proposisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka atau E(Y ) = E(Y X = x) f X (x) dx E(Y ) = E(E(Y X = x)) Definisi: Misalkan X dan Y adalah p.a. kontinu dengan f.p. bersama f X,Y (x, y). Jika f X (x) > 0 maka variansi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah variansi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, ( (Y ) ) 2 X V ar(y X = x) = E E(Y X = x) = x MA5181 Pros.Stok. 9 K. Syuhada, PhD.

14 Proposisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Misalkan variansi dari Y hingga. Maka V ar(y ) = E(V ar(y X = x)) + V ar(e(y X)) Contoh: Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f(x, y) = e x(y+1), 0 x, 0 y e 1 (a) Hitung P ( ) X > 1 Y = 1 2 (b) Hitung E ( ) X Y = 1 2 Solusi: Contoh: Febri meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acak berdistribusi Uniform pada selang (20, 20 + (2t)/3). Misalkan Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah? Solusi: Contoh: Zarudd saat ini berada di penjara Markas Brimob di Kelapa Dua, Depok. Dia ingin melarikan diri (katanya sih ingin ke Bogota atau manalah) namun hal ini tidak mudah. Fakta yang ada menunjukkan bahwa kalau Zarudd hendak keluar dari penjara dia akan menghadapi tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu dua jam. Pintu kedua pun demikian, akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu tiga jam. Sedangkan pintu ketigalah yang membawa Zarudd langsung bebas. Jika Zarudd memilih pintu-pintu, yang belum digunakannya, secara acak, berapa lama waktu rata-rata (expected number of hours) yang dibutuhkan Zarudd untuk bebas? Solusi: MA5181 Pros.Stok. 10 K. Syuhada, PhD.

15 BAB 2 Rantai Markov 2.1 Ilustrasi (Ilustrasi 1) Perilaku bunuh diri kini kian menjadi-jadi. Hesti (nama sebenarnya) adalah sebuah contoh. Dia pernah melakukan percobaan bunuh diri, namun gagal. Menurut pakar, kalau pada suatu waktu seseorang melakukan percobaan bunuh diri maka besar kemungkinan dia akan melakukannya lagi di masa mendatang. Jika seseorang belum pernah melakukan percobaan bunuh diri, di masa mendatang orang tersebut akan mungkin melakukan percobaan bunuh diri. Deskripsikan fenomena diatas sebagai model peluang (probability model). (Ilustrasi 2) Loyalitas konsumen terhadap suatu merek barang. Wilkie (1994) mendefinisikan brand loyalty as a favorable attitude toward and consistent purchase of a particular brand. Lyong (1998): brand loyalty is a function of a brands relative frequency of purchase in both time-independent and timedependent situations. Seorang konsumen pembeli merek barang A diharapkan akan terus membeli barang A. Mungkinkah ini terjadi? Apakah model statistika yang dapat dengan tepat (atau mendekati tepat) merinci peluang terjadinya hal ini? Apakah model ini membantu dalam strategi pemasaran suatu barang? (Ilustrasi 3) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas. Tentu saja peluang besok hujan akan lebih besar dibanding peluang besok akan panas. Begitu pula jika hari ini panas. Besok akan lebih mungkin panas dibandingkan hujan. Jika hari Senin hujan, berapa peluang bahwa hari Selasa akan hujan? Berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan? (Ilustrasi 4) Sebagai calon atlet, setiap pagi Laila meninggalkan rumahnya 1

16 untuk berlari pagi. Laila akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Laila memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika pulang, Laila akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Laila memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Berapa peluang bahwa Laila akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki? 2.2 Definisi Proses stokastik {X n } adalah Rantai Markov: n = 0, 1, 2,... nilai yang mungkin adalah hingga atau terhitung P ( X n+1 = j X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = Pij ( ) distribusi bersyarat X n+1, diberikan keadaan-keadaan lampau (past states) X 0, X 1,..., X n 1 dan keadaan sekarang (present state) X n, hanya bergantung pada keadaan sekarang ( Sifat Markov ) keadaan-keadaan (states): i 0, i 1,..., i n 1, i, j P ij peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaan i; P ij 0, i, j 0; P ij = 1, i = 0, 1,... j=0 Matriks peluang transisi P ij adalah P = P 00 P 01 P 02 P 10 P 11 P P i0 P i0 P i0... MA5181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

17 P02 P01 P12 P00 0 P11 1 P P10 P21 P20 Figure 2.1: Diagram transisi keadaan atau state transition diagram Perhatikan (*): P ( X n+1 = j X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ( X n+1 = j X n = i ) = P ij, yang disebut sebagai peluang transisi 1-langkah atau one-step transition probability. Peluang bersama P ( X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) dapat dihitung dengan sifat peluang bersyarat berikut. P ( X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ( X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) P ( X n = i X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ( X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) P ( Xn = i X n 1 = i n 1 ) = = p i0 P in 1,i n Contoh/Latihan: 1. Jika, pada waktu t, Rez mengajukan klaim asuransi, maka Rez akan mengajukan klaim pada waktu t + 1 dengan peluang α; jika Rez tidak mengajukan klaim asuransi saat ini maka di masa depan Rez akan mengajukan klaim asuransi dengan peluang β. Matriks peluang transisinya MA5181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

18 adalah... P = ( 1 β β 1 α α ) dengan keadaan-keadaan: 0 tidak mengajukan klaim 1 mengajukan klaim 2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah... P = dengan keadaan-keadaan: 0 (00) = hari ini dan kemarin hujan 1 (10) = hari ini hujan, kemarin tidak hujan 2 (01) = hari ini tidak hujan, kemarin hujan 3 (11) = hari ini dan kemarin tidak hujan 3. Tiga item produk A dan tiga item produk B didistribusikan dalam dua buah paket/kotak sedemikian hinga setiap paket terdiri atas tiga item produk. Dikatakan bahwa sistem berada dalam keadaan i, i = 0, 1, 2, 3 jika dalam paket pertama terdapat i produk A. Setiap saat (langkah), kita pindahkan satu item produk dari setiap paket dan meletakkan item produk tersebut dari paket 1 ke paket 2 dan sebaliknya. Misalkan X n menggambarkan keadaan dari sistem setelah langkah ke-n. Matriks peluang transisinya adalah... P = /9 4/9 4/ /9 4/9 1/ dengan keadaan-keadaan: 0 terdapat 0 produk A di paket pertama MA5181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

19 1 terdapat 1 produk A di paket pertama 2 terdapat 2 produk A di paket pertama 3 terdapat 3 produk A di paket pertama 4. Menurut Kemeny, Snell dan Thompson, Tanah Australia diberkahi dengan banyak hal kecuali cuaca yang baik. Mereka tidak pernah memiliki dua hari bercuaca baik secara berturut-turut. Jika mereka mendapatkan hari bercuaca baik maka esok hari akan bersalju atau hujan dengan peluang sama. Jika hari ini mereka mengalami salju atau hujan maka besok akan bercuaca sama dengan peluang separuhnya. Jika terdapat perubahan cuaca dari salju atau hujan, hanya separuh dari waktu besok akan menjadi hari bercuaca baik. Tentukan matriks peluang transisi dari Rantai Markov yang dibentuk dari keadaan-keadaan diatas. P = 1/2 1/4 1/4 1/2 0 1/2 1/4 1/4 1/2 dengan keadaan-keadaan: 0 cuaca hujan 1 cuaca baik 2 cuaca salju 5. Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 memiliki matriks peluang transisi: P = dan P (X 0 = 0) = 0.3, P (X 0 = 1) = 0.4, P (X 0 = 2) = 0.3. Hitung P (X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2) Solusi: 0 6. Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 memiliki matriks peluang transisi: P = MA5181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

20 Hitung P (X 2 = 1, X 3 = 1 X 1 = 0) dan P (X 1 = 1, X 2 = 1 X 0 = 0) Solusi: 0.12; Sebagai calon atlet, setiap pagi Laila meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Laila akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Laila memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki. Ketika pulang, Laila akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Laila memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Bentuklah suatu Rantai Markov dari proses diatas. P = 3/4 1/ /4 1/2 1/ /4 1/2 1/ /4 1/2 1/ /4 3/4 dengan keadaan-keadaan: 0 (4,0) = 4 sepatu didepan, 0 dibelakang 1 (3,1) = 3 sepatu didepan, 1 dibelakang 2 (2,2) = 2 sepatu didepan, 2 dibelakang 3 (1,3) = 1 sepatu didepan, 3 dibelakang 4 (0,4) = 0 sepatu didepan, 4 dibelakang 8. Lena akan melantunkan koin terus menerus hingga diperoleh keluaran B, B, M (2 keluaran Belakang berturut-turut yang kemudian diikuti oleh keluaran Muka). Bentuklah rantai Markov yang mungkin. Perhatikan bahwa jika lantunan Lena adalah M, lalu B, lalu M artinya adalah Lena harus mengulang lantunan dari awal. 9. Suatu sistem reservasi maskapai penerbangan memiliki 2 komputer; hanya 1 yang beroperasi pada setiap waktu. Sebuah komputer akan rusak pada suatu hari dengan peluang θ. Ada sebuah fasilitas/bengkel perbaikan komputer yang dapat membuat komputer kembali normal (dapat dipakai) dalam waktu 2 hari. Fasilitas/bengkel tersebut diatur sedemikian MA5181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

21 hingga hanya 1 komputer yang dapat ditangani setiap waktu. Bentuklah rantai Markov yang dapat memodelkan situasi diatas Ani tinggal tidak jauh dari kampus. Cukup berjalan kaki saja dari tempat kos ke kampus dan sebaliknya. Akhir-akhir ini hujan datang hampir setiap hari. Mau tidak mau, Ani menggunakan payung dalam perjalanan kos-kampus atau kampus-kos. Jika hari hujan dan payung ada ditempat Ani berada maka Ani akan menggunakan payung tersebut. Jika hari tidak hujan, Ani selalu lupa untuk membawa payung. Misalkan θ adalah peluang hujan setiap kali Ani akan menuju kampus atau kos. Jika Ani memiliki 3 buah payung, bentuklah suatu rantai Markov dari proses diatas! P = θ θ 0 1 θ θ 0 1 θ θ 0 0 dengan keadaan-keadaan: 0, 1, 2, 3 yang menyatakan jumlah payung 11. Dua tim futsal wanita di MA-ITB akan memainkan tujuh rangkaian pertandingan. Hasil setiap pertandingan saling bebas. Setiap pertandingan akan dimenangkan oleh tim A dengan peluang α dan oleh tim B dengan peluang 1 α. Misalkan keadaan suatu sistem direpresentasikan oleh pasangan (a, b) dimana a menyatakan banyak pertandingan yang dimenangkan A dan b banyak pertandingan yang dimenangkan B. Bentuklah rantai Markov untuk masalah tersebut. Catatan: a + b 7 dan rangkaian pertandingan akan berakhir apabila a = 4 atau b = Peluang n-langkah Persamaan Chapman-Kolmogorov Misalkan Pij n menyatakan peluang transisi n-langkah suatu proses di keadaan i akan berada di keadaan j, P n ij = P (Y k+n = j Y k = i), n 0, i, j 0. Persamaan Chapman-Kolmogorov adalah alat untuk menghitung peluang transisi n + m-langkah: P n+m ij = k=0 P n ikp m kj, (Buktikan!) MA5181 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

22 untuk semua n, m 0 dan semua i, j. Pik np kj m menyatakan peluang suatu proses dalam keadaan i akan berada di keadaan j dalam n+m transisi, melalui keadaan k dalam n transisi/langkah. Contoh/Latihan: 1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α = 0.7; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β = 0.4. Matriks peluang transisi 4 langkah adalah... P 4 = ( ) 2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah sbb: P = Jika hari Senin dan Selasa hujan, berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan? P 2 = Peluang hujan pada hari Kamis adalah P P 2 01 = = 0.61 Peluang Transisi Tak Bersyarat Misalkan α i = P (X 0 = i), i 0, dimana i=0 α i = 1. Peluang tak bersyarat dapat dihitung dengan mensyaratkan pada keadaan awal, P (X n = j) = P (X n = j X 0 = i) P (X 0 = i) = i=0 i=0 P n ij α i MA5181 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

23 Contoh/Latihan: Pandang soal yang lalu dengan matriks peluang transisi: ( ) P = Jika diketahui α 0 = P (X 0 = 0) = 0.4 dan α 1 = P (X 0 = 1) = 0.6, maka peluang (tak bersyarat) bahwa hari akan hujan 4 hari lagi adalah... P (X 4 = 0) = 0.4 P P 4 10 = (0.4)(0.5749) + (0.6)(0.5668) = Jenis Keadaan Keadaan j dikatakan dapat diakses (accessible) dari keadaan i jika P n ij > 0 untuk suatu n 0. Akibatnya, keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika dan hanya jika dimulai dari keadaan i proses akan masuk ke keadaan j. Jika keadaan j tidak dapat diakses dari keadaan i maka peluang masuk ke keadaan j dari keadaan i adalah nol. Catatan: Dua keadaan i dan j yang saling akses satu sama lain dikatakan berkomunikasi (communicate). Notasi: i j. MA5181 Pros.Stok. 9 K. Syuhada, PhD.

24 Sifat-sifat: 1. Keadaan i berkomunikasi dengan keadaan i untuk semua i 0 2. Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j maka keadaan j berkomunikasi dengan keadaan i 3. Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j dan keadaan j berkomunikasi dengan keadaan k maka keadaan i berkomunikasi dengan keadaan k Dua keadaan yang berkomunikasi dikatakan berada dalam kelas (class) yang sama. Setiap dua kelas dari keadaan-keadaan dapat identik (identical) atau saling asing (disjoint). Rantai Markov dikatakan tidak dapat direduksi (irreducible) jika hanya terdapat sebuah kelas dan semua keadaan berkomunikasi satu sama lain. Contoh/Latihan: 1. Tentukan kelas keadaan dari rantai Markov dengan peluang transisi berikut: (i) P = (ii) P = (iii) P = /9 4/9 4/ /9 4/9 1/ /2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2 2. Diketahui matrik peluang transisi: P = MA5181 Pros.Stok. 10 K. Syuhada, PhD.

25 Apakah rantai Markov dengan peluang transisi diatas tidak dapat direduksi (irreducible)? 3. Apakah yang dapat anda katakan tentang rantai Markov dengan matriks peluang transisi berikut: P = Sifat-sifat KEADAAN - Recurrent dan Transient Untuk setiap keadaan i, misalkan f i peluang bahwa dimulai dari keadaan i proses akan pernah kembali ke keadaan i. Keadaan i dikatakan recurrent jika f i = 1. Dikatakan transient jika f i < 1. Jika keadaan i recurrent maka proses akan terus kembali ke keadaan i dengan peluang satu. Dengan definisi rantai Markov, proses akan dimulai lagi ketika kembali ke keadaan i, dan seterusnya, sehingga keadaan i akan dikunjungi lagi. Jika keadaan i recurrent maka dimulai dari keadaan i maka proses akan kembali ke keadaan i terus dan terus sebanyak tak hingga kali. Misalkan keadaan i transient. Setiap kali proses kembali ke keadaan i, terdapat kemungkinan (peluang yang positif) sebesar 1 f i bahwa proses tidak pernah kembali ke keadaan i. Dengan demikian, dimulai dari keadaan i, peluang bahwa proses berada di i sebanyak tepat n periode/kali adalah f n 1 i (1 f i ), n 1. Jika keadaan i transient maka, dimulai dari keadaan i, banyak periode/kali bahwa proses akan berada di keadaan i adalah peubah acak geometrik dengan parameter 1 f i. Keadaan i recurrent jika dan hanya jika, dimulai dari keadaan i, maka banyak periode/kali yang diharapkan (expected number of time periods) bahwa proses akan berada di keadaan i adalah tak hingga Misalkan { 1, Yn = i; I n = 0, Y n i. Misalkan n=0 I n menyatkan banyak periode/kali bahwa proses berada dalam MA5181 Pros.Stok. 11 K. Syuhada, PhD.

26 keadaan i, dan ( ) E I n Y 0 = i = n=0 = = E(I n Y 0 = i) n=0 P (Y n = i Y 0 = i) n=0 n=0 P n ii Proposisi Keadaan i adalah recurrent jika n=0 P n ii = ; transient jika n=0 P n ii < Catatan: Pada rantai Markov dengan keadaan hingga, tidak semua keadaan bersifat transient (Mengapa?) Jika keadaan i recurrent dan keadaan i berkomunikasi (communicate) dengan keadaan j maka keadaan j recurrent (Bagaimana jika keadaan i transient?) Semua keadaan pada rantai Markov (hingga) yang tidak dapat direduksi adalah recurrent (PENTING!) Contoh/Latihan: 1. Misalkan rantai Markov dengan keadaan 0,1,2,3 memiliki matriks peluang transisi: P = Tentukan keadaan mana yang recurrent dan keadaan mana yang transient! 2. Bagaimana dengan rantai Markov dengan matriks peluang transisi: MA5181 Pros.Stok. 12 K. Syuhada, PhD.

27 P = ? 3. Misalkan rantai Markov dengan keadaan 0,1,2,3 memiliki matriks peluang transisi: P = Tentukan keadaan mana yang recurrent dan keadaan mana yang transient! 4. Model penyebaran penyakit memiliki matriks peluang transisi sebagai berikut: P = Tentukan sifat keadaan dari rantai Markov diatas. 2.5 Limit Peluang Transisi Misalkan 0 keadaan belum pernah juara dan 1 keadaan pernah juara. Matriks peluang transisi yang dapat dibentuk adalah ( ) P = Matriks peluang transisi 8 dan 12 langkahnya: ( ) P 8 = dan MA5181 Pros.Stok. 13 K. Syuhada, PhD.

28 ( P 12 = dst. ) Matriks P 12 hampir identik dengan P 8 (benar-benar identik dengan P 16 ). Selain itu, setiap baris dari P 12 memiliki unsur yang identik. Nampaknya, Pij n konvergen ke suatu nilai, untuk n, yang sama untuk semua i. Dengan kata lain, terdapat limit peluang (limiting probability) bahwa proses akan berada di keadaan j setelah sekian/banyak langkah/transisi. Nilai limit ini saling bebas dengan nilai pada keadaan awal. Perhatikan 2 sifat keadaan berikut: Keadaan i dikatakan memiliki periode d jika Pii n = 0 untuk n yang tidak dapat dibagi oleh d (d suatu integer). Contoh, suatu proses dimulai dari keadaan i akan kembali ke i pada waktu 2, 4, 6, 8,..., maka keadaan i memiliki periode 2. Suatu keadaan yang memiliki periode 1 disebut aperiodik. Jika keadaan i memiliki periode d dan keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j maka keadaan j juga memiliki periode d. Jika keadaan i recurrent, maka keadaan tersebut akan dikatakan positive recurrent jika, dimulai dari keadaan i, waktu harapan hingga proses kembali ke i adalah hingga. Pada rantai Markove yang memiliki keadaan hingga, semua keadaan yang recurrent adalah positive recurrent. Suatu keadaan yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik. Teorema Untuk rantai Markov yang ergodik dan tidak dapat direduksi, lim P ij n n ada dan saling bebas dari i. Misalkan π j = lim n P n ij, j 0, maka π j adalah solusi nonnegatif tunggal dari π j = i=0 π i P n ij, j 0, dengan j=0 π j = 1. MA5181 Pros.Stok. 14 K. Syuhada, PhD.

29 Catatan: Perhatikan bahwa P (X n+1 = j) = P (X n+1 = j X n = i) P (X n = i) = i=0 P ij P (X n = i) i=0 Limit peluang π j adalah peluang jangka panjang (long-run proportion of time) bahwa suatu proses akan berada di keadaan j Jika rantai Markov tidak dapat direduksi, maka terdapat solusi untuk π j = i π i P ij, j 0, dengan j π j = 1, JIKA dan HANYA JIKA rantai Markov bersifat positive recurrent. Jika solusinya ada maka solusi tersebut tunggal dan π j adalah proporsi jangka panjang bahwa rantai Markov berada dalam keadaan j. Jika rantai Markov aperiodik maka π j adalah limit peluang bahwa rantai akan berada di keadaan j. Contoh/Latihan: 1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β. Jika 0 adalah keadaan hujan dan 1 adalah keadaan tidak hujan maka peluang hujan dan tidak hujan untuk jangka adalah... Matriks peluang transisi: ( α 1 α P = β 1 β ), dan kita punyai persamaan-persamaan: π 0 = α π 0 + β π 1 π 1 = (1 α) π 0 + (1 β) π 1 π 0 + π 1 = 1 Kita peroleh peluang hujan dan tidak hujan pada jangka panjang: π 0 = β 1 + β α MA5181 Pros.Stok. 15 K. Syuhada, PhD.

30 dan π 1 = 1 α 1 + β α 2. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES maka peluang SUKSES pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang SUKSES adalah 0.5. Hitung peluang percobaan sukses untuk jangka panjang. 3. Pandang pelantunan-pelantunan sebuah koin (dengan peluang muncul MUKA adalah θ) yang saling bebas. Berapa banyak lantunan dibutuhkan yang diharapkan (expected number of tosses needed) agar pola HT HT muncul? (Perhatikan catatan dibawah) Catatan: Peluang jangka panjang π j, j 0, disebut juga peluang stasioner (stationary probability). Jika keadaan awal dipilih berdasarkan peluang π j, j 0, maka peluang akan menjadi keadaan j pada setiap waktu n adalah sama dengan π j. Untuk keadaan j, definisikan m jj yaitu banyak transisi yang diharapkan (expected number of transitions) hingga suatu rantai Markov, dimulai dari keadaan j akan kembali ke keadaan tersebut: π j = 1 m jj MA5181 Pros.Stok. 16 K. Syuhada, PhD.

31 BAB 3 Distribusi Eksponensial dan Aplikasinya 3.1 Pengantar Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai analog (kontinu) dari distribusi geometrik. Kita ketahui bahwa distribusi geometrik memodelkan banyaknya percobaan yang dibutuhkan oleh suatu proses diskrit untuk mengubah keadaan. Sedangkan distribusi eksponensial menjelaskan waktu untuk proses kontinu untuk mengubah keadaan (lihat Tabel 3.1). Table 3.1: Percobaan Bernoulli vs Proses Poisson. Percobaan Bernoulli Proses Poisson Bnyk sukses Distribusi Binomial Distribusi Poisson Wkt utk sukses I Distribusi Geometrik Distribusi Eksponensial Asumsi laju konstan dalam praktiknya jarang dipenuhi. Misalnya, laju adanya telepon masuk akan berbeda setiap waktu dalam suatu hari. Namun, jika kita perhatikan selang waktu pada saat laju konstan, maka distribusi eksponensial dapat dikatakan model yang cukup baik untuk melihat waktu saat telepon masuk akan terjadi lagi. Pertanyaan yang memang kerap diajukan adalah apakah distribusi eksponensial tepat untuk menggambarkan, misalnya, waktu tunggu, lama seseorang mengantre dsb? Perhatikan ilustrasi berikut: Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller yang sibuk melayani nasabah. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang K 1

32 yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabah sebelumnya. Jika waktu melayani dari teler ke-i adalah peubah acak eksponensial dengan parameter θ i, hitung E(T ), dimana T adalah waktu yang dihabiskan K di Bank. Bagaimana anda menjelaskan bahwa waktu layanan cukup tepat dimodelkan dengan distribusi eksponensial? 3.2 Peubah Acak Eksponensial Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f(x) = θ e θx, x 0. Peubah acak tersebut disebut peubah acak eksponensial dan distribusinya disebut distribusi eksponensial. Sifat distribusi dan momennya antara lain: 1. Fungsi distribusi: F (x) = 2. Ekspektasi: E(X) = 3. Fungsi pembangkit momen atau f.p.m: M(t) = Data berdistribusi eksponensial (contoh: Y exp(1/3)) dapat dibangkitkan menggunakan kode berikut: y = exprnd(3,10,1); hist(y) Membangkitkan data dapat pula menggunakan teknik simulasi stokastik yang sederhana yaitu Invers Transformation Method. Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap fungsi distribusi kontinu F, jika kita definisikan peubah acak X sbb: X = F 1 (U) maka peubah acak X memiliki fungsi distribusi F. Contoh. Jika F (x) = 1 e x maka F 1 (u) adalah nilai x sedemikian hingga atau 1 e x = u x = log(1 u) MA5181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

33 Jadi, jika U adalah peubah acah Uniform(0,1) maka F 1 (U) = log(1 U) adalah peubah acak Eksponensial dengan mean 1 (parameter 1). Sifat Tanpa Memori Misalkan X peubah acak. Sifat tanpa memori (memoryless property) pada X adalah sifat dimana peluang X lebih dari s + t dengan syarat/diberikan X lebih dari t sama dengan peluang X lebih dari s, atau P ( X > s + t X > t ) = P ( X > s ) Contoh: Misalkan X menyatakan waktu tunggu seseorang mendapatkan kebahagiaan. Peluang orang tsb menunggu lebih dari 7 tahun setelah dia menunggu lebih dari 5 tahun sama dengan peluang dia menunggu lebih dari 2 tahun. Orang itu tidak lagi mengingat bahwa dia telah menunggu selama 5 tahun. Itu sebabnya dikatakan sifat tanpa memori. Perhatikan: Akibatnya: P ( X > s + t X > t ) = P ( X > s + t, X > t ) P ( X > t ) = P ( X > s + t ) P ( X > t ) = P ( X > s ) P ( X > s + t ) = P ( X > s ) P ( X > t ) yang dipenuhi HANYA oleh X berdistribusi Eksponensial dengan parameter θ. Buktinya sbb: Misalkan X Exp(θ), maka P ( X > s + t ) = 1 P ( X < s + t ) = 1 F X (s + t) = 1 ( 1 exp( θ s θ t) ) = exp( θ s θ t) = exp( θ s) exp( θ t) = P ( X > s ) P ( X > t ) MA5181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

34 Sifat tanpa memori ini tidak dipenuhi oleh distribusi lain. Sebagai contoh, misalkan X U(0, 1), maka P ( X > s + t ) = 1 P ( X < s + t ) = 1 F X (s + t) = 1 (s + t) (1 s)(1 t) = (1 F X (s)) (1 F X (t)) = P ( X > s ) P ( X > t ) Contoh/Latihan: 1. Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrean di Bank berdistribusi eksponensial dengan mean 10. Peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani adalah... Sedangkan peluang seseorang menunggu lebih dari 15 menit setelah dia menunggu lebih dari 10 menit adalah Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller A dan B yang sibuk melayani nasabah Uvi dan Ivi. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang, Ovi, yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabahnya. Diketahui waktu layanan (service time) teler A dan B berturut-turut adalah peubah acak eksponensial dengan parameter θ 1 dan θ 2. Misalkan θ 1 = θ 2 = θ. Berapa peluang bahwa Ovi adalah nasabah terakhir yang akan meninggalkan Bank? 3. Banyaknya uang yang terlibat dalam kecelakaan adalah peubah acak eksponensial dengan mean Banyaknya uang yang dibayar oleh perusahaan asuransi tergantung apakah klaim pemegang polis lebih dari 400. Tentukan nilai harapan dan variansi banyak uang yang dibayar perusahaan asuransi pada setiap kecelakaan. 4. Misalkan masa hidup (lifetime) sebuah lampu, sebelum akhirnya mati/terbakar, adalah p.a eksponensial dengan mean 10 (jam). Misalkan Ani memasuki ruangan dan mendapatkan lampu mati/terbakar. Jika Ani ingin bekerja di ruangan itu selama 5 jam, berapa peluang bahwa Ani dapat menyelesaikan pekerjaannya sebelum lampu mati/terbakar/padam? Fungsi Laju Kegagalan Sifat tanpa memori dapat juga diilustrasikan dengan fungsi LG atau laju kegagalan (failure/hazard rate function) dari distribusi eksponensial. Misalkan MA5181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

35 peubah acak X memiliki fungsi peluang f dan fungsi distribusi F. Fungsi LG didefinisikan r(t) = f(t) 1 F (t), dimana jika sesuatu memiliki waktu hidup X dan telah bertahan selama waktu t maka laju r(t) akan mengukur peluang sesuatu itu tidak dapat bertahan pada waktu tambahan dt. Dengan kata lain P ( X (t, t + dt) X > t ) f(t) dt 1 F (t) atau peluang bersyarat bahwa sesuatu (dengan umur t) akan gagal. 3.3 Jumlah P.A Eksponensial, Min Maks Peubah Acak dan Statistik Terurut Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari X yang berdistribusi eksponensial. Misalkan Y = n X i, i=n maka distribusi dari Y dapat ditentukan dengan metode fungsi pembangkit momen, M Y (t) = E(exp(tY )) = E(exp(t[X X n ])) = Jadi, Y..., dengan mean dan variansi... Pandang dua buah p.a eksponensial X 1 dan X 2 yang saling bebas dengan parameter θ 1 dan θ 2, maka P (X 1 < X 2 ) = f X1,X 2 (x 1, x 2 ) dx 2 dx 1 = 0 = = λ 1 λ 1 + λ 2 x 1 λ 1 e λ 1x 1 λ 2 e λ 2x 2 dx 2 dx 1 MA5181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

36 Diskusi: Apa distribusi dari min{x 1, X 2 }? maks{x 1, X 2 }? Hitung P (X 1 = min{x 1, X 2 })? Statistik Terurut Eksponensial Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari distribusi eksponensial dengan parameter λ. Akan ditentukan distribusi dari Y (k), statistik terurut ke-k. Ambil kasus untuk k = 1 dan/atau k = n. Solusi: Fungsi peluang untuk statistik terurut ke-k adalah: f X(k) (x) = C n k 1,1,n k (F X (x)) k 1 f X (x) (1 F X (x)) n k Untuk s.a berukuran 2 dari distribusi eksponensial dengan parameter λ, f X(1) (x) = C 2 0,1,1 (1 e λx ) 1 1 λ e λx (e λx ) 2 1 = 2 λ e 2λx 3.4 Aplikasi P.A Eksponensial dalam Antrean Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller yang sibuk melayani nasabah. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang K yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabah sebelumnya. Jika waktu melayani dari teler ke-i adalah peubah acak ekspoensial dengan parameter θ i, hitung E(T ), dimana T adalah waktu yang dihabiskan K di Bank. Solusi: dimana E(T ) = E(T R 1 < R 2 ) P (R 1 < R 2 ) + E(T R 2 < R 1 ) P (R 2 < R 1 ) = E(T R 1 < R 2 ) = E(S + R 1 R 1 < R 2 ) = E(S R 1 < R 2 ) + E(R 1 R 1 < R 2 ) = MA5181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

37 Solusi (alternatif): dimana E(T ) = E(min(R 1, R 2 ) + S) = E(S) = E(S R 1 < R 2 ) λ 1 λ 1 + λ 2 + E(S R 2 < R 1 ) λ 2 λ 1 + λ 2 Contoh/Latihan: 1. Pandang soal sebelumnya (Uvi, Ivi, Ovi) dengan distribusi waktu layanan teller A dan B memiliki parameter yang berbeda. Berapa peluang Ovi bukanlah nasabah terakhir keluar dari bank? 2. Misalkan Ita memasuki sebuah bank yang memiliki seorang teller. Ita melihat ada 5 nasabah di bank, 1 orang sedang dilayani dan 4 orang yang lain antre. Ita pun antre. Jika waktu layanan berdistribusi dengan parameter µ, berapa lama waktu (expected amount of time) yang dihabiskan Ita di bank? 3. Manakah pernyataan yang BENAR? E(X 2 X > 1) = E((X + 1) 2 ) E(X 2 X > 1) = E(X 2 ) + 1 E(X 2 X > 1) = (E(X) + 1) 2 ) Bagaimana dengan E(X X > 1)? 4. Disebuah toko ada 2 petugas jaga. Tiga orang: Fer, Fir dan Fur datang ke toko bersamaan. Fer dan Fir langsung mendatangi petugas toko, sedangkan Fur menunggu (baca: antre). Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan: (a) untuk setiap pertugas adalah tepat (tidak acak) 10 menit? (b) adalah i dengan peluang 1/3, i = 1, 2, 3? (c) berdistribusi eksponensial dengan mean 1/µ? 5. Jika X 1 dan X 2 peubah acak-peubah acak kontinu non negatif yang saling MA5181 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

38 bebas, tunjukkan P (X 1 < X 2 min(x 1, X 2 ) = t) = dimana r i (t) fungsi LG untuk X i. r 1 (t) r 1 (t) + r 2 (t), MA5181 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.